DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK

ÖZET Doktora Tezi MATRİS ORTOGONAL POLİNOMLARININ ve MATRİS FONKSİYONLARININ BAZI ÖZELLİKLERİ Ali ÇEVİK Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Daışma: Prof.Dr. Abdullah ALTIN Bu tez beş bölümde oluşmaktadır. Birici bölüm giriş kısmıa ayrılmıştır. İkici bölümde, öbilgiler ve diğer bölümlerde kullaılacak ola bazı taımlar, lemmalar ve teoremler verilmiştir. Üçücü bölümde, Gamma, Beta ve hipergeometrik matris foksiyolarıı taımları verildikte sora bazı özellikleri ve birbirleri arasıdaki ilişkiler icelemiştir. F (A, B; C; z) hipergeometrik matris foksiyouu, hipergeometrik matris diferesiyel deklemii bir çözümü olduğu gösterilmiş ve bu deklemi geel çözümü elde edilmiştir. Dördücü bölümde Laguerre, Hermite ve Jacobi matris ortogoal poliom ailelerii ikici mertebede bir matris diferesiyel deklemii sağladıkları, matris doğurucu foksiyo, üç terimli matris reküras bağıtısı, Rodrigues formülü özelliklerie sahip buludukları icelemiş ve de Laguerre matris poliomları ile Hermite matris poliomlarıı bağlatısı verilmiştir. Bu çalışmaı orijialkısımları so bölümde verilmiştir. Bu bölümde, hipergeometrik matris foksiyouu itegral gösterimi koşullar biraz daha geişletilerek verilmiştir. Ayrıca hipergeometrik matris foksiyolarıı özelliklerii kullaarak bazı yei souçlar elde edilmiş vebusouçlaryardımıyla da Laguerre matris poliomları içi yei bağıtılar verilmiştir. 9, 119 sayfa Aahtar Kelimeler: Ortogoal poliomlar, Gamma foksiyou, Beta foksiyou, hipergeometrik foksiyo, matris, matris foksiyoları, matris ortogoal poliomları, matris diferesiyel deklemi i

ABSTRACT Ph.D. Thesis SOME PROPERTIES of MATRIX ORTHOGONAL POLYNOMIALS ad MATRIX FUNCTIONS Ali ÇEVİK Akara Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Scieces Departmet of Mathematics Supervisor: Prof.Dr. Abdullah ALTIN This thesis cosists of five chapters. The first chapter is devoted to the itroductio. I the secod chapter, prelimiaries ad some ecessary defiitios, lemmas ad theorems that will be eeded for later use are give. I the third chapter, defiitios of Gamma, Beta ad hypergeometric matrix fuctios are give ad the, the properties of these matrix fuctios ad the relatios betwee them are aalysed. It is show that hypergeometric matrix fuctio F (A, B; C; z) is a solutio of hypergeometric matrix differetial equatio. Also the geeral solutio of this equatio is obtaied. I the fourth chapter, it is show that families of Laguerre, Hermite ad Jacobi orthogoal polyomials satify a matrix differetial equatio of the secod order. Also some properties such as matrix geeratig fuctio, three term matrix recurece relatio, Rodrigues formula satisfied by these polyomials are examied. A coectio betwee Laguerre matrix polyomials ad Hermite matrix polyomials is give. Origial results of this thesis are give i the last chapter. Itegral represetatio of hypergeometric matrix fuctio is give uder more geeral coditios. Also, by usig properties of hypergeometric matrix fuctios, some ew results are foud ad some ew relatios for Laguerre matrix polyomials are obtaied by meas of these ew results. 9, 119 pages Key Words: Orthogoal polyomials, Gamma fuctio, Beta fuctio, hypergeometric fuctio, matrix, matrix fuctios, matrix orthogoal polyomials, matrix differetial equatio ii

TEŞEKKÜR Baa bu kouda çalışma imkaı sağlaya ve çalışmalarım süresiceyakı ilgi ve desteğii hiç esirgemeye Daışma Hocam Sayı Prof.Dr. Abdullah ALTIN (Akara Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü) a e deri saygılarımı ve teşekkürlerimi sumayı bir borç bilirim. Ayrıca maddi ve maevi olarak her zama yaımda ola aileme de saygı ve sevgilerimi suarım. Ali ÇEVİK Akara, Temmuz 9 iii

İÇİNDEKİLER ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... SİMGELER DİZİNİ... 1 GİRİŞ... 1 TEMEL KAVRAMLAR VE ÖNBİLGİLER... 3.1 Matris İşlemleride Bazı Özellikler... 4. Gamma ve Beta Foksiyoları... 1.3 HipergeometrikSeriveHipergeometrikFoksiyolar... 16.4 Laguerre, Hermite ve Jacobi Poliomlarıı Bazı Özellikleri... 17.5 Öemli Bazı İfadeler... 1 3 BAZI ÖZEL MATRİS FONKSİYONLARI... 5 3.1 Gamma ve Matris Foksiyoları... 5 3. HipergeometrikMatrisFoksiyou... 4 4 MATRİS KATSAYILI ORTOGONAL POLİNOMLAR... 55 4.1 Laguerre Matris Poliomları... 55 4. Hermite Matris Poliomları... 67 4.3 Laguerre ve Hermite Matris Poliomlarıı Bağlatısı... 78 4.4 Jacobi Matris Poliomları... 8 5 SONUÇLAR...17 KAYNAKLAR...115 ÖZGEÇMİŞ... 119 i ii iii v

SİMGELER DİZİNİ R r r C r r P (t) P r (t) σ (A) Q H k A k O Γ (P ) B (P, Q) r r boyutlu reel elemalı karesel matrisleri uzayı r r boyutlu kompleks elemalı karesel matrisleri uzayı. derecede matris poliomu içi katsayıları C r r de ola bütü matris poliomlarıı kümesi A matrisii tüm özdeğerlerii kümesi ya da A matrisii spektrumu Q C r r matrisii eşleiğii traspozesi A matrisii matris ormu sayısıı tamdeğeri bütü elemaları sıfır ola karesel matris Gamma matris foksiyou Beta matris foksiyou F (A, B; C; z) Hipergeometrik matris foksiyou L (A,λ) (t) Laguerre matris poliomu H (x, A) Hermite matris poliomu P (A,B) (x) Jacobi matris poliomu v

1. GİRİŞ Özel foksiyoları öemli birbölümüü oluştura ortogoal poliomları, Matematik, Fizik, Astroomi ve İstatistikte öemli kullaım alalarıa sahip oldukları bilimektedir. Ayrıca hipergometrik foksiyoları özel halleri ola bir çok özel foksiyo Fizik, Mühedislik ve Olasılık Teoriside ortaya çıkar. So yıllardaki, ortogoal poliomlar ile ilgili çalışmaları yoğu artışı, biortogoal ve katlı ortogoal poliomları dataımlaarak bu koulardaki ala çalışmalarıı geişletilmesie ve bua paralel olarak da bu koulara ola ilgii artmasıa ede olmuştur. Skaler durumdaki reel değişkeli klasik ortogoal poliom ailelerii ikici mertebede bir diferesiyel deklemi sağladıkları, doğurucu foksiyo, üç terimli reküras bağıtısı, Rodrigues formülü ve orm özelliklerie sahip buludukları bilimektedir. Klasik ortogoal poliomlar tarafıda sağladığı bilie bu özelliklerde hagileri ve hagi koşullar altıda matris ortogoal poliomları içi de geçerli olabilir? Matris ortogoal poliomlarıyadabirbaşka deyişle matris katsayılı ortogoal poliomları matematiksel özellikleride elde edilebilecek her türlü geişletmei ve elde edilecek soucu uygulama alalarıda daöemlibazı gelişmeler sağlayacağıı beklemek doğaldır. Matris poliomlarıı uygulamaları istatistikte, gruplar teoriside, saçılma teoriside, diferesiyel deklemlerde, Fourier seri açılımlarıda ve iterpolasyoda sıklıkla kullaılmakta olduğuda devamlı büyüye ve diamik bir çalışma alaıdır. Ayrıca matris ortogoal poliomları tıbbi görütülemede de kullaıldığı görülmektedir (Defez et al., ). A (t),b(t) ve C(t) matris değerli foksiyolar olmak üzere A (t) X (t)+b(t)x (t)+c(t)x (t) O (1.1) tipideki ikici basamakta diferesiyel deklem sistemleri Fizik, Kimya ve Mekaikte sık sık ortayaçıkar (Keller ad Wolfe 1965, Morse ad Fesbach 1953, Parter et al. 1973). Ayrıca, böyle sistemler kısmi türevli deklemleri çözmek içi semidiskrizasyo tekikleri uyguladığıda dagörülür(rektorys 198). 1

Tek matris argümetli özel foksiyoları, simetrik uzaylarda küresel foksiyoları çalışılmasıda ve istatistikte çok değişkeli olasılık aalizide kullaıldığı görülmüştür (James 1975). İki köşege matris argümetli özel foksiyolar ilk olarak, İki matris argümetli hipergeometrik foksiyolar içi kısmi türevli deklemler adlı çalışmada kullaılmıştır (Costatie ad Muirhead 197). Matrislerde biri, birim matrisi skaler bir katı ola iki matris argümetli Beta foksiyou, matris ortogoal poliomlarıı veikicimertebede diferesiyel deklem sistemlerii verilmeside kullaılmıştır (Jódaret al. 1995). Bessel matris foksiyoları ve bazı özellikleri Herz (1955) ve Jódar et al. (199, 1994) tarafıda verilmiştir. Laguerre, Hermite, Gegebauer ve Jacobi matris poliom dizileri, so zamalarda matris diferesiyel deklemleri çalışılmasıda ve Frobeius metodu ile ilişkiside görülmüştür (Jódar et al. 1994, 1995). Bu çalışmada, Gamma, Beta, hipergeometrik foksiyo gibi özel foksiyoları matris aaloglarıı yai matris foksiyolarıı bazı özellikleri icelemiştir. Bu bilgiler ışığıda Laguerre, Hermite ve Jacobi matris ortogoal poliomlarıı sııfları ele almış ve bu matris poliomlarıı hem kedilerii sahip oldukları öemli özellikler, hem de farklı matris ortogoal poliom aileleri arasıdaki ilişkiler üzeride durulmuştur. Hipergeometrik matris foksiyou ve Laguerre matris poliomları içi öemli bazı yei bağıtılar elde edilmiştir.

. TEMEL KAVRAMLAR VE ÖNBİLGİLER Taım.1 (Poliom) : bir doğal sayı ve a,a 1,..., a ler de a 6olmak üzere, sabit sayılar olsu. p (x) a x + a 1 x 1 +... + a 1 x + a şeklide taımlaa p : R R foksiyoua bir poliom (çok terimli) deir. Buradaki doğal sayısıa poliomu derecesi, a,a 1,..., a sayılarıa da poliomu katsayıları adı verilir. Eğer a 1ise p (x) poliomua moik poliom deir. x değişkeii ve katsayıları reel ya da kompleks olmasıa göre p (x) poliomu reel poliom ya da kompleks poliom olarak adladırılır. Taım. I R olmak üzere ω(x), I da taımlı pozitif bir foksiyo olsu. m, N ve m 6 olmak üzere, Z (φ m, φ ) φ m (x) φ (x) ω(x) dx I sağlaıyorsa {φ (x)} N göre ortogoaldir deir. poliom sistemie I aralĭgıda ω(x) ağırlık foksiyoua Uyarı.1 Bu çalışmada bahsedile tüm matrisler, aksi belirtilmedikçe R r r uzayıı elemalarıdır. Taım.3 (Matris Poliomu) :t bir reel değişke ve j içi A j C r r olmak üzere. derecede matris poliomu P (t) A t + A 1 t 1 +... + A 1 t + A şeklide taımlaır. Uyarı. içi katsayıları C r r de ola bütü matris poliomlarıı kümesi P r (t) ile gösterilir. 3

Taım.4 {Ω}, C r r deki matrisleri bir dizisi ve L : P r (t) C r r olmak üzere L (t I)Ω ;, 1,... P şeklide taımlası. k içi A k C r r olmak üzere P (t) A k t k matris poliomu içi X L (P (t)) A k Ω k sağlası. Bu durumda {Ω} matris momet dizisi ile taımlaa L, matris momet foksiyoeli olarak adladırılır. Ω ise. basamakta matris mometidir (Chihara 1978). Taım.5 içi P (t) bir matris poliomu olmak üzere i. P (t), sigüler olmaya başkatsayılı. derecede bir matris poliomudur, ii., s N ve 6 s içi L (P (t) P s (t)) O dır, iii. içi L (P (t)) matrisii tersi vardır, koşulları sağlası. Bu takdirde {P (t)} dizisie, L matris momet foksiyoelie göre matris ortogoal poliom dizisi deir. k k.1 Matris İşlemleride Bazı Özellikler Taım.6 I, birim matrisi göstermek üzere A, B,I matrisleri içi, AB BA I eşitlĭgii sağlaya B matrisie A matrisii çarpma işlemiegöretersi(iversi) deir ve B A 1 ile gösterilir. Lemma.1 Bir matrisi tersi var ise, bu ters tektir. İspat. Olmayaa ergi metoduu kullaalım. Kabul edelim ki, tersi ola bir A matrisii birbiride farklı iki tersi B ve C olsu. Bu durumda, AB BA I (i) AC CA I (ii) 4

dir. Matrislerde çarpma işlemii birleşme özelliğii de gözöüde buludurarak, (i) i her iki yaı solda C matrisi ile çarpılırsa C (AB) CI (CA) B C olup (ii) de de yararlaarak IB C B C elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. O halde bir matrisi tersi var ise, bu ters tektir. Taım.7 Tersi ola matrislere regüler (düzgü) matrisler deir. Regüler (düzgü) olmaya matrislere ise, sigüler (tekil) matrisler deir. Lemma. A ve B regüler matrisler ise AB matrisi de regüler bir matris olup (AB) 1 B 1 A 1 dir. İspat. A ve B regüler matrisler olduğuda AA 1 A 1 A I BB 1 B 1 B I (AB). (AB) 1 (AB) 1. (AB) I dır. Diğer yada (AB). B 1 A 1 A BB 1 A 1 AIA 1 AA 1 I B 1 A 1. (AB) B 1 A 1 A B B 1 IB B 1 B I olup burada (AB) B 1 A 1 B 1 A 1 (AB) I yazılabilir. Regüler bir matrisi tersi, tek olduğuda (AB) 1 B 1 A 1 dir. 5

Souç.1 k herhagi bir pozitif tamsayı ve A 1,..., A k lar regüler matrisler olmak üzere dir. (A 1...A k ) 1 A 1 k...a 1 1 Souç. Regüler A matrisi içi (A ) 1 (A 1 ) dir. Lemma.3 A herhagi matrisi ve B regüler matrisi içi AB BA koşulu sağlamak üzere AB 1 B 1 A dır. İspat. B regüler bir matris olduğuda tersi vardır. Bu durumda AB BA da ABB 1 BAB 1 A BAB 1 B 1 A B 1 BAB 1 B 1 A AB 1 olduğu görülür. Lemma.4 A matrisii tersii olması içi gerek ve yeter koşul A matrisii determiatıı sıfırda farklı yai, det A A 6 olmasıdır. Ohalde,A matrisie, det A 6 ise regüler (düzgü) matris, det A ise sigüler (tekil) matris deir. Lemma.5 A ve B matrisleri içi AB A B dir. Ayrıca AB ise A veya B de e az biri sıfır olmalıdır. Taım.8 x sıfırda farklı r 1 boyutlu bir vektör ve O, sıfır matrisi olmak üzere Ax λx ya da (A λi) x O eşitlĭgii sağlaya λ değerlerie, A matrisii özdeğerleri deir. Başka bir deyişle, A matrisii özdeğerleri, λ ya göre r. derecede bir deklem ola A λi şeklideki A matrisii karakteristik deklemii kökleridir. 6

Herbir λ özdeğerie karşılık gele x vektörlerie de A matrisii özvektörleri deir. A matrisii tüm özdeğerlerii kümesi σ (A) ile gösterilir ve σ (A) ya A ı spektrumu da deir. Lemma.6 A matrisii özdeğerleri λ 1, λ,..., λ r olmak üzere A matrisii determiatı, det A A λ 1 λ...λ r ile verilir. Taım.9 A matrisi içi A T A 1 eşitlĭgi sağlaıyorsa, A matrisie ortogoal matris deir. Taım.1 z σ (P ) içi Re (z) > koşuluu sağlaya P C r r matrisie pozitif kararlı matris deir (Jódar ad Cortés 1998a). Taım.11 Q C r r matrisii eşleik traspozesi Q H ile gösterilmek üzere Q H Q QQ H I eşitlĭgii sağlaya Q regüler matrisie üiter matris deir. Taım.1 Herhagi P ve Q matrisleri içi, R 1 PR Q olacak şekilde regüler bir R matrisi varsa, P ve Q matrislerie bezer matrisler deir. Regüler bezer matrisleri tersleri de bezerdir. Ayrıca bezer matrisleri determiatları ve özdeğerleri ayıdır. Taım.13 Köşege bir matrise bezer ola P matrisie, köşegeleştirilebilir matris deir. Bir P matrisii köşegeleştirilebilir olması içi r tae lieer bağımsız özvektöre sahip olması gerek ve yeterdir. Bu durumda, köşege matrisi köşege elemaları P matrisii özdeğerleridir. Taım.14 Köşegeleştirilebilir P ve Q matrisleri içi S 1 PS D, S 1 QS E ; D, E köşege matrisler olacak şekilde regüler bir S matrisi varsa, P ve Q matrislerie ayı ada köşegeleştirilebilir matrisler deir (Hor ad Johso 1993). 7

Lemma.7 P ve Q köşegeleştirebilir matrisler olsu. P ve Q matrislerii ayı ada köşegeleştirilebilir olması içi gerek ve yeter koşul, bu matrisleri çarpma işlemie göre değişmeli olmasıdır (Hor ad Johso 1993). Taım.15 p 1 ve x T (x 1,..., x r ) olmak üzere x vektörüü p ormu, k x k p ( x 1 p +... + x r p ) 1 p şeklide taımlaır (GolubadVaLoa1983). Taım.16 x sıfırda farklı r 1 boyutlu bir vektör olmak üzere, A matrisii p ormu ya da bir başka deyişle kaxk p kak p sup x6o kxk p kak p max kxk p 1 kaxk p şeklide taımlıdır (Golub ad Va Loa 1983). Lemma.8 I birim matris, O sıfır matrisi,c R ve 1 p olmak üzere, herhagi A, B matrislerii p ormu içi aşağıdaki özellikler sağlaır. (Golub ad VaLoa1983). a) kak p c) kak p A O e) ka + Bk p kak p + kbk p b) kik p 1 d) kcak p c kak p f) kabk p kak p kbk p Uyarı.3 Lemma.8.f deki özellik her matris ormu içi geçerli değildir. Öreği kak 4 max a ij ve A B 1 1 1 1 olmak üzere kabk 4 > kak 4 kbk 4 şeklidedir. Fakat burada bahsedile yerlerde bu eşitsizlik geçerlidir. Taım.17 Bir A matrisi içi Frobeius ormu, 1 ormu ve ormu sırasıyla v u rx rx rx kak F t a ij, kak 1 max a ij ve kak 1 j r max a ij 1 i r i,j1 i1 şeklide taımlıdır (Golub ad Va Loa 1983). 8 j1

Frobeius ormuu ve p ormuu (özellikle p 1,, içi) sağladığı ve matris hesaplamalarıı aalizide sıklıkla kullaıla belirli bazı eşitsizlikler kak kak F r kak max i,j a ij kak r max a ij i,j 1 r kak kak r kak (.1) 1 r kak 1 kak r kak 1 kak p kak 1 kak şeklidedir (Golub ad Va Loa 1983). Teorem.1 µ kak olmak üzere A T Az µ z sağlaacak şekilde bir, birim ormlu z vektörü vardır (Golub ad Va Loa 1983). Uyarı.4 Yukarıdaki teoremde görülmektedir ki; kak, p (λ) det A T A λi poliomuu bir sıfırıdır. Matris ormuu hesabı, matris1 ormu ve ormuu hesabıda göre oldukça karmaşıkvezordur. Eğer e iyi şekilde tahmi etmek, belirlemek isteirse (.1) eşitsizlikleride yararlaılabilir. Çalışma boyuca, vektörler içi vektör ormu (Öklid ormu), matrisler içi matris ormu kullaılacaktır. Özel olarak, A matrisii matris ormu (spektral ormu), A T A matrisiiebüyüközdeğerii mutlak değerii karekökü olarak alıacak ve kak ile gösterilecektir. Eğer A matrisi kompleks elemalı ise A T yerie A ı eşleik traspozesi ola A H alıacaktır. Lemma.9 (Schur Ayrışımı): A C r r içi D, A matrisii özdeğerlerii esas köşegei üzeride buludura köşege bir matris ve N tam üst üçgesel bir matris olmak üzere, Q H AQ D + N olacak şekilde bir Q üiter matrisi vardır (GolubadVa Loa1983). 9

Taım.18 P C r r matrisi içi α (P )max{re (z) : z σ (P )} ve β (P )mi{re (z) : z σ (P )} ile taımlaır. Lemma.1 A matrisii Schur ayrışımı Q H AQ D + N olmak üzere e At Xr 1 e a(a)t j kntk j j!, t dır (GolubadVaLoa1983). Lemma.11 P C r r ve t olmak üzere dir (GolubadVaLoa1989). e Pt Xr 1 e α(p )t j (kp k rt) j j! Taım.19 α reel ya da kompleks bir sayı ve pozitif bir tamsayı olmak üzere (α) ifadesi (α) α(α +1)(α +)...(α + 1) ; (α) 1 (.) olarak taımlaır vepochhammer sembolü olarak biliir. Ayrıca, (α) ifadesie, (α) (α + 1)! (α 1)!, 1 ; (α) 1 şeklide de gösterilebildĭgide dolayı yüksele faktöriyel de deilmektedir. Taım. Skaler Pochhammer ifadesie foksiyoel matris hesabıı uygulamasıyla, C r r deki herhagi bir C matrisi içi (C) C (C + I)...(C +( 1)I), 1 ; (C) I (.3) elde edilir ki, bua matrisler içi Pochhammer gösterimi deir. Uyarı.5 j pozitif bir tamsayı olmak üzere >j içi ( ji) O dır. 1

Lemma.1 Herhagi bir A matrisi içi e At A k t k k k! I + At + A t! + + A t! + ile taımlaa üstel matris serisi her t içi yakısaktır. t 1içi A ı üstel matrisi e A A k I + A + A k!! k + + A! + şeklidedir. Lemma.13 A, B, I ve O matrisleri içi i) e O I, ii) e A üstel matrisi her zama regüler olup e A 1 e A, iii) AB BA ise e (A+B)t e At e Bt, iv) t R içi Ie t e It, eşitlikleri geçerlidir. Lemma.14 Eğer f (z) ve g (z),z kompleks değişkeii kompleks düzlemi Ω açık kümeside taımlı aalitik foksiyoları iseler σ (P ) Ω olacak şekilde bir P C r r matrisi içi foksiyoel matris hesabıı özellikleride f (P ) g (P )g(p) f (P ) (.4) dir. Eğer σ (Q) Ω olacak şekildeki bir Q C r r matrisi içi PQ QP ise bu durumda f (P ) g (Q) g (Q) f (P ) dir (Duford ad Schwartz 1957). Lemma.15 Eğer f (P ) iyi taımlı bir matris foksiyou ve S, C r r de regüler bir matris ise f SPS 1 Sf(P ) S 1 (.5) dir (Golub ad Va Loa 1989). 11

Lemma.16 b, y C ve y < 1 olmak üzere (1 y) b Ayrıca (1 y) a (a)! y ; y < 1, a C olup foksiyoel matris hesabıı özellikleridea C r r içi dir. (1 y) A exp[b l (1 y)] dir. (A) y, y < 1 (.6)! Taım.1 B (z,r), kompleks düzlemdeki z merkezli r yarıçaplı açık diski ve E ise C r r sııfıda matrisleri Baach uzayıı göstermek üzere, 1 i 4 içi f i : B (z,r) E şeklide taımlaa f i ler sıırlı ve sürekli foksiyolar olsu. U 1 ve U ise X f 1 (z) X + f (z) Xf 3 (z)+x f 4 (z) (.7) deklemii herhagi iki çözümü olsu. P, Q C r r olmak üzere, (.7) deklemii her U çözümü U (z) U 1 (z) P + U (z) Q, z B (z,r) şeklide tek bir şekilde ifade edilebiliyorsa {U 1,U } kümesie B (z,r) de (.7) deklemii temel çözümler cümlesi deir. Teorem. Eğer (.7) deklemii B (z,r) deki {U 1,U } çözüm çifti içi W (U 1,U,z ) U 1 (z ) U (z ) U1 (z ) U (z ) şeklideki W C r r matrisi regüler (düzgü) ise {U 1,U } ye B (z,r) de (.7) deklemii temel çözümler cümlesi deir (Jódar ad Cortés ).. Gamma ve Beta Foksiyoları I. Gamma Foksiyou Γ (x) ile gösterile Gamma foksiyou, Γ (x) t x 1 e t dt 1

geelleştirilmiş itegrali yardımıyla taımlaır. Bu foksiyoa geelleştirilmiş faktöriyel foksiyou da deir. Şöyle ki, F (u) e ut dt 1 u (.8) itegrali ile taımlaa foksiyou ele alalım. c> olmak üzere bu itegral her c u d solu aralığıda 1 u ya düzgü yakısaktır. (.8) eşitliğide u ya göre türevler alarak devam ettiğimizde yici türev içi ( 1) F () (u) eşitliği elde edilir. Bu so eşitlikte u 1alıırsa; t e t dt! t e ut dt! u +1 t (+1) 1 e t dt Γ ( +1) olur. Burada değerleri pozitif tamsayılar olarak alımıştır. Halbuki i > 1 ola herhagi bir reel sayı olması halide de bu geelleştirilmiş itegral taımlıdır. Yai yakısaktır. O halde x> 1 ola herhagi bir reel sayı olmak üzere; x! t x e t dt Γ(x +1) yazılabilir. Burada görülüyor ki, 1 de büyük ola tüm reel sayıları faktöriyel değerlerii solu bir reel sayı olarak taımlamak mümküdür. Buda dolayı Gamma foksiyou geelleştirilmiş faktöriyel foksiyou olarak da adladırılır. x olduğu zama faktöriyel foksiyouu değeri,! e t dt e t ( 1) 1 dir. Bu souç! i ede 1 olarak taımlaması gerektiğii açıklar. Elemater matematikte faktöriyel,! ( 1) ( )...3..1 çarpımı ile verilir. Bu özellik,! ( 1)! eşitliğii içerdiğie göre, eğer x bir tamsayı ise, Γ ( +1)! ( 1)! Γ () 13

yazılabilir. Γ (x +1) Z b t x e t dt lim t x e t dt b lim t x e t b + x b {z } xγ (x) t x 1 e t dt olduğuda Γ foksiyou, Γ(x +1)xΓ(x) (.9) eşitliğii tüm x> değerleri içi gerçekler. Bu özellik yardımıyla Gamma foksiyou içi, argümeti herhagi iki tamsayı arasıdaki değerlerie karşılık gele souçları bilimesi halide diğer aralıklardaki foksiyo değerleri kolayca hesaplaabilir. Geişletilmiş Gammafoksiyou: x i pozitif değerleri içi taımlaa Gamma foksiyou egatif x değerleri içi de taımlabilmektedir. Yai Γ(x), tüm reel sayılara geişletilebilir. Γ(x +1) xγ(x) özelliğii kullaarak egatif x değerleri içi Γ(x) değeri, <x< +1ise <x+ <1 olmak üzere Γ (x) Γ (x + ) x (x +1)(x +)... (x + 1) eşitliğide hesaplaabilir. Burada görülmektedir ki, Gamma foksiyou sıfır ve egatif tamsayılar içi sıırsızdır. Yai değeri sosuzdur. Faktöriyel özelliği tüm pozitif x değerleri içi bir alam ifade etmektedir. Acak egatif x ler içi ayı şey söyleemez. Çükü x i egatif tamsayılara yakı değerleri içi Γ (x) ler pozitif ve egatif değerler alarak sıırsız şekilde büyümektedir. Kompleks değişkeli Gamma foksiyou: Gamma foksiyouu taımıdaki geelleştirilmiş itegral ifadeside x yerie z alıarak, bu foksiyo kompleks düzleme geişletilebilir. Yai, z C olmak üzere Γ(z) t z 1 e t dt, Re z> 14

yazılabilir. Reel x lerde olduğu gibi, bu itegral de Re z > içi yakısaktır. Γ(z +1)zΓ(z) ve Γ(z) Γ(z +1) z Γ(z + m) z (z +1)(z +)... (z + m 1), m 1,, 3... özellikleri burada da geçerliliğii korumaktadır. Bu so eşitlikte görülmektedir ki, Gamma foksiyou kompleks düzlemi egatif tamsayılara karşılık gele oktalarıda ve z da birer basit kutupa sahiptir (Raiville 1973). (.) ve (.9) eşitlikleride (α) Γ(α + ) Γ(α) yazılabilir. II. Beta Foksiyou B(x, y) ile gösterile Beta foksiyou, B(x, y) t x 1 (1 t) y 1 dt ; Re(x) >, Re (y) > (.1) geelleştirilmiş itegrali yardımıyla taımlaa iki değişkeli bir foksiyo olup Z B(x, y) π/ (si θ) x 1 (cos θ) y 1 dθ (.11) B(x, y) B(x, y) u x 1 x+y du (.1) (1 + u) Γ (x) Γ(y) Γ (x + y) (.13) biçimleride de ifade edilebilir. (.1) eşitliğide t si θ alıırsa (.11) eşitliği; t u alıırsa (.1) 1+u eşitliği elde edilir. (.13) eşitliğide Beta foksiyouu Gamma foksiyou ciside ifadesi verilmiştir. Buu görmek içi Γ (x) i taımladığı itegralde t s döüşümü yapılırsa Γ (x) t x 1 e t dt s x 1 e s ds 15

olur. Γ (x) i bu ifadeside dolayı yazılabilir. Burada, Γ(y) t y 1 e t dt Γ (x) Γ(y) 4 s x 1 t y 1 e (s +t ) dtds olup, s r cos θ, t r si θ kutupsal koordiatlarıa geçilirse, Z Γ (x) Γ(y) 4 π/ r (x+y) e r (cos θ) x 1 (si θ) y 1 rdrdθ Z π/ (cos θ) x 1 (si θ) y 1 dθ r (x+y) 1 e r dr B(x, y) Γ (x + y) buluur. Bu ise isteiledir. Ayrıca (.13) eşitliğide görülmektedir ki, B(x, y) B(y,x) olup bu eşitlik Beta foksiyouu simetri özellĭgi olarak adladırılır (Raiville 1973)..3 Hipergeometrik Seri ve Hipergeometrik Foksiyolar α, β ve γ reel ya da kompleks sabitler olmak üzere 1+ αβ γ α(α +1)β(β +1) x + x +... (.14) 1..γ(γ +1) olarak ifade edile seri matematikte büyük bir öeme sahiptir. Bu seri 1+x+x +... geometrik serisii bir geelleştirilmesi olduğuda hipergeometrik seri adıı alır. (.14) ifadeside görülmektedir ki, γ değeri sıfır ya da egatif bir tamsayı olmamalıdır. (.14) hipergeometrik serisi x < 1 içi yakısak, x > 1 içi ıraksaktır. x 1olduğu zama γ > α+β ise seri mutlak yakısaktır. x 1 ike γ > α+β 1 ise seri yakısaktır. 16

(.) eşitliği de dikkate alıarak, (.14) hipergeometrik serisi F 1 (α, β; γ; x) r (α) r (β) r x r (.15) (γ) r r! şeklide yazılabilir. (.15) eşitliğide görüle F i altıdaki ve 1 alt idisleri F i yapısıda biri α ve β, diğeri γ olmak üzere iki tip parametre buluduğuu ifade eder. (.15) eşitliğii geelleştirilmiş şekli pf q (α 1,..., α p ; γ 1,...,γ q ; x) (α 1 ) (α )...(α p ) x (γ 1 ) (γ )...(γ q )! dir. Hipergeometrik foksiyou ifade ede F 1 gösterimi yerie geellikle sadece F kullaılır. Yai, F 1 (α, β; γ; x) F (α, β; γ; x) olup, bu foksiyo hipergeometrik foksiyo olarak taımlaır. (.15) eşitliğide açıkça görülmektedir ki, hipergeometrik foksiyo α ve β ya göre simetriktir. Yai, F (α, β; γ; x) F (β, α; γ; x) sağlaır. (.15) eşitliğide x alıırsa F (α, β; γ;)1 olduğu görülmektedir. ciside ifade etmek mümküdür. Bilie pek çok foksiyou, hipergeometrik foksiyolar.4 Laguerre, Hermite ve Jacobi Poliomlarıı Bazı Özellikleri I. Laguerre Poliomları ve Bazı Özellikleri x<, α > 1 ve N olmak üzere xy +(α +1 x)y + y deklemii çözümleride biri L (α) (x) X k ( 1) k (α +1) x k ( k)! k! (α +1) k ;, 1,... 17

ile gösterile L (α) (x) Laguerre poliomlarıdır. Laguerre poliomları içi I [, ) olup ağırlık foksiyou dir. Laguerre poliomları, ω(x) x α e x x α e x L (α) m (x) L (α) (x) dx ; m 6 şeklide verile ortogoallik bağıtısıı gerçekler. ormu L (α) x α e x L (α) (x) dx Γ (α + +1)! şeklidedir. Laguerre poliomları, L (α) (x) t 1 (1 t) µ α+1 exp Öte yada, bu poliomları xt 1 t biçimideki doğurucu foksiyo bağıtısıa ve L (α) (x) x α e x d x α+ e x! dx ; α > 1 Rodrigues formülüe sahiptir. Laguerre poliomları içi üç terimli reküras bağıtısı ( +1)L +1(x)+(x (α) 1 α) L (α) (x)+( + α) L 1(x) (α) ; 1,,... şeklidedir. II. Hermite Poliomları ve Bazı Özellikleri <x< ve N olmak üzere deklemii çözümleride biri H (x) y xy +y [ X ] ( 1) k! k!( k)! k (x) k ;, 1,... ile gösterile. derecede H (x) Hermite poliomlarıdır. Buradaki gösterimi, i tam değeri olup h i, çift ise 1, tek ise 18

şeklidedir. Hermite poliomları içi I (, ) olup ağırlık foksiyou ω(x) e x dir. Hermite poliomları e x H m (x)h (x)dx ; m 6 ortogoallik bağıtısıı gerçekler. Öte yada, bu poliomları ormu kh k e x [H (x)] dx! π şeklidedir. Hermite poliomları, H (x) t! exp xt t biçimideki doğurucu foksiyo bağıtısıa ve H (x) ( 1) e x d dx e x Rodrigues formülüe sahiptir. Hermite poliomları içi üç terimli reküras bağıtısı şeklidedir. H +1 (x) xh (x)+h 1 (x) ; 1 III. Jacobi Poliomları ve Bazı Özellikleri a, b > 1, N ve 1 x 1 olmak üzere (1 x )y +(b a (a + b +)x)y + ( + a + b +1)y diferesiyel deklemii çözümleride biri P (a,b) (x) 1 X µ µ + a + b (x 1) k (x +1) k k k ;, 1,... k ile gösterile P (a,b) (x) Jacobi poliomlarıdır. Jacobi poliomları, I [ 1, 1] aralığıda ağırlık foksiyoua göre 1 ω(x) (1 x) a (1 + x) b (1 x) a (1 + x) b P m (a,b) (x)p (a,b) (x)dx ; m 6 19

ortogoallik bağıtısıı gerçekler. Öte yada, bu poliomları ormu P (a,b) 1 (1 x) a (1 + x) b P (a,b) (x) dx a+b+1 + a + b +1 Γ(a + +1)Γ(b + +1)! Γ(a + b + +1) şeklidedir. Jacobi poliomları P (a,b) (x) t a+b 1 xt + t doğurucu foksiyo bağıtısıa, D d dx h1 t + 1 xt + t i a h1+t + 1 xt + t i b olmak üzere P (a,b) (x) ( 1)! (1 x) a (1 + x) b D (1 x) a+ (1 + x) b+ Rodrigues formülüe ve de ( + a + b)( + a + b )P (a,b) (x) [( + a + b)( + a + b )x + a b ] ( + a + b 1)P (a,b) 1 (x)+( + a 1)( + b 1)( + a + b)p (a,b) (x) biçimide üç terimli reküras bağıtısıa sahiptir. P (a,b) (x) Jacobi poliomlarıı a b olması özel hali P (a,a) (x) C (a) (x) poliomları ultraküresel poliom adıı almaktadır. a ve b i diğer bazı özel halleri şulardır: a) a b 1 olması özel halideki! 1 P ( 1/, 1/ ) [ X ] (x)! k x k (x 1) k (k)! ( k)! T (x) poliomları, I. tür Tchebycheff poliomları olarak biliirler. b) a b olması özel halideki P (,) [ X ] µ µ k (x) ( 1) k x k P (x) k k poliomları, Legedre poliomları olarak biliirler.

.5 Öemli Bazı İfadeler Lemma.17 A (k, ) k k k X B (k, ) T (k, ) eşitlikleri geçerlidir (Raiville 1973). X A (k, k) (.16) k k B (k, + k) (.17) [ X ] T (k, k) (.18) k Lemma.18 α < 1 içi 1+α exp (α) (1 α) 1 (Raiville 1973). eşitsizlĭgi geçerlidir İspat. 1+α, exp (α) ve (1 α) 1 kuvvet serileri 1+α 1+α, exp (α) 1+α + foksiyolarıı α oktası komşuluğudaki şeklide olup bu üç eşitlik karşılaştırıldığıda olduğu görülür. 1+α exp (α) (1 α) 1 α!, (1 α) 1 1+α + Lemma.19 Z + ve α < 1 içi (1 α) 1 α dır (Raiville 1973). İspat. Tümevarımla ispatlayalım. 1 içi 1 α 1 1.α olduğuda doğrudur. k içi (1 α) k 1 kα eşitsizliğii doğru olduğuu kabul edelim. Bu ifadei her iki yaı (1 α) ile çarpılırsa (1 α) k+1 (1 kα)(1 α) 1 (k +1)α + kα α 1 (k +1)α 1

elde edilir ki, bu ise verile eşitsizliği k + 1 içi doğru olduğuu gösterir. Böylece ispat tamamlaır. Lemma. Z + ve t< ise, bu durumda µ e t 1 t t e t dir (Raiville 1973). İspat. Lemma.18 de α t alıdığıda 1+ t µ t exp µ 1 t 1 elde edilir. Z + olmak üzere bu eşitsizliği. kuvvetialıırsa µ 1+ t µ e t 1 t (i) ya da µ 1+ t µ e t 1 t olarak buluur. Bu so eşitsizlikte olup, eşitsizliği sol yaı e t e t µ 1 t (ii) µ 1 t µ e 1 t e t 1 t şeklide yazılabilir. Diğer tarafta (i) de µ e t 1+ t yazılabileceğide bu so iki ifade (ii) de dikkate alıdığıda µ e t 1 t µ e t 1 1+ t µ 1 t e 1 t µ1 t (iii) elde edilir. Diğer tarafta Lemma.19 da α t alıırsa µ1 t 1 t

olup bu souç (iii) de kullaıldığıda µ e t 1 t e t 1 1+ t t e t buluur. Burada (ii) de dikkate alıarak µ e t 1 t t e t elde edilir ki, bu ise ispatı tamamlar. 3

3. BAZI ÖZEL MATRİS FONKSİYONLARI 3.1 Gamma ve Matris Foksiyoları I. Gamma Matris Foksiyou Taım 3.1 P C r r pozitif kararlı bir matris olmak üzere, Gamma matris foksiyou Γ (P ) e t t P I dt, t P I exp[(p I)lt] (3.1) şeklide taımlaır veγ (P ) iyi taımlı bir matristir. Γ 1 (z) 1 ile gösterile Gamma foksiyouu tersi, z kompleks değişkeii Γ (z) foksiyou olup tüm kompleks düzlemde aalitik yai tam foksiyodur (Hille 1969). Bu edele Riesz-Duford foksiyoel hesabıyla görülebilir ki, C r r deki herhagi bir P matrisii ters Gamma foksiyou altıdaki görütüsüe karşılık gele Γ 1 (P ) matrisi iyi taımlı bir matristir (Duford ad Schwartz 1957). Eğer bir P matrisi tamsayısı içi P + I matrisi regülerdir (3.) koşuluu sağlıyorsa Γ (P ) matrisii de Γ 1 (P ) ile gösterile tersi vardır ve P (P + I)...(P +( 1) I) Γ 1 (P + I) Γ 1 (P ), 1 (3.3) şeklidedir (Hille 1969). (3.3) eşitliği, (3.) koşulu altıda (.4) de yararlaarak P (P + I)...(P +( 1) I) Γ (P + I) Γ 1 (P ), 1 (3.4) şeklide ve (.3) gösterimii de dikkate alarak (P ) Γ (P + I) Γ 1 (P ), (3.5) biçimide yazılabilir. Teorem 3.1 M C r r pozitif kararlı bir matris ve Z + olsu. Bu durumda Γ (M) lim( 1)! (M) 1 eşitlĭgi geçerlidir (Jódar ad Cortés 1998b). 5 M

İspat. M C r r pozitif kararlı bir matris olmak üzere, Raiville (1973) de g (z) f (z) Z (1 s) s z 1 ds![z (z +1)... (z + )] 1, Re (z) > (3.6) ³ 1 s s z 1 ds! z [z (z +1)... (z + )] 1, Re (z) > (3.7) yazılabilir. g ve f, Re (z) > da holomorfik (aalitik) foksiyolardır. Bu foksiyolara foksiyoel matris hesabıı uygulamasıyla (3.6) ve (3.7) de g (M) f (M) Z (1 s) s M I ds![m (M + I)... (M + I)] 1 (3.8) ³ 1 s s M I ds! M [M (M + I)... (M + I)] 1 (3.9) yazılabilir. (3.1) ve (3.9) da Γ (M)! M [M (M + I)... (M + I)] 1 e t t M I dt Z µ 1 t t M I dt Z µ e t 1 t t M I dt + e t t M I dt (3.1) olup e t t M I dt yakısak olduğuda lim e t t M I dt (3.11) dır. O halde Z µ lim e t 1 t t M I dt olduğuu gösterelim. t< içi Lemma. de µ e t 1 t t e t olduğuda Z µ e t 1 t t M I dt 1 6 Z t M+I e t dt (3.1)

yazılabilir. t> içi l t<t olduğuda, Lemma.8 ve Lemma.11 de t M+I k exp [(M + I)lt] k Xr 1 e α(m+i)lt Xr 1 t α(m)+1 j j [km + Ik r l t] j j! [(kmk +1) rt] j j!, t > (3.13) olup (3.1) ve (3.13) de Z 1 t M+I e t dt 1 Xr 1 [(kmk +1) r ] j j! j eşitsizliği yazılabilir. j r 1 içi Z e t t α(m)+j+1 dt (3.14) e t t α(m)+j+1 dt Γ (α (M)+j +) (3.15) dir. (3.1), (3.14) ve (3.15) de Z µ lim e t 1 t t M I dt lim Z 1 t M+I e t dt olup burada Z µ lim e t 1 t t M I dt (3.16) soucu elde edilir. (3.1) eşitliğii her iki yaıı içi limiti alıır ve (3.11), (3.16) eşitlikleri kullaılırsa Γ (M) lim! M [M (M + I)... (M + I)] 1 buluur. Bu eşitlik, (.3) gösterimi de dikkate alıarak Γ (M) lim( 1)! (M) 1 şeklide yazılabilir. Böylece ispat tamamlaır. M 7

II. Beta Matris Foksiyou P,Q C r r pozitif kararlı matrisler olmak üzere, <t<1 içi l t<t ve l (1 t) < 1 t olduğuda ve Lemma.11 de t P I (1 t) Q I dt ( Xr 1 t α(p ) 1 [(kp k 1) ) r l t] j j! j ( Xr 1 (1 t) α(q) 1 [(kqk 1) ) r l (1 t)] k dt k! k Xr 1 Xr 1 (kp k 1) j (kqk 1) k ( r) j+k j k Xr 1 Xr 1 j k Xr 1 Xr 1 j k < + j!k! (kp k +1) j (kqk +1) k r j+k j!k! (kp k +1) j (kqk +1) k r j+k j!k! t α(p ) 1 (1 t) α(q) 1 (l t) j [l (1 t)] k dt t α(p )+j 1 (1 t) α(q)+k 1 dt B (α (P )+j, α (Q)+k) buluur. Bu itegral solu olduğuda, Beta matris foksiyou aşağıdaki şekilde taımlaabilir. Taım 3. P,Q C r r pozitif kararlı matrisler olmak üzere, Beta matris foksiyou B (P, Q) şeklide taımlaır (Jódar ad Cortés 1998b). t P I (1 t) Q I dt (3.17) Lemma 3.1 P,Q C r r pozitif kararlı matrisler olsu. Eğer, P veya Q matrisi birim matrisi skaler bir katı ise, Beta matris foksiyou simetri özellĭgie sahiptir. Yai B (P, Q) B (Q, P ) eşitlĭgi geçerlidir (Jódar et al. 1995). 8

İspat. Kabul edelim ki, c R olmak üzere Q ci Lemma.13 de olsu. Bu durumda (3.17) ve B (P, Q) B (P, ci) t P I (1 t) (c 1)I dt t P I (1 t) (c 1) Idt yazılabilir. Yukarıdaki itegralde t 1 u döüşümü yapılırsa B (P, ci) Z (1 u) P I u (c 1) ( I) du u (c 1) I (1 u) P I du 1 u ci I (1 u) P I du B (ci, P ) buluur. Ayı şekilde P matrisii de birim matrisi skaler bir katı olması durumuda, simetri özelliğii doğru olduğu kolayca gösterilebilir. Böylece ispat tamamlaır. Uyarı 3.1 Köşegeleştirilebile pozitif kararlı iki matris, çarpma işlemie göre değişme özellĭgie sahip değilse ya da kısaca değişmeli değilse, Beta matris foksiyouu simetri özellĭgi geçerli değildir. Bu durum aşağıdaki örekte açıkça görülmektedir. Örek 3.1 C r r deki pozitif kararlı P 1 ve Q 1 1 1 içi σ (P )σ(q) {1, } dir. matrisleri matris özdeğerler özvektörler köşegeleştire matris P 1 1 ve 1 1 1 ve 1 S 1 1 1 Q 1 1 1 ve 1 ve 1 1 T 1 1 1 9

Bu durumda S 1 PS D 1 ve T 1 QT E 1 olup P ve Q matrisleri köşegeleştirilebilirdir, fakat PQ 1 1 6 QP 1 5 4 olduğuda çarpmaya göre değişmeli değildir. Ayrıca Z + içi (P I) 1 1 ve (Q I) 1 1 1 1 1 1 biçimidedir. <t<1 içi t P I exp[(p I)lt] (P I) (l t)! (P I) (l t) I +! 1 1 + (l t) 1 1 1! 1 1 + e l t 1 1 1 1 1 + (t 1) 1 1 1 1 + 1 t 1 t 1 1 t 1 t 3

ve (1 t) P I exp[(p I)l(1 t)] (P I) [l (1 t)]! (P I) [l (1 t)] I +! 1 1 + [l (1 t)] 1 1 1! 1 1 + e l(1 t) 1 1 1 1 1 + ( t) 1 1 1 1 + 1 t t 1 t 1 t şeklide hesaplaır. Ayı şekilde (1 t) Q I 1 t 1 t olarak buluur. Bu durumda, ve t Q I 1 t 1 t B (P, Q) t P I (1 t) Q I dt 1 1 t dt t 1 t 1 t 1 t dt t 1 t (1 t) 1 1 1 1 3 31

ve B (Q, P ) t Q I (1 t) P I dt şeklide olup 1 t 1 1 t t 1 t t + t +1 (1 t) 7 6 1 3 1 3 B (P, Q) 6 B (Q, P ) dir. t t (1 t) 1 6 dt dt Lemma 3. P, Q C r r pozitif kararlı ve değişmeli matrisler olmak üzere, B (P, Q) B (Q, P ) eşitlĭgi geçerlidir (Jódar ad Cortés 1998b). İspat. PQ QP olduğuda (P I)(Q I) PQ PI IQ + I QP IP IQ + I (Q I) P (Q I) I (Q I)(P I) yazılabilir. Lemma.13 dikkate alıırsa B (P, Q) t P I (1 t) Q I dt e (P I)lt e (Q I)l(1 t) dt e (P I)lt+(Q I)l(1 t) dt e (Q I)l(1 t) e (P I)lt dt 3

olup burada t 1 u döüşümü yapılırsa B (P, Q) Z e (Q I)l(u) e (P I)l(1 u) ( 1) du 1 u Q I (1 u) P I du B (Q, P ) olduğu görülür. Lemma 3.3 D, E C r r pozitif kararlı ve köşege matrisler olmak üzere, B (D, E) Γ (D) Γ (E) Γ 1 (D + E) dir (Jódar ad Cortés 1998b). İspat. D ve E köşege matrisleri içi DE ED dir. O halde, B (D, E) t D I (1 t) E I dt eşitliğide t si θ döüşümü yapılırsa Z B(D, E) π/ (si θ) D I (cos θ) E I dθ (3.18) olarak buluur. Gamma matris foksiyouu (3.1) taımıda dolayı Γ (D) t D I e t dt ve Γ (E) v E I e v dv yazılabilir. Bu so iki eşitlik taraf tarafa çarpılırsa Γ (D) Γ (E) t D I e t dt v E I e v dv t D I v E I e (t+v) dtdv buluur. Burada t x ve v y döüşümü yapalım. Bu durumda Γ (D) Γ (E) 4 x D I y E I e (x +y ) dxdy 33

olup, x r cos θ, y r si θ kutupsal koordiatlarıa geçilir ve (3.18) eşitliği de dikkate alıırsa Z Γ (D) Γ (E) 4 π/ Zπ/ (r cos θ) D I (r si θ) E I e r rdrdθ 4 r D I (cos θ) D I r E I (si θ) E I e r rdrdθ Z π/ (si θ) E I (cos θ) D I dθ r D+E I e r dr B (E,D) r D+E I e r dr elde edilir. So itegralde r u döüşümü yapılır veded,e köşege matrisleri içi Lemma 3. de B (D, E) B (E,D) olduğu gözöüde buludurulursa Γ (D) Γ (E) B (D, E) u D+E I e u du B (D, E) Γ (D + E) soucua ulaşılır. Γ 1 (D + E) matrisi iyi taımlı olduğuda, yukarıdaki eşitliği her iki yaıı solda Γ 1 (D + E) ile çarparsak B (D, E) Γ (D) Γ (E) Γ 1 (D + E) olarak buluur. Bu ise ispatı tamamlar. Teorem 3. P, Q C r r pozitif kararlı, köşegeleştirilebilir ve değişmeli matrisler olmak üzere, B (P, Q) Γ (P ) Γ (Q) Γ 1 (P + Q) dur (Jódar ad Cortés 1998b). İspat. P ve Q matrisleri köşegeleştirilebilir ve değişmeli olduğuda, Lemma.7 de dolayı ayı ada köşegeleştirilebilirdir. Bu durumda, S 1 PS D, S 1 QS E ; D, E köşege matrisler (3.19) 34

olacak şekilde regüler bir S C r r matrisi vardır (Hor ad Johso 1993). σ (P ){λ 1,...,λ r } ve σ (Q) {µ 1,..., µ r } ise 1,,...,r i bazı i 1,i,...,i r permütasyoları içi σ (P + Q) λ 1 + µ ij o r dir (Hor ad Johso 1993). P ve Q j1 pozitif kararlı olduklarıda w σ (P + Q) içi Re (w) > olduğuda P + Q matrisi de pozitif kararlıdır. (3.19) eşitliğide P + Q S (D + E) S 1 olup (.5) eşitliğide, Lemma 3. ve Lemma 3.3 de Γ (P + Q) Γ S (D + E) S 1 S e t t D+E I dt S 1 SΓ (D + E) S 1 (3.) Γ (P )Γ(SDS 1 )SΓ(D) S 1 (3.1) Γ (Q) Γ (SES 1 )SΓ(E) S 1 B (P, Q) SB (D, E) S 1 eşitlikleri yazılabilir. (3.) eşitliğide SΓ (D) Γ (E) Γ 1 (D + E) S 1 (3.) Γ 1 (D + E) S 1 Γ 1 (P + Q) S olup bu souç (3.) eşitliğide kullaılır ve(3.1) dikkate alıırsa B (P, Q) SΓ (D) Γ (E) S 1 Γ 1 (P + Q) S S 1 elde edilerek ispat tamamlaır. SΓ (D) S 1 SΓ (E) S 1 Γ 1 (P + Q) SS 1 SΓ (D) S 1 SΓ (E) S 1 Γ 1 (P + Q) I Γ (P ) Γ (Q) Γ 1 (P + Q) Uyarı 3. Yukarıdaki teoremdeki köşegeleştirilebilme koşulu P +Q matrisii her z özdeğeri içi Re (z) > olmasıı garati eder. Aşağıdaki örekte görülmektedir ki, P, Q pozitif kararlı matrisler ise P + Q matrisi pozitif kararlı olmak zoruda değildir. 35

Örek 3. ab > 1 olacak şekilde a, b pozitif sayılar olsu. Köşegeleştirilemeye P 1 ve Q 1 b a 1 1 matrislerii özdeğerleri σ (P )σ(q) 1 ª şeklidedir. Fakat, P + Q 1 b a 1 matrisii özdeğerleri σ (P + Q) 1 ab, 1+ o ab dir ve 1 ab < dır. Lemma 3.4 P, Q C r r pozitif kararlı ve değişmeli matrisleri içi m tamsayısı içi P + Q + mi regüler matris koşulu sağlası. Bu durumda tamsayısı içi, i) B (P, Q + I) (P + Q) 1 (Q) B (P, Q) ii) B (P + I, Q + I) (P ) (Q) (P + Q) 1 B (P, Q) eşitlikleri geçerlidir (Jódar ad Cortés 1998a). İspat. i) içi eşitlik doğrudur. P, Q matrisleri değişmeli olduğuda ve (3.17) de m 1 içi B (P, Q + mi) lim δ lim δ t P I (1 t) Q+(m 1)I Z 1 δ δ 1 δ yazılabilir. İtegral içideki ifadede deirse Z δ dt t P I (1 t) Q+(m 1)I dt t P +Q+(m )I (1 t) Q+(m 1)I t (Q+(m 1)I) dt u (t) (1 t) Q+(m 1)I t (Q+(m 1)I), v (t) t P +Q+(m )I u (t) [Q +(m 1) I](1 t) Q+(m )I t (Q+(m 1)I) [Q +(m 1) I](1 t) Q+(m 1)I t (Q+(m )I) v (t) [P + Q +(m 1) I] 1 t P +Q+(m 1)I 36

şeklidedir. Bu durumda, yukarıdaki itegrale kısmi itegrasyo uygulaırsa h i t1 δ B (P, Q + mi) lim [P + Q +(m 1) I] 1 (1 t) Q+(m 1)I t P δ tδ + lim [P + Q +(m 1) I] 1 [Q +(m 1) I] δ Z1 δ (1 t) Q+(m )I t P +(1 t) Q+(m 1)I t P I dt δ [P + Q +(m 1) I] 1 [Q +(m 1) I] Z1 δ i lim h(1 t) Q+(m )I t P I [t +(1 t)] (1 t) Q+(m )I t P I dt δ δ [P + Q +(m 1) I] 1 [Q +(m 1) I] t P I (1 t) Q+(m )I dt [P + Q +(m 1) I] 1 [Q +(m 1) I] B (P, Q +(m 1) I) olarak elde edilir. Bu işlem m 1 kez daha tekrar edilirse B (P, Q + mi) [P + Q +(m 1) I] 1 [Q +(m 1) I][P + Q +(m ) I] 1 [Q +(m ) I]... [P + Q + I] 1 [Q + I][P + Q] 1 [Q] B (P, Q) buluur. Lemma.3 dikkate alıır ve(.3) gösterimi kullaılırsa olarak buluur. B (P, Q + mi) (P + Q) 1 m (Q) m B (P, Q) ii) 1 içi ˆP P + I şeklide olmak üzere, Lemma 3.4.i de ³ B ˆP,Q+ I ³ ˆP + Q 1 ³ (Q) B ˆP,Q ³ yazılabilir. PQ QP olduğuda ˆPQ Q ˆP ve B ˆP,Q halde, (3.3) de ³ ³ 1 ³ B ˆP,Q+ I ˆP + Q (Q) B Q, ˆP ³ B Q, ˆP (3.3) dir. O (3.4) dir. Ayrıca Lemma 3.4.i de ise B (Q, P + I) (Q + P ) 1 (P ) B (Q, P )(P + Q) 1 (P ) B (P, Q) (3.5) 37

şeklidedir. ˆP P + I olduğuda (3.4) ve (3.5) de B (P + I, Q + I) (P + Q + I) 1 (Q) B (Q, P + I) (P + Q + I) 1 (Q) (P + Q) 1 (P ) B (P, Q) (3.6) olarak buluur. (P + Q) (P + Q + I) (P + Q)(P + Q + I)... (P + Q +( 1) I) (P + Q + I)(P + Q +( +1)I)... (P + Q +( + 1) I) (P + Q)(P + Q + I)... (P + Q +( 1) I) (P + Q) olduğuda (P + Q + I) 1 (P + Q) 1 yazılabilir. Bu souç, (3.6) eşitliğide kullaılırsa [(P + Q) (P + Q + I) ] 1 (P + Q) 1 B (P + I, Q + I) (P + Q) 1 (P ) (Q) B (P, Q) olarak buluur. Böylece ispat tamamlaır. Uyarı 3.3 Lemma 3.4.ii, Beta matris foksiyouu taımıı, pozitif kararlı olması gerekmeye matris argümetli olarak geişletmemizi sağlar. Taım 3.3 P, Q C r r değişmeli matrisleri tamsayısı içi P + I, Q + I, P + Q + I matrisleri regüler (3.7) koşuluu sağlamak üzere, β (P, Q) mi{β (P ), β (Q), β (P + Q)} ve (P ; Q) [ β (P, Q) ]+1 olsu. Burada [. ], tamdeğer foksiyoudur. O halde B (P, Q) değeri, B (P, Q) (P ) 1 (Q) 1 (P + Q) B (P + I,Q + I) ile taımlaır (Jódar ad Cortés 1998a). 38 (3.8)

Lemma 3.5 ˆP, ˆQ, ˆP + ˆQ C r r pozitif kararlı ve değişmeli matrisler olmak üzere B( ˆP, ˆQ) Γ( ˆP )Γ( ˆQ)Γ 1 ( ˆP + ˆQ) eşitlĭgi geçerlidir (Jódar ad Cortés 1998a). İspat. ˆP, ˆQ pozitif kararlı ve değişmeli olduğuda Gamma matris foksiyouu taımıda ³ ³ Γ ˆP Γ ˆQ e u u ˆP I du e v v ˆQ I dv e u v u ˆP I v ˆQ I dudv yazılabilir. Burada u xy, v y (1 x) döüşümü yapılırsa, J (x, y) y olmak üzere ³ ³ Γ ˆP Γ ˆQ e y ˆP I (xy) [y (1 x)] ˆQ I ydxdy e y y ˆP + ˆQ I I dy x ˆP I (1 x) ˆQ I dx ³ ³ Γ ˆP + ˆQ B ˆP, ˆQ ³ buluur. Γ ˆP + ˆQ matrisi iyi taımlı olduğuda ³ ³ ³ ³ B ˆP, ˆQ Γ ˆP Γ ˆQ Γ 1 ˆP + ˆQ elde edilir. Bu ise ispatı tamamlar. Teorem 3.3 P, Q C r r değişmeli matrisleri içi, (3.7) koşulu sağlamak üzere B (P, Q) Γ (P ) Γ (Q) Γ 1 (P + Q) eşitlĭgi geçerlidir (Jódar ad Cortés 1998a). İspat. (P ; Q), (3.8) ile verilmek üzere Taım 3.3 de B (P, Q) (P ) 1 (Q) 1 (P + Q) B (P + I,Q + I) 39

dır ki,buradap + I ve Q + I matrisleri pozitif kararlıdır. (3.3) de dolayı Γ (P ) Γ (P + I)(P +( 1) I) 1...(P + I) 1 P 1 Γ (Q) Γ (Q + I)(Q +( 1) I) 1...(Q + I) 1 Q 1 Γ (P + Q) Γ (P + Q + I)(P + Q +( 1) I) 1...(P + Q + I) 1 (P + Q) 1 yazılabilir. PQ QP olduğuda dolayı so üç eşitlikte Γ (P ) Γ (Q) Γ 1 (P + Q) Γ (P + I) Γ (Q + I) Γ 1 (P + Q + I) (P +( 1) I) 1...(P + I) 1 P 1 (Q +( 1) I) 1...(Q + I) 1 Q 1 (P + Q +( 1) I)...(P + Q + I)(P + Q) Γ (P + I) Γ (Q + I) Γ 1 (P + Q + I)(P ) 1 (Q) 1 (P + Q) (3.9) yazılabilir. P + I, Q+ I ve P +Q+ I matrisleri pozitif kararlı olduklarıda Lemma 3.5 ve Lemma 3.4.ii de sırasıyla Γ (P + I) Γ (Q + I) Γ 1 (P + Q + I)B (P + I,Q + I) (3.3) olup (3.9) (3.31) de elde edilir. B (P + I,Q + I)(P ) (Q) (P + Q) 1 B (P, Q) (3.31) B (P, Q) Γ (P ) Γ (Q) Γ 1 (P + Q) 3. Hipergeometrik Matris Foksiyou C C r r içi tamsayısı içi C + I matrisi regüler (3.3) koşulu sağlamak üzere, skaler durumdaki geelleştirilmiş hipergeometrik foksiyoları gösterimideyararlaarak F 1 ( ; C; z) ile gösterile ve F 1 ( ; C; z) : (C) 1 z! (3.33) şeklide taımlaa matris kuvvet serisi, ilk olarak Laguerre matris poliomları ile bağlatısıda taımlamış vekullaılmıştır (Jódar ad Sastre 1998). 4

Teorem 3.4 (3.3) koşulu altıda (3.33) ile taımlaa seri, her z kompleks sayısı içi yakısaktır (Jódar ad Sastre 1998). İspat. >kck olmak üzere, eğer yeterice büyük ise pertürbasyo lemmasıda µ 1 C + I 1 (3.34) 1 kck kck yazılabilir (Duford ad Schwartz 1957). O halde > tamsayısı içi (3.34) eşitsizliği de kullaılarak (C + I) 1 µ 1 C + I 1 1 kck 1 kck yazılabilir. Diğer tarafta >kck içi z (C) 1! (C) 1 z! olduğuda (C) 1 z! µ 1 C + I 1 µ 1 C + I serisii karakterii iceleyelim. Ora testide ve (3.35) de de yararlaılırsa (C) 1 +1 z +1! lim (C + I) 1 z (C) 1 z lim ( +1)! ( +1) lim z ( kck)( +1) (3.35) elde edilir. Serileri karakterleri içi ora testide dolayı, (3.3) koşulu altıda her z kompleks sayısı içi serisi yakısaktır. F 1 ( ; C; z) (C) 1 Taım 3.4 A, B, C C r r olmak üzere, (3.3) koşulu altıda F (A, B; C; z) : (A) (B) (C) 1 z! z! şeklideki matris kuvvet serisi ile verile F (A, B; C; z) foksiyou deir. 41 ye hipergeometrik matris

Teorem 3.5 A, B, C C r r olmak üzere, (3.3) koşulu altıda F (A, B; C; z) (A) (B) (C) 1 z! (3.36) serisi, z < 1 içi mutlak yakısaktır (Jódar ad Cortés ). İspat. Matris orm özellikleride ve matrisler içi Pochhammer gösterimide içi k(a) k ka (A + I)... (A +( 1) I)k kakk(a + I)k... k(a +( 1) I)k kak (kak +1)... (kak + 1) (kak) (3.37) k(b) k (kbk) (3.38) (C) 1 (C +( 1) I) 1... (C + I) 1 C 1 C 1 (C + I) 1... (C +( 1) I) 1 (3.39) olup Ω () C 1 (C + I) 1... (C +( 1) I) 1 (3.4) ile gösterilsi. >kck olmak üzere, (3.37) - (3.4) kullaılarak (A) (B) z (C) 1! (kak) (kbk) z Ω ()! eşitsizliği yazılabilir. O halde (kak) (kbk) Ω () z! serisii yakısaklığıı ora testii kullaarak gösterelim. (3.35) eşitsizliği de kullaılarak, 4

(kak) lim +1 (kbk) +1 Ω ( +1) z +1! (kak) (kbk) Ω () z ( +1)! lim (kak + )(kbk + ) (C + I) 1 z +1 (kak + )(kbk + ) lim z ( +1)( kck) z olarak buluur. Ora testide dolayı (3.3) koşulu altıda (3.36) serisi z < 1 içi yakısaktır. Teorem 3.6 A, B, C C r r pozitif kararlı matrisler ve β (C) > α (A)+α (B) (3.41) olmak üzere (3.36) ile taımlaa seri, z 1içi mutlak yakısaktır (Jódar ad Cortés 1998a). İspat. (3.41) hipotezide dolayı β (C) α (A) α (B) δ (3.4) olacak şekilde pozitif bir δ sayısı vardır. Diğer tarafta, 1+δ µ 1! (A) (B) (C) 1 ya da 1+δ Ã 1+δ! 1+δ! (A) (B) (C) 1! ( 1)! A A (A) ( 1)! B B (B) ( 1)! ( 1)! µ µ A (A) A B (B) ( 1)! ( 1)! µ δ A (A) ( 1)! 43 (C) 1 C C B ( 1)! (C) 1 C C µ A B (B) ( 1)! B ( 1)! (C) 1 C C (3.43)

şeklide yazılabilir. α ( C) β (C) olduğuu da dikkate alarak Lemma.11 de A B ( X C r 1 α(a)+α(b) β(c) [kak ) r l ] j j! j ( Xr 1 [kbk )( r l ] j Xr 1 [kck ) r l ] j j! j! j j ( Xr 1 δ [max {kak, kbk, kck} ) r l ] j 3 (3.44) j! olarak buluur. (3.4) (3.44) ve Teorem (3.1) de, z 1içi (A) lim 1+δ (B) (C) 1 z lim δ A (A)! ( 1)! A B (B) ( 1)! B ( 1)! (C) 1 C C j lim Γ 1 (A) Γ 1 (B) kγ (C)k δ ( Xr 1 [max {kak, kbk, kck} ) r ] j 3 (l ) j j! j Γ 1 (A) Γ 1 (B) kγ (C)k. elde edilir. Çükü k tamsayısı içi lim δ (l ) k dır. Bu durumda (A) lim 1+δ (B) (C) 1 z, z 1! olup, pozitif terimli serileri karakterii belirleye limit testide dolayı (3.36) serisi z 1 içi mutlak yakısaktır. Teorem 3.7 z < 1 ve A, B, C C r r matrisleri içi BC CB (3.45) B,C ve C B pozitif kararlı matrisler (3.46) koşulları sağlamak üzere, F (A, B; C; z) hipergeometrik matris foksiyou F (A, B; C; z) (1 tz) A t B I (1 t) C B I dt Γ 1 (B) Γ 1 (C B) Γ (C) şeklide bir itegral gösterimie sahiptir (Jódar ad Cortés 1998a). 44

İspat. (3.46) koşulu altıda (.3) gösterimide ve (3.4) eşitliğide yararlaıldığıda (B) (C) 1 Γ 1 (B) Γ (B + I) Γ 1 (C) Γ (C + I) 1 Γ 1 (B) Γ (B + I) Γ 1 (C + I) Γ (C) Γ 1 (B) Γ 1 (C B) Γ (C B) Γ (B + I) Γ 1 (C + I) Γ (C) yazılabilir. Diğer tarafta (3.17) taımı, Lemma 3. ve Lemma 3.5 de t B+( 1)I (1 t) C B I dt B (B + I, C B) B (C B,B + I) (3.47) Γ (C B) Γ (B + I) Γ 1 (C + I) (3.48) olup (3.47) ve (3.48) de (B) (C) 1 Γ 1 (B) Γ 1 (C B) yazılabilir. (3.49) eşitliği kullaılarak z < 1 içi t B+( 1)I (1 t) C B I dt Γ (C) (3.49) F (A, B; C; z) (A) (B) (C) 1 z! (A) Γ 1 (B) Γ 1 Z (C B) 1 t B+( 1)I (1 t) C B I dt Γ (C) z! (A) Γ 1 (B) Γ 1 (C B) t B+( 1)I (1 t) C B I Γ (C) z! dt yazılabilir. t 1 olmak üzere (3.5) S (t) (A) Γ 1 (B) Γ 1 (C B) t B+( 1)I (1 t) C B I Γ (C) z! ile taımlaa matris foksiyo dizisii dikkate alalım. < t < 1, içi ve matris orm özellikleride ks (t)k (A) Γ 1 (B) Γ 1 (C B) t B+( 1)I (1 t) C B I Γ (C) z! (kak) Γ 1 (B) Γ 1 (C B) kγ (C)k t B I (1 t) C B I z! (3.51) 45

eşitsizliği elde edilir. Lemma.11 de yararlaarak, <t<1 içi l t<t<1 ve l (1 t) < 1 t<1 olduğuu da dikkate alarak t B I Ã (1 t) C B I Xr 1 t α(b) 1 (1 t) α(c B) 1 [ kb Ik! r l t ] i i! i Ã Xr 1 [ kc B Ik! r l (1 t) ] j j! j Ã Xr 1 t α(b) 1 (1 t) α(c B) 1 [kb Ik! r ] i i! i Ã Xr 1 [kc B Ik! r ] j (3.5) j! eşitsizliği buluur. (3.51) ve (3.5) eşitsizlikleri dikkate alıarak ks (t)k j (kak) Γ 1 (B) Γ 1 (C B) kγ (C)k t B I (1 t) C B I z! Γ 1 (B) Γ 1 (C B) kγ (C)k t B I (1 t) C B I X z (kak)! Γ 1 (B) Γ 1 (C B) kγ (C)k t α(b) 1 (1 t) α(c B) 1 Ã r 1 X i [kb Ik r] i şeklide elde edilir. z < 1 içi i!!ã r 1 X j [kc B Ik! r] j X z (kak) j!! z (kak)! serisi yakısaktır. Ayrıca α (B) > ve α (C B) > olduğuda ϕ (t) Γ 1 (B) Γ 1 (C B) kγ (C)k t α(b) 1 (1 t) α(c B) 1 Ã r 1 X i [kb Ik!Ã r] i Xr 1 [kc B Ik! r ] j X z (kak) i! j!! j 46

foksiyou itegralleebilir olup ϕ (t) dt Γ 1 (B) Γ 1 (C B) kγ (C)k t α(b) 1 (1 t) α(c B) 1 dt Ã r 1 X i [kb Ik r] i i!!ã r 1 X j [kc B Ik! r ] j X z (kak) j!! Γ 1 (B) Γ 1 (C B) kγ (C)k B (α (B), α (C B)) Ã r 1 X i [kb Ik r] i i!!ã r 1 X j [kc B Ik! r ] j X z (kak) j!! dir. Yakısaklık teoremi gereğice (3.5) eşitliğideki toplam ile itegral yer değiştirebileceğide ve de (3.45) eşitliği de kullaılarak F (A, B; C; z) Ã X (A) Γ 1 (B) Γ 1 (C B) t B+( 1)I! (1 t) C B I Γ (C) z dt! Ã X! (A) (tz) t B I (1 t) C B I dt Γ 1 (B) Γ 1 (C B) Γ (C)! olarak elde edilir. (.6) eşitliği gözöüe alıdığıda (A) (tz)! (1 tz) A ; z < 1, <t<1 şeklide olup bu değer, bir öceki eşitlikte yerie yazılırsa F (A, B; C; z) (1 tz) A t B I (1 t) C B I dt Γ 1 (B) Γ 1 (C B) Γ (C) şeklide F (A, B; C; z) hipergeometrik matris foksiyouu itegral gösterimi bulumuş olur. Hipergeometrik matris diferesiyel deklemi: A, B, C C r r matrisleri içi, (3.3) koşulua ek olarak BC CB (3.53) 47

koşulu da sağlamak üzere z (1 z) W zaw + W (C z (B + I)) AW B O, z < 1 (3.54) şeklideki hipergeometrik matris diferesiyel deklemii dikkate alalım. F C r r belirleecek matrisler olmak üzere, bu deklemi W 1 (z) F z ; F I, z < 1 tipide serisel çözümüü araştıralım. Çözümü deklemi sağlama koşuluda W 1 (z) i serisel ifadesi ve W 1 (z) 1 F z 1, W 1 (z) türevleri (3.54) deklemide yerlerie yazılırsa ( 1) F z z (1 z) W1 (z) zaw1 (z)+w1 (z)(c z (B + I)) AW 1 (z) B z (1 z) ( 1) F z za F z 1 1 Ã! Ã X! X + F z 1 (C z (B + I)) A F z B 1 ( 1) F z 1 + F Cz 1 1 ( 1) F z F (B + I) z 1 ( +1)F +1 z 1 + AF z 1 AF Bz ( 1) F z ( +1)F +1 Cz AF z 1 F (B + I) z 1 AF Bz { ( +1)F +1 ( 1) F AF +( +1)F +1 C F (B + I) AF B} z +F z AF 1 z + F 1 C +F Cz F 1 (B + I) z AF B AF 1 Bz {( +1)F +1 (I + C) F (B + I) AF (B + I)} z +(F (C + I) AF 1 (B + I) F 1 (B + I)) z + F 1 C AF B O 48

olarak buluur. Burada z i kuvvetlerii katsayıları O matrisie eşitleirse, z : F 1 C AF B O F 1 AF BC 1 z 1 : F (C + I) (A + I) F 1 (B + I) O F (A + I) F 1 (B + I)(C + I) 1 z : ( +1)F +1 (C + I) (A + I) F (B + I) O F +1 (A + I) F (B + I)(C + I) 1, +1 eşitlikleri sağlamalıdır. Bu üç eşitlikte dikkat edilirse F +1 (A + I) F (B + I)(C + I) 1 +1, yazılabilir. F I olduğu dikkate alıarak, yerie sırasıyla, 1,,...,, 1,... koulursa F 1 ABC 1 1 F (A + I) F 1 (B + I)(C + I) 1 F 3 (A +I) F (B +I)(C +I) 1 3. F 1 (A +( ) I) F (B +( ) I)(C +( ) I) 1 1 F (A +( 1) I) F 1 (B +( 1) I)(C +( 1) I) 1. olarak elde edilirler. F 1, F de yerie yazılırsa F (A + I) AB (B + I) C 1 (C + I) 1 1. şeklidedir. Bu değer F 3 de yazıldığıda ve düzelediğide ise F 3 (A +I)(A + I) AB (B + I)(B +I) C 1 (C + I) 1 (C +I) 1 1..3 49