Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DĞHN MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ STTİK
MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ STTİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları 2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki outlu Kuvvet Sistemleri - Üç outlu Kuvvet Sistemleri 3. DENGE - Düzlemde Denge - Üç outta Denge 4. YPILR - Düzlem Kafes Sistemler - Çerçeveler ve Makinalar 5. SÜRTÜNME 6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER
STTİK 3 DENGE
STTİK 3.1 Düzlemde Denge
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 1 ir cisme etki eden bütün kuvvetlerin bileşkeleri sıfır ise o cisim dengededir. Vea, eğer bir cisim dengede ise o cisme etki eden bütün kuvvetlerin bileşkeleri sıfırdır. Yani kuvvetlerin toplamı ve kuvvet çiftlerinin momentlerinin toplamı sıfırdır. İç kuvvetler etki-tepki prensibine göre birbirine eşit şiddette, zıt önde ve anı tesir çizgisinde olduklarından dolaı birbirini sıfırlar. Dolaısı ile denge problemlerinde sadece dış kuvvetler göz önüne alınır. ilinmeen kuvvetleri bulmaa çalışırken bu denklemler kullanılır. u denklemler denge için gerekli ve eterli şartlardır. Serbest Cisim Diagramı R = ΣF = 0 M = ΣM = 0 Yukarıdaki denklemleri ugulamadan önce hangi cismin vea sistemin dengesinin inceleneceği net bir şekilde belirlenmelidir. Yapılacak ilk iş dengesi incelenecek cismi, haali olarak diğer cisimlerden aırıp çizmektir. u işleme serbest cisim diagramı çizmek denir. Mekanik problemlerinin çözümünde serbest cisim diagramı çizmek en önemli adımdır. Serbest cisim diagramı çizerken, incelenecek cisme etki eden bütün dış kuvvetler diagram üzerinde gösterilir. Kuvvetlerin tesir çizgilerinin geçtiği noktalar arasındaki uzaklıklar biliniorsa onlar da gösterilir. Dış kuvvetleri gösterirken bilinmeen kuvvetlerin önü, eğer tahmin edilemiorsa, kefi olarak seçilebilir. Yapılan hesaplamanın sonucunda seçilen önün doğru olup olmadığı ortaa çıkacaktır.
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 2 Eğer dengedeki bir cisme etki eden kuvvet sistemi iki boutlu ise o zaman düzlemde dengeden bahsederiz. Düzlemde denge problemlerini çözmek amacı ile serbest cisim diagramı çizerken fadalanmak üzere aşağıdaki tablo hazırlanmıştır. Temas cinsi ve kuvvet kanağı 1. Kablo, kaış, zincir vea ip gibi esnek elemanlar Haali aırma çizgisi T İncelenecek cisme etkisi ir ip, incelediğimiz cisme alnızca çekme kuvveti ugulaabilir. Çekme kuvveti T nin tesir çizgisi ip ile çakışıktır. 2. Sürtünmesiz üzeler Diğer cisim incelediğimiz cisme bir N kuvveti ugulaabilir. u kuvvet daima itme kuvvetidir ve temas noktasında üzee diktir. teğet normal N 3. Sürtünmeli üzeler F Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti ugulaabilir. u kuvvet daima itme kuvvetidir. R normal N teğet R 2 = F 2 + N 2 F : Teğetsel bileşen, sürtünme kuvveti N : Normal bileşen Sürtünme kuvveti daima kamaı önleici öndedir.
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 3 Temas cinsi ve kuvvet kanağı İncelenecek cisme etkisi 4. Tekerlekli mesnet Diğer cisim incelediğimiz cisme bir N kuvveti ugulaabilir. u kuvvet daima itme kuvvetidir ve tekerlekli mesnedin daandığı üzee diktir. N N Daanma üzei 5. Kaıcı mesnet vea N Diğer cisim incelediğimiz cisme bir N kuvveti ugulaabilir. u kuvvet kama doğrultusuna diktir. Kama doğrultusu N 6. Sabit mesnet R Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti ugulaabilir. u kuvvet herhangi bir önde olabilir. R R R 2 = R 2 + R 2 7. nkastre mesnet Kanaklı N M Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti ve bir M kuvvet çifti ugulaabilir. u R kuvveti ve M kuvvet çifti herhangi bir önde olabilir. nkastre = Gömülü R V R 2 = N 2 + V 2 N : Normal kuvvet V : Kesme kuvveti M : Eğilme momenti
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 4 Örnek serbest cisim diagramları İncelenecek sistem diğer sistemlerden haali olarak arılır. F ırma çizgisi: Kapalı bir eğridir. Nereden geçtiği ve nereleri kestiği net bir şekilde belirli olmalıdır. G E Kafes sistemin tamamının serbest cisim diagramı C D F G Sadece dış kuvvetler gösterilir. Yükleme düşe olduğu için mesnet tepkisinin ata bileşeninin doğmasına gerek kalmamıştır. Etki oksa tepki de olmaz. c a b D D Tekerlekli mesnedin uguladığı kuvvet daima daanma üzeine diktir. Kafes sistemin bir kısmının serbest cisim diagramı F G E F G GE C D b a α E C ilinmeen bir kuvvetin önü kefi olarak seçilir. Doğru ön hesaplamanın sonucunda bulunacaktır. Not: Kafes sistemlerin kendi ağırlıkları taşıdıkları üklere nazaran ihmal edilebilir.
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 5 Kirişin serbest cisim diagramı F 3 F 2 F 1 N M F 3 α F 2 F 1 W d R V a b c Çerçevenin tamamının serbest cisim diagramı P C c a G W b Not: Çerçevelerin kendi ağırlıkları taşıdıkları üklere nazaran ihmal edilebilir.
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 6 Serbest cisim diagramı çizerken bilinmeen kuvvetlerin önleri ile ilgili bazı detalar Elimize örnek olarak bir kafes sistem alalım. F G E F G GE C D α E C urada kuvvetleri gösterirken kullanılan, F, C, E, GE vb. semboller kuvvetlerin sadece şiddetini göstermektedir. Dolaısı ile daima pozitif olan değerlerdir. Kuvvetlerin sadece şiddetlerini gösteren semboller kullanılırsa, hesaplamanın sonucunda elde edilen negatif bir değer kuvvetin seçilen önde değil zıt önde olduğunu gösterir. İleride detalı olarak anlatılacak olan kafes sistemleri oluşturan parçalar alnızca iki kuvvet taşıan elemanlardır. u parçaların taşıdığı kuvvetlerin tesir çizgileri parça ile çakışıktır. ma hangi önde oldukları her zaman kesin olarak kestirilemeebilir. Yönü kestirilemeen kuvvetlerin önü kefi olarak seçilir. Yapılan hesaplamanın sonucunda negatif olarak bulunurlarsa o zaman o negatif işaret kuvvetin seçilen önde değil ters önde olduğunu gösterir. Not: Kafes sistemlerin kendi ağırlıkları taşıdıkları üklere nazaran ihmal edilebilir.
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 7 Serbest cisim diagramı çizerken bilinmeen kuvvetlerin önleri ile ilgili bazı detalar F sembolü, F kuvvetinin -bileşeninin hem önünü hem de şiddetini gösterir. Yön gösteren işaret F in içindedir. ΣF = F 1 + F 2 + + F n ir ip, incelediğimiz cisme ancak çekme kuvveti ugulaabilir. Çekme kuvveti T nin tesir çizgisi ip ile çakışıktır. T nin önü kesinlikle böledir. Eğer hesaplamanın sonucunda negatif bir değer bulunursa bu durum T nin önünün anlış seçildiğini göstermez. Hesaplamanın anlış olduğunu gösterir. u işaretler daima + dır olmaz. u kuvvetin önü kesinlikle bu şekildedir. Yani seçilen referans eksen takımına göre = dir. ilinmeen bir kuvvetin önü hakkında kesin bir fikrimiz varsa o kuvveti başka bir önde göstermemeliiz. Sürtünmeler ihmal edilebilir. T ΣF = 0 Yüzeler arasındaki sürtünme ihmal edildiği zaman diğer cisim incelediğimiz cisme ancak daanma üzeine dik olan bir itme kuvveti ugulaabilir. u kuvvetin önü kesinlikle bu şekildedir. Seçilen referans eksen takımına göre = dır. uradaki,, T ve W sembolleri kuvvetlerin sadece şiddetlerini gösteren sembollerdir. Daima pozitiftirler. W ğırlık kuvveti daima düşedir ve aşağı öndedir. + + T + W = 0 T = 0 W = 0 } + = 0 = = u işaret kuvvetinin önünün anlış seçildiğini göstermez. Kefi olarak seçilen -eksenine izdüşümünün negatif önde olduğunu gösterir. Şekilden de in negatif olması gerektiği anlaşılmaktadır.
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 8 Serbest cisim diagramını çizdikten sonra referans eksen takımı seçilerek denge denklemleri azılır. Eksenler, cismin şekline göre değil de kuvvetlere paralel seçilirse işlemler kolalaşır. Düzlemde denge denklemleri n R = Σ F i = F 1 + F 2 + + F n = ΣF = 0 i=1 n M = Σ M i = M 1 + M 2 + + M n = ΣM = 0 i=1 : Ötelenme ile ilgili denge şartı : Dönme ile ilgili denge şartı ΣF = 0 ΣM = 0 İncelenen cisme etki eden iki boutlu kuvvet sisteminin içinde bulunduğu düzlem - düzlemi ile çakıştırılırsa kuvvetlerin z-bileşeni olmaz. R = (F 1 i + F 1 j ) + (F 2 i + F 2 j ) + + (F n i + F n j ) = 0 R = (F 1 + F 2 + + F n ) i + (F 1 + F 2 + + F n ) j = 0 } } = ΣF = ΣF ΣF = 0 ΣF = 0 ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0 Kuvvet çiftlerinin momentlerinin de sadece z-bileşeni olur, ve -bileşenleri olmaz. M = (M 1z + M 2z + + M nz ) k = 0 } = ΣM z ΣM z = 0 Kuvvetlerin içinde bulunduğu düzlemdeki herhangi bir noktaa göre moment alındığı zaman o noktadan geçen ve z-eksenine paralel olan bir eksene göre moment alınmış olur. ΣM = ΣM z = ΣM z' z-ekseni kefi olarak seçilen bir eksen olduğuna göre z-eksenine paralel herhangi bir eksene göre ΣM = 0 olması da denge şartını sağlar.
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 9 F 1 F n F 1 F n M 1 F 3 M 1 F 3 M 1 F 2 F 2 O O O Kefi olarak seçilen bir noktaa göre alınan momentlerin toplamının sıfır olması, kuvvet çiftlerinin toplamının sıfır olduğu anlamına gelir. M 1 ir cisme etki eden kuvvetler ve -bileşenlerine arıldığı zaman birbirine paralel kuvvetler elde edilir. Eğer incelediğimiz cisim dengede ise -doğrultusundaki kuvvetlerin toplamları sıfırdır. ma toplamları sıfır olsa bile bileşkeleri bir kuvvet çifti olabilir. nı şe -doğrultusu için de geçerlidir. Cisim dengede olduğu için bu kuvvet çiftlerinin ve diğer kuvvet çiftlerinin toplamı da sıfırdır. O ir kuvvet çiftinin bütün noktalara göre momenti anı olduğu için ΣM = 0 denkleminin hangi noktaa göre azıldığı önemli değildir.
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 10 DÜZLEMDE DENGE KTEGORİLERİ Kuvvet Sistemi Serbest Cisim Diagramı ağımsız Denklemler 1. nı tesir çizgisi üzerinde F 1 F 2 F 3 O ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0 0 = 0 0 = 0 2. ir noktada kesişen F 1 F 2 F 4 F 3 O ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0 0 = 0 3. Paralel F 1 F 2 F 4 F 3 O ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0 0 = 0 4. Genel F 4 F 1 F 2 M 1 O ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0 F 3
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 11 lternatif denge denklemleri ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0 ΣF ' = 0 ΣF ' = 0 ΣM = 0 ΣF '' = 0 ΣF '' = 0 ΣM C = 0 Düzlemde denge problemlerini çözerken azılabilecek sonsuz tane denge denklemi vardır. u denklemlerin sadece 3 tanesi lineer bağımsızdır. Dolaısı ile bir cismin dengesini inceleerek en fazla 3 bilinmeen bulunabilir. Eğer denge kategorisi özel kategori ise bu saı daha da azalır. 3 ten fazla denklem azılacak olursa, fazla olan denklemler sağlama apmak için kullanılabilir. ilinmeen saısı 3 ten fazla ise, sadece bir cismin dengesini inceleerek bilinmeenlerin tamamını bulmak mümkün değildir. öle sistemlere hiperstatik sistem denir. ilinmeenlerin tamamını bulmak için eterli saıda cismin dengesi incelenerek çözüme gidilebilir. ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0 } ΣF = 0 ΣM = 0 } ΣM = 0 ΣM = 0 ΣM = 0 ΣM C = 0 u u } u üç denklem tipinde denklem azılmak istenirse ΣF = 0 denklemlerini azdığımız doğrultular birbirine paralel olmamalıdır. üç denklem tipinde denklem azılmak istenirse kefi olarak seçilen ve noktalarından geçen doğru, kefi olarak seçilen -doğrultusuna dik olmamalıdır. üç denklem tipinde denklem azılmak istenirse kefi olarak seçilen, ve C noktaları anı doğru üzerinde olmamalıdır. u denklemlerin sadece 3 tanesi lineer bağımsızdır.
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 12 ehcet ΣF = 0 DĞHN ΣF = 0 ΣM = 0 } u üç denklem tipinde denklem azılmak istenirse ΣF = 0 denklemlerini azdığımız doğrultular birbirine paralel olmamalıdır. ileşkenin, herhangi bir doğrultua dik izdüşümü sıfır ise bu durum bileşkenin sıfır olduğunu göstermez. ileşke o doğrultua dik olabilir. İzdüşümü sıfır olduğu halde kendisi sıfır olmaabilir R 0 ileşkenin, herhangi bir doğrultua paralel olmaan başka bir doğrultua da dik izdüşümü sıfır ise o zaman bu durum bileşkenin sıfır olduğunu gösterir. R = 0 Herhangi bir doğrultu Herhangi bir doğrultu aşka bir doğrultu Herhangi bir doğrultuu -ekseni ile, başka bir doğrultuu da -ekseni ile çakıştırabiliriz. ΣF R 0 = 0 ΣF = 0 ΣF = 0 } R = 0 Herhangi bir doğrultu
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 13 ΣF = 0 ΣM = 0 } ΣM = 0 ΣF = 0 u üç denklem tipinde denklem azılmak istenirse kefi olarak seçilen ve noktalarından geçen doğru, kefi olarak seçilen -doğrultusuna dik olmamalıdır. Herhangi bir doğrultu R 0 ΣF = 0 R 0 ΣF = 0 ΣM = 0 } } ΣM = 0 ΣM = 0 Herhangi bir nokta R = 0 Herhangi bir nokta ΣM = 0 ΣM = 0 ΣM C = 0 } u üç denklem tipinde denklem azılmak istenirse kefi olarak seçilen, ve C noktaları anı doğru üzerinde olmamalıdır. ΣM = 0 R 0 Herhangi bir nokta ΣM = 0 ΣM = 0 ΣM = 0 R 0 ΣM = 0 } } ΣM C = 0 Herhangi bir nokta Herhangi bir nokta C R = 0
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 14 Yalnızca 2 kuvvet tesirindeki bir cisim F 2 R = F 1 + F 2 = 0 F 1 = F 2 F 1 = F 2 F 2 F 1 = F 2 Yukarıdaki durumda R = 0 şartı sağlanır. Fakat bu iki kuvvet, kuvvet çifti oluşturmaktadır. u cismin dengede olabilmesi için kuvvet çifti oluşturmamalıdır. Dengedeki bir cisme alnızca 2 kuvvet etki ediorsa kuvvetlerin tesir çizgisi ortaktır. Kuvvetlerin ortak tesir çizgisi ugulama noktalarını birleştiren doğrudur. Kuvvetlerin saısı 2 den fazla olsa bile 2 e indirgendiği zaman da anı özellik vardır. Yalnızca 3 kuvvet tesirindeki bir cisim F 2 ile F 3 ün tesir çizgilerinin kesiştiği noktaa dielim. F 1 in tesir çizgisi de dan geçer. F 1 F 2 F 1 F 1 F 2 F 1 F 2 F 3 F 3 R 1 R 1 F 3 R = F 1 + F 2 + F 3 = 0 F 1 = (F 2 + F 3 ) = R 1 Dengedeki bir cisme alnızca 3 kuvvet etki ediorsa kuvvetlerin tesir çizgileri anı noktada kesişir. Kuvvetlerden ikisinin tesir çizgisi nerede kesişiorsa 3. kuvvetin tesir çizgisi de oradan geçer. Kuvvetlerin saısı 3 ten fazla olsa bile 3 e indirgendiği zaman da anı özellik vardır.
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 15 Yalnızca 2 kuvvet tesirindeki cisimler D H C F Yalnızca 3 kuvvet tesirindeki cisimler E Not: Taşıdığı üke kıasla kendi ağırlığı ihmal edilmiştir. D F
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 16 ehcet Örnek Problem DĞHN 3/1 Üç tane kablo şekildeki gibi C halkası ile birbirine bağlanmıştır. 30 kg-lık silindirin ağırlığından dolaı C ve C kablolarında ortaa çıkan çekme kuvvetlerini bulunuz. Verilenler: Çözüm m = 30 kg g = 9.81 m/s 2 T 45 o C 15 o T D W = m g T D = W : ğırlığın asılı olduğu kablo olduğu için T 30 o Makaraların sürtünmeleri ihmal edilirse bir kablonun her erinde anı şiddette çekme kuvveti oluşur. İstenenler: T =? T =? ΣF = 0 ΣF = 0 Haali olarak kesildiği zaman incelenen bir kablo parçasına daima kablo doğrultusunda olan bir çekme kuvveti erleştirilir. T + T + T D = 0 T sin45 o T sin30 o + T D cos15 o = 0 T + T + T D = 0 T cos45 o T cos30 o + T D sin15 o = 0 } T = 215 N T = 264 N Dengedeki bir cisme etki eden kuvvetlerin toplamı sıfır olduğu için kuvvet vektörleri uç uca eklenirse kapalı bir çokgen oluşur. } T 45 o 75 o T D T 60 o T T D T = = sin45 o sin75 o sin60 o
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 17 ehcet Örnek Problem DĞHN 3/2 Şekildeki gibi üklenmiş ve mesnetlenmiş olan dirsek dengededir. ve mesnetlerinde ortaa çıkan tepki kuvvetlerinin şiddetlerini hesaplaınız. Verilenler: F = 120 N M = 20 N m Kütle verilmediğine göre ağırlık ihmal edilecektir. ilinmeen kuvvetlerin önü tahminen çizilir. Hesaplamanın sonunda önleri ortaa çıkacaktır. Çözüm F = 120 N M Sabit mesnette ortaa çıkan tepki kuvvetinin önü ve şiddeti herhangi bir şekilde olabilir. Yani iki dik bileşeni olabilir. X ΣM = 0 ΣF = 0 ΣF = 0 M + F (50) (125) = 0 + + F = 0 + + F = 0 İstenenler: =? =? Y X = Y = Tekerlekli mesnette doğan tepki kuvveti daima daanma üzeine diktir ve itme kuvvetidir. 20 (10 3 ) + 120 (50) (125) = 0 X F = 0 Y = 0 X = F Y = = 208 N X = 120 N Y = 208 N 2 = X 2 2 + Y = 120 N = 240 N = 208 N
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 18 ehcet Örnek Problem DĞHN 3/3 Düzgün bir şekle ve 150 kg kütlee sahip olan 15 m-lik direk iki düşe duvar ve bir düşe kablo tarafından şekildeki gibi dengede tutulmaktadır. ve noktalarındaki tepkileri hesaplaınız. Direk ile duvarlar arasındaki sürtünme ihmal edilebilir. Verilenler: Çözüm m = 150 kg g = 9.81 m/s 2 L = 15 m C 2 m 9 m T 4 5 3 İncelediğimiz cisim diğer bir cisme daanıor ve aralarındaki sürtünme ihmal edilebiliorsa diğer cisim incelediğimiz cisme ancak itme kuvveti ugulaabilir ve bu kuvvet temas noktasında daanma üzeine diktir. W ΣM C = 0 ΣF = 0 W = mg (9) W (2) = 0 = (2/9) mg + + T + W = 0 = 0 İstenenler: =? =? = 327 N = = 327 N
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 19 ehcet Örnek Problem DĞHN 3/4 Düzgün bir şekle sahip şekildeki kirişin birim bounun kütlesi 50 kg dır. O mesnedindeki tepkileri hesaplaınız. Kirişe ugulanan şekildeki ükler düşe düzlemde er almaktadır. Verilenler: m/l = 50 kg/m g = 9.81 m/s 2 Çözüm İncelediğimiz cisim diğer bir cisme ankastre mesnet ile bağlanmış ise diğer cisim incelediğimiz cisme herhangi bir önde bir kuvvet ve bir kuvvet çifti ugulaabilir. Herhangi bir öndeki kuvvet iki dik bileşene arılabilir. 1.2 m N M O W W W = mg ΣM O = 0 W = (1.8 + 0.6) 50 (9.81) = 1177 N = 1.18 kn W = (0.6 + 0.6) 50 (9.81) = 589 N = 0.59 kn M W (1.2) 3 (1.8) + 4 W (1.8 + 0.6 + 0.6 cos30 o ) 1.4 (0.6 + 0.6) 1.4 cos30 o (1.8 + 0.6) = 0 V M W (1.2) 3 (1.8) + 4 W (2.92) 1.4 (1.2) 1.4 cos30 o (2.4) = 0 ΣF = 0 ΣF = 0 1.4 kn M = 9.12 kn m N + 1.4 sin30 o = 0 V W 3 W 1.4 cos30 o = 0 1.4 kn İstenenler: V =? N =? M =? N = 0.7 kn Yön belirtir. Seçilen önde değil, ters öndedir. V = 5.98 kn 1.4 (1.2) kn m D C noktasındaki 1.4 kn luk kuvvetin O noktasına göre momenti alınırken kuvvet önce D noktasına taşınmıştır.
Statik Denge 3.1. Düzlemde Denge 20 ehcet Örnek Problem DĞHN 3/5 Şekildeki eğri kollu anahtar, millerin döndürülmesi için kullanılmaktadır. 200 mm-lik bir çapa sahip olan mili döndürebilmek için, P kuvvetinin milin merkezi O a göre momentinin 80 N m olması gerektiğine göre, noktasındaki temas kuvveti R i bulunuz. nahtar ile üze arasındaki sürtünmei ve noktasındaki pimin boutlarını ihmal ediniz. Verilenler: Çözüm D = 200 mm M P O = 80 N m d = 375 mm μ = 0 30 o 100 mm O R P M O P 375 mm İstenenler: R =? M O P = P (375) = 80 (10 3 ) P = 213 N ΣM = 0 R (100 cos30 o ) P (375 + 100 sin30 o ) = 0 R (86.6) P (425) = 0 R = 1047 N