ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KESİRLİ İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN GENELLEŞTİRİLMİŞ MORREY UZAYLARINDA SINIRLILIĞI Abdulhami KÜÇÜKASLAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 205 He hakkı saklıdı
ET IK Ankaa Ünivesiesi Fen Bilimlei Ensiüsü ez yaz m kualla na uygun olaak haz lad ¼g m bu ez içindeki büün bilgilein do¼gu ve am oldu¼gunu, bilgilein üeilmesi aşamas nda bilimsel ei¼ge uygun davand ¼g m, yaaland ¼g m büün kaynakla a f yaaak belii¼gimi beyan edeim. 8/05/205 Abdulhami KÜÇÜKASLAN i
ÖZET Dokoa Tezi GENELLEŞT IR ILM IŞ KES IRL I INTEGRAL OPERATÖRLER IN IN GENELLEŞT IR ILM IŞ MORREY UZAYLARINDA SINIRLILI ¼GI Abdulhami KÜÇÜKASLAN Ankaa Ünivesiesi Fen Bilimlei Ensiüsü Maemaik Anabilim Dal Dan şman: Pof. D. Ayhan ŞERBETÇ I Bu ez beş bölümden oluşmakad. Biinci bölüm giiş k sm na ay lm ş. Ikinci bölümde, emel an m ve eoemle veilmişi. Ay ca, M ; Moey uzayla ve M ;' genelleşiilmiş Moey uzayla an laak emel özellikle ye alm ş. Bununla bilike, Riesz oansiyelinin ve genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin genelleşiilmiş Moey uzayla nda s n l l ¼g ile ilgili çal şmala incelenmişi. Üçüncü bölümde, fonksiyonu üzeine uygun koşulla konulaak I genelleşiilmiş kesili inegal oeaöünün Moey uzayla nda Sanne-Guliyev ii ve Adams- Guliyev ii s n l l ¼g isalanm ş. Dödüncü bölümde, ve ' fonksiyonla üzeine uygun koşulla konulaak I genelleşiilmiş kesili inegal oeaöünün genelleşiilmiş Moey uzayla nda Sanne-Guliyev ii ve Adams-Guliyev ii s n l l ¼g isalanm ş. Beşinci bölümde a şma ve sonuç ye almakad. May s 205, 64 sayfa Anaha Kelimele: Moey uzayla, genelleşiilmiş Moey uzayla, genelleşiilmiş kesili inegal oeaöle ii
ABSTRACT Ph. D. Thesis THE BOUNDEDNESS OF GENERALIZED FRACTIONAL INTEGRAL OPERATORS ON GENERALIZED MORREY SPACES Abdulhami KÜÇÜKASLAN Ankaa Univesiy Gaduae School of Naual and Alied Sciences Deamen of Mahemaics Sueviso: Pof. D. Ayhan ŞERBETÇ I This hesis consiss of ve chaes. The s chae is devoed o he inoducion. In he second chae, basic de niions and heoems ae given. Fuhe, M ; Moey saces and M ;' genealized Moey saces ae inoduced and hei fundamenal oeies ae given. Addiionally, he sudy on he boundedness of Riesz oenial and genealized facional inegal oeaos on genealized Moey saces ae invesigaed. In he hid chae, uing aoiae condiions on he funcion he Sanne-Guliyev ye and Adams-Guliyev ye boundedness of he genealized facional inegal oeao I on Moey saces ae oved. In he fouh chae, uing aoiae condiions on he funcions and ' he Sanne-Guliyev ye and Adams-Guliyev ye boundedness of he genealized facional inegal oeao on genealized Moey saces ae oved. The fh chae is devoed o he discussion and conclusion. May 205, 64 ages Key Wods: Moey saces, genealized Moey saces, genealized facional inegal oeaos iii
TEŞEKKÜR Bu çal şman n he aşamas nda beni bilgi, ki ve öneileiyle yönlendii bana he konuda yad mla n esigemeyeek desek olan hocam, Say n Pof. D. Ayhan ŞERBETÇ I ye (Ankaa Ünivesiesi Maemaik Anabilim Dal ), engin göüşleiyle bana ufuk veen Say n Pof. D. Vagif GUL IYEV e (Baku Sae Univesiy, Azebaijan; Ahi Evan Ünivesiesi Maemaik Anabilim Dal, K şehi), çal şmala m süesince desek ve anlay ş yla he an yan mda olan sevgili eşime en içen sayg ve eşekküleimi suna m. Abdulhami KÜÇÜKASLAN Ankaa, May s 205 iv
IÇ INDEK ILER ET IK............................................................. i ÖZET............................................................ ii ABSTRACT...................................................... iii TEŞEKKÜR...................................................... iv S IMGELER D IZ IN I............................................... vi. G IR IŞ.......................................................... 2. KURAMSAL TEMELLER...................................... 5 2.. Temel Kavamla............................................. 5 2.2 M ; Moey Uzayla.......................................... 5 2.3 M ;' Genelleşiilmiş Moey Uzayla.......................... 9 2.4 M ;' Uzayla nda I Riesz Poansiyel Oeaöünün S n l l ¼g.. 2 2.4. Sanne ii s n l l k.......................................... 2 2.4.2 Adams ii s n l l k.......................................... 26 2.5 M ;' Uzayla nda I Oeaöünün S n l l ¼g ile Ilgili Çal şmala 29 3. I OPERATÖRÜNÜN M ; UZAYLARINDA SINIRLILI ¼GININ GUL IYEV METODU ILE ARAŞTIRILMASI................... 36 3. Sanne-Guliyev Tii S n l l k.................................. 37 3.2 Adams-Guliyev Tii S n l l k.................................. 42 4. M ;' UZAYLARINDA I OPERATÖRÜNÜN SINIRLILI ¼GININ GUL IYEV METODU ILE ARAŞTIRILMASI.................. 47 4. Sanne-Guliyev Tii S n l l k................................. 48 4.2 Adams-Guliyev Tii S n l l k.................................. 54 5. TARTIŞMA ve SONUÇ........................................ 58 KAYNAKLAR.................................................... 6 ÖZGEÇM IŞ....................................................... 64 v
S IMGELER D IZ IN I R n B (x; ) jb (x; )j I f I M f M H w L L loc M ; M ;' WM ;' M(0; ) A,! B n boyulu Öklid uzay x mekezli ya çal yuva B (x; ) yuva n n Lebesgue ölçüsü Riesz oansiyeli Riesz oansiyel oeaöü Maksimal fonksiyon Maksimal oeaö A¼g l kl Hady oeaöü Lebesgue uzay : kuvveen lokal inegallenebili fonksiyonla uzay Moey uzay Genelleşiilmiş Moey uzay Genelleşiilmiş zay f Moey uzay (0; ) da an ml Lebesgue-ölçülebili fonksiyonla n kümesi A; B ye gömülüdü vi
. GİRİŞ Hamonik analizin klasik oeaöleinden maksimal oeaö, Riesz oansiyeli ve singüle inegal oeaöleinin Lebesgue ve Moey uzaylaındaki sınılılığıile ilgili bugüne kada biçok çalışma yaılmışı. Bu çalışmalaın kısmi üevli difeensiyel denklemle eoisinde biçok uygulamalaı vadı. f L loc (R n ) olmak üzee f M,λ = f M,λ (R n ) = su x R n >0 0 λ n, < ve λ f L(B(x,)) olacak biçimdeki üm fonksiyonlaın sınıfına Moey uzayıdeni ve bu fonksiyonlaın sınıfım,λ (R n ) ile göseili. Moey uzaylaı, 938 yılında Moey aafından ikinci deeceden eliik kısmi üevli difeensiyel denklemlein lokal davanışlaınıaaşımak ve lokal düzgünlüğün Lebesgue uzaylaından daha kesin olduğunu açıklamak amacıyla anımlanmışı. Moey uzaylaının Navie-Sokes denklemlei, Schödinge denklemlei ve oansiyel eoisinde de geniş uygulamalaıvadı. x R n ve > 0 olmak üzee B (x, ), x mekezli yaıçalı yuva olsun. f L loc (R n ) olmak üzee M α kesili maksimal oeaö ve I α Riesz oansiyeli sıasıyla M α f(x) = su B(x, ) + α n >0 f(y) dy, 0 α < n, I α f(x) = R n B(x,) f(y)dy x y n α, 0 < α < n olaak anımlanı. α = 0 alınısa M M 0 Hady-Lilewood maksimal oeaöü elde edili. Buada B(x, ), B(x, ) yuvaının Lebesgue ölçüsüdü. ρ : (0, ) (0, ) oziif ölçülebili bi fonksiyon olmak üzee R n de uygun f fonksiyonlaıiçin I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöü (genelleşiilmiş Riesz oansiyeli) ρ( x y ) I ρ f(x) = R x y f(y)dy n n olaak anımlanı. ρ() = α alınısa I α = I α Riesz oansiyel oeaöü elde edili. I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöü ilk olaak Guliyev (999, 200)
ve Nakai (200) aafından çalışılmışı. Son zamanlada özellikle Moey uzaylaında biçok maemaikçi aafından I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöü ile ilgili çalışmala yaılmakadı. Nakai, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöünün M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından M,ψ ye sınılılığınıuygun ϕ ve ψ fonksiyonlaıalaak isalamışı. I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöünün M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından M,ψ ye sınılılığı ile ilgili Nakai (2002), Eidani (2002), Gunawan (2003), Eidani, Gunawan ve Nakai (2004), Gunawan ve Eidani (2009), Sawano (200), Eidani, Gunawan, Nakai ve Sawano (204) gibi biçok maemaikçi aafından çalışmala yaılmışı. Yukaıda bahsedilen çalışmalada ϕ ve ϕ 2 fonksiyonlaıüzeine çeşili monoonluk koşullaıkonulaak isala yaılmışı. Guliyev (2009) ϕ ve ϕ 2 fonksiyonlaının monoonluğu ile ilgili koşullaıkullanmadan lokal Guliyev eşisizliği I α f L(B(x,)) n n f L(B(x,)) d ve nokasal Guliyev eşisizliği I α f(x) α Mf (x) + α n f L(B(x,)) d adını vediğimiz eşisizliklei kullanaak I α Riesz oansiyel oeaöünün M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından M,ϕ2 genelleşiilmiş Moey uzayına Sanne ve Adams ii sınılılıklaınıisalamışı. Bu çalışmanın amacı, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöünün M,λ Moey uzaylaında ve M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzaylaında Sanne ve Adams ii sınılılığınıguliyev meodu ile isalamakı. Bu amaçla, Sanne-Guliyev ii sınılılık için lokal Guliyev eşisizliği I ρ f L(B(x,)) f L (B(x,2)) + n 2 2 n ρ() f L(B(x,)) d
ve Adams-Guliyev ii sınılılık için nokasal Guliyev eşisizliği I ρ f(x) ρ()mf(x) + n ρ() f d L(B(x,)) genelleşiileek isalanmışı. ojinal sonuçla isalanmışı: Elde edilen bu eşisizlikle kullanılaak aşağıdaki i) (Sanne-Guliyev) < < <, olsun. Bu duumda I ρ oeaöü, > için M,λ Moey uzayından M,µ Moey uzayına ve = için M,λ Moey uzayından WM,µ zayıf Moey uzayına sınılıdı. ii) (Adams-Guliyev) < < olsun. Bu duumda I ρ oeaöü, > için M,λ Moey uzayından M,λ Moey uzayına ve = için M,λ Moey uzayından WM,λ zayıf Moey uzayına sınılıdı. iii) (Sanne-Guliyev) < olsun. Bu duumda I ρ oeaöü, > için M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından M,ϕ2 genelleşiilmiş Moey uzayına ve = için M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından WM,ϕ2 genelleşiilmiş zayıf Moey uzayına sınılıdı. iv) (Adams-Guliyev) <, > olsun. Bu duumda I ρ oeaöü, > için M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayına ve = için M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından WM,ϕ Moey uzayına sınılıdı. genelleşiilmiş zayıf Tezde elde edilen bu sonuçla, bu güne kada I α ve I ρ oeaölei için elde edilmiş olan sonuçlaıbie özel hal olaak kasamakadı. Dolayısıyla, bu ezde elde edilen sonuçla önceki üm sonuçlaın bi genelleşiilmesidi. Bu ez beş bölümden oluşmakadı. Biinci bölüm giiş kısmına ayılmışı. İkinci bölümün ilk kısmında, konu ile ilgili emel anım ve eoemle veilmişi. İkinci ve üçüncü kısmında Moey uzaylaıve genelleşiilmiş Moey uzaylaıanıılaak emel özelliklei incelenmişi. Daha sona, Riesz oansiyelinin ve genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin genelleşiilmiş Moey uzaylaında sınılılĭgıile ilgili çalışmalaa ye veilmişi. 3
Üçüncü ve dödüncü bölümle ezin ojinal kısımlaıdı. Üçüncü bölümde, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,λ Moey uzaylaında Sanne ve Adams ii sınılılığıρ üzeine uygun koşulla konulaak Guliyev meodu ile isalanmışı. Dödüncü bölümde, ρ ve ϕ fonksiyonlaıüzeine uygun koşulla konulaak I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzaylaında Sanne ve Adams ii sınılılığıguliyev meodu ile isalanmışı. Beşinci bölümde, aışma ve sonuç ye almakadı. Çalışmamızda, C > 0 bi sabi olmak üzee A CB sağlanıyosa A B göseimi kullanılacakı. Ayıca A B ve B A sağlanıyosa A B ile göseileceki. 4
2. KURAMSAL TEMELLER 2. Temel Kavamla Tanım 2.. (Toolojik Vekö Uzayı) X bi oolojik Hausdoff uzayıolsun. X X ve C X oolojik çaım uzaylaından X uzayına olan (x, y) x + y ve (c, x) cx dönüşümlei süekli ise bu duumda X uzayına bi oolojik vekö uzayıdı deni. Buada C, Öklidyen meiği aafından belilenmiş olan alışılmış oolojiye sahii (Adams ve Founie 2003). Tanım 2..2 (Fonksiyonel) Bi X vekö uzayıüzeinde anımlanan skale değeli bi fonksiyona fonksiyonel adıveili. Eğe x, y X ve a, b C olmak üzee f (ax + by) = af (x) + bf (y) ise f lineedi deni. X bi oolojik vekö uzayı olsun. Eğe bi fonksiyonel X uzayından C ye süekli ise X üzeinde süeklidi deni (Gafakos 2008). Tanım 2..3 (Dual Uzay) Bi X oolojik vekö uzayıüzeindeki büün süekli, linee fonksiyonellein kümesi X in duali olaak adlandıılı ve X ile göseili. Nokasal olama ve skalele çama alında X bi vekö uzayıdı: f, g X, x X, c C olmak üzee (f + g) (x) = f (x) + g (x), (cf) (x) = cf (x) anımlanı (Gafakos 2008). X için uygun bi ooloji belilenise bu duumda X bi oolojik vekö uzayı yaılabili. Tanım 2..4 (Nomlu Uzay) X bi K cismi üzeinde bi vekö uzayıolsun. Eğe. : X R 5 x x
dönüşümü x, y X ve a K için (N) x 0 ve x = 0 x = θ, (N2) ax = a x, (N3) x + y x + y özellikleini sağlıyosa bu dönüşüme X üzeinde nom adıveili. (X,. ) ikilisine bi nomlu vekö uzayıdeni. (X,. ) nomlu uzayıkısaca X ile göseili. Tanım 2..5 (N3) eşisizliğinde x + y C ( x + y ), C > 0 olması duumunda bu dönüşüme uasi-nom adıveili. Tanım 2..6 (Banach Uzayı) Eğe X nomlu uzayındaki he Cauchy dizisi X e bi limie yakınsıyosa X uzayına bi Banach uzayıdı deni (Gafakos 2008). Tanım 2..7 (Pseudo-meik) ρ : X X [0, ) bi fonksiyon olsun. ρ fonksiyonu (i) ρ (x, y) = 0 x = y, (ii) ρ (x, y) = ρ (y, x), (iii) C > 0 öyle ki ρ (x, z) C (ρ (x, y) + ρ (y, z)) özellikleini sağlıyosa ρ ya seudo-meik deni. Tanım 2..8 (Oeaö) Fonksiyonla kümesini fonksiyonla kümesine dönüşüen bi dönüşüme oeaö deni. Tanım 2..9 Bi T oeaöü aşağıdaki özelliklei geçeklese T ye lineedi deni: (i) T nin D (T ) anım bölgesi bi vekö uzayıolu R (T ) değe bölgesi, aynıcisim üzeinde bi vekö uzayıdı. (ii) He x, y D (T ) ve α skalei için, T (x + y) = T x + T y T (αx) = αt x geçekleni. Tanım 2..0 X, Y nomlu uzayla ve D (T ) X olmak üzee, T : D (T ) Y linee oeaö olsun. Eğe he x D (T ) için, T x A x olacak şekilde bi A > 0 eel sayısıvasa, T oeaöüne sınılıdı deni. 6
Bi T oeaöünün nomu T = T x su x x D(T ) x 0 ile anımlanı (Keyszig 989). Tanım 2.. X, Y nomlu uzayla, D (T ) X olmak üzee, T : D (T ) Y bi oeaö ve x 0 D (T ) olsun. Eğe veilen he ε > 0 sayısına kaşılık, x x 0 < δ koşulunu geçekleyen he x D (T ) için, T x T x 0 < ε olacak şekilde bi δ > 0 sayısıvasa T ye x 0 da süeklidi deni. Teoem 2..2 X ve Y nomlu uzayla ve D (T ) X olmak üzee, T : D (T ) Y linee oeaö olsun. Bu duumda T nin süekli olmasıiçin geek ve yee koşul T nin sınılıolmasıdı (Keyszig 989). Tanım 2..3 (Cebi) X bi küme olsun. Eğe X in al kümeleinin bi Σ sınıfı için aşağıdaki özellikle sağlanıyosa bu duumda Σ sınıfına X üzeinde bi cebidi deni: (i) X Σ, (ii) He E Σ için E c = X\E Σ, (iii) k =, 2,..., n için E k Σ ise n E k Σ. k= Eğe (iii) şaıyeine He n N için E n Σ E n Σ şaıkonulusa Σ n= cebiine bi σ cebi adıveili. Tanım 2..4 (R n Öklid uzayı) x = (x,..., x n ) ve y = (y,..., y n ), R n de veköle olmak üzee R n, n boyulu Öklidyen uzayı (x, y) = ile donaılmış R n, n boyulu eel uzayıdı. ( ) 2 n x = ile anımlanı. x 2 j j= n j= x j y j iç çaımı Buada x veköünün mulak değei Tanım 2..5 (Ölçülebili uzay) X bi küme ve Σ, X üzeinde bi σ cebii olsun. Bu duumda (X, Σ) ikilisine bi ölçülebili uzay, Σ daki he bi kümeye de Σ-ölçülebili küme veya kısaca ölçülebili küme adıveili. Tanım 2..6 (Ölçü) (X, Σ) bi ölçülebili uzay olsun. genişleil-miş eel değeli bi µ fonksiyonu (i) µ ( ) = 0, (ii) He A Σ için µ (A) 0, 7 Σ üzeinde anımlı
( ) (iii) He ayık (A n ) dizisi için µ A n = µ (A n ) n= n= özellikleini sağlıyosa bu fonksiyona ölçü deni. Eğe he A Σ için µ (A) < ise µ ye sonlu ölçü adıveili. Tanım 2..7 (Dış ölçü) X bi küme ve P (X) de X in kuvve kümesi olsun. P (X) üzeinde anımlı, genişleilmiş eel değeli bi µ fonksiyonu (i) µ ( ) = 0, (ii) He A P (X) için µ (A) 0, (iii) A B X için µ (A) µ (B), (iv) He bi n N için A n P (X) ise µ ( n= ) A n µ (A n ) şalaınısağlasa µ fonksiyonuna X üzeinde bi dış ölçüdü deni. Tanım 2..8 (I k ), R nin sınılıve açık al aalıklaının bi dizisi ve olsun. P (R) üzeinde olaak anımlanan m bi dış ölçüdü. τ A = {(I k ) : A } I k n= { } m (A) = inf l (I k ) : (I k ) τ A k= Bu dış ölçüye Lebesgue dış ölçüsü deni. Lebesgue dış ölçüsü R nin he bi al aalĭgına onun uzunluğunu kaşılık geii. n boyulu R n uzayında Lebesgue dış ölçüsünü anımlamak için I = {x : a i x i b i, i =,..., n} n boyulu kaalıaalıklaınıgöz önüne alalım. Bu aalıklaın hacimlei v (I) = n (b i a i ) biçimindedi. Keyfi bi E R n kümesinin Lebesgue dış ölçüsü { } m (E) = inf v (I k ) : E I k, I k bi aalık k= ile anımlanı. A R n için eğe i= k= m (A) = m (A E) + m (A (R n E)) 8
ise E kümesine Lebesgue ölçülebilidi deni. Tanım 2..9 M (R, m ), m dış ölçüsüne göe ölçülebilen R nin al kümeleinin sınıfıolsun. m Lebesgue dış ölçüsünün M (R, m ) sınıfına da B (R) Boel sınıfına olan kısılanmasına Lebesgue ölçüsü deni, m ile göseili. Tanım 2..20 (Ölçülebili fonksiyon) (X, Σ) bi ölçülebili uzay ve f : X R bi fonksiyon olsun. Eğe α R için f (]α, + [) = {x X : f (x) > α} Σ oluyosa f ye ölçülebili fonksiyon deni. X üzeindeki ölçülebili fonksiyonlaın ailesi M (X, Σ) ile göseili. Ayıca (X, Σ) bi ölçülebili uzay olmak üzee X deki negaif olmayan ölçülebili fonksiyonlaın kümesi M + (X, Σ) ile göseili. Tanım 2..2 (X, Σ, µ) bi ölçü uzayıolsun. Eğe bi öneme ölçüsü sıfı olan bi küme dışında doğu ise, o öneme hemen he yede doğudu deni. Tanım 2..22 (Desek) f (x) 0 şaınısağlayan x nokalaının kümesinin kaanışına f fonksiyonunun deseği deni ve ile göseili. suf = {x : f(x) 0} Tanım 2..23 (Düzgün Fonksiyon) Bi bölge üzeinde he meebeden süekli üevlee sahi olan bi f fonksiyonuna düzgün fonksiyon deni. Tanım 2..24 (Kaakeisik Fonksiyon) A R n olsun., x A χ A = 0, x / A ile anımlanan χ A fonksiyona A nın kaakeisik fonksiyonu deni (Gafakos 2008). Tanım 2..25 (L Uzayı) (X, Σ, µ) bi ölçü uzayıolsun. 0 < < olmak üzee L = f M (X, Σ) : f dµ < 9 X
kümesine -inci kuvveen mulak inegallenebilen fonksiyonla sınıfına L uzayı deni. L uzayında bi f fonksiyonunun nomu ( f = X ile anımlanı (Gafakos 2008). ) f dµ, < ess su f (x), = x X Tanım 2..26 üzeinde f ölçülebili bi fonksiyon olmak üzee he komak K kümesi f dµ < ise f fonksiyonuna lokal inegallenebilidi deni (Gafakos 2008). K Lemma 2..27 (Hölde eşisizliği) > ve + = olmak üzee f L, g L olsun. Bu duumda fg L ve fg f g sağlanı. Bu eşisizliğe Hölde eşisizliği deni (Sadosky 979). Lemma 2..28 (Minkowski eşisizliği) için eğe f, g L ise (f + g) L ve f + g f + g di. Bu eşisizliğe Minkowski eşisizliği deni (Sadosky 979). Lemma 2..29 (Genelleşiilmiş Minkowski Eşisizliği) <, (X, µ) ve (Y, ν) ölçülebili uzayla olsun. f, (X, µ) (Y, ν) çaım uzayıüzeinde ölçülebili bi fonksiyon olmak üzee f(x, y) dµ(x) dν(y) f(x, y) dν(y) dµ(x) Y X X Y eşisizliği sağlanı (Gafakos 2008). 0
Teoem 2..30 (Fubini) η 0, υ 0 olmak üzee (X, η) ve (Y, υ) ölçü uzaylaı ve η υ, X Y üzeinde anımlıçaım ölçüsü olsun. Bu duumda F (x, y), η υ- inegallenebili ise F (x, y)dη υ = F (x, y)dη dυ X Y = X Y F (x, y)dυ dη Y X eşiliği sağlanı. Buada X = Y = R ise η = υ Lebesgue ölçüsüdü. Bu duumda R 2 de η υ = dx dx 2 di (Sadosky 979). Tanım 2..3 (Konvolüsyon) f ile g ölçülebili fonksiyonla olsun. R n de f ile g nin konvolüsyonu (f g)(x) = f(y)g(x y)dy R n biçiminde anımlıdı (Nei 97). Teoem 2..32 (Young) Eğe f, g L ise bu duumda h = f g hemen he yede vadı ve L e aii. Ayıca h f g sağlanı (Nei 97). Teoem 2..33 (Young) olsun. Eğe f L ve g L ise bu duumda h = f g hemen he yede vadı ve L uzayına aii. Ayıca h f g eşisizliği geçekleni (Nei 97). Teoem 2..34 (Young) f L ve g L olsun. Eğe h = f g ise bu duumda h L ve h f g sağlanı. Buada + ve = + di (Nei 97). R n üzeinde dx = dx...dx n ile Lebesgue ölçüsünü göseeceğiz. R n uzayıüzeinde bi f fonksiyonunun Lebesgue inegali f (x) dx = f (x,..., x n ) dx...dx n
ile göseili. Çok kalıinegali kuusal koodinalada ifade emek çoğu kez kullanışlıolmakadı. = x olsun ve S n = {x : x = } ile biim küenin yüzeyini göseelim. R n f ( x ) dx inegalinin hesabıiçin; 0 <, 0 θ,..., θ n 2 π, 0 θ n 2π olmak üzee x = cos θ x 2 = sin θ cos θ 2 x 3 = sin θ sin θ 2 cos θ 3... x n = sin θ sin θ 2... sin θ n dönüşümü yaılı. Bu dönüşümün Jakobiyeni olaak hesalanı. Bu duumda R n f ( x ) dx = n J (, θ,..., θ n ) = n (sin θ j ) n j = π π 0 0 0 = ω n 0... 2π 0 n f () d 0 j= f () J (, θ) dθ...dθ n d π π 0 0 f () n d... 2π n 0 (sin θ j ) n j dθ...dθ n elde edili. Buada ω n, biim küenin yüzey alanıdı. Genel olaak R n f ( x ) dx = = 0 S n j= f ( sin θ,..., sin θ... sin θ n ) n ddθ...dθ n f (, θ) n dσd 0 S n olaak yazılı. dx hacim elemanı, dx = n ddσ di. Buada dσ, S n üzeinde dx aafından belilenen yüzey ölçüsüdü. Teoem 2..35 E R n, E < olsun. Eğe < s ise bu duumda L s (E) L (E) sağlanı (Nei 97). 2
Tanım 2..36 Bi s fonksiyonunun göünü kümesi sonlu elemandan meydana geliyosa s ye bi basi fonksiyondu deni. Teoem 2..37 Eğe < ise L deki basi fonksiyonlaın kümesi L de yoğundu (Adams ve Founie 2003). Tanım 2..38, olmak üzee T : L (R n ) L (R n ) bi oeaö olsun. Eğe f L (R n ) için T f A f olacak biçimde f den bağımsız bi A > 0 sabii vasa T oeaöüne kuvveli (, ) iindendi deni. µ bi ölçü olmak üzee eğe α > 0 için ( ) A f µ {x : T f (x) > α}, < α olacak biçimde α ve f den bağımsız bi A sabii vasa T dönüşümüne zayıf (, ) iindendi deni (Sadosky 979). Teoem 2..39 (Riesz-Thoin) 0,, 0, olmak üzee T, ( 0, 0 ) ve (, ) ili bi oeaö olsun. Bu duumda = θ + θ, 0 = θ + θ (0 < θ < ) 0 olmak üzee T, (, ) ili bi oeaödü (Sadosky 979). Teoem 2..40 (Macinkiewicz) T alolamsal oeaö ve 0 < 0, ve 0 olsun. Ayıca T oeaöü zayıf ( 0, 0 ) ve zayıf (, ) ili oeaö olsun ve ile = θ + θ, 0 = θ + θ, (0 < θ < ) 0 biçiminde anımlansın. Bu duumda T oeaöü (, ) ili oeaödü (Sadosky 979). 3
Lemma 2..4 (Hady Eşisizliği), ν ve ω ölçülebili, (0, ) üzeinde oziif ve azalan iki fonksiyon olsun. Bu duumda C, ϕ fonksiyonundan bağımsız bi sabi olmak üzee ϕ (s) ds ω () d C ϕ () ν () d (2.) 0 0 eşisizliğinin sağlanmasıiçin geek ve yee koşul 0 K = su >0 ω () d 0 ν () d < (2.2) olmasıdı. Buada + = di. Ayıca (2.) i sağlayan en iyi C sabii biçimindedi. (2.3) deki k (, ) sabii K C k (, ) K (2.3) k (, ) = ( ), k (, ) = ( ) veya k (, ) = ( + ) gibi faklıbiçimlede veilebili (Mazya 985). ( + Lemma 2..42 (Hady Eşisizliği), ν ve ω ölçülebili, (0, ) üzeinde oziif ve azalan iki fonksiyon olsun. Bu duumda C, ϕ fonksiyonundan bağımsız bi sabi olmak üzee ) ϕ (s) ds ω () d C ϕ () ν () d (2.4) 0 eşisizliğinin sağlanmasıiçin geek ve yee koşul 0 K = su >0 0 ω () d ν () d < olmasıdı. (2.4) ü sağlayan en iyi C sabii K C k (, ) K eşisizliğini sağla (Mazya 985). 4
Teoem 2..43 (Lebesgue yakınsaklık) (X, Σ, µ) bi ölçü uzayı, g : X [0, ] inegallenebilen bi fonksiyon ve f, f, f 2... X üzeinde Σ ölçülebili eel değeli fonksiyonla olsun. Eğe h.h.x için lim f n (x) = f (x) n ve n Nicin f n (x) g (x) ise bu duumda f ve f n inegallenebilidi ve lim f n dµ = n X X fdµ dı (Gafakos 2008). Teoem 2..44 (Monoon Yakınsaklık Teoemi) (X, Σ, µ) bi ölçü uzayı ve (f n ) de M + (X, Σ) daki fonksiyonlaın monoon aan bi dizisi olsun. (f n ) dizisi f fonksiyonuna yakınsa ise di (Gafakos 2008). X fdµ = lim X f n dµ Şimdi Moey uzaylaınıanıı bazıemel özellikleini veelim. 2.2 M,λ Moey Uzaylaı Bu kısımda, Moey uzaylaıanıılacak ve bu uzayın bazıcebisel özellikleine ye veileceki. Tanım 2.2. 0 λ n, < ve f L loc (R n ) olmak üzee f M,λ = f M,λ (R n ) = su λ f L(B(x,)) < x R n >0 olan üm f fonksiyonlaın sınıfına Moey uzayıdeni ve bu fonksiyonlaının sınıfı M,λ (R n ) ile göseili (Moey 938). Yukaıdaki koşullala anımlanan nom ile M,λ (R n ) uzayı bi Banach uzayıdı. M,λ (R n ) uzaylaının cebisel özelliklei hakkında bazıemel sonuçla aşağıda veilmişi. 5
(i) λ = 0 olduğunda bilinen Lebesgue uzayıdı. Geçeken, M,0 (R n ) = L (R n ) f M,0 (R n ) = su x R n >0 = su x R n >0 = f L(R n ) 0 f L(B(x,)) f L(B(x,)) elde edili. (ii) λ = n olduğunda M,n (R n ) = L (R n ) WL (R n ) zayıf L (R n ) uzayıdı ve f L = ω n f L,n eşiliği geçekleni. Geçeken, f L (R n ) olsun. Bu duumda, n B(x,) f (y) dy elde edili. Buadan f M,n (R n ) bulunu ve ω n f L f M,n ω n f L sağlanı. f M,n (R n ) olsun. Temel Lebesgue Teoemi ne göe lim o m (B (x, )) B(x,) f (y) dy = f (x) di. Bu duumda, f (x) = lim o m (B (x, )) B(x,) f (y) dy ω n f M,n elde edili. Böylece f L (R n ) di. 6
(iii) λ < 0 veya λ > n iken M,λ (R n ) = Θ olu buada Θ, R n de 0 a denk olan fonksiyonlaın kümesini belimekedi (Sein 970). Ayıca <, f WL loc (R n ) olmak üzee zayıf Moey uzayıwm,λ (R n ) f WM,λ f WM,λ (R n ) = su λ f WL(B(x,)) < olacak biçimdeki fonksiyonlaın kümesini belimekedi. Buada WM,λ (B (x, )), x R n >0 f WL(B(x,)) fχb(x,) WL (R n ) = su {y B (x, ) : f(y) > } x R n >0 koşulunu sağlayan zayıf L uzayında ölçülebili fonksiyonlaın uzayıdı. Ayıca, WL (R n ) = WM,0 (R n ) eşiliği de sağlanı. f WM,λ f M,λ ve böylece M,λ (R n ) WM,λ (R n ) sağlanı. Teoem 2.2.2 < <, λ, µ 0 ve λ n µ n olsun. Bu duumda, gömülmesi geçekleni. M,µ M,λ İsa. ile eşlenik olmak üzee Hölde eşisizliğinden / / f (y) dy = dy f (y) dy B(x,) yazılabili. Ayıca, λ n B(x,) (v n n ) B(x,) (v n ) n( )+µ µ n ( d B(x,) f (y) dy µ B(x,) ( λ n ) + µ ( λ d) ) n( )+µ n( )+µ λ d n( )+µ λ 7 f (y) dy
elde edili. Bu ifadele yeine yazılısa λ B(x,) f (y) dy µ B(x,) f (y) dy bulunu. Böylece f M,λ f M,µ geçekleni. Bu çalışmanın emel eşisizlikleinden bii olan Hady-Lilewood-Sobolev eşisizliği (930) aşağıdaki eoemde veilmişi. Teoem 2.2.3 < < < olsun. I α oeaöünün L (R n ) den L (R n ) ye sınılı olmasıiçin geek ve yee koşul α = n n olmasıdı. Ayıca, I α f L f L eşisizliği geçekleni. Bununla bilike = < < için I α oeaöü L (R n ) den W L (R n ) ye sınılıdı. Sanne ve Adams I α Riesz oansiyelinin M,λ Moey uzaylaında sınılılığınıisaladı. Bu sonuçlaıaşağıdaki gibi özeleyebiliiz: Teoem 2.2.4 (Sanne) 0 < α < n, < < n, 0 < λ < n α olsun. Ayıca α α = n n, λ = µ ve f Lloc (R n ) olsun. Bu duumda, I α f M,µ f M,λ eşisizliği geçekleni, buna göe I α oeaöü M,λ den M,µ ye sınılıdı (Sanne 969). Teoem 2.2.5 (Adams) 0 < α < n, < < n α, 0 < λ < n α ve α = n n olsun. Bu duumda f L loc (R n ) olmak üzee I α f M,λ f M,λ eşisizliği geçekleni, buna göe I α oeaöü M,λ den M,λ ye sınılıdı (Adams 975). Şimdi I α Riesz oansiyel oeaöü ile M α kesili maksimal oeaöü aasındaki ilişkiyi ifade eden aşağıdaki eoemi yazabiliiz. 8
Teoem 2.2.6 0 < α < n olmak üzee M α f(x) v α n I α ( f ) (x) eşisizliği geçekleni. Buada v n, R n de biim yuvaın hacmini belimekedi. Teoem 2.2.4 ve Teoem 2.2.5 dan M α kesili maksimal oeaöün M,λ Moey uzaylaında sınılı olduğunu söyleyebiliiz. Şimdi M maksimal oeaöün ve I α oeaöünün Moey uzaylaında sınılılığı için daha güçlü bi sonucu ifade eden eoemi veelim. Teoem 2.2.7 < <, 0 < λ < n ve f L loc (R n ) olmak üzee Mf M,λ f M,λ eşisizliği geçekleni. Yani M oeaöü M,λ Moey uzayında sınılıdı (Chiaenza ve Fasca 987). Teoem 2.2.8 <, 0 λ < n α ve f L loc (R n ) olmak üzee I α f M,λ f M,λ eşisizliği geçekleni. Buna göe I α oeaöü M,λ den M,λ ye sınılıdı (Chiaenza ve Fasca 987). Şimdi, M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzaylaınıanıalım. 2.3 M,ϕ Genelleşiilmiş Moey Uzaylaı Tanım 2.3. < ve ϕ : R n (0, ) (0, ) de oziif ölçülebili bi fonksiyon olsun. f L loc (R n ) olmak üzee f M,ϕ = f M,ϕ(R n ) = su ϕ(x, ) B(x, ) f L(B(x,)) < x R n >0 olacak biçimde sonlu uasinomu ile anımlıf fonksiyonlaının sınıfına genelleşiilmiş Moey uzayıdeni ve M,ϕ (R n ) ile göseili (Guliyev ve Shukuov 203). 9
Ayıca f L loc (R n ) olmak üzee WM,ϕ (R n ) genelleşilimiş zayıf Moey uzayı f WM,ϕ = f WM,ϕ(R n ) = su ϕ(x, ) B(x, ) f WL(B(x,)) < x R n >0 olacak biçimde üm fonksiyonlaın uzayıdı. Bu anıma göe ϕ(x, ) = λ n seçilise M,λ = M,ϕ (R n ) ϕ(x,)= λ n WM,λ = WM,ϕ ϕ(x,)= λ n sıasıyla M,λ Moey uzayıve WM,λ zayıf Moey uzayıelde edili. Lemma 2.3.2 ϕ : (0, ) (0, ) oziif ölçülebili bi fonksiyon olmak üzee aşağıdaki koşulla geçekleni: (i) ϕ h.h. azalandı, buna göe ϕ() C ϕ() di. 2 ϕ() (ii) ϕ h.h. azalan ise C 2 ϕ(2) d C 3 ϕ(); C 2, C 3 > 0 dı. (iii) n ϕ() h.h. aandı, buna göe n ϕ() C 4 n ϕ() di. (iv) ϕ() n h.h. azalandı, buna göe ϕ() n (v) ϕ fonksiyonu Dini koşulunu sağla, buna göe C 5 ϕ() 0 n di. ϕ() d < du. (vi) ϕ fonksiyonu doubling koşulunu sağla, buna göe 2 2 C 6 ü. (vii) ϕ fonksiyonu doubling koşulunu sağla ise ϕ() C 7 (viii) ϕ fonksiyonu doubling koşulunu sağla ise C 8 ϕ() (ix) ϕ fonksiyonu doubling koşulunu sağla ise 2 k+ (x) ϕ fonksiyonu inegal koşulunu sağla buna göe (xi) ϕ fonksiyonu inegal koşulunu sağla, buna göe 2 k 0 2 ϕ() ϕ() C 6 ϕ() d, > 0 dı. ϕ() d C 9 ϕ() dı. ϕ() d ϕ(2 k ), k Z di. ϕ() d C 0 ϕ(), > 0 dı. ϕ() d C ϕ() di. Çalışmamız boyunca, yukaıda ϕ fonksiyonu için sağlanan üm koşullaın negaif olmayan ölçülebili ρ fonksiyonu için de sağlandığınıkabul edeceğiz. Teoem 2.3.3 < <, 2 olmak üzee ϕ(x, ) için C ϕ(x, ) ϕ(x, ) Cϕ(x, ) (2.5) 20
doubling koşulu sağlanı. Buada C ;, ve x R n den bağımsızdı. Ayıca ϕ fonksiyonu için ve α ϕ(x, ) d Cα ϕ(x, ) (2.6) ϕ(x, ) d Cϕ(x, ) (2.7) eşisizliklei sağlanı. Buada C > 0;, ve x R n den bağımsızdı. 2.4 M,ϕ Uzaylaında I α Riesz Poansiyel Oeaöünün Sınılılĭgı Bu kısımda, I α Riesz oansiyel oeaöünün M,ϕ (R n ) genelleşiilmiş Moey uzaylaında Sanne ve Adams ii sınılılığıile ilgili yaılan çalışmala incelenmişi. 2.4. Sanne ii sınılılık Aşağıdaki eoemde, I α Riesz oansiyel oeaöünün M,ϕ (R n ) genelleşiilmiş Moey uzaylaında Sanne ii sınılılığınıgösemek için Guliyev aafından elde edilmiş eşisizlikle veilmekedi. Lemma 2.4.. (I α için lokal Guliyev eşisizlĭgi) <, 0 < α < n, α = n n ve f L loc (R n ) olsun. Bu duumda > için I α f L(B(x,)) n n f L(B(x,)) d (2.8) ve = için I α f WL(B(x,)) n n f L (B(x,)) d (2.9) eşisizliklei geçekleni (Guliyev 2009). İsa. < < olsun. f fonksiyonu f = f +f 2, f (y) = f (y) χ B(x,2) (y), f 2 (y) = f (y) χ B c (x,2) (y), > 0 olaak anımlanısa I α f (x) = I α f (x) + I α f 2 (x) yazılabili. 2
< <, 0 < α < n, = α n olmak üzee I α oeaöünün L den L ye sınılılığından I α f L(B(x,)) I α f L(R n ) C f L(R n ) = C f L(B(x,2)) elde edili. Buada C, f den bağımsız bi sabii. Ayıca f L(B(x,2)) C n n f L(B(x,)) d 2 olduğu göz önüne alınısa I α f L(B(x,)) C n n f L(B(x,)) d (2.0) olu. x z, z y 2 olduğundan x z z y 2 yazılabili. Dolayısıyla ve 2 x y = x z + z y x z + z y + z y 3 z y 2 elde edili. Sonuç olaak z y = z x + x y z x + x y + x y z y + x y 2 z y x y 2 2 z y x y 3 z y 2 22
yazılabili. Böylece I α f 2 L(B(x,)) B c (x,2) C B c (x,2) f (y) z y n α dy L(B(x,)) f (y) x y n α dy χ (B(x,)) L (R n ) bulunu. β > n seçileek, Hölde eşisizliğinin uygulanmasıyla B c (x,2) f (y) n α dy = β x y = β C = C = C C B c (x,2) 2 2 2 2 s β x y α n+β f (y) {y R n :2 x y s} x y s β ds dy x y α n+β f (y) dy ds s β f L(B(x,s)) x y α n+β L(B(x,s)) ds s β f L(B(x,s)) s β f L(B(x,s)) s β f L(B(x,s)) 2 x y s S n s 2 ρ ( x y n α β) dy ρ n (n α β) dρdx ( s n (n α β) ) ds ds ds = C = C 2 2 2 s β s n s α+β f L(B(x,s)) ds s α n f L(B(x,s)) ds (2.) elde edili. Diğe yandan = α ise n n 23 = n α dı. Bu değe (2.) de yeine
yazılısa I α f 2 L(B(x,)) C s α ( n +α) f ds L(B(x,s)) 2 = C s n f ds L(B(x,s)) 2 C n 2 s n f L(B(x,s)) ds (2.2) olu. Böylece (2.0) ve (2.2) nin gözönüne alınmasıyla (2.8) isalanmış olu. = ise > 0 olmak üzee he B(x, ) yuvaıiçin nom eşisizliğinden I α f WL(B(x,)) I α f WL(B(x,)) + I α f 2 WL(B(x,)) yazılabili. I α oeaöünün L (R n ) den WL (R n ) ye sınılılığından I α f WL(B(x,)) C f L(B(x,2)) (2.3) eşisizliği elde edili. Buada C, x ve den bağımsız bi sabii. Bu duumda (2.2) eşisizliği = için de geçekleni. Buadan (2.9) eşisizliği isalanmış olu. Şimdi, bu eşisizlik yadımıyla Sanne ii sınılılığıveelim. Teoem 2.4..2 <, 0 < α < n, α = n n olsun ve ϕ (x, ), ϕ 2 (x, ) fonksiyonlaıiçin koşulu sağlansın. Bu duumda > için α ϕ (x, ) d Cϕ 2(x, ) (2.4) I α f M,ϕ2 C f M,ϕ ve = için I α f WM,ϕ2 C f M,ϕ eşisizlikleini sağlayan x ve den bağımsız bi C > 0 sabii vadı. Buna göe I α oeaöü > için M,ϕ (R n ) den M,ϕ2 (R n ) ye ve = için M,ϕ (R n ) den WM,ϕ2 (R n ) ye sınılıdı (Guliyev ve Shukuov 203). 24
İsa. < < olmak üzee f M,ϕ(R n ) olsun. Teoem 2.4.. ve (2.4) en I α f M,ϕ2 C su >0 ϕ 2 (x, ) x R n C f M,ϕ su >0 ϕ 2 (x, ) x R n C f M,ϕ su >0 x R n C f M,ϕ n f L(B(x,)) d ϕ 2 (x, ) ϕ 2(x, ) α ϕ (x, ) d yazılabili. Ayıca = olmak üzee f M,ϕ(R n ) olsun. Bu duumda Teoem 2.4.. den ve (2.0) dan I α f WM,ϕ2 = su >0 x R n ϕ 2 (x, ) C su >0 ϕ 2 (x, ) x R n n Iα f WL(B(x,)) C f M,ϕ su >0 ϕ 2 (x, ) x R n C f M,ϕ su >0 x R n C f M,ϕ n f L (B(x,)) d ϕ 2 (x, ) ϕ 2(x, ) α ϕ (x, ) d elde edili. Böylece isa amamlanmış olu. Nakai aşağıdaki eoemde M maksimal oeaöün M,ϕ uzaylaında sınılılığınıisalamışı. genelleşiilmiş Moey Teoem 2.4..3 < < olmak üzee ϕ için (2.7) koşulu sağlansın. Bu duumda Mf M,ϕ C,ϕ f M,ϕ olacak şekilde bi C,ϕ > 0 vadı. Buna göe M maksimal oeaöü M,ϕ uzayında sınılıdı (Nakai 994). Nakai, Sanne ii sınılılığının bi sonucunu Teoem 2.4..3 ü kullanaak I α Riesz oansiyel oeaöü için aşağıdaki eoemi elde emişi. 25
Teoem 2.4..4 < < n α, 0 < α < n, α = n n (2.5) ve (2.6) koşullaısağlansın. Bu duumda olsun ve ϕ(x, ) fonksiyonu için I α f M,ϕ2 C f M,ϕ eşisizliği sağlanı. Buna göe I α oeaöü M,ϕ (R n ) den M,ϕ2 (R n ) e sınılıdı (Nakai 994). Buada 0 λ < n α, α = n n sonuç olaak elde edili. için ϕ () = λ n seçilise Sanne eoemi bi Aşağıdaki eoem I α oeaöü için Adams ve Chiaenza-Fasca nın bi genelleşiilmesidi. Teoem 2.4..5 < < n α olmak üzee ϕ için (2.5) ve (2.7) koşullaısağlansın. Ayıca n β < α için ϕ() Cβ olsun. Bu duumda = β α+β için I α f M,ϕ C f M,ϕ eşisizliği sağlanı. Buna göe I α oeaöü M,ϕ(R n ) den M,ϕ (R n ) e sınılıdı (Gunawan ve Eidani 2009). 2.4.2 Adams ii sınılılık Aşağıdaki eoem I α Riesz oansiyel oeaöünün M,ϕ (R n ) genelleşiilmiş Moey uzaylaında Adams ii sınılılığınıifade emekedi. Teoem 2.4.2. <, 0 < α < n ve > olsun. ϕ(x, ) için doubling koşuluyla beabe ve su ϕ(x, ) Cϕ(x, ) (2.5) << α ϕ(x, ) d C α (2.6) koşullaısağlansın. Buada C, x R n ve > 0 dan bağımsızdı. Bu duumda > için I α f M,ϕ C f M,ϕ 26
ve = için I α f WM C f M,ϕ,ϕ eşisizliklei sağlanı. Buna göe > için I α oeaöü M,ϕ den M,ϕ ye ve = için M,ϕ den WM,ϕ ye sınılıdı (Guliyev ve Shukuov 203). İsa. < <, 0 < α < n, > olmak üzee f M,ϕ olsun. f fonksiyonu f = f +f 2, f (y) = f (y) χ B(x,2) (y), f 2 (y) = f (y) χ B c (x,2) (y), > 0 olaak alınısa I α f (x) = I α f (x) + I α f 2 (x) yazılabili. I α f (x) α Mf (x) eşisizliği Hedbeg (972) aafından göseilmişi. I α f 2 için Fubini eoemi ve Hölde eşisizliğinden I α f 2 (x) x y α n f (y) dy B c (x,2) f (y) dy α n d = = = B c (x,2) 2 2< x y < f L(B(x,)) f L(B(x,)) x y f (y) dy α n d < x y < S n dy ρ n dρdy f L(B(x,)) n( ) α n d α n d α n d α n f L(B(x,)) d (2.7) 27
elde edili. (2.6) ve (2.7) den I α f(x) α Mf (x) + α n f L(B(x,)) d α Mf (x) + f M,ϕ α Mf (x) + α f M,ϕ α ϕ(x, ) d yazılabili. Böylece he x R n için = ( M ) α,ϕ Mf(x) seçileek bulunu. oeaöün M,ϕ I α f(x) (Mf (x)) f M,ϕ Sonuç olaak eoemin ifadesi, (2.5) koşuluyla sağlanan M maksimal deki sınılılığıgöz önüne alındığında < < < için I α f M = su ϕ(x, ) n Iα f L(B(x,)),ϕ x R n,>0 ve < < ise f M = f M = f M su,ϕ x R n,>0,ϕ,ϕ f M,ϕ ( ϕ(x, ) n Mf L (B(x,)) su ϕ(x, ) n Mf L(B(x,)) x R n,>0 Mf M,ϕ ) I α f WM = su ϕ(x, ) n Iα f WL(B(x,)),ϕ x R n,>0 f M,ϕ ( = f M,ϕ su x R n,>0 su x R n,>0 = f M,ϕ Mf M,ϕ ϕ(x, ) n Mf WL (B(x,)) ϕ(x, ) n Mf L(B(x,)) ) f M,ϕ elde edili. Böylece eoem isalanmış olu. 28
Teoem 2.4.2. de özel olaak 0 < λ < n olmak üzee ϕ(x, ) = λ n alınısa Teoem 2.2.5 (Adams) elde edili. Aşağıdaki eoem Adams-Chiaenza-Fasca ii sınılılığının bi genelleşiilmesi olaak düşünülebili. Teoem 2.4.2.2 < < n, n β < α olmak üzee ϕ fonksiyonu için (2.5) ve (2.7) koşullaıyla beabe ϕ() C β eşisizliği de sağlansın. Bu duumda = β α+β için I α f M,ϕ C,β f M,ϕ olacak şekilde C,β > 0 vadı. Buna göe I α oeaöü M,ϕ den M,ϕ ye sınılıdı (Gunawan ve Eidani 2009). 2.5 M,ϕ Uzaylaında I ρ Oeaöünün Sınılılĭgıile İlgili Çalışmala Bu kısımda, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,ϕ (R n ) genelleşiilmiş Moey uzaylaında Sanne ve Adams ii sınılılığıile ilgili yaılan çalışmala incelenmişi. < < < olmak üzee I α oeaöünün L den L ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul α = n n olmasıdı. Bu sonuç Hady-Lilewood-Sobolev eşisizliği olaak bilini. Sanne bu sonucu genelleşieek 0 λ n α, µ = λ için I α oeaöünün M,λ den M,µ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul olaak α = n n olduğunu gösemişi. Sanne olaak bilinen bu sonuç Adams aafından yeniden isalanmışı. Buna göe 0 < λ < n α için I α oeaöünün M,λ den M,λ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul α = n n olduğunu gösemişi. Chiaenza ve Fasca, Adams için daha güçlü bi sonuç elde emişi. Buna göe 0 < λ < n α için I α oeaöünün M,λ den M,λ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul α = n λ n λ olduğunu isalamışı. Sanne bunun bi sonucudu. Daha önceki ilgili eoemle ise λ = 0 duumu için elde edili. Çünkü L,0 = L di. 29
Yukaıdaki sonuçla ilk defa Nakai aafından M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzaylaında isalanmışı. Buna göe 0 λ < n α olmak üzee uygun ϕ, ψ fonksiyonlaıiçin I α oeaöünün M,ϕ den M,ψ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul ψ() = α ϕ() olmasıgeekiğini gösemişi. Buada 0 λ n ve α = n λ için ϕ() = λ n seçilise Sanne bi sonuç olaak elde edili. n λ Genelleşiilmiş kesili inegal oeaölele ilgili ilk çalışmala Guliyev (999) ve Nakai (200) aafından yaılmışı. Nakai uygun ϕ, ψ fonksiyonlaı ve he > 0 için ϕ() 0 ρ() d + ρ()ϕ() d Cψ() koşulu alında I ρ oeaöünün M,ϕ den M,ψ ye sınılıolduğunu gösemişi. Eidani (2002) < <, ρ, ϕ ve ψ için benze koşullala I ρ oeaöünün M,ϕ den M,ψ ye sınılılığınıisalamışı. Faka Nakai ve Eidani aafından I ρ oeaöü için bulunan bu sonuçla I α oeaöünün bi genelleşiilmesi olaak düşünüldüğünde I α oeaöü için bilinen sonuçlala öüşüğünü söyleyemeyiz. Son zamanlada Eidani ve Gunawan < < <, ρ ve ϕ için uygun koşulla alında I ρ oeaöünün M,ϕ den M,ϕ ye sınılılığınıisalamışı. Bu sonuçla Chiaenza ve Fasca nın bi genelleşiilmesidi. Aşağıdaki eoem Hady-Lilewood-Sobolev eşisizliğinin bi genelleşiilmesini vemekedi. Teoem 2.5. ϕ fonksiyonu öen olsun ve ϕ için (2.5) ve (2.7) koşullaısağlansın. Ayıca ρ fonksiyonu için doubling koşulu ve < < < için 0 ρ() d Cϕ() koşullaısağlansın. Bu duumda ve ρ()ϕ() d Cϕ() I ρ f M,ϕ C,ϕ f M,ϕ olacak şekilde C,ϕ > 0 vadı. Buna göe, I ρ oeaöü M,ϕ den M,ϕ (Gunawan 2003). 30 ye sınılıdı
Teoem 2.5.2 ρ fonksiyonu öen olsun ve bu fonksiyon için doubling koşulu sağlansın. Ayıca ϕ fonksiyonu için he > 0 için (2.7) ve 0 ρ() d + ρ() ρ()ϕ() d Cρ() koşullaısağlansın. Bu duumda < < < için I ρ f M,ϕ C, f M,ϕ olacak şekilde C, > 0 vadı. Buna göe, I ρ oeaöü M,ϕ den M,ϕ ye sınılıdı (Gunawan ve Eidani 2009). Aşağıdaki eoem Adams-Chiaenza-Fasca nın bi genelleşiilmesini ifade emekedi. Teoem 2.5.3 0 < α < n için ρ() C α olsun ve ρ fonksiyonu için (2.5) ve (2.7) koşullaısağlansın. < < n α, n β α olmak üzee ϕ() Cβ olsun. Bu duumda = β α+β için I ρ f M,ϕ C,ϕ f M,ϕ olacak şekilde C,ϕ > 0 vadı. Buna göe, I ρ oeaöü M,ϕ den M,ϕ ye sınılıdı (Gunawan ve Eidani 2009). Aşağıdaki eoem Nakai ile Eidani ve Gunawan ın elde eiği sonuçla aasındaki ilişkiyi ifade emekedi. Teoem 2.5.4 ρ ve ϕ fonksiyonlaıiçin doubling koşulu sağlansın. Ayıca ϕ öen olsun ve bu fonksiyon için, he > 0 için (2.7) ve ϕ() 0 ρ() d + ρ()ϕ() d Cϕ() koşullaısağlansın. Bu duumda < < < olmak üzee I ρ f M,ϕ C, f M,ϕ olacak şekilde C, > 0 vadı. Buna göe, I ρ oeaöü M,ϕ den M,ϕ ye sınılıdı (Gunawan ve Eidani 2009). 3
Teoem 2.5.4 ü aşağıdaki lemma yadımıyla isalayacağız. Lemma 2.5.5 ρ fonksiyonu için doubling koşulu sağlansın. amsayısıve > 0 için 2 k+ 2 k ρ() d ρ(2 k ) Bu duumda he k iki yönlü eşisizliği sağlanı ve doubling koşulundan ρ için, he > 0 için ρ() C 0 ρ() d eşisizliği geçelidi (Gunawan vd. 204). Teoem 2.5.4 ün isaı. He x R n ve > 0 için I ρ f (x) = x y < ρ( x y ) x y n f(y)dy + yazılabili. I (x) için Lemma 2.5.5 en I (x) x y < x y ρ( x y ) x y n f(y)dy k= 2 k x y <2 k+ C k= CMf(x) CMf(x) ρ(2 k ) (2 k ) n = CMf(x) k= ρ( x y ) x y n f(y)dy = I (x) + I 2 (x) x y <2 k+ ρ(2 k ) 2 k+ k= 2 k 0 ρ() d CMf(x)ϕ() 32 ρ( x y ) x y n f (y) dy ρ() d f(y) dy
elde edili. Benze şekilde I 2 (x) için Lemma 2.5.5 en ρ( x y ) I 2 (x) x y n f(y)dy x y k=0 2 k x y <2 k+ C C k=0 ρ(2 k ) (2 k ) n ρ(2 k ) (2 k ) n k=0 x y <2 k+ ρ( x y ) x y n f(y) dy x y <2 k+ f(y) dy f(y) dy C f M,ϕ ρ(2 k+ )ϕ(2 k+ ) k=0 C f M,ϕ = C f M,ϕ k=0 C f M,ϕ ϕ() 2 k+ 2 k ρ()ϕ() d ρ()ϕ() d bulunu. He iki ifade aaf aafa olanısa I ρ f (x) = C [Mf(x)ϕ() + f M,ϕ ϕ() ] elde edili. f nin özdeş olaak 0 olmadığını ve M f nin he yede sonlu olduğunu vasayaak, ϕ fonksiyonu öen olduğundan he > 0 için ϕ() = Mf(x) f M,ϕ olaak seçebiliiz. Böylece he x R n için M maksimal oeaöün M,ϕ uzayında sınılılığından I ρ f (x) CMf(x) f M,ϕ C f M,ϕ f M,ϕ = C f M,ϕ elde edili. Böylece isa amamlanmış olu. Önek 2.5.6 < < <, ρ() = α l() β olsun. Buada α = n n, β > 0 ve ρ fonksiyonunun doubling koşulunu sağlamasıiçin küçük le için l() = log ve 33
büyük le için l() = log seçelim. Bu duumda 0 ϕ() = n l() β seçelim. Bu duumda ϕ() ρ() d ρ() elde edeiz. Şimdi = ρ() olu ve ρ ile ϕ fonksiyonlaının eoemdeki koşullaısağladığınıgöüüz. Böylece I ρ oeaöü M,ϕ den M,ϕ ye sınılıdı. Teoem 2.5.7 < < < olmak üzee ϕ fonksiyonu h.h azalan olsun. Ayıca C > 0 için eşisizliği sağlansın. Bu duumda, ρ()ϕ() d Cρ()ϕ(), > 0 I ρ f M,ϕ C f M,ϕ olacak şekilde bi C > 0 sabii vadı. Buna göe, I ρ oeaöünün M,ϕ den M,ϕ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul ρ() Cϕ() olmasıdı. Buada ρ() := 0 ρ() d di (Sawano 200). Teoem 2.5.8 < < < olmak üzee ϕ fonksiyonu h.h azalan ve ϕ() n fonksiyonu h.h. aan olsun. Ayıca C > 0 için eşisizliği sağlansın. Bu duumda, ϕ() n d Cϕ() n, > 0 I ρ f M,ϕ C f M,ϕ olacak şekilde bi C > 0 sabii vadı. Buna göe I ρ oeaöünün M,ϕ den M,ϕ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul ϕ() 0 ρ() d + ρ()ϕ() d Cϕ() olmasıdı (Sawano 200). 34
Teoem 2.5.9 ϕ, ψ fonksiyonlaıh.h azalan ve ϕ() n fonksiyonu h.h. aan olsun. Ayıca C > 0 için 0 eşisizliği sağlansın. Bu duumda, ϕ() n d Cϕ() n, > 0 I ρ f M,ψ C f M,ϕ olacak şekilde bi C > 0 sabii vadı. Buna göe, I ρ oeaöü M,ϕ den M,ψ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul olmasıdı (Sawano 200). ϕ() 0 ρ() d + ρ()ϕ() d Cψ() 35
3. M P,λ UZAYLARINDA I ρ OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞININ GULİYEV METODU İLE ARAŞTIRILMASI Bu bölümde, Moey uzaylaında I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin Sanne ve Adams ii sınılılığı ρ fonksiyonu üzeine uygun koşulla konulaak Guliyev meodu ile isalanmışı. ρ : (0, ) (0, ) fonksiyonu lim ρ() = 0, lim o ρ() = koşullaınısağlayan oziif ölçülebili bi fonksiyon olmak üzee I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöü I ρ f (x) = R n ρ( x y ) x y n f(y)dy biçiminde anımlıdı. Yukaıda ϕ fonksiyonu için veilen üm koşulla ρ fonksiyonu için de geçelidi. Aşağıdaki eoem, I ρ oeaöünün L (R n ) uzaylaında sınılılığınıifade eden emel bi eşisizliki. Teoem 3. (i) < < < olsun. Bu duumda I ρ oeaöünün L (R n ) den L (R n ) e sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul he > 0 için ρ() C n n eşisizliğini sağlayan bi C > 0 sabiinin olmasıdı. (ii) < < olsun. Bu duumda I ρ oeaöü L (R n ) den WL (R n ) ye sınılı olmasıiçin geek ve yee koşul he > 0 için ρ() C n n. koşulunu sağlayan bi C > 0 sabiinin olmasıdı (Nakai vd. 204). Aşağıdaki lemma geçelidi. 36
Lemma 3.2 He > 0 için ρ fonksiyonu eşisizliğini sağla. ρ() su (,2) n ρ() d n < Bu koşul ρ() n fonksiyonu için bilinen doubling koşulundan daha genel bi koşuldu. 3. Sanne-Guliyev Tii Sınılılık Bu kısımda, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,λ Moey uzaylaında Sanne ii sınılılığıguliyev meodu ile isalanacakı. Aşağıdaki eoem I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaölein Moey uzaylaında Sanne ii sınılılığınıguliyev meodu ile isalamak için elde eiğimiz genelleşiilmiş lokal Guliyev eşisizliğidi. Teoem 3.. (I ρ için lokal Guliyev eşisizlĭgi) < < < olmak üzee ρ fonksiyonu için ve ρ() su (,2) n ρ() n n (3.) ρ() d n (3.2) koşullaısağlansın. Bu duumda, > 0 olmak üzee > ise he f L loc (R n ) için I ρ f L(B(x,)) f L (B(x,2)) + n n ρ() f L(B(x,)) d 2 ve = ise he f L loc (R n ) için I ρ f WL(B(x,)) f L (B(x,2)) + n eşisizliklei sağlanı. 2 n ρ() f L (B(x,)) d (3.3) İsa. < < olsun. f fonksiyonu f = f +f 2, f (y) = f (y) χ B(x,2) (y), f 2 (y) = f (y) χ B c (x,2) (y), > 0 olaak alınısa I ρ f (x) = I ρ f (x) + I ρ f 2 (x) 37
için nom eşisizliğinden I ρ f (x) I ρ f (x) + I ρ f 2 (x) yazılabili. < <, 0 < α < n, α = n n olmak üzee Teoem 2.2.4 en I ρf için I ρ f L(B(x,)) I ρ f L(R n ) f L(R n ) = f L(B(x,2)) (3.4) elde edili. Diğe aafan z B(x, ) x z < y B c (x, 2) x y 2 < + y z x y < y z 2 x y x y 2 x y x y y z 2 x y y z 2 y z x z + x z + x y x y + x y 2 = 3 x y 2 olu ve buadan elde edili. Buna göe 2 x y y z 3 x y 2 2 3 2 38
yazılabili. Ayıca I ρ f 2 için I ρ f 2 L(B(x,)) = = B c (x,2) B(x,) B(x,) B(x,) ρ( y z ) y z n f (y)dy B c (x,2) B c (x,2) B c (x,2) L(B(x,)) ρ( y z ) y z n f (y)dy dz ρ( y z ) y z n f (y) dy ρ( x y ) x y n f (y) dy dz dz bulunu. Genelleşiilmiş Minkowski eşisizliğini uygulayaak ve Lemma 3.2 den = B(x,) B c (x,2) B c (x,2) = B(x, ) = n n B c (x,2) B c (x,2) B c (x,2) ρ( x y ) x y n f (y) dy dz ρ( x y ) x y n f (y) dz dy B(x,) ρ( x y ) x y n f (y) dz dy B c (x,2) B(x,) ρ( x y ) x y n f (y) dy ρ( x y ) x y n f (y) dy f (y) x y 39 ρ() n d dy
yazılabili ve Hölde eşisizliğinden elde edili. = n n n = n = n = n 2 2 2 2 2 2 ρ() n+ d 2 x y < ρ() n+ f L (B(x,)) d f (y) dy ρ() n+ f L (B(x,)) L (B(x,)) d ρ() n+ f L (B(x,)) n d ρ() n( )+ f L (B(x,)) d, + = n ρ() f L(B(x,)) d (3.5) = olsun. I ρ oeaöün zayıf (, ) sınılılığından ve Teoem 3. den I ρ f WL(B(x,)) I ρf WL(R n ) f L (R n ) = f L (B(x,2)) (3.6) bulunu. Böylece (3.5) ve (3.6) en (3.3) elde edili. Şimdi aşağıdaki eoemde Guliyev meodunu kullanaak I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,λ Moey uzaylaında Sanne ii sınılılığınıifade edelim. Teoem 3..2 (Sanne-Guliyev ii sınılılık) < < <, λ 0, µ = λ f L loc (R n ) olmak üzee ρ fonksiyonu için olsun. ρ() n λ n µ (3.7) ve ρ() su (,2) n 40 ρ() d n (3.8)
koşullaısağlansın. Bu duumda he > 0 için I ρ f M,µ f M,λ (3.9) eşisizliği sağlanı. Buna göe I ρ oeaöü M,λ den M,µ ye sınılıdı. İsa. < < olsun. Bu duumda, (3.8) ve (3.9) koşullaıyla beabe Teoem 3.. den I ρ f L,µ = su µ Iρ f L(B(x,)) >0 x R n su µ >0 x R n su µ >0 x R n su µ >0 x R n f L(B(x,2)) + n n ρ () n su µ n >0 x R n 2 2 2 n µ su f M,λ >0 x R n n µ su >0 x R n n µ su >0 x R n = f M,λ 2 n ρ () f L(B(x,)) d n ρ () f L(B(x,)) d + n n ρ () f L(B(x,)) d + n n ρ () f L(B(x,)) d 2 f M,λ λ n ρ () f M,λ λ n n λ ρ () d n λ n µ 2 2 n ρ () f L(B(x,)) d n ρ () f L(B(x,)) d elde edili. = olsun. Bu duumda I ρ oeaöün zayıf (, ) sınılılığından ve Teoem 3. den bulunu. Böylece isa amamlanı. I ρ f WL(B(x,)) I ρf WL(R n ) f L (R n ) Teoem 3..2 de 0 < α < n, < < n α için ρ() = α seçilise Sanne eoemi bi sonuç olaak elde edili. 4
Sonuç 3..3 0 < α < n, < < n α, 0 < λ < n α olsun. Ayıca α = n n, λ = µ ve f L loc (R n ) olsun. Bu duumda, I α f M,µ f M,λ eşisizliği geçekleni, buna göe I α oeaöü M,λ den M,µ ye sınılıdı. 3.2 Adams-Guliyev Tii Sınılılık Bu kısımda, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,λ Moey uzaylaında Adams ii sınılılığıguliyev meodu ile isalanacakı. Aşağıdaki eoem, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaölein Moey uzaylaında Adams ii sınılılığınıguliyev meodu ile isalamak için elde eiğimiz genelleşiilmiş lokal Guliyev eşisizliğidi. Teoem 3.2. (I ρ için nokasal Guliyev eşisizlĭgi) < <, 0 < 2k < k 2 < olmak üzee f L loc (R n ) olsun. ρ fonksiyonu için ve 0 ρ() d n ρ() n ρ() = k 2 k koşullaısağlansın. Bu duumda > 0 için eşisizliği geçekleni. I ρ f(x) ρ()mf(x) + ρ() d n n ρ() f L(B(x,)) d İsa. < < olsun. f fonksiyonu f = f +f 2, f (y) = f (y) χ B(x,2) (y), f 2 (y) = f (y) χ B c (x,2) (y), > 0 olaak alınısa I ρ f (x) = I ρ f (x) + I ρ f 2 (x) için mulak değe eşisizliğinden I ρ f(x) I ρ f (x) + I ρ f 2 (x) 42
yazılabili. Diğe aafan I ρ f (x) B(x,2) 0 k= 0 k= ρ( x y ) x y n f(y) dy {y R n :2 k k < x y 2 k k 2 } ρ(2 k k 2 ) (2 k k 2 ) n ρ()mf(x) ρ( x y ) x y n f(y) dy {y R n : x y 2 k k 2 } elde edili. Ayıca Fubini eoemi ve Hölde eşisizliğinden ρ( x y ) I ρ f 2 (x) x y n f(y) dy B c (x,2) f(y) dy n ρ()d f(y) dy = B c (x,2) 2 2< x y < f L(B(x,)) x y f(y) dy n ρ()d < x y < dy f L(B(x,)) n( ) n ρ()d n ρ() f L(B(x,)) d n ρ()d bulunu. Böylece isa amamlanmış olu. Şimdi, aşağıdaki eoemde Guliyev meodunu kullanaak I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,λ Moey uzaylaında Adams ii sınılılığınıifade edelim. Teoem 3.2.2 (Adams-Guliyev ii sınılılık) < < <, 0 λ < n olmak üzee f L loc (R n ) olsun. ρ fonksiyonu için ρ() n λ n λ = 43 ) ( λ n (3.0)
ve ρ() su (,2) n ρ(s) ds s n s (3.) koşullaısağlansın. Bu duumda he > 0 için I ρ f M,λ f M,λ eşisizliği sağlanı. Buna göe, I ρ oeaöü M,λ den M,λ ye sınılıdı. İsa. ρ() λ n ) ( λ n ve B (x, ), x mekezli yaıçalıaçık yuva olmak üzee 44
λ n = Mf(x) f M,λ seçilise (3.0), (3.), Teoem 3.2. ve Teoem 2.2.8 den I ρ f,λ = su λ >0 x R n su λ >0 x R n su λ >0 x R n su λ >0 x R n su λ >0 x R n = su λ >0 x R n = su λ >0 x R n B(x,) B(x,) B(x,) B(x,) B(x,) B(x,) B(x,) I ρ f (y) dy ρ()mf (y) + ρ()mf (y) + f M,λ (ρ()mf(y) + λ n ( ( ) n λ Mf(y) + ( Mf (y) f M,λ = f M,λ su λ Mf >0 x R n = f M,λ Mf f M,λ f = f M,λ n ρ() f d L(B(x,)) λ n ρ()d ) ρ() f M,λ dy ) ( n λ dy dy ) f M,λ dy ) ( ) Mf (y) Mf(y) + f M,λ ( ) (Mf (y)) f M,λ dy M,λ M,λ L (B(x,)) f M,λ dy elde edili. = olsun. Bu duumda I ρ oeaöün zayıf (, ) sınılılığından ve Teoem 3. den I ρ f WL(B(x,)) I ρf WL(R n ) f L (R n ) bulunu. Böylece isa amamlanmış olu. 45
Teoem 3.2.2 de 0 < α < n, < < n α, 0 < λ < n α için ρ() = α seçilise Adams eoemi bi sonuç olaak elde edili. Sonuç 3.2.3 0 < α < n, < < n α, 0 < λ < n α ve α = n n duumda f L loc (R n ) olmak üzee olsun. Bu I α f M,λ f M,λ eşisizliği geçekleni, buna göe I α oeaöü M,λ den M,λ ye sınılıdı. 46
4. M P,ϕ UZAYLARINDA I ρ OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞININ GULİYEV METODU İLE ARAŞTIRILMASI Bu bölümde, M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzaylaında I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin Sanne ve Adams ii sınılılığıρ ve ϕ fonksiyonlaıüzeine uygun koşulla konulaak Guliyev meodu ile isalanmışı. I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöünün iyi anımlıolmasıiçin olmak üzee f(x) = χ R n \B(0,)(x) x 2n ρ() d n <, (4.) koşulunun sağlandığınıkabul edelim. Ayıca, ρ fonksiyonu için, C > 0 sabilei ve 0 < 2k < k 2 < için ρ(s) su <s 2 s n C k2 k ρ() d n, > 0 (4.2) büyüme koşulu sağlansın. Bu koşul ρ()/ n fonksiyonu için bilinen doublign koşulundan daha zayıf (genel) bi koşuldu. Geçeken,, > 0 ve /2 / 2 koşulunu sağlayan hehangi, le için ρ() C n eşisizliğini sağlayan sabi bi C vadı. ρ() n C ρ() n, Bundan sona I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöü için ρ nun (4.2) koşulunu daima sağladığınıkabul edeceğiz. Böylece G 0 ile bu koşulu sağlayan üm fonksiyonlaın sınıfınıanımlayacağız ve ρ G 0 olduğunda yazacağız. ρ() := C n Uyaı. 0 < α < n olmak üzee ρ fonksiyonu için ρ() n d { α log(e/), ρ() 0 <, α log(e) <, 47
ve { ρ() α, 0 <, e c e c2, <. öneklei alınabili. Buada c > 0 bi sabi sayıdı. İkinci önek Bessel oansiyeli için kullanılı (Sawano 202). 4. Sanne-Guliyev Tii Sınılılık Bu kısımda, bi fonksiyonun daki davanışıincelendiken sona I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzaylaında Sanne ii sınılılığıguliyev meodu ile isalanacakı. L,v (0, ) uzayı, > 0 için g L,v(0, ) = su v()g() >0 sonlu nomu ile üm g fonksiyonlaının uzayıolaak anımlıdı. Ayıca, L (0, ) L, (0, ) dı. M(0, ), (0, ) aalığında anımlılebesgue-ölçülebili üm fonksiyonlaın kümesi ve M + (0, ), (0, ) aalığında anımlınegaif olmayan fonksiyonlaı kasayan alkümesi olsun. M + (0, ; ), (0, ) aalığında anımlı azalmayan M + (0, ) uzayındaki üm fonksiyonlaın konisi olsun ve { } A = ϕ M + (0, ; ) : lim ϕ() = 0 0+ kümesini göz önüne alalım. Bu duumda aşağıdaki eoem yazılabili. Teoem 4.. He > 0 için v ve v 2, 0 < v L (, ) < koşulunu sağlayan negaif olmayan ölçülebili fonksiyonla olsun. Bu duumda A konisi üzeinde I özdeşlik oeaöünün L,v (0, ) dan L,v2 (0, ) ye sınılı olması için geek ve yee koşul olmasıdı. v 2 ( v L (, )) L (0, ) < (4.3) İsa. Eğe F, G (0, ) aalığında negaif olmayan ve F azalmayan fonksiyonla ise bu duumda ess su (0, ) F ()G() = ess su (0, ) F ()ess su s (, ) G(s), (0, ) 48