ÜSTEL VE LOGARİTM FONKSİYONLAR

ÜSTEL VE LOGARİTM TMİK FONKSİYONLAR

Şekil 5.1a Üsel Fonksiyonlar 2 y 10 8, 1 y = f = b b> 6 4 2-3 -2-1 1 2 3

Şekil 5.1b Üsel Fonksiyonlar 3 y 50 2 y = f = 2 40 30 20 y = f = 2 10-2 -1 1 2 3 4

Şekil 5.1c Üsel Fonksiyonlar 4 y 8 y = f = 2( 2 ) 6 4 2 y = f = 2-2 -1 1 2

5 y = f = b, b> 1 y = f = b > 0, < < d ln y = ( ln b) ( ln y) = ln b d ( dy y) d = ln b dy d = f = ln b b > 0, < <

6 2 d y ( ) ( b b ) 2 = f = ln b b > 0, < < 2 d lim =, lim = 0

y = f = ab, b> 1 c 7 ( ln ) f = ac b b a> 0, c> 0 f > 0 a> 0, c< 0 f < 0 a< 0, c> 0 f < 0 a< 0, c< 0 f > 0 c

8 2 ( ln ) f = ac b b 2 a> 0 f > 0 a< 0 f < 0 c

Şekil 5.2a Üsel Fonksiyonlar 9 y y 0 0 y = f = ab c y = f = ab c a > 0, c> 0 a > 0, c< 0

Şekil 5.2b Üsel Fonksiyonlar 10 y y 0 0 y = f = ab a < 0, c< 0 c y = f = ab a< 0, c> 0 c

e Tabanı ya da Doğal Üsel Fonksiyonlar 11 f dy y = e = f e d f dy = = = d y f e e dy = = = d r r y f Ae Are 2 dy 2 2 2 y = f = e = e + e = e + d ( 2 2 2 2 2 2 1 2 )

Şekil 5.3. Üsel Fonksiyonlar 12 30 25 y = e 20 15 10 5-3 -2-1 1 2 3

Doğal Üsel Fonksiyonlar ve BüyümeB 13 f ( m) = 1+ 1 m m f f f ( 1) ( 1 f ) ( 1) ( 1 f ) ( 1 ) 1 2 1 = 1+ = 2, 2 = 1+ = 2.25 1 2 3 4 3 = 1+ = 2.37037, 4 = 1+ = 2.44141... 3 4 100 100 100 = 1 + = 2.70481... 1 e = lim f ( m) = lim 1 + 2.71828 m m m m

y = e x 14 fonksiyonunun Maclaurin serisini bulalım. Bu açılım, e sayısının asimpoik değerini verecekir. y = f x = e x f x = e f 0 = 1 x f x = e f 0 = 1 x f x = e f 0 = 1 x...... ( n ) x ( n ) f x = e f 0 = 1

15 f f f f f ( n 0 0 0 0 ) ( 0) 2 3 n f x = + x+ x + x +... + x 0! 1! 2! 3! n! x 1 1 1 1 e = + x+ x + x + x + x + 2 6 24 120 2 2 2 2 1... x = 1için; e 1 1 1 1 = 1 + 1 + + + + +... 2 6 24 120 e 2.7182819

Kesikli Büyümeden B Sürekli S Büyümeye B Geçiş 16 Süreksiz bir büyüme süreci şöyledir: 1 0 0 0 1.Yıl: A = A + ra = A 1+ r 2.Yıl: A = A + ra = A 1+ r + ra 1+ r = A 1+ r 2 1 1 0 0 0 3 2 2 0 1 1 0 3.Yıl: A = A + ra = A 1+ r... 3.Yıl: A = A + ra = A 1+ r 2

Yıldan yıla gelişen bu kesikli faiz sürecini, bir yılın alındaki zaman dilimlerini de (günlük, aylık, üç aylık gibi) kapsayacak şekilde genelleşirelim. Bir yılda ekrarlanan vade sayısına m diyelim. r 1 0 m 0 0 ( r ) 1.Dönem: A = A + A = A 1 + 2.Dönem: A = A + A = A 1+ + ra 1+ = A 1+ r r r r 2 1 m 1 0 m 0 m 0 m r 3 2 m 2 0 ( r ) 3.Dönem: A = A + A = A 1+... r m m 1 m m 1 0 3 ( r ) m.dönem: A = A + A = A 1+ m m m m 17 2

Bir yılda ekrarlanan vade ve yıllık birikimi birlike yazalım: 18 A ( r ) = A + 0 1 m m Bu ifade, bir yıl içerisinde m kadar ekrarlanan ve yıl süren bir bileşik faiz sürecinin sonunda birikecek olan oplam geliri gösermekedir. Süreç zaman dilimleri arasında sıçramalarla ilerlediğinden, kesiklidir. Ancak ikisa biliminde bu kesikli süreçlerin yanında, birikimin (büyümenin) sürekli biçimde gerçekleşiği durumlar da vardır. Bu nedenle, yukarıdaki kesikli bileşik birikim sürecini, sürekli biçime dönüşürelim.

19 m r 1 V ( m) = A 1+ A 1 m = + m r m r r m w = V ( m) = A 1 + r 1 w w r w 1 limv ( m) = lim A 1 + = Ae w w w r r V m = Ae r

Kesikli ve Sürekli S Büyümede B Bugünk nkü Değer er 20 = ( 1+ ) = ( 1+ ) V A r A V r 0 0 m r r V( m) = A 0 1+ A0 = V 1+ m m m r 0 0 V( m) = A e A = V e r

e sayısı ve Anlık k Büyüme B HızıH 21 V = A e 0 r dv d ra e r = 0 = rv dlnv dv V dv 1 V = = = = d d d V V r

22 Logarima Üsel ve logarimik fonksiyonlar monoonik olduklarından ersi alınabilir ve birbirlerinin ersi olan fonksiyonlardır. y = b = log y y = e = log y = ln y b e

Şekil 5.4. Doğal Üsel ve Doğal Logarimik Fonksiyonlar 23 y y = e = ln y 1 0 1

Temel Logarima Kuralları 24 1. Bir Çarpımın n Logariması: ln uv = ln u + ln v, u, v > 0 İspa: uv = e ln ( uv) u = e, v = e * ln u * lnv ln ln ln * * ln u ln v ln u ln v * * uv = e e = e + uv = u+ v

2. Bir Bölümün B n Logariması: 25 u ln = ln u ln v, u, v > 0 v İspa: u v u ln v = e, u = e, v = e * ln u * lnv * ln u * u e ln u ln v u = = e ln ln u ln v * ln v * = v e v

3. Bir Kuvvein Logariması: 26 a ln u = aln u, u> 0 İspa: a a u aln u a ( ln ) u = e = e ln u = aln u

4. Logarima Tabanının n Değişirilmesi 27 log u= log e log u b b e İspa: p u= e p = log u p log u= log e = plog e = log ulog e b b b e b e

5. Logarima Tabanının n Tersi 28 log b e = 1 log e b İspa: u= b b = e b log ( log )( log ) b b e 1 1 1= log e log b log e = b e b 1 log e b

1. Logarimik Fonksiyon Türev T Kuralı 29 dy d 1 y = ln = ( ln ) = d d du y = ln f, u= f = f d dy d d ln u du 1 du f y = ln u = ( ln f ) = = = d d du d u d f dy f = d f

2. Doğal Üsel Fonksiyon Türev T Kuralı 30 dy d y = e = ( e ) = e d d du = = = d, f y e u f f ( u ) dy d d e ( f ( )) du = = = = = d d du d f ( ) u u y e e e f f e dy d = f f e

Örnek 1: dy r r y = e = re d 31 Örnek 2: dy = = d y e e Örnek 3: y dy a 1 = ln( a) = = d a

Örnek 4: dy y = aln = a d 1 32 Örnek 5: dy 1 y = 3 ln 2 3 2 ln 2 2 3 2 3ln 2 2 d = + = + Örnek 6: ln dy 1 1 y = logb y = = ln b d ln b

Örnek 7: 33 f dln y y = b ln y = f ln b = f ln b d dy y d dy f = f ln b = yf ln b = b f ln b d Örnek 8: ln f dy 1 f y = log b f y = = ln b d ln b f

34 Örnek 9: dln y y = y = ( ) = d 1 12 ln 1 ln12 ln12 dy y d dy = = d 1 ln12 12 ln12

Örnek 10: 2 ln 1 + y = logb y = 1+ lnb 2 35 1 y = + ln b ( 2 ln ln( 1 )) dy 1 ( 2 ) 1 2 1 = ln ln 1 + + 2 d ln b ln b 1 + 1 = ln + 2 d ln b 1 + 1+ 2 dy

Örnek 11: 36 y = x ( x+ 3)( 2x+ 1) 2 2 ln ln ln 3 ln 2 1 y = x x+ x+ dln y 2x 1 2 = 2 d x x x ( + 3) ( 2 + 1) 2 1 2 = d x x x x 2 dy x x 2 + 3 2 + 1 x ( + 3) ( 2 + 1)

Opimal Zamanlama: Şarap Depolama Problemi 37 Şarabın değeri verilmiş olsun: V = Ke Şarap üreicisi =0 anında şarabı saarsa (yani depolama yapmadan doğruca üreimden saışa giderse), şarabın değeri: = 0 V = Ke V = K 0 0 0 Yani K, şarabın üreildiği andaki değeridir. Üreici, kârını maksimize edebilmek için şarabı ne kadar süre depolamalıdır? Bir başka ifadeyle, opimal şarap depolama süresi nedir (depolamanın maliyesiz olduğunu varsayıyoruz)?

38 Şarabın, mahzende depolandıkan sonra saılması halinde kazanılacak gelirin bugünkü değerini, piyasada geçerli olan faiz oranından indirgeme yaparak belirleriz: A = Ve r Buna göre, V nin bugünkü değeri: A = Ve = Ke e r r A = Ke r

39 Amaç, V nin bugünkü değerini (A ) maksimize emekir. Bunun için opimizasyonda gerekli ve yeerli olan birinci ve ikinci sıra koşullardan yararlanırız. Birinci Sıra Koşul: da d = 0 İkinci Sıra Koşul: 2 d A < 0 2 d

40 A = Ke r ln 1 dln A 1 2 A= ln K + r = 1 r d 2 2 da A d 1 da ( r) 1 = 1 r = Ke 1 r 2 2 2 d = 2 0 1 * 1 1 r = 0 = 2 2 4r 2 Opimal Depolama Süresi

41 Görüldüğü gibi, bekleme (depolama) süresi () ile piyasa faiz oranı (r) arasında ers yönlü bir ilişki vardır. Piyasa faiz oranı ararsa, şarabın değerlenme süresi de giderek kısalır: * 1 d 1 = = < 2 3 4r dr 2r 0

Şimdi ikinci sıra koşulu inceleyelim: 42 2 d A d d 2 d d d r 1 1 Ke 2 r A 2 r 1 1 2 2 = = 1 2 1 2 d r da 1 2 = A + r 2 d A 2 d d d ( 1 ) 2 0 2 d A 1 2 1 d 2 r ( 3 ) 1 A 2 = A = A 2 4 = < d d 3 4 0

GSMH de Büyümenin B Belirlenmesi 43 Türkiye GSMH si belirli bir dönem için yıllık ve üçer aylık olarak aşağıda verilmişir. Her iki zaman dilimindeki ardışık ve oralama büyüme oranlarını bulalım. Yıllar GSMH (1987=100) (Milyar TL) 1950 10827 1951 12205 1952 13667 1953 15214

Genel olarak (yıllık) büyüme oranının belirlenmesi: 44 g Y Y Y = = Y Y 1 1 1 Örneğin 1951 yılındaki büyüme oranını bulalım: g 1951 Y Y Y 1951 1951 1950 = = = Y Y 1950 1950 12205 10827 10827 g 1951 = 0.1129 = %11.29

Belirli bir dönemdeki oralama büyüme hızının belirlenmesi: 45 Y = Y e lny = lny + g g 0 0 g = lny lny 0 Y 0 dan Y ye geçen süre 1 yıl ise ( =1) büyüme oranı: g = lny lny 1

46 Diğer yıllara ilişkin büyüme oranları da aşağıdaki abloda hesaplanmışır: Yıllar GSMH (1987=100) (Milyar TL) Büyüme Oranları (%) Oralama Büyüme Oranları (%) 1950 10827 1951 12205 1952 13667 1953 15214 11.29 10.70 10.17 11.98 11.31 10.72

1400.0 1200.0 1000.0 800.0 600.0 400.0 200.0 0.0 Şekil 5.5. Türkiye T rkiye nin GSMH Gelişimi imi y = 41.013e 0.0434x R 2 = 0.9856 47 1923 1926 1929 1932 1935 1938 1941 1944 1947 1950 1953 1956 1959 1962 1965 1968 1971 1974 1977 1980 1983 1986 1989 1992 1995 1998 2001

Tablo 5.2. TürkiyeT rkiye nin Üçer Aylık k GSMH Gelişimi imi 48 Üçer Aylık Dönemler GSMH (1987=100) (Milyar TL) 1980.1 9060548 1980.2 10804801 1980.3 17808035 1980.4 12622606 1981.1 9687466 1981.2 11563892 1981.3 18249736 1981.4 13227577

Genel olarak (üçer aylık) büyüme oranının belirlenmesi: 49 g i. Y Y Y i. i. 1. i = = i = Y Y 1. i 1. i, 1,2,3,4 Örneğin 1981 yılının ikinci üç oranını bulalım: aylık dönemindeki büyüme g 1981.2 Y Y Y 1981.2 1981.2 1980.2 = = = Y Y 1980.2 1980.2 11563892 10804801 10804801 g 1981.2 = 0.0703 = %7.03

Diğer dönemlere ilişkin büyüme oranları da aşağıdaki abloda hesaplanmışır: 50 Üçer Aylık Dönemler GSMH (1987=100) (Milyar TL) Büyüme Oranları (%) 1980.1 9060548 1980.2 10804801 1980.3 17808035 1980.4 12622606 1981.1 9687466 1981.2 11563892 1981.3 18249736 1981.4 13227577 6.69 7.03 2.48 4.79

40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 Şekil 5.5. Türkiye T rkiye nin GSMH Gelişimi imi (1987.1-2002.4) 51 1987Q1 1987Q4 1988Q3 1989Q2 1990Q1 1990Q4 1991Q3 1992Q2 1993Q1 1993Q4 1994Q3 1995Q2 1996Q1 1996Q4 1997Q3 1998Q2 1999Q1 1999Q4 2000Q3 2001Q2 2002Q1 2002Q4 Mevsimsellik içeren GSYİH serisi X-12 yönemiyle mevsimselliken arındırılmış GSYİH serisi

Fonksiyonların n Bileşimlerinin imlerinin Büyüme B HızıH 52 1.Çarp arpım m Biçimindeki imindeki Fonksiyonlarda y = uv, u= f, v = g ln y = ln uv ln y = ln u+ ln v d ln y d lnu d lnv dy y du u dv v = + = + d d d d d d y u v = + r = r + r y u v y u v

2.Bölüm m Biçimindeki imindeki Fonksiyonlarda 53 u y =, u= f, v = g v u ln y = ln ln y ln u ln v v = dln y dln u dln v dy y du u dv v = = d d d d d d y u v = r = r r y u v y u v

3.Toplam ya da Fark Biçimindeki imindeki Fonksiyonlarda 54 y = u+ v, u= f, v = g ln dln y y = ln( u+ v) = d ( + ) dln u v d r r y y = = ( + ) ( + ) d u v u v d ( + ) + d f g f g d 1 ry = f + g f g +

f r u = f = f r f u 55 g r v = g = g r g v 1 r = f r + g r f g + y u v f g r = r + r f + g f + g y u v

Örnek 12: 56 Bir ekonominin mal ihracaı arış hızı r G =/3; hizme ihracaı arış hızı r S =/5 olarak kaydedilmişir. Buna göre, bu ekonominin oplam ihracaının arış hızı nedir? = + X G S G S G S 5G+ 3S rx = rg + rs rx = X X X 3 + X = 5 15X

Örnek 13: 57 Bir ekonominin GSYİH büyüme oranı %2.5; nüfus arış hızı da %1.4 ise, kişi başına GSYİH arış hızı nedir? Y y = ln y = lny ln N N dln y dlny dln N = d d d y y = 0.025 0.014 = 0.011

Örnek 14: 58 Bir firmanın saığı malın fiyaı 2003 yılı içinde %5 değerlenmiş ve saış mikarı da %3 armışır. Buna göre, firmanın oplam hasıla arışı nedir? R= PQ ln R= ln P+ lnq dln R dln P dlnq = + d d d R P Q = + = 0.05 + 0.03 = 0.08 = %8 R P Q

Örnek 15: 59 Bankaya iki yıllık süre için yılda %10 bileşik faizle yaırılmış olan 1000 TL nin sağlayacağı oplam geiri nedir? A = 1000 TL, r = %10 = 0.1, = 2 0 V = A 0 ( 1+ r) V = 1000( 1 + 0. 1) 2 V = 1210

Örnek 16: 60 Örnek 15 eki vade süresi 6 ay olsa oplam geiri ne olurdu? 0 A = 1000 TL, r = %10 = 0.1, = 2, m = 2 6 ay vade m r 0.1 V = A0 1 + V = 1000 1 + m 2 ( 2)( 2) V = 1215. 5

Örnek 17: 61 Örnek 15 eki vade süresi sıfıra yaklaşırsa, yani bir yıl içindeki vade ekrarı sonsuza giderse oplam geiri ne olurdu? A = 1000 TL, r = %10 = 0.1, = 2, m 0 = = r V A0e V e ( 0.1)( 2) V = 1221.4

Örnek 18: 62 Örnek 15, 16 ve 17 de değişik vadelere bağlı olarak birikimli faiz işleme sürecini inceledik. Faiz sürecinin sonunda elde edilen oplam geiri, vadeye bağlı olarak değişmekedir. Buna göre, yıllık efekif faiz oranı nedir? Efekif faiz oranı, üm uygulamalardaki oplam geirileri eşileyen faiz oranıdır. A 1+ r = A 1+ 0 e 0 r m m

63 r A0 1+ re = A0 1+ m m r e m r = 1+ 1 m m r i lim re = lim 1 + 1 = e 1 m m m r e i = e 1 r e m r 0.1 = 1 + 1 re = 1 + 1 = 0.1025 = m 2 2 %10.25 i 0.1 re = e 1 re = e 1= 0.10 2 = % 10.5 5 2

Örnek 19: 64 5 yıllık (vadeli) bir bononun yıllık %9 faizden sağlayacağı oplam gelir 1000 TL dir. Bu bononun bugünkü değeri nedir? m r r V = A0 1+ A0 = V 1+ m m m V = 1000, r = %9 = 0.09, = 5, m = 1 5 0.09 A0 = 1000 1 + A0 649.93 TL. 1 =

Bir Anuienin Şimdiki Değeri eri 65 Anuie, veri bir zaman diliminde, her bir dönem için yapılan ödemeler dizisine denir. Aşağıdaki şekilde, n dönem boyunca her dönem R liralık ödemenin, bugünkü değerleri dönem dönem göserilmişir. Her bir dönem için yapılan ödemelerin bugünkü değerlerinin oplamını yazalım. 1 2 n 1 n ( 1 ) ( 1 )... ( 1 ) ( 1 ) A = R + r + R + r + + R + r + R + r

66 0 1 2 3 n 1 R R R R R n R R ( 1 + r ) 1 ( 1 + r ) 2 ( n 1 1 + ) R r ( 1 + ) R r n

1 2 n 1 n ( 1 ) ( 1 )... ( 1 ) ( 1 ) A = R + r + R + r + + R + r + R + r 67 Bu, bir geomerik seridir. Terim sayısı n, ilk erimi R(1+r) -1 ve orak çarpanı (1+r) -1 dir. Bu oplamı şöyle bulabiliriz: 1 2 n 1 n ( 1 ) ( 1 )... ( 1 ) ( 1 ) A = R + r + R + r + + R + r + R + r 1 2 3 n n 1 ( 1 r) A R( 1 r) R( 1 r)... R( 1 r) R( 1 r) + = + + + + + ( n ) 1 1 1 A 1 1 r R 1 r 1 r ( 1 r) + = + + +

68 ( n ) 1 1 A 1 1 r R 1 r 1 ( 1 r) + = + + ( n ) ( n ) 1 1 r 1 1 r + + 1 1+ r A= R = R 1 1 1 1+ r 1+ r 1 1+ r n 1 1+ r 1 1+ A= R A= R ( 1+ r) 1 r ( r) n

Örnek 20: 69 Aylık 1000 TL. kazandıran, %6 bileşik faizdeki, 3.5 yıllık bir anuienin bugünkü değeri nedir? 0.06 R = 1000 TL., r = = 0.005, n= ( 3.5)( 12) = 42 12 A = R ( 1 r ) 1 + r n A 1 1 + 0.005 42 = 1000 = 37798.3 TL. 0.005

Bir Anuienin Gelecekeki Değeri eri 70 Bir anuienin gelecekeki değeri (mikarı), üm dönemler sonunda yapılmış olan ödemelerin oplam değeridir. Aşağıdaki şekilde Aşağıdaki şekilde, n dönem boyunca her dönem R liralık ödemenin, gelecekeki değerleri dönem dönem göserilmişir. Her bir dönem için yapılan ödemelerin bugünkü değerlerinin oplamını yazalım. 2 3 n 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )... ( 1 ) V = R+ R + r + R + r + R + r + R + r

71 0 1 2 3 n 2 n 1 n R R R R R R R R ( 1 + r ) ( 1 + r ) 2 R ( 1 + r) n 1

72 2 3 n 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )... ( 1 ) V = R+ R + r + R + r + R + r + R + r Bu, bir geomerik seridir. Terim sayısı n, ilk erimi R ve orak çarpanı (1+r) dir. Bu oplamı şöyle bulabiliriz: 2 3 n 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )... ( 1 ) V = R+ R + r + R + r + R + r + + R + r + 2 n 1 ( 1 r) V R( 1 r) R( 1 r)... R( 1 r) R( 1 r) + = + + + + n n 1 1 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) n + r V r R r + = + V = R r

Örnek 21: 73 %6 bileşik faiz üzerinden 3 yıl boyunca ve her 3 ayda bir yapılan 50 TL lik ödemelere sahip bir anuienin gelecekeki değeri nedir? 0.06 R = 50 TL., r = = 0.015, n= ( 4)( 3) = 12 4 n 1 + r 1 ( 1 + 0.015) 12 1 V = R V = 50 = 652.06 TL. r 0.015

74 Yaırım m Fonu Yaırım fonu, gelecekeki bir zorunlulukan öürü, ödemelerin periyodik biçimde önceden yapılmasıdır. Örneğin 7000 TL lik bir makine saın aldığımızı ve 8 yıllık kullanım ömrü olduğunu varsayalım. 8. yılın sonunda yenisini alabilmek için her dönem bir kenara ayırmak ayırmamız gereken para, yaırım fonudur.

Örnek 22: 75 Kendisine 6 yıl boyunca her yıl 1000 TL. kazandıracağını ahmin eiği bir makineyi saın almak iseyen bir firma, yaırım fonuna yıllık ödeme yapmakadır ve bileşik faiz oranı da yıllık %5 ir. Firmanın bu makine yaırımından %7 kazanmak isemesi halinde, makineye yapması gereken ödeme mikarı ne olur?

Makinenin saın alınma fiyaına X 76 diyelim. Dolayısıyla bu makine her yıl firmaya ( 0.07X ) kadar kazandıracakır. Makinenin yıllık geirisi 1000 TL. olduğundan, geri kalan yıllarda firma yaırım fonuna her yıl için (R=1000-0.07X) kadar ödeme yapacakır. Bu ödemelerin oplamı, X e eşiir. X 1+ 0.05 ( 1000 0.07X) 6 = 0.05 1 X = 4607.92 TL.

Bir Borcun Ödeme Dönem D Sayısının n (n)( ) Belirlenmesi 77 Anuie bugünkü değerinin belirlenmesi hesabından hareke ederek, ödeme dönem dayısını (n) belirleyebiliriz: 1 ( 1 ) n + r Ar A= R = 1 1+ r r R ( + r ) = n ( r) n R Ar R Ar 1 ln 1+ = ln R R n n = ln R ln R Ar ( 1 + r )

Örnek 23: 78 Bir müzik markeen 1500 TL.değerinde bir müzik sei saın aldınız? Her ay 75 TL. ödeme yapacaksınız. Marke bu vadeli alış verişe yıllık %12 bileşik faiz işleiyorsa, borcunuzun amamını kaç ödemede kapaabilirsiniz? R ln R Ar 0.12 n=, A= 1500 TL., R = 75 TL., r = = 0.01 ln 1 12 ( + r ) n 75 ln 75 ( 0.01 )( 1500 ) = ln 1 0.01 ( + ) n 22.4 ay

Örnek 24: 79 Bir A ekonomisinin gelecek yıllarda, yıllık oralama %5, B ekonomisinin de %2 büyüyeceğini varsayalım. B ekonomisi, A ekonomisinden iki ka daha zengin ise, kaç yıl sonra A ekonomisi B kadar zenginlik düzeyine ulaşır? A ve B ekonomilerinin yıl sonraki GSMH leri: = ga, = A A0 B B0 Y Y e Y Y e g B

yıl sonra her iki ekonomi aynı zenginlik düzeyinde olacağından, yıl sonraki GSMH leri eşileyelim: 80 Y = Y Y e = Y ga A B A0 B0 e g B 2Y = Y Y e = 2Y e e = 2e 0.05 0.02 0.05 0.02 A0 B0 A0 A0 ( 0.05) ( 0. 02 e = e ) ln ln 2 + ln 0.05 = 0.693 + 0.02 * 0.693 = 0.03 23.1 yıl

Örnek 25: 81 Eksik isihdamdaki bir ekonominin kişi başına GSMH sinin yıllık oralama %1 hızla büyüyeceğini varsayalım. Bu ekonomi kaç yılda şu anki kişi başına GSMH sinin iki kaına ulaşır? y = 2 y, g = %1 = 0.01 0 y = y e 2 y = y g 0 0 0 e 0.01 ( 0. 01 e ) ln 2 = ln 0.693= 0.01 * 0.693 = = 69.3 70 0.01 yıl

Örnek 26: 82 Yaşam maliye endeksi, baz yılı olan 1983 en beri her yıl %12.5 armışır. Buna göre, 1990 daki yaşam maliyei endeks değeri nedir? C 83 = 100 ( 1 ) C 100( 1 + 0.125) C = C + i = 90 83 90 7 C 90 = 228.07

Örnek 27: 83 Bir firmanın saışlarının bugünkü değeri 150 TL. dir. Bu firma saışlarını her yıl %8 arıracak olursa, 6 yıl sonraki saışlarının değeri ne olur? S = 150, i = %8 = 0.08, S =? 0 6 ( 1 ) ( 1 0.08) S = S + i S = S + 0 6 0 6 S 6 = 238. 03

Örnek 28: 84 Bugün 1 ABD Dolarının 1,400,000 TL olduğunu varsayalım. Dolar, TL karşısında yılda %2.6 oranında değer yiirirse, 25 yıl sonra 1TL kaç Dolara eşi olur? D = 1, 400, 000 TL, i = %2.6 = 0.026, D =? 0 25 D ( 1 i) D = D ( 1 0.026) = D 0 25 0 25 D 25 724,606 TL.

Örnek 29: 85 Gelişmeke olan bir ülke asarruflarını 5.6 milyar $ dan, 12 milyar $ a yükselmek isiyor. Her yıl asarruflarını %15 oranında arırırsa, kaç yılda bu hedefine ulaşabilir? S = 5.6, g = %15 = 0.15, S = 12, =? 0 S ( 1 ) ln ln ln( 1 ) S = S + g S = S + + g 0 S 0 S ln S ln S ln12 ln ln 5.6 0 = = = ( 1 + g ) ln( 1 + 0. 15) S 5. 45 yıl

Örnek 30: y = 4xe 3 x fonksiyonunun uçdeğerini araşıralım. 86 dy dx ( 3x) 3x 3x = 4x 3e + 4e = 4e 3x+ 1 = 0 3x+ 1= 0 x = 1 3 2 d y dx 2 = e x+ + e = e x+ 3x 3x 3x 12 3 1 12 12 3 2 x d y = = > 3 dx 2 1 ' e 2 4.4 0 1 Buna göre, x = 'e bir minimum vardır. 3

Şekil 5.6. 87 0.6 y = 4xe 3 x 0.4 0.2-2 -1.5-1 -0.5 0.5-0.2-0.4

Veri Nüfus N Sayımlar mlarını Dikkae Alarak Ara Yıl Y l ve Geleceke Nüfus Tahminleri: 88 Yıllar Nüfus Sayımları (Bin Kişi) Nüfus Arış Hızları (%) 1975 40078 1980 44438 1985 50306 1990 56098 2000 67845 2.07 2.48 2.18 1.90

89 n N = N e ln N = ln N + ln e 0 0 ( n ) n = ln N ln N n 0 = ln N ln N 0 Yıllık k Oralama Nüfus Arış Hızı

1975-1980 arasındaki yıllık oralama nüfus arış hızını hesaplayalım: 90 N = N = 40078, N = N = 44438, = 5 0 75 80 n ln N ln N ln N ln N ln 44438 0 80 75 = = = 5 5 ln 40078 n = 0.0207 = % 2.07

Nüfus sayımı yapılmayan bir ara yılın, örneğin 1976 yılının nüfusunu, yukarıda bulduğumuz 1975-1980 arasındaki yıllık oralama nüfus arış hızı değerini kullanarak ahmin edelim: 91 N = N = 40078, = 1, n= 2.07 0 75 N = N = 76? N = N e N = 40078e n 0 76 20.7 N 76 40914

Şimdi de 2010 yılı nüfusunu, ilk olarak %1.8, ikinci olarak %1.5 nüfus arış hızlarına göre ahmin edelim. 92 N = N = 67845, = 10, n= 0 2000 } 0.018 0.015 N = N = 2010? n 0 2010 ( 0.018) N = N e N = e N 10 67845 2010 8122 5 N n 0 2010 ( 0. 015) = Ne N = 6 e N 10 7845 2010 78825

Büyüme Muhasebesi 93 (, ) ln ln (, ) Y = F K L Y = F K L dlny lny dk lny dl Y = + = K + d K d L d Y K L ( YY) ( YY) L Y ( YY) K ( YY) L Y Y K K Y L L = K + L = + Y K K L L Y K Y K L Y L Y K L = εyk + εyl Y K L