Statik ve Mukavemet Kesit Tesirleri Tekil Kuvvetler B ÖĞR.GÖR.GÜLTEKİN BÜYÜKŞENGÜR Çevre Mühendisliği
Mukavemet Şekil Değiştirebilen Cisimler Mekaniği Kesit Tesiri ve İşaret Kabulleri Kesit Tesiri Diyagramları 2
Mukavemet Şekil Değiştirebilen Cisimler Mekaniği Mukavemet kavramını tanımlayacak olursak; cisimlerin çeşitli dış etkiler ve bu dış etkilerin neden olduğu iç kuvvetler karşısında gösterecekleri davranış biçimini inceleyen bilim dalıdır. Kısacası, şekil değiştirebilen cisimler mekaniğinde cismin dayanımını (mukavemeti) inceleyen bilim dalı da denilebilir. Taşıyıcı sistemler, üzerlerine gelen yükleri güvenlik sınırları içinde taşıyıp zemine ileten sistemlerdir. Bu sistemler çeşitli elemanların birleşmesi ile oluşurlar. Bu sistemleri oluşturan elemanlara ise yapı elemanları denir. Yapılar boyutları bakımından; 1- Çubuklar (tel, halat, kablo, direk, kiriş, kemerler, Bir boyutlu taşıyıcı cisimler 2- Levha, plak ve kabuklar (Döşeme plakları, kubbe ve tonozlar) 3- Üç boyutlu yapılar (Ağırlık barajları) olarak 3 sınıfa ayırabiliriz. 3
Mukavemet Şekil Değiştirebilen Cisimler Mekaniği Şekildeki dikdörtgen kesitli çubukta, z ekseni aynı zamanda çubuğun eksenidir. Bu eksene dik olacak biçimde çubuk kesildiğinde ortaya çıkan yüzeye Dik Kesit denir. Dik kesitin ağırlık şekilde kmerkezi ise her zaman çubuk ekseni üzerinde bulunur. Şayet çubuk eksenine eğik olacak şekilde çubuk kesilecekse aşağıdaki i gibi bir Eğik Kesit ortaya çıkacaktır. Dik Kesit Eğik Kesit z x y 4
Kesit Tesirleri Dış kuvvetlerin tesiri altında dengede bulunan bir çubuk hayalen ikiye ayrılacak olursa, parçaların da dengede bulunması için, ayırma yüzeylerine birtakım iç tesirlerin konulması gerekir. Kesit üzerinde yayılı olan bu iç kuvvetler, kesitin C ağırlık merkezine indirgenecek olursa, bir R kuvvetiyle bir M momenti elde edilir. Bu değerlere kesit tesirleri adı verilir. 5
İç Etkiler Dış kuvvetlerin etkisindeki bir kiriş, belirli bir konumundan kesildiğinde, kesitte oluşan etkiler; Eksenel Kuvvet (Axial Force) : H Kesme Kuvveti (Shear Force) : V Eğilme Momenti (Bending Moment) : M Burulma Momenti (Torque) : T şeklindedir. Normal Kuvvet : Kesite dik etkiyen bir kuvvettir ve gösterimde N harfi kullanılır. Kesme Kuvveti : Kesit düzlemi içinde bir kuvvettir ve gösterimde T harfi kullanılır. Eğilme Momenti : Çubuğu, kendi eksenine dik doğrultuda döndüren momenttir ve gösterimde kullanılacak M e harfi alt indisli yazılır. Burulma Momenti : Çubuğu ekseni etrafında döndüren momenttir ve gösterimde M b harfi kullanılır. 6
İç Etkiler 7
İç Etkiler Kesme Kuvveti (Shear Force) Eğilme Momenti (Bending Moment) Burulma Momenti (Torsion) Bileşik Etki (Combined Loading) 8
İç Etkiler Düzlemsel kuvvetlerin etkisindeki bir kirişte, genellikle, kesme kuvveti ve eğilme momentinin etkileri önemlidir. Kesme kuvveti ve Eğilme momentinin işaret notasyonu literatürde, genellikle, aşağıda görüldüğü gibi seçilir. 9
İç Etkiler Eğilme momentinin etkisi için örnek: Kesiti H-profili olan kirişe pozitif eğilme momenti etki ederse, alt ve üst flanşlarda şekilde görüldüğü gibi, çekme ve basınç kuvvetleri oluşur. 10
Çeşitli Tiplerde Kiriş Yükleri a) Tekil Yükler Kiriş uzunluğu boyunca uygulanan yükleri taşımak için tasarlanırlar. Kirişler tekil yüklere veya yayılı yüklere veya her ikisine birden maruz kalabilir. 11
Çeşitli Tiplerde Kiriş Yükleri b) Yayılı Yükler Kiriş tasarımı iki basamaklıdır: Yüklerin oluşturduğu kayma kuvvetleri ve eğilme momentleri hesaplanır. Kayma kuvvetlerine ve eğilme momentine dayanacak en iyi kesit seçilir ve boyutlandırılır. 12
Çeşitli Tiplerde Kiriş Yükleri Kirişlerdeki Kuvvetler 13
Bölge Sayısı Çerçeve çubuğuna bağ kuvvetleri dışında etkiyen dış yüklerin onun üzerindeki yük dağılımını değiştireceği için, kesit tesirlerinin yükten öncesi ile yükten sonrasında değerleri ya da davranışları değişir. 14
Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramları Tekil ve yayılı yük etkisi altındaki kirişte her hangi bir kesitte kesme kuvveti ve eğilme momentinin bilinmesi gerekiyorsa: Tüm kiriş için SCD oluşturulduktan sonra tepki kuvvetleri bulunur. 15
Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramları Kiriş C gibi her hangi bir noktadan kesilir ve AC ve CB eleman parçaları için SCD oluşturulur: Kesitlerde iç kuvvet kuvvet çifti yerleştirilir. 16
Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramları Örnek; Şekli verilen basit kiriş için kesme ve moment dağılımını belirleyiniz. 17
Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramları Çözüm; İlk olarak tepki kuvvetleri bulunur. Kiriş C noktasında kesilir ve AC eleman parçası için SCD çizilir. V = + P 2, M = +P x 2 18
Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramları Kiriş E noktasında kesilir ve EB eleman parçası için SCD çizilir. V = P 2, M = +P(L x ) 2 19
Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramları Tekil yüke maruz kirişlerde yükleme noktaları arasında kesme kuvveti sabittir ve eğilme momenti mesafe ile lineer olarak değişir. 20
ÖRNEK A noktasından sabit ve B noktasından kayar mesnet ile mafsallanmış 4kN yükü taşıyan basit kiriş için kesme ve moment dağılımını belirleyiniz. 4 kn A 6 m 4 m B 21
ÖRNEK Çözüm : Bu tür problemlerde önce mesnet reaksiyonları hesaplanarak başlanmalıdır. y 4 kn A B x R A 6 m 4 m R B 22
ÖRNEK Çözüm : Serbest cisim diyagramından mesnet tepki kuvvetleri R A =1,6kN ve R B =2,4kN olarak bulunur. y 4 kn A B x R A =1,6 kn 6 m 4 m R B R B =2,4 kn y M M x V V 10-x V R A =1,6 kn R B =2,4 kn 23
ÖRNEK Çözüm : Öncelikle kirişin başlangıçtan x uzaklığında ve tekil kuvvetin solunda kalan bir kesit alınır. Üzerinde kesme kuvveti (V) ve momenti (M) pozitif yönlerde gösterilir ve serbest cisim diyagramı çizilir. Denge denklemlerinden aşağıdaki ifadeler yazılır: F Y = 0 ; 1,6 V = 0 denkleminden V = 1,6 kn + M RA = 0 ; M 1,6x = 0 denkleminden M = 1,6 x Bu V ve M değerleri yalnızca kirişin 4 kn`luk tekil kuvvetin solunda kalan kesitler için uygulanabilir. İkinci olarak tekil kuvvetin sağ tarafından bir kesit alınır. Dengeden: F Y = 0 ; V + 2,4 = 0 ise V = -2,4 kn + M RB = 0 ; -(2,4)(10 x) + M = 0 ise M = 2,4(10 x) sonuçları tekil kuvvetin sağ tarafı için bulunur. 24
ÖRNEK Çözüm : V, kn 1,6 0 0 + 6-10 -2,4 x, m 9,6 0 M, kn.m 0 + 6 10 x, m 25
ÖRNEK Şekilde verilen kiriş boyunca kesme kuvveti, eğilme momenti diyagramlarını çiziniz. 26
ÖRNEK Çözüm; Kiriş için SCD oluşturulur. B ve D noktalarındaki tepki kuvvetleri hesaplanır. + M D = 0 ; (20kN)(7,5m) B(5m) + (40kN)(2m) = 0 B = 46 kn + F Y = 0 ; - 20 kn + 46 kn 40 kn + D = 0 D = 14 kn 27
ÖRNEK Çözüm; F Y = 0 ; - 20 kn V 1 = 0 V 1 = V 2 =-20 kn + M A = 0 ; (20kN)(x) + M 1 = 0 M 1 = M 2 = -(20kN)x F Y = 0 ; - 20 kn+ 46kN V 3 = 0 V 3 = V 4 =26 kn + M A = 0 ; (20kN)(x) (46kN)(x 2,5m) + M 3 = 0 M 3 = M 4 = -115kNm + (26kN)x 28
ÖRNEK Çözüm; F Y = 0 ; - 20 kn+ 46kN 40kN V 5 = 0 V 5 = V 6 =14 kn + M A = 0 ; (20kN)(x) (46kN)(x 2,5m) + (40kN)(x 5,5m) + M 3 = 0 M 5 = M 6 = 105kNm - (14kN)x 29
ÖRNEK Çözüm; V 1 = V 2 = 20 kn M 1 = M 2 = 20 kn. x V 3 = V 4 = 26 kn M 3 = M 4 = 115kNm + 26kN. x V 5 = V 5 = 14 kn M 5 = M 6 = 105kNm 14kN. x 30