EĞİLME. Köprünün tabyası onun eğilme gerilmesine karşı koyma dayanımı esas alınarak boyutlandırılır.

EĞİLME Köprünün tabyası onun eğilme gerilmesine karşı koyma dayanımı esas alınarak boyutlandırılır.

EĞİLME Mühendislikte en önemli yapı ve makine elemanları mil ve kirişlerdir. Bu bölümde, mil ve kirişlerde eğilmenin sebep olduğu gerilme belirlenecektir. Öncelikle, kiriş veya mil için kesme ve moment diyagramının nasıl oluşturulacağı ele alacağız. Normal kuvvet ve tork diyagramları gibi kesme ve moment diyagramları da elemandaki hem en büyük kesme ve momentin büyüklüğünü hem de yerinin belirlenmesi için oldukça kullanışlı grafikler sağlar. Bir kesitteki iç momentin belirlenmesinden sonra eğilme gerilmesi hesaplanabilir. Öncelikle, simetrik kesitli lineer elastik homojen malzemeden doğrusal elemanlar ele alınacaktır. Basit mesnetli kiriş Konsol kiriş Basit mesnetli çıkmalı kiriş

EĞİLME İnce ve boyuna eksenine dik doğrultuda uygulanan yükleri taşıyan yapı elemanları kiriş olarak adlandırılır. Kirişler, genellikle sabit kesitli doğrusal ve uzun çubuklar olup çoğu kez mesnet şekillerine göre sınıflandırılırlar. Örneğin, Şekil görüldüğü üzere basit mesnetli kiriş bir ucundan pim (mafsal) diğer ucundan kayar mesnetli, konsol kiriş bir ucu sabit diğer ucu serbest ve çıkmalı kiriş bir ucu pim bağlı diğer ucu veya uçları ise kayıcı mesnet üzerine serbestçe uzanır. Bütün yapı elemanları arasında en önemlisinin kiriş olduğu söylenir. Binanın döşemesinde, köprünün tabyasında veya uçak kanadının taşınmasında kirişler kullanılır. Ayrıca, otomobilin aksı, vincin kolu, vücudumuzdaki kemiklerin birçoğu kiriş olarak görev yaparlar. Basit mesnetli kiriş Konsol kiriş Basit mesnetli çıkmalı kiriş

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) Uygulanan yükler sebebiyle kirişlerde genellikle kiriş ekseni boyunca bir noktadan diğerine değişen iç kesme kuvveti ve eğilme momenti meydana gelir. Bu yüzden uygun bir kiriş tasarımı için öncelikle kirişteki maksimum kesme ve eğilme momentinin belirlenmesi gerekir. Bunların elde edilmesinin bir yöntemi de V (kesme) ve M (moment) nin kiriş ekseni boyunca herhangi bir x mesafenin fonksiyonu olarak ifade edilmesidir. Elde edilen bu kesme ve moment fonksiyonlarının grafiği çizilerek diyagram olarak sunulur. Bu grafiklere kesme ve moment diyagramları denir. V ve M nin maksimum değerleri bu grafiklerden kolayca elde edilir. Ayrıca, bu diyagramlardan kiriş ekseni boyunca kesme kuvveti ve eğilme momentindeki değişimler hakkında detaylı bilgi sağladığı için genellikle mühendisler tarafından kirişin takviye edilmesi gereken yerlerini veya kiriş uzunluğu boyunca farklı noktalarda kiriş boyutunun nasıl değiştiğini belirlemek için kullanılırlar. V ve M yi x terimiyle formüle etmek için x pozisyonun orijin ve pozitif yönünün seçimi yapılmalıdır. Seçim keyfi olmakla birlikte, çoğu zaman orijin kirişin sol ucuna yerleştirilir ve pozitif yön sağa doğru kabul edilir.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) Genellikle, x e bağlı elde edilen iç kesme ve moment fonksiyonları, yayılı kuvvetlerinin değişim gösterdiği noktalar ile tekil kuvvet ve momentin uygulandığı noktalarda süreksiz olacak veya eğimleri süreksiz olacaktır. Bu yüzden kesme ve moment fonksiyonları kirişteki yüklemenin süreksiz olduğu iki noktası arasındaki her bir bölge için belirlenir. Örneğin, şekildeki kiriş uzunluğu boyunca V kesme ve M momentinin değişimini ifade ederken x 1, x 2 ve x 3 koordinatları kullanılacaktır. Bu koordinatlardan x 1 sadece A dan B ye, x 2 B den C ye ve x 3 C den D ye kadar olan bölgede geçerlidir.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) Kiriş İçin İşaret Kabulü. İşaret kabulünün seçimi keyfi olsa da, biz burada mühendislik uygulamalarında yaygın olarak tercih edilen ve şekilde görülen işaret kabulünü kullanacağız. Pozitif yönler şu şekildedir: Yayılı yük, kirişe yukarı doğru etki eder. İç kesme kuvveti, etki ettiği kiriş parçasının saat yönünde dönmesine sebep olur. İç moment, kiriş parçasının üst liflerinde kısalma meydana getirecektir. Böyle eğilen bir kiriş, içinde akışkan tutabilecek şekildedir. Bunlara zıt yönde olan yüklemeler negatif olacaktır. Pozitif dış yayılı yük Pozitif iç kesme yükü Pozitif iç moment Pozitif İşaret Kabulü

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) ÖRNEK: Şekilde görülen üniform yayılı yüke maruz basit mesnetli kirişin kesme ve moment diyagramını çiziniz. ÇÖZÜM Mesnet Tepkileri. Mesnet tepkileri hesaplanır. Kesme ve Moment Fonksiyonları. Kirişin sol parçasının serbest cisim diyagramı Şekil b de görülmektedir. Bu parça üzerindeki yayılı yükün bileşkesi olan wx kuvveti sadece serbest cisim diyagramının izole edilmesinde gösterilir. Bu kuvvet, yayılı yük içeren alanın ağırlık merkezinden ya da kirişin sağ ucundan x/2 mesafeden etki eder. İki denge denkleminin uygulanarak iç kuvvetler elde edilir. 0 x L Aralığında + F y = 0; wl 2 wx V = 0 V = w(l 2 x) (1) + M = 0; wl 2 x + wx x 2 + M = 0 M = w 2 Lx x2 (2)

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) V = w( L 2 x) Kesme Fonksiyonu M = w 2 Lx x2 Moment Fonksiyonu Kesme ve Moment Diyagramları. Kesmenin sıfır olduğu nokta Denklem (1) den bulunur. V = w L 2 x = 0 x = L 2

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) ÖRNEK: Şekilde görülen kirişin kesme ve moment diyagramını çiziniz. ÇÖZÜM Mesnet Tepkileri. Mesnet tepkileri hesaplanır. Kesme ve Moment Fonksiyonları. Kirişin ortasında hem tekil kuvvet hem de yayılı yük süreksizliği olduğu için kirişin tamamı için kesme ve moment fonksiyonları ifade edilirken iki sürekli bölge için x tanımlanır.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) 0 x 1 5 m (AB aralığı sürekli bölge) + F y = 0; 5. 75 kn V = 0 V = 5. 75 kn (1) + M = 0; 80 kn m 5. 75 kn x 1 + M = 0 M = 5. 75x 1 + 80 kn m (2)

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) 5 x 2 10 m (BC aralığı sürekli bölge) + F y = 0; 5. 75 kn 15 kn 5 kn m x 2 5 m V = 0 V = 15. 75 5x 2 kn (3) + M = 0; 80 knm 5. 75 kn x 2 + 15 kn x 2 5 m + 5 kn m x 2 5 m M = 2. 5x 2 2 + 15. 7x 2 + 92. 5 knm (4) x 2 5 m 2 + M = 0

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) 0 x 1 5 m (AB aralığı sürekli bölge) V = 5. 75 kn (1) M = 5. 75x 1 + 80 knm (2) 5 x 2 10 m (BC aralığı sürekli bölge) V = 15. 75 5x 2 kn (3) M = 2. 5x 2 2 + 15. 7x 2 + 92. 5 knm (4) NOT: Bu sonuçlar, dv/dx=w ve V=dM/dx den her bir parça için kontrol edilebilir. Ayrıca x 1 =0 iken Denklem (1) ve (2) den V=5.75 kn ve M=80 kn m elde edilir; x 2 =10 m iken Denklem (3) ve (4) den V= 34.25 kn ve M=0 elde edilir. Bu değerler, serbest cisim diyagramı üzerinde görülen mesnet tepkileri ile kontrol edilebilir.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) Kesme ve Moment Diyagramı Oluşturulmasında Grafik Yöntem: Kirişin birkaç farklı yüklemeye maruz kaldığı durumda, V kesme ve M moment fonksiyonunun x uzunluğa bağlı olarak ifade edilip daha sonra bu denklemlerin grafiklerinin çizilmesi oldukça uzun hatta sıkıcı olabilmektedir. Bu bölümde, kesme ve moment diyagramını oluşturmak için biri yayılı yük ile kesme kuvveti ve diğeri kesme kuvveti ile moment arasındaki ilişkiyi, iki diferansiyel bağıntıya dayandıran basit ve pratik bir yöntem ele alınacaktır.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) Yayılı Yük Bölgeleri. Genelleştirme yapmak amacıyla gelişi güzel yüklemeye maruz Şekil a da görülen kirişi göz önüne alalım. Kirişin x uzunluğundaki çok küçük parçasının serbest cisim diyagramı Şekil b de görülmektedir. Tekil kuvvet ve momentin olmadığı x mesafesinde seçilen bu parça için elde edilecek sonuçlar tekil yük noktaları için uygulanmayacaktır. x parçasının serbest cisim diyagramı

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) Şerit elemana etki eden bütün yüklerin pozitif yönlerde oluşturulduğuna dikkat ediniz. Bununla birlikte, şerit elemanı dengede tutmak için parçanın sağ yüzüne etki eden hem bileşke iç kesme hem de moment küçük miktarda değişmelidir. x üzerinde yaklaşık sabit kabul edilen yayılı yük, sağ yüzeyden 1/2 x mesafeden etki eden w(x) x bileşke kuvvetle değiştirilebilir. Şerit elemana denge denklemleri uygulanarak kesme ve momentteki değişim elde edilir. + F = 0; V w x x V + V = 0 V = w x x = w(x) Kesme diyagramında bir noktanın eğimi = bir noktadaki yayılı yükün büyüklüğü + M = 0; V x M + w x x k x + M + M = 0 M = V x w x k x = V(x) Moment diyagramında bir noktanın eğimi = Bir noktadaki kesme kuvvetinin büyüklüğü x parçasının serbest Cisim diyagramı

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) Tekil Kuvvet ve Moment Bölgesi. Şekilde tekil kuvvetin etki ettiği kiriş üzerindeki bir noktadan alınan küçük dilim elemanın serbest cisim diyagramı şekil (a) da gösterilmiştir. Dengede olan bir kiriş üzerinden alınan elemanın da dengede olması gerektiği için denge denklemleri sağlanmalıdır. + F y = 0; V F V + V = 0 V = F Kiriş üzerine F kuvvetinin aşağı doğru etki etmesi halinde, V negatif olacağından kesme kuvveti aşağı yönde sıçrama yapar. Aynı şekilde, F kuvveti yukarı doğru etki ederse, sıçrama V yukarı doğru olacaktır.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) Benzer olarak, Şekil (b) den moment dengesi yazılarak momentteki değişim belirlenebilir. + M O = 0; M + M M 0 V x M = 0 x 0 olması halinde, M = M 0 Bu durumda, eğer M 0 saat ibreleri dönme yönünde uygulanmaktaysa, M pozitif olacağından moment diyagramı yukarı doğru sıçrama yapar. Aynı şekilde, M 0 saat ibreleri tersi dönme yönündeyse sıçrama M aşağı doğru olacaktır.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) ÖRNEK: Şekilde görülen kirişin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramını çiziniz. ÇÖZÜM: Mesnet Tepkileri. Basit mesnetli kirişin hesaplanan reaksiyon kuvvetleri şekil (b) deki serbest cisim diyagramında gösterilmektedir.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) Kesme Kuvveti Diyagramı. Başlangıç A noktasında, 4. 8 kn kuvvet yukarı doğru etki etmekte olduğundan V A = +4. 8kN dur. A ve B arasında yayılı yük etki etmediğinden dv dx = 0 kesme kuvveti sabit kalır. B noktasında, 8 kn aşağı doğru olduğundan kesme kuvveti, +4, 8 kn dan 3. 2 kn na aşağı doğru 8 kn luk sıçrama yapar. Bu noktada yine B den C ye kesme kuvveti sabit kalır. Kesme kuvveti C de, aşağı doğru 8 kn bir sıçrama daha yaparak 11. 2 kn değerine erişir. Sonunda, C ve D arasında yayılı yük olmadığından 11. 2 kn da sona erişir.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları) Moment Diyagramı. Kirişin her ucundaki moment sıfırdır. Moment diyagramında, A dan B ye eğim +4. 8 sabittir. B deki momentin değeri, A ile B arasında kesme diyagramının altında kalan alandan belirlenir. M AB = 4. 8 kn 6 m = 28. 8 kn m dir. M A = 0 olduğundan M B = M A + M AB veya 0 + 28. 8 knm = 28. 8 knm dir. Moment diyagramındaki eğim, Bnoktasından C noktasına erişene kadar 3. 2 dir. Momentin büyüklüğü, B den C ye kesme kuvveti diyagramında altında kalan alandan bulunur. M BC = 3. 2 kn 2 m = 6. 4 knm ve M C = 28. 8 knm 6. 4 knm = 22. 4 knm dir. Bu şekilde devam ederek D deki değere erişilir ve diyagram kapanır.

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu) Bu bölümde, homojen malzemeden doğrusal prizmatik bir kirişin eğilmeye maruz kalması halinde oluşan deformasyonlar incelenecektir. Bu inceleme, şekilde görüldüğü gibi, kesiti bir eksenine göre simetriye sahip ve eğilme momenti de simetri eksenine dik (z) ekseni etrafında etki etmekte olan kirişlerle sınırlı olacaktır. Kauçuk gibi yüksek deformasyon kabiliyetine sahip malzeme kullanarak düzgün prizmatik bir elemanın eğilme momentine maruz kalması durumunda, fiziksel olarak neler olacağı görülebilir.

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu) Örneğin, Şekil (a) da enine ve boyuna çizgilerle işaretli kare kesitli deforme olmamış çubuğu göz önüne alalım. Eğilme momenti uygulandığında, çubuğun üzerindeki bu çizgiler Şekil (b) de görüldüğü gibi çarpılır. Boyuna çizgiler, eğriye dönüşürken dikey enine çizgiler, doğrusal kalmakla birlikte dönmeye maruz kalır. Eğilme momenti çubuğun alt kısmında gerginliğe sebep olurken üst kısmındaki baskıya sebep olur. Bunun sonucunda, bu iki bölge arasında malzemenin boyuna liflerinin uzunluklarının değişime maruz kalmadığı tarafsız yüzey denilen nötr bir yüzey olmalıdır. Yatay çizgiler eğri olur Dikey çizgiler doğrusal kalmakla birlikte döner Deformasyondan önce Deformasyondan sonra

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu) Bu gözlemlerden, cismin deformasyonu ile ilgili üç varsayımı yapabiliriz. Birincisi, tarafsız yüzey boyunca uzanan x ekseninin uzunluğu her hangi bir değişikliğe uğramaz. Moment, kirişi deforme etme meylinde olduğundan bu çizgi, x y simetri düzleminde uzanan bir eğri olur. İkincisi, kirişin bütün kesitleri düzlem kalırken boyuna eksene de diktirler. Üçüncüsü, kesitin kendi düzlemi içindeki deformasyon ihmal edilecektir. Kesit düzleminde uzanan ve kesitin etrafında döndüğü z ekseni, tarafsız eksen olarak adlandırılır. Tarafsız eksen Boyuna eksen Tarafsız yüzey

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu) Bu eğilme etkisinin cisimde nasıl bir şekil değişimi meydana getirdiğini göstermek için kiriş uzunluğu boyunca her hangi bir x mesafedeki x kalınlığa sahip deforme olmamış kiriş parçasını izole edeceğiz. Kirişten alınan bu elemanın deforme olmamış ve deforme olmuş durumlarının yan görünüşleri Şekilde görülmektedir. Deformasyondan önce Deformasyondan sonra

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu) ε = L L s ε = lim s s 0 s Bu zorlanmayı, elemanın y konumu ve boyuna ekseninin eğrilik yarıçapı ρ cinsinden ifade edelim. Deformasyondan önce, s= x dir. Deformasyondan sonra, x uzunluğunun eğrilik merkezi O' ve eğrilik yarıçapı ρ olur. Elemanın kenarları arasındaki açı θ olarak tanımlandığı için x= s=ρ θ dır. Benzer şekilde, s in deforme olmuş uzunluğu s =(ρ y) θ olur. Bu değerler, yukardaki denklemde yerine yazılırsa ε = lim s 0 ρ y θ ρ θ ε = y ρ ρ θ

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu) ε = y ρ Bu önemli sonuç, kiriş üzerindeki herhangi bir elemanın boyuna zorlanma değerinin kesit üzerindeki bir noktanın y konumuna ve boyuna ekseninin eğrilik yarıçapına bağlı olduğunu gösterir. Bir başka ifadeyle, belirli bir kesit için boyuna normal zorlanma tarafsız eksenden uzaklık olan y mesafesi ile lineer değişecektir. Tarafsız eksenin (+y) kadar üzerindeki liflerde kısalma ( ϵ) zorlanma oluşurken ( y) kadar altındaki liflerde uzama (+ϵ) oluşur. Zorlanmadaki bu değişim kesit üzerinde görülmektedir. Burada, en büyük zorlanma tarafsız eksenden y=c mesafede bulunan en dıştaki liflerde oluşur. ϵ maks =ρ c olduğu için hangi bir noktadaki zorlanma ε ε maks = y ρ c ρ veya ε = y c ε maks

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu) Bu normal zorlanma, sadece deformasyonla ilgili kabuller esas alınarak belirlenmiştir. Kirişe moment uygulandığında sadece boyuna doğrultuda normal gerilme meydana getirecektir. Diğer bütün normal ve kayma gerilme bileşenleri sıfır olacaktır. Tek eksenli gerilmeyi ifade eden bu durum ϵ x zorlanma bileşeni oluşmasına sebep olur. Ayrıca, bu deformasyonları burada ihmal etmemize rağmen, Poisson oranı ile kesit alan düzlemini deforme eden ϵ y = vϵ x ve ϵ z = vϵ x zorlanma bileşenleri arasında da ilişki olmalıdır. Bununla birlikte, bunun gibi deformasyonlar kesitin tarafsız ekseninin alt kısmındaki boyutlarda küçülmeye sebep olurken tarafsız ekseninin üst kısmındaki boyutlarında büyümeye sebep olur. Örneğin, kiriş kare kesitli ise, aslında Şekilde görüldüğü gibi deforme olacaktır.

EĞİLME (Eğilme Formülü) Şimdi, kiriş kesitine etki eden bileşke iç eğilme momentini kirişteki gerilme dağılımıyla ilişkilendiren denklemi elde edeceğiz. Bunu yapmak için malzemenin lineer elastik davrandığını varsayacağız. Şekil (a) da görülen normal zorlanma değişiminin lineer olması Şekil (b) de de görülen normal gerilme değişiminin de lineer olması sonucunu doğurur. Bu yüzden, normal zorlanmanın değişimine benzer olarak σ normal gerilme de elemanın tarafsız ekseninde sıfırdan en uzak mesafe c ye lineer olarak değişerek maksimum değerini σ maks alır. Şekil (a). Normal zorlanma değişimi Şekil (b). Normal gerilme değişimi

EĞİLME (Eğilme Formülü) Benzer üçgenler veya Hook kanunu σ=eϵ kullanarak normal gerilme, σ = y c σ maks Bu denklem, kesitteki gerilme dağılımını tarif eder. Pozitif M momenti +z yönünde, y nin pozitif değerleri için σ normal gerilme negatif olup negatif x yönünde etki ettiği için basınç gerilmesidir. Kesitin belirli bir noktasından seçilen hacim elemana sadece çekme veya basınç gerilmesi etki edecektir. Örneğin, +y pozisyonundaki bir elemanın gerilme durumu, Şekilde görülmektedir.

EĞİLME (Eğilme Formülü) Tarafsız eksenin yerini, kesite etki eden gerilme dağılımının meydana getirdiği bileşke kuvvetin sıfıra eşit olması gereğini ifade eden uygunluk şartından buluruz. Şekilde keyfi seçilmiş da elemanına etki eden kuvvet df= σda olarak yazarız. F R = F x = 0; 0 = A df = σda A 0 = σ y c σ maks A da 0 = σ maks c A y da σ max c sıfıra eşit olamayacağı için integralin sıfıra eşit olması gerekir. A y da = 0 Eleman kesit alanının tarafsız eksen etrafındaki birinci momenti sıfır olmalıdır. Bu şart, sadece tarafsız eksenin aynı zamanda kesitin yatay ağırlık merkezi ekseni olmasıyla sağlanabilir. Yani, Kesitinin ağırlık merkezi belirlendiğinde tarafsız eksenin yeri de bilinir.

EĞİLME (Eğilme Formülü) Kirişteki gerilme, gerilme dağılımının tarafsız eksen etrafında meydana getirdiği momentin bileşke iç momente eşit olması gereğinden belirlenir. df nin Şekildeki tarafsız eksen etrafındaki momenti dm=y df dir. df=σ da olduğundan σ = kullanılarak bütün kesit için moment yazılır. M R z = M z ; σ ifadesi M = A y df = A y σda = y y c σ maks A da M = σ maks c A y 2 da Eşitlikteki integral, kesit alanın tarafsız ekseni etrafındaki atalet momentini temsil eder. Bunu I ile sembolize edeceğiz. Moment ifadesinden σ maks çekilerek aşağıdaki formda yazılır. σ maks = Mc I

EĞİLME (Eğilme Formülü) σ maks = Mc I Burada σ maks = elemanın kesiti üzerinde tarafsız eksene en uzak noktada oluşan maksimum normal gerilme M = kesim metodu ve denge denklemlerinden belirlenen kesitin tarafsız ekseni etrafında hesaplanan bileşke iç moment c = tarafsız eksenden en uzak noktaya olan dik mesafe. Bu nokta, σ maks etki ettiği yerdir. I = kesit alanın tarafsız ekseni etrafında hesaplanmış atalet momenti

EĞİLME (Eğilme Formülü) σ c = σ y olduğu için her hangi bir y mesafesindeki normal gerilme benzer formülle belirlenir. σ = My I Negatif işaret, oluşturulan x, y, z eksenleriyle işaret uyumu için gereklidir. Sağ el kuralına göre, hem +z ekseni etrafındaki M hem de yukarı doğru y pozitiftir. Bu durumda, σ negatif x yönünde etki edeceği için negatif (basınç) olmalıdır. Yukarıdaki denklemler eğilme formülü olarak anılır. Kesiti bir eksenine göre simetriye sahip ve momentin de bu eksene dik olarak etki ettiği doğrusal elemanlarda normal gerilmenin hesaplanması için kullanılır.