Eylül 009 Cilt:7 No:3 Kstmonu Eğitim Dergisi 933-940 FEKETE-SZEGÖ PROBLEM ÜZERNE Hlit ORHAN, Ömer DURMAZPINAR, Hükmi KIZILTUNÇ Attürk Üniversitesi, Fen Fkültesi, Mtemtik Bölümü, Erzurum Özet α (0 α < ), λ (0 λ ) ve β > 0 olmk üzere λz f '''( z) (λ ) zf "( z) f '( z) Rez 0 > λz g"( z) zg '( z) eitsizliini slyn, birim diskinde tnımlı normlize edilmi fonksiyonlrın sınıfı (,, ) gz birim diskte H αβλ ile gösterilsin. ( ), λz f '''( z) (λ ) zf " f '( z) π rg z α < β λz f "( z) zf '( z) 0 { } ( k = 0) eitsizliini slyn, normlize edilmi nlitik fonksiyonlrın P α ( βλ, ) ile gösterilen sınıfın 3 it bir fonksiyon olsun. f H( αβλ,, ) fonksiyonu f( z) = z z z... ile verilsin. elde edildi. 3(λ ) µ 4( λ ) olduund µ 3 3 fonksiyoneli için kesin üst sınır ON THE FEKETE-SZEGÖ PROBLEM Abstrct For α (0 α < ), λ (0 λ ) nd β > 0, let H ( αβλ,, ) be the clss of normlized functions defined in the unit disk by λz f '''( z) (λ ) zf "( z) f '( z) Rez 0. > λz g "( z) zg '( z) Let gz ( ), be the function belong to the clss of normlized functions (, ) P α βλ which is provide the inequlity September 009 Vol:7 No:3 Kstmonu Eduction Journl
934 Hlit ORHAN, Ömer DURMAZPINAR, Hükmi KIZILTUNÇ... λz f '''( z) (λ ) zf " f '( z) π rg z α < β λz f "( z) zf '( z) 0 { } ( k = 0) in the unit disk. For f H( αβλ,, ) shrp upper bound is obtined for. GR µ 3 nd given by when = { z: z < } çık birim diskinde nlitik, f( z) z z f( z) = z z z..., 3 3 3( ) 4( ). λ µ λ = n n (.) n= biçimindeki fonksiyonlrın ilesi A olsun. Ayrıc birim diskinde nlitik ve ünivlent oln fonksiyonlrın sınıfı S ile gösterilsin. A sınıfın it bir f() z fonksiyonu, bzı α (0 α < ), β (0 < β ) deerleri için zf '( z) π rg α < β ( z ) f( z) eitsizliini slıyors, diskinde α tipi β mertebeden güçlü olrk yıldızıldır denir ve S α ( β ) ile gösterilir. Eer f A fonksiyonu α (0 α < ), β (0 < β ) deerleri için zf "( z) π rg α < β ( z ) f '( z) eitsizliini slıyors, diskinde α tipi β mertebeden güçlü olrk konvekstir denir ve bu tür fonksiyonlrın sınıfı ( β ) C α ile gösterilir. f( z) A fonksiyonu, eer tüm z ve bzı α (0 α < ), λ (0 λ ), β (0 < β ) deerleri için (.) (.3) λz f '''( z) (λ ) zf " f '( z) π rg z α < β λz f "( z) zf '( z) eitsizliini slıyors, P α ( βλ, ) sınıfınddır denir. (.4) Eylül 009 Cilt:7 No:3 Kstmonu Eğitim Dergisi
Fekete-Szegö Problemi Üzerine... 935 Burd özellikle P ( β,0) = C ( β) eitlii vrdır. µ için Fekete-Szegö [3] nlitik α ünivlent fonksiyonlrın S sınıfı için α µ etmitir. S nin deiik fonksiyonlrınd, deiik yöntemlerle problemi bir çok mtemtikçi trfındn çlıılmıtır [4, 5, 6, 7, vs.]. 3 modülünün mksimum deerini elde µ için üst sınır bulm 3 Biz bu çlımd Kmli ve Akbulut [] trfındn negtif ktsyılı fonksiyonlr için çlıılmı Cnλα (,, ) sınıfını Fekete-Szegö problemi için inceleyip, Jhngiri [] nin yöntemini kullnrk µ fonksiyoneli için kesin üst sınır elde ettik. 3.. Tnım: f, A y it bir fonksiyon, α (0 α < ), λ (0 λ ) ve β > 0 olsun. Bu tkdirde f H( αβλ,, ) olmsı için gerekli ve yeterli koul g( z) = z bz bz... olmk üzere 3 3 λz f '''( z) (λ ) zf "( z) f '( z) Rez 0 ( z ) > λz g"( z) zg '( z) (.5) eitsizlii slnck biçimde g P α ( βλ, ) fonksiyonunun vr olmsıdır. Ayrıc, H( αβ,,0) = M( αβ, ) eitlii kolyc yzılır. M ( αβ, ) sınıfı Frsin et l. [8] trfındn çlıılmıtır.. TEMEL SONUÇLAR Temel sonuçlrımızı türetmek için ıdki Yrdımcı Teoreme ihtiycımız vrdır... Yrdımcı Teorem: h P olsun. Yni, h, birim diskinde nlitik ve z için Re hz ( ) > 0 olmk üzere eitsizlii yzılır [9]. ( )... h z = cz cz biçiminde verilsin. Bu tkdirde c c c September 009 Vol:7 No:3 Kstmonu Eduction Journl
936 Hlit ORHAN, Ömer DURMAZPINAR, Hükmi KIZILTUNÇ..... Teorem: (.) ile verilen f( z ) fonksiyonu H( αβλ,, ) sınıfın it olsun. Bu tkdirde 0 α <, 0 λ, β ve µ 3 3(λ ) µ 4( λ ) için 5 3 β 6 3(λ ) µ 4( λ ) α( ( λ ) ( λ ) α 3 (λ ) µ ) 3x(λ )( α)( λ ) ( α) eitsizlii yzılır. 3 3 (λ ) µ ( λ ) ( β α) 3x( λ)( λ ) ( α) (.) olsun. (.5) ifdesinden spt: f( z) H( αβλ,, ) verilen q P ve z için q z = qz qz ile ( )... 3 λz f '''( z) (λ ) z f "( z) zf '( z) = λz g "( z) zg '( z) q( z) (.) eitlii yzılır. (.) denkleminin her iki ynındki ynı dereceli terimlerin ktsyılrı eitlenirse, ve eitlikleri elde edilir. (.4) eitsizliinden ve z için 4( λ ) = q ( λ ) b (.3) = q bq b (.4) 3 (λ ) 3 ( λ ) 3(λ ) 3 p z = pz pz ile verilen p P ( )... 3 λz g'''( z) (λ ) z g"( z) zg'( z) α λz g"( z) zg'( z) = λz g "( z) zg '( z) ( p( z)) β (.5) eitlii yzılır. Böylece, (.5) denkleminin her iki ynındki ynı dereceli terimlerin ktsyılrı eitlenirse, ve ( α)( λ )b = βp (.6) β(3 α) α 3( α)(λ ) b3 = β p p ( α) eitlikleri elde edilir. (.3), (.4), (.6) ve (.7) ifdelerinden (.7) Eylül 009 Cilt:7 No:3 Kstmonu Eğitim Dergisi
Fekete-Szegö Problemi Üzerine... 937 ( λ ) 3 (λ ) µ q q q 3 (λ ) 3 x4 ( λ ) (λ ) 3 3 µ = ( ) 3 (λ )( α) 3 x ( λ ) (λ )( α) 3 β ( ) 3 ( ) ( p p) λ λ µ β pq 3 3 5 4( λ ) α ( λ ) 3 (λ ) αµ (8( λ ) µ ( λ ) α) β p λ λ α α 3 x4 ( ) ( )( ) ( ) (.8) eitlii yzılır. imdi, µ ifdesinin pozitif olduunu kbul edelim. Böylece 3 Re( 3 µ ) deerini thmin etmeye çlıcız. p re iθ iφ =, q = Re, 0 r, 0 R, 0 θ < π, ve 0 φ < π olrk seçilip, (.8) eitliinde.. Yrdımcı Teorem kullnılırs, ( λ ) 3(λ ) µ 3 ( )Re( ) Re( ) Re 4 ( λ ) 3 λ 3 µ = q q q β λ λ µ β Re( p p ) Re pq ( α) ( α)( λ ) 3 ( ) 3 ( ) 3 3 5 6x4( λ ) ( λ ) α 3 (λ ) αµ (6x3(λ ) µ ( λ ) α β Re p 4 ( α)( λ ) ( α) 3 ( λ ) 3 (λ ) µ ( R ) 4R cos φ 4 ( λ ) β λ λ µ β α ( λ ) ( α) 3 ( ) 3 ( ) ( r ) 4rR cos( θ φ) 3 6x4( λ ) ( λ ) α 3 (λ ) αµ (6x3(λ ) µ ( λ ) α) β 4 ( α)( λ ) ( α) 3 5 4r cos 3 3 (λ ) µ 4 ( λ ) 3 (λ ) µ ( λ ) αβ R rr 4( λ ) ( λ ) ( α) θ September 009 Vol:7 No:3 Kstmonu Eduction Journl
938 Hlit ORHAN, Ömer DURMAZPINAR, Hükmi KIZILTUNÇ... 5 3 β 6 3( λ ) µ 4( λ ) α( ( λ ) ( λ ) α 3 (λ ) µ β r 4( λ )( α)( α) α β = ψ (, rr) (.9) α eitsizlii elde edilir. 0 α <, 0 λ, β ve 3(λ ) µ 4( λ ) olduund αβλ,, ve µ sbit olmk üzere ψ (, rr) fonksiyonunun r ve türevinden, 5 4 4 4 ψ rrψ RR ( ψ rr) = β{4 β ( λ ) ( λ ) α[( λ ) αβ λ α λ βλ 4 4 4 ( ) 4( ) 7 ( ) ]} 36 βµ {6(λ )( λ ) β (λ )( λ ) α λ λ αβ λ λ α [( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 ( )( ) ]} 0 λ λ β λ λ < R ye göre kısmi olduu görülür. Bu nedenle ψ (, rr) fonksiyonu mksimum deerini sınırlrd lır. Böylece, ψ( rr, ) ψ(,) = 5 3 β 6 3(λ ) µ 4( λ ) α( ( λ ) ( λ ) α 3 (λ ) µ ) 4( λ )( α)( α) biçimindeki istenen eitsizlik bulunur. 3 3 (λ ) µ ( λ ) ( β α) 4( λ ) ( α) (.0) p = q = i ve p = q = yzıldıınd, (.) için eitlik durumu elde edilir. Eer λ = yzılırs, ıdki sonuç elde edilir. yukrıdki Teoremde Eylül 009 Cilt:7 No:3 Kstmonu Eğitim Dergisi
Fekete-Szegö Problemi Üzerine... 939. Sonuç: f() z fonksiyonu (.) deki gibi verilsin ve f( z) H( αβ,,) tkdirde 0 α <, β > ve 9µ 6 için olsun. Bu [6(9 6) (8 3 7 )] ( )(7 3) 43( α) ( α) 43( α) β µ α α µ β α µ 3 µ kesin eitsizlii elde edilir. Eer yukrıdki Teoremde (.) λ = yzılırs, ıdki sonuç elde edilir.. Sonuç: f( z ) fonksiyonu (.) deki gibi verilsin ve tkdirde 0 α <, β ve µ 3 için f( z) H( αβ,, ) olsun. Bu [( 3) (4 )] ( )( ) 9( α) ( α) 9( α) β µ α α µ β α µ 3 µ (.) kesin eitsizlii elde edilir. 3. KAYNAKLAR [] M. Kmli nd S. Akbulut, On subclss of certin convex functions with negtive coefficients, Applied Mth. And Comp., Volume 45, pp. (003), 34-350. []. M. Jhngiri, A coefficient inequlity for clss of close-to convex functions, Mth. Jpon., 4 (995), No. 3 557-559. [3]. M. Fekete-Szegö, Eine Bemerkung uber ungrde schlicht funktionen., J. London Mth. Soc. 8 (933), 85-89 (Germn). [4]. W. Koepf, On the Fekete-Szegö problem for close-to convex functions, Proc. Amer. Mth. Soc. 0 (987), no., 89-95. [5]. H. Orhn nd M. Kmli, On The Fekete-Szegö Problem, Applied Mth. And Comp., Volume 44, (003), pp. 8-86. September 009 Vol:7 No:3 Kstmonu Eduction Journl
940 Hlit ORHAN, Ömer DURMAZPINAR, Hükmi KIZILTUNÇ... [6]. R. R. London, Fekete-Szegö inequlities for close-to convex functions, Proc. Amer. Mth. Soc. 7 (993), no. 4, 947-950. [7]. H. R. Abdel-Gwd nd D. K. Thoms, The Fekete-Szegö problem for strongly close-to convex functions, Proc. Amer. Mth. Soc. 4 (99), no., 345-349. [8]. B. A. Frsın nd M. Drus, On the Fekete-Szegö Problem, Internet. J. Mth. Sci., Vol. 4, No. 9 (000) 577-58. [9]. Ch. Pommerenke, Univlent Functions. Studi Mthemtic Mthemtische Lehrbucher. Vndenhoeck & Ruprecht, 975. Eylül 009 Cilt:7 No:3 Kstmonu Eğitim Dergisi