ELE40/50 06/7 GÜZ ÖDEV - ÇÖZÜMLER -) Lyapunov kararlılığı için = 0, V( ) = 0 0, V( ) > 0 biçiminde bir Lyapunov fonksiyonu 0, V( ) 0 eşitsizliğini sağlanmalıdır. Asimptotik kararlılık için 0, V( ) < 0 şartı sağlanmalıdır. Global kararlılık için ise ek olarak ışınsal sınırsızlık şartı sağlanmalıdır, yani giderken V( ) gitmelidir. Doğrusal sistemler için kararlılığın daima global olduğunu hatırlayınız. Yani ekstradan globallik koşulunu kontrol etmeye gerek yoktur, kararlılık gösterildiği anda otomatikman global olur. Lyapunov kararlılığı sıfır giriş altında sistemin durumlarıyla ilgilenir. Bundan dolayı doğrusal sistemler için durum uzayında ilgilenecek olan matris A matrisidir. = A doğrusal zamanla değişmez sistemi için Lyapunov fonksiyonu her zaman V( ) = P şeklinde seçilebilir; burada P pozitif tanımlı simetrik bir matristir. ürev alındığında V( ) = [ A P+ P A] elde edilir. Buradaki A P+ P A= Q olarak adlandırılırsa Q matrisi pozitif tanımlı ise sistemin asimptotik kararlılı, pozitif yarı tanımlı ise Lyapunov kararlı olduğu söylenebilir. Doğrusal sistemler için önemli bir kolaylık, bu analizde tersten gitmenin de mümkün olmasıdır. Yani herhangi bir pozitif tanımlı Q seçilip, A P+ P A= Q denklemi P için çözüldüğünde pozitif tanımlı bir P elde ediliyorsa sistem asimptotik kararlıdır denebilir. Benzer şekilde herhangi bir pozitif yarı tanımlı Q seçilip, A P+ P A= Q denklemi P için çözüldüğünde pozitif tanımlı bir P elde ediliyorsa sistem Lyapunov kararlıdır denebilir. S sistemi için : = 0 A matrisi A = 0 y u = +
Durum sayısı n = olduğundan P ve Q skaler olacak. Asimptotik kararlılık için Q matrisi birim matris yani seçilerek P matrisi arayalım: A P+ P A= 0 P+ P0= ifadesini sağlayan hiçbir pozitif tanımlı P yoktur çünkü P ne olursa olsun bu ifade sağlanmaz. O halde sistem asimptotik kararlı değil. Lyapunov kararlılık için pozitif yarı tanımlı bir Q seçelim, mesela Q = 0 olsun. O halde A P+ P A= 0 P+ P0= 0 ifadese bakarsak bunu sağlayan pozitif tanımlı bir P bulunabilir, örneğin P = alınabilir. O halde Lyapunov kararlıdır. S sistemi için : = u A matrisi A = 0 y = Durum sayısı n = olduğundan P ve Q skaler olacak. Asimptotik kararlılık için Q matrisi birim matris yani seçilerek P matrisi arayalım: A P+ P A= 0 P+ P0= ifadesini sağlayan hiçbir pozitif tanımlı P yoktur çünkü P ne olursa olsun bu ifade sağlanmaz. O halde sistem asimptotik kararlı değil. Lyapunov kararlılık için pozitif yarı tanımlı bir Q seçelim, mesela Q = 0 olsun. O halde A P+ P A= 0 P+ P0= 0 ifadese bakarsak bunu sağlayan pozitif tanımlı bir P bulunabilir, örneğin P = alınabilir. O halde Lyapunov kararlıdır. S3 sistemi için : = + u A matrisi A = y = Durum sayısı n = olduğundan P ve Q skaler olacak. Asimptotik kararlılık için Q matrisi birim matris yani seçilerek P matrisi arayalım: A P+ P A= ( ) P+ P ( ) = ifadesi pozitif tanımlı P = 0.5 için sağlanır, o halde asimptotik kararlıdır. Asimptotik kararlı olduğuna göre otomatikman Lyapunov kararlıdır.
S4 sistemi için : = u A = y = u A matrisi 0 S ve S ye benzer şekilde asimptotik kararlı olmadığı ama Lyapunov kararlı olduğu açıktır. S5 sistemi için : = + u A matrisi 0 = A= 0 y u = + Durum sayısı n = olduğundan P ve Q matrisler olacak. Asimptotik kararlılık için Q matrisi birim matris seçerek P p p = p p matrisini çözelim: 0 p p p p 0 0 + = 0 p p p p 0 0 p 0 0 Çözülürse = p = 0.5, p = 0.5 0 p 0 0.5 p O halde P = p 0.5. Hiçbir p için P pozitif tanımlı olamayacağı için sistem asimptotik kararlı değildir. Lyapunov kararlılık için Q yu pozitif yarı tanımlı, mesela sıfır seçip P yi çözelim: 0 p p p p 0 0 0 + = 0 p p p p 0 0 0 p 0 0 0 Çözülürse = p = 0, p = 0 0 p 0 0 3
0 p O halde P = p 0. Hiçbir p için P pozitif tanımlı olamayacağı için sistem Lyapunov kararlı değildir. S6 sistemi için : = + u A matrisi A = y = Durum sayısı n = olduğundan P ve Q skaler olacak. Asimptotik kararlılık için Q matrisi birim matris yani seçilerek P matrisi arayalım: A P+ P A= P+ P= ifadesinin çözümü P = 0.5 olup bu pozitif tanımlı değildir. O halde sistem asimptotik kararlı değil. Lyapunov kararlılık için pozitif yarı tanımlı bir Q seçelim, mesela Q = 0 olsun. O halde A P+ P A= P+ P= 0 ifadesinin çözümü P = 0 olup bu pozitif tanımlı değildir. O halde Lyapunov kararlı değil. -) Sistemler için Lyapunov kararlık yukarıda incelenmişti. Diğer kararlılık tipleri için aşağıdaki adımlar takip edilebilir. S sistemi için : = 0 y = + u verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılmalıdır. Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır. ( λ) = λi A λ = 0 olarak elde edilir. Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonundan yararlanılabilir ve bunun için Laplace dönüşümü kullanılır. = 0 X () s = 0 Y() s Laplace ransfer Fonksiyonu = = Y() s = X() s + U() s U() s + y u 4
Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutup olmadığı görülmektedir. Sınırlı girdi-sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde olması gerekir. Burada sistemin kutbu yoktur. Kutup olmadığı durumlarda (sabit kazanç durumu) sistemin çıkışı girişinin sabit bir katı (burada katı) olur, yani tanım gereği SGSÇ kararlıdır. Lyapunov kararlılık. soruda bulunmuştu, burada da teyit etmek gerekirse, Lyapunov kararlılık için özdeğerlerin sol yarı düzlemde olması veya sanal eksen üzerinde çakışık kök olmaması gerekir. Sistemimiz için özdeğer λ = 0 olarak elde edildiğinde koşulu sağladığı için Lyapunov kararlılık görülmektedir. Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılığı için 0 edilebilir. ( ) At kararlıdır. 0 Φ () t B dt < şartı kontrol t Φ t = e = e = ve B = 0 olduğundan integralin sonucu 0 dır. O halde SGSD Global Asimptotik(GA) kararlılık incelenirken sistemin özdeğerlerine bakılır ve özdeğerlerin hepsinin sol yarı düzlemde olması istenmektedir. İlgili sistem için özdeğer λ = 0 olup sanal eksen üzerinde olduğu için GA kararlılığa sahip değildir. S sistemi için : = u y = verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa. Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır. ( λ) = λi A λ = 0 olarak elde edilir. Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için Laplace dönüşümü kullanılır. = u s X() s = U() s Laplace ransfer Fonksiyonu Y() s = y = Y() s = X() s U() s s Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutbumuz s=0 olarak elde edilir. 5
Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde olmadığından dolayı ( Kutbumuz sanal eksen üzerinde ) sistemimiz SGSÇ kararlığına sahip değildir. Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğer λ = 0 olarak elde edildiğinden dolayı Lyapunov kararlılık görülmektedir. Sınırlı Girdi- Sınırlı Durum (SGSD) kararlılık ve Global Asimptotik(GA) kararlılık konusunda sistemimiz SGSÇ kararlığına sahip olmadığı için incelemeye gerek yoktur, sistemimiz her iki kararlılığa da sahip değildir. S3 sistemi için : = + u y = verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa. Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır. ( λ) = λi A λ = olarak elde edilir. Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için Laplace dönüşümü kullanılır. = + u s X () s = X () s + U() s Y() s y Y() s = X () s U() s s+ Laplace ransfer Fonksiyonu = = Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutbumuz s = olarak elde edilir. Sınırlı girdi-sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde olduğu için SGSÇ kararlığına sahiptir. Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğeri λ = olarak elde edildiğinden (özdeğerimiz sol yarı düzlemde) dolayı Lyapunov kararlığa sahiptir. Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılığı için edilebilir. Φ( ) = = ve B = olduğundan At t t e e 0 Φ () t B dt < şartı kontrol 6
t t tb dt e dt e dt e t = = = 0 0 0 0 Φ() =. O halde SGSD kararlıdır. Global Asimptotik(GA) kararlılık konusunda sistemimizin özdeğeri λ = olduğu için GA kararlılığı göstermektedir. S4 sistemi için: = u y = u verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa. Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır. ( λ) = λi A λ = 0 olarak elde edilir. Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için Laplace dönüşümü kullanılır. () () () = u s X s = U s Y s y = u Y() s = U() s U() s Laplace ransfer Fonksiyonu = Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında sistemin kutbunun olmadığı görülmektedir. Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için ilgili sistem için kutup olmaması kararlılığı bozmadığı için sistem SGSÇ kararlığını göstermektedir. Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğer λ = 0 olarak elde edildiğinden dolayı Lyapunov kararlılık görülmektedir. Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılığı için t Φ t = e = e = ve B = olduğundan 0 edilebilir. ( ) At SGSD kararlı değildir. 0 Φ () t B dt < şartı kontrol Φ () t B dt = dt =. O halde 0 0 7
Global Asimptotik(GA) kararlılık sistemin özdeğeri λ = 0 olup sol yarı düzlemde olmadığı için GA kararlılığa sahip değildir. S5 sistemi için : = + u 0 = 0 + u 0 = y = + u y = [ 0 ] + [ ] u verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa. Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır. ( λ) = λi A λ = ; λ = olarak elde edilir. Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için aşağıdaki eşitlikten yararlanabiliriz. İşlemler s 0 Yapıldığında Y() s F( s) = C ( si A) B + D = [ 0 ] 0 s + = 0 + U() s Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında sistemin kutbunun olmadığı görülmektedir. Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için ilgili sistem için kutup olmaması kararlılığı bozmadığı için sistem SGSÇ kararlığını göstermektedir. Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğerlerinden biri sağ yarı düzlemde olduğundan dolayı Lyapunov kararlılık görülmemektedir. Sınırlı Girdi- Sınırlı Durum (SGSD) kararlılık ve Global Asimptotik(GA) kararlılık konusunda sistemimiz Lyapunov kararlığa sahip olmadığı için incelemeye gerek yoktur sistemimiz her iki kararlılığa da sahip değildir. S6 sistemi için: = + u y = verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa. 8
Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır. ( λ) = λi A λ = olarak elde edilir. Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için Laplace dönüşümü kullanılır. = + u s X () s = X () s + U() s Y() s y Y() s = X () s U() s s Laplace ransfer Fonksiyonu = = Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutbumuz s= olarak elde edilir. Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde olmadığından dolayı ( Kutbumuz sağ yarı düzlemde) sistemimiz SGSÇ kararlığına sahip değildir. Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğer λ = olarak elde edildiğinden ( özdeğerimiz sağ yarı düzlemde) dolayı Lyapunov kararlılık görülmemektedir. Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılık ve Global Asimptotik(GA) kararlılık konusunda sistemimiz Lyapunov kararlılık ve Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığa sahip olmadığı için incelemeye gerek yoktur sistemimiz her iki kararlılığa da sahip değildir. Sistem Lyapunov Kararlı Sınırlı Girdi-Sınırlı Çıktı Kararlı Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum Kararlı Global Asimptotik Kararlı S Evet Evet Evet Hayır S Evet Hayır Hayır Hayır S3 Evet Evet Evet Evet S4 Evet Evet Hayır Hayır S5 Hayır Evet Hayır Hayır S6 Hayır Hayır Hayır Hayır 9
3-) a-) 4 3 = 4 3 + u 4 4 4 0 y = 3 [ ] şeklinde verilen sistemin kontrol edilebilirliğini incelemek için ilk olarak P matrisinin bulunması izlenecek adımdır. Öyleyse P kontrol edilebilirlik matrisi sistemin derecesi n=3 olduğu için aşağıdaki gibi oluşmaktadır. 0 4 0 P= B A B A B 0 4 0 = 0 0 0 0 0 Bir sistemin kontrol edilebilir olması için kontrol edilebilirlik matrisinin rankı o sistemin derecesine eşit olmalıdır. Sitemimizin derecesi 3 olduğu için kontrol edilebilir özelliği göstermesi için δ ( P) = 3olmalıdır. Eğer kontrol edilebilirlik matrisinin her bir sütünü α i olarak adlandırılırsa bu durumda α3 = α, α5 = 4 α şeklinde sütunlar arasında bağlılık çıkmaktadır. Bu durumlara bağlı olarak δ ( P) = 3 olmaktadır bundan dolayı sistemimiz kontrol edilebilir bir sistem değildir. Kontrol edilebilirlik için farklı bir yol ise sistemin her bir özdeğeri üzerinden elde edilen matris rankının sistemin derecesine eşit olup olmadığının incelenmesidir. Matrisin elde edilmesinde; [ λ I A B] formülasyonu kullanılmaktadır. İlk olarak karakteristik denklemin kökleri bulunmalıdır. Bunun için ( λ) = λi A = 0 eşitliğinden yararlanılmaktadır. λ = λi A = λ λ λ = 3 ( ) 8 0 0 Yukarıdaki eşitlikten özdeğerler λ = 0, λ = 0, λ3 = olarak elde edilir. İlk olarak λ = 0 özdeğeri için inceleme yapılırsa; 4 3 0 = 4 3 4 4 4 0 [ I A B] 0
Yukarıdaki matrisimizin rankı ([ I A B] ) ρ 0 = 3 olarak elde edilmektedir ve bu da sistemin derecesine eşit olduğunu göstermektedir. Diğer özdeğerler için inceleme yapılır. 0 özdeğeri için inceleme yapılırsa; 8 4 3 0 = 4 8 3 4 4 6 0 [ I A B] Yukarıdaki matrisimizin rankı ([ I A B] ) ρ 0 = olarak elde edilmektedir ve bu da sistemin derecesine eşit olmadığını göstermektedir. Bundan dolayı sistemin kontrol edilebilir olmadığı anlamına gelmektedir. ( Özdeğerlerin oluşturduğu matrislerden birinin sağlamaması sistemimizi kontrol edilebilir bir sistem olmaktan çıkarır. Son özdeğer için işlem yapmaya gerek yoktur.) b- ) Sistemin Jordan biçimi çeşitli adımlar sonunda aşağıdaki gibi elde edilmektedir. 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 + u 0 0 0 y = [ ] 0 0 0 Sistemimizin özdeğerleri çakışık olmadığı için burada bakmamız gereken B matrisinin satırlarıdır. Satırlarından birinin 0 lardan oluşması bunun kontrol edilebilir olmadığını göstermektedir. Sistemimiz için B matrisimiz : 0 B = 0 0 0 olarak elde edilmiştir. Elde edilen matrisin.satırı 0 lardan oluştuğu için bundan dolayı sistemimiz kontrol edilebilir değildir. c-) İlgili sistemin kontrol edilebilir/edilemez kısımlara ayırırken burada benzerlik dönüşümünden yararlanılmaktadır. benzerlik dönüşüm matrisinin bulunmasında şu adım izlenmektedir:
benzerlik dönüşümünün boyutunu sistemin derecesi (Durum sayısı) vermektedir ve ilgili sistem için bu değer 3 olarak karşımıza çıkmatadır. benzerlik dönüşümünün değerlerini bulunanan kontrol edilebilirlik matrisinin (P) bağımsız sütunları ve yeterli sayıda sütün değeri oluşmaması durumunda ( derecesinden küçük sütün matris sayısı olması) P matrisinden alınan sütun matrislerinden bağımsız ve birbirinden bağımsız alınan sütun matrisleri oluşturmaktadır. Yukarıdaki bilgilere göre inceleme yapılırsa; P kontrol edilebilirlik matrisi 0 4 0 P= B A B A B 0 4 0 = 0 0 0 0 0 o Elde edilen bu matrisin bağımsız sütün matrislerini ilk iki sütun matrisi oluşturmaktadır. matrisinin boyutu 3 olduğundan 3 adet sütün matrisi bulunmalıdır bunun tanesini P matrisinden alıyoruz diğerini de biz belirlersek benzerlik matrisi son halini şu şekilde almaktadır. 0 = 0 Artık kontrol edilebilir/edilemez kısımları görebileceğimiz durum uzayı modelini elde edebiliriz. Bunun için aşağıdaki dönüşümlerden yararlanılacaktır: A A B B = = C = C D= D Yeni matris değerlerinin elde edilmesi sonucunda aşağıdaki durum uzayı modeli elde edilmektedir. ( c ve c kontrol edilebilir kısımları c ise kontrol edilemez kısmı göstermektedir.)
c c 0 6 0 0 0 c 0 = c + u 0 0 0 0 0 c c c y = [ 0 0 ] c c Yukarıdaki gibi isimlendirilme yapılırsa ayrışımın blok şeması aşağıdaki gibi olmaktadır. 3
d-) Sistemin gözlenebilirliğini incelemek için ilk olarak Q matrisinin bulunması izlenecek adımdır. Q gözlenebilirlik matrisi matrisi sistemin derecesi n=3 olduğu için aşağıdaki gibi oluşmaktadır. C 3 Q= C A 0 0 0 = C A 0 0 0 Sistemin gözlenebilir olması için Q matrisinin rankının sistemin derecesine eşit olması gerekmektedir. Problemimiz için ρ ( Q) = 3olması istenmektedir. Q matrisinin rankını bulurken kare matris oluşundan faydanılmaktadır. Kare matrisin determinantı 0 a eşit değil ise rankı boyutuna eşit olmaktadır. Determinant incelendiğinde det( Q ) = 0 olduğu için ρ( Q) 3 ( ρ( Q) = ve 3 satırlar sıfırdan oluştuğundan ) sistemimiz gözlenebilir bir sistem değildir. Gözlenebilirlik için farklı bir yol ise sistemin her bir özdeğeri üzerinden elde edilen matris rankının sistemin derecesine eşit olup olmadığının incelenmesidir. Matrisin elde edilmesinde; C λi A formülasyonu kullanılmaktadır. İlk olarak λ = 0 özdeğeri için inceleme yapılırsa; 3 C 4 3 = λi A 4 3 4 4 4 C Yukarıdaki matrisimizin rankı ρ = 3 λi A eşit olduğu görülmektedir. olarak elde edilmektedir ve sistem derecesine λ = 0 özdeğeri için inceleme yapılırsa; 3 C 8 4 3 = λi A 4 8 3 4 4 6 4
C Yukarıdaki matrisimizin rankı ρ = 3 λi A olarak elde edildiğinden dolayı sistemimiz gözlenebilir bir sistem değildir. ( Özdeğerlerin oluşturduğu matrislerden birinin sağlamaması sistemimizi gözlenebilir bir sistem olmaktan çıkarır. Son özdeğer için işlem yapmaya gerek yoktur.) e-) Sistemimizin Jordan biçimini daha önceden elde etmiştik ve şu şekildeydi: 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 + u 0 0 0 y = [ ] 0 0 0 Çakışık özdeğerimiz olmadığı için gözlenebilirlik için sadece C matrisinin sütun değerlerine bakmamız yeterli olacaktır. Burada C matrisinin sütunlarının 0 dan oluşmaması sistemi gözlenebilirliğe götürmektedir. Fakat mevcut gösterimde C matrisinin. ve 3. sütunları 0 dan oluşmaktadır ve bundan dolayı sistemimiz gözlenebilir bir sistem değildir. f-) İlgili sistemin gözlenebilir/gözlenemez kısımlara ayırırken burada benzerlik dönüşümünden yararlanılmaktadır. benzerlik dönüşüm matrisinin bulunmasında şu adım izlenmektedir: benzerlik dönüşümünün boyutunu sistemin derecesi (Durum sayısı) vermektedir ve ilgili sistem için bu değer 3 olarak karşımıza çıkmaktadır. benzerlik dönüşümünün değerlerini bulunan gözlenebilir matrisinin (Q) bağımsız satırları ve yeterli sayıda satır değeri oluşmaması durumunda ( derecesinden küçük satır matris sayısı olması) Q matrisinden alınan satır matrislerinden bağımsız ve birbirinden bağımsız alınan satır matrisleri oluşturmaktadır. Yukarıdaki bilgilere göre inceleme yapılırsa; Q gözlenebilirlik matrisi C 3 Q= C A 0 0 0 = C A 0 0 0 5
o Elde edilen bu matrisin bağımsız satır matrislerini sadece ilk satır oluşturmaktadır. matrisinin boyutu 3 olduğundan 3 adet satır matrisi bulunmalıdır bunun tanesini Q matrisinden alıyoruz diğerlerini de biz belirlersek benzerlik matrisi son halini şu şekilde almaktadır. 3 = 0 0 Artık gözlenebilir/gözlenemez kısımları görebileceğimiz durum uzayı modelini elde edebiliriz. Bunun için aşağıdaki dönüşümlerden yararlanılacaktır: A= A B= B C = C D= D Yeni matris değerlerinin elde edilmesi sonucunda aşağıdaki durum uzayı modeli elde edilmektedir. ( o gözlenebilir kısımları, göstermektedir.) o ve o ise gözlenemez kısımları o o 0 0 0 0 0 3 4 o = o + u 0 0 0 o o o y = [ 0 0 ] o o 6
Yukarıdaki gibi isimlendirilme yapılırsa ayrışımın blok şeması aşağıdaki gibi olmaktadır. g-) Sistemin tam Kalman ayrışımını elde etmek için çeşitli dönüşüm matrisleri kullanılmaktadır. 7
co 3 c co c c co c co co c co İlk adım sistemi kontrol edilebir/edilemez forma dönüştürmektir. Bunun için kontrol edilebilirlik matrisinden yararlanılacaktır. Bunun için b şıkkında bulduğumuz dönüşüm matrisinden yararlanacağız. Öyleyse; 0 0.75 0.5 0.5 ersi Alınırsa = = 0.5 0.5 0.5 = = 0 0.5 0.5 0.5 Dönüşüm matrisi kullanılarak sistemin kontrol edilebilir/edilemez ayrışımı aşağıdaki formda karşımıza çıkmaktadır. c c 0 6 0 0 0 c 0 = c + u 0 0 0 0 0 c c c y = [ 0 0 ] c c İkinci aşamada yapacağımız işlem ise kontrol edilebilir/edilemez ayrışımda elde edilen durum uzayı modelinde kontrol edilebilir kısım için gözlenebilirlik matrisini bulmaktır. Kontrol edilebilirlik kısım.derecedendir çünkü durum kontrol edilebilmektedir. Öyleyse kontrol edilebilir durumlar için durum uzayı gösterimi; 8
c 0 0 c = u 0 0 + 0 c c y = 0 0 [ ] Sistemimiz derecen olduğu için gözlenebilirlik matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilir. c c Q C C 0 0 = C A = 0 0 dönüşüm matrisinin boyutu olacaktır ve bunu oluşturacak olan QC matrisinin bağımsız sütunları ve eksik olması durumunda da belirleyeceğimiz bağımsız satır matrisleri oluşturmaktadır. Öyleyse; δ ( ) = olmaktadır ve bağımsız satır ilk satırdır ve bundan bağımsız bir satır Q C belirlediğimizde oluşan dönüşüm matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilmektedir; 0 0 = = 0 Son aşamada yapacağımız işlem ise kontrol edilebilir/edilemez ayrışımda elde edilen durum uzayı modelinde kontrol edilemez kısım için gözlenebilirlik matrisini bulmaktır. Kontrol edilemez kısım.derecedendir çünkü durum kontrol edilemez. Öyleyse kontrol edilemez durumlar için durum uzayı gösterimi; c c c 9 [ ] = 0 + 0 0 u y = Sistemimiz derecen olduğu için gözlenebilirlik matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilir. Q [ C] = = dönüşüm matrisinin boyutu olacaktır ve bunu oluşturacak olan C Q matrisi de tek satırdan C oluşup bu da bağımsız olduğu için dönüşü matrisi aşağıdaki formda olmaktadır:
= = 3 Kalman doğal ayrışımı için elde ettiğimiz dönüşüm matrislerini tek bir dönüş olarak aşağıdaki şekilde yazabiliriz:.5.5.5 0 = 0.75 0.5 0.5 = 0.5 0.5 0.5 0 3 Sistemin kalman doğal ayrışımını oluşturacak olan matrisler için kullanacağımız dönüşümler aşağıdaki gibidir: [ ] A= A B= B C = C D= D İşlemler gerçekleştirildiğinde kalman doğal ayrışımı yapılmış sistemin durum uzayı modeli aşağıdaki gibi olmaktadır: co co 0 0 0 0 0 0 6 0 u co = + co 0 0 0 0 0 co co y = 0 co co co Sitemimiz 3. dereceden olduğu için kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik kombinasyonunun hepsi bulunmayacaktır. Elde etmiş olduğumuz kalman doğal ayrışımında da kontrol edilemez-gözlenemez kısım bulunmamaktadır. 0
Yukarıdaki gibi isimlendirilme yapılırsa ayrışımın blok şeması aşağıdaki gibi olmaktadır. h-) Minimal gösterim için sistemin hem kontrol edilebilir hem de gözlenebilir olması gerekmektedir. Önceki incelemelerimizde tam kontrol edilebilir ve gözlenebilir olmadığı için minimal gösterimi elde edilemez. ransfer fonksiyonu üzerinde uygun sadeleştirmeler yapılarak minimal gösterim elde edilebilir. İlk olarak sistemimizin en sade şekildeki transfer fonksiyonu elde edelim. Öyleyse;
Y( s) 0 C ( si A) B + D = = G( s) = 0 U() s s Sistemimizin girişli tek çıkışlı bir sistem olduğu görülmektedir ve girişleri U() s ve U () s olarak adlandırırsak bu durumda çıkış giriş ilişkisi şu hale dönmektedir. Y( s) 0 = U () s s Elde etmiş olduğumuz transfer fonksiyonu kontrol edilebilir doğal biçimde yazarsak; = 0 + [ 0 ] u y = 0 u (Minimal Gösterim) Elde etmiş durum uzayı modeli için minimal gösterim olduğunu teyit etmek için kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik matrislerine bakılabilir. P = [ 0 ] olup ( P) kontrol edilebilirdir. 0 Q = olup ( Q) edilebilir, hem gözlenebilir olduğundan gösterim minimaldir. ρ = = n olduğundan ρ = = n olduğundan gözlenebilirdir. Hem kontrol Minimal gösterim üzerinden transfer fonksiyonu elde edilirse; 0 F( s) = C ( si A) B = 0 s [ 0 ] = 0 s Elde etmiş olduğumuz transfer fonksiyonu ile baştaki durum uzayı modeli ile elde ettiğimiz transfer fonksiyonu ile örtüşmektedir. 4-) a-) 3 4 0 = 0 0 + u 0 4 3 8 y = 0 0 [ ] durum uzayında ifade edilen sistem için kontrol edilebilirliğini incelerken ilk olarak kontrol edilebilirlik matrisi bulunur. = matris içerisindeki n ifadesi sistemin derecesini n P B A B A B... A B belirtmektedir. Öyleyse;
Sistem derecesi n=3 olduğu için kontrol edilebilirlik matrisi aşağıdaki gibi oluşmaktadır. 0 6 54 P= B A B A B = 8 6 56 Bir sistemin kontrol edilebilir olması için kontrol edilebilirlik matrisinin rankı o sistemin derecesine eşit olmalıdır. Sitemimizin derecesi 3 olduğu için kontrol edilebilir özelliği göstermesi için ρ ( P) = 3olmalıdır. Elde etmiş olduğumuz matrisin rankı ρ ( P) = 3 olarak karşımıza çıkmaktadır. Öyleyse ilgili sistem için şu yargıya varılabilir sistemimiz kontrol edilebilir bir sistemdir. b-) Sistemimiz kontrol edilebilir bir sistem olduğu için kontrol edilebilir doğal biçime getirilebilir. Kontrol edilebilir biçimi aşağıdaki formda karşımıza çıkmaktadır. 0 0 0 0 : : : : : = + u 0 0... 0 αn αn... α n y = [ β β... β] + D u n Buradaki α i karakteristik polinomun ve β i ise transfer fonksiyonun pay katsayılarını ifade etmektedir. Öyleyse ilk olarak sistemimiz için karakteristik polinom bulunursa; Karakteristik polinom ( λ) = λi A eşitliği ile elde edilmektedir. Sitemimiz için oluşan karakteristik polinom; 3 ( λ) = λi A = λ λ 5 λ 3 olarak elde edilmektedir. Bir diğer adımımız ise transfer fonksiyonunun pay katsayılarını bulmaktır. Burada ilk olarak dönüşüm matrisini bulmamız gerekecektir. ( C = C eşitliği ile C matrisini bulmak için) dönüşü matrisi için = P P eşitliğinden yararlanılmaktadır. Buradaki P kontrol edilebilir doğal biçim için kontrol edilebilirlik matrisini ifade etmektedir. Bu matrisin bulunması için şu eşitlikten yararlanmaktayız: P= B A B A B 3
sistemin derecesi n=3 olduğundan dönüşüm matrisimiz ise; A ( n A ) kadar gidilir. Öyleyse; 0 0 P = 0 olarak elde edilir. 6 6 0 = P P = 6 4 olarak elde edilir. 0 8 8 C = C eşitliğiyle de C matrisimiz aşağıdaki gibi oluşur: [ ] C = C = 0 8 8 Elde ettiğimiz matrisleri toplarsak sistemimizin kontrol edilebilir doğal biçimi aşağıdaki gibi oluşur: 0 0 0 = 0 0 0 + u 3 5 y = [ ] 0 8 8 c-) Sistemin gözlenebilirliğini incelemek için ilk olarak yapmamız gereken gözlenebilirlik matrisi bulunur. C C A Q C A matris içerisindeki n sistemin derecesini ifade etmektedir. Sistemin derecesi 3 = C : A n olduğundan gözlenebilirlik matrisi aşağıdaki gibi elde edilir. C 0 0 Q= C A 0 4 3 = C A 0 8 9 Sistemin gözlenebilir olması için Q matrisinin rankının sistemin derecesine eşit olması gerekmektedir. Problemimiz için ρ ( Q) = 3olması istenmektedir. Q matrisinin rankını bulurken kare matris oluşundan faydanılmaktadır. Kare matrisin determinantı 0 a eşit değil ise rankı 4
boyutuna eşit olmaktadır. Determinant incelendiğinde det( Q ) = 0 olduğu için ρ( Q) 3 ( ρ( Q) = ) matrisin ilk sütunu sıfırlardan oluştuğu için diğer sütun matrisleri birbirinden bağımsız) olarak elde edilir ve bu da sistemin gözlenebilir bir sistem olmadığını göstermektedir. d-) Sistemimiz gözlenebilir bir sistem olmadığı için gözlenebilir doğal biçime getirilemez. e-) Eğer bir sistem minimal formda gösterilmek istenirse bu durumda sistemimiz hem kontrol edilebilir hem de gözlenebilir olmalıdır. Minimal gösterimi bozan faktör kısacası transfer fonksiyonundaki sadeleşmeden dolayıdır. Bu sadeleşmenin sonunda elde edilen yalın formdan minimal gösterim elde edilir. Öyleyse ; Sistemimizin transfer fonksiyonu için F( s) C ( s I A) B D = + eşitliğinden yararlanmaktayız. Bu eşitliği kullandığımızda: 8 s ( s+ ) F() s = ( s 3) ( s+ ) Elde edilen transfer fonksiyonunda sadeleşen kutbun olduğu görülmektedir ve ilgili sadeleştirme yapıldığında elde edilen transfer fonksiyonu: 8s 8s F() s = = s s+ s s ( 3) ( ) 3 Artık elde edilen transfer fonksiyonu kullanılarak minimal gösterim elde edilebilir. Bunun için kontrol edilebilir doğal biçimden yararlanılacaktır çünkü kontrol edilebilir doğal biçimi bulmamız sistemin de kontrol edilebilir olduğunu gösterir. Öyleyse: 0 3 0 = u + 8 y = 0 [ ] Bu gösterime sahip sistemin minimal gösterimi için kontrol edilebilirliği sağlaması gereklidir. Bunun için de kontrol edilebilir matrisinin rankına bakılacaktır. Yeni formda sistem. dereceden olduğu için ρ ( P) = olması istenilmektedir. Öyleyse gözlenebilirlik matrisi elde edilirse: 8 0 P = 0 8 5
Yukarıda elde etmiş olduğumuz kontrol edilebilirlik matrisinin rankı ρ ( P) = olduğu açıktır ve bu da elde etmiş olduğumuz gösterim sistemimizin bir minimal gösterimidir. (Minimal gösterim tek değildir.) 5-) a-) 3 4 6 0 = 4 + u 4 5 0 y = 0 0.5 [ ] durum uzayında ifade edilen sistem için kontrol edilebilirliğini incelerken ilk olarak kontrol edilebilirlik matrisi bulunur. = matris içerisindeki n ifadesi sistemin derecesini n P B A B A B... A B belirtmektedir. Öyleyse; Sistem derecesi n=3 olduğu için kontrol edilebilirlik matrisi aşağıdaki gibi oluşmaktadır. 0 4 58 P= B A B A B 4 4 4 = 0 4 58 Bir sistemin kontrol edilebilir olması için kontrol edilebilirlik matrisinin rankı o sistemin derecesine eşit olmalıdır. Sitemimizin derecesi 3 olduğu için kontrol edilebilir özelliği göstermesi için ρ ( P) = 3olmalıdır. Elde etmiş olduğumuz matrisin rankı ρ ( P) = olarak karşımıza çıkmaktadır. ( Eğer kontrol edilebilirlik matrisinin her bir sütünü α i olarak adlandırılırsa bu durumda bağımlı olan sütun 3. sütun ( 3 α+ α) olarak karşımıza çıkmaktadır. Ekstra bir yöntem olarak matris kare matris olduğu için determinantının 0 a eşit olup olmadığı incelenir.) Belirtilen durumdan dolayı sistem kontrol edilebilir bir sistem değildir. 6
b-) Sistem kontrol edilebilir bir sistem olmadığı için kontrol edilebilir doğal biçime getirilemez. c-) Sistemin gözlenebilirliğini incelemek için ilk olarak yapmamız gereken gözlenebilirlik matrisi bulunur. C C A Q C A matris içerisindeki n sistemin derecesini ifade etmektedir. Sistemin derecesi 3 = C : A n olduğundan gözlenebilirlik matrisi aşağıdaki gibi elde edilir. C 0 0.5 Q= C A 3.5 4 = C A 8.5 7 olarak elde edilir. Sistemin gözlenebilir olması için Q matrisinin rankının sistemin derecesine eşit olması gerekmektedir. Problemimiz için ρ ( Q) = 3olması istenmektedir. Q matrisinin rankını bulurken kare matris oluşundan faydanılmaktadır. Kare matrisin determinantı 0 a eşit değil ise rankı boyutuna eşit olmaktadır. Determinant incelendiğinde det( Q ) = 8 0 olduğu için ρ ( Q) = 3 olarak elde edilir ve bu da sistemin gözlenebilir bir sistem olduğunu göstermektedir. d-) Gözlenebilir bir sistem incelendiği için sistem gözlenebilir doğal biçime dönüştürülebilir. Gözlenebilir doğal biçim için şu formda karşımıza çıkmaktadır. 0 0 0 αn βn 0 0 α n β n = + u : : : : : 0 0 α β y = [0 0... ] + D u Buradaki α i karakteristik polinomun ve β i ise transfer fonksiyonun pay katsayılarını ifade etmektedir. Öyleyse ilk olarak sistemimiz için karakteristik polinom bulunursa; Karakteristik polinom ( λ) = λi A eşitliği ile elde edilmektedir. Sitemimiz için oluşan karakteristik polinom; 3 ( λ) = λi A = λ λ 5 λ 3 olarak elde edilmektedir. 7
Bir diğer adımımız ise transfer fonksiyonunun pay katsayılarını bulmaktır. ransfer fonksiyonu için = + eşitliğinden yararlanmaktadır. Bu yol F( s) C ( s I A) B D sistem kontrol edilebilir olsaydı ideal bir çözüm olabilirdi fakat burada kontrol edilebilirlik söz konusu olmadığında bunun için dönüşüm matrisi bulunması gerekmektedir. dönüşüm matrisi için: Q Q = eşitliği ile elde edilmektedir. İlk olarak Q bulunmasına ihtiyaç vardır. Bu matris gözlenebilir doğal biçimdeki sistemin gözlenebilirlik matrisini ifade etmektedir ve aşağıdaki eşitlikle elde edilir. C C A Q = C A : n C A Öyleyse gözlenebilirlik matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilebilir. C 0 0 Q= C A 0 = 6 C A Öyleyse dönüşüm matrisimiz 3.5 = = 3 3 0 0.5 Q Q olarak elde edilir. B matrisimizin bulunmasında B= B eşitliği kullanılmaktadır. O halde; 0 B = 8 olarak karşımıza çıkmaktadır. 8 Son olarak yaptığımız işlemleri toplarsak ( Sistemimizi dönüşüm matrisi kullanarak gözlenebilir doğal biçime döndürmek) sistemin gözlenebilir doğal biçimi aşağıdaki şekilde elde edilir: 8
0 0 3 0 = 0 5 8 + u 0 8 y = [ ] 0 0 e-) Eğer bir sistem minimal formda gösterilmek istenirse bu durumda sistemimiz hem kontrol edilebilir hem de gözlenebilir olmalıdır. Minimal gösterimi bozan faktör kısacası transfer fonksiyonundaki sadeleşmeden dolayıdır. Bu sadeleşmenin sonunda elde edilen yalın formdan minimal gösterim elde edilir. Öyleyse ; Sistemimizin transfer fonksiyonu için F( s) C ( s I A) B D = + eşitliğinden yararlanmaktayız. Bu eşitliği kullandığımızda: 8 s ( s+ ) F() s = ( s 3) ( s+ ) Elde edilen transfer fonksiyonunda sadeleşen kutbun olduğu görülmektedir ve ilgili sadeleştirme yapıldığında elde edilen transfer fonksiyonu: 8s 8s F() s = = ( s 3) ( s+ ) s s 3 Artık elde edilen transfer fonksiyonu kullanılarak minimal gösterim elde edilebilir. Bunun için kontrol edilebilir doğal biçimden yararlanılacaktır çünkü kontrol edilebilir doğal biçimi bulmamız sistemin de kontrol edilebilir olduğunu gösterir. Öyleyse: 0 0 = u 3 + y = 0 8 [ ] Bu gösterime sahip sistemin minimal gösterimi için gözlenebilir de olması gereklidir. Bunun için de gözlenebilirlik matrisinin rankına bakılacaktır. Yeni formda sistem. dereceden olduğu için ρ ( Q) = olması istenilmektedir. Öyleyse gözlenebilirlik matrisi elde edilirse: 8 0 Q = 0 8 9
Yukarıda elde etmiş olduğumuz gözlenebilirlik matrisinin rankı ρ ( Q) = olduğu açıktır ve bu da elde etmiş olduğumuz gösterim sistemimizin bir minimal gösterimidir. (Minimal gösterim tek değildir.) 30