ZAMAN SKALASINDA İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ

ZAMAN SKALASINDA İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ Emel AŞCI Hzir 007 DENİZLİ

ZAMAN SKALASINDA İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ Pmukkle Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü Yüksek Liss Tezi Memik Ailim Dlı Emel AŞCI Dışm: Yr. Doç. Dr. İsmil YASLAN Hzir 007 DENİZLİ

TEŞEKKÜR Bu çlışmyı hzırlrke eğerli vkilerii ve yrımlrıı esirgemeye, her sfhsı ilgi ve ecrüelerie şvuruğum Syı Hocm Yr. Doç. Dr. İsmil YASLAN e içe eşekkürlerimi surım. Ayrıc ilk eğiimime şlığım güe ugüe kr mi mevi her ürlü eseği vere em Melh Eriş e ve eşim Musf Aşcı y eşekkürü ir orç ilirim. Emel AŞCI

Bu ezi srımı, hzırlmsı, yürüülmesi, rşırmlrıı ypılmsı ve ulgulrıı lizlerie ilimsel eiğe ve kemik kurllr özele riye eiliğii; u çlışmı oğru iricil ürüü olmy ulgulrı, verileri ve merylleri ilimsel eiğe uygu olrk kyk göseriliğii ve lıı ypıl çlışmlr feiliğii ey eerim. İmz : Öğreci Aı Soyı : Emel AŞCI

ÖZET ZAMAN SKALASINDA İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ AŞCI, Emel Yüksek Liss Tezi, Memik ABD Tez Yöeicisi: Yr. Doç. Dr. İsmil Ysl Hzir 007, 4 syf Bu ez üç ölüme oluşmkır. Birici ölüme, ele lı prolem ıılmış ve ezer iğer prolemlerle krşılşırılmışır. İkici ölüme, ir sorki ölüme kullılck emel ım ve eoremler verilmişir. Üçücü ölüme, yrımcı lieer sıır eğer prolemii Gree foksiyou ypılmış ve rı Gree foksiyou kullılrk lieer olmy sıır eğer prolemi lieer olmy iegrl ekleme iirgemişir. Koi üzerieki souçlr ve Legge-Willims si ok eoremi ile zm sklsı ikici mereee lieer olmy sıır eğer prolemlerii ir, iki ve üç poziif çözümleri rşırılmışır. Ahr kelimeler: Zm sklsı, si ok eoremleri, koi, poziif çözümler Prof. Dr. Mehme Ali SARIGÖL Doç. Dr. Sull JAFAROV Yr. Doç. Dr. İsmil YASLAN

ABSTRACT NONLINEAR SECOND ORDER BOUNDARY VALUE PROBLEMS ON TIME SCALES AŞCI, Emel M. Sc. Thesis i Mhemics Supervisor: Ass. Prof. Dr. İsmil Ysl Jue 007, 4 pges This hesis cosis of hree chpers. I chper, ivesige prolem is irouce compre wih he similr prolems. I chper, some eee uxiliry heorems efiiios which we use i chper 3 re give. I chper 3, Gree s fucio of he uxiliry lier oury vlue prolem is cosruce y mes of which he olier oury vlue prolem is reuce o olier iegrl equio. By he resuls o coe he Legge-Willims fixe poi heorem oe, wo hree posiive soluios of he olier seco orer oury vlue prolems o ime scles re ivesige. Key Wors: Time scle, fixe poi heorem, coe, posiive soluios Prof. Dr. Mehme Ali SARIGÖL Assoc. Prof. Dr. Sull JAFAROV Ass. Prof. Dr. İsmil YASLAN

İÇİNDEKİLER Yüksek Liss Tezi Oy Formu...i Teşekkür....ii Bilimsel Eik Syfsı..iii Öze..iv Asrc...v İçiekiler vi Simgeler ve Kıslmlr Dizii.....vii. GİRİŞ..... ZAMAN SKALASI, KOMPAKT OPERATÖR İLE İLGİLİ TEMEL BİLGİLER...3. Zm Sklsı ile İlgili Temel Tım ve Teoremler....... 3. Kompk Operör Kvrmı...4 3. ZAMAN SKALASINDA İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER OLMAYAN -NOKTA PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNÜN VARLIĞI.....6 3. Gree Foksiyou.....6 3. Koi Üzerieki Souçlr.....7 3.3 Bir vey İki Çözümü Vrlığı....... 33 3.4 Üç Çözümü Vrlığı...35 4.SONUÇ.........39 Kyklr....40 Özgeçmiş. 4

SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Açıklm Reel syılr Tmsyılr Doğl syılr 0 Negif olmy msyılr Rsyoel syılr Kompleks syılr T Zm sklsı σ İleri lm foksiyou ρ Geri lm foksiyou µ Griiess foksiyou f f f H r f i el ürevi f foksiyouu ürevi f i ileri frk operörü Hrmoik foksiyo C Sğ-yoğu sürekli foksiyolr kümesi C r Difersiyelleeilir, ürevi sğ-yoğu sürekli foksiyolr kümesi f f i l ürevi f f i geri frk operörü C l C l C[, ] [, ] W ( y, z ) G(, s ) C [ ] [ ] i p y r, Sol-yoğu sürekli foksiyolr kümesi Difersiyelleeilir, ürevi sol-yoğu sürekli foksiyolr kümesi rlığıki reel eğerli sürekli foksiyolr kümesi y ve z foksiyolrıı oksıki Wroskiı Gree foksiyou rlığıki sğ-yoğu sürekli foksiyolr kümesi, y foksiyouu ormu Si ok ieksi

.GİRİŞ Bu ez çlışmsı zm sklsı üzerie ikici mereee lieer olmy ifersiyel eklemler içi sıır eğer prolemii ir, iki ve üç çözümüü vrlığı icelemişir. İcelee sıır eğer prolemi uygu ir Gree foksiyou yrımıyl iegrl ekleme iirgemişir. İegrl eklemi çözümü e L ve Guo rfı verile ir lemm ve Legge-Willims si ok eoremi uygulrk icelemişir. Zm sklsı ory koulmuş sıır eğer prolemii çıklylım. [ ] [ ) [ ] p, q:, 0, foksiyolrı içi p C, ve q C, olsu. i T K K, { } i,,3,..., içi... < < < ve,,, [ 0, ) α β γ δ içi αγ + αδ + βγ > 0 koşullrı sğlığı, [ 0, ), i {,3,... } olmk üzere py q y + h f, y = 0, < < β αy p( ) y = y( ) i i= + δ = γ y p y y i i i= i i ikici mereee lieer olmy Surm-Liouville -ok sıır eğer prolemi göz öüe lımışır. Aerso (00) mklesie, [ 0,T ] T oluğu α > 0, η ( 0, ρ( T )) ve 0 < αη < T olmk üzere +, = 0, ( 0) = 0, α ( η) = u f u u u u T üç ok sıır eğer prolemie Legge-Willims si ok eoremi uygulyrk koi üzerieki e z üç çözüm içi koşullr ele eilmiş, yrıc Krsoselskii si ok eoremi ile e e z ir poziif çözüm şrlrı icelemişir. Bu eze ele lı proleme p =, q = 0, h =, α =, β = 0, γ =, δ = 0, = 0 ( i=,..., -), = α, i i T

= 0( i= 3,..., -) i lıırs, Aerso (00) mklesieki proleme krşı geliğie u eze ele lı prolem h geelir. Ayrıc Aıcı ve Guseiov u (00) mklesie ise p y q y f (, y ),, σ ( ) β = 0 ( ) + ( ) ( ) = 0 + = αy p y γ y σ δ p σ y σ iki ok sıır eğer prolemi icelemişir. Bu eze ele lı proleme h =, = 0 ( i=,..., -), = 0 ( i=,..., -) i i lıırs, Aıcı ve Guseiov u (00) mklesieki proleme krşı geliğie yie u eze ele lı prolem h geelir. İcelee ikici mereee lieer olmy -ok sıır eğer prolemi, Su ve Li (004), Kufm (003) ve Kufm ve Rffoul u (004) mklelerieki üç ok sıır eğer prolemlerii e geel hliir. Aerso v. (004), Peerso v. (004) ve DCuh v. (004) rfı zm sklsı iğer ğlılı üç ok prolemleri icelemişir. -ok zm sklsı prolemleri ile ilgili çlışmlr ise Aerso (003, 004), Kog ve Kog (003) yer lmkır. Ayrıc M (003), M ve Thompso ı (004) mklelerie e T = içi -ok prolemleri ele lımışır. Zm sklsı imik eklemleri çözümlerii vrlığı ile ilgili çlışmlr ise Chy ve Heerso (00), Ere ve Peerso (999) ve (000) ve Heerso (000) mklelerie uluilir. Zm sklsı üzerieki imik eklemlerle ilgili geel ilgiler Aulch ve Hilger (990) ve Hilger e (990) yer lmkır. Dh geiş ilgi içi Boher ve Peerso (00, 003) kiplrı iceleeilir.

. ZAMAN SKALASI ve KOMPAKT OPERATÖR İLE İLGİLİ TEMEL BİLGİLER Bu ölüme üçücü ölüme kullıl emel ım ve eoremler verilmekeir.. Zm Sklsı ile İlgili Temel Tım ve Teoremler Tım..: i oş olmy kplı lkümesie zm sklsı eir. Öreği,,, 0 kümeleri zm sklsıır. [ 0,] [,3], [ ] 0, ve Cor kümesi zm sklsı olmsı rğme, \,, ( 0,) kümeleri zm sklsı eğilir. Zm sklsı T ile göserilir. Tım..: T zm sklsı olsu. Her T içi ileri lm foksiyou σ : T T, σ = if{ s T, s> }, geri lm foksiyou ρ : T T, ρ = sup{ s T, s< } ve griiess foksiyou µ : T [ 0, ), µ = σ ile ımlıır. Tım..3: T oksı eğer σ ( ) > ise sğ-yyılmış, σ ( ) = ise sğ-yoğu, ρ ( ) < ise sol-yyılmış, ρ ( ) = ise sol-yoğu, ρ < < σ ise izole, ρ = = σ ise yoğuur eir.

Tım..4: Eğer T sol-yyılmış mksimum m ye shipse T K = T { m} urumlr T K = T lıır., iğer Tım..5: Kul eelim ki f : T foksiyo olsu. f σ : σ T içi f = f σ ile ımlır. T K foksiyou Örek..: Eğer T = ise her içi (, ) σ = if { s, s> } = if = ve ezer olrk ρ ( ) = uluur. O hle her yoğuur. Ayrıc içi µ = 0 ır. Örek..: Eğer T = ise her içi { } { } σ = if s, s > = if +, +, + 3,... = +, ρ = olur. O hle her izoleir. Ayrıc içi µ = ir. Tım..6: Kul eelim ki f : T foksiyo ve T K olsu. Herhgi ir ε > 0 içi i öyle ir U komşuluğu (herhgi ir 0 f syısı [ σ ] δ > içi U ( δ, δ) s U içi f σ f( s) f s ε σ s = + T ) vrır ki şeklie ımlır. Bu f syısı f foksiyouu oksıki el ürevi vey Hilger ürevi eir. Örek..3: i. f : T foksiyou α olmk üzere T içi f ımlsı. O hle ε > 0 olmk üzere T içi ( σ ) 0. [ σ ] α α 0 ε σ f f s s = = s sğlığı f 0 = ır. = α şeklie

ii. f : T foksiyou T içi f = ile verilsi. ε > 0 olmk üzere s T içi ( f σ f( s)).( σ s) = σ s ( σ s) = 0 ε σ s sğlığı f = ele eilir. Teorem..: Kul eelim ki f : T ve T K olsu. i. Eğer f, oksı ürevleeilir ise o zm f, oksı sürekliir. ii. Eğer f, oksı sürekli ve sğ-yyılmış ise o zm f, oksı f ( σ ) f f = ürevi ile ürevleeilir. µ iii. Eğer sğ-yoğu ise o zm f i el ürevleeilmesi içi gerek ve yeer şr f f ( s) lim limiii solu ir syı olrk vr olmsıır. Bu urum s s f f f ( s = lim ir. s s ) iv. Eğer f, e el ürevleeilir ise f ( σ ) f µ f Örek..4: i. T = içi Teorem.. (iii) sğlır. f : ürevleeilir olmsı içi gerek ve yeer şr f f s f = lim s s limiii vr olmsıır. O hle f f s f = lim = f s s uluur. ii. T = ise Teorem.. (ii) sğlır. f : ürevleeilmesi içi gerek ve yeer şr ( σ ) µ ( ) = + ir. f f f + f f = = = f + f = f foksiyouu e el foksiyouu e el ( ) olmsıır. Bur frk eklemlerie kullıl ileri frk operörüür.

Teorem..: Kul eelim ki f, g : T foksiyolrı T K el ürevleeilir olsu. O zm + T foksiyouu oksıki el ürevi ( f + g) = f + g i. f g : ir. ii. Herhgi ir α sii içi α f : ( α f ) = α f ile verilir. iii. fg : T foksiyouu oksıki el ürevi σ T foksiyouu oksıki el ürevi ( σ ) fg = f g + f g = f g + f g şeklieir. iv. Eğer f f ( ) 0 σ ise f foksiyouu oksıki el ürevi ( σ ) f = f f f ir. v. Eğer g g( ) 0 σ ise f g foksiyouu oksıki el ürevi ( σ ) f f g f g = g g g ile verilir. Örek..5: 0 h > olmk üzere T = h = { hz: z } σ = if { s T : s > } = if { + h: } = + h ρ = sup{ s T : s< } = sup { h: } = h µ = σ = + h = h olsu. T içi

sğlır. f : T foksiyou ve T içi ( σ ) µ f f f + h f f = = h ürevi ile elirleir. Örek..6: H hrmoik syılrı ekrrlı olrk H 0 = 0 ve içi H = k k = şeklie verilsi. Zm sklsı olrk T { H : } içi + σ ( H) =, k ρ( H ) µ ( H k = ve 0 0, = k = k = ) = + uluur. Eğer : olrk uluur. f T ir foksiyo ise = ımlylım. Bu zm sklsı 0 ( + ) ( ) µ ( H ) f H f H f H = = + f H ( ) Tım..7: Eğer f : T foksiyouu sğ-yoğu oklr sğ limii vr ve sol-yoğu oklr sol limii vrs u foksiyo üzeli foksiyo eir. Tım..8: Eğer f : T foksiyou sğ-yoğu oklr sürekli ve sol-yoğu oklr sol limii vrs f foksiyou sğ-yoğu sürekli vey r-sürekli eir. Tım..9: f : C r = C ( T ) = ( T, ) r ile göserilir. Tım..0: f : C r Cr ( T foksiyou içi sğ-yoğu sürekli foksiyolrı kümesi C r = T ) = ( T, ) C r T foksiyou ürevleeilir ve ürevi sğ-yoğu sürekli ise

ile göserilir. Teorem..3: Kul eelim ki f : T ir foksiyo olsu. i. Eğer f sürekli ise sğ-yoğu sürekliir. ii. Eğer f sğ-yoğu sürekli ise üzeliir. iii. İleri lm foksiyou σ sğ-yoğu sürekliir. iv. Eğer f üzeli vey sğ-yoğu sürekli ise f σ üzeli vey sğ-yoğu sürekliir. v. Kul eelim ki f sürekli olsu. Eğer g : T foksiyou üzeli vey sğ-yoğu sürekli ise o zm f g e üzeli vey sğ-yoğu sürekliir. Tım..: f : T ir foksiyo ve T K olsu. F = f şrıı sğly F : T foksiyou f foksiyouu el iürevi eir. O hle iürev, T içi f = F( ) F( ) ile ımlıır. Teorem..4: Her sğ-yoğu sürekli foksiyo ir iüreve shipir. Teorem..5: Eğer f C ve T K ise o zm σ f τ τ = µ f r sğlır. Teorem..6: Kul eelim ki ve k olsu. f ve g sğ-yoğu sürekli foksiyolr,,, c T i. [ f + g( ) ] = f + g( ) ii. kf = k f iii. f = f

c iv. < < c içi f = f + f v. f σ g = fg fg f g vi. σ c f g = fg fg f g vii. f = 0 viii. Eğer [ ), rlığı f g( ) ise f g( ) sğlır. ix. Eğer [ ) f 0 sğlır., rlığı f 0 ise Örek..7:, T ve f sğ-yoğu sürekli foksiyo olsu. i. Eğer T = ise f = f olur. Sğ rfki iegrl lize iliğimiz Riem iegrliir. ii. Eğer T = ise f < = f = 0 = f > = sğlır.

iii. Eğer [, ] rlığı sece izole oklrı içeriyors f µ < [, ) f = 0 = f µ > [, ) sğlır. Tım..: Eğer T sğ-yyılmış miimum m ye shipse T K = T { m}, iğer urumlr T K = T olur. Tım..3: Kul eelim ki f : T ir foksiyo ve T K olsu. Herhgi ir ε > 0 içi i öyle ir U komşuluğu (herhgi ir δ > 0 içi U = ( δ, + δ ) T ) vrır ki f syısı [ ] s U içi f ρ f( s) f ρ s ε ρ s şeklie ımlır. Bu f syısı f foksiyouu oksıki l ürevi eir. Tım..4: v : ρ ρ f = f( ρ) olrk ımlır. Teorem..7: Kul eelim ki f : = ve f ρ : T K foksiyou T içi T ir foksiyo ve T K olsu. i. Eğer f, oksı l ürevleeilir ise o zm f, oksı sürekliir. ii. Eğer f, oksı sürekli ve sol-yyılmış ise o zm f, oksı ( ρ ) f f f = v ürevi ile ürevleeilir. iii. Eğer sol-yoğu ise o zm f i l ürevleeilmesi içi gerek ve yeer koşul f f ( s) lim s s limiii solu ir syı olrk vr olmsıır. Bu urum

f f( s) f = lim s s ir. iv. Eğer f, e l ürevleeilir ise f ( ρ ) f v f = ir. Teorem..8: Kul eelim ki f, g : T foksiyolrı T K l ürevleeilir olsu. O zm i. f + g : T foksiyouu oksıki l ürevi ( f + g) = f + g ir. ii. Herhgi ir α sii içi α f : ( α f ) = α f ile verilir. iii. fg : T foksiyouu oksıki l ürevi T foksiyouu oksıki l ürevi ( fg) = f g + f ( ρ ) g = f g + f g( ρ ) şeklieir. 0 iv. Eğer f f ρ ise f foksiyouu oksıki l ürevi ρ f = f f f ir. v. Eğer g g( ) 0 ρ ise f g foksiyouu oksıki l ürevi ρ f f g f g = g g g( ) ile verilir. Örek..8: i. T = içi

f ( + h) f f = f = lim h 0 h ürevi lize iliğimiz üreve öüşür. ii. T = içi f = f: = f f( ) ifesi frk lizeki ürevir. Tım..5: Eğer f : T foksiyou sol-yoğu oklr sürekli ve sğ-yoğu oklr sğ limii vrs f foksiyou sol-yoğu sürekli vey l-sürekli eir. Tım..6: f : C l = C ( T ) = ( T, ) l ile göserilir. C l Tım..7: f : C = T ) = ( T, ) l Cl ( ile göserilir. C l T foksiyou içi sol-yoğu sürekli foksiyolrı kümesi T foksiyou ürevleeilir ve ürevi sol-yoğu sürekli ise Tım..8: f : T ir foksiyo ve T K olsu. F = f şrıı sğly F : T foksiyou f foksiyouu l iürevi eir. O hle, T içi f = F( ) F( ) ile ımlıır. Teorem..9: Her sol-yoğu sürekli foksiyo ir iüreve shipir. Teorem..0: Eğer ρ ( τ) f τ = v f f C ve T K ise l sğlır. Teorem..: Kul eelim ki ve k olsu. f ve g sol-yoğu sürekli foksiyolr,,, c T

f + g = f + g i. [ ] ii. kf = k f iii. f = f c c iv. < < c içi f = f + f v. f ρ g = fg fg f g vi. ρ f g = fg fg f g vii. f = 0 viii. Eğer [ ), rlığı f g( ) ise f g olur. ix. Eğer [ ), rlığı f 0 ise f 0 ele eilir. Örek..9: Kul eelim ki, T ve f sol-yoğu sürekli foksiyo olsu. i. Eğer T = ise f = f olur. Sğ rfki iegrl lize iliğimiz Riem iegrliir. ii. Eğer T = ise

f < = + f = 0 = f > = + olur. iii. Eğer [, ] rlığı sece izole oklrı içeriyors f v < (, ] f = 0 = f v > (, ] olur. iv. Eğer T = h ise h > 0 olmk üzere h f ( kh) h < + h k = h f = 0 = h f ( kh) h > + h k = h ele eilir. Teorem..: Eğer f : foksiyou T foksiyou T K el ürevleeilir ve f T K sürekli ise f foksiyou T K l ürevleeilirir ve T K içi f = f ρ sğlır. Teorem..3: Eğer f : T foksiyou T K l ürevleeilir ve f foksiyou T K sürekli ise f foksiyou T K el ürevleeilirir ve içi f = f ( σ ) sğlır. T K

Teorem..4: f ( s, ) ve f ( s, ) ile si her s içi f ( s, ) i ye göre sırsıyl el ve l ürevi göserilsi. Eğer f, f, f sğlır. foksiyolrı sürekli ise şğıkiler f s, s f s, s f, i. = + σ ii. f ( s, ) s = f ( s, ) s+ f( ρ, ρ ) iii. f ( s, ) s = f ( s, ) s+ f σ, σ f s, s f s, s f, iv. = + ρ Teorem..5: olsu. O zm ρ( ) i. olmk üzere, T ve f foksiyou [, ] f = f + ρ f ρ ii. σ f = f + f ρ( ) iii. σ ( ) f = f + ρ f iv. σ σ sğlır. f = f + f σ ( ) Teorem..6: Aşğıki eşisizlikler sğlır. f g f g mx f g ρ ( ) i. f g f g mx f g σ ( ) ii. rlığı sürekli

. Kompk Operör Kvrmı Tım..: C[, ] içie sürekli foksiyolrı ir ilesi [, ] ve içi M olsu. Eğer x M x colck şekile solu ir c syısı vrs M ye i foksiyolr yı erecee sıırlı foksiyolr (equioue) eir. Dolyısıyl M ilesie i foksiyolrı yı erecee sıırlı olmsı M kümesii C[, ] içie ir sıırlı küme olmsı emekir. Tım..: Eğer ε 0 olmk üzere, [, ] > ve x M içi < δ ike x x < ε olck şekile ir δ > 0 syısı vrs M kümesie i foksiyolr yı erecee sürekliir (equicoiuous) eir. Teorem.. (Arzel - Ascoli Teoremi): Bir M C[, ] kümesii sürekli foksiyolr ilesii prekompk olmsı içi gerek ve yeer şr M ye i foksiyolrı yı erecee sıırlı ve yı erecee sürekli olmsıır. Tım..3:(, ) E ρ ve (, ) E ρ merik uzylr ve A: D E E ir operör olsu. Eğer A operörü D içieki her sıırlı kümeyi E içieki prekompk kümeye öüşürüyors A y D üzerie kompk operör eir. Tım..4: ( E, ρ ) ve (, ) E ρ merik uzylr ve A: D E E ir operör olsu. Eğer A operörü D üzerie hem sürekli hem e kompk operör ise A y mme sürekli (compleely coiuous) operör eir. Örek.. ( l uzyı): j =,,... içi T : l ξ j j η j = olmk üzere y ( η j ) l operörüü kompk oluğuu göserelim. = = Tx ile ıml

T operörü lieerir. Eğer x = ( ξ ) l ise y ( η ) l j = ir. O hle j T : l l ξ ξ3 ξ kompk lieer operör izisi olmk üzere Tx = ξ,,,...,0,0,... 3 şeklie ımlsı. T operörü lieer ve sıırlıır. O zm kompkır. Ayrıc x ηj ξ j ξ j j= + j= + j= + T T x = = j ( + ) ( + ) sğlır. Bu eşisizliği her iki rfıı supremumuu lır ve x i ormuu oluğuu kullırsk T T x = uluur. Bur T T olur. O hle T operörü kompkır. + Örek..: (, ) K x y foksiyou x, y y rlığı ve üm z içi sürekli olsu. rlığı sürekli, f (, ) ( Tu) x = K ( x, y) f ( y, u ( y) ) y şeklie ıml T : C[, ] C[, ] kompkır. Örek..3: Birim operör I ( x) yz foksiyou operörü = x sıırlıır. Ack sosuz oyulu uzy kompk eğilir. Birim yuvr sıırlıır, m kompk eğilir. Çükü irim operör sıırlı irim yuvrı kompk olmy irim yuvr öüşürür. 3. ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN -NOKTA PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNÜN VARLIĞI Bu ölüme py q y + h f, y = 0, < <

β αy p( ) y = y( ) i= + δ = γ y p y y i i i= i i ikici mereee lieer olmy Surm-Liouville -ok sıır eğer prolemii ele lcğız. Amcımız u sıır eğer prolemii zm sklsı ir, iki ve üç e poziif çözümlerii vrlığı ile ilgili koşullrı icelemekir. 3. Gree Foksiyou Kul eelim ki py q y + h f, y = 0, < < (3..) β αy p( ) y = y( ) i= + δ = γ y p y y i i i= i i (3..) sıır eğer prolemie p, q foksiyolrı, α, βγδ,, sileri ve, şğıki koşullr sğlsı. [ ] [ ) [ ] i ksyılrı içi p, q:, 0,, p C,, q C, (3..3) i T K K, { } i,,3,..., içi < <... < ve [ ) [ ) i { } αβγδ,,, 0,, αγ+ αδ+ βγ> 0,, 0,,,3,... (3..4) olmk üzere f :0, [ ) [ 0, ) foksiyou içi f 0 (., ) (., ) : = f y f y lim f : lim y 0 y = + y y şeklie olsu. Bur sğ-yoğu sürekli :[, ] [ 0, ) ele eilecekir. i i h foksiyou içi zı koşullr i İlk öce ikici mereee sıır eğer prolemi içi Gree foksiyouu iceleyeceğiz.

py q y + u = 0, < < (3..5) β δ αy p y = 0 γ y + p y = 0 sıır eğer prolemie α, βγδ,, reel syılr ve α + β 0, γ + δ 0 olsu. (3..6) Öce ( py ) q y 0, [, ) = (3..7) homoje eklemi çözümleri φ ve ψ olmk üzere ( ), p( ) ( ) ψ = β ψ = α (3..8) ( ), p( ) ( ) φ = δ φ = γ (3..9) olsu. O zm φ ve ψ (3..6) ı irici ve ikici koşullrıı sğlr. Tım 3..: (3..7) eklemii herhgi iki çözümü y ve z olsu. Bu iki çözümü Wroski ı her T K [ ] içi [ ] W ( y, z) = y z y z [ ] f = p f olmk üzere şeklie ımlır. Lemm 3..: (3..7) eklemii herhgi iki çözümüü Wroski ı siir. İsp: (3..7) eklemii iki çözümü y ve z olsu. Her T K [ ] [ ] W ( y, z) = y z y z sğlır. { } [ ] [ W, { ] y z = y z y z } [ ] σ [ ] σ [ ] { } [ ] [ ] ( σ ) σ içi [ ] { } = y z + y z y z y z = y z + q y z y z q y z ( σ ) ( σ ) ( σ ) ( σ ) ( σ ) ( σ ) ( σ ) = p z y p y z = p z y y z

{ } Teorem..3 e y = y ( σ ) ve z = z ( σ ) oluğu W ( y z) ele eilir. Bur W y, z = si uluur. =, 0 Şimi ( ψφ, ) ψ φ ψ φ = W = p p (3..0) olsu. Herhgi iki çözümü Wroski ı e ğımsız oluğu = ve = lıp (3..8) ve (3..9) sıır koşullrıı kullırsk = αφ β p φ = γψ + δ p ψ (3..) ele eilir. Lemm 3..: 0 olmsı içi gerek ve yeer şr (3..7) homoje eklemii sğly şikâr çözümü vr olmsıır. İsp: Eğer 0 = ise (3..8) ve (3..) e eğer prolemii şikâr olmy çözümüür. 0 olsu. (3..7) eklemii çözümleri ψ foksiyou (3..6) ve (3..7) sıır φ ve ψ ii. (3..6) ve (3..7) i herhgi ir çözümü u çözümleri lieer komisyou olcğı c, csiler olmk üzere y cφ cψ = + şeklieir. Bu çözüme (3..6) sıır koşuluu uygulyıp (3..8) ve (3..9) ile üzelersek ( c ( ) + c ( ) ) p( ) c ( ) + c ( ) = 0 c ( ) c ( ) p( ) c ( ) p( ) c ( ) αφ β φ αψ β ψ α φ ψ β φ ψ α φ + α ψ β φ β ψ = 0 ( ) c p + c p = 0 ( αφ β φ ) ( αβ βα ) αφ β φ = 0 c p + c = 0 c p c = 0 ve ( c ( ) + c ( ) ) + p( ) c ( ) + c ( ) = 0 c ( ) c ( ) p( ) c ( ) p( ) c ( ) γ φ ψ δ φ ψ γ φ + γ ψ + δ φ + δ ψ = 0

( γφ ( ) δ ( ) φ ( ) ) γφ ( ) δ ( ) φ ( ) ( γδ δγ ) + γφ + δ φ = 0 ( ) ( γφ ( ) + δ ( ) φ ( ) ) = 0 c + p + c + p = 0 c c p c p c = 0 uluur. O hle c c 0 = = ise y şikâr çözümür. Lemm 3..3: Kul eelim ki y ve y (3..7) eklemii çözümleri olmk üzere homoje olmy ( py ) q y h = (3..) eklemii çözümü 0, T K si ok ve c, c siler olmk üzere 0 y = c y + c y y y s y s y h s s (3..3) şeklieir. İsp: Özel çözümü (3..4) 0 z = y y s y s y h s s oluğuu gösermek yeerliir. z = y y( s) y( s) y h( s) s 0 = y( ) y y y h ρ ρ ρ ρ ρ y y( s) y( s) y h( s) s 0 ( ) ( ) ( )

0 z = y y s y s y h s s p z = ( p y y s p y s y ) h( s) s 0 = p( ) y ( ) y p( ) y y ( ) h σ σ σ σ (( p y ) y( s) y( s) ( p y ) ) h( s) s ( ) 0 = p y y p y y h 0 ( σ ) ( σ ) ( σ ) ( σ ) ( ) q y y s y s q y h s s Bur ( p z ) q z = p( ) y ( ) y p( ) y y ( ) h σ σ σ σ q q y y ( s) y ( s) y h s s+ y y s y ( s) y h s s = h ( ) ( ) u luur. Böylece (3..) eklemii çözümü (3..3) şeklieir. Lemm 3..4: (3..3) ve (3..4) sğlsı. Eğer 0 ise homoje olmy sıır eğer prolemi (3..5) ve (3..6) sıır eğer prolemii ek y çözümü ρ ( ), içi (, ) y = G s u s s şeklieir. Bur (, ) G s, ( ), ψ φ s ρ s = ψ s φ ρ s (3..5) Gree foksiyouur. İsp: 0 koşulu homoje (3..7) eklemii φ ve ψ lieer ğımsız iki çözümü ii. O hle homoje olmy (3..5) eklemii geel çözümü c, c sileri içi

φ ψ φ ψ φ ψ y = c + c s s u s s (3..6) şeklieir. Bur c ve c uluckır. Buu içi (3..6) sıır koşullrı sğlılckır. (3..6) eklemie [ ] [ ] [ ] y = cφ + cψ φ s ψ φ ψ s u s s (3..7) [ ] ele eilir. Birici sıır koşulu = içi φ ψ φ ψ φ ψ ψ β [ ] y = c + c s s u s s = cφ + c = cφ + c ve [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] y = cφ + cψ φ s ψ φ ψ s u s s = cφ + cψ = cφ + cα olur. y y i α ve [ ] [ ( ) ] i e β ile çrpıp oplrsk α cφ + c β β cφ + cα = 0 [ ] αcφ + αcβ βcφ βcα = 0 [ c ] αφ βφ ( ) = 0 ele eilir. Diğer rf 0 oluğu c = 0 olur. O zm (3..6) ve (3..7) eklemleri ψ φ ψ φ ψ y = c s s u s s (3..8) ve [ ] [ ] [ ] [ ] y = cψ φ s ψ φ ψ s u s s

hlii lır. Bur ψ φ ψ φ ψ y = c s s u s s [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] y = cψ φ s ψ φ ψ s u s s uluur. İkici sıır koşulu [ ] 0 = γ y + δy = γ cψ φ( s) ψ ( ) φ( ) ψ ( s) u( s) s [ ] [ ] [ ] + δ cψ φ s ψ φ ( ) ψ ( s) u( s) s γ = γcψ ( ) φ( s) ψ ( ) φ( ) ψ ( s) u( s) s δ [ ] ( ) [ ] [ ] + δcψ φ s ψ φ ψ s u s s [ ( ] ( ) ) ( ) [ ( ] γψ δψ ( ) ) φ [ ] ( ) γψ + δψ = + c γψ δψ ( s) u( s) s φ = c + s u s s = c φ s u s s ele eilir. Bur c = s u s s φ olur. Bu eğeri (3..8) eklemie yerie koyrsk

y = cψ φ( s) ψ φ ψ ( s) u( s) s = ψ φ( s) u( s) s φ( s) ψ φ ψ ( s) u( s) s = ψ φ( s) u s s ψ φ s u( s) s + φ( s) ψ u( s) s φ ψ ( s) u( s) s + = ψ φ( s) u( s) s φ ψ s u( s) s + (, ) y = G s u s s ele eilir. Lemm 3..5: (3..3) ve (3..4) sğlsı. O zm φ ve ψ foksiyolrı içi 0, ( ), 0, ( ), > 0, ( ( ), > 0, ( ), ) ψ ρ φ ρ ψ ρ φ ρ ψ ρ φ ρ p 0,, p 0,, sğlır. İsp: Aıcı ve Guseiov u (00) mklesieki Lemm 5. i ispı ezer olrk ypılilir. Şimi D yi şğıki gii ımlyıp zı souçlr ele eelim. D : = φ ψ i i i i i= i= φ ψ i i i i i= i= olsu. Lemm 3..6: (3..3) ve (3..4) sğlsı. Eğer 0 D ve u C [ ] olmy (3..5) eklemi ile (3..) sıır koşuluu ek ir y çözümü ise homoje r,

ρ ( ), içi y = G(, s) u( s) s+ A( u) ψ + B( u) φ şeklieir. Bur G(, s ) Gree foksiyou ve (3..9) Au : = D (, ) φ G s u s s i i i i i= i= (, ) φ G s u s s i i i i i= i= (3..0) B u : = (, ) i i i i i= i= D iψ ( i) i G ( i, s ) u ( s ) s i= i= ψ G s u s s (3..) şeklieir. İsp: y çözümü (3..9) ki gii olsu. y s u s s s u s s A B = φ ψ + ψ φ + ψ + φ A ve B silerir. Bu ifei ürevii lır ve p ile çrprsk φ ψ y = ψ ( s) u( s) s φ s u s s Aψ Bφ + + + pφ pψ py = ψ ( s) u( s) s φ s u s s Apψ Bpφ + + + uluur. Buu ( ) ( ψ ) ( φ ) σ ürevii lırsk σ p pφ py = ψ ( s) u ( s) s ψ u + p pψ ( ) + φ s u s s φ u + A pψ + B pφ olur. Teorem..5 i kullırsk

( ) σ ψ φ ψ φ σ q q pφ py = φ ψ s u s s+ φ ψ s u s s+ ψ u q q pψ + ψ φ( s) u( s) s+ ψ φ( s) u( s) s φ u + q A + B q q pφ = φ ψ s u s s φ µ σ ψ u ψ u + + q q pψ + ψ φ( s) u( s) s φ µ σ ψ u φ u + q A + B eklemie ( py ) q y u ( ) ψ y s u s s A B ve = ele eilir. Bur = φ + ψ + φ ψ ( ) p p y s u s s Ap Bp = φ ψ φ + + eklemlerii sırsıyl α ve β ile çrpıp oplrsk B p G s u s s A B olur. Diğer rf αφ ( ) β ( ) φ ( ) = i ( i, ) + ψ ( i) + φ ( i) i= ( ) φ y s u s s A B ve = ψ + ψ + φ (3..) φ ( ) p p y s u s s Ap Bp = ψ ψ φ + + eklemlerie A γψ ( ) + δ p( ) ψ ( ) = i G( i, s) u( s) s+ Aψ ( i) + Bφ ( i) i= (3..3)

uluur. (3..) ve (3..3) u irleşirsek A iψ ( i) + B αφ( ) βp( ) φ ( ) iφ( i) = i G( i, s) u( s) s i= i= i= A γψ ( ) + δ p( ) ψ ( ) iψ ( i) B iφ ( i) = i G( i, s) u( s) s i= i= i= ele eilir. Bu lieer eklem sisemii çözümüe Au ve B ( u ) ksyılrı uluur. Lemm 3..7: (3..3) ve (3..4) sğlsı. iφ( i) iψ ( i) (3..4) D< 0, > 0 > 0 i= i= şrlrı sğlsı. Eğer u C [ ] [ ], içi 0 y koşuluu sğlr. ve u 0 ise (3..9) ki y çözümü r, İsp: Lemm 3..4 ile Lemm 3..5 e ve kullere iliyoruz ki Gree foksiyou ( ) ρ( ) G( s) ρ,, 'e, 0 ir. (3..3) ve (3..4) ile (3..0) ve (3..) eki Au ve B ( u ) u ımlrı Bu Au sğlır. 0 ve 0 Örek 3..: Kul eelim ki (3..4) sğlmsı. Öreği α γ β δ = 3, p = =, q 0 = = = ve = 0 olsu. O zm y + u = 0, < <, y = 0 y = y ψ =, = ve D= 3 ( ) ( 3) ( ) 3 3 3 uluur. Eğer D> 0 ise > 3 olur ve poziif çözüm yokur. Lemm 3..8: (3..3), (3..4) ve (3..4) sğlsı. ( ) ρ < ξ < ξ < içi ξ, ξ T K K si olsu. Eğer u C [ ] [ ξ ξ ] ve u 0 ise (3..9) ki y çözümü içi r, ρ,, mi y Γ y ve y : = mx y

sğlır. Bur ( ) φ ξ ψ ξ Γ= ( ) : mi, 0, φ ρ ψ ir. İsp: y = mx G, s u s s+ A u + B u ρ ( ), ψ φ (, ) ψ ( ) φ( ρ( ) ) y = G s s u s s+ A u + B u (3..5) olmk üzere (3..3), (3..5) ve Lemm 3..5 e ρ, içi 0,, G s G s s (3..6) sğlır. Bur ρ ( ), içi y G( s, s) u( s) s+ A( u) ψ ( ) + B( u) φ( ρ( )) ele eilir. [ ξ, ξ ] (, ) (, ) G s G s s içi ( s) ( s) φ( ξ ) ( ( )) ( ) ( ) φ : ρ ( ) s : ρ ( ) s φ φ ρ = Γ ψ ψ ξ : ρ ( ) s : ρ ( ) s ψ ψ eşisizliği sğlır. (3..5) eki Γ içi (, ) (, ) G s y = G s s u s s+ A u + B u G s s (, ) ψ φ (3..7) (, ) ψ ( ξ ) φ( ξ ) ΓG s s u s s+ A u + B u

( ) φ( ξ ) ( ( )) ψ ξ ΓG( s, s) u( s) s+ A( u) ψ ( ) + B( u) φ ρ ψ φ ρ (, ) ψ ( ) φ( ρ( ) ) ΓG s s u s s+ A u Γ + B u Γ Γ G s s u s s+ A u + B u Γ y ir. (, ) ψ ( ) φ( ρ( ) ) ( ( ) ) 3. Koi Üzerieki Souçlr Kul eelim ki sğ-yoğu sürekli :[, ] [ 0, ) ( σ ρ( )) ( ) h foksiyou öyle ki, içi 0 h > (3..) şrıı sğlsı. Lemm 3..8 e öyle ξ, ξ vrır ki ξ < < ξ olmk üzere ( ρ ), içi, 0 G s h s s> sğlır. Γ (3..5) eki gii, ξ ( τ ) ξ ξ [ ξ, ξ] ξ ξ ξ ξ y ğlı olrk ıml si olsu. τ [ ξ, ξ ] içi G, s h s s= mi G, s h s s> 0 (3..) ξ ımlsı. G(, s ) Gree foksiyou, A ve B (3..0) ve (3..) e ıml siler olmk üzere K : = G s, s h s s+ A h + B h ( ) ψ φ ρ (3..3) sii ımlsı. S ile ρ C, Bch uzyı göserilsi ve ρ ( ), y : = sup y olsu. P S koisi

{ ρ( ) [ ξ ξ] } P: = y S:, içi y 0 ve, içi y Γ y (3..4) şeklie verilsi. y çözümüü (3..) ve (3..) sıır eğer prolemii çözümü olmsı içi gerek ve yeer şr ρ, içi ( ) ψ ( ) φ y = G, s h s f s, y s s+ A hf., y + B hf., y olmsıır. y P içi T : P S operörü ( ) ψ ( ) φ Ty : = G, s h s f s, y s s + A hf., y + B hf., y (3..5) şeklie ımlsı. Eğer y P ise (3..6) yı kullırsk [ ξ, ξ ] içi ( Ty) = G (, s) h( s) f ( s, y ( s) ) s + A( hf (., y) ) ψ + B( hf (., y) ) φ (, ) (, ) ( (., )) ψ ( ) ( (., )) φ( ρ( ) ) G s s h s f s y s s+ A hf y + B hf y

ele eilir. Ayrıc ( Ty) = G (, s) h( s) f ( s, y ( s) ) s + A( hf (., y) ) ψ + B( hf (., y) ) φ (, ) (, ) (, ) (, ) ( (., )) G s G s s h s f s y s s + A hf y + B hf y G s s (, ) (, ) ( (., )) ψ ( ξ) ( (., )) φ( ξ) φ( ξ ) ( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ) G s ψ ξ G ( s, s ) h ( s ) f ( s, y ( s )) s + A ( hf (., y )) ψ G s s ψ + B hf y φ ρ φ ρ (, ) (, ) ( (., )) ψ ( ) ( (., )) φ( ρ( ) ) ΓG s s h s f s y s s+ A hf y Γ + B hf y Γ Γ G( s, s) h( s) f Γ Ty ( sys, ) s+ Ahf ( (., y) ) ψ ( ) + Bhf ( (., y) ) φ( ρ( )) sğlır. O hle T : P P ir operör olur. Teorem 3..: (3..5) e ıml T operörü mme sürekliir. İsp: İsp içi Arzel-Ascoli eoremii kulllım. ρ, ve Ty P içi c K. f (., y) = olmk üzere (3..3) ile ( Ty) = G (, s) h( s) f ( s, y ( s) ) s + A( hf (., y) ) ψ + B( hf (., y) ) φ ( Ty) = G (, s) h( s) f ( s, y ( s) ) s + A( hf (., y) ) ψ + B( hf (., y) ) φ (, ) (, ) ( (., )) ψ ( (., )) φ G s h s f s y s s + A hf y + B hf y f y G s s h s s+ A h + B h = K. f (., y) = c (., ) (, ) ψ ( ) φ( ρ( ) ) olur. O hle T operörü yı erecee sıırlıır.

<,,, ve Ty P δ ρ ( ) ( ) <, ( ) ( ) ψ ψ ε içi (, ) (, ) φ φ < ε olmk üzere ε = f (., y). ε h( s) s+ ε. A( h) + ε3. B( h) lıırs 3 G s G s < ε, = (, ) (, ) + ( (., )) ψ + ( (., )) φ Ty Ty G s h s f s y s s A hf y B hf y (, ) (, ) ( (., )) ψ ( (., )) φ G s h s f s y s s A hf y B hf y ( (, ) (, )) (, ) = G s G s h s f s y s s ( ) + Ahf., y ψ ψ + Bhf., y φ φ ( ) ( ) ( ) < ε. h s f s, y s s + ε. A hf., y + ε. B hf., y 3 < f (., y). ε h( s) s+ ε. A( h) + ε3. B( h) = ε ele eilir. Bu T operörüü yı erecee sürekliliğii göserir. O hle T operörü prekompkır. [ ξ, ξ ] içi ( Ty) = G (, s) h( s) f ( s, y ( s) ) s + A( hf (., y) ) ψ + B( hf (., y) ) φ ımıki G(, s ), f ( sys, ), h( s ) ve ψ ile φ i sürekliliğie T operörüü sürekliliği ele eilir. Ayrıc T : P P operörü P içieki her sıırlı kümeyi yie P içieki prekompk kümeye öüşürür. O zm T operörü P üzerie kompk ir operörür. Souç T operörü hem sürekli hem e kompk oluğu mme sürekliir.

Tım 3..: (Deimlig (985)) X ir Bch uzyı, Ω X çık sıırlı ir küme, F : Ω K kompk operör ve I irim operör olmk üzere y ( I F)( Ω ) olsu. Aşğıki özellikleri sğly ve ( I F,, y) D LS foksiyou Lery Schuer erecesi eir. ( D ) y Ω içi D ( I Ω y) ( ) D LS,, = ir. Ω üçlüsüü msyılr kümesie göüre Ω ve Ω, Ω ı yrık çık lkümeleri ve y ( I F)( Ω\( Ω Ω ) oluğu D ( I F,, y) D ( I F,, y) D ( I F,, y) ( D 3) H :0, [ ] Ω = Ω + Ω ir. LS LS LS Ω X kompk, y:0, [ ] X sürekli ve [ 0, ] üzerie ( )( Ω ) oluğu DLS ( I H(,. ),, y ), [ 0,] y I H,. ) Ω e ğımsızır. Tım 3..: X ir Bch uzyı, P X ir koi, Ω P çık küme, F : Ω P kompk ve Fix( F ) = { x : F ( x) = x} olmk üzere üzerie Rx = x olck şekile R : X LS (,,0) Fix F Ω = olsu. Eğer P P sürekli öüşümü vr ise D I FR R Ω syısı X e P ye öre her R foksiyou içi yıır. Bu syıy, kompk F içi P ye göre Ω üzerie si ok ieksi eir ve kısc ip (, ) F Ω ile göserilir. M = { F, Ω, P : P X, R: X P sürekli, Ω P çık, F: Ω Pkompk ve Fix F Ω= } olmk üzere i : M şeklieir. p Lemm 3..: (L (00),Guo (988)) P, S Bch uzyı ir koi olsu. B, S i çık ve sıırlı l kümesi olmk üzere Bp = B P ve Bp P sğlsı. Kul eelim ki T : Bp P operörü kompk ve y B içi y Ty olsu. O zm p şğıki koşullr sğlır. i. Eğer y B içi Ty y ii.eğer ır. i T, B = ir. p ise p( p) y B ve λ > 0 içi y Ty+ λη olck şekile P p η \{ } i T, B = 0 0 vrs p( p)

iii.u, P i içie U p Bp şrıı sğly çık küme olsu. Eğer ip T, Bp = ve ip T, Up = 0 ise T operörüü B p \ U p e ir si oksı vrır., = 0 ve, = içi e T operörüü B p \ U p e ir Ayı şekile ip( T Bp) ip( T U p) si oksı vrır. (3..4) eklemi ile verile P koisi ve herhgi ir r reel syısı içi koveks küme { } P : = y P: y < r r ile göserilsi. (3..5) e ıml Γ içi { y P y r [ ξ ] }, ξ Ω : = : mi <Γ r olrk ımlsı. Lemm 3..: (L (00)) i. Ω r, P ye göre çıkır. ii. P Ω Γr r Pr iii. y Ω r olmsı içi gerek ve yeer şr iv. Eğer r Ω r kümesi içi şğıkiler sğlır. mi [, ] ξ ξ y Ω ise [ ξ, ξ ] içi y Γr y r olur. = Γ r olmsıır. İlerie kullcğımız osyolr şu şekileir. (, ) r f y fγr : = mi mi : y [ Γr, r] [ ξ, ξ] r (, ) r f y f0 : = mx mx : y [ 0, r] ρ ( ), r f f : = lim sup mx y f y y, ρ ( ), (, ) f y : = lim if mi : = 0, y [ ξ, ξ] y + ( )

Aşğıki iki lemm f foksiyou içi i ( T P ) i ( T ) grileyeceğiz. Lemm 3..3: K, (3..3) eki gii ımlsı. Eğer r f0 ve y Pr içi y Ty K şrlrı sğlırs i T, P = ir. p r İsp: (3..0) ve (3..) e ıml A ve B içi ( (., )) (., ) Ahf y Ah f y ( (., )) (., ) B hf y B h f y sğlır. y P içi (3..6) yı kullrk r, = ve, Ω = 0 olm şrlrıı p r p r ( Ty) = G (, s) h( s) f ( s, y ( s) ) s + A( hf (., y) ) ψ + B( hf (., y) ) φ f y G s s h s s+ A h + B h r. K K = r = y (., ) (, ) ψ ( ) φ( ρ( ) ) uluur. Bur i T, P = ir. p r y P içi Ty y ele eilir. O hle Lemm 3.. (i) e r Lemm 3..4: τ, (3..) eki gii ve ξ ( τ ) M : = G, s h s s (3..6) ξ olsu. Eğer r f r M Γ ve y Ω Γ r içi y Ty sğlırs i T, Ω = 0 ır. p r

İsp: ρ( ) η r, içi olsu. O zm η P ir. Kul eelim ki öyle y Ω ve λ > 0 vrır ki y Ty λ η = + λη y Ty ξ (, ), ( τ, ) G s h s f s y s s+ λ ξ ξ MΓr G s h s s+ λ ξ Γ r + λ = + sğlır. [ ξ, ξ ] içi olur. Bur Γr Γ r+ λ uluur. Bu ise çelişkiir. Souç olrk y Ω ve λ > 0 içi y Ty + λ η ir. O hle Lemm 3.. (ii) e r i T, Ω = 0 ır. p r 3.3 Bir vey İki Çözümü Vrlığı Bu ölüme, Bölüm 3. eki lemmlrı kullrk (3..5) ile verile T operörüü P koisieki si oklrı ele lıckır. Bu si oklr (3..) ve (3..) sıır eğer prolemii poziif çözümleri olckır. Teorem 3.3.: Γ (3..5), K (3..3) ve M (3..6) ki gii olsu. Kul eelim ki c, c, c, 0 < c <Γ c ve c < c şrlrıı sğly siler olmk üzere 3 3 c H f0, f0, fγc MΓ, y Ω içi c y Ty K c, c, c, 0< c < c <Γc içi c c3 vey 3 3 c c3 c ( H ) fγc, f, Γc MΓ f 3 0, y Pc içi y Ty K sğlsı. O zm (3..) ve (3..) sıır eğer prolemii (3..4) eki P koisie iki c çözümü vrır. Buul erer eğer ( H ) koşuluki f0 yerie K lıırs (3..) ve (3..) sıır eğer prolemii üç e poziif çözümü vrır. c f0 < K

İsp: Kul eelim ki ( H ) sğlsı. ( ) T operörüü 3..4 e eğer eilir. Ω c vey c c3 c H sğlığı ezer şekile ypılilir. P \ Ω e si oksı oluğuu gösermeliyiz. Lemm y içi y Ty c Ω Ω ise ip( T, Ω c ) = 0 ve p( c ) i T, Ω = 0 ele 3 c f0 ve y Pc içi y Ty K oluğu Lemm 3..3 e p( c ) i T, P = ir. Lemm 3.. (ii) e Ω P P ir. c c c Şimi Ωc P c oluğuu gösermeliyiz. c c Ω P oluğu Ω P ir. c c y Ω c llım. y Ω ise y P uluur. Bu ise y P içi y c < c e c c y < c olmsıır. O hle y P c ir. Bu iseilei verir. Lemm 3.. (iii) e T operörüü P \ Ω e si oksı vrır. c c Lemm 3.. (ii) e P c P Γ c3 c3 Ω sğlır. Şimi P Ω oluğuu gösermeliyiz. c c3 y P ise y c olur. c < Γ c3 < c3 oluğu y < c3 ve mi [ ξ ξ ] c,, [ ξ ξ ] y < sup y = y < c ele eilir. Böylece 3 P Ω uluur. O hle Lemm c c3 3.. (iii) e T operörüü Ω \ P e si oksı vrır. c 3 c Souç 3.3.: Kul eelim ki öyle ir c > 0 sii vrır ki 0 H 0 f, f < K c, fγc MΓ, y Ωc içi y Ty vey ( H ) c M < f0, f, f0, y Pc içi y Ty K sğlsı. O zm (3..) ve (3..) sıır eğer prolemii P koisie iki çözümü vrır. İsp: 0 f < ise öyle ir K 0 c sii vrır ki c ( c) c 0, Γ içi f0 < sğlır. K

0 f < olsu. τ f, llım. O zm öyle ir r c K K f (, y) hle β β = { f y y r} ve c3 > τ K τ y sğlır. mx (, ) : 0 y [ 0, c ] içi f (, y) τy+ β τc + β < c K 3 3 3 c 3 ele eilir. Bur f0 < uluur ki u ( H ) koşuluu verir. K Teorem 3.3.: Kul eelim ki c, c, 0< c <Γc sileri içi H f0 fγc MΓ K c, c, 0< c < c içi c c ( 3) ve vey > vrır ki y [ r, ) olsu. O içi ( 4) c c H fγc MΓ ve f 0 K sğlsı. O zm (3..) ve (3..) sıır eğer prolemii ir e poziif çözümü vrır. İsp: Bur (H3) koşuluu (H) e ve (H4) koşuluu (H) ye eşi olcğıı söylemeliyiz. Lemm 3..4 e eğer y Ω c içi y Ty ise ip( T, Ω c ) = 0 oluğuu iliyoruz. Bezer şekile Lemm 3..3 e eğer y P içi y Ty ise p( c ) i T, P = ir. O hle Lemm 3.. (iii) e T operörüü P \ Ω içie si ir oksı vrır. c c Souç 3.3.: Kul eelim ki 0 H3 0 f < ve M < f K vey < < K ( H4 ) 0 f ve M f0

sğlsı. O zm (3..) ve (3..) sıır eğer prolemii ir e poziif çözümü vrır. 3.4 Üç Çözümü Vrlığı (3..) ve (3..) sıır eğer prolemii e z üç poziif çözümü oluğuu isplmk içi şğıki Legge-Willims si ok eoremii kullcğız. [ ) ϖ [ ξ, ξ ] ϖ : P 0,, y : = mi y sürekli kokv foksiyoel olsu. Ayrıc { } P : = y P: y < c c { } ( ϖ ) ϖ P,, : = y P: y, y < şeklie ımlsı. Teorem 3.4. (Legge-Willims Si Nok Teoremi) : P, S reel Bch uzyı ir koi, T : Pc Pc operörü mme sürekli ve ϖ, P üzerie egif olmy sürekli kokv foksiyoeli içi ise ϖ sileri içi şğıki koşullr sğlsı. i. ii. y P y y olsu. Kul eelim ki 0 < < < l c c { ϖ,, : ϖ } ve ( ϖ,, ) içi ϖ y P l y > y P l Ty > y içi Ty < iii. Eğer ( ϖ,, ) ve ise ϖ y P c Ty > l Ty > O zm T operörüü P c içie ϖ y <, ϖ y >, < y, y < 3 3 olck şekile e z üç e si oksı vrır. Teorem 3.4.: Lemm 3..8 eki ξ, ξ, (3..5) eki Γ, (3..3) eki K ve (3..6) ki M yi llım. Kul eelim ki 0 < < sileri içi şğıkiler sğlsı.

i. [ ξ, ξ] ve y, içi f (, y) M Γ ii. ρ ( ), ve y [ 0, ] içi f (, y) < K iii. Aşğıkilere iri sğlsı. f (, y) A. lim mx < y ρ ( ), y K B. Öyle ir c sii vrır ki c > Γ olmk üzere c ( ), ve y [ 0, c] içi f (, y) < K O zm (3..) ve (3..) sıır eğer prolemii ρ ır. 3 c 3 3 [ ξ, ξ] [ ξ, ξ] y, y, y P içi y <, mi y > ve < y içi mi y < olck şekile e z üç poziif çözümü vrır. İsp: (3..5) ile verile T operörüü (3..4) eki P koisie si oklrı oluğuu Teorem 3.4. i kullrk gösereceğiz. Teoremi ispı içi l = Γ llım. Amç : Eğer (A) koşulu sğlırs öyle ir c vrır ki c> l ve T : Pc Pc ir. Eğer f, y lim mx < ise öyle ir θ vrır ki θ > 0 ve ε < içi eğer y > θ ise y ρ ( ), y K K f y y, mx ρ ( ), < ε ur. { f ( y) y [ ] ( ) } λ: = mx, : 0, θ, ρ, olmk üzere y 0 ve ρ, içi f, y εy+ λ λ ele eilir. c> mx l, ε K seçelim. O zm y P oluğu c

ρ, ( ε y λ) ( ε ) ( ) ψ ( ) φ Ty = mx G, s h s f s, y s s + A hf., y + B hf., y ( ε y + λ) mx G, s h s s+ A h ψ + B h φ ρ ( ), + K ε yk+ λk < εck + c K = c olur. O hle Ty < c ise Ty P ve T : P P ele eilir. c c c Amç : Eğer poziif r syısı y [ 0, r], içi (, r ρ f y) < K sğlığı T : Pr Pr ir. Eğer y Pr ise ρ, olck şekile vrs ( ) ( ) ψ ( ) φ Ty = mx G, s h s f s, y s s + A hf., y + B hf., y r < mx G, s h s K ρ ( ), s+ A h + B h = r ψ φ olur. Souç olrk Ty < r ise T : Pr Pr ir. Bu iki ispl eğer (A) vey (B) koşulu sğlırs öyle ir c syısı vrır ki c T P : c Pc T P > l ve oluğu göserili. Amç e r = lırsk ve (ii) yi kul eersek : P uluur. { ϖ,, : ϖ } ve ( ϖ,, ) içi ϖ Amç 3: y P l y > y P l Ty > oluğuu l+ göserelim. Bur y = llım. { } y P( ϖ,, l) = y P: ϖ ( y), y l içi < l oluğu ϖ ( y) sğlır. O hle { y P( ϖ,, l) : ϖ ( y) > } ır. Şimi y P( ϖ,, l) < ve y l, τ (3..)

ve M (3..6) ki gii olsu. (i) yi kullırsk [ ξ, ξ ] [ ξ, ξ ] ( ) ( ) ( ) ϖ Ty = mi G, s h s f s, y s s + A hf., y ψ + B hf., y φ ( ) > mi G, s h s f s, y s s = M M oluğu ( Ty) ϖ > sğlır. Amç 4: Eğer ( ϖ,, ) ve ise ϖ syı ve T : P y P c Ty > l Ty > ir. Γ (3..5) eki gii ir [ ξ, ξ ] P ir operör olsu. Eğer y P( ϖ,, c) ve Ty > l ise ϖ Ty = mi Ty Γ Ty >Γ l = olur. Legge-Willims si ok eoremii üm koşullrı sğlığı (3..) ve (3..) sıır eğer prolemii e z üç e poziif çözümü vrır.

4. SONUÇ Bu ez çlışmsı ikici mereee lieer olmy Surm-Liouville -ok sıır eğer prolemi ele lımışır. L ve Guo rfı verile ir lemm ve Legge- Willims si ok eoremi ile koi üzerieki ir, iki ve üç poziif çözümü vrlığı icelemişir.

KAYNAKLAR Aerso D.R. (00) Soluios o seco-orer hree-poi prolems o imes scles, J.of Diff. Equ. Appl. 8:8: 673-688 Aerso D.R. (003) Exesio of seco -orer muli-poi prolem o ime scles, Dymic Sysem Applicios :3-4:393-404 Aerso D.R.(004) Twi -poi oury vlue prolems, Applie Mhemics Leers 7:9:053-059 Aerso D.R.,Avery R.I. Heerso J. (004) Exisece of soluios for oe imesiol p-lplci o ime scles, J.of Diff.Equ. Appl. 0:0 :889-896 Aıcı F.M. Guseiov G.Sh. (00) O Gree s fucios posiive soluios for oury vlue prolems o ime scles, J.Compu.Appl.4 :75-99 Aulch B. Hilger S. (990) Lier ymic processes wih ihomogeeous ime scle, Nolier Dymics Quum Dymicl Sysems 59:9-0 Boher M. Peerso A. (00) Dymic Equios o ime scles, A iroucio wih pplicios, Birkhuser, Boso Boher M. Peerso A. (003) eiors, Avces i Dymic Equios o ime scles, Birkhuser, Boso Chy C.J. Heerso J. (00) Twi soluios of oury vlue prolems for ifferil equios o mesure chis, J.of Compu. Appl.Mh.4:3-3 DCuh J.J., Dvis J.M. Sigh P.K. (004) Exisece resuls for sigulr hree poi oury vlue prolems o ime scles, J.of Mh.Alysis Appl.95: 378-39 Deimlig Klus (985) Nolier fuciol lysis, Sprig Verlg Ere L.H. Peerso A.C. (999) Gree s fucios compriso heorems for ifferil equios o mesure chis, Dym.Coiuous, Discree & Impulsive Sysems 6:-37 Ere L.H. Peerso A.C. (000) Posiive soluios for olier ifferil equio o mesure chi, Mh. Compu.Moellig 3 :57-585

Guo D. Lkshmikhm V. (988) Nolier prolems i src coes, Acemic press Heerso J. (000) Muliple soluios for mh-orer Surm-Liouville oury vlue prolems o mesure chi, J.Differece Eq.Appl. 6 :47-49 Hilger S. (990) Alysis o mesure chis- uifie pproch o coiuous iscree clculus, Resuls Mh. 8 :8-56 Kufm E.R. (003) Posiive soluios of hree-poi oury vlue prolem o ime scles, Elecroic J.of Diff. Equ. 8: - Kufm E.R. Rffoul Y. (004) Eigevlue prolems for hree-poi oury vlue prolem o ime scle, Elecroic J.of Quliive Theory of Diff.Equ. :-0 Kog L. Kog Q. (003) Posiive soluios for olier m-poi oury vlue prolems o mesure chi, J. of Diff. Equ. Appl. 9:: -33 L K.Q. (00) Muliple posiive soluios of semilier ifferil equios wih sigulriies, J.of Loo Mh.Soc.63 : 690-704 M R. (003) Exisece of posiive soluios for superlier semiposioe m-poi oury vlue prolems, Proceeig of he Eiurg Mh. Soc. 46:79-9 M R. Thompso B. (004) Posiive soluios for olier m-poi eigevlue prolems, J. of Mh. Alysis Appl. 97:4-37 Peerso A.C., Rffoul Y. Tisell C.C. (004) Three-poi oury vlue prolems o ime scles, J. Diff. Equ. Appl. 0:9-0:843-849 Su H.R. Li W.T. (004) Posiive soluios for olier hree-poi oury vlue prolems o ime scles, J. of Mh. Alysis Appl. 99:: 508-54

ÖZGEÇMİŞ Aı Soyı : Emel AŞCI Ae Aı : Melh B Aı : Veli Doğum Yeri ve Trihi : DENİZLİ, 7.07.98 Yüksek Liss Eğiimi : Pmukkle Üiversiesi Fe Eeiy Fkülesi Memik Bölümü Aliz ve Foksiyolr Teorisi Ailim Dlı, 006 Liss Eğiimi ve Mezuiye Trihi :Hceepe Üiversiesi Fe Fkülesi Memik Bölümü, 004 Lise Eğiimi : Deizli Lisesi (Süper Lise), 000. Orokul Eğiimi : Deizli Aürk Orokulu, 996 İlkokul Eğiimi : 00.Yıl Mehmeçik İlkokulu, 993 Biliği Ycı Diller : İgilizce, Almc Mesleki Ekilikleri :Özel Dershee Memik Öğremeliği