. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Erciyes Üniversitesi, Kayseri 09 - Haziran 005 HIZ DALGALANMALARI BİR ROTOR-PALA SİSTEMİNDE KAOTİK DAVRANIŞLARA YOL AÇABİLİR Mİ? (BASİTLEŞTİRİLMİŞ BİR İNCELEME) Göhan BULUT ve Özgür TURHAN İstanbul Teni Üniversitesi, Maina Faültesi, 34437 Gümüşsuyu, İstanbul bulutgo@itu.edu.tr, turhanoz@itu.edu.tr ÖZET Hız dalgalanmalarının bir rotor-pala sisteminin doğrusal olmayan dinamiği üzerindei olası etilerini görebilme için, rijid bir dise bağlı olara dönen burulma yayı-rijid çubu sisteminden oluşan basitleştirilmiş model ele alınıp incelenmiş ve sistem parametrelerinin bazı bileşimlerinde bu modelin aoti davranışlar göstereceği belirlenmiştir. Kaoti davranışların ortaya çıacağı parametre bölgeleri, Lyapunov üssü hesabına dayalı bir aos artı üzerinde gösterilmiş, aoti olan ve olmayan hareet örneleri için Poincaré tasvirleri, yol-zaman ve hız-zaman grafileri verilmiştir. Anahtar Kelimeler: Rotor-pala sistemi, Kaos, Lyapunov üssü, Poincaré tasviri DOES A SPEED FLUCTUATION CAUSE CHAOTIC VIBRATIONS IN A ROTOR-BLADE SYSTEM? (A SIMPLIFIED ANALYSIS) ABSTRACT The effect of a speed fluctuation on the non-linear dynamics of rotor-blade systems is studied through a simplified model consisting in a rigid bar resiliently attached to a rotating dis. Lyapunov exponent calculations, Poincaré maps and time histories show that the system will exhibit chaotic behaviour at certain combinations of system parameters. Keywords: Rotor-blade system, Chaos, Lyapunov exponent, Poincaré map. GİRİŞ Heliopter ve uça pervaneleri, pompa ve türbinler gibi ço önemli uygulamalara sahip oluşu yüzünden rotor-pala sistemlerinin dinami davranışı, çeşitli açılardan ve çeşitli matematisel modeller yardımıyla ço sayıda araştırmaya onu olmatadır. Araştırma onularından biri de, rotor milindei olası burulma titreşimlerinin pala eğilme titreşimleri üzerindei etisidir. Bu problem, yani mil burulma-pala eğilme bağlaşı titreşimleri problemi, aslında doğrusal olmayan bir matematisel modele götürmele birlite doğrusallaştırılmış modeller yardımıyla incelenmete ve ii titreşim arasında güçlü bağlaşılı etileri bulunduğu görülmetedir [-4]. Öte yandan aynı problem, belli bir soyutlama düzeyinde, rotor hızındai dalgalanmaların pala titreşimleri üzerindei etilerinin incelenmesi problemiyle örtüşür. Bu problem de palanın elasti bir iriş olara alındığı faat doğrusal olmayan etilerin yine göz ardı edildiği bir model yardımıyla incelenmiş ve hız dalgalanmalarının palada dinami ararlılı yitimine yol açabileceği gösterilmiştir [5]. Bu çerçevede ala taılan soru şudur: Mil 7
burulma-pala eğilme bağlaşı titreşimleri probleminde, ya da daha basit olan dalgalanan hızla dönen elasti pala probleminde doğrusal olmayan etilerin göz ardı edilmesi acaba hareetin imi nitel özellilerinin, en önemlisi de, olası aoti davranışların gözden açmasına yol açmata mıdır? İşte bu çalışmanın amacı, palanın bir burulma yayı ve ona bağlı rijid bir çubu şelinde modellendiği basit faat doğrusal olmayan bir rotor-pala sistemi modeli yardımıyla, rotor milindei (peryodi) hız dalgalanmalarının aoti titreşimlere yol açıp açmayacağının incelenmesidir. Bu amaçla, aoti davranışların bir göstergesi olara, Lyapunov üssü hesabına başvurulmata ve gerçeten de sistem parametrelerinin bazı bileşimlerinde aoti davranışlar ortaya çıacağı gösterilmetedir. Ortalama rotor hızı ile hız dalgalanma freansının oluşturduğu bir parametre düzleminde aoti davranışların ortaya çıacağı bölgeleri gösteren bir aos artı elde edilmete, bu artın çeşitli notalarına arşılı gelen hareetlere ilişin Poincaré tasvirleri ile yol-zaman ve hız-zaman grafileri de elde edilere aosun varlığına ilişin Lyapunov üssü hesabından elde edilen sonuçlar doğrulanmatadır.. MODEL İncelemede Şeil de gösterilen model esas alınacatır. Modelde Ω(t) dalgalanan hızı ile dönen r yarıçaplı rotora bağlı pala, ütlesi m, boyu l olan rijid bir çubu olara göz önüne alınmıştır. Palanın esneliği ve olası sönüm etileri, rotor ile çubu arasına yerleştirilen bir burulma yayı ve bir c visoz sönüm elemanı ile modellenmiştir. Aslında böyle yay-sönüm-çubu sistemlerinden n tanesini birbirine eleyere n sonsuza gideren elasti çubu modeline yaınsayaca bir model elde edilebileceği bilinmete [6] faat burada, basitli baımından, te serbestli dereceli bir modelle yetinilmetedir. Modelin (t) salınımlarını yöneten diferansiyel denlemin, notalar zamana göre türevleri gösterme üzere Ω(t) && + & ml c + mlrω sin + 3 + = ml Ω& 3 r mlrω& cos () şelinde olduğu gösterilebilir. Bu denlem, rotorun, Ω 0 ortalama hızı etrafında ν freansı ile Ω t) = Ω + Ω sin t () ( 0 ν şelinde dalgalanara döndüğü abulü altında ve * m = ml, ω =, = νt, 3 * m r c ν α =, ζ =, λ =, (3) l m * ω Ω β =, β ω Ω = ω c 0 0, δ = Ω Ω tanımları ışığında boyutsuzlaştırılırsa δ β = β0 ( + sin ) (4) olma ve üsler ya göre türevleri gösterme üzere 3 3 + ζ + α β sin + α β cos λ λ λ + = β λ λ (5) 0 m, l Şeil Rotor-pala sistemi için basitleştirilmiş model 8
elde edilir. Bu denlem, hem parametri hem de doğrudan zorlama etisindei doğrusal olmayan bir sisteme işaret etmetedir ve bu özellileriyle son derece armaşı dinami davranışlar göstermesi belenmelidir. Öte yandan, hareetini yöneten diferansiyel denlem ana hatlarıyla Den.(5) e benzeyen, parametre tahrili saraç [7] ve dalgalanan hızla dönen merezaç regülatörün [8] aoti davranışlar göstereceği bilinmetedir. 3. LYAPUNOV ÜSSÜ HESABI Bir dinami sistemde, sistem davranışlarının başlangıç oşullarına aşırı duyarlılığının aosa neden olduğu bilinmetedir. Bu yüzden, bu duyarlılığın bir ölçüsünü oluşturan Lyapunov üsleri, en önemli aos ölçütlerinden biri olara abul edilir. Özel olara, bir dinami sistemde, belli bir parametre bileşiminde Lyapunov üslerinden en az birinin pozitif olması, sistemin o parametre bileşiminde aoti davranış göstereceğine işaret eder [9,0]. Bu çalışmada Lyapunov üsleri, doğrudan doğruya en büyü üssün elde edilmesine yöneli bir algoritma [0-] yardımıyla hesaplanacatır. Bu algoritmayı sergileme üzere Den. () in durum uzayındai ifadesine geçilirse, =, = ile { } T u = (6) ve F( u) = 3 3 ζ α β sin α β cos β λ λ λ λ λ tanımları altında (7) u = F(u) (8) yazılabilir. Denlem (8) in, sistem parametrelerinin belirli değerlerine ve rasgele başlangıç oşullarına arşılı gelen, [ 0, N ] zaman aralığındai N adımlı çözümü bir sayısal integrasyon yöntemi ile elde edilir. Geçici titreşimlerin etisini silme için bu çözümün il m adımı atılıp, geri alanı referans çözüm adı altında u ( ) ; =m+, m+,...,n şelinde salanır. Lyapunov üssü bu referans çözümün ararlılığının bir ölçüsüdür. Bu nedenle bu çözüm civarındai varyasyonel (üçü sapmalara arşılı gelen) denlemlerin çözümlerinin davranışı incelenere elde edilir. Referans çözümün her anı için varyasyonel denlem, Den. (7) dei F(u) fonsiyonunun Jaobiyeninin bu andai değerini veren F u u( ) = 0 3 3 α β cos + α λ ifadesi yardımıyla u~ ( ; ) = F u u( ) β λ u~ ( ; sin λ ζ λ (9) ) ;=m+,...,n (0) şelinde yazılabilir. Bu denlemlerden =m+ inci adıma arşılı gelen birincisinin, u ~ (0; ) = () şelindei bir normal başlangıç oşulu ile sayısal olara bir adım çözülmesiyle u~ ( + ; ) elde edilir ve =m+ nci adıma arşılı gelen iinci denleme geçilir. Bu denlem de, bir öncei denlemden elde edilen çözüm ~ ~ u ( ; ) (0; ) u = + + ~ () u ( + ; ) şelinde normalize edilip başlangıç oşulu alınara bir adım çözülür ve işlemler bu düzende [ m+, N ] aralığı boyunca sürdürülür. Bu algoritma çerçevesinde en büyü Lyapunov üssünün N σ = ln u ~ ( + ; ) (3) N m+ = m+ şelinde hesaplanacağı gösterilebilir [0,]. = 9
4. UYGULAMALAR Bilindiği gibi, bir hareete ait faz yörüngesinin, sisteme ait arateristi bir zaman aralığı tetileme aralığı alınara elde edilmiş strobosopi bir görüntüsünden ibaret olan Poincaré tasviri, Lyapunov üssü dışındai en önemli aos ölçütüdür. Bu ölçüte göre, Poincaré tasviri fratal bir şeil olan hareet aotitir. Öte yandan, Poincaré tasvirinin bir veya birden ço, anca sonlu sayıda notadan ibaret olması da, hareetin harmoni (bir nota) veya harmoni altı (bir ço nota) peryodi bir hareet olacağını gösterir. Bu çalışmada tetileme aralığı olara parametri zorlama ile dış zorlamanın orta peryodu olan T=π alınmıştır. Bu bölümde, α=0.5, δ=.0, ζ=0. parametreleriyle tanımlı bir rotor-pala sistemi örneği ele alınara aoti davranışlar gösterip göstermeyeceği incelenecetir. Bu amaçla, hız dalgalanma freansını tanımlayan λ ve rotorun ortalama dönme hızını tanımlayan β 0 boyutsuz parametrelerinden oluşan parametre düzlemi nota nota taranara her bir nota için Bölüm de anlatılan hesap adımlarının atılmasıyla en büyü Lyapunov üssü hesaplanmıştır. Hesaplarda, bu amaçla özel olara geliştirilen ve sayısal integrasyonda Runge-Kutta(4) yöntemini ullanan bir FORTRAN programından yararlanılmış, parametre düzleminin toplam 5865 notasında hesap yapılmış, Lyapunov üssü hesabının yaınsama ölçütü olara en az 6000 integrasyon adımı boyunca üs dalgalanmasının ±0 5 li bir aralıta alması gözetilmiş, ve sonuçta, Lyapunov üssünün pozitif değer aldığı notalar işaretlenere Şeil de gösterilen aos artı elde edilmiştir. Bu şele göre, ele alınan rotor-pala modelinin aoti davranış göstereceği geniş parametre bölgelerinin bulunacağı anlaşılmatadır. Belli başlı dört aos bölgesi ayırt edilmete, bu bölgelerin sınırlarının ço esin olmadığı, içlerinde, yer yer, aoti olmayan üçü bölgeciler barındırdıları görülmetedir. Bunların yanı sıra, tarama sılığının yetersiz alışı yüzünden opulular gösteren ince aoti hatlar da bulunmatadır. Bu aos artını doğrulama amacıyla, parametre düzlemindei bazı notalar için Poincaré tasvirleri ile yol-zaman ve hızzaman grafileri de elde edilmiştir. Yol-zaman ve hız-zaman grafilerine gelince; bunlar, te başlarına, bir hareetin aoti olup olmadığını ayırt etme olanağı vermemele birlite, aoti hareetlerde düzensiz bir gidiş sergileyeceleri bilinmetedir. Aşağıda, Şe. üzerinde seçilen yedi farlı nota için elde edilen Poincaré tasvirleri ile yol-zaman ve hız-zaman grafileri verilip değerlendirilecetir. Şeil de verilen aos artındai dört belirgin aoti bölge soldan sağa numaralandırılırsa, Şe.3, birinci bölge içindei bir notaya ait Poincaré tasviri, yolzaman ve hız-zaman grafilerini göstermetedir. Bu notada en büyü Lyapunov üssünün değeri σ=0.54 olup bu notanın aoti bir parametre bileşimine arşılı geldiğini göstermetedir. Fratal bir şeil veren Poincaré tasviri ile düzensiz bir gidiş sergileyen yol-zaman ve hız-zaman grafileri de Lyapunov üssü hesabı ile varılan sonucu doğrular nitelitedir. β 0 λ Şeil α=0.5, δ=.0, ζ=0. için aos artı 0
Şeil 4, birinci ve iinci bölge arasında bir notaya arşılı gelmetedir. Bu notada en büyü Lyapunov üssü σ= 0.06 değerine sahip olup bu notanın aoti olmayan bir parametre bileşimine arşılı geldiğini göstermetedir. Poincaré tasvirinde de n= nota ayırt edilmete, bu da hareetin, harmoni altı titreşimlere arşılı gelen, nt=4π peryodlu peryodi bir hareet olduğunu göstermetedir. Yol-zaman ve hızzaman grafileri de bu peryodla peryodi bir hareete işaret etmetedir. Diğer şeillere de ısaca değinilece olursa; Şe.5, Şe.6 ve Şe.8, sırasıyla, üçüncü bölgenin sınırına, içine ve dördüncü bölgenin içine arşılı gelen notalardır ve bu notalardai en büyü Lyapunov üsleri pozitiftir. Bu da hareetin bu notalarda aoti olduğunu göstermetedir. Bu notalara ait Poincaré tasvirleri fratal şeil vermete, yol-zaman ve hız-zaman grafileri de hareetin düzensiz bir gidişe sahip olduğunu göstermetedir. Şe.7 ve Şe.9 ise, sırasıyla, üçüncü ve dördüncü bölgelerin içindei aoti olmayan esimlere ait notalara arşılı gelmetedir. Bu notalarda en büyü Lyapunov üssünün değeri negatiftir. Şe.7 dei Poincaré tasviri n=5 notadan ibaret olup nt=0π peryodlu, Şe.9 dai Poincaré tasviri ise n= notadan ibaret olup nt=4π peryodlu peryodi, yani harmoni altı hareetler göstermetedir. Bu özelliler, ilgili yol-zaman ve hız-zaman grafilerinden de görülebilmetedir. Şeil 3-9 da verilen sonuçlar (ve burada verilmeyen daha bir ço inceleme) Şe. dei aos artını doğrular nitelitedir. Bununla birlite, özellile ince aoti hatlar üzerindei az sayıda notada, hesaplanan en büyü Lyapunov üssü pozitif olduğu halde Poincaré tasvirinin peryodi bir hareet gösterdiği ters örnelere de rastlanmıştır. Bu çelişinin, ullanılan en büyü Lyapunov üssü hesaplama algoritmasının sayısal duyarlılığının bazı notalarda yetersiz almasından aynalanmış olabileceği düşünülmete, anca, uramsal bir soruna işaret etmesi olasılığına arşı inceleme sürdürülmetedir. & & Şeil 3 λ=.6, β 0 =3.8 için Poincaré tasviri, yol-zaman ve hız-zaman grafileri (σ=0.54) & & Şeil 4 λ=.65, β 0 =3.6 için Poincaré tasviri, yol-zaman ve hız-zaman grafileri (σ=-0.06)
& & Şeil 5 λ=.0, β 0 =.9 için Poincaré tasviri, yol-zaman ve hız-zaman grafileri (σ=0.) & & Şeil 6 λ=.85, β 0 =.5 için Poincaré tasviri, yol-zaman ve hız-zaman grafileri (σ=0.097) & & Şeil 7 λ=.4, β 0 =.6 için Poincaré tasviri, yol-zaman ve hız-zaman grafileri (σ=-0.008) & & Şeil 8 λ=4.0, β 0 =. için Poincaré tasviri, yol-zaman ve hız-zaman grafileri (σ=0.054)
& & Şeil 9 λ=5.0, β 0 =.4 için Poincaré tasviri, yol-zaman ve hız-zaman grafileri (σ=-0.0) 5. SONUÇLAR Rotor-pala sistemleri için basit faat doğrusal olmayan bir model ele alınara, rotordai hız dalgalanmalarının palada aoti davranışlara yol açıp açmayacağı sorusuna bir yanıt bulunmaya çalışılmıştır. Lyapunov üsleri ile yapılan inceleme sonucu modelin aoti davranış göstereceği parametre bileşimleri bulunacağı saptanmış ve bu sonuç, Poincaré tasvirleri, yol-zaman ve hız-zaman grafileri ile de doğrulanmıştır. İncelenen basit modelin gerçe rotor-pala sistemlerini temsil yeteneği düşü olmala birlite, bu çalışmadan elde edilen sonuçlar, pratite ullanılan rotor-pala sistemlerinde de aoti davranışlara rastlanabilme olasılığının gözden uza tutulmaması geretiğini düşündürmetedir. Bu önemli olasılığı daha sağlam temellerde test edebilme için benzer bir çalışmanın, daha gerçeçi rotor-pala sistemi modelleri üzerinde terarlanmasının gereli olduğu düşünülmete ve çalışma bu yönde sürdürülmetedir. 6. SEMBOLLER Sembol c l m r ν Ω Açılama Açısal visoz damperin sönüm atsayısı Burulma yayının yay atsayısı Pala (çubu) boyu Pala (çubu) ütlesi Göbe yarıçapı Rotor açısal hızı dalgalanma freansı Rotor açısal hızı 7. KAYNAKLAR. Oabe A. ve ar., An Equivalent Reduced Modelling Method and Its Application to Shaft-Blade Coupled Torsional Vibration Analysis of A Turbine-Generator Set, J. of Power and Energy, 05, 99, 73-8.. Huang S. C., Ho K. B., Coupled Shaft- Torsion and Blade-Bending Vibrations of A Rotating Shaft-Dis-Blade Unit, J. of Eng. for Gas Turbines and Power, 8, 996, 00-06. 3. Turhan Ö., Bulut G., Linearly Coupled Shaft-Torsional and Blade-Bending Vibrations in Rotor-Blade Systems, J. of Sound and Vibration (Gönderildi). 4. Turhan Ö., Bulut G., Coupled Shaft- Torsional and Blade-Bending Vibrations in Multi-Stage Rotor-Blade Systems, J. of Sound and Vibration (Gönderildi). 5. Turhan Ö., Bulut G., Dynamic Stability of Rotating Blades (Beams) Eccentrically Clamped to A Shaft with Fluctuating Speed, J. of Sound and Vibration, 80, 005, 945-964. 6. Wang C. Y., Free Vibration of a Lin Rod, J. of Sound and Vibration,74, 004, 455-459. 7. Bishop S. R., Clifford M. J., Zones of Chaotic Behaviour in The Paramatrically Excited Pendulum, J. of Sound and Vibration, 89(), 996, 4-47. 3
8. Zhu Q., Ishitobi M., Ngano S., Condition of Chaotic Vibration in A Centrifugal Governor, J. of Sound and Vibration, 68(3), 003, 67-63. 9. Moon F. C., Chaotic and Fractal Dynamics, John Wiley & Sons, Inc., 99. 0. Argyris J., Faust G., Haase M., An Exploration of Chaos, North-Holland, 994.. Wolf A., Swift J. B., Harry L. S., Vastano J. A., Determining Lyapunov Exponents From A Time Series, Physica D,6, 985, 85-37.. Rosenstein M. T., Collins J. J.,De Luca C. J., A Practical Method for Calculating Largest Lyapunov Exponents from Small Data Sets, Physica D, 65,993, 7-34. 4