5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii yapısı verilmişti. Eğer değişke katsayılı diferasiyel deklemleri geiş sııfı ile ilgilemek istiyorsak, bildiğimiz elemeter foksiyoları öteside, çözüm içi araştırmamızı geişletmeye ihtiyacımız vardır. Buu temel aracı verile foksiyou kuvvet serisie açarak temsil etmektir. Belirsiz katsayılar yötemie bezer olarak verile diferasiyel deklemi çözümüü kuvvet serisie açılımıı düşüüp, deklemi sağlayacak katsayıları belirlemek amacımız olacaktır. Bu bölümde kuvvet serilerii kullaarak ikici mertebede katsayıları bağımsız değişkei foksiyou ola lieer diferasiyel deklemleri temel çözümlerii yapısıı iceleyeceğiz.
5. Kuvvet Serileri Aalizde bildiğiiz kuvvet serileri içi gerekli bilgileri özetleyelim: ) Bir kuvvet serisi oktada = a( x x ) i bir x oktasıda yakısak olması o m m = lim a ( x x ) i var olmasıdır. Bu seri x = x da kesilikle yakısaktır. Bir kuvvet serisi x = x ı dışıdaki her oktada yakısak olmayabilir veya her oktada yakısak veya belli bir aralıkta yakısak olabilir. ) Eğer a ( ) x x bir x oktasıda yakısak ise a x x = = ( ) serisie x oktasıda mutlak yakısak deir. Eğer seri mutlak yakısak ise yakısaktır. Fakat tersi doğru değildir.
3) Bir kuvvet serisii mutlak yakısak olup olmadığıı test etmei e kolay yollarıda biri ora testii kullamaktır. Eğer a ve sabit bir x değeri içi + a+ ( x x) a+ lim = x x lim = L a ( ) x x a ve L < ise seri mutlak yakısak. L > ise ıraksaktır. L = ise serii yakısak olup olmadığı hakkıda bir şey söyleyemeyiz. Örek: ( ) + ( x 3) = serisi yakısak mıdır? + + ( ) ( + ) ( x 3) + x + lim = 3 lim = x 3 ( ) ( x 3) eğer x 3 < ise yai < x < 4 ise seri mutlak yakısak, x 3 > ise seri ıraksaktır. x 3 = ise yai x= ve x= 4 de içi geel terim sıfıra gitmediğide seri ıraksaktır.
4) a( x x) serisi x = x oktasıda yakısak ise x x < x x da = mutlak yakısak, x = x oktasıda ıraksak ise x x > x x da ıraksaktır. 5) a( x x) serisi x x < ρ içi mutlak yakısak, x x > ρ içi = ıraksak olacak şekilde egatif olmaya bir ρ sayısı vardır. Bua yakısaklık yarıçapı deir. Eğer seri yalız x = x da yakısak ise ρ = olarak taımlaır. Eğer seri her x içi yakısak ise ρ = deir. Eğer ρ > ise x x < ρ aralığıa yakısaklık aralığı deir. ( x + ) Örek: serisii yakısaklık yarıçapıı belirleyiiz. = Ora testii uygularsak + ( x+ ) x+ x+ lim = lim + = ( + ) ( x+ ) + elde edilir. Bua göre x + <, yai 3< x < içi seri mutlak yakısak,
x + > içi ise seri ıraksaktır. Serii yakısaklık yarıçapı ρ = dir. ( ) Uç oktaları icelersek x = 3 de seri olur ki bu seri = yakısaktır. x = de seri olur ki bu seri ıraksaktır. Bua göre = 3 x < içi seri yakısaktır. Bu aralığı dışıda seri ıraksaktır. 3< x < ise seri mutlak yakısaktır. Eğer, ρ > ve x x < ρ içi a( x x) ve b x x = = sırasıyla f ( x) ve g( x ) foksiyolarıa yakısıyorsa x x < ρ içi; 6) Seriler terim-terime toplaıp, çıkarılabilir ve dır. f( x) ± g( x) = ( a ± b )( x x ) = ( )
7) Seriler formel olarak çarpılabilir ve f( x) g( x) = a( x x) b( x x) = c( x x) = = = dir. Burada c = ab + ab + + ab dır. Hatta eğer gx ( ) ise seriler bölüebilir ve f( x) = d( x x ) gx ( ) = dır. Çoğu durumda d = a( x x) d( x x) b( x x) = = = = db k ( x x ) = = bağıtısıda kolayca elde edilir.
8) f foksiyou, x x < ρ aralığıda sürekli ve her mertebede türeve sahiptir. Hatta f, f,... seri terim-terime türetilerek hesaplaabilir. Yai, f ( x) = a + a ( x x ) + + a ( x x ) + = a( x x ) = ( ) = + 6 3( ) + + ( ) ( ) + = ( ) a( x x ) = f x a a x x a x x dir ve her seri x x < ρ aralığıda mutlak yakısaktır. 9) a i değeri, ( ) f ( x ) a =! ile verilir. Bu seriye x = x da f foksiyouu Taylor serisi deir.
a ( x x ) b ( x x ) ise ) Eğer her x içi = = = a,,,... = b = dir. Özel olarak her x içi a( x x) ise a = a = = a = = dır. = = Bir f foksiyou x = x da Taylor serisie açılıyorsa ( ) f ( x ) f( x) = ( x x ), x x < ρ =! dır ve x = x da f ye aalitiktir deir. 6. ve 7. maddelere göre, eğer f ve f g, x = x da aalitik ise f ± g, f g ve g ( g( x ) ) foksiyoları da x = x da aalitiktir. Bir seride toplam idisi, itegrasyo değişkeide olduğu gibi yapma (taklit) değişkedir. Yai
ayı toplamı ifade eder. j j k k x x x = =! j! k! = j= k= Örekler: ) ax serisii = = 3 da başlatarak yazıız. m= 3 diyelim. = m+ 3 dür ve m i sıfırda başlaması i üçte başlaması ile ayıdır. Bua göre = = 3 m= ax a x m+ 3 m+ 3 dır. İdisler yapma değişkeler olduğuda m yerie yazabiliriz. Bua göre dır. = = 3 = ax a x + 3 + 3
) ( + ) a ( x x ) serisii ( x x ) terimie göre yazıız. = terimii + kadar ötelersek yazarız. = ( + )( + 3) a ( x x ) + 3) r+ + ( + + ) serisii = x r a x r x + terimie göre yazıız. x i içeri alırsak seri elde edilir. r+ + ( r+ + ) ax olur. İdisi iki düşürürsek = r+ ( r+ ) a x =
4) si x i x = da, l x i x = de Taylor serilerie açıız ve yakısaklık yarıçaplarıı buluuz. f ( x) = six π f ( x) = cosx= si x+ π π f ( x) = cos x+ = si x+ ( ) π f ( x) = si x+, = k ( ) π f () = si =, = 4k+ k =,,,..., = 4k + 3
= ( ) 3 f () ( ) x x () () () () ( ) x x = f + f x+ f + f + + f () +!! 3!! 3 x x = + x + + ( ) + +! 3! ( ) + = x ( + )! = + + 3 ( ) x (+ )! x + lim = lim = (+ 3)! ( ) x (+ )(+ 3) x içi seri yakısaktır. Yai ρ = dur. six = = ( ) x ( + )! +
gx ( ) = lx g ( x) = = x x g ( x) = x g ( x) = x 3 g ( x) = ( ) ( ) x g ( ) + () = ( ) ( )! ( ) + ( ) + g () ( ) ( )! ( x ) = g() + ( x )!! = = = x = + ( ) ( )
+ + ( ) ( x ) lim = x lim = x + + ( ) ( x ) + x < aralığıda seri mutlak yakısak, ρ = yakısaklık yarıçapıdır. 5) belirleyiiz. ax + ax = deklemii sağlaya = = ax serisii temsil ede foksiyou buluuz. = + = = = ( + ) a x a x ( + ) a = a =,,,... + a+ = a =,,,... ( + ) a katsayılarıı
a 3 a a a = a, a = ( ), a3 = ( ),..., a = ( ),...! 3!! ax = = = ( ) a = ae! x