ÇOK KATLI ÇELİK YAPILARIN GEOMETRİ BAKIMINDAN DOĞRUSAL OLMAYAN DAVRANIŞININ ARTIMSAL VE PRATİK 2. MERTEBE ANALİZ YÖNTEMLERİ İLE İNCELENMESİ

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇOK KATLI ÇELİK YAPILARIN GEOMETRİ BAKIMINDAN DOĞRUSAL OLMAYAN DAVRANIŞININ ARTIMSAL VE PRATİK 2. MERTEBE ANALİZ YÖNTEMLERİ İLE İNCELENMESİ Özer ZEYBEK Hazran, 2011 İZMİR

ÇOK KATLI ÇELİK YAPILARIN GEOMETRİ BAKIMINDAN DOĞRUSAL OLMAYAN DAVRANIŞININ ARTIMSAL VE PRATİK 2. MERTEBE ANALİZ YÖNTEMLERİ İLE İNCELENMESİ Dokuz Eylül Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Yüksek Lsans Tez İnşaat Mühendslğ Bölümü, Yapı Anablm Dalı Özer ZEYBEK Hazran, 2011 İZMİR

YUKSEK LsANS TEZ SINAv SONUC; FORMU OZER ZEYBEK tarafmdan DoC;. Dr. M. EMN KURAL yonetmnde hazlrlanan "C;OK KATLI C;ELK YAPILARIN GEOMETR BAKIMINDAN DOGRUSAL OLMAYAN DAVRANI~ININ ARTIMSAL VE PRATK 2. MERTEBE ANALz YONTEMLER LE NCELENMES " ba~ hkh tez taraflmlzdan okunmu~, kapsaml ve ntelg aylsmdan br Ylksek Lsans tez olarak kabul edlm~tr...........d............ Jr Uyes ProfDr. Musta SABUNCU Mudur Fen Blmler Ensttusu II I

TEŞEKKÜR Çalışmamda desteğn gördüğüm ve değerl vaktn bana ayırarak çalışmama katkı sağlayan danışman hocam sayın Doç. Dr. M. Emn KURAL a teşekkürlerm sunarım. Tezm hang şartlarda olursa olsun sıkılmadan ttzlkle nceleyen, yapıcı eleştrler le yön veren ve destek sağlayan sayın Arş. Gör. Dr. Mutlu SEÇER e sonsuz teşekkür ederm. Hayatımın her anında madd ve manev desteğn hep yanımda hssettğm, bugünlere gelmemn ve hayattak başarılarımın en büyük sebepler olan değerl babam ve annem başta olmak üzere tüm ale breylerne sonsuz teşekkür ederm. Özer ZEYBEK

ÇOK KATLI ÇELİK YAPILARIN GEOMETRİ BAKIMINDAN DOĞRUSAL OLMAYAN DAVRANIŞININ ARTIMSAL VE PRATİK 2. MERTEBE ANALİZ YÖNTEMLERİ İLE İCELENMESİ ÖZ Düşey yüklern yanında deprem ve rüzgar gb yatay yükler, yapı davranışını etkleyen büyük yer değştrmelere ve dolayısıyla knc mertebe etklern oluşmasına yol açar. Bu tür durumlarda knc mertebe etkler göz önüne alan hesap yöntemlernn kullanılması önem arz eder. Bu çalışmada; çelk yapı sstemlernn artımsal ve pratk yöntemler kullanılarak knc mertebe analz yapılmıştır. Çalışmada; tek adımlı artımsal, Newton-Raphson, gelştrlmş Newton-Raphson artımsal yöntemler ve teratf düşey yük, drekt P-Delta, L, Kng-Chen, fktf dyagonal eleman eklenmes, fktf kolon eleman eklenmes gb pratk yöntemler kullanılmıştır. Sayısal uygulamalar üzernde artımsal ve pratk knc mertebe analz yöntemler le elde edlen kat yatay yer değştrmeler, eleman uç momentler ve yapı salınım faktörü değerler referans çalışma sonuçları le brlkte ncelenmş olup hesap yöntemlernn brbrlerne göre performansları değerlendrlmştr. Çalışmada kullanılan knc mertebe analz yöntemlernden elde edlen sonuçların referans çalışma sonuçlarına göre bağıl fark oranları göz önüne alındığında, çıkan sonuçların yeterl hassasyette olduğu tespt edlmştr. Çaprazlı sstemlern performanslarını araştırmak amacıyla çeştl geometrk formlarda merkez çelk çaprazlı sstemler düzenlenmş olup, ncelenen yapı sstemlernn narnlk oranı, yapı salınım faktörü, kat yatay yer değştrme ve ç kuvvet değerlerndek değşm ncelenmştr. Elde edlen sonuçlara göre, çeştl geometrk formlarda teşkl edlen merkez çelk çaprazlı sstemlern, moment aktaran çerçeve sstemne göre tepe noktası yatay yer değştrme, kat ötelenmes ve yapı salınım faktörü değerlern etkn br şeklde sınırlandırdığı tespt edlmştr. Anahtar sözcükler: İknc Mertebe Analz, Artımsal Yöntem, Pratk Yöntem, Moment Aktaran Çelk Çerçeve, Merkez Çelk Çaprazlı Çerçeve, Yapı Salınım Faktörü. v

INVESTIGATION OF GEOMETRIC NONLINEAR BEHAVIOR OF MULTISTORY STEEL STRUCTURES WITH INCREMENTAL AND PRACTICAL SECOND ORDER ANALYSIS METHODS ABSTRACT In addton to vertcal loads, horzontal loads such as earthquake and wnd loads lead to form second order effects together wth large dsplacements nfluencng the structural behavor. In these cases, t s mportant to use calculaton methods that consder the second order effects n analyses. In ths study, second order analyses are performed by utlzng ncremental and practcal methods on steel structure systems. In ths work, ncremental methods such as sngle-step ncremental, Newton-Raphson, modfed Newton-Raphson and practcal methods such as teratve vertcal load, drect P-Delta, L, Kng-Chen, addton of fcttous dagonal member and addton of fcttous column member are used. Story drft, member end moments and overall drft ndex obtaned from ncremental and practcal second order analyses conducted on numercal applcatons are nvestgated together wth the reference study and the results of utlzed calculaton methods are comparatvely evaluated. Accordng to the relatve dfference rato obtaned by comparng the results derved from both second order analyss methods and reference study, t s determned that the results have adequate senstvty. In order to nvestgate the performance of braced steel systems used n the study, concentrcally braced steel systems wth varous geometrc forms were generated and the varaton of slenderness rato, overall drft ndex, story drft and nternal force values were determned. In accordance wth the results, concentrcally braced steel systems wth varous geometrc forms effcently lmted the overall story drft, nter-story drft and overall drft ndex values. Keywords: Second-Order Analyss, Incremental Method, Practcal Method, Moment Resstant Steel Frame, Concentrcally Braced Steel Frame, Overall Drft Index. v

İÇİNDEKİLER Sayfa YÜKSEK LİSANS TEZİ SINAV SONUÇ FORMU... TEŞEKKÜR... ÖZ... v ABSTRACT... v BÖLÜM BİR - GİRİŞ... 1 1.1 Amaç ve Kapsam... 2 1.2 Yapılan Kabuller... 3 1.3 Konu le İlgl Daha Önce Yapılmış Çalışmalar... 3 BÖLÜM İKİ - ÇELİK YAPILARDA ANALİZ YÖNTEMLERİ... 8 2.1 Yapıların Çözümlemesnde Kullanılan Analz Türler... 9 2.1.1 Brnc Mertebe Analz... 9 2.1.2 İknc Mertebe Analz... 10 2.1.2.1 P- Etks... 11 2.1.2.2 P- Etks... 15 2.2 Rjtlk Matrsler... 17 2.2.1 Sonlu Eleman Yaklaşımı Kullanılarak Elde Edlen Geometrk Rjtlk Matrs... 18 2.2.2 Stablte Fonksyonları Kullanılarak Elde Edlen Geometrk Rjtlk Matrs... 20 BÖLÜM ÜÇ - ARTIMSAL İKİNCİ MERTEBE ANALİZ YÖNTEMLERİ... 23 3.1 Artımsal Yöntemler... 23 3.1.1 Tek Adımlı Artımsal Yöntem... 25 3.1.2 Çok Adımlı (İteratf) Artımsal Yöntemler... 26 v

3.1.2.1 Newton-Raphson Yöntem... 27 3.1.2.2 Gelştrlmş Newton-Raphson Yöntem... 28 BÖLÜM DÖRT - PRATİK İKİNCİ MERTEBE ANALİZ YÖNTEMLERİ... 29 4.1 Fktf Dyagonal Eleman Eklenmes Yöntem... 29 4.2 Fktf Kolon Eleman Eklenmes Yöntem... 30 4.3 Kng - Chen Yöntem... 31 4.4 Drekt P-Delta Yöntem... 32 4.5 L Pratk Yöntem... 33 4.6 İteratf Düşey Yük Yöntem... 35 BÖLÜM BEŞ - ÇELİK YAPILARDA KULLANILAN TAŞIYICI SİSTEMLER... 38 5.1 Moment Aktaran Çerçeve Sstemler... 38 5.1.1 Moment Aktaran Çerçeve Sstemlerde Yapı ve Kat Salınım Faktörler... 39 5.2 Merkez Çelk Çaprazlı Sstemler... 40 5.3 Dış Merkez Çelk Çaprazlı Sstemler... 44 BÖLÜM ALTI - SAYISAL UYGULAMALAR... 46 6.1 Sayısal Uygulama 1... 46 6.1.1 Kolon Elemanın Newton-Raphson Yöntem le İknc Mertebe Analz.. 48 6.2 Sayısal Uygulama 2... 59 6.3 Sayısal Uygulama 3... 62 6.3.1 Düzlem Çelk Çerçevenn Artımsal ve Pratk Yöntemlerle İknc Mertebe Analz... 62 6.3.2 Çeştl Geometrk Formlarda Teşkl Edlmş Merkez Çelk Çaprazlı Çerçevelern İncelenmes... 64 6.4 Sayısal Uygulama 4... 69 6.4.1 Moment Aktaran Çelk Çerçevelern Analz... 73 6.4.1.1 Yükler... 74 6.4.1.2 Deprem Karakterstkler... 74 v

6.4.1.3 Bnanın Brnc Doğal Ttreşm Peryodunun Belrlenmes... 75 6.4.1.4 Kat ağırlıklarının belrlenmes... 75 6.4.1.5 DBYBHY 2007 ye göre Eşdeğer Deprem Yükü Hesabı... 76 6.4.1.6 Düğüm Noktalarına Etkyen Eşdeğer Deprem Yüklernn Belrlenmes... 78 6.4.1.7 Deprem Yüklernn Tatbk Noktaları... 80 6.4.1.8 Rüzgar Yükler... 80 6.4.1.9Yük Kombnasyonları... 81 6.4.1.10 TS 648 e göre Çelk Yapı Elemanlarının Boyutlandırılması... 83 6.4.1.11 Görel Kat Ötelemelernn Kontrolü... 86 6.4.1.12 İknc Mertebe Etklernn Kontrolü... 87 6.4.1.13 Burulma Düzenszlğ Kontrolü... 89 6.4.1.14 Üç Boyutlu Yapının Düzlem Çerçeveye İndrgenmes... 90 6.4.1.15 İknc Mertebe Analz Sonucu Elde Edlen Bulgular... 92 6.4.2 Yapının Merkez X Çelk Çaprazlar Kullanılarak Modellenmes... 97 6.4.2.1 Deprem Karakterstkler... 99 6.4.2.2 TS 648 e göre Merkez X Çaprazla Teşkl Edlmş Çelk Yapı Elemanlarının Boyutlandırılması... 100 6.4.2.3Merkez X Çaprazla Teşkl Edlmş Çelk Yapının Görel Kat Ötelemelernn Kontrolü... 101 6.4.2.4 Merkez X Çaprazla Teşkl Edlmş Çelk Yapının İknc Mertebe Etklernn Kontrolü... 102 6.4.2.5 Merkez X Çaprazla Teşkl Edlmş Çelk Yapının Burulma Düzenszlğ Kontrolü... 103 6.4.2.6 Merkez X Çaprazla Teşkl Edlmş Üç Boyutlu Çelk Yapının Düzlem Çerçeveye İndrgenmes... 104 6.4.2.7 İknc Mertebe Analz Sonucu Elde Edlen Bulgular... 106 6.4.3 Yapının Ters V Merkez Çelk Çaprazlar Kullanılarak Modellenmes.. 111 6.4.3.1 Deprem Karakterstkler... 113 6.4.3.2 TS 648 e göre Ters V Merkez Çelk Çaprazla Teşkl Edlmş Çelk Yapı Elemanlarını Boyutlandırılması... 114 v

6.4.3.3 Ters V Merkez Çelk Çaprazla Teşkl Edlmş Çelk Yapının Görel Kat Ötelemelernn Kontrolü... 115 6.4.3.4 Ters V Merkez Çelk Çaprazla Teşkl Edlmş Çelk Yapının İknc Mertebe Etklernn Kontrolü... 116 6.4.3.5 Ters V Merkez Çelk Çaprazla Teşkl Edlmş Çelk Yapının Burulma Düzenszlğ Kontrolü... 117 6.4.3.6 Ters V Merkez Çelk Çaprazla Teşkl Edlmş Üç Boyutlu Çelk Yapının Düzlem Çerçeveye İndrgenmes... 118 6.4.3.7 İknc Mertebe Analz Sonucu Elde Edlen Bulgular... 120 6.4.4 Dyagonal Tp Merkez Çelk Çaprazlarla Teşkl Edlmş Çelk Yapı.. 125 6.4.4.1 Deprem Karakterstkler... 127 6.4.4.2 TS 648 e göre Dyagonal Merkez Çelk Çaprazla Teşkl Edlmş Çelk Yapı Elemanlarının Boyutlandırılması... 128 6.4.4.3 Dyagonal formunda Merkez Çelk Çaprazla Teşkl Edlmş Çelk Yapının Görel Kat Ötelemelernn Kontrolü... 129 6.4.4.4 Dyagonal formunda Merkez Çelk Çaprazla Teşkl Edlmş Çelk Yapının İknc Mertebe Etklernn Kontrolü... 130 6.4.4.5 Dyagonal formunda Merkez Çelk Çaprazla Teşkl Edlmş Çelk Yapının Burulma Düzenszlğ Kontrolü... 131 6.4.4.6 Dyagonal Formunda Merkez Çelk Çaprazla Teşkl Edlmş Üç Boyutlu Çelk Yapının Düzlem Çerçeveye İndrgenmes... 132 6.4.4.7 İknc Mertebe Analz Sonucu Elde Edlen Bulgular... 134 BÖLÜM YEDİ - SONUÇLAR... 139 KAYNAKLAR... 144 x

BÖLÜM BİR GİRİŞ Günümüzde nşaat mühendslğnde kullanılan brçok yapı malzemes ve taşıyıcı sstem tp bulunmaktadır. Bu sstemler seçlrken ekonom, estetk ve emnyet gb faktörler etkl olmaktadır. 1999 yılında yaşanan depremlerden elde edlen blgler ışığında çelk taşıyıcı sstemlern kullanımı öne çıkmış ve betonarmeye alternatf br taşıyıcı sstem olarak ülkemz koşullarındak kullanımı sorgulanmaya başlanmıştır (Işık, 2001). Aynı zamanda yapı teknolojlernde haff, hızlı ve endüstrleşmş çözümler arayışı çelk yapı sstemlernn terch edlmesne sebep olmuştur. Çelk malzemeler yüksek mukavemetler, süneklğ, ger dönüşümlernn kolay olması, fabrkasyon üretm olmaları ve hızlı nşa edleblmeler gb brçok üstün özellkler nedenyle ülkemzde daha çok endüstr yapıları, büyük açıklıklı çatılar ve köprü tp yapılarda kullanım alanı bulmuştur. Önümüzdek yıllarda ntelkl teknk eleman sayısının, malzeme çeştllğnn ve malat yapacak teknğe sahp fabrkaların artmasıyla brlkte havaalanı, alışverş merkez, katlı otopark, çok katlı bnalar ve konut tp yapılarda da çelk yapı projelernn ve uygulama sahalarının gderek artacağı düşünülmektedr. Ülkemzdek kentleşmenn ve sanay yapılarının büyük çoğunluğunun brnc ve knc derece deprem bölgelernde yoğunlaşması çelk taşıyıcı ssteme sahp yapıların davranışının daha gerçekç ncelenmesn öneml kılmaktadır. Bu da doğrusal olmayan teory esas alan hesap ve boyutlandırma yöntemlernn uygulanması le mümkün olur. Çelk, yüksek ve narn yapı sstemlernde kullanıldığından geometr bakımından doğrusal olmayan davranış gösterr ve çelk yapıların bu davranışı, yapının rjtlğn ve stabltesn öneml ölçüde etkler (Seçer, Bozdağ ve Kural, 2004). Yapıların doğrusal olmayan davranışı malzeme ve geometr bakımından doğrusal olmayan davranış olmak üzere k ana başlık altında ncelenr (Özer, 2009). Gerlmeşekl değştrme bağıntılarının doğrusal olmaması durumunda malzeme, denge 1

2 denklemlernn doğrusal olmaması durumunda se geometr bakımından doğrusal olmayan davranış dkkate alınmış olur. Çelk yapıların deal davranışını elde etmek çn bu yapıların malzeme ve geometr gb temel özellklernn göz önüne alınması gerekr. 1.1 Amaç ve Kapsam Tez çalışması kapsamında çelk yapıların geometr bakımından doğrusal olmayan davranışı sayısal örnekler üzernde artımsal ve pratk knc mertebe analz yöntemler kullanılarak ncelenmş olup başka br fade le P-Δ ve/veya P-δ etkler hesaplara dahl edlmştr. Bu çalışmada kullanılan artımsal yöntemler; tek adımlı artımsal, Newton-Raphson ve gelştrlmş Newton-Raphson, pratk yöntemler se fktf dyagonal eleman eklenmes, fktf kolon eleman eklenmes, Kng-Chen, L, Drekt P-delta ve teratf düşey yük yöntemlerdr. Çalışmanın knc bölümde yapı sstemlernde kullanılan analz yöntemlernden bahsedlmş ve knc mertebe analz le lgl detaylı blg verlmştr. Üçüncü ve dördüncü bölümde knc mertebe analzde kullanılan artımsal ve pratk hesap yöntemler ayrıntılı br şeklde sunulmuştur. Beşnc bölümde çelk yapı sstemlernde kullanılan taşıyıcı sstemler (moment aktaran çerçeveler, merkez çelk çaprazlı sstemler, dış merkez çelk çaprazlı sstemler) hakkında blg verlmştr. Çalışmanın altıncı bölümünde se konu le lgl sayısal uygulamalar sunulmuştur. Brnc örnekte br çelk kolon elemanı göz önüne alınmış olup Newton-Raphson yöntem kullanarak knc mertebe analz yapılmış ve hesap adımları detaylı br şeklde verlmştr. İknc sayısal uygulama çn lteratürden k katlı ve tek açıklıklı düzlem br çelk çerçeve seçlmştr. Bu çelk çerçeve artımsal ve pratk knc mertebe analz yöntemler le çözülmüş, elde edlen sonuçlar referans çalışma sonuçları le brlkte karşılaştırmalı olarak verlmştr. Üçüncü sayısal uygulamada dört kat ve beş açıklığa sahp düzlem çelk çerçeve seçlmştr. Örnektek çerçeve artımsal ve pratk knc mertebe hesap yöntemler kullanılarak çözülmüş, elde edlen sonuçlar referans çalışma sonuçları le brlkte karşılaştırmalı olarak tablolar ve grafkler halnde sunulmuştur. Bu örneğn knc aşamasında düzlem çelk çerçeveye çeştl geometrk formlarda merkez çelk çaprazlar teşkl edlerek çaprazlı sstemlern performansları araştırılmıştır. Dördüncü

3 sayısal uygulamada emnyet gerlmeler yöntemne göre boyutlandırılmış üç boyutlu moment aktaran çerçeve ve farklı formlarda teşkl edlmş merkez çelk çaprazlı yapı sstemler ncelenmştr. Bu sayısal uygulamada kullanılan üç boyutlu yapı sstemler fktf çubuklar kullanılarak düzlemsel hale ndrgenmş ve bu çerçevelern artımsal hesap yöntemler kullanılarak knc mertebe analzler gerçekleştrlmştr. Elde edlen kat yatay yer değştrme, yapı salınım faktörü, görel kat ötelenme ve seçlen çubuk elemanlarına at ç kuvvet değerler tablolar ve grafkler halnde sunulmuştur. 1.2 Yapılan Kabuller Çalışma kapsamında, hesapları kolaylaştırmak amacıyla aşağıda verlen kabuller yapılmıştır:. Malzeme doğrusal elastktr.. Geometr değşmlernn denge denklemlerne olan etks göz önüne alınmıştır.. Bernoull-Naver hpotez geçerldr. Buna göre, düzlem kestler yapı şekl değştrdkten sonrada düzlem kalırlar. v. Sstemde yer alan çubuk elemanları; doğru eksenl, sabt en kestl ve eksenel kuvvet çubuk boyunca sabt olarak etkmektedr. v. Elemanın kesme deformasyonu ve burulma etks hmal edlmştr. v. Tüm düğüm noktaları rjt varsayılmıştır. 1.3 Konu le İlgl Daha Önce Yapılmış Çalışmalar Çelk yapıların doğrusal olmayan davranışı ve hesap yöntemler le lgl lteratürde yer alan ve bu çalışmaya yön vereceğ düşünülen öneml çalışmalar aşağıda özetlenmştr. Çakıroğlu ve Çetmel (1979), geometr açısından doğrusal olmayan sstemlern hesabını matrs-kuvvet yöntem le ncelemş ve knc mertebe teorsne göre yapı sstemlernn burkulma yüklern hesaplamıştır.

4 Rutenberg (1981), negatf kest alanı veya atalet momentne sahp fktf elemanlar kullanarak P-delta etklern göz önüne alan pratk br knc mertebe hesap yöntem gelştrmştr. Örnek br çelk çerçeve üzernde yöntemn etknlğn araştırmıştır. Goto ve Chen (1987), knc mertebe hesaplarda kullanılan B 1 -B 2 pratk ve Newton-Raphson artımsal yöntemn ncelemştr. Ayrıca Taylor ser açılımını kullanarak rjtlk matrslern elde etmştr. Üç farklı düzlem çelk çerçeve üzernde, analtk sonuçlara göre bu yöntemlern etknlğn araştırmıştır. Lu (1988), çalışmasında fktf yatay kuvvetler kullanarak, knc mertebe etkler dkkate alan pratk br yöntem gelştrmştr. Bu yöntem, tek katlı ve tek açıklıklı, üç katlı ve tek açıklıklı çerçeveler üzernde kullanarak, elde ettğ sonuçları referans sonuçları le karşılaştırmıştır. Mashary ve Chen (1990), rjt brleşm noktalarına sahp çerçevelerde knc mertebe etkler ncelemştr. Stablte fonksyonlarını ve geometrk rjtlk matrsn kullanarak tek terasyon adımlı br knc mertebe hesap yöntem gelştrmştr. Bu yöntemn etknlğn, beş farklı tp çelk çerçeve üzernde analtk çözüm ve B 1 -B 2 yöntem sonuçları le karşılaştırmıştır. Wong ve Tın-Lo (1990), çalışmasında sekant ve tanjant rjtlk matrslern sunarak, çerçeve tp yapıların geometr bakımından doğrusal olmayan davranışını ncelemştr. Denge denklemnn çözümü çn, Newton-Raphson, Yay boyu ve gelştrlmş yay boyu yöntemlern kullanmış ve lteratürde analtk çözümü yer alan üç çerçeve örneğn bu yöntemlerle çözmüştür. Elde ettğ sonuçları, referansta verlen deneysel ve analtk sonuçlar le karşılaştırmıştır. Aynı zamanda, gelştrlmş yay boyu yöntemnn doğrusal olmayan denklemlern çözümünde şlem adımını azalttığını ve daha etkl sonuçlar verdğn göstermştr. Kng, Whte ve Chen (1992), çelk çerçevelern tasarımında knc mertebe yöntemlern ve malzeme açısından doğrusal olmayan davranışı ncelemştr.

5 Gelştrmş olduğu yöntem kullanarak örnek çalışmalar üzernde doğrusal olmayan davranışı ncelemştr. Yük parametres-yer değştrme değerlern elde ederek blgsayar programı sonuçları le kıyaslamıştır. Kng ve Chen (1993), moment büyütme katsayılarına dayalı pratk br knc mertebe hesap yöntem gelştrmştr. Gelştrdğ pratk yöntem le seçtğ düzlem çelk çerçeveler çözmüş, elde ettğ sonuçları analtk sonuçlar le karşılaştırmıştır. Chen ve Sohal (1995), çelk malzemelern elastk ve plastk davranışlarını ncelemştr. Brnc ve knc mertebe hesap yöntemlern kalbrasyon çerçeveler üzernde kullanarak çıkan sonuçları referans sonuçları le karşılaştırmıştır. Kruger, Rensburg ve Pless (1995), çelk çerçevelern malzeme ve geometr açısından doğrusal olmayan davranışını araştırmış ve çeştl çelk çerçeve sstemler üzernde ç kuvvetlerdek değşmler sayısal olarak ncelemştr. Elde edlen sonuçları, blgsayar programı sonuçları le kıyaslamıştır. Torkaman, Sönmez, Cao (1997), çalışmasında geometr bakımından doğrusal olmayan problemlern çözümü çn br sayısal çözüm yöntem tanıtmış ve denge denklemnde kullanılmak üzere artımsal toplam potansyel enerjy kullanarak artımsal rjtlk matrsn sunmuştur. Bu rjtlk matrsn kullanarak, lteratürden seçtğ düzlem çerçeveler gelştrlmş Newton-Raphson yöntem le çözmüş ve elde ettğ sonuçlarla referans çalışma sonuçlarını karşılaştırmıştır. Barsan ve Chorean (1999), büyük yer değştrme yapan düzlem çelk çerçevelern knc mertebe elastk ve plastk hesabı le lgl br çalışma sunmuştur. Bu kapsamda yen br çözüm yöntem gelştrmş ve lteratürde yer alan sayısal örnekler üzernde bu yöntem nceleyerek, elde ettğ ç kuvvet sonuçlarını referanstak sonuçlarla karşılaştırmıştır.

6 Chan (2001), çelk yapıların doğrusal olmayan davranış çeştlern makalesnde özetlemştr. Bu bağlamda, doğrusal olmayan davranış ve boyutlandırma le lgl yapılan çalışmalar hakkında detaylı blg vermştr. Chen, Km, Cho (2001), Üç boyutlu çelk çerçevelern knc mertebe elastk ve plastk hesabı üzerne br çalışma yapmış ve çeştl üç boyutlu çelk çerçeve örnekler üzernde P-δ ve P- etklern ncelemştr. Ayrıca, çözümde stablte fonksyonlarını kullanarak rjtlk matrsn oluşturmuş ve yük-yerdeğştrme lşksn, artımsal yer değştrme yöntemn kullanılarak elde etmştr. Km, Km ve Cho (2001), üç boyutlu çelk çerçevelern malzeme ve geometr yönünden doğrusal olmayan davranışını ncelemştr. Malzeme bakımından doğrusal olmayan hesapta plastk mafsal yaklaşımını, geometr yönünden doğrusal olmayan hesapta se stablte fonksyonlarını kullanmıştır. Makaledek örneklerde artımsal yer değştrme yöntemn kullanarak yük yer değştrme lşksn elde etmş ve çıkan sonuçları dğer yaklaşımlarla elde edlen sonuçlarla kıyaslamıştır. Km, Lee, Cho ve Km (2004), üzerne yayılı yük etkyen üç boyutlu çelk çerçevelern knc mertebe elastk ve plastk hesabı çn pratk br yöntem gelştrmştr. Stablte fonksyonlarını kullanarak knc mertebe etkler rjtlk matrsnde hesaba dahl etmştr. Bu kapsamda gelştrlen yöntemle lteratürde yer alan sayısal örnekler kullanarak, kend yaklaşımı le elde ettğ maksmum moment ve yük-yer değştrme lşksne at değerler referans sonuçlar le karşılaştırmıştır. Xu ve Lu (2005), çelk çerçevelern elastk ve plastk davranışını ncelemştr. Çalışmadak örneklerde br yük artımı yöntem kullanmış ve elde ettkler yük parametres-yer değştrme lşksn dğer çalışmalardak sonuçlarla karşılaştırmıştır. Lu, Chen, Chan ve Ma (2008), çelk yapıların tasarımında, P-Δ ve P-δ knc mertebe etklernn önemnden bahsetmş, artımsal-teratf br yönten olan Newton- Raphson algortmasına dayalı br çözüm yöntem gelştrmştr. Gelştrdğ bu

7 yöntem le 57 m açıklıklı kubbe şeklnde taşıyıcı ssteme sahp çelk br yapıyı çözerek, knc mertebe etkler dkkate alan br boyutlandırma yapmıştır. Torkaman ve Sonmez (2008), çalışmasında; yapı sstemlernn doğrusal olmayan çözümünde kullanılan, drekt terasyon, doğrusal ve doğrusal olmayan artımsal yöntemlern detaylı br şeklde sunmuştur. Doğrusal olmayan artımsal çözüm yöntemlernden genelleştrlmş yer değştrme kontrol yöntemn sayısal k örnek üzernde kullanarak, elde ettğ sonuçları blgsayar programından elde ettğ sonuçlarla karşılaştırmıştır. Yoo ve Cho (2008), çelk çerçevelerde knc mertebe krtk burkulma yük faktörünü yen br yaklaşımla elde ederek elastk ve plastk burkulma hesabı yapmışlardır. Çalışmada, bu yöntem kullanarak k farklı çelk çerçeve örneğnden elde ettkler krtk burkulma yükü sonuçlarını referans çalışma sonuçları le karşılaştırmışlardır. Chorean (2009), üç boyutlu çelk çerçevelern malzeme ve geometr bakımından doğrusal olmayan davranışını ncelemştr. İknc mertebe etkler tanjant rjtlk matrsne dahl etmş ve bu kapsamda, artımsal çözüm yöntemlern kullanarak sayısal uygulamalar gerçekleştrmştr. Elde ettğ yük parametres-yer değştrme lşks ve moment değerlern blgsayar programından elde ettğ sonuçlarla karşılaştırmıştır.

BÖLÜM İKİ ÇELİK YAPILARDA ANALİZ YÖNTEMLERİ Yapı sstemlernn doğrusal elastk davranışını esas alan brnc mertebe analzde, malzemenn gerlme-şekl değştrme bağıntıları doğrusal elastk olup yer değştrmelern çok küçük olduğu varsayılır. Ancak, yapılar, şddetl yatay yükler altında doğrusal olmayan davranış gösterrler. Özellkle deprem ve rüzgar yükler şletme yükü sınırını aşıp yapının taşıma gücüne yaklaşarak, gerlmelern doğrusal elastk sınırı aşmasına ve yer değştrmelern çok küçük kabul edlemeyecek mertebede değerlere ulaşmasına yol açar. Bu durumda brnc mertebe teors geçerllğn ytrr ve knc mertebe teorsn göz önüne alan hesap yöntemlernn kullanılması önem arz eder. Yapı sstemler, uygulanan dış yükler altında, başlangıçta doğrusal davransalar ble, artan yükler altında eğlme momentler ve eksenel kuvvetlerndek büyük artıştan dolayı doğrusal olmayan davranış serglerler. Eğlme ve eksenel kuvvete maruz taşıyıcı sstemn çubuk elemanlarında eksenel kuvvetn eğlme üzerne etks vardır. Br elastk eğrnn dferansyel denklem eksenel kuvvet le lgl olduğu çn eğlme rjtlğne de etk eder (Adanur, 1997). Eksenel kuvvetn çekme olması durumunda eğlme rjtlğnde br artış, basınç olması durumunda se bu değerde br azalma meydana gelr. Öte yandan yapı, şddetl dış yük etks altında büyük yer değştrmeye maruz kaldığı zaman yapının yer değştrdğ konumdak düğüm noktalarına uygulanan yükler de lave momentler doğurur. Oluşan bu momentler yapıdak çubuk eleman kuvvetlern ve krtk yükü etkler. Bu durumda, yapıda oluşan geometr değşmler hesaplarda göz önüne alınmalıdır. Çelk yapılar, yüksek ve narn yapı sstemler olduğu çn geometr bakımından doğrusal olmayan davranış gösterr. Çelk yapıların bu davranışı knc mertebe etkler fade etmekte olup geometr değşmlernn denge denklemlerne olan etks dkkate alınarak knc mertebe analz gerçekleştrlr (Chen ve Lu, 1991). 8

9 2.1 Yapıların Çözümlemesnde Kullanılan Analz Türler Yapı analznde, denge ve knematk lşk yapının şekl değştrmemş geometrs dkkate alınarak yapılan analze brnc mertebe, denge ve knematk lşknn yapının şekl değştrmş geometrs kullanılarak yapılan analze se knc mertebe analz adı verlr. Şekl 2.1. de yapıların çözümlemesnde kullanılan hesap türler gösterlmektedr (Chen ve Duan, 1999). I. Mertebe Analz II. Mertebe Analz Yük P Δ I. Mertebe Δ II. Mertebe Yer Değştrme Şekl 2.1 Çerçeve tp yapılar çn analz yöntemler 2.1.1 Brnc Mertebe Analz Brnc mertebe analz, yer değştrme le uygulanan kuvvet arasında sabt br oranın olduğu kabulüne dayanan ve nşaat mühendslğnde genş br kullanım alanına sahp br analz yöntemdr. Bu yöntemde, eksenel kuvvet etksnn elemanların eğlme rjtlğ üzerndek etks hmal edlr. Böyle br bastleştrmede, yapıdak gerlmelern malzemenn elastk davrandığı bölge çnde kalacağı ve bu bölgede malzeme davranışının doğrusal olacağı varsayılır. Ayrıca, geometr değşmlernn küçük olmasından dolayı yapının çözümü çn gerekl olan denge denklemler şekl değştrmemş sstem üzernden yazılır. Yapıda oluşacak olan yer değştrmeler ve ç kuvvetler süperpozsyon lkes le elde edlr (İnan, 1962). Günümüzde, yapıların çözümlemesnde kullanılan brnc mertebe analz, matrs yöntemler le doğrudan tek br hesap adımında gerçekleştrlr (Çatal, 2005).

10 2.1.2 İknc Mertebe Analz Yapı analznde, doğrusallaştırma yoluyla pek çok problemn çözümü elde edlmektedr. Bu şeklde yapı sstemlernn davranışı, doğrusal davranışa yakın ölçüde ve yeterl doğrulukta sonuç vermesne rağmen, sstemn davranışı doğrusal davranıştan uzaklaştığı durumlarda gerlmeler artmakta ve büyük hatalar vereblmektedr. Büyük gerlmeler nedenyle sstemde ortaya çıkan büyük şekl değştrmeler de, büyük yer değştrmelere sebep olmakta ve brnc mertebe teors geçerllğn ytrmektedr. Bu durumda, denge ve knematk lşk, yapının şekl değştrmş geometrs kullanılarak elde edlr. Bu şeklde yapılan analze se knc mertebe analz adı verlr. İknc mertebe analzde yapının yük - yer değştrme lşks doğrusal olmayıp, çözüme teratf ve pratk knc mertebe çözüm teknkler kullanılarak gdlr. Son yıllarda blgsayar teknolojsnn gelşmesyle brlkte yapı analznde matrs yöntemler kullanılarak sstematk br şeklde knc mertebe etkler hesaplara dahl edlr. Çelk taşıyıcı sstem, yüksek ve narn yapılarda kullanıldığından geometr bakımından doğrusal olmayan davranış gösterr. Çelk yapıların bu davranışı,p-delta (P- ve P-) etkler çerr (Mashary ve Chen, 1990). Geometr bakımından doğrusal olmayan davranış Şekl 2.2 de görüldüğü gb P- ve P- etkler olmak üzere k kısımda ncelenr. P-δ, her br elemanın eğlme rjtlğ üzerndek eksenel kuvvet etks olarak tanımlanmakta ken, P-Δ yanal rjtlk üzerndek yer çekm doğrultusunda tesr eden yük etks olarak tanımlamaktadır (Whte ve Hajjar, 1991; Mashary ve Chen 1989). Bu etkler, elemanın daha fazla şekl değştrmesne ve elemanda ek gerlmeler oluşmasına yol açar. Ayrıca, knc mertebe etkler yapıda zayıflatıcı veya yıkıcı etkler yaratır.

11 Δ P P δ Şekl 2.2 P- ve P- etkler 2.1.2.1 P- Etks Şekl 2.3 de verlen çubuk elemanı, P eksenel kuvvetnn yanısıra M A ve M B eğlme momentler etks altındadır. İk düğüm noktası arasında oluşan yer değştrme; moment değşm ve eksenel kuvvetten kaynaklanır. Bu durum elemanda lave momentn oluşmasına yol açmaktadır. Elemandak moment değşm (M A /M B ) ve eksenel kuvvetn büyüklüğüne bağlı olarak eleman uçları arasındak denklem (2.1) le verlen maksmum moment (M P- δ ) oluşturur (Kılıç,1997). P M A M B A EI B P δ Şekl 2.3 P- etks altındak çubuk elemanı L 2 M / M 2M / M A B A B cos(s.l) 1 MB. (2.1) sn (s.l) MP-δ 2

12 Burada; M A / M B, eleman boyunca moment değşmn, ( M B M A ), s eksenel kuvvet etksn fade etmektedr ve bu değer denklem (2.2) le sunulmuştur. P s (2.2) EI Burada; P eksenel kuvvet, E elastste modülü, I se kestn atalet momentdr. Eğer eleman uçlarındak M A ve M B momentlernn büyüklük değerler brbrne eşt ve eleman tek eğrlkl olarak şekl değştryorsa, maksmum moment denklem (2.3) le verlen eştlğe ndrgenmş olur. M P-δ 2 1 cos(s.l) MB. MB.sec(s.L/2) (2.3) 2 sn (s.l) (M P-δ ) fadesn daha da bastleştrmek amacıyla gerekl şlemler yapılarak denklem (2.3) dek sec( s.l/2) fades Taylor sers le açılırsa, sırasıyla aşağıdak denklemler elde edlr. 2 π EI Pe (2.4) 2 L π P sl/2 (2.5) 2 P e π sec( 2 π sec( 2 P P e P P e 2 P P P ) 11,2337 1,2683 1,2727... P e P e P (2.6) e 2 3 P P P P ) 1 1,2337 11,0281 1,0316 1,0320... P e P e P e P (2.7) e 3

13 Burada; E elastste modulünü, I kestn atalet momentn, L elemanın boyunu ve P e Euler krtk yükünü fade etmektedr. Denklem (2.7) dek fade daha da sadeleştrlecek olursa denklem (2.8) le verlen fade elde edlr.... P P P P P P 1 P P 1,2337 1 ) P P 2 π sec( 3 e 2 e e e e (2.8) Burada köşel parantez çersndek fade, geometrk serler temsl etmektedr. Bu geometrk serler toplanacak olursa denklem (2.9) elde edlr. e e e e e P P 1 P P 0,2337 1 P P 1 1 P P 1,2337 1 ) P P 2 π sec( (2.9) Sonuç olarak, denklem (2.9) da gerekl kısaltmalar yapılarak, moment büyütme faktörü denklem (2.10) le elde edlr. e e P P 1 1 ) P P 2 π sec( (2.10) Böylece; denklem (2.3) de gerekl kısaltmalar yapılarak en sade şeklde denklem (2.11) le yazılır. e B P-δ P P 1 1. M M (2.11) Denklem (2.11) de, P/P e 1 fadesndek eksenel yük (P), Euler burkulma yüküne yaklaştığında, δ P- M fades tanımsız hale gelr. Herhang br moment değşm

14 değerne bağlı olarak her k uçtak momentn brbrne eşt olduğu durumda ek moment ( M P-δ ) değer çn düzeltme faktörü denklem (2.12) le fade edlr. C m 2 M M A A 2.cos(sL) 1 M B M B (2.12) 2(1 cos(sl)) Genel moment değşm durumu çn ek moment ( M verlr. P-δ ), denklem (2.13) le M P-δ Cm M B, (2.13) P 1 P e Eğer, Cm /(1- P/Pe ) değer 1 den küçük se, MP-δ ek moment çn analtk çözüm, eleman boyunun dışında oluşur. Bu durumda, böyle br çözümün fzksel anlamı olmaz ve M P-δ, uç momentlerden daha büyük olur. Bu yüzden brden daha düşük lmt değer çn denklem (2.13) dek Cm /(1- P/Pe ) termnden yararlanılır. C m düzeltme faktörü, brçok araştırmacı tarafından farklı formlarda önerlmş ve bunlardan bazıları aşağıda denklemler le fade edlmştr (Masonnet,1959; Austn, 1959; Chen ve Lu, 1991). C m 2 M M A A 0,3 0,4 0,3 M B M (2.14) B C m M M A 0,6 0,4 (2.15) B 1 3 P P M A C m 1 0,25 0,6 1 (2.16) Pe Pe M B

15 Bu denklemlerdek, M A ve M B uç momentler, P eksenel kuvvet, P e yükü temsl etmektedr. se krtk 2.1.2.2 P- Etks P- etks, şddetl yatay rüzgar ve ağır çatı yükler etks altındak bnalarda büyük şekl değşklğ ve/veya eşlenk kuvvet oluşturacağından büyük önem teşkl eder. P Δ P H h L Şekl 2.5 P-Δ etks altındak çubuk elemanı Şekl 2.5 dek P eksenel kuvvet ve H yatay yükü altındak çerçeve Δ yer değştrmes yaptığı zaman, buna bağlı olarak P-Δ lave moment ortaya çıkar. Kolonun eğlme rjtlğ, eksenel basınç kuvvetnden dolayı azalır. Bu durumda, Δ yer değştrmesnn artmasından dolayı P-Δ momentnde de br artış olur. Çerçeve tp yapılarda, P-Δ lave momentn belrlemek çn brçok yaklaşım mevcuttur (Rosenblueth, 1965; Cheong-Sat-Moy, 1977). Bunlardan kat rjtlk yöntem LRFD de de kullanılmaktadır (Load and Resstance Factor Desgn [LRFD], 1994). Kat rjtlğ yöntemnde bütün katların brbrnden bağımsız davrandığı varsayılır. Ayrıca düşey yükler tarafından oluşan P-Δ moment, aynı zamanda

16 eşdeğer yaklaşık br P-Δ kesme kuvvet de ortaya çıkarır. Eleman boyu h olan ve P eksenel kuvvet altındak br kolon çn Δ yatay yer değştrmes yaptığı varsayıldığında, eşdeğer P-Δ kesme kuvvet denklem (2.17) le verlr. P V (2.17) h Burada; V eşdeğer kesme kuvvetdr. Herhang br kattak bütün kolonların, P-Δ kesme kuvvetler toplanıp, kat yükseklğ le çarpılmasıyla o katın P-Δ moment elde edlr. Ancak, yapının P-Delta moment, P-Δ momentten büyüktür. Bunun neden, P- Δ moment elemandak P-δ etklern çermemesdr. Gerçekte, tüm çerçeve göz önüne alındığında, br kolondak P-Δ kesme kuvvet, P / h değern geçeblr. Eğer herhang br katta, eğk kolon mevcutsa, bu kolonlara etkyen düşey yüklerden kaynaklanan P-Δ kesme kuvvet, kattak kolonlara dağıtılır. Bununla beraber, herhang br katta P /h olarak hesaplanan toplam P-Δ kesme kuvvet, kolonlar arasında eşt olarak dağıtılır. Kat rjtlğ yöntemnde, kolonların eğlme rjtlğ eksenel kuvvetten etklenmez. Bu durumda, bazen Δ yatay yer değştrmes dolayısıyla P-Δ moment düşük hesaplanablr. Ancak, brnc mertebe elastk analze dayalı pratk P-Δ büyütme faktörü, kat rjtlk yöntem kullanılarak hesaplanablr. Δ 1 brnc mertebe elastk yer değştrme açısından, nha Δ yatay yer değştrmesn fade etmektedr. Buna bağlı olarak, K s kat rjtlğ denklem (2.18) ve (2.19) le verlmştr. H Ks (2.18) Δ 1 P.Δ H h (2.19) Δ K s

17 Burada, ΣH kata etkyen toplam yatay kuvvet, P /h kat kesme kuvvet olarak fade edlen toplam eşdeğer kat P-Δ kesme kuvvet, h se kat yükseklğdr. Kat rjtlğnn eksenel kuvvetten etklenmedğ varsayımı kullanılarak, nha yer değştrme (Δ) yukarda verlen K s eştlkler kullanılarak denklem (2.20) le hesaplanır. Δ 1-1 P.Δ 1 H.h Δ 1 A f.δ 1 (2.20) Burada; ΣP toplam düşey yükü, Δ 1 brnc mertebeden elde edlen yer değştrmey, ΣH toplam yatay yükü, h kat yükseklğn, A F se Δ yatay yer değştrmes çn P-Δ büyütme faktörünü temsl eder. Bu durumda; toplam moment, denklem (2.21) le fade edlr. M P A.M Δ f f (2.21) Burada; M P-Δ toplam moment, M f se brnc mertebe moment ve P-Δ momentlern çermektedr. 2.2 Rjtlk Matrsler Sonlu eleman yaklaşımından elde edlen geometrk rjtlk matrs ve çubuk elemanları denklemlernden elde edlen stablte fonksyonları kullanılarak knc mertebe etkler hesaplara dahl edlr.

18 2.2.1 Sonlu Eleman Yaklaşımı Kullanılarak Elde Edlen Geometrk Rjtlk Matrs y D 2 D 3 D 1 A x dy dx EI L D 5 B D 4 D6 x Şekl 2.6 Çubuk elemanına at yer değştrmeler Şekl 2.6 le verlen çubuk elemanına at yük-değştrme lşks brçok araştırmacı tarafından elde edlmş olup denklem (2.22) le verlmştr (Goto ve Chen 1987; Chen ve Lu, 1991; Mcgure, Gallagher ve Zeman, 2000; Ghal, Nevlle ve Brown, 2009).

6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 2 3 2 2 3 2 3 6 5 4 3 2 1 D D D D D D 2L/15 1/10 6/5L 0 0 0 L/30 1/10 0 2L/5 1/10 6/5L 0 1/10 6/5L 0 0 0 0 0 0 P D D D D D D 4EI/L 6EI/L 12EI/L 0 0 EA/L 2EI/L 6EI/L 0 4EI/L 6EI/L 12EI/L 0 6EI/L 12EI/L 0 0 EA/L 0 0 EA/L F F F F F F (2.22) 19

20 Denklem (2.22) fades, genel formda denklem (2.23) le fade edlr. {F} [K K ]{D} (2.23) L G Burada; [K L ] doğrusal rjtlk matrs, [K G ] geometrk rjtlk matrs, {D} yer değştrme vektörü, {F} se yük vektörüdür. [K L ] denklem (2.24), [K G ] se denklem (2.25) le sunulmuştur. EA/L 0 0 EA/L 0 0 3 2 3 2 12EI/L 6EI/L 0 12EI/L 6EI/L 2 4EI/L 0 6EI/L 2EI/L K L (2.24) EA/L 0 0 3 2 12EI/L 6EI/L 4EI/L 0 0 0 0 0 0 6/5L 1/10 0 6/5L 1/10 2L/5 0 1/10 L/30 K G P (2.25) 0 0 0 6/5L 1/10 2L/15 Burada; E elastste modülü, A kest alanı, I kestn atalet moment, L elemanın boyu, P eksenel kuvvettr. [K G ] geometrk rjtlk matrs, elemanın eksenel kuvvetne bağlı olup, eksenel kuvvet negatf (basınç) olduğu durumda bu matrs elemanın rjtlğn azaltmakta, poztf (çekme) olduğu durumda elemanın rjtlğ artmaktadır. 2.2.2 Stablte Fonksyonları Kullanılarak Elde Edlen Geometrk Rjtlk Matrs Şekl 2.7 de görüldüğü gb M A, M B uç momentler, P eksenel kuvvet ve değşken w yayılı yükü etks altında, her k düğüm noktası kısıtlanmış, eğlme rjtlğ EI olan çubuk elemanının dferansyel denklem düzenlenp genel formda denklem (2.26) le yazılır.

21 w P M A M B A EI B P δ L Şekl 2.7 Çubuk Elemanı 4 2 d y d y EI P w (2.26) 4 4 dx dx Burada; E elastste modülünü, I atalet momentn, P eksenel kuvvet, L se elemanın boyunu fade etmektedr. Bu yaklaşımda, denklem (2.13) le verlen dferansyel denklem kesn formda çözülür. Çubuk eleman denklem, mesnet sınır şartlarına bağlı olarak eğm-seğm lşks olarak blnen uç momentler le uç dönmeler arasındak lşkye bağlı olarak dferansyel denklemn çözümünden elde edlr. Daha sonra çubuk elemanının şekl değşklğne bağlı olan denge denklem de kullanılarak, gerekl olan eğm-sehm denklemler elde edlr. Bu şeklde stablte fonksyonları kullanılarak knc mertebe etkler rjtlk matrsne ([K S ] ) dahl edlr. Matrsn katsayıları denklem (2.27) le verlmektedr (Chen ve Lu, 1991; Seçer, Bozdağ ve Kural, 2004). A/L 0 0 A/L 0 0 2 2 12φ1/L 6φ2/L 0 12φ1/L 6φ2/L EI 4φ 3 0 6φ2/L 2φ4 K S (2.27) L A/L 0 0 2 12φ 1/L 6φ2/L 4φ3

22 Burada; A kest alanı, E elastste modulü, I atalet moment, L elemanın boyu, φ se stablte rjtlk fonksyonlarıdır. Eksenel kuvvetn basınç olması 1,φ2,φ3, φ4 durumunda aşağıda verlen denklemlerdek değerler alır. φ 1 u 3 snu 12(2 2cosu usnu) (2.28) φ 2 u 2 (1 cosu) (2.29) 6(2 2cosu usnu) φ 3 (u)(snu klcosu) (2.30) 4(2 2cosu usnu) φ 4 (u)(u snu) (2.31) 2(2 2cosu usnu) Eksenel kuvvetn çekme olması durumunda se aşağıdak değerler alır. φ 1 u 3 snhu 12(2 2coshu usnu) (2.32) φ 2 u 2 (coshu 1) (2.33) 6(2 2coshu usnu) φ 3 (u)(ucoshu snhu) (2.34) 4(2 2coshu usnu) φ 4 (u)(snhu u) (2.35) 2(2 2coshu usnu) Burada, u L ( P /EI) ye eşttr.

BÖLÜM ÜÇ ARTIMSAL İKİNCİ MERTEBE ANALİZ YÖNTEMLERİ Günümüzde yapıların çözümlemesnde kullanılan brnc mertebe analz yöntem, doğrudan tek br hesap adımında yapılablrken, knc mertebe analz yöntemnde başlangıçta, yapının yer değştrmes blnmedğ çn denge ve knematk lşk teratf br şeklde elde edlr. Bu teratf şlem döngüsünde geçerl olan şlem adımının denge ve knematk lşks çn, br öncek şlem döngüsünden elde edlen şekl değştrmş yapının geometrs kullanılarak knc mertebe analz ardışık br şeklde gerçekleştrlmş olur. Artımsal çözüm yöntem kullanılarak yapılan knc mertebe analz, brçok teratf adım gerektrdğnden çözümü uzun zaman alır. Bunun neden knc mertebe analz çn gerekl olan normal kuvvetn başlangıçta blnememesdr. Bunun çn önce, brnc mertebe teorsne göre çözümden elde edlen normal kuvvetler kullanılarak knc mertebe teorsne göre sstem hesap edlmekte ve normal kuvvetler bulunmaktadır. Günümüzün gelşen blgsayar teknolojsne parelel olarak şlem kablyet artan paket blgsayar programları kullanılarak bu şlem süres kısaltılmıştır. 3.1 Artımsal Yöntemler Doğrusal analzde sstem rjtlk matrs sabt olup dış yükten bağımsızdır. Doğrusal olmayan analzde se eleman rjtlk matrs ve dolayısıyla sstem rjtlk matrs sabt olmayıp yük sevyesne bağlı olarak değşr. Artımsal yöntemlerde doğrusal olmayan davranış, Şekl 3.1 dek gb her adımda problemn doğrusallaştırılması esasına dayanan doğrusal parçalar kullanılarak elde edlr. 23

24 Yük (F) Hesaplanan yük-yer değştrme lşks ΔF Gerçek yük-yer değştrme lşks ΔD Yer değştrme (D) Şekl 3.1 Doğrusal parçalar kullanılarak problemn doğrusallaştırılması Dış yükün ({F}), artımsal yük serler ( F} ) olarak fade edlmes denklem (3.1) le gösterlmştr. { n {F} { F } (3.1) 1 Burada; n yük adım sayısını, uygulanan yük artım adımını, {F} dış yükü, F } se artımsal yükü fade etmektedr. Artımsal yük le artımsal yer değştrme arasındak lşk denklem (3.2) le verlr. { [K ]{ D } { F } (3.2) Burada; [K ] sstem rjtlk matrs, D } artımsal düğüm noktası yer değştrme { vektörü, F } se artımsal yük vektörünü temsl etmektedr. Yapıların doğrusal { olmayan davranışını elde etmek çn kullanılan artımsal yöntemler; tek adımlı ve çok

25 adımlı artımsal teratf yöntemler olmak üzere k ana başlık altında ncelenr (Chajes ve Churchll, 1987). 3.1.1 Tek Adımlı Artımsal Yöntem Tek adımlı artımsal yöntemde, denklem (3.2) le verlen denge denklem brnc mertebe Runge-Kutta sayısal çözüm yöntem kullanılarak çözülür ve elde edlen artımsal yer değştrme, denklem (3.3) le hesaplanır (Mcgure, Gallagher ve Zeman, 2000). {D } {D -1} { D } (3.3) Burada; {D }.adımdak yer değştrme vektörü, {D -1 } ( -1). adımdak yer değştrme vektörü, D } se artımsal yer değştrme vektörüdür. Artımsal yük { vektörü se denklem (3.4) le fade edlr. {F } {F-1 } λ { F } (3.4) Burada; {F }. adımdak yük vektörü, {F -1 } ( -1). adımdak yük vektörü, { F } artımsal yük vektörü, λ se artımsal yük parametres olup, toplam dış yükün % 5-10 u mertebesnde alınmasının yeterl hassasyet sağlayacağı çeştl çalışmalarda belrtlmştr (Mcgure, Gallagher ve Zeman 2000; Yang and Kou 1994). Tek adımlı artımsal yöntem çn yük-yer değştrme lşks Şekl 3.2 de verlmştr.

26 Hesaplanan yük-yer değştrme lşks Yük (F) K ΔF Gerçek yük-yer değştrme lşks ΔD Yer değştrme (D) Şekl 3.2 Tek adımlı artımsal yönteme at yük-yer değştrme lşks 3.1.2 Çok Adımlı (İteratf) Artımsal Yöntemler Çok adımlı artımsal yöntemlerde, yük artımları br takım adımlara bölünür ve bu adımların her brnde ç yük le dış yük arasındak dengelenmemş yük dağıtılıncaya kadar terasyon şlem devam eder. Dengenn sağlanmasının ardından br sonrak yük artımı adımına geçlr. Artım şlem, ssteme başlangıçta etkyen toplam yükün elde edlmesne kadar sürdürülür. Çok adımlı artımsal yöntemlerde denge denklem, artımsal ve teratf bçmde denklem (3.5) le verlmştr. [K j-1 j j-1 ]{ D } {R } (3.5) Burada; yük artım, j terasyon adımı, [K j-1 ] br öncek terasyon adımındak şekl değştrmş yapı ve eleman kuvvetlerne bağlı olarak elde edlen artımsal rjtlk matrsdr. {R j-1 } dış yük le ç yük arasındak dengelenmemş yük vektörü olup, denklem (3.6) le verlmştr. Dış yük vektörü se artımsal bçmde denklem (3.7) le yazılmıştır.

27 j-1 j-1 j-1 {R } {F }-{Q } (3.6) j j1 j F F λ ΔF (3.7) 1 Burada; F 1, ( j 1). terasyonun. yük artımının sonunda uygulanan toplam j dış yük vektörü, { ΔF } toplam dış yükün br fonksyonu olan referans yük, λ j se artımsal yük parametresdr. Denklem (3.5) le verlen denge denklemnn çözümü çn çalışmada, sık kullanılan ve hızlı yakınsama sağlayan Newton-Raphson ve gelştrlmş Newton-Raphson yöntemler kullanılmıştır. 3.1.2.1 Newton-Raphson Yöntem Newton-Raphson yöntemnde artımsal yük parametres ( λ ), brnc terasyon adımında ( j 1) br, dğer terasyon adımları çn se ( j 2) sıfır değern alır. Bu terasyon adımları, stenlen yakınsama krter sağlanana kadar devam ettrlr. İterasyon boyunca, her br yük adımı çn artımsal yük parametres sabt tutulduğundan Newton-Raphson yöntem, br yük kontrol çözüm teknğ olarak kabul edlr (Crsfeld, 1991). Bu yöntemden elde edlen yük-yer değştrme eğrs Şekl 3.3 le verlmştr. j {F j } Yük { F} [K j 0] [K j 1] {R j 1} {F j-1 } { D j 1} { D j 2} {D j-1 } {D j } Yer değştrme Şekl 3.3 Newton-Raphson yöntem

28 3.1.2.2 Gelştrlmş Newton-Raphson Yöntem Newton-Raphson yöntem doğrusal olmayan problemlern çözümünde hızlı yakınsama sağlamasına rağmen zaman alıcı ve zahmetl olablr (Crsfeld, 1991). Her br terasyonun sonunda yen br rjtlk matrs oluşturmak yerne, gelştrlmş Newton-Raphson yöntem kullanılarak sabt yaklaşık br rjtlk matrs le çözüme gdlr. Gelştrlmş Newton-Raphson yöntem, Newton-Raphson yöntemne göre daha az zaman almasına rağmen yakınsama hızı daha yavaştır. Newton-Raphson yöntemler, yapının yük taşıma kapastesnden öncek yük-yer değştrme davranışının takb çn brçok ssteme uygulanablr br çözüm teknğdr (Torkaman ve Sönmez, 2008). Şekl 3.4 de gelştrlmş Newton-Raphson yöntem çn yük-yer değştrme lşksne at grafk verlmştr. {F j } { F} {R j 1} Yük {F j-1 } { D j 1} {D j-1 } {D j } Yer değştrme Şekl 3.4 Gelştrlmş Newton-Raphson yöntem

BÖLÜM DÖRT PRATİK İKİNCİ MERTEBE ANALİZ YÖNTEMLERİ Kesn ve detaylı hesap gerektrmeyen durumlarda, pratk knc mertebe analz yöntemler kullanılarak doğrudan kısa süre zarfında knc mertebe analz yapılablr. Bu analz teknkler düzenl rjt çerçevelere kolayca uygulanablr. Yapının geometrsne ve uygulanan yüklern fonksyonuna bağlı olarak fktf eleman ve fktf büyütme katsayıları kullanılarak, P- ve/veya P- etkler dkkate alınıp knc mertebe etkler hesaplara dahl edlr. Bu bölümde, pratk knc mertebe analz yöntemlernden; fktf dyagonal eleman eklenmes (Chen ve Lu, 1991), fktf kolon eleman eklenmes (Chen ve Lu, 1991), Kng - Chen (1993), Drekt P-delta (Naen, 2001), L (2007), teratf düşey yük (Stafford Smth ve Gaott,1988) yöntemler ncelenmştr. 4.1 Fktf Dyagonal Eleman Eklenmes Yöntem Fktf Dyagonal Elemanlar h α Şekl 4.1 Yapıya fktf dyagonal eleman eklenmes Bu yöntem lk olarak 1975 yılında gelştrlmştr (Nxon, Beauleu ve Adams; 1975). Yapıya, negatf kest alanına sahp fktf dyagonal elemanların eklenmes le knc mertebe analz yapılır. Burada kullanılan fktf dyagonaller P-Delta etksn temsl etmektedr. Bu yöntemde, herhang br terasyon adımı kullanılmadan tek br 29

30 hesap adımında knc mertebe etkler çeren yer değştrme ve ç kuvvet değerler hesaplanır. Yapının her katında Şekl 4.1 de görüldüğü gb negatf kest alanına sahp fktf dyagonal elemanlar kullanılmış ve bu elemanların fktf kest alanları denklem (4.1) le verlmştr. P L 0 (4.1) h Ecos α A 2 Burada; P. kattak kolonların eksenel kuvvet değerlern, h. katın kat yükseklğn, L 0 dyagonal elemanın boyunu, E elastste modülünü, se fktf dyagonal elemanın yatayla yaptığı açıyı temsl etmektedr. Bu yöntemde, yatay doğrultudak negatf rjtlğe ek olarak, düşey doğrultudak eğml dyagonal elemanın da negatf rjtlğ ortaya çıkmaktadır. Yöntemdek stenmeyen bu durumu ortadan kaldırmak çn, fktf dyagonal elemanların tesr ettğ kolon elemanlarına at kest alanları denklem (4.2) e göre yenden düzenlenr (Lu,1990). P Δ A A 1 tanα (4.2) EA u a Burada; A kolonun kest alanını, P kattak kolonların eksenel kuvvetlernn toplamını, kat yer değştrmesn, u a kolonun eksenel kısalması veya uzamasını fade etmektedr. Denklem (4.2) le verlen denklemde köşel parantez çndek fade, negatf dyagonallern etksndek eksenel rjt kolonların negatf rjtlk artışını dengelemektedr. 4.2 Fktf Kolon Eleman Eklenmes Yöntem Fktf kolon eleman eklenmes yöntemnde, Şekl 4.2 de gösterlen fktf eğlme kolonları kullanılarak yapıya fktf br açıklık eklenr. Fktf eğlme kolonları her kat sevyesnde dönmeye karşı kısıtlı ve ötelenmeler serbest olacak şeklde düzenlenr

31 (Chen ve Lu, 1991). Bu kolonların eksenel uzama rjtlğ sıfır olup fktf atalet moment denklem (4.3) le verlmştr. I 2 P h (4.3) 12E Burada; I. kattak fktf eğlme kolonunun atalet momentn, P kattak kolonların eksenel kuvvetlernn toplamını, h kat yükseklğn, E se elastste modülünü fade etmektedr. Rjt bağlantı elemanı Fktf eğlme kolonları Yapı Fktf açıklık Şekl 4.2 Fktf eğlme kolon model 4.3 Kng - Chen Yöntem Kng-Chen yöntemnde, kat hzalarında oluşan yatay yer değştrmeler brnc mertebe analz le belrlendkten sonra denklem (4.4) kullanılarak knc mertebe kat yatay yer değştrmeler elde edlr (Kng ve Chen, 1993). Δ 0 Δ (4.4) Pu Δ0 1 H.h

32 Burada, 0 brnc mertebe analzden elde edlen yatay yer değştrme, P u şlem yapılan kattak kolonlarda oluşan eksenel kuvvetlern toplamı, H yapının tamamına tesr eden yatay yüklern toplamı, h kat yükseklğ, se P-Delta etksnden kaynaklanan knc mertebe yatay yer değştrmedr. Fktf yatay yük se denklem (4.5) le verlmektedr. Pu.Δ H (4.5) h ' H Denklem (4.5) dek fktf yatay yük H ' ve başlangıçta yapıya etk eden düşey yükler kullanılarak, analz yapıldığında P-Delta etksnden kaynaklanan knc mertebe yer değştrmeler ve ç kuvvetler elde edlr. 4.4 Drekt P-Delta Yöntem Drekt P-Delta yöntem kullanılarak, doğrudan brnc mertebe yer değştrmelerden tahmn br nha yer değştrme elde edlr (MacGregor ve Hage, 1977). Bu yöntemde, herhang br. katın kat ötelenmesnn sadece o kattak kat kesmes ( V ) le doğru orantılı olduğu kabul edlr. Bu kabul, her katın brbrnden bağımsız br şeklde hesap yapılmasına olanak sağlar. Eğer. kattak brm yatay yükten kaynaklanan kat ötelenmes F se, brnc mertebe kat ötelenmes ( 1 ) denklem (4.6) le hesaplanır. Δ1 F ΣV 1 (4.6) Burada; ( V 1 ) brnc kattak kat kesmes, F se kattak brm yatay yükten kaynaklanan kat ötelenmesdr. Brnc terasyon döngüsünden sonra elde edlen kat ötelenmes denklem (4.7) le verlmştr. F 2 F ΣV2 F( V 1) 1 (ΣP) (4.7) h

33 Burada; (ΣP) yapıya etkyen toplam düşey yük, h kat yükseklğdr.. terayon döngüsünden sonra elde edlen kat ötelenmes se denklem (4.8) le verlmştr. 1 2 F F F F ΣV1 1 (ΣP) (ΣP)... (ΣP) (4.8) h h h Denklem (4.8) dek geometrk ser, [(ΣP)F/h]< 1,0 olduğu zaman yakınsama sağlanmış olur ve nha knc mertebe yer değştrme denklem (4.9) le hesaplanır. 1 Fnal (4.9) ( P) /( V )h 1 1 1 Denklem (4.9) le elde edlen nha yer değştrme yenden düzenlenecek olursa, denklem (4.10) le fade edlr. Δ Fnal μ.δ 1 (4.10) Burada; Δ 1 brnc mertebe analzden elde edlen yer değştrme, µ büyütme faktörü olup, denklem (4.11) le verlmştr. 1 μ 1 (ΣP) 1 /( V )h (4.11) 1 Sadece yatay yükler etks altında sstem çözülerek elde edlen ç kuvvetler büyütme faktörü katsayısı le çarpılıp, sadece düşey yükler altındak sstemn çözümünden elde edlen ç kuvvetlern toplanmasıyla knc mertebe etkler ç kuvvetlere dahl edlmş olur. 4.5 L Pratk Yöntem Şekl 4.3 le verlen çerçevenn. katında P-Delta etksn çeren ek kesme kuvvet denklem (4.12) le fade edlr (L ve L, 2007).

34 P n F n P n. kat V F. kat. kat h F 2 V F 1 P 1. kat Şekl 4.3 Kat çerçevesne at ç kuvvet ve yer değştrmeler P Δ dv1 (4.12) h Burada, V. kattak kesme kuvvetn, P. kata etkyen toplam düşey yükü, h. katın kat yükseklğn fade etmektedr. Ek kesme kuvvet (dv 1 ) den kaynaklanan ek görel kat ötelenmes denklem (4.13) le hesaplanır. dδ dv Δ P Δ Δ 1 1 (4.13) V V h Sırasıyla, d 1 den kaynaklanan ek kesme kuvvet dv 2, dv 2 den kaynaklanan ek görel kat ötelenme d 2, denklem (4.14) ve (4.15) le verlmektedr. dv 2 P dδ P Δ 2 2 1 (4.14) 2 h V h dδ 2 dv P Δ 2 2 Δ Δ V (4.15) V h

35 Yukarıdak anlatılan şlem ardışık br şeklde devam ettrldkten sonra, P- etksn çeren nha kat ötelenmes ( ) denklem (4.16) le hesaplanır. ' 2 n Δ' Δ dδ dδ... dδ Δ (1 α α... α ) (4.16) 1 2 n Burada, α denklem (4.17) le verlmştr. P Δ α (4.17) V h Brnc mertebe analzden elde edlen sonuçlar çerçevenn herhang br. katındak kolonlar ve çapraz elemanları 1/(1-α ) le krş elemanları se, 1/(1- α ) büyütme faktörler le çarpılarak knc mertebe etkler dkkate alınmış olur. α α (çerçevenn en üst katı çn) (4.18) α α α 1 (çerçevenn dğer katları çn) (4.19) 2 4.6 İteratf Düşey Yük Yöntem İteratf düşey yük yöntem, sadece P- etksn göz önüne alır (Stafford Smth ve Gaott,1988). Bu yöntemde yük, yapının deforme olmuş şeklne doğrudan düşey yüklern etktlmes prensbne dayanır. Yapının deforme olmuş şekl önceden blnmedğ çn yöntem Şekl 4.4 de gösterldğ gb teratf olarak uygulanır.

36 P H Ih a) Konsol krş-kolon elemanı P Ih δ Ig1 P δ Ig1 δ Ig2 H b) Yatay yükün etktlmes c) 1. Düşey yükün etktlmes d) 2. Düşey yükün etktlmes Şekl 4.4 İteratf düşey yük yöntem İşlem lk olarak sadece yatay yüklern yapıya etktlmes le başlar. Daha sonra düşey yükler yatay yüklerden dolayı deforme olmuş yapıya tatbk edlr. Yen br düşey yük analz br öncek düşey yük analznden elde edlen yer değştrme artışlarının kullanılmasıyla modellenmş olan deforme olmuş yapıya uygulanır. Düşey yük analz yer değştrme artışlarının hmal edleblecek kadar küçük olduğu duruma kadar sürdürülür. Eğer n. düşey yük analznde stenlen kadar yakınsama sağlanmış se, son yer değştrme denklem (4.20) le elde edlr.

37 n Ih (δ Ig ) 1 Δ Δ (4.20) Burada; Δ Ih brnc mertebe yatay yük etks altındak yer değştrme, Δ Ig brnc mertebe düşey yük etks altındak terasyon adımları çn yer değştrme artışını göstermektedr. Benzer şeklde P- etksn çeren moment fades denklem (4.21) le fade edlr. n Ih ( M Ig ) 1 M M δ (4.21) Burada; moment değer, M Ih yatay yük etks altındak brnc mertebe analzden elde edlen M Ig düşey yük etks altındak terasyon adımları çn brnc mertebe analzden elde edlen moment artışını göstermektedr. İteratf düşey yük yöntem uygulanırken, düğüm noktalarının koordnatlarını her analz adımında güncellenr. Yen koordnatlar yer değştrme artışlarının orjnal koordnatlara eklenmes le bulunur.

BÖLÜM BEŞ ÇELİK YAPILARDA KULLANILAN TAŞIYICI SİSTEMLER Taşıyıcı sstem; br bütün olarak deprem yüklern taşıyan bna taşıyıcı sstemnde ve aynı zamanda taşıyıcı sstem oluşturan elemanların her brnde, deprem yüklernn temel zemnne kadar sürekl br şeklde ve güvenl olarak aktarılmasını sağlayacak yeterlkte rjtlk, kararlılık ve dayanımı sağlamalıdır (DBYBHY, 2007). Uygulamada çelk yapı sstemlern kararlı hale getrmek çn yapının geometrs ve maruz kaldığı etkler gb dğer yapısal özellklere de bağlı olarak çok farklı çapraz elemanlar kullanılmaktadır. Yapıda kullanılacak çapraz eleman; yapı süneklğn, yapının doğal peryodunu ve yapı davranış katsayısını etklemektedr. Özellkle şddetl yatay yüklere maruz yapılarda kullanılan çapraz elemanların burkulması le brlkte yapıda an performans azalması görülür. Bu durumda yapı süneklğ öneml ölçüde azalmakta ve bunun sonucunda da yapının enerj yutma kapastes düşük olmaktadır (Deren, Uzgder, Proğlu ve Çağlayan; 2008). Br taşıyıcı sstemn deprem etks altında süneklğ, çevrmsel etk altında enerj tüketen bölgelern bulunması le artar. Sünek yapılar, enerj tüketen bölgelern türüne göre; moment aktaran çerçeveler, merkez çelk çaprazlı ve dış merkez çelk çaprazlı sstemler olmak üzere üç ana başlık altında ncelenr (Celep ve Kumbasar, 2004). 5.1 Moment Aktaran Çerçeve Sstemler Moment aktaran çerçeveler, yatay ve düşey yüklern, kolon ve krş tarafından çerçeve oluşturarak karşılanmasına göre tasarlanan sstemlerdr. Genellkle bu tp sstemlern kolon ve krş brleşm bölgeler rjt kabul edlr. Şekl 5.1. den görüldüğü üzere yatay kuvvetler, krş ve kolonlarda meydana gelen kesme kuvvet ve eğlme moment tarafından karşılanır. Deprem Bölgelernde Yapılacak Bnalar Hakkında Yönetmelk 2007 (DBYBHY 2007) de moment aktaran çerçeveler, süneklk durumlarına göre süneklk düzey normal ve süneklk düzey yüksek olmak üzere k gruba ayrılmıştır. 38

39 Süneklk düzey yüksek çerçeveler, süneklk özellklernden ve mmar taleplere cevap vermes nedenyle daha çok terch edlr. Bu tp çerçevelerde deprem yükü azaltma katsayısı büyük olmasına karşın, kolon-krş brleşm bölgelernn boyutlandırılmasında daha ayrıntılı kurallar geçerldr. Bu çerçevelern kapaste kavramına göre boyutlandırılmasında, enerjnn krş kestlernde tüketlmes esas alınır. Yüklern karşılanması sırasında plastk mafsalların oluştuğunun kabul edldğ bu kestlern dışındak dğer taşıyıcı sstem elemanlarının ve kolon-krş brleşm bölgelernn elastk kaldığı kabul edlr. Süneklk düzey normal çerçeveler se süneklk düzey yüksek çerçevelere göre daha az sünektr ve bu yüzden daha az deprem yükü azaltma katsayısı söz konusu olur. V M M V/2 M V/2 M Şekl 5.1 Moment aktaran çerçevenn yatay yer değştrmes 5.1.1 Moment Aktaran Çerçeve Sstemlerde Yapı ve Kat Salınım Faktörler Kat salınım faktörü; katlar arası rölatf yer değştrmenn net kat yükseklğne bölümü le fade edlr (UBC,1997). Kat salınım faktörü; deprem ve rüzgar nedenyle cam kırılması, fayansların dökülmes, bölme duvarların çatlaması gb durumları önlemek üzere sınırlandırılmıştır. Unform Buldng Code (UBC, 1997) da bu faktörün üst lmt 0,005 olarak verlmştr. Yapı salınım faktörü se deprem ve rüzgar etkler altında yapının en üst katının elastk yer değştrmesnn yapının toplam yükseklğne oranıdır. UBC (1997) de bu faktörün 1/400 den küçük olması

40 tavsye edlr. Yapı elemanlarının rjtlğ arttırılarak ya da farklı geometrk formda çapraz elemanlar kullanılarak yatay yer değştrmeler ve yapı salınım faktörü değerler stenlen sınır değerlern altında tutulablr (Kural ve Tok, 1992). Bna yükseklğnn genşlğne oranı dört veya beş aştığı durumlarda yatay yer değştrmey makul sınırlar çnde tutmak çn lave rjtlğe htyaç duyulur (Gönen, Kıraç, Doğan ve Günaydın; 2007). 5.2 Merkez Çelk Çaprazlı Sstemler Merkez çelk çaprazlı sstemler moment aktaran çerçevelerden farklı olarak yüksek elastk rjtlğe sahp, yanal kuvvet dayanımlı sstemlerdr. Bu sstemlerde rjtlğ sağlayan yanal kuvvet dayanımlı çapraz elemanlardır. Merkez çelk çaprazlı sstemlerde yatay kuvvetler karşılayacak olan çapraz bağlantı elemanları, krş-kolon çapraz elemanlarının aksları le çakışır. Bu sstemler yatay kuvvetler doğrusal elastk bölgede kalarak taşırlar. Merkez çelk çaprazlı sstemlern özel düzenlenmş çaprazları tersnr büyük yatay yüklerde basınç altında burkularak ve çekme altında akarak enerjnn tüketlmesn sağlarlar. Merkez çelk çaprazlar kullanılarak teşkl edlen sstemlerde malzeme tasarrufu sağlanırken, çerçevedek kat ötelenmeler de etkn br şeklde sınırlandırılır. Depreme dayanıklı yapı tasarımında, kolon, krş ve brleşm bölgelernde hasar oluşması stenmezken, düşey yük taşıma kapastes korunarak çapraz elemanlarda, plastk şekl değştrmelern meydana gelmes terch edlr. Çaprazlı sstemlerde, yapıya etkyen yatay yüklern karşılanmasında ve stenlen elastk sınırlar çersnde kalmasını sağlayan ana unsurların başında narnlk (=KL/r) gelr. Basınç veya çekme kuvvet altındak br çapraz elemanın enerj yutma kapastes, narnlğ le ters orantılıdır. Bu yüzden DBYBHY (2007) de çapraz elemanlarının narnlğ çn denklem (5.1) de verlen değer aşmaması gerektğ öngörülmüştür. 4 E /σ (5.1) s a

41 Burada; E s kullanılan yapı çelğnn elastste modülünü, σ a se yapı çelğnn akma gerlmesn fade eder. Çapraz elemanları genellkle kornyer, boru, tüp kestl profl veya çelk lamalardan teşkl edlr. DBYBHY (2007) ye göre merkez çelk çaprazlar düzenlenrken, herhang br deprem doğrultusu çn o doğrultudak çapraz elemanların en az %30 u ve en çok %70 basınca çalışan çapraz elemanı olarak düzenlenmes gerekmektedr. DBYBHY 2007 de teşkl edlmesne zn verlen merkez çaprazlı çelk perde türler Şekl 5.2 le verlmektedr. Dyagonal çapraz X çapraz Ters V çapraz V çapraz Sekl 5.2 Merkez çelk çaprazlı sstemler (DBYBHY,2007) Dyagonal merkez çelk çaprazlar, hem basınç hem de çekme kuvvetn karşılayacak şeklde tasarlanırlar. Bu durumda hem eleman kest artacağından hem de sstemde asmetrk davranışlar ortaya çıkacağından dyagonal elemanın yerne çft çaprazlı sstem (X) kullanmak daha avantajlı olmaktadır. Çft çaprazlı elemanlardan br basınca, dğer çekmeye çalışmaktadır. V ve Ters V tp çaprazlarda X çaprazlarında olduğu gb br elemanı basınca, dğer elemanı çekmeye çalışan çaprazlı sstem türüdür. Bu tp çaprazlar, krşe açıklıkta brleşrler. Brbrne eşt olmayan basınç ve çekme türlernden dolayı V ve Ters V tp çaprazların bağlı oldukları çerçevedek krş elemanlarında düşey br yük etks oluşur. Bu nedenle çaprazların brleştğ krş elemanın sürekl olması gerekmektedr. K tp çapraz sstemlerde kolonun ortasında oluşacak yatay yer değştrme yanal burkulmaya

42 sebebyet vereceğ çn süneklk düzey yüksek sstemlerde K tp çaprazların kullanılmasına zn verlmez (DBYBHY, 2007). Yalnızca çekmeye çalışan çaprazlı çerçevelern çevrmsel elastk ötes davranışı çekmeye çalışan elemanların akma ve uzaması le kontrol edlr. Bu çaprazlar yüksek narnlk ve düşük eksenel yük durumunda dah basınç çaprazlarının burkulması le sonuçlanır. Tekrarlı çevrmsel yüklemede her br çapraz elemanın ortak olan eksenel yer değştrmeler toplanır ve merkez X çaprazlı sstem yatay rjtlğn kaybeder. Eksenel olarak yüklenmş elemanların davranışı; eksenel kuvvet (P), eksenel deformasyon () ve orta noktadak yer değştrme () olarak fade edlr. Genellkle, çekme kuvvetler ve deformasyonları poztf, basınç kuvvetler ve deformasyonları negatftr. Şekl 5.3 de çevrmsel yükleme altındak çapraz br elemanın davranışı gösterlmektedr (Bruneau, Uang ve Whttaker,1998). Δ δ δ P P E F Δ OA AB D Δ BC C O G δ Δ Δ CD DE B A EF Şekl 5.3 Tersnr yük altında br çapraz elemanın davranışı Çapraz yüksüz durumda O noktasındadır. Basınç altında elastk olarak kısalarak A noktasına erşr. Çaprazda burkulma meydana geldğnde eksenel kuvvette öneml değşklk olmazken, kısalma artar. Bu aşamaya kadar elastk olan davranışta, boşaltma yapılırsa, BAO çzgs zlenerek yüksüz duruma tekrar gelnr. Burkulma durumunda orta kestte normal kuvvet yanında en büyük eğlme moment meydana gelr. Burkulma esnasında çapraz eleman enne doğrultuda br yer değştrme yapar

43 ve orta uzunlukta br plastk mafsal oluşur. Çaprazın plastk mafsala kadar olan kısmının serbest csm dyagramı bu kısmın uzunluğu boyunca sabt eksenel yüke laveten farklı momentler çerr. Çaprazdak momentn en büyük değer maksmum yer değştrme noktasında meydana gelr. Çaprazın yer değştrmesnn krtk değernde çaprazdak moment plastk momente eşt olur ve bu noktada (B noktası) Şekl 5.3 görüldüğü üzere br plastk mafsal meydana gelr. B noktasında oluşan plastk mafsal deformasyonuna karşılık gelen Δ yer değştrme değer çaprazdak eksenel yük etkleşm derecesne bağlıdır. BC çubuğundak plastk mafsal dönmeler sebebyle yer değştrmedek artışa bağlı olarak eksenel yer değştrmeler de artar. Çaprazın (BC) eksenel dayanımı se azalır. Çünkü orta noktadak moment (M = P.Δ) plastk mafsaldan sonra artmaz, yer değştrmedek br artış eksenel yüktek br düşüşü berabernde getrr. Eksenel yüktek düşüş moment kapastesndek artışla sonuçlanır. Bu durumda C noktasına ulaşılmış olur. Bu noktadan tbaren yükte boşaltma yapılırsa çaprazdak plastk eksenel yer değştrme ve yanal yer değştrme değşmez. Basınç kuvvet boşaltıldıktan sonra çapraza çekme kuvvet uygulanırsa, elastk şekl değştrmeler ve orta kesttek plastk mafsal dönmes gerye dönerek azalır. Çekme kuvvetnn artması le çaprazda eksenel plastk şekl değştrmeler meydana gelr. Bu durum şeklde EF doğrusuna karşı gelr. Yükün boşaltma şlemnn devam ettrlmes ve basınç kuvvetnn yüklenmes durumunda se FG yolu zlenr. Bu durumda çapraz eleman br başlangıç orta nokta yer değştrmesne sahp eleman olarak davranır. Merkez çelk çaprazlı br yapı sstemnn sünek davranışı çn, çapraz elemanlar öneml ölçüde rjtlk ve dayanım kaybı olmaksızın büyük elastk ötes yer değştrmeler yapmalıdır. Eksenel yüke maruz kalan çapraz elemanların elastk ötes davranışı son yıllarda brçok araştırmacı tarafından ncelenmştr (Bruneau, Uang ve Whttaker, 1998). Bu araştırmalar analtk ve deneysel çalışmaları çermektedr. Bu çalışmalardan çıkan sonuçlara göre çapraz elemanın davranışı; narnlk oranı, sınır şartları, kest tp gb üç temel parametreye bağlıdır. Eksenel basınç kuvvet le yüklü olan br çapraz elemanın davranışı esas olarak narnlğe bağlıdır. Narnlk oranı (λ) çapraz eleman sınır koşullarının (k) br

44 fonksyonudur. Çapraz eleman uzunluğu veya çapraz eleman net açıklığı (L), güçlü eksen etrafındak atalet moment (I) ve kest alanına (A) bağlı olarak narnlk oranı denklem (5.2) le verlmştr. λ A kl kl (5.2) I r Merkez çelk çaprazlar genellkle; narn, orta narnlkte ve narn olmayan olarak tanımlanırlar. Bu çaprazlar, farklı narnlk oranlarında brbrndenfarklı davranış serglerler. Narn olmayan çapraz elemanlardak döngü alanları narn elemanlarınknden daha büyüktür. Çaprazların çekmedek kapastesnn basınçtak kapastesne oranı narnlk oranınabağlıdır (Tunçel, 2007). Daha narn br çapraz çn bu oran daha büyüktür. Ayrıca; çekme kapastes le basınç kapastes arasındak oran artan çevrmsel eksenel yer değştrme le brlkte artar. 5.3 Dış Merkez Çelk Çaprazlı Sstemler Dış merkez çelk çaprazlı sstemlern özellğ, moment aktaran çelk çerçevelern yüksek düktltes le merkez çaprazlı çelk çerçevelern dayanım ve rjtlğn brleştreblmesdr. Kolon ve çapraz eleman akslarının kesşm veya çapraz elemanların kesşmler arasında belrl br dış merkezllk verlerek oluşturulur. Bu tp çerçeve sstemlerndek çapraz elemanın en az br ucu, krşte br bağlantı elemanı oluşturacak şeklde bağlanır. Dış merkez çelk çerçeveler, yüksek elastk rjtlğe, çevrmsel yatay yükler altında stabl br elastk ötes davranışa, mükemmel br süneklk ve enerj yutma kapastesne sahptr. Bu nedenle, yüksek ssmk aktvtes olan bölgeler çn oldukça uygun taşıyıcı sstemlerdr (Deren, Uzgder, Proğlu ve Çağlayan; 2008). DBYBHY (2007) de öngörülen dış merkez çelk çapraz türler Şekl 5.4 de verlmştr.

45 Krş Bağ krş e e e e Şekl 5.4 DBYBHY 2007 de öngörülen dış merkez çelk çapraz türler Moment aktaran çerçeve sstemler, yanal kuvvetlere karşı sünek br davranış göstermesne karşın çok katlı bnalarda ortaya çıkan yanal kat ötelenmelernn sınırlandırılmasında yetersz kalır. Dış merkez çelk çaprazlı sstemler yanal kat ötelenmelernn sınırlandırılmasında öneml rol oynarlar. Dış merkez çelk çaprazlı sstemlerde sünek davranışı bağlantı krşnn sağladığı kabul edlr. Çapraz elemanların çerçeve krş üzernde e kadar br uzunlukta dış merkez br noktaya bağlanmasıyla, yatay yükler altında meydana gelecek plastk deformasyonlar ve enerjnn yutulması le lgl durumlar bağlantı krş tarafından gerçekleştrlecektr. Bu kabulün amacı, tasarım üzer yanal ssmk etkler le karşı karşıya kalındığında çapraz elemanların burkulmasını önlemektr. Bu nedenle, bağlantı krşnn özenle boyutlandırılması gerekr. Uygun br şeklde boyutlandırılan ve detaylandırılan bağlantı krşler, yük çevrmlernde ve tersnr yükler altında uzun süre büyük şekl değştrmelerle büyük mktarda enerjy tüketebldkler fade edlmektedr (Celep ve Kumbasar, 2004). Bağlantı krşnn boyu azaltıldığında çerçevenn süneklk kapasteler azalacaktır. Ayrıca deprem yükü altında gövde buruşmasından kaynaklanan dayanım azalma tehlkesne karşın bağlantı krşnn berktme levhalarıyla güçlendrlmes gerekmektedr.

BÖLÜM ALTI SAYISAL UYGULAMALAR 6.1 Sayısal Uygulama 1 Şekl 6.1 de yükleme ve geometr durumu verlen kolon elemanın kest IPE 100 proflnden seçlmş olup, 15 kn luk düşey ve yatay yük etksne maruzdur. Çalışmada kullanılan elastste modülü 2,1x10 8 kn/m 2 dr. Bu sstemn Newton- Raphson yöntem kullanılarak knc mertebe analz yapılmıştır. 15 kn 2 15 kn LB= 3 m 1 Şekl 6.1 Kolon elemanın kest geometrs ve yükleme durumu Kolon elemanına uygulanan dış yükler altında şekl değştrmş geometrs ve buna bağlı olarak elde edlen yer değştrmeler le eleman uç kuvvetler Şekl 6.2 de gösterlmştr. Güncellenmş geometrye bağlı olarak elde edlen eleman uç kuvvetler denklem (6.1) le verlmştr. Q 6EI ( ) EA (1) LB (1) (1) 4EI (1) 2EI (1) (L LB), Q2 (θ A θ B ), Q3 θa θ B ) (6.1) (1) L L L L 1 B B B 46

47 2 3 D 1 1 Q 1 Q 3 Q D 2 2 θ A A LB θ B B Şekl 6.2 Kolon elemanın serbestlkler ve şekl değştrmş geometrs Burada; E elastste modülü, A kest alanı, I kestn atalet moment, L B elemanın başlangıçtak boyu, L (1) şekl değştrmş elemanın boyu, Q elemanın uç kuvvetler, θ A ve θ B se elemanın uçlarındak dönmeler olup denklem (6.2) le elde edlr. θ (1) A -1 (1) (1) (1) -1 (1) (1) D tan [D /(L - D )], θ tan [D /(L - D )] (6.2) 3 1 B 2 B 1 B 2 Burada; D 1, D 2 ve D 3 yer değştrmelerdr. Dengelenmemş yük vektörü se denklem (6.3) le verlmştr. (1) (1) F 1 c s 0 Q1 (1) (1) R F2 - s c 0Q2 (6.3) F3 0 0 1 Q3 Burada; {F } elemana etkyen dış yük vektörü, c ve s termler elemanın snüs ve kosnüs bleşenler olup denklem (6.4) le, şekl değştrmş elemanın uzunluğu se denklem (6.5) le verlmştr.

48 (1) (1) D1 (1) L B - D2, c (6.4) (1) L L (1) s (1) L (1) (1) 2 (L D ) (1) 2 1/2 (D ) ] (6.5) B 2 1 6.1.1 Kolon Elemanın Newton-Raphson Yöntem le İknc Mertebe Analz Şekl 6.1 le verlen kolon elemanının şekl değştrmş geometrs kullanılarak Newton-Raphson yöntem le knc mertebe analz açık formda verlmştr. Aşağıda sayısal uygulamanın çözümünde kullanılan terasyon şlemler adım adım detaylı br şeklde verlmştr. 1. İterasyon: (0) (0) D 0 ; Q 0 ; s (0) 0; c (0) 1; L B =3,0 m Denklem (6.3) kullanılarak başlangıçtak dengelenmemş yük vektörü elde edlr. R (0) 15, 15, 0 T Tanjant rjtlk matrs; lokal doğrultudak eleman rjtlk matrslernn transformasyon matrs kullanılarak global forma dönüştürülüp toplanması le elde edlmş olup ve denklem (6.6) le sunulmuştur. [K T ]=[K L ] + [K G ] (6.6) K L 159,6 0 239,4 0 72100 0 239,4 0 478,8 K G =[0]

49 K T 159,6 0 239,4 0 72100 0 239,4 0 478,8 Denklem (3.5) eştlğnde dengelenmemş yük vektörü ve tanjant rjtlk matrs yerne yazılarak artımsal yer değştrmeler elde edlr. Artımsal yer değştrmeye bağlı olarak da terasyon sonundak toplam yer değştrmede denklem (3.3) le elde edlr. ΔD 0,37594 0,00021 0,18797 (1) (0) D D ΔD 0,37594 0,00021 0,18797 Denklem (6.1) le denklem (6.5) arasındak denklemlerdek eştlkler kullanılarak lgl parametreler hesaplanmış olur. L (1) = 3,02326m, s (1) =0,99224, c (1) = -0,12435, θ A =0,06330, θ B = -0,12467 Q (1) 14,580-1676,826-0,461 R (1) 207,979-1676,998-0,461

50 2. İterasyon: D (0) 0,37594 0,00021 0,18797 (0) R 207,979-1676,998 ; - 0,461 s (0) 0,99224; c (0) - 0,12435; L (0) = 3,02326m Global doğrultudak tanjant rjtlk matrs aşağıda sunulmuştur. K L 1269,6 8876,3 235,7 8876,3 70987,6 29,5 235,7 29,5 478,8 K G 544,9 73,3 0 73,3 7,4 0 0 0 0 K T 1814,5 8803,1 235,7 8803,1 70995,0 29,5 235,7 29,5 478,8 Denklem (3.5) eştlğnde dengelenmemş yük vektörü ve tanjant rjtlk matrs yerne yazılarak artımsal yer değştrmeler elde edlr. Artımsal yer değştrmeye bağlı olarak da terasyon sonundak toplam yer değştrmede denklem (3.3) le elde edlr.

51 ΔD 0,00013 0,02364 0,000562 (1) (0) D D ΔD 0,37607 0,02385 0,18853 Denklem (6.1) le denklem (6.5) arasındak denklemlerdek eştlkler kullanılarak lgl parametreler hesaplanmış olur. L (1) = 2,99982 m, s (1) =0,99211, c (1) = -0,12536, θ A = 0,06284, θ B = -0,12570 Q (1) 15,050-12,946-0,006 R (1) 1,692-0,269 0,006 3. İterasyon: 0,37607 D (0) (0) 0,02385, R 0,18853 1,692-0,269 ; 0,006 s (0) 0,99211; c (0) -0,12536; L (0) = 2,99982m Global doğrultudak tanjant rjtlk matrs aşağıda sunulmuştur.

52 K L 1290,3 8947,6 237,5 8947,6 70969,4 30,0 237,5 30,0 478,8 K G - 5,5 4,5 0 4,5-1,3 0 0 0 0 K T 1284,8 8943,2 237,5 8943,2 70968,0 30,0 237,5 30,0 478,8 Denklem (3.5) eştlğnde dengelenmemş yük vektörü ve tanjant rjtlk matrs yerne yazılarak artımsal yer değştrmeler elde edlr. Artımsal yer değştrmeye bağlı olarak da terasyon sonundak toplam yer değştrmede denklem (3.3) le elde edlr. ΔD 0,04782 0,00604 0,02412 (1) (0) D D ΔD 0,42390 0,02989 0,21265 Denklem (6.1) le denklem (6.5) arasındak denklemlerdek eştlkler kullanılarak lgl parametreler hesaplanmış olur. L (1) = 3,00021 m, s (1) = -0,14129, c (1) = 0,98997, θ A =-0,14176, θ B = 0,07088

53 Q (1) 16,967 15,154 0,001 R (1) - 3,93827 27,60509-0,001 4. İterasyon: D (0) 0,42390 0,02989 0,21265 (0) R 3,93827-27,60509 ; - 0,001 s (0) 0,98997 ; c (0) -0,14129; L (0) = 3,00021 m Global doğrultudak tanjant rjtlk matrs aşağıda sunulmuştur. K L 1595,7 10062,4 237,0 10062,4 70663,9 33,8 237,0 33,8 478,8 K G 3,4 6,4 0 6,4-1,5 0 0 0 0 K T 1599,1 10056,0 237,0 10056,0 70662,4 33,8 237,0 33,8 478,8

54 Denklem (3.5) eştlğnde dengelenmemş yük vektörü ve tanjant rjtlk matrs yerne yazılarak artımsal yer değştrmeler elde edlr. Artımsal yer değştrmeye bağlı olarak da terasyon sonundak toplam yer değştrmede denklem (3.3) le elde edlr. ΔD 0,00008 0,00038-0,00001 (1) (0) D D ΔD 0,42382 0,03027 0,21263 Denklem (6.1) le denklem (6.5) arasındak denklemlerdek eştlkler kullanılarak lgl parametreler hesaplanmış olur. L (1) = 2,9998 m, s (1) = 0,98997, c (1) =-0,14128, θ A = 0,07088, θ B = -0,14176 Q (1) 16,969-12,732 0,000 R (1) 0,00014 0,00124-0,00000 5. İterasyon: D (0) 0,42382 0,03027 0,21263

55 (0) R 0,00014 0,00124 ; - 0,00000 s (0) 0,98997 ; c (0) -0,14128 L (0) = 2,9998 m Global doğrultudak tanjant rjtlk matrs aşağıda sunulmuştur. K L 1595,6 10061,8 237,0 10061,8 70664,1 33,82 237,0 33,82 478,8 K G - 5,74 5,06 0 5,06-1,67 0 0 0 0 K T 1589,8 10056,8 237,0 10056,8 70662,4 33,82 237,0 33,82 478,8 Denklem (3.5) eştlğnde dengelenmemş yük vektörü ve tanjant rjtlk matrs yerne yazılarak artımsal yer değştrmeler elde edlr. Artımsal yer değştrmeye bağlı olarak da terasyon sonundak toplam yer değştrmede denklem (3.3) le elde edlr. ΔD 0,00001 0,00000-0,00000 (1) (0) D D ΔD 0,42381 0,03026 0,21263

56 Denklem (6.1) le denklem (6.5) arasındak denklemlerdek eştlkler kullanılarak lgl parametreler hesaplanmış olur. L (1) = 2,99982 m, s (1) = 0,98997, c (1) = -0,14128, θ A = 0,07088, θ B = -0,14175 Q (1) 16,96872-12,73038 0,00000 R (1) 0,00000 0,00000 0,00000 6. İterasyon: 0,42381 D (0) (0) 0,03026, R 0,21263 0,00000 0,00000 ; 0,00000 s (0) - 0,14128; c (0) 0,98997 L (0) = 2,99982 m Global doğrultudak tanjant rjtlk matrs aşağıda sunulmuştur. K L 1595,5 10061,6 237,0 10061,6 70664,1 33,8 237,0 33,8 478,8 K G - 5,74 5,06 0 5,06-1,67 0 0 0 0

57 K T 1589,8 10056,6 237,0 10056,6 70662,4 33,8 237,0 33,8 478,8 Denklem (3.5) eştlğnde dengelenmemş yük vektörü ve tanjant rjtlk matrs yerne yazılarak artımsal yer değştrmeler elde edlr. artımsal yer değştrmeye bağlı olarak da terasyon sonundak toplam yer değştrmede denklem (3.3) le elde edlr. ΔD - 0,00000-0,00000-0,00000 (1) (0) D D ΔD 0,42381 0,030260 0,21263 Denklem (6.1) le denklem (6.5) arasındak denklemlerdek eştlkler kullanılarak lgl parametreler hesaplanmış olur. L (1) = 2,99982 m, s (1) =0,98997, c (1) =-0,14128, θ A = 0,07088, θ B = -0,14175 Q (1) -16,96872-12,73038 0,00000 R (1) - 0,00000 0,00000 0,00000 Kolon elemanın Newton-Raphson yöntem le knc mertebe analz yapılmış olup, terasyon sayısına bağlı yatay yer değştrme lşks Şekl 6.3 de verlmştr.

58 Şekl 6.3 Kolon elemanın knc mertebe analznden elde edlen Yatay yer değştrme-terasyon lşks Newton-Raphson knc mertebe analz yöntem kullanılarak hesaplanan yer değştrme ve ç kuvvet değerler, Mastan 2 paket programı kullanılarak hesaplanan artımsal yöntem sonuçları le karşılaştırmalı olarak Tablo 6.1 ve Tablo 6.2 de sunulmuştur. Tablo 6.1 İknc mertebe analz sonucunda 2 numaralı düğüm noktasında elde edlen yatay yer değştrme değerler (cm) Düğüm Noktası Brnc Mertebe Analz İknc Mertebe Analz Yöntemler Tek Adımlı Artımsal Newton- Raphson Gelştrlmş Newton- Raphson 2-37,594-42,444-42,381 42,885

59 Tablo 6.2 İknc mertebe analz sonucunda elemanın 2 numaralı düğüm noktasında elde edlen ç kuvvet değerler (kn) İç Kuvvet Brnc Mertebe Analz Tek Adımlı Artımsal Yöntem İknc Mertebe Analz Yöntemler Newton- Raphson Gelştrlmş Newton- Raphson Eksenel Kuvvet -15-16,970-16,969-16,990 Kesme Kuvvet -15-12,729-12,730-12,702 6.2 Sayısal Uygulama 2 Bu çalışmada, Sekulovc ve Salatc (2001) tarafından tasarlanmış, k kat ve tek açıklığa sahp düzlem çelk çerçeve ncelenmştr. Şekl 6.4 le verlen çelk yapı sstemnn artımsal ve pratk yöntemler kullanılarak knc mertebe analz yapılmıştır. Çalışmada ncelenen çelk çerçevenn kolonlar arası mesafes 6,0 m, kat yükseklğ se 4,0 m dr. Çerçevey oluşturan kolon elemanlarının kest alanları 33,4 cm 2, atalet momentler 1510 cm 2 dr. Krş elemanlarının kest alanları 43 cm 2, atalet momentler 2770 cm 4 tür. Çerçevenn 5 le 6 numaralı düğüm noktalarına 100 kn luk tekl düşey yük; 3 le 5 numaralı düğüm noktalarına 0,50 kn luk yatay yük etk etmektedr. 0.50kN 100 kn 100 kn 5 2 6 5 6 4 m 0.50 kn 3 1 4 E = 210 Gpa I krş = 2770 cm 4 I kolon = 1510 cm 4 A krş = 43 cm 2 A kolon = 33,4 cm 2 3 4 1 2 6 m 4 m Şekl 6.4 İk katlı ve tek açıklıklı düzlem çelk çerçeve

60 Düzlem çelk çerçevenn knc mertebe analznden elde edlen kat yatay yer değştrme ve uç moment değerler, referans çalışma sonuçları le karşılaştırılmış ve Tablo 6.3 le Tablo 6.4 de verlmştr. Tablo 6.3 İk katlı ve tek açıklıklı düzlem çelk çerçevenn 3 ve 5 numaralı düğüm noktalarının yatay yer değştrmes (mm.) Düğ. Nok. Nu. Brnc Mertebe Analz Tek Adımlı Artımsal Yöntem Artımsal Yöntemler Newton- Raphson İknc Mertebe Analz Yöntemler Gelştrlmş Newton- Raphson Kng-Chen Yöntem Pratk Yöntemler Drekt P-Delta Yöntem L Yöntem Referans (Sekulovc ve Salatc, 2001) 3 1,271 1,360 1,370 1,370 1,357 1,357 1,360-5 2,326 2,514 2,534 2,536 2,632 2,534 2,600 2,545 Tablo 6.4 İk katlı ve tek açıklıklı düzlem çelk çerçevenn 1 ve 4 elemanlarının moment değerler (kn. cm) Eleman Nu. Brnc Mertebe Analz Tek Adımlı Artımsal Yöntem Artımsal Yöntemler Newton- Raphson İknc Mertebe Analz Yöntemler Gelştrlmş Newton- Raphson Kng-Chen Yöntem Pratk Yöntemler Drekt P-Delta Yöntem L Yöntem Referans (Sekulovc ve Salatc, 2001) 1 11,710 12,440 12,508 12,508 12,540 12,510 12,525 12,480 4 5,886 6,445 6,515 6,515 6,650 6,580 6,580 - Artımsal ve pratk knc mertebe analz yöntemler kullanılarak elde edlen kat sevyes le yatay yer değştrme lşks Şekl 6.5 le verlmştr.

61 Şekl 6.5 Düzlem çelk çerçevenn kat sevyes-yatay yer değştrme lşks Artımsal ve pratk knc mertebe analz yöntemler kullanılarak elde edlen kat yatay yer değştrme ve eleman uç moment değerlernn referans çalışma sonuçları dkkate alınarak bağıl fark oranları hesaplanmış ve Tablo 6.5 le sunulmuştur. Tablo 6.5 Referans çalışmada verlen tepe noktası yer değştrme ve eleman uç moment değerlerne göre hesaplanan bağıl fark oranları İknc Mertebe Analz Yöntemler Tepe noktası yatay yer değştrme bağıl fark oranları (%) 1 numaralı eleman uç moment değer bağıl fark oranları (%) Tek Adımlı Artımsal Yöntem Artımsal Yöntemler Newton- Raphson Gelştrlmş Newton- Raphson Kng-Chen Yöntem Pratk Yöntemler Drekt P-Delta Yöntem L Yöntem 1,22 0,35 0,35 3,42 0,43 2,16 0,32 0,22 0,22 0,48 0,24 0,36 Tablo 6.5 de verlen değerlere göre knc mertebe analz yöntemlernn performansları ncelendğnde Newton-Raphson ve gelştrlmş Newton-Raphson yöntemler referans sonuca en yakın sonuçları, Kng-Chen pratk yöntem se en uzak sonucu vermştr. Çalışmada kullanılan knc mertebe analz yöntemlernn bağıl fark oranları % 3,5 un altında olup elde edlen sonuçların yeterl hassasyette olduğu tespt edlmştr.

62 6.3 Sayısal Uygulama 3 Bu çalışmada, Chan ve Chu (2000) tarafından tasarlanmış, dört kat ve beş açıklığa sahp çelk yapı sstem ele alınmıştır. Şekl 6.6 le verlen bu çelk yapı sstemnn knc mertebe analz artımsal ve pratk yöntemler kullanılarak yapılmıştır. Çalışmada ncelenen çelk çerçevede kolonlar arası mesafe 7,0 m, kat yükseklğ 3,5 m dr. Çerçevey oluşturan kolon elemanların kest alanları 168 cm 2, atalet momentler 22530 cm 2 dr. Krş elemanların kest alanları 129 cm 2, atalet momentler se 61520 cm 4 tür. Yapıya her katta 40 kn/m lk düşey yük ve 50 kn/m lk yatay rüzgar yükü uygulanmıştır. Yapıya etkyen bu servs yükler ve yük katsayısı (1,2) kullanılarak arttırılmış yükler altında çerçeve sstem çözülmüş ve elde edlen sonuçlar referans çalışmada verlen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. 25 40 26 41 27 42 28 43 29 44 30 19 20 21 22 23 24 19 35 20 36 21 37 22 38 23 39 24 13 14 15 16 17 18 13 30 14 31 15 32 16 33 17 34 18 7 8 9 10 11 12 7 25 8 26 9 27 10 28 11 29 12 1 2 3 4 5 6 3,5 m 3,5 m 3,5 m 3,5 m 1 7,0 m 2 7,0 m 3 7,0 m 4 7,0 m 5 7,0 m 6 Şekl 6.6 Çerçeve geometrs ve yapıya etkyen yükler 6.3.1 Düzlem Çelk Çerçevenn Artımsal ve Pratk Yöntemlerle İknc Mertebe Analz Bu sayısal uygulamada; tek adımlı artımsal, Newton-Raphson, gelştrlmş Newton-Raphson artımsal yöntemler ve teratf düşey yük, fktf kolon eleman eklenmes, fktf dyagonal eleman eklenmes pratk yöntemler kullanılarak knc mertebe analz yapılmıştır. Elde edlen kat yatay yer değştrme ve eleman uç moment değerler, referans çalışma sonuçları le karşılaştırılmıştır. Servs yükler altında, seçlen düğüm noktalarına at kat yatay yer değştrmeler Tablo 6.6 da, yük

63 katsayısı le arttırılmış yükler altında, seçlen çubuk elemanlarının uç moment değerler Tablo 6.7 de sunulmuştur. Tablo 6.6 Düzlem çelk çerçevenn seçlen düğüm noktası yatay yer değştrmeler (mm.) Düğ. Nok. Nu. Brnc Mertebe Analz Tek Adımlı Artımsal Yöntem Artımsal Yöntemler Newton- Raphson İknc Mertebe Analz Yöntemler Gelştrlmş Newton- Raphson İteratf Düşey Yük Yönt. Pratk Yöntemler Fktf Kolon Eleman Eklenmes Fktf Dyagonal Eleman Eklenmes 7 26,55 29,50 29,84 29,84 29,77 29,57 29,50-13 34,64 38,05 38,45 38,44 38,36 38,22 38,18-19 38,71 42,23 42,64 42,64 42,51 42,42 42,39 - Referans (Chan ve Chu, 2000) 25 40,33 43,87 44,28 44,28 44,23 44,07 44,03 44,70 Tablo 6.7 Düzlem çelk çerçevenn seçlen çubuk elemanlarına at moment değerler (kn-m) Eleman Nu. Brnc Mertebe Analz Tek Adımlı Artımsal Yöntem Artımsal Yöntemler Newton- Raphson İknc Mertebe Analz Yöntemler Gelştrlmş Newton- Raphson İteratf Düşey Yük Yönt. Pratk Yöntemler Fktf Kolon Eleman Eklenmes Fktf Dyagonal Eleman Eklenmes Referans (Chan ve Chu, 2000) 2 291,19 328,93 333,77 333,77 333,64 333.12 332,57 335,6 12 151,15 154,84 155,30 155,30 155,38 153.04 152,94-18 120,78 122,08 122,23 122,23 122,20 122.20 121,85-24 122,89 123,06 123,07 123,07 123,05 122.94 122,93 - Referans sonuçları dkkate alınarak elde edlen kat yatay yer değştrmeler ve eleman uç momentler çn bağıl fark oranı değerler Tablo 6.8 le verlmştr. Bu değerlere göre knc mertebe analz yöntemlernn brbrlerne göre performansları ncelendğnde Newton Raphson ve gelştrlmş Newton Raphson yöntemler referans sonuca en yakın sonuçları, tek adımlı artımsal yöntem se en uzak sonucu vermektedr. Çalışmada kullanılan tüm yöntemlern bağıl fark oranının % 2 nn altında olduğu tespt edlmştr. Çerçeveye at yapı salınım faktörü değerler ve tavsye edlen sınır değerler se Tablo 6.9 le sunulmuştur.

64 Tablo 6.8 Referans çalışmada verlen tepe noktası yatay yer değştrme ve moment değerlerne göre bağıl fark oranları İknc Mertebe Analz Yöntemler Tepe Noktası Yatay Yer Değştrme Bağıl Fark Oranları (%) İk Numaralı Kolon Uç Moment Değer Bağıl Fark Oranları (%) Tablo 6.9 Çerçeveye at yapı salınım faktörü değerler Yapı Salınım Faktörü Brnc Mertebe Analz (mm) Artımsal Yöntemler Pratk Yöntemler Fktf Gelştrlmş Fktf Kolon Tek Adımlı Newton- İteratf Dyagonal Newton- Eleman Artımsal Raphson Düşey Yük Eleman Raphson Eklenmes Eklenmes 1,86 0,94 0,94 1,05 1,41 1,50 1,99 0,55 0,55 0,58 0,74 0,90 İknc Mertebe Analz Yöntemler UBC Artımsal Yöntemler Pratk Yöntemler (1997) de Tek Fktf tavsye Gelştrl. İteratf Fktf Kolon Adımlı Newton- Dyagonal edlen Newton- Düşey Yük Eleman Artımsal Raphson Eleman sınır Raphson Yönt. Eklenmes Yöntem Eklenmes değer 0,0029 0,0031 0,0032 0,0032 0,0032 0,0031 0,0032 0,0025 Tablo 6.9 dan çerçeveye at yapı salınım faktörü değerlernn tavsye edlen sınır değern üzernde olduğu görülmektedr. 6.3.2 Çeştl Geometrk Formlarda Teşkl Edlmş Merkez Çelk Çaprazlı Çerçevelern İncelenmes Çalışmanın bu bölümünde, çeştl geometrk formlarda çapraz elemanlar kullanılarak yapı salınım faktörü değernn sınır değern altına çeklmes ve kontrol altına alınması hedeflenmştr. Bu amaçla; uygulamada sık kullanılan altı tp merkez çelk çaprazlı çerçeve model teşkl edlmştr. Şekl 6.7 de verldğ gb sadece orta açıklığa kat yükseklğ boyunca çelk çaprazlar düzenlenmş olup merkez çelk çaprazların ve özellklernn yapı davranışına olan etks ncelenmştr.

65 Model 1 Model 2 Model 3 Model 4 Model 5 Model 6 Şekl 6.7 Çeştl formlarda teşkl edlmş merkez çelk çaprazlı çerçeve sstemler Merkez çelk çaprazlı sstemlerde kullanılan çapraz elemanlar kutu kest profllerden ve eleman narnlğ 100 olacak şeklde seçlmştr. Bu durumda, farklı formlarda çapraz elemanlar kullanılarak teşkl edlmş merkez çelk çaprazlı sstemlern Newton-Raphson artımsal yöntem kullanılarak elde edlen kat sevyes le yatay yer değştrme lşks Şekl 6.8 le sunulmuştur.

66 Şekl 6.8 Çeştl geometrk formda çapraz elemanlar kullanılarak teşkl edlmş merkez çelk çaprazlı yapı sstemlerne at kat-yatay yer değştrme lşks Şekl 6.8 den çalışmada kullanılan merkez çelk çaprazlı sstemlern moment aktaran çerçeve sstemlerne göre tepe noktası yer değştrmesn %84-%90 arasında sınırlandırdığı tespt edlmştr. Şekl 6.8, yatay yer değştrmenn sınırlandırılması açısından ncelendğnde, Model 1, dğer çaprazlı sstemlere göre en az, Model 6 se en fazla kat yatay yer değştrmesn sınırlandırmaktadır. Model 5 de, tutulu olmayan düğüm noktaları çapraz brleşm, tutulu olan düğüm noktalarına göre daha fazla yer değştrme yapmıştır. Bu nedenle kat sevyes-yatay yer değştrme eğrs dğer modellernknden farklı çıkmıştır ve bu durum büyük görel kat ötelenmelerne neden

67 olur. Model 6 ncelendğnde en üst katın tüm açıklıklarına X merkez çelk çapraz teşkl edldğnden dolayı tepe noktası yatay yer değştrmes öneml oranda sınırlandırılmıştır. Ayrıca yapı sstemndek çapraz yoğunluğunun yapı davranışına etksn ncelemek amacıyla çerçevenn farklı açıklıklarına kat yükseklğ boyunca merkez X çelk çaprazlar teşkl edlmştr. Çalışmada, lk olarak üçüncü açıklığa, knc olarak brnc ve beşnc açıklığa, son olarak da brnc, üçüncü ve beşnc açıklıklara kat yükseklğ boyunca X formunda merkez çelk çapraz düzenlenmştr. Tepe noktasının yatay yer değştrmes, üçüncü açıklığa X merkez çapraz düzenlendğnde %88, brnc ve beşnc açıklıklara düzenlendğnde %93, brnc, üçüncü ve beşnc açıklıklara düzenlendğnde se %95 mertebesnde moment aktaran çerçeve sstemne göre sınırlandırılmaktadır. Farklı geometrk formlarda çapraz elemanlar kullanılarak teşkl edlen merkez çelk çaprazlı sstemlern knc mertebe analznden elde edlen yapı salınım faktörü değerler Tablo 6.10 le verlmştr. Tablo 6.10 Merkez çelk çaprazlı yapı modellernn yapı salınım faktörü değerler Model 1 Model 2 Model 3 Model 4 Model 5 Model 6 Yapı Salınım Faktörü 0,00051 0,00047 0,00048 0,00037 0,00035 0,00031 Çalışmada ncelenen çeştl geometrk formlarda teşkl edlmş çelk yapı modeller çn elde edlen yapı salınım faktörü değerlernn, moment aktaran çerçeve sstemnden elde edlen yapı salınım faktörü değerne göre öneml oranda azaldığı Tablo 6.10 dan görülmektedr. Çalışmanın bu aşamasında merkez çelk çaprazlı sstemlerde kullanılan çapraz elemanların narnlğnn yapı davranışı üzerne olan etks ncelenmştr. Afet Bölgelernde Yapılacak Bnalar Hakkında Yönetmelk (1997) de narnlk sınırı 100, Deprem Bölgelernde Yapılacak Yapılar Hakkında Yönetmelk (2007) de St-37 çelğ çn 118 olarak verlmştr. Bu çalışmada narnlk değerler değşmn

68 ncelemek çn bu değerler kapsayan ve narnlğ 70 le 140 arasında değşen farklı geometrk formda çapraz elemanlar kullanılmıştır. Bu yapı sstemlernn Newton- Raphson artımsal knc mertebe analz yöntem kullanılarak elde edlen çapraz eleman narnlk değşm le tepe noktası yatay yer değştrme lşks Şekl 6.9 da verlmştr. Şekl 6.9 Merkez çelk çaprazlı yapı modellernn çapraz elemanlarının narnlk- tepe noktası yatay yer değştrme lşks

69 Ayrıca, çapraz elemanın narnlğ %25 ve %50 mertebesnde azaltılarak narnlk değşmnn yapı salınım faktörü üzerne etks ncelenmştr. Farklı geometrk formda teşkl edlmş çelk çaprazlı yapı modellerndek çapraz elemanın narnlk değşmne bağlı yapı salınım faktörü değşm değerler Tablo 6.11 de verlmştr. Tablo 6.11 Çelk yapı modellernn, dyagonal elemanın narnlk değşmne bağlı olarak tepe noktası yatay yer değştrme değşm Çapraz elemanın narnlk değşm (%) Merkez çelk çaprazla teşkl edlen çelk yapı modellernde çapraz elemanın narnlk değşmne bağlı olarak yapı salınım faktöründek değşm (%) Model 1 Model 2 Model 3 Model 4 Model 5 Model 6 25 13 12 12 11 11 14 50 24 23 22 20 19 25 Tablo 6.11 ncelendğnde, çalışmada kullanılan çapraz elemanların narnlğ %25 ve %50 azaltıldığında yapı salınım faktörü değerlernde sırasıyla %11-%14 le %19- %25 arasında br azalma olduğu görülmüştür. 6.4 Sayısal Uygulama 4 Bu bölümde Şekl 6.10 da üç boyutlu hesap model verlen sekz katlı çelk br bna; moment aktaran çerçeve ve merkez çelk çaprazlı taşıyıcı sstemler kullanılarak modellenp brnc mertebe teorsne göre analzler yapılmıştır ve analzden elde edlen sonuçlar kullanılarak çelk yapı modellernn emnyet gerlmeler yöntemne göre boyutlandırması yapılmıştır. Bu analzler çn Sap 2000 paket programından yararlanılmıştır. Yapının kat planı Şekl 6.11 de, tpk sstem en kestler se Şekl 6.12 ve Şekl 6.13 de verlmştr. Çelk bna, X yönünde 6,0 m lk dört açıklığa, Y yönünde se 6,0 m lk üç açıklığa sahptr. Kat yükseklğ se her katta eşt olup 3,0 m dr. Akslardak çerçeve krşlernn kolonlara bağlantısı tam rjt ve kolonların ±0.00 kotunda, temele ankastre mesnetlendğ varsayılmıştır. Taşıyıcı sstemn krşler çn IPE, kolonları çn se HEB profller kullanılmıştır. Çelk yapının tüm elemanlarında St-37 kaltesnde çelk malzeme kullanılmıştır.

Şekl 6.10 Yapının üç boyutlu hesap model 70