ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme özel yöntemler geliştirmek gereklidir Fakat lineer durumda çözümlerin en temel özellikleri için kapsamlı bir teori mevcuttur, hatta sabit katsayılı durumda denklemin veye sistemin çözümü açık olarak elde edilebilir u bölümde lineer diferansiyel denklem sistemlerinin çözümlerinin elde edeceğimiz bazı temel özellikleri, lineer olmayan sistemler için de temel oluşturur 2 Giriş Şimdi x(t):= (x (t), x 2 (t),, x n (t)) T bilinmeyen bir vektörel fonksiyon, i, j =,2,,n olmak üzere a ij (t)veb i (t) fonksiyonları da (r,r 2 ) aralığında verilmiş sürekli fonksiyonlar olmak üzere, birinci mertebeden n boyutlu x i = a ij (t)x j + b i (t), i =,2,,n (2) j = lineer sistemini ele alalım Eğer (t) ile n n boyutlu a ij (t) matrisini, (t) ile de (b (t),b 2 (t),,b m (t)) T vektörünü gösterirsek (2) sistemini x = (t)x + (t) (22) olarak ifade edebiliriz ve matrisleri kapalı bir bölgede sürekli ise f (t, x):= (t)x +(t) fonksiyonunun her iki değişkene göre türevleri sürekli olacaktır, dolayısıyla bu bölgede Lipschitz koşulu sağlanır öylece Teorem 224 gereği (t) ve(t) matrislerinin sürekli sürekli olduğu kapalı bir bölgede (22) denklemi ile verilen bir başlangıç değer probleminin tek bir çözümü vardır (22) tipindeki lineer denklemlerin önemli bir özelliği süperpozisyon ilkesi denilen şu özelliktir x (t) fonksiyonu (22) sisteminin (t) = (t) için bir çözümü, x 2 (t) fonksiyonu da aynı sistemin (t) = 2 (t) için bir çözümü olsun u durumda c ve c 2 verilmiş skaler sabitler olmak üzere x(t) = c x (t)+c 2 x 2 (t) fonksiyonu (22) sisteminin (t) = c (t)+c 2 2 (t) için bir çözümü 33
34 ölüm 2 L ıneer S ıstemler olur Gerçekten bunu x (t) = c x (t) + c 2x 2 (t) = c ((t)x (t) + (t)) + c 2 ((t)x 2 (t) + 2 (t)) = (t)(c x (t) + c 2 x 2 (t)) + c (t) + c 2 2 (t) = (t)x(t) + (t) olarak gözlemleyebiliriz Özel olarak x (t)vex 2 (t) fonksiyonları aynı x = (t)x (23) lineer homojen sisteminin çözmleri iseler, bu durumda x(t) = c x (t)+c 2 x(t) fonksiyonu da (23) sisteminin bir çözümü olur Dahası, eğer x (t) fonksiyonu (22) sisteminin bir çözümü ise, x 2 (t) fonksiyonunun da (22) sisteminin bir çözümü olması için gerek ve yeter koşul x (t) x 2 (t) fonksiyonunun (23) sisteminin bir çözümü olmasıdır Süperpozisyon ilkesi daha soyut bir biçimde şöyle de ifade edilebilir (t) fonksiyonu bir L vektör uzayının elemanlarını tarasın, ayrıca her (t) 2 L için (22) sisteminin tek bir çözümü olsun u durumda (22) sisteminin çözümlerinin kümesi olan Y kümesi bir vektör uzayıdır Lineer sistemlerin kalitatif özelliklerinin araştırılmasında matrisler teorisi çok önemlidir Şimdi matrislerle ilgili ihtiyacımız olacak bazı bilgileri özetleyelim Okuyucu bu bilgileri lineer cebir derslerinden hatırlayacaktır Sadece elemanları reel değerli olan kare matrislerle ilgileneceğiz ir = a ij matrisinin normunu tüm elemanlarının mutlak değerce toplamı olarak, yani kk := i,j = Ø aij Ø Ø (24) olarak tanımlarız Matrislerin bir { n } dizisi, eğer n!için k n k! ise, matrisine yakınsaktır denir yrıca auchy yakınsaklık kriteri matrisler için de geçerlidir Matrislerin bir serisinin kısmi toplamlar dizisi yakınsak ise ilgili seri de yakınsaktır ir matrisinin determinantını det veya ile, transpozunu T ile, ve izinin (esas köşegen üzerindeki elemanları toplamını) Tr ile göstereceğiz ir matrisisnin terslenebilir olması için gerek ve yeter koşul det 6= olmasıdır I ile n boyutlu birim matrisi gösterelim, n n boyutlu bir kare matrisi için değişkeninin n inci dereceden f ( ) = det( I ) polinomuna matrsinin karakteristik polinomu, bu polinomun köklerine de bu matrisin özdeğerleri denir Tüm özdeğerlerinin çarpımının det değerine, toplamının da Tr değerine eşit olduğu kolayca doğrulanabilir ir özdeğeri için x = x eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı x vektörüne, matrisinin özdeğerine karşılık gelen öz vektörü denir ve iki matris olsun Eğer = T T eşitliği sağlanacak şekilde bir terslenebilir T matrisi varsa, ile matrislerine benzer matrisler denir enzer matrislerin karakteristik polinomlarının aynı olduğu kolayca doğrulanabilir ir kare matrisinin Jordan kanonik biçimi ile ilgili aşağıdaki temel sonucu hatırlayalım Teorem 2 k + k 2 ++k r = n olmak üzere, 2,, r sayıları n n boyutlu matrisinin k,k 2,,k r katlı özdeğerleri olsun u durumda L ( j ):= j ve j j L k j ( j ):= j j Yrd Doç Dr Süleyman ÖĞREKÇİ
2 Giriş 35 olmak üzere L k ( ) T L k2 ( 2 ) T = L kr ( r ) olacak şekilde terslenebilir bir T matrisi vardır Özel olarak eğer matrisinin tüm özdeğerleri farklı ise T 2 T = n olacak şekilde terslenebilir bir T matrisi vardır Örnek 22 6 6 boyutlu bir matrisinin özdeğerleri = 2 =, 3 = 4 = 5 = 6ve 6 = 3 biçiminde olsun u durumda r = 3, k = 2, k 2 = 3, k 3 = ve 6 L 2 () =, L 3 (6) = 6, L (3) = 3 6 biçimindedir Dolayısıyla T T = olacak şekilde bir T matrisi vardır 6 6 6 3 = 6 6 6 3 Şimdi de kompleks özdeğerler bulunması durumunu ele alalım n n matrisinin, 2,, r özdeğerleri reel, u,u 2,,u m özdeğerleri de kompleks olsun u kompleks özdeğerler u i = u i biçiminde olsun u durumda r + m = n olacaktır Æ k ve Ø k sayıları u k = Æ k + iø k ve u k = Æ k iø k eşitliğini sağlayan sayılar olsun u durumda 2 r T T = Æ Ø Ø Æ Æ 2 Ø 2 Ø 2 Æ 2 olacak şekilde bir T matrisi vardır
36 ölüm 2 L ıneer S ıstemler Örnek 23 = 2 9 2 olsun u durumda det( I ) = ( + )( 2 + 4 + 3) olup özdeğerler =, u = 2 + 3i, u 2 = 2 3i olarak tespit edilir öylece T T = olacak şekilde bir T matrisi vardır 2 3 3 2 Uyarı 24 İki boyutlu lineer sistemler için Jordan kanonik formları özetleyelim Œ (i) 2 2 matrisinin farklı iki ve özdeğeri varsa T T = olacak şekilde bir T matrisi vardır (ii) 2 2 matrisinin çift katlı bir özdeğeri varsa, bu özdeğere karşılık gelen öz vektörlerin lineer bağımsız veya bağımlı olması durumuna karşılık sırasıyla T T = olacak şekilde bir T matrisi vardır veya T T = (iii) 2 2 matrisinin özdeğerleri Æ ± iø ise T Æ Ø T = Ø Æ olacak şekilde bir T matrisi vardır 22 Çözümler ve Temel Özellikleri Homojen Denklemler u bölümde x(t):= (x (t), x 2 (t),, x n (t)) T bilinmeyen n boyutlu bir vektörel fonksiyon ve := aij de (r,r 2 ) aralığında verilen sürekli n n boyutlu bir matris fonksiyonu olmak üzere x = (t)x (22) lineer homojen denklem sisteminin çözümlerinin temel özelliklerini araştıracağız (22) denkleminin çözümlerinin herhangi bir kombinasyonu yine (22) denkleminin bir çözümü olur j =,2,,n olmak üzere j (t) fonksiyonları (22) denkleminin çözümleri ve c j ler de keyfi sabitler olsun yrıca (t):= c j j (t) j = Yrd Doç Dr Süleyman ÖĞREKÇİ
22 Çözümler ve Temel Özellikleri 37 fonksiyonunu tanımlayalım uradan türev alarak (t) = c j j (t) = c j (t) j (t) = (t) c j j (t) = (t) (t) j = j = elde ederiz ki bu da (t) fonksiyonunun (22) denkleminin bir çözümü olduğunu gösterir Dikkat edilmelidir ki (t) fonksiyonu (r,r 2 ) aralığında (22) denkleminin bir çözümüdür Hatta aşağıda kanıtlayacağımız gibi bu çözüm (22) denkleminin (t ) = koşulunu sağlayan tek çözümüdür Lemma 22 t 2 (r,r 2 ) ve (t) fonksiyonu (22) denkleminin (t ) = koşulunu sağlayan çözümü olsun u durumda t 2 (r,r 2 ) için (t) olur İspat (t) fonksiyonu (r,r 2 ) aralığında (22) denklemini ve (t ) = başlangıç koşulunu sağlar Çözümün tekliği gereği bundan başka çözüm yoktur v (t), v 2 (t),, v n (t) fonksiyonları bir I aralığında tanımlı olsunlar Her t 2 I için c i v i (t) = i= eşitliği sadece c = c 2 ==c n = için sağlanıyorsa bu v i (t) fonksiyonları I aralığında lineer bağımsızdır denir ksi taktirde bu fonksiyonlar lineer bağımlıdır Teorem 222 (t), 2 (t),, n (t) fonksiyonları (r,r 2 ) aralığında (22) denkleminin lineer bağımsız çözümleri olsunlar u durumda c j j (t) j = lineer kombinasyonu c ==c n = olmadıkça (r,r 2 ) aralığındaki hiç bir t için sıfır olmaz İspat (t):= P n j = c j j (t) tanımlayalım u durumda denklem lineer olduğundan (t) fonksiyonu (22) denkleminin bir çözümü olur Eğer bir t 2 (r,r 2 )için (t ) = oluyorsa Lemma 22 gereği (r,r 2 ) aralığında (t) olur u ise lineer bağımsızlıkla çelişir, o halde (t) fonskiyonu (r,r 2 ) aralığında hiçbir zaman sıfır olamaz Tanım 223 (Temel çözüm) (22) denkleminin (r,r 2 ) aralığındaki (t), 2 (t),, n (t) çözümleri eğer bu aralıkta lineer bağımsız iseler, bu durumda bu çözümlere (22) denkleminin bir temel çözümler sistemi denir Teorem 224 (22) denkleminin bir temel çözümler sistemi her zaman vardır j = İspat (t), 2 (t),, n (t) fonksiyonları (r,r 2 ) aralığında (22) denkleminin j (t ) = e j, j =,2,,n başlangıç koşullarını sağlayan çözümleri olsunlar urada t 2 (r,r 2 )vee j ler de R n in birim vektörleridir Çözümün tekliği gereği, bu çözümler farklı başlangıç koşullarını sağladıklarından, birbirlerinden farklıdırlar u çözümlerin (r,r 2 ) aralığında lineer bağımsız olduklarını iddia ediyoruz Varsayalım ki bu yanlış olsun, bu durumda hepsi birden sıfır olmayan c j sabitleri için (t):= c j j (t), t 2 (r,r 2 ) j =
38 ölüm 2 L ıneer S ıstemler olur öylece (t ) = c j j (t ) = c j e j = (c,c 2,,c n ) = j = j = elde ederiz uradan c = c 2 ==c n = elde edilir ki bu da fonksiyonların lineer bağımsız olmasıyla çelişir Sonuç 225 (22) denkleminin her çözümü, temel çözümler sisteminin elemanlarının bir lineer kombinasyonu olarak yazılabilir İspat t 2 (r,r 2 ) olmak üzere x(t) fonksiyonu (r,r 2 ) aralığında (22) denkleminin x(t ) = x := (x, x 2,,x n ) T başlangıç koşulunu sağlayan çözümü olsun yrıca j =,2,,n olmak üzere j (t) fonksiyonları da (22) denkleminin j (t ) = e j koşullarını sağlayan bir temel çözümler sistemi olsun Şimdi (t):= x j j (t) olarak tanımlarsak (t) fonksiyonunun (22) denklemini sağladığı açıktır yrıca (t ) = j = x j e j = (x, x 2,,x n ) = x j = olur Çözümün tekliği gereği böylece t 2 (r,r 2 ) için (t) x(t) elde edilmiş olur Uyarı 226 Elde ettiğimiz bu sonuçlar bize (22) denkleminin tüm çözümlerinin n boyutlu bir vektör uzayı oluşturduğunu gösterir (22) denkleminin her çözümü temel çözümler cinsinden yazılabildiği için bu denklemin çözümlerinin özelliklerini araştırmak için sadece n tane temel çözümünü ele almak yeterlidir Œ Şimdi j inci sütunu (22) denkleminin j (t ) = e j koşulunu sağlayan çözümü j (t):= j, 2j,, nj T vektörü biçiminde olan n n matrisini (t) ile gösterelim Yani (t) j (t) n (t) (t):= n (t) nj (t) nn (t) olarak tanımlayalım (t ) = I eşitliğinin sağlandığı açıktır Sonuç 227 Yukarıda tanımlanan (t) matrisi (t) = (t) (t) (222) matris diferansiyel denklemini ve (t ) = I eşitliğini sağlar yrıca (22) denkleminin x(t ) = x başlangıç koşulunu sağlayan x(t) çözümü x(t) = (t)x eşitliğini sağlar İspat Her j (t) sütunu (22) denkleminin bir çözümü olduğundan her j =,2,,n için j (t) = (t) j (t) eşitliği sağlanır u da (222) eşitliğinin sağlandığını gösterir Şimdi x := (x, x 2,,x n ) T olsun u durumda Sonuç 225 gereği x(t) = x j j (t) j = eşitliği sağlanır u eşitliğin sağ tarafı (t)x matris çarpımı olduğundan x(t) = (t)x eşitliği elde edilmiş olur Yrd Doç Dr Süleyman ÖĞREKÇİ
22 Çözümler ve Temel Özellikleri 39 Tanım 228 (Wronskian) Sütunları (22) denkleminin (t),, n (t) çözümlerinden oluşan (t) matrisinin determinantı olan skaler W (t):= det (t) fonksiyonuna (t),, n (t) fonksiyonlarının Wronskianı denir Tanım 229 (Temel matris) Sütunları (22) denkleminin lineer bağımsız olan (t),, n (t) çözümlerinden oluşan (t) matrisine (22) denkleminin bir temel matrisi denir Teorem 22 (bel-liouville formülü) (t) matrisi (22) denkleminin bir temel matrisi ve t 2 (r,r 2 ) olsun u durumda Z t W (t) = W (t )exp Tr (s)ds, t 2 (r,r 2 ) t eşitliği sağlanır İspat W (t) = det (t) fonksiyonunun türevini hesaplamak için Jacobi türev formülü olarak bilinen formülü kullanacağız u formüle göre herhangi bir (t) kare matrisi için d dt det (t) = Tr adj (t) d dt (t) eşitliği geçerlidir urada (t) matrisinin sütunları lineer bağımsız olduğundan bu matris terslenebilirdir, dolayısıyla bu eşitlikte adj (t) (t) = det (t) eşitliğini kullanarak d dt det (t) = Tr (t) det (t) d dt (t) eşitliğini elde ederiz Diğer yandan Sonuç 227 gereği (t) matrisi (t) = a ij (t) olmak üzere = (t) eşitliğini sağlar unu da yukarıdaki eşitlikte kullanarak ve gerekli düzenlemeleri yaparak d eşitliğine, yani dt det (t) = Tr (t) det (t) (t) (t) = Tr (det (t) (t)) = det (t) Tr ((t)) W (t) = Tr ((t)) W (t) skaler diferansiyel denklemine varırız ki bu da ispatı tamamlar Üstel fonksiyon hiç bir zaman sıfır olmadığından bu sonuçtan, eğer bir t 2 (r,r 2 ) için W (t ) = oluyosa bu durumda her t 2 (r,r 2 ) için W (t) = olacağını anlıyoruz şağıda daha genel bir sonuç elde edeceğiz Teorem 22 (222) denkleminin çözümü olan bir (t) matrisinin (22) denkleminin bir temel matrisi olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır W (t) 6=, t 2 (r 2,r 2 ) İspat Sütunları (22) denkleminin çözümleri olan j (t) vektörlerinden oluşan (t) matrisi (22) denkleminin bir temel matrisi olsun Şimdi (t) fonksiyonu (22) denkleminin herhangi bir çözümü olsun, bu durumda (t) = c j j (t) j =
4 ölüm 2 L ıneer S ıstemler olacak şekilde aynı anda hepsi sıfır olmayan c j sabitleri vardır (22) denkleminin çözümlerinin tekliği gereği ayrıca bu sabitler tektir Eğer c := (c,c 2,,c n ) T olarak tanımlarsak bu eşitliği (t) = (t)c biçiminde yazabiliriz Her t 2 (r,r 2 ) için bu eşitlik n tane c,,c n bilinmeyenlerinin bir lineer denklem sistemini belirtir ve çözüm tektir Dolayısıyla (t) matrisinin determinantı sıfırdan farklıdır Diğer taraftan, eğer t 2 (r,r 2 ) için W (t) 6= ise bu aralıkta j (t) sütun vektörleri lineer bağımsızdır u vektörler (22) denkleminin çözümleri olduklarından (t) matrisi bir temel matristir Uyarı 222 Herhangi bir matrisin determinantı, sütunları lineer bağımsız olsa bile, sıfır olabilir Örneğin t 2 t 4 (t) = e t e t matrisinin determinantı sıfırdır ve sütunları herhangi bir aralıkta lineer bağımsızdır u sütunlar aynı lineer denklemin çözümleri olmadıklarından bu durum Teorem 22 sonucu ile çelişmez Œ Örnek 223 (İkinci mertebeden lineer denklemler) p(t)veq(t) fonksiyonları (r,r 2 ) aralığında sürekli olsunlar Eğer y (t)vey 2 (t) fonksiyonları bu aralıkta y + p(t)y + q(t)y = (223) denkleminin W 2 (y, y 2 ) = y y 2 y y 2 6=, t 2 (r,r 2 ) koşulunu sağlayan çözümleri iseler, bu durumda diğer çözümlerin de bu iki çözümün lineer kombinasyonundan oluştuğunu kanıtladık Şimdi bu denklem üzerinde bu durumu gözlemleyeceğiz ir y 3 (t) fonksiyonu (223) denkleminin bir çözümü olsun u durumda y y y + p(t)y + q(t)y = 2 + p(t)y 2 + q(t)y 2 = 3 + p(t)y 3 + q(t)y 3 = eşitlikleri sağlanır İlk eşitliği y 2 ile ve ikinci eşitliği y ile çarpıp toplarsak y y 2 y y 2 + p(t) y y 2 y y 2 = denklemine, yani W 2 + p(t)w 2 = denklemine ulaşırız uradan da t W 2 (t) = k 2 exp Z p(s)ds elde ederiz, k 2 6= olduğu açıktır enzer şekilde y 2 y 3 + y 2 y 3 = W 23(t) = k 23 exp R t p(s)ds y y 3 + y y 3 = W 23(t) = k 3 exp R t p(s)ds Yrd Doç Dr Süleyman ÖĞREKÇİ
22 Çözümler ve Temel Özellikleri 4 eşitlikleri elde edilebilir unlardan ilk eşitliği y ile, ikincisini de y 2 ile çarpıp toplarsak W 2 (t)y 3 (t) = k 23 y (t) + k 3 y 2 (t) t exp Z p(s)ds eşitliğine varırız, buradan da olduğu sonucuna varırız y 3 (t) = k 23 k 2 y (t) + k 3 k 2 y 2 (t) Teorem 224 matrisi (22) denkleminin bir temel matrisi ve de terslenebilir herhangi bir matris olsun, bu durumda matrisi de (22) denkleminin bir temel matrisi olur yrıca (22) denkleminin her temel matrisi bir terslenebilir matrisi için biçiminde yazılabilir İspat (t) matrisi (22) denkleminin bir temel matrisi ise Sonuç 227 gereği ( (t)) = (t)( (t)) eşitliği sağlanır ve dolayısıyla (t) matrisi (222) denkleminin bir çözümü olur yrıca det( ) = det det 6= olduğundan matrisi (22) denkleminin bir temel matrisi olur Şimdi (22) denkleminin herhangi iki ve 2 temel matrisi için 2 = olacak şekilde terslenebilir bir matrisinin var olduğunu gösterelim (t) 2(t) =: (t) tanımlayalım, bu durumda 2 = eşitliği sağlanır u eşitliğin türevini alarak 2 = + eşitliğini elde ederiz u eşitlikte (222) denklemini kullanırsak 2 = + ve = sonucuna varırız Dolayısıyla isteniln özelliklerde terslenebilir bir sabit := matrisi bulunmuş olur Uyarı 225 Şu hususlara dikkat edilmelidir Öncelikle yukarıdaki teoremin iddiası matrisi için doğru değildir yrıca iki farklı lineer homojen sistem aynı temel matrise sahip olamaz Dolayısıyla matrisi matrisini belirler, bunun tersi doğru değildir Œ Uyarı 226 Yukarıdaki teorem bize (t ) = I kısıtlamasının gerekli olmadığını, elde ettiğimiz sonuçların herhangi bir başlangıç koşulu için de geçerli olduğunu gösterir Çünkü := (t ) seçersek (t):= (t) matrisi (t ) = I koşulunu sağlayan bir temel matris olur Œ Mertebenin Düşürülmesi ir I := [a,b] aralığında n n boyutlu x = (t)x (224) sisteminin lineer bağımsız r tane çözümü biliniyorsa, bunları kullanarak (224) problemini n r boyutlu bir lineer sistemi çözme problemine indirgeyebiliriz Şimdi bu indirgeme işlemini açıklayacağız Öncelikle (224) sisteminin bilinen lineer bağımsız r tane çözümünün oluşturduğu n r boyutlu matrisi X r (t) ile gösterelim yrıca aşağıdaki sekilde gösterildiği gibi X r (t) matrisinin ilk r r boyutlu bloğunu X r (t) ile, kalan (n r ) r boyutlu bloğunu da X r2 (t) ile gösterelim X r (t):= = X r (t) X r2 (t)
42 ölüm 2 L ıneer S ıstemler Şimdi I aralığının t 2 I ve her t 2 I için det X r (t) 6= olacak şekilde bir I := [Æ,Ø] alt aralığının var olduğunu varsayalım ve n n boyutlu Y (t) matrisini Xr (t) Y (t):= X r2 (t) I n r (225) olarak tanımlayalım, bu durumda t 2 I için dety (t) = det X r (t) 6= olacaktır u matrisin tersini hesaplamak için bloklara ayırarak matris çarpımından faydalanarak Y X r (t):= (t) X r2 (t)x r (t) I n r (226) elde ederiz yrıca (225) eşitliğinde doğrudan türev alarak Y Xr (t) (t):= (t) X r2 (t) (227) eşitliğinin sağlandığı kolayca görülebilir Diğer yandan r r boyutlu (t) matrisini, (n r ) (n r ) boyutlu 22 (t) matrisini ve diğer 2 (t) ile 2 (t) matrislerini (t) 2 (t) (t) = (228) 2 (t) 22 (t) eşitliği ile tanımlayalım yrıca r boyutlu y vektörünü ve (n r ) boyutlu y 2 vektörünü de y y := y 2 (229) olacak şekilde tanımlayalım Şimdi (224) sisteminde yeni bir y değişkeni için x = Y (t)y değişken dönüşümünü uygularsak Y (t)y = (t)y (t)y ) Y (t)y + Y (t)y = (t)y (t)y olduğundan y = Y (t) (t)y (t) Y (t) y (22) yeşitliğini elde ederiz Eğer (225), (226), (227), (228) ve(229) ifadelerini (22) eşitliğinde yerine yazarsak (t)y (t) Y Xr (t) (t) = (t)y (t) (t) X r2 (t) Xr (t) = (t) Y (t) Xr (t) = (t) X r2 (t) = (t) I n r (t) 2 (t) = = 2 (t) 2 (t) 22 (t) 22 (t) X r2 (t) I n r Xr (t) X r2 (t) I n r Yrd Doç Dr Süleyman ÖĞREKÇİ
22 Çözümler ve Temel Özellikleri 43 olduğundan y y 2 = = X r (t) 2 (t) X r2 (t)x r (t) I n r 22 (t) X r (t) 2 (t) X r2 (t)x r (t) 2 (t) + 22 (t) y y y 2 y 2 eşitliğine, yani y = X r (t) 2 (t)y 2 (22) y 2 = X r2 (t)x r (t) 2 (t) + 22 (t) y 2 (222) sistemine ulaşırız Dikkat edilirse (222) denklemi y 2 bilinmeyeninin (n r ) (n r ) boyutlu lineer bir sistemidir, bunun çözümü elde edilebilirse (22) denkleminde yerine yazılarak bu denklemin de çözümü elde edilir öylece n tane çözümün tamamı elde edilmiş olur Unutulmamalıdır ki bu yöntem sadece I alt aralığında geçerlidir, tüm I aralığında değil Homojen Olmayan Denklemler Şimdi n boyutlu bilinmeyen bir x vektörü, verilen n n boyutlu ve (r,r 2 ) aralığında sürekli bir (t) matrisi ve aynı aralıkta sürekli olan verilmiş bir (t) n boyutlu vektörü için x = (t)x + (t) (223) denklemini ele alalım u denkleme n inci mertebeden homojen olmayan lineer sistem denir ve sürekli olduğundan bu denklemin bir başlangıç değer probleminin tek çözümü vardır (22) ve(223) sistemleri arasında yakın ilişki vardır Eğer (22) denkleminin bir temel matrisi biliniyorsa, bu durumda (223) denkleminin çözümleri de bundan faydalınalarak elde edilebilir Teorem 227 (Sabitlerin çeşitlenmesi formülü) (t) ile (22) denkleminin (t ) = I koşulunu sağlayan temel matrisini gösterelim u durumda t 2 (r,r 2 ) olmak üzere (223) denkleminin x(t ) = x başlangıç koşulunu sağlayan çözümü eşitliği ile verilir Z t x(t) = (t)x + (t) (s)(s)ds t (224) İspat Sonuç 227 gereği (22) denkleminin y(t ) = x koşulunu sağlayan y(t) çözümünün y(t) = (t)x olduğunu biliyoruz Şimdi c vektörünün sabit olmayıp, t 2 (r,r 2 ) için değişken bir c(t):= (c (t),c 2 (t),,c n (t)) T, c(t ) = x vektörü olduğunu varsayıp x(t):= (t)c(t) fonksiyonunun (223) denkleminin çözümü olması için (bu mümkün ise) c(t) fonksiyonunun ne olması gerektiğini araştıralım Varsayalım ki x(t) = (t)c(t), c(t ) = x (225) fonksiyonu (223) denkleminin bir çözümü olusn u durumda türev alarak eşitliğini, yani x (t) = (t)c(t) + (t)c (t) (t)x(t) + (t) = (t) (t)c(t) + (t)c (t) = (t)x(t) + (t)c (t)
44 ölüm 2 L ıneer S ıstemler eşitliğini elde ederiz u eşitlikten de anlaşıldığı gibi (t) = (t)c (t) eşitliği sağlanır yrıca bir temel matris olduğundan tersi vardır, dolyaısıyla c (t) = (t)(t), c(t ) = x eşitliği sağlanır uradan da Z t c(t) = x + (s)(s)ds t elde edilir ki böylece (225) gereği ispat tamamlanır Uyarı 228 Temel matris ve bunun tersini içerdiğinden hesaplamalarda (224) formülü n > 3 için kullanışlı değildir n = 3 durumunda bile temel matrisi hesaplamak çok zordur, yada imkansızdır Fakat bu formül çözümlerin kalitatif özelliklerinin araştırılmasında çok önemli bir araçtır azı kullanım alanlarını ilerleyen bölümlerde göreceğiz Œ Uyarı 229 f (t, x) fonksiyonu r < t < r 2 ve kxk <bölgesinde sürekli olmak üzere x = (t)x + f (t, x) (226) denklemi için de (224) benzeri bir formül benzer bir yöntemle elde edilebilir u durumda (t) ile (22) denkleminin (t ) = I koşulunu sağlayan bir temel matrisi gösterilmek üzere, (226) denkleminin x(t ) = x koşulunu sağlayan çözümü eşitliğini sağlar Œ Z t x(t) = (t)x + (t) (s)f (s, x(s))ds t (t) matrisinin sabit bir matris olması durumunda, yani x = x + (t) (227) denklemi için (224) formülü daha da basitleşir Sıradaki sonuçla bunu veriyoruz Teorem 222 (t) matrisi x = x denkleminin () = I koşulunu sağlayan bir temel matrisi olsun u durumda (227) denkleminin x(t ) = x koşulunu sağlayan çözümü ile verilir Z t x(t) = (t)x + (t s)(s)ds, t t 2 (r,r 2 ) İspat Her Æ reel sayısı için (t) (Æ) = (t Æ) olduğunu göstereceğiz (t) matrisi x = x denklemini sağladığından (t) := (t) (Æ) matrisi de aynı denklemi ve (Æ) = I başlangıç koşulunu sağlar Diğer yandan 2 (t):= (t Æ) fonksiyonu da 2 (t) = (t Æ) = (t Æ) = 2 (t) olup x = x denklemini sağlar yrıca başlangıç koşulu da 2 (Æ) = () = I biçimndedir öylece çözümün tekliği gereği (t) 2 (t) olmalıdır Yrd Doç Dr Süleyman ÖĞREKÇİ