TRİGONOMETRİ Trignmetri, astrnmi çalışmaları sırasında dğan ve gelişen bir matematik dalıdır. Trignmetri ile ilgili en eski bilgiler, milattan önce 7 5 ıllarında aşaan Hipparchus a aittir. Hipparchus, astrnmideki bazı hesaplamaları apmak için çember kirişlerinin uzunlukları ve küresel üçgenler üzerinde çalışmıştır. Milattan snra I. üzılda Menelaus ile VI. üzılda aşaan Hintli bilgin rabhata da kirişler üzerinde çalışmıştır. Fakat mdern anlamda düzlemsel ve küresel trignmetrii geliştiren ve trignmetrik fnksinları ilk defa kesin şekilde frmüle edenler Türk ve rap bilim adamları lmuştur. Will Durant, rf. Dr. Hitti, rra da Vu ve Dr. Sigrid Hunke gibi birçk bilim adamı ve tarihçi, düzlemsel ve küresel trignmetrinin sekizinci üzıldan kurulup geliştiğini kesin bir şekilde belirtmektedirler. Dr. Sigrid Hunke şöle der: Türk ve rap bilim adamları, gerçek manasıla, Yunanlılarda bulunmaan düz ve küresel trignmetrinin kurucularıdır. Onların bu sahada sn derece verimli gelişmelerine Menelaus un transversal terisi sebep ldu. u terinin erine sinüs ve tanjant kaidelerini erleştirdiler. ölece astrnmi ve gemicilikte şimdie kadar işlenmemiş bir sahaı ekime elverişli bir hale getirdiler. Trignmetrinin kuruluşunda ve gelişiminde emeği geçen bilim adamlarından en önemlileri Sabit in Kura (8 9, attani (858 99, uzcanlı (94 998 ve Giaseddin emşit tir. (? 49 Jhann Müler (46 476 dğu dünasınca bilinen trignmetri bilgilerini derleerek bir kitap azmıştır. u kitabın 5 te basılmasından snra trignmetri batıda da agınlaşmış ve bugünkü halini almıştır. 8. üzıldan snra Jhann ernlli, tes, De Mivre ve Euler gibi matematikçiler kmpleks değerli trignmetrik fnksinları geliştirdiler. Hiperblik fnksinlar ise Lambert tarafından bulundu.
İnsanğlu, astrnmi çalışmalarına başlamasıla, hesaplamalarında üçgenler ile ilgili işlemler apmaa daha çk ihtiaç hissetmiş ve bu işlemlerinde gemetrideki çizim llarından daha tutarlı ve kesin snuçlar elde edilebileceği mettlar araştırmıştır. Trignmetri de bu araştırmaların snucu larak dğmuştur. Trignmetri, ilk zamanlarda astrnminin bir bölümü saılırken 8. üzılda matematiğin arı bir dalı larak kabul edilmiştir. * Trignmetri sözcüğü Yunanca trigs (üçgen metrn (ölçüm sözcüklerinin birleşiminden elde edilmiştir. Trignmetri, üçgenlerin kenarları ile açıları arasındaki matematiksel ilişkileri araştırmaa arar ve ulaşılan bu snuçlar ile çk kenarlı şekillerin kenar, köşegen ve açılarının hesaplanmasını sağlar. u hesaplamalarda trignmetrik fnksinlar larak adlandırılan fnksinlardan ararlanılır. * İtala da bulunan iza kulesi eğikliği ile ünlüdür. 9 ılında 5 4'46'' ılında 5 '5'' e ükseltilmiştir. larak ölçülen iza kulesinin eğim açısı * Trignmetrik fnksinların ilk ugulamaları astrnmi, haritacılık, rta taini, kan basıncı ölçümü, mekanik ve elektrnik mühendisliği bu sahalardan alnızca birkaçıdır. ian tuşundan çıkan sesten, telefn knuşmalarımıza, televizn görüntü dalgalarından, uza çalışmalarına uzanan birçk saha trignmetrinin ugulama alanına girmektedir. u bölümde gemetri derslerinde gördüğünüz açı, açı ölçüsü, a ve çember gibi kavramlar üzerinde kısaca duracak ve bazı özelliklerini hatırlaacağız. Trignmetri knusunun tamamında kullanacağınız bu kavramları dikkatlice çalışıp öğrenmenizi tavsie ederiz. çı aşlangıç nktaları anı lan iki ışının birleşim kümesine açı denir. [O ve [O ışınlarının birleşiminden luşan açı; O açısı vea O açısı şeklinde ifade edilir. O açısı; [ O [ O, O, O vea O ifadelerinden birisi ile gösterilir. O başlangıç nktasına açının köşesi, [O ve [O ışınlarına da açının kenarları denir. çının [O kenarı O çının Köşesi çının [O kenarı
ÇI OLÇÜ İRİMLERİ Derece: ir çemberin tüm aının ölçüsü 6 dir. ir çemberin 6 ını gören merkez açının ölçüsü derece ( dir. ( nin 6 ine dakika ( ', ( ' nın ine sanie ( '' denir. 6 una göre ( = ( 6 ' = ( 6 '' dir. Radan: ir çemberin tüm aının ölçüsü radandır. ir çemberde arıçap uzunluğundaki bir aı gören merkez açının ölçüsü radandır. Grad: ir çemberin tüm aının ölçüsü 4 graddır. ir çemberin ini gören merkez açının graddır. 4 D = R = G 8 Sru: ir üçgeninde ( ˆ m = radan, m( ˆ m( ˆ = ise ( Sru: 5 46 ' 5 '' + ' 5 '' tplamını bulunuz. Sru: 5 5 ' 6 '' - 4 ' 4 '' farkını bulunuz. Sru: 864 '' lik açı kaç derece, kaç dakika ve kaç saniedir? Sru: radanlık açının derece ve grad türünden eşitini bulunuz. 8 5 m ˆ =? Uarı: Güzel açıların radan türünden değerlerini azınız. Sru: Trignmetride gördüğümüz dakika ve sanie kavramı ile saat üzerindeki dakika ve sanie arasında bir ilişki var mıdır? raştırınız.
İRİM ÇEMER SİNÜS EKSENİ (, II. ölge I. ölge '(-, O(, (, KOSİNÜS EKSENİ III. ölge IV. ölge '(,- + = Ç = YÖNLÜ ÇILR larak alınır. irim Çemberde saatin dönme önü negatif ( ön, saatin dönme önünün tersi pzitif ( + ön Sarmal Fnksinu: Reel saılardan, birim çemberin birim çemberin nktalarına bir fnksin tanımlaalım. u fnksin her aralıktaki reel saılarla birim çemberin nktalarını eşlesin. u şekilde tanımlanan fnksina Sarmal Fnksin denir. S : R Ç lup, örtendir, fakat bire-bir değildir. ' ' 4 4 4
a K nktasına karşılık gelen θ + 6, θ +.6, θ +.6,..., k.6 aının vea ˆ OK açısının derece cinsinden ölçüsü denir. θ +, ( k Z reel saılarına K b K nktasına,6 aralığından karşılık gelen θ R a K aının vea OK ˆ açısının derece cinsinden Esas Ölçüsü denir. mk m OK ˆ θ θ 6 ( = = dır. (...,8 + 6,8...,9 + 6,9 ' θ, θ + 6, θ +.6..., θ + 6 θ K,6,.6... '...,7 + 6,7 Uarı: Esas Ölçü kavramını benzer şekilde Radan ve grad türünden de apmak mümkündür. Sru: Ölçüsü 966 lan açının esas ölçüsü kaç derecedir? ulunuz. Uarı: çı derece türünden ve pzitif önlü ise, açının 6 e bölümündeki kalan esas ölçüdür. Sru: Ölçüsü 45 lan açının esas ölçüsü kaç derecedir? ulunuz. Uarı: Negatif saılarda bölme işlemini tanımına ugun aptığımızda kalan esas ölçüdür. çıı pzitif önlü gibi düşünüp 6 a böleriz. Kalanı ( - alırız. 6 ile tplamı esas ölçüü verir. Sru: Ölçüsü lan açının esas ölçüsünü bulunuz. Çözüm: 8 + = = + 6 = + (. ise esas ölçü tür. 5 Sru: Ölçüsü lan açının esas ölçüsünü bulunuz. 5 + 5 5 5 Çözüm: = = + ( = + ( 5. ise esas ölçü 5 tür. Sru: Ölçüsü 49 5 lan açının esas ölçüsünü bulunuz. Sru: Ölçüsü 45 lan açının esas ölçüsünü bulunuz. 6 Sru: Ekvatr üzerinden bir K nktasından hareket eden bir uçak ine Ekvatr üzerinde bulunan bir L nktasına giderken 65 grad lık bir açı süpürmektedir. una göre K ve L nktaları arasındaki uzaklık kaç km dir? (Ekvatr uzunluğunu 4 km alınız. 5
Sru: Dünanın arıçapı aklaşık larak 67 km lduğuna göre, a. lik merkez açıa karşılık gelen ekvatr çizgisinin uzunluğunu bulunuz. b. Samsun 4 5' kuze enlemindedir. Samsun un ekvatr çizgisine lan uzaklığını bulunuz. Çözüm: a. D R R nin radan türünden eşiti: = R,74 bulunur. 8 una göre a uzunluğu; l = r. θ l 667., 74 l, 786km bulunur. Demek ki, dünanın merkezinden lik açıla görülen ekvatr çizgisinin uzunluğu aklaşık larak km dir. b. Şekildeki 5 aının uzunluğu l lsun. 4 5' = 4 + 4 +, 4 4, 4 6 D R 4,4 R nin radan larak değeri = R,7 lur. 8 u durumda aının uzunluğu; dir. R l = r. θ 667., 7 4584 km dir. Demek ki, Samsun un ekvatra lan uzaklığı aklaşık larak 4584 km dir. Sru: Günün belli bir vaktinde, güneş ışınları İstanbul a düşe eksenle 5, 4 lik açı apacak şekilde gelmektedir. Tam bu vakitte, İstanbul un 6 km güneindeki ntala a ışınların erüzü ile dik açı apacak şekilde geldiği bilindiğine göre; a. Yerkürenin arıçapını bulunuz. ( 667 b. Yerkürenin çevresini bulunuz. ( 4 θ Uarı: Ya uzunluğu frmülünün l =.. r l = θ. r lduğunu görünüz. 6 6
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLR. Ksinüs Fnksinu ir reel saısına birim çember üzerinde karşılık gelen nkta lsun. nktasının apsisine, a da nktasından eksenine inilen dikme aağındaki değere reel saısının ksinüsü denir. O halde ksinüs fnksinu reel saılardan birim çemberin nktalarının apsislerine tanımlanmış fnksindur. Yani s = dır. nı şekilde verilen, ve nktalarının apsislerini bulunuz ve snucu rumlaınız. ' (, (, 8 s (, s (, (, '(, Tablda verilen açıların Ksinüs değerlerini bulunuz. Ksinüs Fnksinunun Değerleri çı ( s 45 6 9 5 5 8 5 4 7 5 6 7
R için s lduğuna dikkat ediniz. f ( = s a f : [,] R dir. b R R e birebir de değil örten de değildir. c R [,] tanımlandığında ise örtendir, fakat değildir. d < < s > < < s < < < s < < < s > dır. e s ( + k. = s dır. ( R k Z u nedenle ksinüs fnksinu peridiktir ve peridu dir. Sru: =. s ifadesinin en büük ve en küçük değerlerini bulunuz. 8
. Sinüs Fnksinu ir Reel saısına irim çember üzerinde karşılık gelen nktasının rdinatına, a da nktasından eksenine inilen dikme aağındaki değere reel saısının sinüsü denir. O halde Sinüs fnksinu, reel saılardan birim çemberin nktalarının rdinatlarına tanımlanmış fnksindur. Yani Sin = dır. nı şekilde verilen, ve nktalarının apsislerini bulunuz ve snucu rumlaınız. (, (, (, ' (, 8 Sin (, Sin '(, Tablda verilen açıların Sinüs değerlerini bulunuz. Sinüs Fnksinunun Değerleri çı ( Sin 45 6 9 5 5 8 5 4 7 5 6 9
R için Sin dir. f ( = Sin a f : [,] R dir. b R R e birebir de değil örten de değildir. c R [,] tanımlandığında ise örtendir, fakat değildir. d < < Sin > < < Sin > < < Sin < < < Sin < dır. e Sin( + k. = Sin dır. ( R k Z u nedenle sinüs fnksinu peridiktir ve peridu dir. Uarı: R saısına birim çemberde karşılık gelen nkta ( s, Sin biçimindedir. nktası çemberin üzerinde bir nkta lduğuna göre çember denklemini sağlamalıdır. { } ( ( + = cs + sin = ise + = bulunur. sin cs Sinüs Ekseni (, Sin s ' Ksinüs Ekseni + = ' Sru: =. Sin ifadesinin en büük ve en küçük değerlerini bulunuz.
. Tanjant Fnksinu irim çembere nktasından çizilen teğete ( dğrusuna = tanjant ekseni denir. reel saısına birim çember üzerinde karşılık gelen nktasında rdinatının apsisine ranına, a da nktasını rijine birleştiren O dğrusunun tanjant eksenini kestiği K nktasının rdinatına reel saısının Sin tanjantı denir. urada Tan = = dır. u mantığı kullanarak, ve nktalarına karşılık gelen ( 8, ( 8 s + ve ( 6 = açılarının tanjantlarını hesaplaınız. K (, 8 K (, (, tan ' (, (, '(, = Tablda verilen açıların tanjant değerlerini bulunuz. Tanjant Fnksinunun Değerleri çı ( s Sin Tan 45 6 9 Tanımsız 5 5 8 5 4 7 Tanımsız 5 6
R için tan + dir. = a f : R = + k, k Z R dir. b = + k ( k Z için tanımsızdır. c < < tan > < < tan < < < tan > < < tan < dır. f ( tan d tan ( + k. = tan dır. ( R k Z u nedenle tanjant fnksinu peridiktir ve peridu dir. e rtan fnksindur.
4. Ktanjant Fnksinu irim çembere nktasından çizilen teğete ( = dğrusuna ktanjant ekseni denir. reel saısına birim çember üzerinde karşılık gelen nktasında apsisinin rdinatına ranına, a da nktasını rijine birleştiren O dğrusunun ktanjant eksenini kestiği K nktasının apsisine reel s saısının ktanjantı denir. t = = dır. u mantığı kullanarak, ve nktalarına karşılık gelen ( 8, ( 8 Sin + ve ( 6 = açılarının ktanjantlarını hesaplaınız. = K 8 (, K ( t, (, ' (, (, '(, Tablda verilen açıların Ktanjant değerlerini bulunuz. Ktanjant Fnksinunun Değerleri çı ( s Sin t Tanımsız 45 6 9 5 5 8 Tanımsız 5 4 7 5 6 Tanımsız
R için t + dir. f ( = t a f : R { k., k } = Z R dir. b = k. ( k Z için tanımsızdır. c < < t > < < t < < < t > < < t < dır. d t ( + k. = t dır. ( R k Z u nedenle ktanjant fnksinu peridiktir ve peridu dir. e zalan fnksindur. 4
5. Sekant Fnksinu reel saısına birim çemberde karşılık gelen nktasının apsisi sıfırdan farklı ise ( saısına a da nktasından birim çembere çizilen teğetin O eksenini kestiği T nktasının apsisine reel saısının sekantı denir. Sec = = dır. u mantığı kullanarak, ve nktalarına karşılık s gelen ( 8, ( 8 + ve ( 6 göre tersi nın Sekantı larak tanımlanır. = açılarının Sekantlarını hesaplaınız. s nın çarpmaa (, 8 (, ' (, (, (, T Sec '(, f ( = Sec a Tanımlı lduğu değerleri için Sec (Neden? Yrumlaınız. R Z R için örten bir fnksindur. b f : = + k., (, (, ' ' Sekant Değerleri Şekilde görüldüğü gibi Sekant değerleri hiçbir zaman (, aralığına uğramazlar. 5
6. Ksekant Fnksinu reel saısına birim çemberde karşılık gelen nktasının rdinatı sıfırdan farklı ise ( saısına a da nktasından birim çembere çizilen teğetin O eksenini kestiği K nktasının rdinatına reel saısının ksekantı denir. sec = = dır. u mantığı kullanarak, ve nktalarına Sin karşılık gelen ( 8, ( 8 + ve ( 6 çarpmaa göre tersi nın Ksekantı larak tanımlanır. = açılarının Ksekantlarını hesaplaınız. Sin nın T (, sec (, 8 (, ' (, (, '(, f ( sec = a Tanımlı lduğu değerleri için sec R Z R için örten bir fnksindur. b f : { = k., k } (, (, Ksekant Değerleri ' ' Şekilde görüldüğü gibi Sekant değerleri hiçbir zaman ekseni üzerindeki (, aralığına uğramazlar. 6
. sin + cs = Trignmetrik ağıntılar ( ( ( ( sin = cs = cs + cs cs = sin = + sin sin sin. tan = cs cs. ct = sin 4. tan.ct =, tan = ct, 5. sec = cs 6. cs ec = sin 7. + tan = sec = cs 8. + ct = cs ec = sin ct = tan Sru: Sin 85, tan75, s 6 ve t 75 nin trignmetrik değerlerinin işaretlerini bulunuz. Sru: m. Sin + = eşitliğinde m gerçel saılarının alabileceği değer kümesi nedir? ulunuz. 5 Sru: ( t ( tan + = ise, tan + t =? Sru: 5 s + Sec = ise, s + Sec =? cs ec = sec tan cs ec + Sru: ( lduğunu gösteriniz. Sru: şağıdaki trignmetrik değerlerin işaretini söleiniz. Sin, s, tan 8, t, Sec 7, sec54 7
Genel Örnekler. Sin + s = s lduğunu gösteriniz.. 4 4 Sin s + s = Sin lduğunu gösteriniz.. s + Sin = a ise, Sin in a türünden değerini bulunuz. s 4. s s Sin Sin ifadesinin eşitini bulunuz. 5. ( t. Sin + = lduğunu gösteriniz. 6. tan t = tan lduğunu gösteriniz. 7.. Sin. s = tan =? Sin + s 8. 9. tan t = ise, tan sec =? tan + ct =?. + s Sin + = sec Sin + s lduğunu gösteriniz.. a > lmak üzere önlü aının bitim nktası, a 5 ise, Sec =?, sec =?, Tan =?.. cs ec sec = lduğunu gösteriniz. ct tan 5 s Sin. s s + = lduğunu gösteriniz. 4. 4. Sin s =. Sin + s ise, t =? 5. tan + ct = a ise, tan + ct ifadesinin a cinsinden değeri nedir? ( a a 6. sin + cs = k ise, 6 6 sin.cs ifadesinin k cinsinden değeri nedir? ( k 8
DİK ÜÇGENDE DR ÇININ TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ Sin = = b a s = = Tan = Karşı dik kenar uzunluğu Hiptenüs uzunluğu Kmşu dik kenar uzunluğu Hiptenüs uzunluğu Karşı dik kenar uzunluğu Kmşu dik kenar uzunluğu c a = b c b a t = Kmşu dik kenar uzunluğu Karşı dik kenar uzunluğu = c b c Hiptenüs uzunluğu Sec = = Kmşu dik kenar uzunluğu a s = c Hiptenüs uzunluğu sec = = Karşı dik kenar uzunluğu a Sin = b Uarı: a Ölçüleri tplamı 9 lan tümler iki açıdan birinin sinüsü diğerinin ksinüsüne eşittir. Sin = s8, s6 Sin =, Sin( = s( 9 b Ölçüleri tplamı 9 lan tümler iki açıdan birinin tanjantı diğerinin ktanjantına eşittir. t 4 = Tan86, tan 7 t =, t ( β = Tan( 9 β Sru : 45 nin trignmetrik değerlerini bulunuz. Sru : ve 6 nin trignmetrik değerlerini bulunuz. 9
Sru: D dik amuğunda D = 4cm, = 5cm, Sin = ise, D amuğunun alanı kaç cm 5 dir? ( 9cm D 4 ( 5 Sru: Şekilde m( = 9, tan =, ve tan =,6 lduğuna göre D D ranı nedir? ( 5 6 D Sru: Şekilde dik üçgeninde [ ] Sin ( =? ( D ükseklik ( ˆ m = 9, D = 4cm ve D = 5cm ise Sru: Şekilde üçgeninde [ ] tan =? ( 5 D 4 5 D ükseklik, = cm, = 5cm ve D = 9cm ise, 5 D 9
Sru: üçgeninde = = n ve = br ise Sin( =? ( n D Sru: D karesinde D D E = ise t ( DE ˆ =? ( 5 5 E Sru: D karesinde [ F ] [ DE], [ K ] [ DE] dir.. DF FK = ise, ( tan =? ( D F K E Sru: + s Sin +. Sin =? Sin + s (
Sru: Şekilde verilenlere göre Sin( ED ˆ =? ( E D 4 Sru: Şekil 4 eş kareden luşmuştur. una göre tan =? ( Sru: Şekilde verilenlere göre t =? ( 4 5 5 D 4 Sru: dik üçgeninde [ ] [ ] (, m bulunuz. = ise, tan nın a, b ve c türünden değerini c b a
Çözüm: [ ] nin uzantısını D c lur. D ( ( = = lacak şekilde uzatalım. una göre; m D = m D = b dik üçgeninde, tan = = bulunur. D a + c c b D c a Sru: dik üçgeninde, [ H ] [ ] (, m bulunuz. = ve = cm ise, H nin cinsinden değerini H Çözüm: Şekilde H dik üçgeninde dik üçgeninde, s = = bulunur. H s = H =. s dan H = bulunur. s H Sru: ir üçgeninde = ve tan = ise, Sin = ( 4 5 ( (?
Trignmetrik Oranlardan iri elli İken Ötekilerini ulmak Önce açının bulunduğu bölge, birim çemberden saptanır, verilen trignmetrik değer dik üçgene aktarılır. ölgeden işaret, üçgenden değer alınarak snuca gidilir. Sru: < < s = t =? ( 5 Sru: 7 5 < < Sec = sec t =? ( Sru: tan = lduğuna göre s s. Sin =? ( 5 Sru: < < ve tan? Sin + s. t = = ( 4 Sru: < < ve = Sin = ( 5. Sin s 9 7? Sru: Şekildeki dik üçgende (, 4 ( K tür. m OK K(,4 = ise Sin( =?, tan =? ( 5, 5 O Sin = a Sru : a =? Tan = a + ( Sru: < < ve. Sin. s = ise Sin, s, t, Tan değerlerini bulunuz. Sru: < < ve 4 s = ise Sin, Tan, t değerlerini bulunuz. 5 Sru: < < ve 5 t = ise Sin, s değerlerini bulunuz. 4
Sru: < < ve Tan t s = ise =? 5 Sin Sru: Sin, s ve t ifadelerini Tan türünden azınız. tan + tan Uarı: çının bulunduğu bölge verilmedikçe açı. ölgede kabul edilir. Sru: tan =, 75 ise, cs.sin =? ( 5 Sru: < < için Sin s = ise, t =? ( 4 Çözüm: Şekildeki Sin = dik üçgeninde; + t, s = + t t azılırsa, + ct ct t. Sin s =. = + t + t den, t + = t (Her iki tarafında karesini alacak lursak + t = 4 + t 4t t = bulunur. 4 5
Önemli Dar çıların Trignmetrik Oranları R D Sin s Tan t Tanım sız 6 4 45 6 9 Tanım sız Geniş çıların Trignmetrik Oranları ( Trignmetrik Özdeşlikler ( θ θ s Sin, ( θ, Sinθ s θ θ θ θ ( θ θ ( sθ Sinθ s Sin,, 4 Sin θ Sinθ Sin θ Sinθ Sin θ Sinθ Sin θ = Sinθ s Tan t ( = ( + = ( = ( ( θ = sθ s ( + θ = sθ s ( θ = sθ s ( θ ( θ = Tanθ Tan( + θ = Tanθ Tan( θ = Tanθ Tan( θ ( θ = tθ t ( + θ = tθ t ( θ = tθ t ( θ = sθ = Tanθ = tθ 6
( θ θ Sin s, θ θ θ θ θ ( θ sθ ( sθ, Sinθ Sin, ( θ θ ( Sinθ sθ Sin s, 4, 4 Sin θ = s θ Sin + θ = s θ Sin θ = s θ Sin + θ = s θ s θ = Sin θ s + θ = Sin θ s θ = Sin θ s + θ = Sin θ Tan θ = t θ Tan + θ = t θ Tan θ = t θ Tan + θ = t θ t θ = Tan θ t + θ = Tan θ t θ = Tan θ t + θ = Tan θ Sru: şağıdaki trignmetrik değerleri bulunuz. a Sin 5 =? b s =? c tan855 =? d t 5 =? e Sin =? f s 4 =? g Tan 55 =? h t 945 =? i ( Sin =? j ( s 45 =? k ( Tan 6 =? l ( t 45 =? m ( Sin 5 =? n s =? Tan 5 =? Sru: şağıdakilerden hangisi s a a özdeş değildir? a Sin( a b Sin( + a c s + a d s a e Sin a 7
f = Sin + s + Sin + f =? Sru: ( ( ( 9 ( Sru: ir üçgeninde m = dir. Sin + aşağıdakilerden hangisine eşittir. ( ( ( Sin Sin s D Sin ( s ( ( + E s Sru: T Sin( θ Sin( θ Sin( θ Sin( θ = + + + + + ifadesini kısaltınız. Sru: T = Sin + θ + s( θ + Sin + θ s ( + θ ifadesini kısaltınız. Sru: Sin. s4 Sin7. s4 =? ( Sru: Şekildeki D amuğunda, [ ] //[ D ] dir. Verilenlere göre tan? D 4 = ( 4 7 Sru: 9a = ise, Sin5 a.tan a? s4 a.ct 7a = ( Sru: Sru: Sru: a = Sin5, b = Sin6, c = Sin7 değerlerini küçükten büüğe dğru sıralaınız. ( a < b < c a = Sin4, b = Sin, c = Sin değerlerini küçükten büüğe dğru sıralaınız. ( c < a < b a = s, b = s4, c = s değerlerini küçükten büüğe dğru sıralaınız. ( b < c < a Sru: a = tan, b = tan, c = tan 7 değerlerini küçükten büüğe dğru sıralaınız. ( a < b < c Sru: a = tan 48, b = Sin, c = s7 değerlerini küçükten büüğe dğru sıralaınız. ( b < c < a 8
Dsa adı: TRIGONOMETRI_I_TRIGONOMETRIK FONKSIYONLR VE DIK UGENDE DR I Dizin: :\Users\TOLG\Desktp\INTERNET\TRIGONOMETRI Şabln: :\Users\TOLG\ppData\Raming\Micrsft\Templates\Nr mal.dtm aşlık: Knu: Yazar: EGESU nahtar Sözcük: çıklamalar: Oluşturma Tarihi: 9..7 :: Düzeltme Saısı: Sn Kaıt: 9..7 :4: Sn Kadeden: TOLG Düzenleme Süresi: 5 Dakika Sn Yazdırma Tarihi: 9..7 :4: En Sn Tüm Yazdırmada Safa Saısı: 8 Sözcük Saısı: 5.7(aklaşık Karakter Saısı: 9.6(aklaşık