ĐST 5 ĐSTATĐSTĐKSEL SĐSTEM ANALĐZĐ ve KONTROL Kaynalar: Davis, M.H.A. and Winter,R.B. Stochastic Modelling and Control, Chapman and Hall,985. Davis, M.H.A. Linear Estimation and Stochastic Control, Chapman and Hall,977. Chui, C.K. and Chen, G. Kalman Filtering, Springer-Verlag, 99. Brocwell,P.J. and Davis,R.A. Introduction to Time Series and Forecasting, Springer, 996. Temel Kavramlar ve Konuya Giriş Gerçe dünyadai bir olayın, sürecin veya birimlerden oluşan ve birimleri arasındai iç ilişiler yanında çevre ile dış ilişilere göre işleyen bir sistemin belli bir anlatımına model denir. Anlatım sözle, çizimle, belli bir ölçete fizii benzer oluşturma (maet model veya başa bir şeilde yapılmala birlite en geçerli anlatım, bilimin orta dili olan matemati ile yapılmatadır. Sistemler, gere birimleri arasındai ilişiler gerese çevre ile ilişileri baımından genellile ço armaşı yapıdadırlar. Bunlar, bazı basitleştirmeler (ihmaller ve varsayımlar altında modellenmetedir Bir sistemi incelemedei amaç, sistemin davranışını öğrenme, sistemi denetleme, sistemi yenileme, oruma veya başa olabilir. Bazı durumlarda bilinen girdiler için sisteme bağlı olara çıtıların ne olacağı haında veya girdi ve çıtılar gözlenere (bilindiğinde sistemin endisi (sistem parametreleri haında bilgi çıarılması istenebilir Bazı sistemlerde istenilen çıtıları elde etme için çıtılar üzerindei gözlemlere bağlı olara sisteme girdiler verilmetedir. Bu tür denetlemeye geri bildirim (feedbac denmetedir. GĐRDĐ S Đ S T E M ÇIKTI Geri Bildirim Đnsan oğlunun başlıca amacı içinde var olduğu gerçe dünyayı (endi varlığı da dahil olma üzere anlama ve anlatmatır. Duyu organlarımız ve diğer yollardan alımıza atarılan sınırlı bilgiler çerçevesinde gerçe dünyayı anlama ve anlatmaya ısaca modellemeye çalışırız. Gerçe dünyadai bir olgunun modellenmesi sırasında, ilgilenilen özelliler (hız,ivme,... ile anlatımdai (modeldei arşılıları olan avramlar (vetör,türev,... arasındai bağ uruldutan sonra, olgunun ait olduğu bilim dalındai ilelere göre modelin yapısı oluşturulur. Alımızın, gerçe dünyadai olgular ile teması "ölçme" işlemine dayalıdır.
Ölçme her bilim dalının endine özgü zorlular içeren ve çözmesi gereen bir problemdir. Örneğin sıcalığın nasıl ve ne ile ölçüleceği fiziğin bir problemidir. Enflasyonun nasıl ve ne ile ölçüleceği eoinin bir problemidir. Zea düzeyinin ölçülmesi psioloji ve pedagojinin bir problemidir. Birço durumlarda ölçmenin nasıl yapılacağının belirlenmesi, ölçü biriminin ve bazı durumlarda da ölçü aletinin (terazi, ölçe, metre, termometre, anet, test,... bulunması araştırmanın en zor aşamalarından birisidir. Bir ölçme sonucu elde edilen değer, ölçülen özelliğin modeldei arşılığı olan değişenin aldığı değer olara ele alınmatadır. Ölçülen özelli rasgeleli içerdiğinde modelde arşılı gelen değişen de doğal olara rasgele değişen (Borel ölçülebilir fonsiyon olara ele alınacatır. Gerçe dünyayı anlama ve anlatmada, yani modellemede insan alının lisandan sonra en güçlü ii aracı matemati ve istatistitir. Đstatisti özellile, rasgeleli içeren olguların modellenmesinde ön plana çımatadır. Sistem analizindei matematisel modeller aşağıdai gibi sınıflandırılabilir: *Lineer ve lineer olmayan modeller. *Süreli-zaman (diferensiyel denlem,... ve esili-zaman (far denlemi,... modeller. *Stoasti (rasgele değişen içeren ve deterministi (rasgele değişen içermeyen matematisel modeller. *Dinami (parametreleri zaman içinde değişen ve stati modeller.
Örne: Sindirim sistemine ( ağızdan tablet olara-esili, mideye sıvı aıtara-süreli verilen bir ilâç, mevcut mitarın oranını an dolaşım sistemine ve anda bulunan ilâç mevcut mitarın oranını başa yerlere atarmatadır. u(t (ilaç Gastrointestinal tract x (t: ilaç mitarı Kan dolaşımı x (t: ilaç mitarı Süreli Zaman: Diferansiyel denlem sistemi dx(t = x(t + u(t dt dx (t = x(t x (t dt x (, x ( xɺ xɺ (t = x (t + u(t (t = x (t x (t xɺ ( t x ( t = + u( t xɺ ( t x ( t xɺ ( t = Ax( t + Bu( t xɺ ( t = Ax( t + Bu( t x( = x Kesili zaman: t üçü bir zaman aralığı olma üzere, Far denlemi sistemi x ( t + t = x ( t x ( t t + u( t t x ( t + t = x ( t + x ( t t x ( t t x (, x ( t yerine t= t alınırsa t + t = ( + t olur x ( t + t = x (( + t x ( t + t = x (( + t x ( t x ( t ve x( t = x ( t olup, x = x ( t gösterimi altında, t. t x + = x u t t + yazılır. x = Ax + Bu + x + = Ax + Bu x Böylece metabolizma ii farlı şeilde modellenmiş oldu. Süreli modelde, yani diferensiyel denlemde, > olduğunda, u(t=, t girdisi (ilâç verilmediği durum için çözüm, t x ( (e x(t = t t t x (t x (e + e e
rt olara elde edilir. u( t = Re, t olduğunda, x x x(e (t = (t x (e R r t t + t rt ( e e t t ( e e + ( ( ( [( ( ( ] + t t rt r e r e e r r olara elde edilir (N.H.McClamroch State Models of Dinamic Systems,98, Springer- Verlag, G.L.Atins Multicompartment Models for Biological Systems, 969, Willmer Brothers Limited, Great Britain. x ( =, x ( =, =.4, =. ve u(t=, t girdisi (ilâç verilmediği durum için çözümlerin grafileri aşağıdai gibidir. Üst sol öşede zamana arşılı girdi, sağ üst öşede zamana göre midedei ilâç mitarının değişimi, alt sol öşede zamana arşılı andai ilâç mitarının değişimi ve alt sağ öşede ( x ( t, x ( t iililerinin faz eğrisi görünmetedir..5 -.5-4 6.8.6.4. 4 6.8.6.4. 4 6.8.6.4..5 clear all close all =.4 =. x=[
]; =; for t=.:.:5 =+; xt(:,=[x(*exp(-*t x(*exp(-*t+(/(-*(exp(-*t-exp(-*t]; end t=.:.:5; figure subplot(,, plot(t,,'b' hold on subplot(,,4 plot(xt(,:,xt(,: hold on subplot(,, plot(t,xt(,: hold on subplot(,,3 plot(t,xt(,: rt u t R R r x ( =, x ( =, =.6, =. ve ( = e, ( = 3, =.3, t girdisi için çözümlerin grafileri aşağıdai gibidir. Üst sol öşede zamana arşılı girdi, sağ üst öşede zamana göre midedei ilâç mitarının dedğişimi, alt sol öşede zamana arşılı andai ilâç mitarının değişimi ve alt sağ öşede ( x ( t, x ( t iililerinin faz eğrisi görünmetedir. 3 3 4 6 4 6 8 6 4 4 6 8 6 4 3 clear all close all
=.6 =. x=[ ]; R=3 r=.3 cc=*r/((-*(r-*(r-; =; for t=.:.:5 =+; xtu(:,=[x(*exp(-*t+r/(r-*(exp(-*t-exp(-r*t x(*exp(-*t+(/(-*(exp(-*t-exp(-*t +cc*((r-*exp(-*t-(r-*exp(-*t+(-*exp(-r*t]; end t=.:.:5; u=r.*exp(-r.*t figure subplot(,, plot(t,u,'b' hold on subplot(,,4 plot(xtu(,:,xtu(,: hold on subplot(,, plot(t,xtu(,: hold on subplot(,,3 plot(t,xtu(,: Aşağıdai grafilerde mavi çizgiler x ( =, x ( =, =.6, =. ve u(t=, t girdisi (ilâç verilmediği durum, ırmızı çizgiler x ( =, x ( =, rt =.6, =. ve u( t = R e, ( R = 3, r =.3, t girdisi için sonuçları göstermetedir.
3 3 5 5 8 6 4 5 8 6 4 3 Kesili halde model, t. t x + = x + u t t ve t =. olma üzere, aşağıdai grafilerde mavi çizgiler x ( =, x ( =, =.6, =. ve u =, =,,...5 girdisi (ilâç verilmediği durum, ırmızı çizgiler x ( =, x ( =, / =.6, =. ve u = 3e, =,,...,5 girdisi için sonuçları göstermetedir.
3 4 6.5.5 4 6 5 4 3 4 6 5 4 3.5.5 clear all close all =.6 =. delt=. A=[-*delt *delt -*delt]; B=[ ]; x=[ ]; x=x; for =:5 x=a*x; x(:,=x; u=3*exp(-*delt; u(=u; x=a*x+b*delt*u; xu(:,=x; t(=*delt; end figure hold on subplot(,, plot(t,u,'r' hold on subplot(,, plot(t,,'b'
hold on subplot(,,4 plot(x(,:,x(,: hold on subplot(,, plot(t,x(,: hold on subplot(,,3 plot(t,x(,: hold on subplot(,,4 plot(xu(,:,xu(,:,'r' hold on subplot(,, plot(t,xu(,:,'r' hold on subplot(,,3 plot(t,xu(,:,'r' Bu örnetei gibi modellere ompartman modelleri de dendiğini hatırlatalım. Örne: Bir Yayın Ucuna Bağlı Bir Cismin Salınımı Fizi derslerindei bilgilerimizden hatırlayacağımız gibi Hoo anununa göre bir yayın uzunluğundai üçü değişimler için değişme mitarı eti eden uvvetin büyülüğü ile orantılıdır. Orantı atsayısına yay sabiti denmetedir. F F= L L L L Ölçümlerin ms sisteminde yapıldığını varsayalım. m ütleli bir cisim bir ucu sabitleştirilmiş düşey halde olan bir yayın diğer ucuna asılmış olsun (Şeil.33. Tecrübelerimizden bildiğimiz gibi cisim biraz çeilip bıraıldığında salınım (titreşim yapmatadır. Çevredei ortam (hava, su ile sürtünme ve cisme zaman içinde eti eden uvvetler olabilir. t = anında L + l uzunluta olan yay y adar çeilip bıraıldığında salınmaya başlamatadır. Salınım çevre ile sürtünme ve dış uvvetlere bağlı olara devam etmetedir. Sürtünme uvvetinin büyülüğünün hız ile orantılı, yani F = s. v( t olduğu varsayılsın. s
Belli r r bir t r anında r cisme r eti eden uvvetler için F = P + Fy + Fs + Fd r r r yazılabilir. P cisme eti eden yerçeimi uvveti, F y yayın cisme eti ettiği uvvet, F s r r r sürtünme uvveti ve F d cisme eti eden dış uvvettir. F y ile F s uvvetlerinin yönünün hareet yönünün ters yönünde olduğu gözönüne alınırsa Şeil.33 dei gibi bir y eseni üzerinde bu uvvetlerin büyülüleri için, my ( t = mg ( l + y( t sy( t + Fd ( t diferensiyel denlemi oluşturulabilir. Fy = P olduğu gözönüne alınırsa my ( t + sy ( t + y( t = F ( t d y( = y, y ( = v modeline ulaşılır. Burada s ortam ile ilgili sürtünme atsayısı, yay sabiti, F r d cisme eti eden dış uvvet, y başlangıç anındai cismin onumu ve v başlangıç anındai cismin hızının büyülüğüdür. Yay y adar uzatılıp bıraıldığında v = olacatır. Şimdi aşağıdai gibi bir devre gözönüne alalım. R E L C Bu devredei elemanların uç notaları arasındai gerilim (voltage için,
R( Ω direnç, VR = I. R L (Henry bobin (inductor, VL = L. di dt C (Farad E (Volt ondansatör (apasitor, Vc = q ( V c c t q = I( t dt c = c olma üzere Kirchoff anunundan, VE = VR + Vc + VL yani L di + RI + q = E dt c eletri üreteci, V yazılır. Burada I (amper aımı ve q (coulomb eletri yüü mitarını gösterme üzere dq I = dır. dt Yuarıdai diferensiyel denlem q cinsinden d q dt dq dt c L + R + q = E biçiminde yazılabilir. L, R, C nin sabit E nin zaman içinde değiştiğini düşünere, c ( = q, q ( = I Lq ( t + Rq ( t + q( t = E( t q modeli oluşturulabilir. E = Eletri devresi için yazılan matematisel model ile yaya bağlı cismin salınımı için yazılan matematisel modelin birbirine ço benzediğine diat edin. Diferensiyel denlemlerde eletri devresindei üretecin sağladığı gerilim E( t ye arşılı yaya bağlı cismin salınımında cisme eti eden dış uvvet Fd ( t, direnç R ye arşılı sürtünme atsayısı s, indütans L ye arşılı cismin ütlesi m, ye arşılı yay sabiti, yü mitarı q t c ( ye arşılı cismin onumu y( t yer almatadır. Aşağıdai değişen değiştirme işlemleri yapılara. x (t q(t x(t x (t = ɺ = R x (t q (t x (t = q (t = x (t x(t + E(t = ɺ L LC L E
xɺ ( t x ( t E( t x ( t = R x ( t + ɺ LC L L x ( q = x ( I birinci dereceden differensiyel denlem sistemi elde edilir. Yaya bağlı cismin hareetini yeniden gözönüne alalım. ms ölçü sisteminde, m =, a =. 6, =. 5, dış uvvet F ( t =, t ve başlangıç anında cismin onumu d y( = ve hızı y ( t = v = olsun. Cismin hareetini anlatan diferensiyel denlem y ( t +. 6y ( t +. 5y( t = y( =, y ( = olma üzere, arateristi denlem ve öleri, λ +. 6λ +. 5 = λ =, λ = dır. Homogen ısmın genel çözümü t t yh ( t = c e + ce ve bir özel çözüm y( t = 4 olma üzere denlemin genel çözümü t t dır. Başlangıç değerlerden, c + c = 39 c c = 4 y( t = c e + c e + olma üzere, t t y( t = 39 e 95 e + 4 4 c c = 39 / 4 = 95 / 4 4 bulunur. Yuarıdai denlemin her ii tarafına Laplace dönüşümü uygulanırsa, { } { } { } L y ( t +.6 L y '( t +.5 L y( t = L{} ve L y ( t = s Y ( s sy( y ( = s Y ( s s { } { } { } L y '( t = sy ( s y( = sy ( s L y( t = Y( s L{} = s olma üzere,
s Y ( s s +.6 sy ( s.6 +.5 Y ( s = s s +.6s + 4 48.75 9.75 Y ( s = = + ( s +.( s +.5 s s s +. s +.5 elde edilir. Ters Laplace dönüşümü uygulanırsa,.t.5t y(t = 4-48.75e + 9.75e bulunur. Örne: Eoi ile ilgili bir örne ele alalım. y( :.yıldai milli gelir (national incom c( :.yıldai tüetici harcamaları (consumer expenditures p( :.yıldai yatırımlar (private investments u( :.yıldai hüümet harcamaları (goverment spending olma üzere, tüetici harcamalarının öncei yılın milli geliri ile orantılı, yatırımların ise, öncei yıldai tüetici harcamalarının bir önceine göre artışı ile orantılı olduğu varsayımı altında, c( = α. y( p( = β. c( c( y( = c( + p( + u( bağıntıları yazılabilir. Buradan, y( + α( + β y( + + α. β y( = u( + y( = c, y( = c far denlemi (indirgeme bağıntısı modeli yazılabilir. Lineer Durum-Uzay Modelleri Deterministi lineer durum-uzay modelleri A: nxn, B: nxm, C: rxn, D: rxm reel sayı elemanlı matrisler olma üzere süreli zaman deterministi lineer durum-uzay modeli xɺ( t = Ax( t + Bu( t (durum denlemi y( t = Cx( t + Du( t (uzay, çıtı denlemi x( t = x biçimindedir. Burada x( t durum vetörünü, u( t sistem girdi vetörünü, y( t sistem çıtı ya da gözlem vetörünü göstermetedir. t anındai x( t = x başlangıç değerine bağlı olara xɺ( t = Ax( t + Bu( t denleminin çözümü A( t t A( t τ x( t = e x + e Bu( τ dτ t t
dır. Burada, A. s e I s A s 3 A s 3 = + + + A +...!! 3! ve A matrisinin spetral ayrışımı d d A = PΛP = P P dn olma üzere ds e ds e A. s. s e = Pe P = P e d s n P Λ dır ( Λ ile P matrisleri A nın özdeğer ve özvetörlerinin oluşturduğu matrislerdir. Kesili-zaman deterministi lineer durum-uzay modeli nin genel biçimi x( + = Ax( + Bu( y( = Cx( + Du( x( = x olma üzere, x( = x başlangıç değerine bağlı olara x( + = Ax( + Bu( indirgeme bağıntısının çözümü, ve = için dır. j j= x( + = A x( + A Bu( + j j j= x( = A x + A Bu( j Yuarıda A, B, C, D matrisleri zaman parametresine bağlı olara değiştilerinde dinami modeller sözonusu olduğunu belirtelim. Bu durumda A, B, C, D matrisleri yerine süreli-zaman modellerde, A( t, B( t, C( t, D( t ve esili-zaman modelerde A(, B(, C(, D( gelecetir. Stoasti esili-zaman lineer durum-uzay modelleri { Y : rx,,,... } { X nx ; = }, gözlenemeyen rasgele vetörlerin dizisi, { u mx } :,,,... ; =, gözlenebilen rasgele vetörlerin dizisi, : ; =,,,...,
bilinen vetörlerin dizisi, { ε : lx,,,... } ; =, gözlenemeyen hata vetörlerin dizisi ve A: nxn, B: nxm, C: nxl, H: rxn,g: rxl bilinen matrisler olma üzere Y çıtı vetörü, X durum vetörü, u girdi (ontrol vetörü,ε hata vetörü için X + = A X + Bu + Cε Y = H X + Gε denlem sistemine hata vetörü ε ve başlangıç durumu X ile ilgili aşağıdai varsayımlar ile birlite stoasti esili-zaman durum-uzay modeli denir. Hata vetörü ε için varsayımlar; E ( ε =, Cov ( ε = I, =,,,... ε lar ilişisiz, yani j için Cov( ε, ε j = Başlangıç durumu X için varsayımlar; E( X = m, Cov( X = P, m ve P biliniyor. X ile ε lar ilişisiz, yani Cov( X, ε = Lineer Durum-Uzay Modellerine Örneler Örne: Sindirim sistemine ( ağızdan tablet olara-esili, mideye sıvı aıtara-süreli verilen bir ilâç, mevcut mitarın oranını an dolaşım sistemine ve anda bulunan ilâç mevcut mitarın oranını başa yerlere atarmatadır. Kan dolaşımındai ilaç mitarı göslensin. u(t (ilaç Gastrointestinal tract x (t: ilaç mitarı Kan dolaşımı x (t: ilaç mitarı y(t
Durum Denlemi: dx(t = x(t + u(t dt dx (t = x(t x (t dt x (, x ( xɺ xɺ (t = x (t + u(t (t = x (t x (t xɺ ( t x ( t = + u( t xɺ ( t x ( t xɺ ( t = Ax( t + Bu( t Gözlem Denlemi y( t = x ( t = [ ] x( t = Hx( t Süreli-Zaman Durum-Uzay Modeli xɺ ( t = Ax( t + Bu( t y( t = Hx( t x( = x Kesili zaman t üçü bir zaman aralığı olma üzere, Durum denlemi x ( t + t = x ( t x ( t t + u( t t x ( t + t = x ( t + x ( t t x ( t t x (, x ( t yerine t= t alınırsa t + t = ( + t olur x ( t + t = x (( + t x ( t + t = x (( + t x ( t x ( t ve x( t = x ( t olup, x = x ( t gösterimi altında, t. t x + = x u t t + x + = Ax + Bu Gözlem Denlemi y = [ ] x = Hx Kesili-Zaman Durum-Uzay Modeli x = Ax + + Bu y = Hx x ve sistem parametreleri olma üzere, çıtıyı gözleyere sistem parametreleri bulunma istenebilir. Belli bir çıtı elde etme (anda ilâç mitarını belli düzeyde tutma için uygun bir girdi verilmesi istenebilir. Sistem parametreleri zaman içinde değişebilir. Çıtıyı gözleyere sistem parametrelerinin izlenmesi istenebili. Diat edilirse, yuarıdai model deterministi bir modeldir. Mide ve andai ilâç mitarları birer rasgele değişen olara görülüp, toplamsal hata terimleri de sözonusu olursa aşağıdai gibi stoasti durum-uzay modelleri yazılabilir. Durum Denlemi Xɺ ( t ( ( X t W t = + u( t + C Xɺ ( t X ( t W ( t Xɺ ( t = AX ( t + Bu( t + CW ( t Gözlem Denlemi Y ( t = Hx( t + GV ( t Süreli-Zaman Durum-Uzay Modeli Xɺ ( t = AX ( t + Bu( t + CW ( t Durum Denlemi t. t W X + = X u + C t t + W X = AX + Bu + CW + Gözlem Denlemi Y = HX + GV Kesili-Zaman Durum-Uzay Modeli X = AX + Bu + CW +
Y ( t = Hx( t + GV ( t E( X ( = m Cov( X ( = P Y = HX + GV E( X = m Cov( X = P Örne: modelleri. u(t Đnput (girdi (ontrol Salar girdi-çıtılı sistemlerin süreli zaman deterministi durum-uzay Sistem y(t Output (çıtı t anındai sistem girdisi u( t sayısı ve sistem çıtısı y( t sayısı olma üzere girdi ve çıtı arasındai bağıntı için uygulamalarda ço sı arşılaşılan bir deterministi ifade (model ( n ( n ( n ( n y ( t + any ( t +... + ay ( t + ay( t = bnu ( t + bn u ( t +... + bu ( t + b u( t ( y t c y t c y n ( =, ( =,..., ( t = cn biçiminde olan bir diferensiyel denlemdir. x ( t = y ( t bnu ( t x ( t = xɺ ( t + a y( t b u( t n n x ( t = xɺ ( t + a y( t b u( t 3 n n... x ( t = xɺ ( t + a y( t b u( t n n değişen değiştirmesi sonucu x, x,..., x n nin birinci türevlerini içeren xɺ ( t a x ( t b b a n xɺ ( t an = xɺ n( t a xɺ n ( t a denlem sistemi yazılabilir. x( t xɺ ( t x ( t x( t = xɺ ( t, xɺ( t =, xn ( t xɺ n ( t a n b an b A =, B = a b a b n n n x ( t bn bnan + u( t xn( t b bna xn ( t b bna b a n n n b a n n n b a n b a n
vetör gösterimleri altında xɺ( t = Ax( t + Bu( t denlem sistemini içeren xɺ( t = Ax( t + Bu( t y( t =... x( t + bnu( t x( t = x modeli oluşturulabilir. Bu model bir durum-uzay modelidir. b n = b n- = = b = olduğunda sistemi modelleyen denlem, ( n ( n y ( t + an y ( t +... + a y ( t + a y( t = bnu( t olma üzere, aşağıdai gibi bir değişen değiştirmesi de düşünülebilir. x (t = y(t xɺ (t = x (t x (t = y (t x (t = y (t x n (t = y Bu durumda, 3 (n (t xɺ xɺ xɺ n (t = x n (t = x (t = y 3 (n (t n (t (t = a x (t a x (t... a n x n (t + b u(t xɺ (t xɺ (t = x n (t ɺ a a a n x(t x (t + u(t x n (t b y(t x(t = [ ] x(t = x c c = c n gibi bir durum-uzay modeli yazılabilir. Katsayıların sıfır olmadığı durumda, ( n ( n ( n y ( t + a y ( t +... + a y ( t + a y( t = b u ( t +... + b u ( t + b u( t n n y( t = c, y( t = c,..., y ( t = c olma üzere, ( n n
x ( t = y( t 3 xɺ ( t = x ( t x ( t = y ( t xɺ ( t = x ( t x ( t = y ( t 3 xɺ ( t = x ( t n n ( n ( n ( n xn ( t = y ( t xɺ n ( t = y ( t = a x ( t a x ( t... an xn ( t + bnu ( t +... + bu ( t + bu( t değişen değiştirmesi sonucunda, xɺ (t xɺ (t = a xɺ n (t a I n a n β x(t β + β n u(t y(t = x( t = x [ ] x(t gibi bir durum-uzay modeline ulaşılır. Bu modelde β, β,..., βn atsayıları ve başlangıç değerleri ayrıca belirlenir. Böylece farlı ii durum-uzay modeli gösterimi ortaya çımış oldu. Đisinin de özdeş olduğu gösterilebilir. Son gösterimdei, I n A= a a a n matrisinin arateristi poliu, n n det A λi = λ + a λ +... + a λ + a olma üzere, dır. [( ] n λ i bir özdeğer ise bu özdeğere arşılı gelen özvetör, λ i vi = λ i n λ i Örne: Yaya bağlı cismin hareetini yeniden gözönüne alalım. ms ölçü sisteminde, m =, a =. 6, =. 5, dış uvvet F ( t =, t ve başlangıç anında cismin onumu d y( = ve hızı y ( t = v = olsun. Cismin hareetini anlatan diferensiyel denlem y ( t +. 6y ( t +. 5y( t = y( =, y ( = olma üzere, çözüm
39 4 t 95 4 t 4 y( t = e e + olara bulunmuştu. Şimdi bu çözümü durum-uzay modelinden elde etmeye çalışalım. Durumuzay modeli (yuarıdai örneten xɺ ( t. 6 x( t xɺ ( t =. 5 x ( t + y( t = x ( t x( x ( =. 6 olma üzere,. xɺ( t = 6 x( t. + 5 x( =. 6 denleminin çözümü, A( t A( tτ x( t = e x + e Bu( τ dτ dır. Burada, A =. 6 5, B =. dır. A matrisinin özdeğerleri det( A λi = λ +. 6λ +. 5 =, λ = λ özvetörleri, ( A λ I v = t. = = v v. 5 5.. ( A λ I v =. 5 = = v v. 5. 5. ve spetral ayrışımı, A =. 5. 5.... 5 =. 5 5.. 5. 5... 5. 5 olma üzere,
. t e x( t = 5. t.. e 5... + 5 6 t. 5( t τ dτ + e t. 5... 5. ( tτ dτ e =. 5t. 5t. 5e + e 5. t. t.. 5 5. e e 5 =. 5t. 5t. t + 9. 75e 9. 75e 48. 75e + 4. t =. 5t. t. 5. 5 48. 75e. 975e. 375e + 4 elde edilir. Buradan, t y( t = x( t = 9. 75e 48. 75e + 4 bulunur. t Örne: modelleri. Salar girdi-çıtılı sistemlerin esili zaman deterministi durum-uzay u( sistem y( =,,,... anlarında gözlem yapılan bir sistem için girdi ile çıtı arasındai bağıntının bir far denlemi (indirgeme bağıntısı olduğu durumlarla ço sı arşılaşılır. y( + n + a y( + n +... + a y( + + a y( = b u( + n + b u( + n +... + b u( + + b u( n n n y( = c, y( = c,..., y( n = c n Far denlemi şelinde olan bir modelden, x ( = y ( bnu ( x ( = x ( + + a y( b u( n n... x ( = x ( + + a y( b u( n n değişen değiştirmesi sonucu bir adımlı farları içeren,
x ( + an x ( bn bn an x ( an I n x ( bn bn a + n = + u( xn ( + a xn ( b bn a x( = x [ ] y( = x( + b u( n durum-uzay modeli oluşturulur. Örne: (Zaman Serileri Örne: Eoi ile ilgili öncei ısımdai modeli yeniden ele alalım. Varsayımlar: Yıllı tüetim harcamaları bir yıl öncei milli gelir ile orantılıdır. Özel yatırımlar öncei yıla göre tüetim harcamaları artışı (farı ile orantılıdır. y(: -ıncı yılda milli gelir (national income c(: -ıncı yıldai tüetim harcamaları (consumer expenditure p(: -ıncı yıldai yatırımlar (private investment u(: -ıncı yıldai hüümet harcamaları (goverment spending. Model (far denlem sistemi: c( = αy( p( = β(c( c( y( = c( + p( + u(. Model (far denlemi: y( + α( + β y( + + α. β y( = u( + y( = c, y( = c 3. Model (durum-uzay modeli : c( = αc( + αp( + αu( p( = ( αβ β c( + αp( + αu( c( α p( = αβ β α c( α + u( α p( α y( = c( p( [ ] + u(
Bir başa durum-uzay modeli, x ( = y( u( x ( = x ( + α ( + β y( x ( + = x x = x ( + α ( + α ( + = x ( + ( + β[ x( + u( ] ( + β x( + α( + β α( + β y( = αβx ( αβu( u( x x ( + = ( + y( = [ ] α ( + β x ( α( + β αβ x( + u( x + ( αβ u( c x( = c u( c u( u( dır. Kontrol Edilebilme, Gözlemlenebilme, Kararlı Olabilme, Teşhis Edilebilme Kavramları Bazı sistemlerde istenilen çıtıları elde etme için çıtılar üzerindei gözlemlere bağlı olara sisteme girdiler verilmetedir. Bu tür denetlemeye (ontrole geri bildirim (feedbac denmetedir. GĐRDĐ S Đ S T E M ÇIKTI Geri Bildirim Deterministi esili-zaman bir durum-uzay modeli, olma üzere, x = Ax + Bu ( x, A, B, u, H, y y x + n n n n m m l n l = H x = x
ve = için j j= x( + = A x( + A Bu( + j j j= x( = A x + A Bu( j dır. ( x( ile x gösterimlerinin birlite ullanıldığını belirtelim Başlangıçta x = xa durumunda olan sistemi uygun girdiler (ontrol verere j adım sonunda x b durumuna getirme arzu edilebilir. Bu özelliğe ontrol edilebilme denir. Kontrol Edilebilme (Controllability Tanım: Herhangi xa, x b vetörleri için bir i pozitif tamsayısı ve u, u, u,..., ui girdileri için durum denlemi, x = Ax + Bu, x = + xa olan sistem i. adımda xi = xb durumuna gelebiliyorsa sisteme ontrol edilebilir denir. Sistemin ontrol edilebilir olması sadece A, B matrislerine bağlıdır. Bu sebepten dolayı sistem ontrol edilebilir yerine A, B ontrol edilebilir denir. Teorem: (Kalman ran oşulu n A, B ontrol edilebilir ran[ B AB A B A B] = n dır. n mn Teorem: (Hautus Teoremi A, B ontrol edilebilir ran[ si A B] = n, A nın her s özdeğeri için dır. Tanım: n = [ ] matrisine ontrol edilebilirli matrisi denir. W B AB A B A B Belli bir adımda x a durumunda olan ontrol edilebilir bir sistemin x b durumuna u u u u olma geçmesi için en ço n adım atılır ve uygulanaca ontrol (girdi dizisi,,,..., n üzere, dır. u u = W '( W ' W ( xb Axa u n Gözlemlenebilme (Observability
x = Ax + Bu ( x, A, B, u, H, y y x + n n n n m m l n l = H x = x ve j y = H A x + A Bu j j= olma üzere, y değeri x ile u, u, u,..., u lerin bir fonsiyonudur. Girdiler (ontrol sıfır olursa veya alınırsa, y sadece x ın bir fonsiyonudur y ( x. Tanım: y ( x, =,,,... x başlangıç değeri ve sıfır ontrol için sistem denlemlerinin çözümü olsun. Đstesel x vetörü için bir adımı vardır, öyle i y ( x, y ( x,..., y ( x çıtı değerlerinden x belirlenebiliyorsa sisteme gözlemlenebilir denir. Sistemin gözlemlenebilir olması sadece A, H matrislerine bağlıdır. Bu sebepten dolayı sistem gözlemlenebilir yerine A, H gözlemlenebilir denir. Teorem: (Kalman ran oşulu dır. A, H gözlemlenebilir H HA n HA ran HA = n Teorem: (Hautus Teoremi A, H gözlemlenebilir si A ran = n, A nın her s özdeğeri için H dır. Tanım: M H HA = HA n HA Gözlemlenebilir olan bir x + = Ax + Bu y = H x matrisine gözlemlenebilirli matrisi denir. sistemi için çıtılar y, y, y,..., yn olma üzere,
dır. y y y ( ' ' x = M M M n Kararlı Olabilme Eğer u = f (x gibi x nın bir fonsiyonu ise durum geri-beslemesi söz onusudur. Durum geri-beslemesi u = Kx biçiminde ise durum denlemi, x + = (A + BK x biçimindedir. Durum değerlerinin x, x, x,, x, dizisinin birço özelliği A+BK matrisinin özdeğerleri (eigen values, poles-utuplar ile ifade edilir. Buradai mesele K geri besleme matrisinin uygun bir seçimiyle A+BK matrisinin özdeğerlerinin istesel değerlere (omples sayı olduğu için istesel onumlara getirilebilir olup olmamasıdır. Bu özelliğe sahip sistemlere veya (A,B matrislerine özdeğer atanabilir (pole-assignable denir. (A,B özdeğer atanabilir olması deme, her reel atsayılı n n n p ( λ = λ + a λ + a λ +... + a λ + a n n poliu için, arateristi poliu p( λ (bulunabilir demetir. olaca şeilde A+BK matrisi, yani K matrisi vardır Tanım: A+BK ya apalı-döngü sistem matrisi (closed-loop system matrix denir. Teorem: (A,B özdeğer-atanabilir (pole assignable (A,B ontrol edilebilir. Birço modelde, x durum vetöründei bileşenler, sistemin arzu edilen durum değerlerinden sapmalarını ifade etmetedir. Bu sistem modellerinde, x, x,. sapmalarının uygun ontrol (girdi seçere zaman içinde azalması amaçlanmatedır. Böyle sistemlere veya (A,B matrislerine ararlı olabilen (stabilizable denir. Bu durum A+BK matrisinin ararlı matris olması durumunda söz onusudur (bir matrisin ararlı olması özdeğerlerin sıfırın omşuluğu olan açı birim dis içinde olması demetir. Bu durumda, x = (A + BK x dır. Tanım: A+BK matrisinin özdeğerleri açı birim disin içinde, yani A+BK matrisi ararlı olaca şeilde K matrisi varsa (A,B ye ararlı olabilen (veya sisteme aralı olabilen denir. Teorem: (A,B ararlı olabilen ran ( özdeğeri için. (A,B ontrol edilebilir (A,B ararlı olabilen. si A B = n, A nın birim dis dışında olan her s
Eğer A ararlı ise sıfır girdi için x = A x olduğunda (A,B ararlı olabilendir. Eğer A nın bütün özdeğerleri açı birim disin dışında ise ontrol edilebilme ile ararlı olabilme eşdeğerdir. %x(+=ax(+bu( %y(=hx( clc clear all close all A=[.8..9] B=[ ] H=[ ] %ontroledilebilme W=[B A*B] ranw=ran(w xa=[ ] xb=[ ] u=w'*(w*w'^(-*(xb-a^*xa x=xa x=a*x+b*u( x=a*x+b*u( %Gözlemlenebilme M=[H H*A] ranm=ran(m y=[x( x(] xsifir=(m'*m^(-*m'*y %ararlı olabilme ozdeger=eig(a syms a b K=[a b] KM=A+B*K ozdkm=eig(km K=[-.5] KM=A+B*K ozdkm=eig(km Ortaya Çıarılabilme, Teşhis Edilebilme (Detectability Tanım: A+LH matrisinin özdeğerleri açı birim disin içinde olaca şeilde L matrisi varsa (H,A ya ortaya çıarılabilir (detectable denir. si A Teorem: (H,A ortaya çıarılabilir ran =n, A nın birim dis dışında olan her s H özdeğeri için.
Ortaya çıarılabilme (detectability avramını açılamaya çalışalım. Sıfır girdili, x = Ax y + = Hx sistemi için x başlangıç değeri bilinmesin. Uygun seçilen bir K matrisi için durum vetörünün estirimleri olan, xˆ xˆ + = Axˆ = + K(y Hxˆ ları göz önüne alalım. x durum vetörlerinin estirimleri olan xˆ lara gözlemci (observer denir. Gerçe x durumu yerine xˆ alındığında ortaya çıan hata, ê = x xˆ ve eˆ = x xˆ = Ax Axˆ K( y H xˆ = Ax Axˆ K( Hx H xˆ + + + olma üzere, eˆ ( ˆ + = A KH e eˆ = x, ( xˆ = indirgeme bağıntısı yazılabilir. Đstesel x başlangıç değeri için hatanın sıfıra gitmesi, A-KH matrisi ararlı olaca şeilde K matrisinin seçilmesi demetir. Bu ise (H,A nın ortaya çıarılabilir olması demetir. Ortaya çıarılabilme, durum vetörünün ( x, hatası sıfıra giden uygun düzenlenmiş bir gözlemci nin çıtısı olara ortaya çıarılabilmesidir (Hatası sıfıra giden gözlemci bulunabiliyorsa. clear all close all %x(+=ax( %y(=hx( =.6 =. delt=. A=[-*delt *delt -*delt]; H=[ ]; %ortaya çıarılabilme KK=[ ]; ozda_kh=eig(a-kk*h; x=[ ]; xgozlemci=[ ]; for =:5 x=a*x; x(:,=x; xgozlemci=a*xgozlemci+kk*(x(-h*xgozlemci; gozlemci(:,=xgozlemci end t=:5;
t=t*delt; subplot(,,4 plot(x(,:,x(,: hold on subplot(,, plot(t,x(,: hold on subplot(,,3 plot(t,x(,: hold on subplot(,,4 plot(gozlemci(,:,gozlemci(,:,'r' hold on subplot(,, plot(t,gozlemci(,:,'r' hold on subplot(,,3 plot(t,gozlemci(,:,'r'.8.6.4. 4 6.8.6.4. 4 6.8.6.4..5 Lineer Kestirim (Lineer Tahmin
Lineer Kestirim onusuna geçmeden önce bazı hatırlatmalar yapalım. Hilbert Uzayı: ( H,( R, +,,, vetör uzayı ve ( H, < > bir iç çarpım uzayı olsun. : H R / u ( < u, u > fonsiyonu bir norm ve d : H H R ( u, v d( u, v = u v fonsiyonu bir metritir. ( H, d metri uzayı tam uzay olduğunda, ( H, < > iç çarpım (pre- Hilbert uzayına Hilbert uzayı denir. Hatırlatma: ( H, d de her Couchy dizisi yaınsa, başa bir ifade ile, n m ( v n, ( H, d de bir dizi ve d( v, v v H için lim v n n m n = v oluyorsa, ( H, d tam uzaydır. Örne: Q R, Q : rasyonel sayılar ümesi olma üzere ( Q,( R, +,, +, bir vetör uzayıdır. ( Q, <.,. >, < u, v >= u v ve olsun. d( u v u v ( u v, u v / = = < > (( / v = + n + + +!! n! = u v = u v olma üzere ( vn, Q da bir Couchy dizisidir. Bu dizi hiçbir rasyonel sayıya yaınsamamatadır. Limiti Q da değildir. Dolayısı ile Q bir iç çarpım uzayıdır ama Hilbert uzayı değildir. ( Q, < u, v >= u v Hilbert uzayı değildir. ( R, < u, v >= u. v Hilbert uzayı. R Hilbert uzayı. n (, < u, v >= u ' v Örne: olma üzere, [, ] = { : : süreli fonsiyon} C f R f < f, g >= f ( x g( x dx olara tanımlanırsa (bu bir iç çarpım,
d( f, g f g f g, f g = = < > = ( f ( x g( x dx bir metritir. n ( x, x / fn ( x =, / x olma üzere, ( f n bir Cauchy dizisidir. Gerçeten, d( fn, f m = ( fn( x fm( x dx = olup, m > n için, ve / dır. Dolayısı ile ( n C ( ( ( olmadığından ( [, ],<. > fn x fm x dx / / ( ( ( fn x fm x dx / / / < ( fn ( x dx / / / / / n+ ( x fn x dx ( n + (n + x= ( ( = = n m f bir Couchy dizisidir. Anca (, iç çarpım uzayı tam uzay değildir. n / / d f f olaca şeilde bir f C[,] f(x L [, ] = f :[, ] : f ( x dx < uzayıdır. Di Đzdüşüm: R olma üzere ( L [, ],. < > bir Hilbert H bir Hilbert uzayı, M H apalı bir alt uzay olma üzere, u H elamanı bir te biçimde, u = uˆ + u~, uˆ M, u ~ M olara yazılabilir ve x
u uˆ = min u v v M dir. Bu û vetörüne, u 'nun M üzerine di izdüşümü denir ve uˆ = Ρ biçiminde gösterilir. M u Tanım: ξ, ξ,... H ve ξi = < ξi, ξ j >=, i j olma üzere, H = L ( ξ, ξ,... = v : v = aiξi, ai i= ξ, ξ ümesine ortonormal baz denir. ise { } u H için, u, v H için, dir. u = < u ξ > ξ i=, i i < u, v >= < u, ξ >< v, ξ > u i i= = < u, ξi > i= i = span ξ, ξ,... R { } Karesi Đntegrallenebilir Rasgele Değişenlerin Uzayı: ( Ω, U, P bir olasılı uzayı, X : Ω R Borel ölçülebilir fonsiyon (rasgele değişen ve E( X = X ( ω P( ω < olsun. Ω P( X = V = ise X ile V ' ye den rasgele değişenler denir. X rasgele değişenlerine den olan rasgele değişenlerin sınıfı da X ile gösterilsin, { : E( X < } Η = X denli sınıfların ümesi, < X, Y >= E( XY ile bir iç çarpım uzayıdır. d( X, Y = X Y = E( X Y
olma üzere, ( L ( Ω, U, P, <> uzayının bir Hilbert uzayı olduğu gösterilebilir. Bu ders apsamında ullanılaca olan uzay budur. da bir Hilbert uzayıdır. { } H = X H : E( X = ( L ( Ω, U, P, <> Lineer Kestirim Stoasti Süreçler için Lineer Kestirim Problemi + { t } Y : t R, E( Y =, t ( t E Y + <, t R için H Y t olma üzere, { : t } ümesi H da bir eğri ( H da notaların bir parametreli ailesi olara ele alınabilir. Eğer, { Y t : t } aresel ortalamada süreli, yani E ( Y t Y s olduğunda eğri sürelidir. { s : } Y Ht = L Y s t H alt uzayı (belli bir aralıtai sürecin gerdiği alt uzay aiyt lineer ombinasyonları ve bunların (aresel ortalama limitlerinden oluşmatadır. i ti t Tanım: Y Y Y < için, H H H L{ Y : s } t t = olur. t t s Y H t, H da bir alt uzay olup, X H için, ~ X = Xˆ + X, ˆ, Y X = P X H, ~ Y Ht X Xˆ = min Y X V V H t X Xˆ = E( X Xˆ t Y X H t olma üzere, Xˆ rasgele değişenine{ Y s : s t} verildiğinde (gözlendiğinde X 'in lineer en üçü areler estiricisi denir. { : s t}, ( Y =, E( < Y s s Y s s t E gözlendiğinde t < t için, E ( X P X E ( X P X Y Ht Y Ht ' olur, yani süreç ne adar uzun gözlenirse, hata daha az olur. Y t Sonlu Boyutlu Uzaylarda Lineer Kestirim Problemi V, V,..., V m sıfır ortalamalı ve sonlu varyanslı rasgele değişenler,
ve U, W H için, < U, W >= E ( UW olma üzere, ( H, <> bir Hilbert uzayıdır. H = b V b b b = b V b m { } m j j :,,, m R ' : R j= Y, Y,..., Y H ve L( Y, Y,..., Y = bjyj : b, b,..., b R H j= olma üzere; Zi =, i =,,..., m L( Y, Y,..., Y = L( Z, Z,..., Zm, < Zi, Z j >=, i j olaca şeilde, Z, Z,..., Z m ortonormal bazı vardır. X Η için, X ˆ L ( Y,,..., Y Y X Xˆ L( Y, Y,..., Y E ( X Xˆ Y =, i =,,..., ( i özellilerini sağlayan Xˆ rasgele değişenine X in L( Y, Y,..., Y üzerine di izdüşümü denir. X = Xˆ + Xɶ, Xˆ L( Y, Y,..., Y, Xɶ L( Y, Y,..., Y biçiminde yazılabilir. min E( X α Y minimizasyon problemini göz önüne alalım. α α,..., i= i i αi i ( αi ( i ( αi i i= i= i= E X Y = E X E XY + E Y olma üzere, α lara göre türev alınıp sıfıra eşitlenirse, E( X Y α i i i = α j i= =, j =,,..., αi E( Yi, Yj = E( XYj, j =,...,
E( YY E( YY... E( YY E( YY E( YY... E( YY E( YY E( Y Y... E( YY α E( XY α E( XY = α E( XY elde edilir. Y = ( Y, Y..., Y ', α = ( α, α..., α ' gösterimleri ile, Cov( Y α = E( X Y yazılır. Buradan, ˆ = ( Cov( Y E( X Y α ve ˆ ˆ α ' ( '( ( bulunur. Burada, X = Y = E XY COV Y Y α E( Y, Y = E( XY, j =,..., E[( X α Y Y ] =, j =,..., i i j j i i j i= i= olduğu göz önüne alınırsa, Xˆ = P X L( Y olduğu görülür. Özetlerse, min E( X α ( ˆ ( ˆ iyi = E X αiyi = E X X α,..., α i= i= ˆ = ( Cov( Y E( X Y α Xˆ = P X L( Y dir. Đndirgemeli Kestirim Y, Y,..., Y,... gözlemleri ardışı olara ( ara araya alınsın. Y n Y Y = Y gözlemine dayalı en iyi (gözlemlerin lineer fonsiyonu olaca ve E X αiyi belenen değerini en üçü yapaca estirici Xˆ olsun. i= Xˆ = P X L( Y dır. Y + gözlemi geldiğinde X ˆ + 'i ii yoldan hesaplayabiliriz. αiyi şelinde i=
X ˆ + = P L( Y, Y,..., Y + + gereir ve her adımda ( X olara hesaplanırsa, tüm geçmiş gözlemlerin aydının elimizde olması Cov( Y hesaplanması gereir. X ˆ ve Y + ullanılara hesaplama yapılabilir. Yani Xˆ ˆ + = f ( X, Y + olur. Buna indirgemeli estirim denir. Ayrıca, Xˆ ˆ + = a X + by + biçiminde olduğunda lineer indirgemeli estirim söz onusudur. Genel olara bu şeilde hesaplama mümün olmamala birlite X, Y, Y,..., Y n,... rasgele değişenleri arasındai bağıntı yapısının bazı durumları için mümün olmatadır. Đnnovasyon Dizisi (Innovation Sequence Y, Y,..., Y,... ler ardışı gözlemler, ve Y n Y Y =, =,,3,... Y Y = P Y + ( I P Y = Y ˆ + Yɶ L( Y L( Y / / Y = P Y + ( I P Y = Y ˆ + Yɶ 3 3 L( Y L( Y 3 3/ 3/ Y = P Y + ( I P Y = Y ˆ + Yɶ... olma üzere, Yɶ = Y 4 3 4 3 L( Y L( Y 4 4 / 3 4 / 3 Y = Y ɶ / Y 3 = Y ɶ 3/ Y 4 = Y ɶ 4 / 3... dizisine innovasyon dizisi (innovation sequence, güncellenmiş dizi denir. Bu dizidei terimler, bir gözlemin öncei gözlemlerin gerdiği uzayın di tümleyeni olan uzay üzerine di izdüşümleridir, yani Y = Y ɶ = ( I P Y = P Y dır. Buradan hareetle, ve / ( L Y L( Y + L( Y = L( Y L( Y ɶ +, L( Y L( Y ɶ + olma üzere, P = P + P ɶ + L( Y L( Y L( Y +
X ˆ = P X = P X + P X + + L( Y L( Y L ( Y ɶ + ˆ ˆ < X, Yɶ + > ˆ < X, Yɶ + > X ( ( + = P + X = X ( + Y + = X + Y P Y L Y + L Y + < Yɶ +, Yɶ + > < Yɶ +, Yɶ + > yazılabilir. Örne: X, V, V,... sıfır ortalamalı, rasgele değişenler olsun. Y = X + V, =,,... E X = σ E V = a i = varyanslı bağımsız (, ( i,,,... olma üzere Y, Y,..., Y,... 'lar gözlenebilsin. Bu gözlemlere dayalı olara X rasgele değişenini estirme isteyelim. X rasgele değişeninin, + min E( X Y = E( X Xˆ α α + i= Đ i + olaca şeildei lineer estiricisi, ˆ ˆ < X, Yɶ + > ˆ < X, Yɶ + > X ( ( + = P + X = X ( + Y + = X + Y P Y L Y + L Y + < Yɶ +, Yɶ + > < Yɶ +, Yɶ + > dir. olma üzere, P ˆ Y ( ( L( Y + = P X + V L( Y + = P X = X L( Y Y ɶ = Y P Y = X + V P Y ( ( ( ( L Y + + L Y + + + = X + V ˆ + X = X + V + < X, Yɶ > = < X, Xɶ > = < Xɶ, Xɶ > = Xɶ = X Xˆ + < Yɶ, Yɶ > = < Xɶ + V, Xɶ + V > + + + + < ɶ ɶ > + < > = X X + a = X, X V +, V + X Xˆ Xˆ = Xˆ + ( Y Xˆ + + ˆ X X + a elde edilir. Buradan, ˆ = X + + ˆ X X + a X Xˆ Xˆ = Xˆ + ( Y Xˆ, =,,,... indirgeme bağıntısı yazılabilir, anca burada P( = X Xˆ ˆ X X ˆ değeri bilinmemetedir.
gösterimi altında, ˆ P( = X X = X =< X, X >= E( X = σ ˆ ˆ P( P( + = X X ˆ = X ( X + ( Y X + P( + a + = = a a ˆ P( + X X V P( + a P( + a P( + a a ˆ P( ( X X + V P( + a P( + a ( + a P = σ + a P( + a P( + a olup, aşağıdai gibi bir indirgemeli algoritma oluşturulabilir. ˆ X =, P( = σ + ˆ ˆ P( X ˆ = X + ( Y X, =,,,... + P( + a + ( P ( ( a σ a P + = + P ( + a P + a Hatırlatma: X, Y rasgele değişenleri için E( X =, E( Y =, E( X = σ X <, E( Y = σ Y <, Cov( X, V = σ XY olsun. Y = y olara gözlendiğinde X in alacağı değeri estirme (tahmin etmeisteyelim. X için ˆX estierim değeri, E( X Xˆ = min( X αy α olaca şeilde istenirse (arzu edilirse, ˆ < X, Y > σ XY σ X X = PL ( Y X = Y = Y = ρ Y < Y, Y > σ Y σ Y olur. Bu durumda, ˆ ˆ ˆ E( X X = E( X E( XX + E( X σ σ = σ ρ ρσ σ + ρ σ X X X X Y Y σ Y σ Y X ( ρ = σ ve yapılan hata, ˆ X Xɶ σ = X X = X ρ Y σ Y olup, E( X ɶ = ve Var( Xɶ = σ ( ρ dır. Ayrıca, X
dır. Cov Xɶ Y Cov X Y Cov Xˆ Y σ ρσ σ ρ σ X (, = (, (, = X Y Y = σy X Y Y,,,..., Y n ler sıfır ortalamalı, sonlu varyanslı, aralarındai ovaryanslar bilinen rasgele değişenler olsun. Y = y, Y = y,..., Yn = yn olara gözlendiğinde X rasgele değişeninin alacağı değeri, n ( ˆ = min ( j αi i α, α,, α n i= E X X X Y olaca şeilde ˆX gibi bir estirici ile estirme istediğimizde, Xˆ = P X dır. L( Y ˆ = ( Cov( Y E( X Y α ˆ X = ˆ α ' Y = E( XY '( COV ( Y Y 3 X p ve Y, Y,..., Y n ler r boyutlu, aralarındai ovaryanslar belli rasgele vetörler olsun. Y = y, Y = y,..., Yn = yn olara gözlendiğinde X rasgele vetörünün alacağı değeri, X vetörünün herbir X j bileşeni için, n ˆ j j = j α ji i α j, α j,, α jn i= E( X X min ( X Y, j=,,...,p olaca şeilde X ˆ j gibi bir estirici ile estirme istediğimizde, Y X Y X n Y =, X = Y n X nr p p olma üzere, ˆ n n n X = P X = E( X Y '( COV ( Y Y, j=,,...,p j n L( Y j j Xˆ = P X = E( X ( Y ( COV ( Y Y n L( Y n n n dır. Đndirgemeli olara, + L( Y = L( Y L( Y ɶ +, L( Y L( Yɶ ˆ + = Y + Y + / ve P P P + = + ɶ olma üzere, L( Y L( Y L( Y + X ˆ = P X = P X + P X + ɶ + L( Y L( Y L ( Y + olara estirilebilir.
KALMAN FĐLTRESĐ Kesili Zaman Stoasti Durum-Uzay Modeli Bir sistemin durumu (sistemin içi ile ilgili rasgele değişenler bir X rasgele vetörünün bileşenleri ve sistem çıtısı Y olma üzere zaman indisine bağlı olara, X = A( X + + C( W, =,,,... Y = H ( X + G( W gibi bir modele esili zaman lineer durum-uzay modeli denir. Birinci denleme durum denlemi ve iinci denleme çıtı ve ya onum denlemi denir. Bu durum-uzay modelinde: ( X dizisi n boyutlu gözlenemeyen rasgele vetörlerin dizisi, ( Y dizisi r boyutlu gözlenebilen rasgele vetörlerin dizisi, ( W dizisi l boyutlu gözlenemeyen rasgele hata vetörlerinin dizisi ve A( : n n, H ( : r n, C( : n l, G( : r l ( l r model parametrelerin matrisleri olma üzere, bu matrisler zamana bağlı olduğunda modele dinami model, asi halde stati model denir. *Karışılığa yol açmadığı tatirde dinami modeller için bu matrislerdei zaman indisi yazılmayacatır. Model varsayımları: X için E( X = m =, Cov( X = P, Cov( X, W =, =,,... ' Il, = m E( W =, Cov( W, W m = E( W W m = yani, ( W dizisi bir, m beyaz gürültü süreci, W ~ WN (, I. Sistem girdisi bulunmayan, X A( X + C( W, =,,,... Y = H ( X + G( W l durum-uzay modelini göz önüne alalım. Amaç, çıtının Y, Y,..., Y gözlemlerine dayanara sistemin X durumunu estirme olsun. Belli bir ana adari gözlemlere dayalı olara bir adım ilerisi için durum vetörünün alacağı değer estirilme istensin. Kestirim, Y Y Y = Y gözlemlerinin ˆ ( X = P X = α Y lineer birleşimi olara yapılsın. Bu estirim, / L( Y E X ˆ ˆ X / '( X X / nın minimum olması anlamında en iyi estirimdir. Kalman Filresi Xˆ / 'in estirimi için geliştirilmiş indirgemeli bir algoritmadır.
Xˆ / = P ( X L( Y Xɶ = X Xˆ / Yˆ = P ( Y = H Xˆ / L( Y / Yɶ = Y Yˆ = Y H Xˆ = H Xɶ + GW / / / / P ( H X GW HP ( ( ( X, W L( Y + = L Y L Y olduğunu göz önünde tutara, Xˆ / = P ( ( X ( ( = P X P X + L Y L( Y L( Y ˆ ( ( ( ( = X + E X Yɶ Cov Yɶ Yɶ / / / / indirgeme bağıntısının sağ tarafındai terimler için, E X ( Y ɶ = E X ( H X ɶ + GW ' = E XX ɶ / H + X W G, ( W X = E ( Xˆ / + X / X / H ɶ ɶ, ( X ˆ / X ɶ / = Cov( Xɶ / H P( = Cov( Xɶ / gösterimi altında E X ( Y ɶ / ' = P( H olur. a / / Cov( Yɶ = E( Yɶ Yɶ ' = E ( H X ɶ / + GW ( H X ɶ / + GW, ( W X = HCov( Xɶ / H + GCov( W G = HP( H + GG olma üzere, ˆ ˆ X = X + P( H HP( H + GG ( Y H X ˆ b / / / [ ] / / / yazılır. Şimdi X ˆ + / ile Xˆ / arasında bir bağıntı urmaya çalışalım. Durum denleminin her ii tarafına P di izdüşüm operatörü uygulansın. Bunun sonucunda, L( Y Xˆ AXˆ CWˆ + = + olup, burada / Wˆ = P ( W = P ( W + P ( W ɶ, ( W L( Y / ( ( L Y / L Y L( Y = E( W ( Y ɶ / ' Cov( Y ɶ / Y ɶ /, ( Yɶ = HXɶ + GW
= G [ HP( H + GG ] Yɶ dır. Böylece, Xˆ = A Xˆ + P( H '( HP( H + GG Y + CG [ HP( H + GG ] Y + / / / / elde edilir. ( ( ( = AX + AP( H ' + CG ' HP( H ' + GG ' Y H X ( ( K( = AP( H ' + CG ' HP( H ' + GG ' gösterimi ile, X ˆ ˆ ˆ + / = AX / + K( ( Y H X / şelinde yazılabilir. Buradai, K( matrisi, Kalman Kazanç Matrisi olara adlandırılır. Bu matrisin içinde bilinmeyen P( = Cov( Xɶ / matrisi bulunmatadır. Şimdi bu matrisin hesaplanması üzerinde durulsun. ve olma üzere, X + = AX + CW + ( Xˆ ˆ ˆ + / = AX / + K( ( Y HX / X Xˆ = A( X Xˆ + CW K( ( Y HXˆ + + / / / Y HXˆ = HX + G( W HXˆ = HXɶ + GW / / olup, X ɶ ˆ + / = X + X + / = A K( H X ɶ / + ( C K( G W Cov( Xɶ = A K( H P( A K( H + ( C K( G( C K( G' + / [ ] [ ] elde edilir, yani P( + = Cov( X ɶ + / için indirgeme bağıntısı elde edilmiş oldu. Gerçeten K( yerine değerinin yazılmasıyla, P( + = AP( A AP( H K ( K ( HP( A' + K ( HP( H K ( + CC CG K ( K( GC ' + K( GG K ( AP( A + CC + K( HP( H + GG K ( = [ ] K( [ HP( A + GC] [ AP( H + CG ] K ( = AP( A + CC [ AP( H + CG ][ HP( H + GG ] [ AP( H + CG ] indirgeme bağıntısı elde edilir. P( + = AP( A + CC AP( H + CG HP( H + GG AP( H + CG indirgeme bağıntısına Riccati Denlemi denir. Kalman Filtresi Xˆ = / E( X = m =, P ( = P [ ][ ] [ ]
( ( K( = AP( H ' + CG ' HP( H ' + GG ', =,,... ˆ ˆ ( ( ˆ X + / = AX / + K Y H X / [ ][ ] [ ] P( + = AP( A + CC AP( H + CG HP( H + GG AP( K H + CG Durum-uzay modeli, X + = AX + W Y = H X + V ( = m, Cov ( X = P, E ( V =, Cov ( V = R, E ( W =, Cov( W E X X, W, W,..., V, V,... lar ilişisiz, olsun. Kalman Filtresini elde edelim. P X AP X P W ( ( ( ( ( ( L Y L Y L Y + = +, W L( Y = A P ( ( X P ( ( X L Y + L Y / + ' ( ( X = A X + E X Y Cov Y Y olacatır. Burada, Y = Y Y = Y P Y + / / / / / ( ( / / L Y = Y P H X + V, V L( Y ( ( L Y = Y H X = H X + V H X = H ( X X / + V Y = H X + V / / / / = Q ve Cov( Y / = Cov H X / + V ( = HCov ( X / H ' Cov( V + ( / = ( ' + Cov Y HP H R ' E ( X Y / = E ( X ( H X / + V ' ' ' = E ( X X / H ' + X V = E ( X / + X / X / H ' + E X V ' ( (
= Cov ( X H ' E ( X Y / = P ( H ' Böylece, / ' X = A X + P( H '( HP ( H ' + R Y = AX ( ( ( / + AP H ' HP H ' + R H X / + V + / / / elde edilir. ( K Matrisi ( ( = ( ( + matrisinde bulunan ( K AP H ' HP H ' R için aşağıdai eşitlileri taraf tarafa toplayara, X = AX + W ( X = AX K H X + V + / / / ( ( ( X = A X X + W K H X K V + / / / ( ( / ( = A K H X + W K V elde edilir. Heve ii tarafa Cov operatörünün uygulanmasıyla, P + = A K H P A K H ' + Q + K R K ' olara elde edilir. onara, ( ( ( ( ( ( ( ( P ları elde edebilme Bu indirgemeli denlemde K ( matrisi yerine AP( H '( HP( H ' + R ( + = + [ + ] P AP( A' Q AP( H ' HP( H ' R HP( A' ( P ve M simetri matrisler Bunlara göre Kalman Filtresi, X = m P ( = P ( X + / = AX / + K Y H X / K ( = AP( H '( HP ( H ' + R P( + = AP( A' + Q AP( H '[ HP( H ' + R ] HP( A' Filtreleme (Filtering Kavramı:
Bir sistem aşağıdai gibi bir stoasti esili-zaman durum-uzay modeli ile modellenmiş olsun. X + = AX + Bu + CW (durum denlemi Y = H X + GW (onum(çıtıdenlemi Amaç: Sistem belirleme (parametre tahmini Durum ( X estirimi 3 Optimal ontrol olabilir. Kalman Filtresi, Y, Y,..., Y gözlemlerine dayalı olara X durum vetörünün bir adım sonrasını estirme için ullanılan indirgemeli bir algoritmadır. Filtreleme nedir? Bir sistemle ilgili bir S niceleğini (sinyalini gözleme isteyelim. t S( t, t (süreli zaman 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 6 j S( j, j=:,: (esili zaman 4 3 4 5 6 7 8 9 gibi çıtılar elde edilebilir. S( j yerine gürültü arışmış bir Z( j = S( j + V ( j, j=:,: gözlenmiş olsun.
8 6 4-4 6 8 gibi çıtılar elde edilebilir (yuarıdai sinyale V N(,/ 4 rasgele değişeninin dağılımından üretilen sayılar elenmiş. Zaman serisi grafilerinde olduğu gibi ardışı notalar düz çizgi ile birleştirilere aşağıdai gibi bir çıtı elde edilmiştir. 8 6 4-4 6 8 Filtreleme (Filtering: t anında S( t için bilgi edinme istemete, t anına adari gözlemler ullanılmata, 3 S( t için bilgi t anında hazır olmata. Örne: Bozu bir dille dite edilen bir yazıyı anında anlamlandırara aleme alma. Y, Y,..., Y gözlemlerine dayalı olara X durum vetörünün estirimi, Xˆ = P ( X / L( Y = Xˆ [ ] ˆ / + P( H HP( H + GG Y H X / olma üzere, Y ˆ,,,,... = H X / = estirimlerinin elde edilmesi işlemi bir nevi Y, Y,..., Y gözlemlerinin filtrelenmesidir.
Düzgünleştirme (Smoothing: t anındai S( t için bilgi edinme istenmete, t anına adari ve sonrai gözlemler ullanabilmete, 3 S( t için bilgi t anında bilgi hazır olmayabilmete. Örne: Kötü yazılmış bir metubu (telgrafı ouyup yeniden anlamlandırma. Öngörme (Forecasting: t anında S( t + a için bilgi edinme istenmete a > (yani ilerisi için, t anına adari gözlemler ullanılmata, 3 S( t + a için bilgi t anında hazır olmata. Örne: Zıplayan bir topu yaalama için beynin yaptığı iş. Durum-Uzay Modellerinde Bazı Kovaryans Hesaplamaları X + = AX + CW, =,,,... Y = H X + GW ve varsayımlar: W WN(, I E( X = m, Cov( X = P 3 Cov( X, W =, =,,,... olsun. Durum denleminden indirgemeli olara, X = AX + CW = A( AX + CW + CW elde edilir. = A ( AX 3 + CW 3 + ACW + CW... j = A X j + A CW j + A CW +... + ACW + CW, j=,,..., j j ( j a b X = A X + A CW + A CW + A CW +... + ACW + CW olup, 3 Cov( X, W =, =,,.. Cov( X, W + j =, j =,,.. Cov X W Cov A CW W A C j j j (, j = ( j, j =, =,,.., X E X = A X E X + A CW + + ACW + CW olup, j j ( [ j ( j ] j... { } j Cov( X, X j = E [ X E( X ][ X j E( X j ]' = A Cov( X j, j =,,.., Cov X = P c ( Cov( X + = Cov( AX + CW = ACov( X A'+CC'
olma üzere, L( = Cov( X gösterimi altında, L( + = AL( A' + CC ' L( = P indirgeme bağıntısı (Lyapunov (Lâpunov denlemi elde edilir. A matrisi ararlı matrisi olduğunda, L( L olma üzere, L matrisi Lâpunov denleminin çözümü olup tetir. L = ALA' + CC ' Bu durumda, Cov( X L dır. d Cov( Y = Cov( H X + GW = HCov( X H ' + GG' j j (, j ( j ' ',,,..., Cov Y Y = HA Cov X H + HA CG j = dır. Kalman Filtresi ile Đlgili Bazı Örneler Örne: Aşağıdai MATLAB programını işletiniz. clear all close all clc A=[. -..5..3.5]; H=[ ]; xdurum=[ ]; for =: xdurum=a*xdurum+randn(3,*.5; gx(:,=xdurum; gy(:,=h*gx(:,+randn(,*.5; % gy gözlenen y end P=.*eye(3; X=[ ];
Q=eye(3*.; R=eye(*.; for =: K=A*P*H'*inv(H*P*H'+R; Y=gy(:,; X=A*X+K*(Y-H*X; P=A*P*A'+Q-A*P*H'*inv(H*P*H'+R+.*eye(*H*P*A'; x(:,=x; end figure plot(gx(,: hold on plot(x(,:,'r' figure plot(gx(,: hold on plot(x(,:,'r' figure plot(gx(3,: hold on plot(x(3,:,'r' Bu programın bir çıtısı aşağıdai gibidir:.5.5 -.5 5 5 5
.4.3.. -. -. -.3 -.4 5 5 5..8.6.4. -. -.4 5 5 5 Örne: X + = ax + W Y = X + V Varsayımlar: E( X = m, Var( X = P E( W =, E( V =, Var( W =, Var( V =, Cov( W, V =, =,,,... Cov( X, W =, =,,,... Amaç: Y, Y,..., Y,... gözlemlerine dayalı oara X + durum değişenini estirme. Kalman Filtresi: ˆX = / m X ˆ = ax ˆ + K( ( Y X ˆ + / / /
P( = P ap( K( = P( + ( ap( ( + a P( + P( + = a P( + = P( + P( + olup, a = için, dır. P( = P P( P(= P(=3 P(=4 P(3=4. P(4=4.3 P(5=4.3 P(6=4.3 ( + a P( + P( + = P( + indirgeme bağıntısı için denge durumu, * * ( + a P + P = * P + denleminin çözümü olma üzere, * * P a P = P * a + a + 4 = olup, a = için, dır. * 4 + 8 P = = 4.36 8 K( K(= K(=.5 K(=.6 K(3=.6 K(4=.6 K(5=.6 K(6=.6 6 P( 4 3 4 5 6 7 8 9
P( P * * * ap K + * K( = =.68 P + Bu yaınsama a >, yani X + = ax + W ararlı olmadığı (unstable durum için de geçerli. a > için, Var( X ˆ * P( = Var( X X / = P Genelde, Xɶ ˆ + / = X + X + / = AX ˆ ˆ + CW AX / K( [ Y HX / ] = [ A K( H ] Xɶ / + [ C K( G] W ve örneğimiz için, Xɶ + / = [ a K( ] Xɶ / + W K( V dır. a = (unstable ve >> (yeterince büyü için, Xɶ + /.38Xɶ / + W.88V olup, ararlı bir otoregresyon durumu sözonusudur ( hatalar aslında durağan. a > için { X } serisi ararlı olmasa bile X durum değişeni başarılı bir biçimde izlenebilir. Zamandan Bağımsız Riccati Denlemi Zamandan bağımsız Riccati Denlemi, P = APA' + CC ' ( APH ' + CG '( HPH ' + GG ' ( APH ' + CG ' olma üzere, P başlangıç ovaryans matrisi Riccati Denlemini sağlarsa, her için P( = P olur ve bu durumda K( Kalman azanç matrisi zamandan bağımsız olur. Bu durum, {,,,,.. } {,,,,.. } X = sürecinin ( u = durumunda durağan olmasını geretirmez. X = sürecinin durağan olması durumu: Cov( X + = Cov( AX + CW = ACov( X A'+CC', Cov( X = P olma üzere, A ararlı ve P = AP A' + CC ' ise Cov( X = P, =,,,... dır. Riccati denlemi ii arşıt eti arasında bir uzlaşmadır. Bir taraftan gözlemler geldiçe ve biritiçe X haında bilgi artmata, diğer taraftan ise başlangıçtan uzalaştıça X durumunun onumu (değeri daha belirsiz olmatadır, yani [ ][ ] [ ] P( + = AP( A + CC AP( H + CG HP( H + GG AP( K H + CG indirgeme bağıntısı ile hesaplanan P( + ler ırasayabilir. Riccati denlemini sağlayan başlangıç ovaryansı bu ii belirsizliğin dengelendiği bir değerdir. Riccati denleminin çözümünün varlığı ve teliği, durum-uzay modelindei ararlılı ve ortaya çıarılabilme özellilerine bağlıdır.
A = A CG '( GG ' H C = C[ I G '( GG ' G] G olma üzere: a ( H, A ortaya çıarılabilir ise Riccati denleminin negatif olmayan en az bir çözümü vardır. b ( A, C ararlı ise çözüm tetir ve P( P dır. P( eyfi bir P başlangıç değeri ile üretilmiştir. Ayrıca, K Kalman azancı, K = ( APH ' + CG '( HPH ' + CG ' olma üzere, A KH ararlıdır. c Eğer sistem ortaya çıarılabilme ve ararlılı özellilerini sağlıyorsa, başlangıç ovaryans matrisi pozitif tanımlı ve P Riccati denleminin çözümü olma üzere, P( P dır. d Eğer sistem gözlemlenebilme özelliğini sağlıyorsa ve başlangıç ovaryans matrisi P pozitif tanımlı ise P( P dır. Lineer Olmayan Durum-Uzay Modeli ve Genişletilmiş Kalman Filtresi Konuya geçmeden önce lineer durum-uzay modelleri ile ilgili bazı hatırlatmalar yapalım. X + = AX + CW Y = H X + V X N( m, P, W N(, Q, V N(, R ve X, W, W,..., V, V,... lar ilişisiz. ˆ X / = P ( X = E( X / Y L( Y X ˆ / ( ( = P X L Y, Xɶ ˆ / = X X / ˆ ˆ P / = E[( X X / ( X X / '/ Y ] ˆ ˆ P( = P / E[( X X / ( X X / '/ Y = ] Xˆ AXˆ Xɶ = X Xˆ = A( X Xˆ + CW / / =, / / / P = AP A' + CQ C ' Kalman Filtresi: / /