1) 24 ve 36 sayılarının ebob ve ekok u kaçtır? 24 36 2 * ebob = 2.2.3 =12 12 18 2 * ekok = 2.2.2.3.3 = 72 6 9 2 3 9 3 * 1 3 3 1 Ebob ( 24, 36 ) = 12 ( * lı olanların çarpımı) Ekok ( 24, 36 ) = 72 ( Hepsinin çarpımı ) 2) 50 ve 80 sayılarının ebob ve ekok u kaçtır? 50 80 2 * ebob = 2.5 =10 25 40 2 ekok = 2.2.2.2.5.5 = 400 25 20 2 25 10 2 25 5 5 * 5 1 5 1 Ebob ( 50, 80 ) = 10 ( * lı olanların çarpımı) Ekok ( 50, 80 ) = 400 ( Hepsinin çarpımı ) 3) 30, 45 ve 60 sayılarının ebob ve ekok u kaçtır? 30 45 60 2 ebob = 3.5 =15 15 45 30 2 ekok = 2.2.3.3.5 = 180 15 45 15 3 * 5 15 5 3 5 5 5 5 * 1 1 1 Ebob ( 30, 45, 60 ) = 15 ( * lı olanların çarpımı) Ebob ( 30, 45, 60 ) = 180 ( Hepsinin çarpımı ) Not : Bölme işlemi sırasıyla asal olan sayılar ( 2,3,5,7,11,,13,...) olacak şekilde yapılmalıdır. Üç sayınında aynı anda bölündüğü zaman ortak bölen sayıya * konuldu.
4) 20 ve 36 metre uzunluktaki iki ayrı kumaş, eşit uzunlukta olacak şekilde en uzun kaç metrelik parçalara ayrılır? Kumaşlar 2 şer metre uzunlukta kesilirse eşit olarak parçalanırlar ancak burada sorulan, en uzun parça kaç metre olmalıdır? Bunun için 20 ve 36 nın bölünebildiği en büyük sayı bulunmalıdır. Ebob alınır. 20 36 2 * ebob = 2.2 = 4 10 18 2 * 5 9 3 5 3 3 5 1 5 1 O halde kumaşlar en fazla 4 metre olarak kesilebilir. 5) Kenar uzunlukları 60 metre ve 80 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin kenarlarına eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Buna göre en az kaç ağaç dikilir? Ağaçlar 1 er metre yada 2 şer metre aralıklarla dikilebilir. Fakat bu şekilde çok ağaç gerekir. Oysa soruda en az kaç ağaç lazım deniliyor. Ağaç sayısının en az olması için aralıkların en fazla olması lazımdır. O zaman 60 ve 80 in bölünebildiği en büyük sayı iki ağaç arasındaki aralık olacaktır. Ebob alınır. 60 80 2 * ebob = 2.2.5= 20 30 40 2 * 15 20 2 15 10 2 15 5 3 5 5 5 * 1 1 Ağaç sayısı = Bahçenin çevresi / iki ağaç arası uzunluk Ağaç sayısı = 2. ( 60 + 80 ) / 20 Ağaç sayısı = 280 / 20 Ağaç sayısı = 14 tane ağaç
6 ) İçinde 48 kg un, 72 kg şeker ve 90 kg tuz olan çuvallar, birbirine karıştırılmadan eşit hacimli torbalara konulacaktır. En az kaç torba gereklidir? Ebob ( 48, 72, 90 ) = 6 olup, bir torba en çok 6 kg olur. un için 48 / 6 = 8 torba şeker için 72 / 6 = 12 torba tuz için 90 / 6 = 15 torba gerekir, toplam 8 + 12 + 15 = 35 torba gerekir. 7 ) Kenar uzunlukları 280 cm ve 300 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir odanın zemini kare şeklindeki fayanslar ile döşenecektir. En az kaç fayans gereklidir? Ebob ( 280, 300 ) = 20 olup, Fayansın bir kenarı 20 cm Fayans sayısı = Bütün alan / Fayansın alanı Fayans sayısı = 280. 300 / 20. 20 Fayans sayısı = 28. 30 / 2.2 Fayans sayısı = 210 tane fayans gerekir. 8 ) Kenar uzunlukları 10 cm ve 18 cm olan dikdörtgen şeklindeki fayanslar, kare şeklinde bir zemin oluşacak şekilde döşenecektir. En az kaç fayans gereklidir? Karenin bir kenar uzunluğu 10 ve 18 in ekok u ( en küçük ortak katı ) olmalıdır. Ekok ( 10, 18 ) = 90 cm olup, karenin bir kenarı 90 cm olur. Fayans sayısı = Karenin alanı / Fayansın alanı Fayans sayısı = 90. 90 / 10. 18 = 9. 5 = 45 tane yada, Fayans sayısı = 8100 / 180 Fayans sayısı = 45 tane fayans gerekir. 9 ) Sırasıyla 20 şer, 30 ar ve 40 ar dakika arayla çalan üç ayrı zil, aynı anda çaldıktan kaç dakika sonra yine birlikte çalarlar? 20, 30 ve 40 sayılarının birleştiği en küçük ortak kat bulunur. Ekok ( 20, 30, 40 ) = 120 ise Bu üç zil birdaha ilk kez 120 dakika sonra birlikte çalacaktır. Bu durum her 120 dakikada bir tekrarlanır.
10) 1 den 300 e kadar, 3 ve 5 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı vardır? Ekok ( 3, 5 ) = 15 olup, 15 ve 15 in katları 3 ve 5 e tam bölünür. 1 den 300 e kadar 15 e bölünen sayıların sayısı, Terim sayısı = [( Son terim İlk terim ) / Ortak fark ] + 1 Terim sayısı = [( 300 15 ) / 15 ] + 1 Terim sayısı = 19 + 1 Terim sayısı = 20 tane doğal sayı vardır. 11) Boyutları 3,4,5 birim olan dikdörtgenler prizması biçiminde en az kaç tane tuğla ile küp yapılır? Ekok ( 3, 4, 5 ) = 60 olup, Küpün bir kenar uzunluğu 60 birim olacaktır. Tuğla sayısı = Küpün hacmi / Bir tuğlanın hacmi Tuğla sayısı = 60.60.60 / 3.4.5 = 20.15.12 = 3600 tane yada, sadeleştirmeden, Tuğla sayısı = 216000 / 60 Tuğla sayısı = 3600 tane tuğla. 12 ) a, b, c N olmak üzere, x = 4 a + 2 = 5 b + 3 = 7 c + 5 olduğuna göre en küçük x tam sayısı kaçtır? Eşitliklerin hepsine 2 eklersek, eşitlikler 4 ün, 5 in ve 7 nin katı olacak şekilde paranteze alınabiliyor. x + 2 = 4a +2 +2 = 5b + 3+2 = 7c + 5 + 2 x + 2 = 4a + 4 = 5b + 5 = 7c + 7 x + 2 = 4 (a+1) =5 ( b +1 ) = 7 ( c + 1 ) Demek ki x+2 sayısı, 4 ün, 5 in ve 7 nin ortak katı imiş. Ekok ( 4, 5, 7 ) = 140 olur. x + 2 = 140 x = 140 2 = 138 olur en az.
13) Birbirinden farklı a,b,c doğal sayılarının ortak katlarının en küçüğü, 36 dır. Buna göre a+b+c toplamı en çok kaçtır? Ekok ( a, b, c ) = 36 ise 36 = 1. 36 = 2. 18 = 3. 12 olarak sırasıyla 1 in, 2 nin, 3 ün katı olarak yazıldı. Bu durumda a = 36, b = 18 ve c = 12 sayıları seçelim. ekokları 36 olup, a + b + c toplamı en çok 36 + 18 + 12 = 66 olur. 14) A = 2 2. 3 4. 5 3 B = 2 3. 3 2. 5 ise ; EBOB ( A, B ) =?, EKOK ( A, B ) =? Üslü olarak verilen sayıların ebob u, her ikisin dede var olan (ortak olan ) asal sayıların üslerinin en az olanlarının çarpımına eşittir. Ebob ( A,B ) = 2 2. 3 2. 5 = Ebob ( A,B ) = 4. 9. 5 = 180 Üslü olarak verilen sayıların ekok u, her ikisin dede var olan ( ortak olan ve olmayanlar da ) asal sayıların üslerinin en büyük olanlarının çarpımına eşittir. Ekok ( A,B ) = 2 3. 3 4. 5 3 = Ekok ( A,B ) = 8. 81. 125 = 81000 15) EBOB ( 18, A ) = 2 EKOK ( 18, A ) = 90 ise, A doğal sayısı kaçtır? Her hangi iki doğal sayısının ebobu ve ekoku nun çarpımı, bu iki sayının da çarpımına eşittir. Ebob ( a, b ). Ekok ( a, b ) = a. b 18. A = 2. 90 18 A = 180 A = 180 / 18 A = 10 olur.
16) Aralarında asal olan iki sayının Ekok u ile Ebob unun farkı 128 ise toplamları kaçtır? İki sayının aralarında asal olması demek, bu sayıların ortak bölünebildiği en büyük sayı 1 olur. Yada bu sayıları kesir olarak a / b şeklinde yazdığımızda, sadeleşmeyen bir kesir olur. Aralarında asal olan iki sayının ekoku ise bu sayıların çarpımına eşit olur. Buna göre ; Aralarında asal olan iki sayı a ve b olsun. Ekok ( a, b ) Ebob ( a, b ) = 128 a. b 1 = 128 ise a. b = 128 + 1 = 129 olur. 129 asal çarpanlarına ayrılınca, 129 = 3. 43 olarak yazılır. O halde toplamlarıda, 3 + 43 = 46 olur. 17) Boyutları 24 cm, 36 cm ve 60 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tahtadan bir cisim, kesilerek eş küplere ayrılmak isteniyor. Hiç tahta artmayacak şekilde en az kaç küp oluşur. Küpün bir kenar uzunluğu, tahtanın kenar uzunluklarının bölünebileceği en büyük sayı olmalıdır. EBOB ( 24, 36, 60 ) = 12 Küp sayısı = Prizmanın hacmi / Küpün hacmi Küp Sayısı = 24. 36. 60 / 12. 12. 12 Küp Sayısı = 2. 3. 5 Küp Sayısı = 30 tane küp elde edilir. 18) 6 ya bölündüğünde 3, 7 ye bölündüğünde 4, 8 e bölündüğünde 5 kalanını veren en küçük doğal sayı kaçtır? Aranan sayı A olsun. A = 6 a + 3 = 7 b + 4 = 8 c + 5 Şeklinde yazılabilir. Eşitliklere 3 eklenirse, A + 3 = 6 a + 3 + 3 = 7 b + 4 + 3 = 8 c + 5 + 3 A + 3 = 6 ( a + 1 ) = 7 ( b + 1 ) = 8 ( c + 1 ) A + 3 sayısı 6 nın, 7 nin ve 8 in ortak katı olur. EKOK ( 6, 7, 8 ) = 168 A + 3 = 168 ise A = 165 olur.