T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAJORİZASYON VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE İre KÜÇÜKOĞLU YÜKSEK LİSANS TEZİ Mateati Aabili Dalı Teuz-014 KONYA Her Haı Salıdır

ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ MAJORİZASYON VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE İre KÜÇÜKOĞLU Selçu Üiversitesi Fe Bilileri Estitüsü Mateati Aabili Dalı Daışa: Doç. Dr. Raaza TÜRKMEN 014, 79 Sayfa Jüri Doç. Dr. Raaza TÜRKMEN Prof. Dr. Duruş BOZKURT Doç. Dr. Süleya SOLAK Bu çalışa geel atrisler ve tipide Heritye pozitif yarı taılı blo atrisler ile ilgili aorizasyo eşitsizlileri elde ete ve bu eşitsizliler içi alt ve üst sıırlar vere içi hazırlaıştır. Matris eşitsizlileri atris delelerii çözüleride olduça olaylı sağlaatadır. Maorizasyo ise tae egatif olaya reel bileşee sahip vetörleri ısi sıralaası olara taılaa ve atris teoride eşitsizliler türete içi ullaıla teel araçlarda biri Maorizasyo tipi atris eşitsizlileri bilgisayar bilileride, ühedislilerde, istatisti ve diğer birço alada yaygı bir şeilde ullaılatadır. Buula birlite güüüze adar özdeğerler, sigüler değerler ve atris orları içi birço ilgiç ve güçlü souçlar aorizasyo ullaılara elde ediliştir. Bu çalışa ile literatürde bilie eşitsizliler iceleere arşılaştıralar yapılış ve bular ullaılara aorizasyo teorisi yardııyla atrisleri sigüler ve özdeğerleri içi yei teoriler ve eşitsizliler elde ediliştir. Bu çalışaı so bölüüde, elde edile souçlar üzerie gereli değerledireler ve öeriler veriliştir. Aahtar Kelieler: Blo Matris, Heritye atris, Maorizasyo, Matris Eşitsizlileri, Özdeğer, Pozitif taılı atris, Pozitif yarı taılı atris, Sigüler değer, Schur oves, Üiter İvaryat Matris Noru iv

ABSTRACT MS THESIS ON MAJORIZATION AND MATRIX INEQUALITIES İre KÜÇÜKOĞLU THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS Advisor: Assoc.Prof.Dr. Raaza TÜRKMEN 014, 79 Pages Jury Assoc.Prof.Dr. Raaza TÜRKMEN Prof. Dr. Duruş BOZKURT Assoc.Prof.Dr. Süleya SOLAK This study is prepared to obtai aorizatio iequalities related to type heritia positive sei defiite bloc atrices ad give upper ad loer bouds for this iequalities. While atrix iequalities provide cosiderable coveiece the solutios of atrix equatios, Maorizatio hich is defied as the partial orderig of vectors ith o-egative real copoets is oe of the ai tools used to derive iequalities i atrix theory. Maorizatio type atrix iequalities are used idely i various areas icludig coputer sciece, egieerig, statistics ad i ay other areas. At the sae tie up to the preset, ay iterestig ad poerful results related to eigevalues, sigular values ad atrix ors have bee obtaied by eas of aorizatio. With this study, the iequalities i the literature have bee exaied ad have bee copared ad e theories ad iequalities for eigevalues ad sigular values of atrices have bee obtaied by eas of aorizatio theory usig the. Necessary evaluatios ad suggestios over the obtaied results i this thesis have bee give i the fial sectio. Keyords: Bloc Matrix, Eigevalue, Heritia atrix, Maorizatio, Matrix Iequalities, Positive defiite atrix, Positive sei defiite atrix, Sigular value, Schur covex, Uitarily ivariat or v

ÖNSÖZ Bu çalışa Selçu Üiversitesi Fe Faültesi Mateati Bölüü Öğreti Üyesi Doç. Dr. Raaza TÜRKMEN yöetiide yapılara, Selçu Üiversitesi Fe Bilileri Estitüsü e Yüse Lisas Tezi olara suuluştur. Bu çalışa dört bölüde oluşatadır. Birici bölüde, il olara aorizasyo teorisi ve atris eşitsizlileri ousuu öeide bahsediliş ve ardıda çalışaızı aaç ve apsaı açılaıştır. Çalışaızı aya araştırasıa e olara yararlaacağıız atris teorii teel avralarıa yer veriliştir. İici bölüde, Maorizasyo avraıa teel oluştura reel sayıları sıralaasıı ve arşılaştırılasıı sağlaya ısi sıralaa bağıtısı alatılış ve ardıda vetörleri arşılaştırılasıı sağlaya yötelerde biri ola aorizasyo avraıda bahsediliştir. Daha sora geel atrisler ve blo atrisler içi bazı aorizasyo tipi eşitsizlileri yer veriliştir. Üçücü bölüde, aorizasyo teorisi yardııyla atrisleri sigüler ve özdeğerleri içi yei teoriler ve eşitsizliler tarafıızca ispatlaıştır. So olara, dördücü bölüde ise souç ve öerilere yer veriliştir. Çalışaları boyuca yardı ve atılarıyla bei yöledire, değerli bilgilerii paylaşıp, yardılarıı esirgeeye daışa hoca Sayı Doç. Dr. Raaza TÜRKMEN e, değerli bilgileri ve yardıları ile baa deste ola Arş. Gör. Zübeyde ULUKÖK e ve aevi desteleriyle bei hiçbir zaa yalız bıraaya ço değerli ailee teşeürü bir borç biliri. İre KÜÇÜKOĞLU KONYA-014 vi

İÇİNDEKİLER ÖZET... iv ABSTRACT...v ÖNSÖZ... vi İÇİNDEKİLER... vii SİMGELER VE KISALTMALAR... ix 1. GİRİŞ...1 1.1. Aaç ve Kapsa...3 1.. Kaya Araştırası...3 1.3. Teel Kavralar...7 1.3.1. Matris Teoride Bazı Teel Kavralar...8 1.3.. Özdeğer ve Sigüler Değerler...9 1.3.3. Özdeğer ve Sigüler Değerler içi Bazı Eşitsizliler... 11 1.3.4. Matrislerde Döüşüler ve Ayrışılar... 1 1.3.5. Matris Norları ve Eşitsizlileri... 13 1.3.6. Arta, Koves ve Matris Koves Fosiyolar... 14 1.3.7. Bazı Eşitsizliler... 15 1.3.8. Tipide Blo Matrisler... 18 1.3.9. Heritye atrisler içi Löer Sıralaa... 19. MAZORİZASYON TEORİSİ... 1.1. Kısi Sıralaa Bağıtısı ve Reel Sayıları Karşılaştırılası... 1.3. Koples Sayıları Modülleri ile Karşılaştırılası....4. Vetörleri Karşılaştırılası... 3.4.1. Maorizasyo... 3.4.. Teel Bazı Öreler... 4.5. Doubly Stochastic Matris... 4.6. Maorizasyoda Schur Koves Fosiyolar... 5.7. Logariti Maorizasyo... 7.8. Bazı Maorizasyo Eşitsizlileri... 8.8.1. Geel Matrisler içi Bazı Maorizasyo Eşitsizlileri... 9.8.. Blo Matrisler içi Bazı Maorizasyo Eşitsizlileri... 33.8.3. Leibia Fosiyoları içi Bazı Maorizasyo Eşitsizlileri... 43 3. MAJORİZASYON İÇİN TEMEL SONUÇLAR... 47 3.1. Pozitif Taılı Matrisleri Diret Toplaları içi Maorizasyo tipi Sigüler Değer Eşitsizlileri... 47 3.1.1. Lealar... 49 3.1.. Matrisleri Diret Toplaları içi Maorizasyo Eşitsizlileri... 5 3.. Bazı Maorizasyo Eşitsizlileri ve S-oves, Log s-oves, H-oves, Log h-oves ve Geoetri oves Fosiyolar yardııyla Geelleeler... 6 vii

3..1. Lealar... 64 3... Özel oves fosiyolar yardııyla Maorizasyo Eşitsizlileri... 65 3.3. Maorizasyo Eşitsizlileri yardııyla Bazı Geelleeler... 69 4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 74 4.1. Souçlar... 74 4.. Öeriler... 74 KAYNAKLAR... 75 ÖZGEÇMİŞ... 79 viii

SİMGELER VE KISALTMALAR Sigeler : 0 : Reel sayılar : Pozitif reel sayılar 0, aralığıdai reel sayıları üesi : tae reel bileşeli vetörleri üesi : tae pozitif reel bileşeli vetörleri üesi : Koples sayılar : tae oples bileşeli vetörleri üesi M : atrisleri yai -are atrisleri üesi M F : F cisi üzeride taılı bütü -are atrisleri üesi M, : atrisleri üesi M F : F cisi üzeride taılı bütü atrisleri üesi, A a i : a i elealarıda oluşa atris 1 A : A atrisii tersi T A : A atrisii traspozu A : A atrisii oples eşleiği A : A atrisii eşlei traspozu 1/ A : Pozitif yarı taılı A atrisii areöü A : A atrisii uvveti A 1/ : A ( A A) det A diag A : A atrisii deteriatı : A atrisii öşege elealarıda oluşa öşege atris diag a, a,..., a : Köşegei üzeride a 1 1, a,..., a eleaları bulua öşege atris tra : A atrisii izi A : A atrisii i. özdeğeri i si A : A atrisii. A : A 1 A,..., A i sigüler değeri ola üzere A M ı özdeğer vetörü A : 1,..., 1,..., A A A A A özdeğer vetörü uvveti s A s1 A,..., s A ola üzere A M ı sigüler değer vetörü s A : s A : 1,..., 1,..., s A s A s A s A s A sigüler değer vetörüü uvveti A 0 : A pozitif yarı taılı atrisi A 0 : A pozitif taılı atrisi A B : A B pozitif yarı taılı atrisi A B : A ve B atrislerii diret toplaı yai A 0 A B 0 B ix

A B : A ve B atrislerii Hadaard çarpıı x y : x y ( x1 y1,..., x y) x : x x,..., 1 x ie x x,..., 1 x x e :,..., x x1 x x1 x ie,..., x e e e x : x1 x... x x : x1 x... x ie x x1, x,..., x ie x x1, x,..., x x y : x, y tarafıda zayıf aorize edilir yai x y : x, y tarafıda aorize edilir yai x y : x, y tarafıda zayıf log-aorize edilir yai x i i1 i1 x y, 1 x y ve x y i i i1 i1 log i i i1 i1 log y : x, y tarafıda log-aorize edilir yai x log y ve xi i1 i1 i x y, 1 y i Kısaltalar diag tr log l : Köşege atris : Matrisi izi : Logarita fosiyou : Doğal logarita fosiyou x

1 1. GİRİŞ Matris teori ateati bili dalıı e teel araçlarıda biri Matris eşitsizlileri ise özellile atris delelerii çözüleride olduça olaylı sağlaatadır. Çalışaıza teel oluştura aorizasyo avraı ise atris teoride eşitsizliler türete içi ullaıla teel araçlarda biri Maorizasyo eşitsizlileri, uygulaalı ateatiği içere çeşitli alalarda, bilgisayar bilileride, ühedislilerde, istatisti ve diğer birço alada yaygı bir şeilde ullaılatadır (Zhag, 011). Bu edele so o yıl içeriside bazı araştıracılar aorizasyo teorisi ve atris eşitsizlilerie odalaıştır. Güüüze adar atrisleri özdeğerleri, sigüler değerleri ve atris orları haıda birço ilgiç ve güçlü souçlar aorizasyo ulaılara elde ediliştir. Dolayısıyla aorizasyo, atris eşitsizlileri türete içi ullaıla e güçlü teilerde biridir (Zha, 00). Maorizasyo avraı optiizasyo, siyal işlee, ablosuz iletişi, obiatori, olasılı, atris teori, graf teori, üeri aaliz ve quatu bilgi teorisi gibi farlı alalarda başarılı bir şeilde ullaılatadır. Bu edele aorizasyo so yıllarda çalışılata ola bir ou olup birço araştıracıı diatii çeiştir. Böylece aorizasyo teorisii öcesi ve oluşu evresi öeli Bu çalışaı iici bölüüde bu oluşu evreside ayrıtılı bir şeilde bahsedilecetir. İl olara ısaca aorizasyo avraıı çıış otasıda ve öeide bahsedeli. Maorizasyo avraı egatif olaya tae bileşee sahip veörleri asıl sıralaabileceği sorusu ile ortaya çııştır (Jorslec ve Boche, 006). Maorizasyo avraıı atrisler üzeride ullaılasıa öcülü ede çalışa ise Schur (193) Über eie Klasse vo Mittelbilduge it Adeduge die Deteriate-Theorie Sitzugber isili çalışadır ve bu çalışada pozitif yarı taılı atrisleri özdeğerleri ve heritye atrisleri öşege elaaları iceleiştir. Schur u (193) çalışası, Teore 1.3.7.6 de verdiğiiz Hadaard eşitsizliğii alaşılasıı olaylaştırış ve atris teoride başa aorizasyo eşitsizlileri buluasıı sağlaıştır. Bu aorizasyo eşitsizlileri daha ço atrisleri toplalarıı ve çarpılarıı özdeğer ve sigüler değerleri içi elde ediliştir. (Marshall ve ar., 1979). Schur (193) çalışasıda atrisi esas öşege eleaları ile özdeğerleri arasıdai bağıtıyı aorizasyo yardııyla taılaıştır. Maorizasyo, ii vetörü arşılaştırıre ya da ilişiledirire ço faydalı ola bir avradır. Maorizasyo reel

vetörler üzeride taılı olduğuda ve heritye atrisleri de he öşege eleaları he de özdeğerleri reel olduğuda aorizasyo avraı geellile heritye atrisler üzeride çalışılıştır. (Hor ve Johso, 1985). Ayırca Schur (193) çalışasıda herhagi bir A -are heritye atrisi içi taılaa diag A A aorizasyo eşitsizliği birço bili adaıa ışı tutuş ve bu eşitsizli yalaşı yüz yıl sora Li ve Woloicz (01) tarafıda blo atris forua geişletiliştir. Ayrıca birço ateatiçi tarafıda atrisleri toplaları, çarpıları ve Hadaard çarpılarıı özdeğer ve sigüler değerleri içi de değişi şeillerde aorizasyo tipi atris eşitsizlileri elde ediliştir. Maorizasyo tipi atris eşitsizlileri he teori he de uygulaalı ateatite ço arşılaşıla bir avradır (Li, 013). Ayı zaada bazı geoetri sorulara da cevap bulduğu görülüştür. Graf teori de dahil ola üzere ateatiği birço dalıda aorizasyo avraı ullaılatadır. Ouyucu aorizasyo teorisii ullaa bazı uygulaaları (Marshall ve ar., 1979) itabıda bulabilir. Şeil 1.1 ve Şeil 1. de aorizasyo avraıı geoetri olara asıl ifade edildiği gösterilete Şeil 1.1. boyutlu düzlede aorizasyo avraıı geoetri gösterii Şeil 1.. 3 boyutlu düzlede aorizasyo avraıı geoetri gösterii http://e.iipedia.org/ii/maorizatio [Ziyaret Tarihi: 19 Hazira 014] Bu çalışada ise atrisleri sigüler değer ve özdeğer vetörleri aorizasyo teorisi yardııyla arşılaştırılış ve bua bağlı olara yei atris eşitsizlileri elde ediliştir.

3 1.1. Aaç ve Kapsa Bu çalışa, atrisleri özdeğer ve sigüler değerlerii aorizasyo eşitsizlileri başta ola üzere tü geel ve blo atrisler üzeridei atris eşitsizlilerii icelee ve yei eşitsizliler elde ete aacıyla hazırlaıştır. Tez süresi boyuca aorizasyo eşitsizlileri ile ilgili literatürde yer ala itap, aale, tez, seier, sepozyu gibi bilisel çalışalar üzeride iceleeler yapılış, geel atrisler ve tipide pozitif yarı taılı Heritye blo atrisler içi aorizasyo eşitsizlileri araştırılış ve daha sora literatürde yer ala teoreler ullaılara yei aorizasyo ve atris eşitsizlileri elde ediliştir. Ayrıca atris teorii teel avraları ullaılara literatürde reel sayılar içi bilie eşitsizlileri geel atrislere ve tipide pozitif yarı taılı Heritye blo atrislere uygulaası araştırılış ve iceleiştir. Biz bu çalışaı teeli olara, il öce atris teoridei teel avralarda bahsedeceğiz ardıda pozitif yarı taılı blo atrisleri sigüler değerleri içi bazı eşitsizliler vereceğiz. Daha sora blo atrisleri özellileride faydalaara pozitif yarı taılı atrisleri ve pozitif yarı taılı blo atrisleri toplaları, çarpıları ve Hadaard çarpıları içi bilie eşitsizlileri vereceğiz. Bulara e olara üçücü bölüde de tarafıızca elde edile aorizasyo ve atris eşitsizlilerii vereceğiz. 1.. Kaya Araştırası Çalışaızı bu ısıda, çalışaızda esilediğiiz ve ulladığıız literatürde var ola çalışalarda bahsediliştir. Schur (193), Über eie Klasse vo Mittelbilduge it Adeduge die Deteriate- Theorie Sitzugber isili çalışasıda deteriat tesilcileri üzerie çalışış ve aorizasyo tipi eşitsizlilere teel ola herhagi bir A heritye atrisii öşege elealarıı özdeğerleri tarafıda aorize edildiğii gösteriştir, yai diag( A) ( A) olduğuu gösteriştir. Bu aorizasyo avraı ile Hadaard eşitsizliğii araştıacılar tarafıda olayca alaşılasıı sağlaıştır. Hardy ve ar. (199), Soe siple iequalities satisfied by covex fuctios isili çalışasıda oves fosiyoları bazı eşitsizlilerii ele alıştır.

4 Weyl (1949), Iequalities betee to ids of eigevalues of a liear trasforatio isili çalışasıda lieer döüşüleri ii çeşit özdeğerleri arasıdai eşitsizlileri ele alıştır. Hor (1950), O the sigular values of a product of copletely cotiuous operators isili çalışasıda süreli operatörleri çarpııı sigüler değerleri üzerie çalışıştır. Fa (1951), Maxiu properties ad iequalities for the eigevalues of copletely cotiuous operators isili çalışasıda, süreli operatörleri özdeğerlerii eşitsizlileri ve özellileri yer alatadır. Visser ve Zaae (195), O the eigevalues of copact liear trasforatios isili çalışalarıda opat lieer döüşüleri özdeğerleri üzerie çalışışlardır. Fa (1954), Iequalities for eigevalues of Heritia atrices isili çalışasıda Heritye atrisleri özdeğerleri içi eşitsizliler yer alatadır. Rotfel d (1969), The sigular values of the su of copletely cotiuous operators isili çalışasıda süreli operatörleri toplaıı sigüler değerleri yer alatadır. Marcus ve Niolai (1969), Iequalities for soe ootoe atrix fuctios isili çalışalarıda bazı ooto atris fosiyoları içi eşitsizliler ele alışlardır. Thopso (1977), Sigular values, diagoal eleets, ad covexity isili çalışasıda siguler değerler, öşege eleaları ve ovesli ele alıştır. Marshall ve ar., (1979) Iequalities: Theory of Maorizatio ad Its Applicatio isili itaplarıda aorizasyo teorisi ve uygulaaları haıdai eşitsizliler verişler Bhatia ve Kittaeh (1990), O the sigular values of a product of operators isili çalışalarıda herhagi A ve B -are atrisleri içi sigüler değerler içi ariteti-geoetri ortalaa eşitsizliği olara bilie, 1 (1.1) s ( A B) s ( AA BB ) eşitsizliğii elde etişler Hor ve Johso (1991), Topics i Matrix Aalysis isili itaplarıda atrisler ve teel özellilerii ele alışlardır.

5 Ado ve Hiai (1994), Hölder type iequalities for atrices isili çalışasıda atrisleri hölder tipi eşitsizlilerii ele alışlardır. Bhatia (1997), Matrix Aalysis isili itabıda oves fosiyo, ooto fosiyo, atris oves, atris ooto fosiyo gibi avraları veriştir. Zha (000), Soe research probles o the Hadaard product ad sigular values of atrices isili çalışasıda A B 1 A 1 B s A B s, 0 1 (1.) eşitsizliğii oetür olara bıraıştır. Bhatia ve Kittaeh (000), Notes o atrix arithetic geoetric ea iequalities isili çalışalarıda A ve B pozitif yarı taılı atrisleri içi A B s AB s aorizasyo eşitsizliğii ve 1/ 3/ 3/ 1/ s A B A B s A B, 1,..., (1.3) sigüler değer eşitsizliğii elde etişler Zhag (001), Matrix Iequalities by Meas of Bloc Matrices isili M K çalışasıda tipide pozitif yarı taılı blo atris içi K N M N K K olduğuu gösteriş ve bu eşitsizli aracılığıyla pozitif blo atrisleri toplaları, çarpıları ve Hadaard çarpıları içi eşitsizli öreleri veriştir. alatadır. Zha, X., (00), Matrix Iequalities isili itabıda atris eşitsizlileri yer

6 Murad (003), The Löer Orderig of Heritia Matrices isili tez çalışasıda heritye atrisleri ele alara teel avra, teore ve öreler veriştir. Jorsiec ve Boche (006), Maorizatio ad Matrix-Mootoe Fuctios i Wireless Couicatios isili çalışasıda aorizasyo teori ve atris ooto fosiyolar ele alış, başlıca taılar, teoreler ve öreler veriştir. Kablosuz iletişide aorizasyou ve atris-ooto fosiyoları iceleişler Aula ve Silva (003), Wea aorizatio iequalities ad covex fuctios isili çalışalarıda oves ve log-oves fosiyolar yardııyla aorizasyo tipi özdeğer eşitsizlileri elde etişler Tao (006), More results o sigular value iequalities of atrices isili çalışasıda A ve B pozitif yarı taılı atrisleri içi 1/ 1 1/ s A A B B s A B, 1,..., (1.4) eşitsizliğii elde etiştir ve (1.4) eşitsizliği duruuda (1.3) eşitsizliğie döüştüğüde (1.3) eşitsizliğii bir geelleesii veriştir. Ayrıca (1.1) eşitsizliğii yei bir foru ve geelleesi ola 1/4 3/4 3/4 1/4 s A B A B s A B, 1,..., 1 elde etişlerdir i bu eşitsizli ile (1.) oetürüü v içi doğru olduğuu 4 gösteriştir. Audeaert (007), A sigular value iequality for Heiz eas isili çalışasıda atris ooto fosiyolar yardııyla yei atris eşitsizlileri ispatlaış ve heiz ortalaaları içi sigüler değer eşitsizliği ola (1.) oetürüü atris ooto fosiyo yardııyla ispatlaıştır. Arold (007), Maorizatio: Here, There ad Everyhere isili çalışasıda Marshall ve Oli, (1979) itabıı çıışıda sora aorizasyo teorisi ile elde edile eşitsizliler üzerie oluşa ilgii arttığıı ve bu ilgii yalaşı 5 yıldır deva ettiğii söylere aorizasyo ve oula ilgili çeşitli alalardai uygulaalarda bahsetiştir.

7 Matharu ve Aula (010), Soe aorizatio iequalities for covex fuctios of several variables isili çalışalarıda ço değişeli oves fosiyoları içere bazı zayıf aorizasyo eşitsizlileri ispatışlardır. Furuichi ve Li (010), A atrix trace iequality ad its applicatio isili çalışalarıda pozitif yarı taılı atrisleri toplaıı iz eşitsizlileri üzerie var ola bir varsayıa cevap verişler ve Golde-Thopso eşitsizliğii pozitif yarı taılı atrisler içi geelleştirişler Zhag (011), Matrix Theory: Basic Results ad Techiques isili itabıda atris teorisi ile ilgili teel souçlara ve teilere yer veriştir. Li ve Woloicz (01), A Eigevalue Maorizatio Iequality for Positive Seidefiite Bloc Matrices: I Meory of Ky Fa isili çalışalarıda Schur u (193) çalışasıda heritye atrisler içi taıladığı diag( A) ( A) eşitsizliğii M tipidei H K K N heritye blo atrislere taşıışlardır ve buula diag( H ) ( M N) ( H ) aorizasyo eştisizliğii elde etişlerdir ve pozitif yarı taılı blo atrisleri içi bazı özdeğer eşitsizlileri ispatlaışlardır. Türe ve ar. (01), Soe iequalities of aorizatio type isili M K çalışalarıda H K N pozitif yarı taılı blo atriside K Heritye veya Ters-Heritye olası duruuda, diag H M N H M N 0 olduğuu gösterişler ve bazı aorizasyo tipi eşitsizlileri ispatlaışlardır. 1.3. Teel Kavralar Çalışaızı bu alt bölüüde çalışaızda ulladığıız ve atris teoride adı geçe ve ço ullaıla bazı teel taı, otasyo ve avraları vereceğiz. Asi belirtilediçe vereceğiiz bu avralar içi ayalarıız Hor ve Johso (1985), Zhag (1999), Murad (003) ve Bozurt ve ar. (007) tarafıda yapıla çalışalardır.

8 1.3.1. Matris Teoride Bazı Teel Kavralar Heritye atrisleri, reel sayıları atrislere bir geelleesi olduğu gibi egatif olaya sayıları atrislere geelleesi pozitif yarı taılı atrislerdir (Murad, 003). Pozitif yarı taılı atrisler ilgiç ve öeli özellileri ile atris teoride erezi bir rol oyaatadır (Zhag, 011). Şidi pozitif yarı taılı atrisi taııı vereli. Taı 1.3.1.1 (Pozitif Yarı Taılı Matris-Zhag, 1999). A Heritye atris ve (.,.), üzeride Ölidye iç çarpı ola üzere eğer x içi ( Ax, x) x Ax 0 ise A M pozitif yarı taılı atris olara adladırılır ve A 0 ile gösterilir. Ayı şeilde eğer 0 x içi ( Ax, x) x Ax 0 ise A M pozitif taılı atris olara adladırılır ve A 0 ile gösterilir. Bu taıa göre, Herhagi ii pozitif yarı taılı atrisi toplaı da pozitif yarı taılıdır. Pozitif yarı taılı atrisi izi ve deteriatı pozitiftir. Teore 1.3.1.1 (Zhag, 1999). A M Heritye atris ola üzere A ı pozitif yarı taılı (taılı) olası içi gere ve yeter şart bütü öz değerlerii egatif olaya reel sayılar olasıdır. Teore 1.3.1. (Murad, 003). A M atrisii pozitif yarı taılı olası içi gere ve yeter şart herhagi B M atrisi içi A B B şelide yazılabilesi Yai herhagi atrisler B M atrisi içi B B forudai -are atrisler pozitif yarı taılı Taı 1.3.1. (Matrisleri Hadaard Çarpıı). Ayı boyutlardai A ve B atrislerii Hadaard çarpıı A B aibi ile taılaır. Hadaard çarpıı elea elea çarpı veya Schur çarpıı olara da biliir. Çarpıı taıı gereği ii atrisi Hadaard çarpııı yapılabilesi içi ertebelerii ayı olası gereir. Hadaard çarpıı, atris çarpııı asie değişeli

9 1 5 6 6 6 6 Öre 1.3.1.1 A 4 7 ve B 0 7 atrislerii Hadaard 1 5 6 6 6 6 6 30 36 çarpıları A B 4 7 0 7 0 8 49 Teore 1.3.1.3 (Hor ve Johso, 1985). Pozitif yarı taılı ii atrisi Hadaard çarpıı da pozitif yarı taılıdır. Yai A, B M ola üzere A, B 0 A B 0 dır. 1.3.. Özdeğer ve Sigüler Değerler Taı 1.3..1. A M F, 0 x ve F saler bir değer ola üzere Ax x lieer hooe dele sisteii sıfır çözüde başa çözüüü olabilesi içi det I A 0 (1.6) olası gereir. (1.6) ile verile deteriat açıldığı zaa,. derecede ya bağlı bir polio elde ederiz. Bu p det I A A polioua A atrisii arateristi poliou deir ve ayrıca pa 0 deleie A atrisii arateristi delei deir. Taı 1.3.. (Özdeğerler). pa 0 deleii ölerie A atrisii öz değerleri deir i, bular saler değerleri

Uyarı 1.3..1. Herhagi bir i toplaıa yai a ii i1 biliyoruz. A 10 A a M atrisii esas öşege elealarıı toplaıa A atrisii izi deildiğii ve ( ) 1,,..., fosiyou ayı zaada i tr A ile gösterildiğii, A ı tü öz değerlerii üesi ola üzere, iz A a M atrisii özdeğerlerii toplaıdır. Yai tr A i 1 i1 Ayrıca deteriat fosiyou da özdeğerler yardııyla, det A i i1 şelide terar taılaabilir. Yai det A, A ı öz değerlerii çarpııa eşittir. Teore 1.3..1. A heritye bir atris ise A atrisii bütü öz değerleri reel Ters heritye bir atrisi ise öz değerleri sırf (pür) iaier Teore 1.3... A ve B oples atrisler ola üzere AB çarpııı özdeğerleri ile BA çarpııı sıfırda farlı özdeğerleri ayıdır. Taı 1.3..3 (Sigüler Değerler). Herhagi bir A M F atrisi içi, A, A atrisii eşlei traspozu ola üzere A A atrisii özdeğerlerii areöüe A 1/ atrisii sigüler değerleri deir ve s A A A A A ile gösterilir. Uyarı 1.3... açıtır. A A atrisi heritye atris olduğuda öz değerlerii reel olacağı Uyarı 1.3..3. A atrisii odülü A AA 1/ şelide taılıdır.

11 Teore 1.3..3. i A a M ola üzere, s A A / A A A A, A Heritye yai A A Pozitif yarı taılı yai 0 A ise s A A, A ise s A A 1.3.3. Özdeğer ve Sigüler Değerler içi Bazı Eşitsizliler Çalışaızı bu alt bölüüde literatürde var ola ve souçlarıızda ulladığıız bazı özdeğer ve sigüler değer eşitsizlilerii vereceğiz. Teore 1.3.3.1 (Bhatia ve Kittaeh, 1990). A ve B atrisler ola üzere, 1 s ( A B) s ( AA BB ) Teore 1.3.3. (Bhatia ve Kittaeh, 000). A ve B pozitif yarı taılı atrisler ola üzere A B s AB s, 1 Teore 1.3.3.3 (Weyl i ootolu presibi-hor ve Johso, 1985). A, B M heritye atrisler ola üzere B pozitif yarı taılı atris ise A ı özdeğerleri ve A B i özdeğerleri arta sırada düzeleebilir. Yai 1,,..., içi A A B Bu presip, heritye bir atrise pozitif yarı taılı bir atris elediğide bu atrisi özdeğeri heritye atrisi özdeğeride fazladır şelide yorulaabilir.

1 1.3.4. Matrislerde Döüşüler ve Ayrışılar Çalışaızı bu alt bölüüde atrisler üzeride uygulaa ve souçlarıızda ulladığıız bazı döüşüler ve ayrışılarda bahsedeli. Taı 1.3.4.1 1 B S AS olaca şeilde sigüler olaya bir S M atrisi varsa B M atrisi ile A M atrisi bezerdir deir. Teore 1.3.4.1 A, B M ola üzere eğer A ile B atrisleri bezer atrisler ise öz değerleri ayıdır. Taı 1.3.4. B P AP olaca şeilde bir P üiter atrisi varsa B atrisi ile A atrisi üiter olara detir deir. Teore 1.3.4.. A, B M ola üzere A ile B atrisleri üiter olara de ise öz değerleri ayıdır. Teore 1.3.4.3 (Schur u Üiter Üçgeleştire Teorei-Murad, 003). A M olsu. Bu tatirde U AU T olaca şeilde U M üiter atrisi vardır. Öyle i T M üst üçge atristir ve T i esas öşege eleaları A atrisii özdeğerleri Yai, A atrisi üiter olara bir üst üçge atrise bezer Teore 1.3.4.4 (Noral atrisler içi Spetral Teore-Murad, 003). A M oral atris olası içi gere ve yeter şart A ı üiter olara öşege atrise bezer olasıdır. D i esas öşege eleaları A atrisii özdeğerleri ve U üiter atris ola üzere A U DU dir (Zhag, 1999). Bu ayrışıa Spetral ayrışı deir ve bu ayrışı ile oral ola bir atrisi uvveti olaylıla hesaplaabilete

13 Teore 1.3.4.5 (Sigüler Değer Ayrışıı-Murad, 003). W M ve V M üiter atrisler ola üzere A M, ise bu atris,,..., D diag s A s A s A 1 A WDV foruda yazılabilir i Teore 1.3.4.6 (Polar Ayrışı-Murad, 003). Eğer A M ise A U A olaca şeilde U M üiter atrisi vardır. Yai U üiter atrisi ve bir P 0 içi A UP şelide yazılabilir. 1.3.5. Matris Norları ve Eşitsizlileri Matris oru avraı atrisleri aalizide öeli bir yere sahiptir. Matris orları atrisleri özdeğerleri, sigüler değerleri, deteriatları ve diğer fosiyoları ile yaı bir bağa sahiptir (Murad, 003). Bu alt bölüde bazı or eşitsizlilerii verede öce il olara Matris oru ve Üiter ivaryat atris oru avralarıı açılayalı. Taı 1.3.5.1 (Matris oru). A, B M atrisleri içi. : M fosiyouu atris oru olara adladırabile içi 1. A 0 ve A 0 A 0. ca c A, c 3. A B A B 4. AB A B asiyolarıı sağlaası gereir. Taı 1.3.5. (Üiter İvaryat Matris Noru- Zhag, 011). U, V M üiter atrisleri ve A M atrisi içi eğer UAV A ise M üzeridei. oru üiter ivaryat olara adladırılır. Sigüler değerler üiter ivaryat atris oru ile yaıda ilişili Öreği, A M atrisi içi 1. Spetral or: A s A s 1

14. Frobeius or: 3. Ky Fa -or: 1/ 1/ 1/ i i A tr AA AA s A A s A, 1,,...,. 1 i1 i1 atris orları üiter ivaryat atris orlarıdır. Teore 1.3.5.1 (Ado ve Zha, 1999). A ve B pozitif yarı taılı atrisler ve. oru M üzeride taılı üiter ivaryat atris oru ola üzere, 1 A B A B ve, 0 1 A B A B 1.3.6. Arta, Koves ve Matris Koves Fosiyolar Taı 1.3.6.1 (Mooto Arta-Azala Fosiyo). A, solu veya sosuz bir aralı ola üzere f : A fosiyou verilsi. Eğer x1, x A x1 x içi ise f f x f x 1 1 x fosiyoua A üzeride ooto arta fosiyo, f x f x ise esi arta fosiyo deir. Bezer şeilde, eğer x, x A x x içi f x f x 1 1 azala fosiyo, f x f x 1 ise f 1 x fosiyoua A üzeride ooto ise esi azala fosiyo deir (Caferov, 014). Taı 1.3.6. (Koves Küe - Hor ve Johso, 1985). Her x1, x K ve 0 1 içi, K üesi verilsi. x 1 x K 1 şartıı sağlaya K üesie oves üe deir.

15 Taı 1.3.6.3 (Koves-Koav Fosiyo). Reel değerli K oves üe üzeride taılı f : K fosiyou herhagi x1, x K ve her 0 1 içi 1 1 1 1 f x x f x f x şartıı sağlıyorsa f fosiyoua oves fosiyo deir. Eğer bu eşitsizliği tersi sağlaıyorsa f fosiyoua oav fosiyo deilete fosiyodur. p 1 veya 0 p p içi f x x fosiyou üzeride oves Taı 1.3.6.4 (Matris Mooto-Operatör Mooto). Eğer A B ie f ( A) f ( B) ise f e atris ooto fosiyo deir. Taı 1.3.6.5 (Matris Koves-Operatör Koves). A, B M Heritye atris ve 0 1 aralığıdai reel sayılar içi f fosiyou f ((1 ) A B) (1 ) f ( A) f ( B) eşitsizliğii sağlıyorsa f fosiyoua atris oves veya operatör oves fosiyo deir. (0, ) aralığıda taılı biraç atris oves fosiyo öreleri verece olursa, a) b) f ( t) 1 t 1/ p f ( t) t,1 p atris oves fosiyolardır. 1.3.7. Bazı Eşitsizliler Çalışaızı bu alt bölüüde literatürde yer ala ve ço ullaıla öeli bazı eşitsizlileri vereceğiz. Asi belirtilediçe vereceğiiz bu avralar içi ayağıız Zhag (011) tarafıda yapıla çalışadır.

16 Teore 1.3.7.1. (Jese Eşitsizliği) f : I bir oves fosiyo olsu. x I ve t 1, t,..., t egatif olaya sayılar ola üzere i ti 1 olsu. Bu tadirde i1 f t x t f x i i i i i1 i1 eşitsizliği sağlaır. Teore 1.3.7.. (Ariteti-Geoetri Ortalaa Eşitsizliği) 0 ola üzere x1, x,..., x pozitif reel sayıları içi i 1 xi 1/ 1 i 1 x i eşitsizliği sağlaır. Teore 1.3.7.3. (Geel Ariteti-Geoetri Ortalaa Eşitsizliği) Tü a 0, p 0 ve i i pi 1 ola üzere i1 i1 a pi i piai i1 eşitsizliği sağlaır. Teore 1.3.7.4. (Hölder Eşitsizliği) p, q 1 ola üzere 1 1 1 olsu. a1, a,... a p q ve b1 b,,... b reel (oples) sayıları içi 1/ p 1/ q p q a b a b i i i i i1 i1 i1 eşitsizliği sağlaır.

17 Teore 1.3.7.5 (Miosi Eşitsizliği) 1 p olsu. a1, a,... a ve b1, b,... b reel (oples) sayıları içi 1/ p 1/ p 1/ p p p p ai bi ai bi i1 i1 i1 eşitsizliği sağlaır. Teore 1.3.7.6. (Hadaard Eşitsizliği) Pozitif yarı taılı A atrisii öşege eleaları a11, a,... a ola üzere det A i1 a ii eşitsizliği sağlaır. Eşitliği sağlaası içi ya A atrisi öşege atris olalı ya da bazı a ii ler içi aii 0 şartıı sağlaası gereli Teore 1.3.7.7. (Youg Eşitsizliği - Kittaeh ve Maasrah, 010). a, b 0 ve 0 1 ola üzere 1 a b a 1 b eşitsizliği sağlaır. Eşitli aca ve aca a 1 ise ariteti geoetri ortalaa eşitsizliği elde edilir. Yai b olası duruuda olacatır. Eğer a b ab olur. Ayrıca p, q 1 ola üzere 1 1 1 ise Youg eşitsizliği p q p q a b ab p q şelide yazılabilir.

18 1.3.8. Tipide Blo Matrisler Bu bölüde il olara çalışaızda sıça adı geçe ve eşitsizliler ürettiğiiz blo atrislerde bahsedip, atrisleri asıl blolara ayrıldığıı daha iyi alaaya çalışalı. Öcelile atrisler üzeridei işlelerde sı sı ullaıla, büyü ertebeli atrisler üzeride yapıla işlelerde bazı olaylılar sağlaya atrisleri blolara ayrılası etoduu (Bozurt ve ar., 007) taılayalı. Taı 1.3.8.1. Herhagi bir A atrisii bir ısı satır ve sütularıı siliesiyle elde edile atrise A atrisii bir alt atrisi deir. A M, olsu. Bu atrisi, yatay ve diey çizgilerle çeşitli alt atrislere ayırabiliriz. Buu a a a a a A a a a a a a a a a a 11 1 13 14 15 1 3 4 5 31 3 33 34 35 şelide basit bir örele gösterebiliriz. (1.7) ile verile A atrisii, (1.7) A a a A a a a A a 1 11 11 1, 1 13 14 15, 1 a31 a3 a, A a a a a a a 3 4 5 33 34 35 ola üzere A A A A 11 1 A 1 (1.8) şelide yazabiliriz. Taı 1.3.8. (Bozurt ve ar., 007). (1.7) [veya (1.8)] forülleriyle verile işlee, A atrisii blolara ayıra işlei deir. Bir atris birde fazla değişi şeilde blolara ayrılabilir. Bu çalışada tipide blo atrisler ullaılatadır. tipide blo atrisler ve pozitif yarı taılı atrisler, atris eşitsizlileri üretede öeli rol

19 oyaatadır. Buu içi tipide öşege blo atris ve pozitif yarı taılı atris ola arasıda güzel bir bağıtı aşağıdai şeilde veriliştir. Teore 1.3.8.1 (Hor ve Johso, 1985). A, B M pozitif yarı taılı atrisler ise, A 0 0 0 B Teore 1.3.8. (Zhag, 1999) X ve Y atrisleri herhagi -are atrisler ve A X Y ola üzere, X X X XX XY M K X Y Y Y Y K N YX YY atrisi A A şelide olduğuda A A M K K N 0 atrisi M, N 0 ve K M ola üzere daia pozitif yarı taılı blo atristir. 1.3.9. Heritye atrisler içi Löer Sıralaa Taı 1.3.9.1 (Murad, 003). A, B M atrisleri heritye atris ola üzere A B atrisi pozitif yarı taılı ise bua Löer sıralaa deir ve A B ile gösterilir. Ayı şeilde A B atrisi pozitif taılı ise A B yazılabilir. Teore 1.3.9.1 (Hor ve Johso, 1985). A, B M heritye atrisler ola üzere, A B ise herhagi bir C M atrisi içi C AC C BC A B ise herhagi sigüler olaya C M atrisi içi C AC C BC

0 Teore 1.3.9. (Hor ve Johso, 1985). A, B M heritye atrisler ve A B ola üzere, A ve B atrislerii özdeğerleri azala ya da arta şeilde ayı sırada sıralaış olsu. Bu tadirde 1,,..., tr A tr B E olara 0 B ise det A det B içi A B E olara B 0 ise A B Teore 1.3.9.3 (Löer Heiz, Zha, 00). A, B M atrisleri heritye atrisler ola üzere eğer A B 0 ve 0 1 ise A B Teore 1.3.9.4 (Zhag, 1999). A, B M pozitif yarı taılı atrisler ola üzere B A ise, B A A 0 B Teore 1.3.9.5 (Zhag, 1999). A M pozitif yarı taılı atrisler ve B M, A B ola üzere, herhagi pozitif yarı taılı X M atrisi içi B X atrisii pozitif yarı taılı olası içi gere ve yeter şart X 1 B A B olasıdır.

1. MAZORİZASYON TEORİSİ Pozitif yarı taılı atrisleri özdeğerleri ve heritye atrisleri öşege elaaları arasıdai bağıtı, Schur (193) tarafıda aorizasyo avraıı atrisler üzeride ullaılasıyla ispatlaıştır. Maorizasyo, ii vetörü arşılaştırıre ya da ilişiledirire ço faydalı ola bir avradır. Nasıl i Heritye atrisler reel sayıları atrislere geelleesi ve pozitif taılı atrisler pozitif sayıları atrislere geelleesi ise ısi sıralaa bağıtısıı vetörlere geelleesi de aorizasyodur. Maorizasyo avraıa ısaca vetörleri ısi sıralaa bağıtısı da deilebilir. Schur u (193) çalışası ile Hadaard eşitsizliğii araştıracılar tarafıda olayca alaşılasıda sora aorizasyo avraı, atrisleri özdeğer ve sigüler değerleri üzeride atris eşitsizlileri elde ete içi ullaılıştır. Bu bölüde il olara aorizasyo avraıı çıış otasıda ve öeide bahsedildi. Ardıda aorizasyo avraı taıladı ve daha sora da geel atrisler ve tipide pozitif yarı taılı Heritye blo atrisleri özdeğerleri içi bazı aorizasyo eşitsizlileri verildi..1. Kısi Sıralaa Bağıtısı ve Reel Sayıları Karşılaştırılası Bu bölüde aorizasyo teorisii teelii oluştura sıralaa bağıtılarıda bahsedilecetir. Asi belirtilediçe vereceğiiz bu avralar içi ayağıız Karaaş (008) tarafıda yapıla çalışadır. Taı.1.1. K bir üe ve, K üzeride bir bağıtı olsu. Eğer ı yasıa, ters-sietri ve geçişe özellileri varsa, ya bir ısi sıralaa bağıtısı deir. Üzeride bir ısi sıralaa bağıtısı bulua bir üeye ısi sıralı üe deir. Öre.1.1. üzeridei bağıtısı, ısi sıralaa bağıtısıdır. Gerçete, üzeride ısi sıralaa bağıtısı olup aşağıdai oşulları sağlar. 1. x içi x x (yasıa). x, y içi x y ve y x ise x y (ters sietri) 3. x, y, z içi x y ve y z ise x z (geçişe)

Taı.1.., A üzeride ısi sıralaa bağıtısı olsu. A, ısi sıralı üesii herhagi ii eleaı x, y A içi x y veya y x ise x ve y elealarıa arşılaştırılabilir elealardır deir..3. Koples Sayıları Modülleri ile Karşılaştırılası Herhagi ii tasayı veya ii reel sayı aralarıda arşılaştırılıre biri büyü ie diğeri üçütür. Aa reel sayılar üzeridei ısi sıralaa bağıtısı oples sayılarda evcut oladığıda ve her oples sayı düzlede bir ota ile tesil edildiğide herhagi ii oples sayı arşılaştırılaaz. Koples sayılarda sıralaa sadece odülleri yardııyla yapılabilete Şidi bu alt bölüde oples sayıları asıl sıraladılarıı göreli. Taı.3.1. a ve b birer reel sayı ve i 1,( i 1) ola üzere z a ib oples sayısıı başlagıç otasıa ola uzalığıa, oples sayıı utla değeri (büyülüğü ya da odülü) deir ve z oples sayısıı odülü z ile gösterilir ve z a b şelide hesaplaır. Öre.3.1. z 6 8i ola üzere r z 6 8 36 64 10 dur. Şidi ise z1 8 6i ve z 3 4i oples sayılarıı odülleri yardııyla arşılaştırırsa, z1 8 ( 6) 64 36 10 z 3 4 9 16 5 olup z1 z

3.4. Vetörleri Karşılaştırılası de alıa ii vetör çeşitli yötelerle arşılaştırılabilir. Bilie e basit yöte ola bileşe bileşe sıralaaı haricide tae egatif olaya bileşee sahip vetörleri ısi sıralaası ola aorizasyo il olara Schur (193) tarafıda atrisleri özdeğeri ve öşege eleaları üzeride ullaılıştır. Biz çalışaızda atrisleri sigüler ve özdeğer vetörlerii, vetörleri ısi sıralaa bağıtısı olara da bilie aorizasyo yardııyla arşılaştırdığıızda dolayı bu alt bölüde aorizayo avraıı (öreleri ile birlite) vereceğiz..4.1. Maorizasyo Taı.4.1 (Bapat, 1991). 1... x olsu. x x1, x,..., x vetörü, x x x olaca şeilde azala sırada sıralaış bileşelere sahip vetöre arşılı gelsi. x, y vetörleri içi eğer xi i1 i1 y i ve i i1 i1 x y, 1,,..., 1 i şartı sağlaıyorsa x, y tarafıda aorize edilir deir ve x Sadece i i1 i1 x y, 1,,..., i y şelide gösterilir. ise x, y tarafıda zayıf aorize edilir deir ve x y şelide gösterilir. Açıtır i, aorizasyo zayıf aorizasyou geretirir. Bu taı, vetörleri ısi topla yardııyla lieer eşitsizli ciside ifade edilebilesii sağlar (Dahl, 009). Burada x vetörüdei bileşeler, y vetörüdei bileşelerde daha az yayılır veya x vetörü y vetörü tarafıda otrol edilir deir (Zhag, 011).

4.4.. Teel Bazı Öreler Maorizasyo avraıı e teel öreleride birii vereli. Eğer ai 0, ai 1 ise, i1 1 1 1,,..., (,,..., ) 1,0,0,...,0 a1 a a olur. Yuarıdai şeilde taılaa vetörler aorizasyo aracığıyla arşılaştırılabilir (Jorsiec ve Boche, 007). Yai, 1 1 1 1 1 1 1 1,,...,,,...,,0... (,,0,...,0) 1,0,0,...,0 1 1 1 olacatır (Marshall ve Oli, 1979). Teore.4..1 (Schur, 193). H, öşege eleaları h,..., 1 h ve özdeğerleri,..., 1 ola ertebeli Heritye atris ola üzere, diag( H ) ( H ) Yai, heritye bir atrisi öşege eleaları, özdeğerleri tarafıda aorize edilir..5. Doubly Stochastic Matris Maorizasyou yararlı bir araterizasyou daha vardır. Eleaları reel ve pozitif ola, satır ve sütu elealarıı toplaı 1 ola atris doubly stochastic atris olara adladırılır (Zha, 00). Bu atris ile birço aorizasyo eşitsizliği türetilebilete ve bazı teoriler ispatlaabilete Taı.5.1 (Schur, 193). i P p M olsu. Eğer 1 i, içi 0 ve p i p 1, 1, p 1, 1 i i i1 1 i

5 ise ertebeli P atrisie doubly stochastic atris deir. Teore.5.1 (Hardy, Littleood ve Polya, 199). x, y olsu. x y P doubly stochastic atris x Py 0.6 0.8 Öre.5.1 (Jorsiec ve Boche, 007). x y 0.4 0. ola üzere bua 1 1 3 3 0.6 3 3 0.8 arşılı gele doubly stochastic atris tir. Gerçete 1 0.4 1 0. 3 3 3 3 olacatır. Şidi Teore.4..1 i Doubly Stochastic Matris ile yapıla ispatıı vereli. İspat (Schur,193) H i özdeğerleri,..., 1 ola üzere H olaca UD U şeilde bir U üiter atrisi vardır. pi uiui ola üzere H i öşege eleaları h,..., 1 h ola üzere h u u p, i 1,,..., i i i i şelide U üiter olduğuda P p i doubly stochastic atristir. Souç olara,,...,,..., h h P 1 1 olup Teore.5.1 de h olur. Yai, diag( H ) ( H ).6. Maorizasyoda Schur Koves Fosiyolar

6 Taı.6.1 (Schur oves- Marshall ve ar., 1979)., üesi üzeride taılı reel değerli bir fosiyo ola üzere, üzeride Schur Koves olası içi gere şart, x y ( x) ( y) olasıdır. Bezer şeilde, üzeride Schur Koav olası içi gere şart x y ( x) ( y) olasıdır. Öere.6.1 (Hardy, Littleood ve Polya, 199). Tü süreli oves g : fosiyolar ile verile i g( x ) g( y ) i eşitsizliğii sağlaası içi gere ve yeter şart x y olasıdır. Teore.6.1 (Zha, 00). f fosiyou herhagi bir oves fosiyo ola üzere, 1,,..., 1,,..., x y f x f x f x f y f y f y Teore.6. (Zha, 00). g fosiyou herhagi bir oves ve arta fosiyo ola üzere, 1,,..., 1,,..., x y g x g x g x g y g y g y

7 Öre.6.1. x y x1,..., x y1,..., y Öre.6.. x y x 1,..., x y1,..., y r r r r Öre.6.3. 1 1 x y x,..., x y,..., y, r 1 z Öre.6.4 (Weyl, 1949). x, y ve g( e ) oves ve arta ise, log x,...,log x log y,...,log y g( x ),...,g( x ) g( y ),...,g( y ) dır. 1 1 1 1.7. Logariti Maorizasyo Taı.7.1 (Ado ve Hiai, 1994) x, y vetörleri içi eğer xi i1 i1 y i ve i i1 i1 x y, 1,,..., 1 i şartı sağlaıyorsa x, y tarafıda log-aorize edilir deir ve x y şelide gösterilir. log Sadece i i1 i1 x y, 1,,..., i ise x, y tarafıda zayıf log-aorize edilir deir ve x y şelide gösterilir. log Pozitif bileşeli vetörler içi logariti aorizasyo, aorizasyoda daha güçlüdür (Zha, 00). Çüü, x log y l x l y ve

8 l x l y l x,l x,...,l x l y,l y,...,l y 1 1 t olup oveslite yararlaılaca olursa, yai, Teore.6. de g( t) e alıırsa, t g( t ) e l x1 l x l x l y1 l y l y l x l y e, e,..., e e, e,..., e x, x,..., x y, y,..., y 1 1 olur. Dolayısıyla bu souçla aşağıdai teore verilebilir. Teore.7.1 (Zhag, 1999). x, y vetörler ola üzere, x y x y log.8. Bazı Maorizasyo Eşitsizlileri Bu bölüde geel atrisler içi aorizasyo eşitsizlileri verilip ardıda tipide pozitif yarı taılı Heritye blo atrisleri özdeğerleri içi bazı aorizasyo eşitsizlileri veriliştir. Çalışaızı bu ısıda itibare ele alacağıız atrisler geel, reel özdeğerlere sahip heritye veya pozitif yarı taılı atrisler olacağıda aorizasyo taııı ullaabile içi sigüler değerleri ve özdeğerleri vetör foratıda göstereceğiz. Yai, A atrisii özdeğerleri, özdeğerler reel ise A A A 1... şelide azala sırada sıraladıta sora; özdeğerler reel değil ise özdeğerleri odülleri A A A A M şelide azala sırada sıraladıta sora 1... ı özdeğer vetörü A A 1 A,..., A ile ifade edilecetir. Ayı şeilde A atrisii sigüler değerleri, s A s A s A şelide azala sırada sıraladıta sora s A s A s1 A, s A,..., s A ile ifade edilecetir. 1... A M ı sigüler değer vetörü

9.8.1. Geel Matrisler içi Bazı Maorizasyo Eşitsizlileri Teore.8.1.1 (Weyl, 1949). Herhagi oples atrisi sıralı özdeğerleri ( A) ( A)... ( A) ola üzere, 1 A s A, 1,..., 1, 1 1 A s A 1 1. Yai A s A log Eğer A 0 ise bu şartlar, log 1 A,log A,...,log A log s1 A,log s A,...,log s A duruua detir (Marshall ve ar., 1979). Teore.7.1 de dolayı herhagi sigüler olaya (regüler) oples atris içi, 1 A, A,..., A s1 A, s A,..., s A Teore.6. de ve si A i AA de dolayı herhagi sigüler olaya (regüler) oples atris içi, A, A,..., A s A, s A,..., s A AA, AA,..., AA 1 1 1 Teore.8.1. (Schur, 1909). Herhagi sigüler olaya (regüler) oples atris içi,

30 i AA tr AA ai i AA 1 i, 1 Teore.8.1. de, 0 x1 0 0 0 0 x 0 A, xi 0, i 1,,..., 0 0 0 x 1 x 0 0 0 seçilirse, x x i 1 1 1/ i elde edilir i, bu eşitsizli ariteti-geoetri ortalaa eşitsizliğidir (Marshall ve ar., 1979). Teore.8.1.3 (Fa, 1949). Herhagi A oples atrisi ve r pozitif tasayısı içi, r r s A s A Herhagi A oples atrisii özdeğerlerii reel ısı ile birço teori ortaya çııştır. Reel ısı, A olara taılaatadır. Teore.8.1.4 (Fa, 1950) Herhagi A oples atrisi içi, A A A A A A 1 A, A,..., A 1,,...,

31 Teore.8.1.5 (Fa, 1951). Eğer A ve B oples atrisler ise, s A B s A s B Teore.8.1.6 (Hor, 1950; Visser ve Zaae, 1959; De Brui, 1956). A ve B oples atrisler ise, s AB s A s B, 1,..., 1 i i i 1 1 i i i 1 1 s AB s A s B, Yai, s AB s A s B Ayı zaada bu s AB s A s B eşitsizliğii geretirir. l og Eğer s AB 0 ise bu şartlar, log s1 AB,log s AB,...,logs AB log s1 As1 B,log s As B,...,logs As B duruua detir (Marshall ve ar., 1979). Çüü, 1/ 1/ 1/ s A AA, s AB ABB A A ABB, i 1,..., i i i i i Teore.8.1.7 (De Brui, 1956; Marshall ve ar., 1979). A ve B pozitif yarı taılı Heritye atrisler ise, AB A B, 1,..., 1 i i i 1 1 AB A B i i i 1 1,

3 Eğer AB 0 ise bu şartlar, log 1 AB,log AB,...,log AB log 1 A1 B,log A B,...,log A B duruua detir (Marshall ve ar., 1979). Teore.8.1.8 (Marshall ve ar., 1979). A1,..., A ler oples atrisler ise, s A... A s A... s A, 1,..., 1 i 1 i 1 i 1 1...... i 1 i 1 i 1 1 s A A s A s A Eğer s... 0 A1 A ise bu şartlar, log s A... A,log s A... A,...,log s A... A 1 1 1 1 log s ( A )... s ( A ),log s ( A )... s ( A ),...,log s ( A )... s ( A ) 1 1 1 1 1 duruua detir. Teore.8.1.9 (Marshall ve ar., 1979). A ve B oples atrisler ise, 1 s AB AA BB, 1,..., i i i 1 1 Çüü Teore.8.1.6 da ariteti-geoetri ortalaa eşitsizliği ullaılırsa, i i i 1 1 s AB s A s B 1 si A si B, 1,..., 1

33 Teore.8.1.8 ullaılara bu souç tae A1,..., A atrislerie...... i 1 i 1 i 1 1 s A A s A s A 1 si A1... si A, 1,..., 1 şelide geelleştirilebilir. Teore.8.1.10 (Marcus, 1969). oves fosiyo ise, A,..., 1 A ler oples atrisler ve azala 1 s A1... A s A1... s A, 1,..., i i i 1 1 Teore.8.1.11 (Fa Doiace Presibi - Zhag, 1999). A, B M, olsu. Bu tadirde, M, üzeride taılı tü. üiter ivaryat atris orları içi, s A s B A B Bu teori zayıf aorizasyo eşitsizliğide or eşitsizliği elde ete içi ullaıla ço iyi bir araçtır..8.. Blo Matrisler içi Bazı Maorizasyo Eşitsizlileri Teore.8..1 (Fa, 1954). H ve H H atrisleri 11 H1 H H 1 H ve H H 0 11 H 0 şelide Heritye blo atrisler olsular. H : l l, H : ve 11 l ise üzeride,

34 11, H H H H aorizasyo eşitsizliği vardır. Teore.8.. (Özdeğer İterlacig Teore - Zhag, 011). Heritye H atrisi ve H i teel alt atrisi M, atris ve 1 ola üzere H atrisi, H M K K N şelide blolara ayrılsı. Bu duruda 1,,..., içi H M H Özellile de 1 olduğuda, H M H... H M H 1 1 1 1 Teore.8..3 (Zhag, 001). M, K ve N sırasıyla, ve oples atrisler ola üzere, M K K N 0 dır. ra K r alıırsa, ax i M, i N, i r i 0, diğer durularda ola üzere,,..., 1 içi

35 log s K log Bu ayı zaada s K olasıı geretirir ve ayı zaada M, K ve N ayı ertebede are atrisler ise log K log (.1) olacatır. İspat (Zhag, 001). Varsayalı i, 0 K olsu. D diag s K s K (,..., ), 1 r U, r ve V, r ısi üiter atrisler sırasıyla U U V V I r, K atrisii sigüler değer ayrışıı K UDV olsu. U 0 M K U 0 U MU D 0 0 V K N 0 V D V NV olsu. Her bloğu 1 r içi ertebeleride teel alt atrisii alırsa, U MU D D V NV 0 yazarız. Her bloğu deteriatıı alaca olursa, D U MU V NV det det det olur veya ayı şeilde her 1 r içi,

36 s K U MU V NV i i i i1 i1 olur. İterlacig teorei ile, i i i i i1 i1 i1 s K M N elde edilir. (.1) dei eşitsizli öşege eleaları K K K 1,,..., ola T üst üçge atris ve W üiter alııp K WTW şelide yazılara elde edilebilir. Teore.8..4 (Rotfel d, 1969; Thopso, 1977). Eğer G ve H x ertebeli pozitif yarı taılı Heritye atrisler ise, G H,0 G, H İspat (Rotfel d, 1969; Thopso, 1977). G ve H pozitif yarı taılı Heritye atrisler olduğuda, X ve Y atrisler ola üzere foruda yazılabilir. Eğer A X Y ise farlı özdeğerleri A A AA A A,0 X X Y X Souç olara, G G H AA Dahası XX ve H YY AA ı sıfırda X Y sıfırda farlı özdeğerleri ile çaışatadır. Yai Y Y,, A A X X Y Y G H olur.

37 Matris eşitsizlileri ispatlaada H K K H forudai blo atrisler, ço öeli rol oyarlar. Şidi bu fordai blo atrisler içi literatürde var ola teorileri iceleyeli. Teore.8..5 (Zhag-005). H ve K -are oples Heritye atrisler ve. oru M üzeride taılı üiter ivaryat atris oru ola üzere, H K 0 H K K H K H K H (.) Gerçete, 1 I I H K 1 I I H K 0 I I K H I I 0 H K olur. (.) dei blo atrisi özdeğerleri H K ıilerle ayıdır. (.) dei H ve K atrislerii özdeğerlerii aorizasyo eşitsizlileri, ( K) ( H ) dir ve bu eşitsizli Teore.8..3 ile log ( K) log ( H ) (.3) şelide geişletilebilir. Teore.8..6 (Zhag, 001- Zhag-005). M, K ve N -are oples atrisler olsu. M K K N 0

38 ise ; veya ola üzere, M N K K (.4) dir ve ayı zaada M üzeride taılı. üiter ivaryat atris oru içi K K M N (.5) İspat (Zhag-001). Pozitif yarı taılı blo atrisleri perütasyo ogürası da pozitif yarı taılı ve ii pozitif yarı taılı atrisi toplaı veya Hadaard çarpıı da pozitif yarı talı olduğuda M K N K M N K K 0 K N K M K K M N dir ve Teore.8..5 ullaılara (.4) ve (.5) eşitsizlileri elde edilir. Uyarı.8..1 (Zhag, 001). (.4), (.3) e uygulaırsa, log ve log K K log M N K K log M N olur. Ayrıca Zhag (001) çalışasıda yer ala blo atris uygulaalarıda Teore.8..3 ullaılara yei aorizasyo eşitsizlileri elde edilebilir. Schur (193), aorizasyo tipi eşitsizlilerie teel ola Heritye A atrisii öşege elealarıı özdeğerleri tarafıda aorize edildiğii gösteriştir, yai diag( A) ( A) olduğuu buluştur. Li ve Woloicz (01) ise yaptıları çalışada Schur (193) u heritye atrisler içi taıladığı diag( A) ( A) eşitsizliğii tipidei Heritye blo atrislere taşıışlardır.

39 M Buu içi H K K N M Heritye atrisii ele alışlardır ve H K K N Heritye atrisi içi diag( H ) ( M N) ( H ) olduğuu gösterişler Şidi pozitif yarı taılı Heritye blo atrisler içi ters aorizasyo eşitsizlileri vere Li ve Woloicz (01) çalışasıı iceleyeli. M Teore.8..7 (Li ve Woloicz, 01). H K taılı atris olsu. Eğer K bloğu da heritye ise, K N Heritye pozitif yarı H M N 0 (.6) aorizasyo eşitsizliği sağlaır. Lea.8..1 (Li ve Woloicz, 01). Eğer A B M ise,, Heritye atrisler A A B A B dır. Bu lea Ky Fa ı (1949) bilie özdeğer eşitsizliği e detir, yai A B A B Lea.8.. (Li ve Woloicz, 01). ola üzere A M, ise AA AA 0 dır.

40 Teore.8..7 de verile K bloğuu Heritye ola gereliliğii Li ve Woloicz (01) çalışasıda aşağıdai örele açılaıştır. Öre.8..1 (Li ve Woloicz, 01). M 1 0 1 0 4, N 1 1 ve K 1 0 olsu. O halde, M N 0 4, 4,0,0 M K 4 5,4 5,0,0 K N M K 0 K N olacatır. Yai K atrisii Böylece H M N heritye olası gereir. Teore.8..7 i ispatı (Li ve Woloicz, 01) M K H K N pozitif yarı taılı olduğuda X Y M içi P X Y, H,, P P yazılabilir. Böylece M X X, N Y Y ve K da Heritye olduğuda K X Y Y X olur. Lea M K K N.8.. ile PP (.6) ile gösterile aorizasyo eşitsizliği 0 X Y Y X X X Y Y X X Y Y şelide gösterilecetir. İl olara, X iy X iy X X Y Y i X Y Y X X X Y Y X iy X iy X X Y Y i X Y Y X X X Y Y X iy X iy XX YY i XY YX X iy X iy XX YY i XY YX

41 Burada A XX YY, B i XY YX alııp Lea.8..1 ve Lea.8.. de yerleştirilirse, 1 X iy X iy X iy X iy X X Y Y 0 X iy X iy 0 X iy X iy 0 1 XX YY olur. Teore.8..7 i özel bir duruu aşağıdai şeildedir, Souç.8..1 (Li ve Woloicz, 01). X Y M,, X Y Heritye atris ola üzere, XX YY X X Y Y Souç.8.. (Li ve Woloicz, 01). 1 olaca şeilde bir tasayı olsu. Eğer A B, M Heritye ise, A AB BA A BA AB Souç.8..3 (Li ve Woloicz, 01). 1 ve A B M, Heritye atris olsu. Bu tadirde halde, olaca şeilde bir tasayı, p 0, p p iz A AB BA iz A BA AB, p 1 1. p p iz A AB BA iz A BA AB, 0 p 1.

4 p Gerçete p 1 içi f ( x) x oves 0 p 1 içi oav ola fosiyoda dolayı geelliği bozasızı Souç.8.. yi Souç.8..3 taip ederse souç görülür (Li ve Woloicz, 01). Souç olara özetlerse, M ve N i iisi de -are atrisler ie, H M K K N atrisi Heritye atris ola üzere, M N H (.7) olduğu Ky Fa (bz, sayfa 330, Marshall ve ar., 011) tarafıda verile bir teore ile gösteriliştir. Daha sora Rotfel d ve Thopso (bz, sayfa 330, Marshall ve ar., 011) tarafıda -are pozitif yarı taılı M ve N atrisleri içi, M N M N,0 (.8) olduğu gösteriliştir. Geel olara (.7) ve (.8) i sağ tarafları arşılaştırılaaz. Aca Li ve Woloicz (01) çalışasıda H i pozitif yarı taılı ve K ı Heritye olası duruuda, H M N,0 olduğuu gösterişler Daha soraları Türe ve ar. (01) çalışasıda herhagi blolara ayrılış M K pozitif yarı taılı H K N atrisi içi ve K Heritye veya Ters-Heritye atris olası duruuda, diag H M N H M N 0

43 olduğuu gösterişler Teore.8..8 (Türe ve ar., 01). X Y Heritye veya Ters-Heritye olsu. Bu tadirde X ve Y -are oples atrisler ie XX YY X X Y Y Teore.8..9 (Furuichi ve Li, 010). S ve T i iisi de -are pozitif yarı taılı atrisler olsu. O halde, T ST S T TS T Teore.8..10 (Türe ve ar., 01). M ve N i iisi de -are atrisler ie, M K H K N atrisi pozitif yarı taılı atris olsu. Eğer K Heritye veya Ters- Heritye ise, H M N,0 (.9) İspat (Türe ve ar., 01) H X Y X X X X Y Y Y X Y Y olsu. Teore.8..8 de M X X, K X Y ve N Y Y alıırsa (.9) aorizasyo eşitsizliğii sağladığı görülür..8.3. Leibia Fosiyoları içi Bazı Maorizasyo Eşitsizlileri Şidi pozitif yarı taılı blo atrisleri ullaara eşitsizliler türeteizi sağlaya Leibia fosiyolarıı taıyalı.

44 Taı.8.3.1 (Zhag, 005). Matrisler üzeride taılı süreli oples-değerli bir fosiyo ola L fosiyou A 0 ie pozitifse yai L A 0 ise bu fosiyo Leibia fosiyou olara adladırılır ve ayrıca L fosiyou Leibia fosiyo ve M, K ve N -are oples atrisler ise M K 0 L K K N L M L N (.10) Bu tadirde herhagi bir A 0 atrisi içi tr A ; det A ; s ax A spetral or; A üiter ivaryat atris oru; i ; i1 il tae e büyü özdeğeri utla değerlerii çarpıı A i. i1 il tae e büyü sigüleri çarpıı s A fosiyolarıı her biri Leibia fosiyoua birer öretir (Zhag, 005). Öre.8.3.1 (Zhag, 005). A B taılı atris olduğuda A A A A B B B A B B 0 atrisi pozitif yarı L A A LB B L A B eşitsizliği sağlaır. Özel olara L fosiyou herhagi bir üiter ivaryat atris oru. alıırsa A B A A B B eşitsizliği elde edilir.