ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI

ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 1. ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 2. D KDÖRTGEN N ALANI 3. ÜÇGENSEL BÖLGELER N ALANI 4. ÜÇGENSEL ALAN PROBLEMLER ÇÖZÜLÜRKEN KULLANILACAK FORMÜLLER 5. PARALELKENARIN ALANI 6. KAREN N ALANI 7. EfiKENAR DÖRTGEN N ALANI 8. YAMU UN ALANI

GEOMETR 3 BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI Bu bölümü çal flt n zda; * Çokgenlerin alanlar n n nas l hesapland n ö renecek, * Çokgenlerin alanlar aras ndaki iliflkileri anlayacaks n z. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? De erli ö renciler, * Çokgenlerin alan formüllerini iyi ö reniniz. * lü örnekleri iyice inceledikten sonra örnekleri çözümlerine bakmadan bir de siz çözünüz. lerinizi örnek çözümlerle karfl laflt r n z. * Konu sonlar ndaki araflt rma sorular n çözerken, örnek sorular n çözüm metotlar n göz önünde tutunuz. Bu bölümü çal flmadan önce, * Geometri 1 kitab n zdan afla daki konular ö reniniz, - Üçgende Kenarortay Ba nt lar - Üçgende Aç ortay Ba nt lar - Üçgenlerin eflli i ve benzerli i 62

1. ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI Alan hesaplar n, ölçmenin ne oldu u, uzunluk ölçüsü birimlerini önceki y llarda gördünüz. Bu bölümde çokgensel bölgelerin alanlar üzerinde duraca z. Bir çokgen ile iç bölgesinin birleflimine çokgensel bölge denir. Aksiyom : Bir çokgensel bölgeye bir ve yaln z bir pozitif reel say karfl l k gelir. 2. D KDÖRTGEN N ALANI Aksiyom : Bir dikdörtgenin alan, bitiflik iki kenar n uzunluklar çarp m d r. A(ABCD) = a.b dir. 3. ÜÇGENSEL BÖLGELER N ALANI Bir üçgen ile iç bölgesinin birleflimine üçgensel bölge denir. Üçgensel bölge de bir çokgensel bölgedir. Bir üçgensel bölgeye karfl l k gelen pozitif reel say ya üçgenin alan denir. A(ABC) = a.h 2 dir. 63

EfiKENAR ÜÇGEN N ALANI a) Kenar cinsinden : A = a2 3 4 b) Yüksekli i cinsinden : A = h2 3 3 tür. 4. ÜÇGENSEL ALAN PROBLEMLER ÇÖZÜLÜRKEN KULLANILAB LECEK FORMÜLLER 1. Kenarotay, bir üçgeni alan bak m ndan iki eflit bölgeye ay r r. S 1 = S 2 2. Kenarortaylar üçgeni alan bak m ndan alt eflit parçaya ay r r. S 1 = S 2 = S 3 = S 4 = S 5 = S 6 3. Üçgende orta tabanlar üçgeni alan bak m ndan dört eflit bölgeye böler. S 1 = S 2 = S 3 = S 4 64

4. Üçgenin a rl k merkezini, üçgenin köflelerine birlefltiren do rular üçgeni alan bak m ndan üç eflit bölgeye ay r r. S 1 = S 2 = S 3 5. Yükseklikleri eflit olan üçgenlerinalanlar oran, tabanlar n n oran na eflittir. S 1 S 2 = a b 6. A(ADE) A(ABC) = AE. AD AB. AC 7. A(DEF) A(ABC) = ED. AF AB. AC fiekilde [AN] aç ortay, AB = 4 cm, AC = 6 cm ve A(ABC) = 30 cm 2 oldu una göre ANC üçgeninin alan kaç cm 2 dir? 65

Aç ortay kural na göre BN NC = 4 6 = 2 3 NC BC = 3 5 A(ANC) A(ABC) = NC BC = 3 5 (Orant özeli inden) x 30 = 3 5 x = 18 cm 2 dir. fiekilde G, üçgenin a rl k merkezi ve mavi bölgenin alan 18 cm 2 ise ABC üçgeninin alan kaç cm 2 dir? Üçgenin a rl k merkezini, üçgenin köflelerine birlefltiren do rular, üçgeni üç eflit bölgeye ay r r. O hâlde, Mavi bölgenin alan A(ABC) = 2 3 66 2 3 = 18 x

fiekilde G, üçgenin a rl k merkezi AN = NG ve mavi bölgenin alan 48 cm 2 ise ABC üçgeninin alan kaç cm 2 dir? AN = NG = GD = x BD = DC = y ise; A(ABD) A(ABC) = A(ADC) A(ABC) = 1 2 A(ABN) A(ABC) = A(ANC) A(ABC) = 1 2. 1 3 = 1 6 A(ABN) + A(ANC) A(ABC) 1 3 = 48 A(ABC) = 2 6 = 1 3 A(ABC) = 144 cm 2 dir. m flt r. A(ABE) A(ABC) : fiekilde [AC] kenar 6 eflit, [BD] kenar 4 eflit parçaya ayr lm oran kaçt r? A(ABD) A(ABC) = 4 6 = 2 3 A(ABE) A(ABD) = 3 4 A(ABE) A(ABC) = 2 3. 3 4 = 1 2 olur. 67

fiekilde, [AH] [BC], AE = EC, AH = 18 cm, DC = 10 cm oldu una göre A(ADE) kaç cm 2 dir? A(ADE) A(ADC) = 1 2 A(ADC) = 10.18 2 = 90 cm 2 A(ADE) = 90. 1 2 = 45 cm2 olur. ABC eflkenar üçgen, [DF] [AB], [DE] [AE] ve DF - DE = 12 cm ise A(ABC) kaç cm 2 dir? DF - ED = h A = h2 3 3 = 122 3 3 = 48 3 cm 2 olur. fiekilde, AB = AC = BD = 12 cm ve DC = 4 cm ise AD kaç cm dir? AB = AC oldu undan ABC üçgeni ikizkenar üçgendir. kizkenar üçgende tabana ait yükseklik ayn zamanda kenarortayd r. Yani, BH = HC = 8 cm dir. ABH diküçgeninde; h 2 = 12 2-8 2 =80 AHD diküçgeninde; x 2 =h 2 +4 2 = 96 68 x = AD = 4 6 olur.

ARAfiTIRMA SORULARI (7) 1. fiekilde AB = AD, AC = CD = 4 cm ve BC = 8 cm ise A(ABC) kaçt r? A) 12 3 B) 10 3 C) 8 3 D) 6 3 2. ABC eflkenar üçgen, [DH] [BC], DK = KH = 4 cm ise A(ABC) kaç cm 2 dir? A) 6 3 B) 9 3 C) 10 3 D) 12 3 3. ABC ve PHE eflkenar üçgenlerdir. EH = 2 3 cm ise A(ABC) kaç cm 2 dir? A) 8 3 B) 12 3 C) 16 3 D) 18 3 4. fiekilde m(b) = 90, [AN] aç ortay AC = 12 cm ve BN = 3 cm ise A(ANC) kaç cm 2 dir? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 69

5. fiekilde AD = DC, BD = 2 cm ise A(ADC) kaç cm 2 dir? A) 3 B) 2 3 C) 3 3 D) 4 3 6. AD = BD, AC = 3. AE, A(DBCE) = 35 cm 2 ise A(ADE) kaç cm 2 dir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 7. fiekilde AB = AC, AD = 10 cm, BD = 15 cm ve DC = 3 cm ise A(ADC) kaç cm 2 dir? A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 8. fiekilde [AB] ve [BC] kenarlar 4 eflit parçaya ayr lm flt r. A(ABC) = 36 cm 2 oldu una göre A(EDF) kaç cm 2 dir? A) 9 B) 12 C) 15 D) 16 70

5. PARALELKENARIN ALANI A (ABCD) = A ise A = a. h a = b. h b A = a. b. sina = a. b. sinb dir. ABCD bir paralelkenar, [AK] ve [BK] aç ortayd r. AK = 6 cm, AB = 10 cm oldu una göre A(ABCD) kaç cm 2 dir? [AK] ve [BK] aç ortay oldu u için [AK] [BK] d r. ABK dik üçgeninde; AB 2 = AK 2 + KB 2 100 = 36+x 2 x = 8 A(AKB) = AK. KB 2 A(ABCD) = 2.A(AKB) = 2.24 = 48 cm 2 olur. = 6.8 2 = 24 71

ABCD paralelkenar, DE = EA ve A(ABCD) = 72 cm 2 ise taral alan kaç cm 2 dir? A(ADB) = 1 2 A(ABC) A(EDK) A(ADB) = y.2x 2y.6x = 1 6 A(EDK) = 1 36 6 A(EDK) = 6 cm 2 olur. ABCD bir paralelkenar, AC = 12 cm, BD = 8 cm m(cba) = 18 ve m(cab) = 42 ise A(ABCD) kaçt r? m(dba) = m(bdc) = 18 (içters aç lar) m(akb) = 120 olur. (AKB üçgeninin iç aç lar ölçüleri toplam ndan) A = 1 2 Sin120. AC. BD (Dörtgen alan formülünden) A= 1 2. 3 2. 12.8 = 24 3 cm2 olur. 72

6. KAREN N ALANI 1) Kenar cinsinden A = a 2 2) Köflegenleri cinsinden A = e2 2 = f2 2 dir. 7. EfiKENAR DÖRTGEN N ALANI 1) A = a.h 2) A = e.f 2 3) A = a 2. sina =a 2. sinb 73

8. YAMU UN ALANI Tabanlar a ve c, yüksekli i h olan yamu un alan ; A = (a+c).h 2 spat A(ABCD) = A(ABC) + A(ACD) A(ABCD) = a.h 2 + c.h 2 = (a+c).h 2 UYARI Köflegenlerin ay rd alanlara, S 1, S 2, S 3, S 4 diyelim. a) S 1 =S 3 b) S 1.S 3 =S 2.S 4 (S 1 =S 3 al n rsa, S 2 1 = S 2.S 4 olur.) c) A(ABCD) = ( S 2 + S 4 ) 2 fiekilde, OC OA = 1 3 ve A(OCD) = 4 cm2 ise, A(ABCD) kaçt r? 74

A(OCD) = 4 cm 2 A(AOD) = A(COB) = 12 cm 2 A(AOB) = 3.12 = 36 cm 2 olur. A(ABCD) = A(COB) + A(AOB) + A(AOD) + A(DOC) = 12 + 4 + 12 + 36 = 64 cm 2 olur. ABCD bir yamuk, CE = EB ve [EF] [AD] dir. EF = 8 cm ve AD = 4 cm ise, A(ABCD) kaç cm 2 dir? E noktas ndan [AD] // [KL] çizelim. Δ Δ CEL BEK d r. AKLD paralelkenard r. (AKLD) = A(ABCD) A(AKLD) = 8.4 = 32 cm 2 dir. Dolay s yla A(ABCD) = 32 cm 2 olur. 75

ABCD bir yamuk, A(AOD) = 4 cm 2 ve A(AOB) = 8 cm 2 ise, A(ABCD) kaç cm 2 dir? S 2 = S 1. S 2 4 2 = x.8 x = 2 cm 2 olur. A(ABCD) = 4 + 2 + 4 + 8 = 18 cm 2 olur. ABCD bir yamuk, AB = 6 cm, DC = 3 cm dir. A(ABD) = S 1, A(BCD) = S 2 ise, S 2 / S 1 oran kaçt r? 76 S 1 = 6.h 2 = 3h S 2 = 3.h 2 S 2 S 1 = S 1 S 2 = 1 2 3h 2 3h = 3h 2. 1 3h olur.

fiekilde, ABCD ve AKLM birer karedir. Karelerin kenarlar, birer tamsay ve mavi alan 17 cm 2 ise, A(ABCD) kaçt r? AB = x, AK = y ise, taral alan = 17 = x 2 - y 2 (x-y) (x+y) = 1.17 x - y = 1 x + y = 17 x = 9 A(ABCD) = 9 2 = 81 cm 2 olur. ABCD bir kare, [AK] [CK], m(bck) = 15 ve CK = 6 cm oldu una göre, A(ABCD) kaç cm 2 dir? Köflegenleri aç ortayd r. ACK dik üçgeninde, m(ack) = 60, m(cak) = 30 ve AC = 12 cm A(ABCD) = 122 2 = 72 cm 2 olur. 77

ABCD bir kare, E ve F kenarlar n orta noktalar, mavi alanlar n toplam 6 cm 2 oldu una göre, A(ABCD) kaç cm 2 dir? K noktas, BCD üçgenin a rl k merkezidir. Mavi alanlar toplam A(ABCD) = 1 2. 2 6 = 1 6 dir. A(ABCD) = 6.6 = 36 cm 2 olur. 78

ARAfiTIRMA SORULARI (8) 1. fiekilde, ABCD kare, AEFD bir dikdörtgendir. Karenin alan, AEFD dikdörtgeni nin alan ndan 27 cm 2 fazla, karenin çevresi, dikdörtgenin çevresinden 6 cm fazla oldu una göre, karenin alan kaç cm 2 dir? A) 27 B) 45 C) 63 D) 81 2. ABCD dikdörtgeni, paralel do rular yard m ile alt dikdörtgene ayr lm flt r. Dikdörtgelerden baz lar n n alanlar üzerine yaz ld na göre, ABCD dikdörtgenin alan nedir? A) 52 B) 64 C) 66 D) 78 3. ABCD dikdörtgenin çevresi 16 3 cm ve alan 36 cm 2 ise, ACEF karesinin alan kaç cm 2 dir? A) 90 B) 100 C) 110 D) 120 79

4. ABCD dikdörtgen FC DF kaç cm 2 dir? = 2 3, EF AF = 1 4 ve A(ABCD) = 80 cm 2 ise, mavi alan A) 13 B) 26 C) 30 D) 33 5. Bir eflkenar dörtgenin çevresi 16 cm, köflegenlerinin uzunluklar toplam 16 cm oldu una göre, bu eflkenar dörtgenin alan kaçt r? A) 42 B) 48 C) 50 D) 52 6. fiekilde, ABCD karedir. m(dea) = 60 ve AC = 2 3 cm ise DE kaç cm dir? A) 1/2 B) 1 C) 3/2 D) 2 80

7. fiekildeki ABCD dik yamu unun alan, kaç cm 2 dir? A) 30 B) 45 C) 50 D) 70 8. fiekildeki ABCD yamu unun alan, kaç cm 2 dir? A) 32+32 3 B) 36+32 3 C) 32+32 5 D) 30+30 3 81

ÖZET 1. Bir çokgen ile iç bölgesinin birleflimine çokgensel bölge denir. 2. Bir dikdörtgenin alan, bitiflik iki kenar n uzunluklar çarp m d r. 3. Bir üçgen ile iç bölgesinin birleflimine üçgensel bölge denir. Üçgensel bölge de bir çokgensel bölgedir. Bir üçgensel bölgeye karfl l k gelen pozitif reel say ya üçgenin alan denir. Bir üçgenin alan A(ABC) = a.h 2 dir. 4. Eflkenar üçgenin alan a) Kenar cinsinden : A = a2 3 dir. 4 b) Yüksekli i cinsinden : A = h2 3 dir. 3 5. Paralelkenar n alan A = a. h a = b. h b A = a. b. sina = a. b. sinb dir. 6. Tabanlar a ve c, yüksekli i h olan yamu un alan ; A = (a+c).h 2 dir. 82

TEST II 1. m(a) +m(c) =60, AB = 4 3, A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 2. fiekilde BC = 6 cm, DE = 2 cm, A(DBCE)= 128 cm 2 ise A(ADE) kaç cm 2 dir? A) 10 B) 16 C) 20 D) 24 3. E ve F kenarlar n n orta noktalar d r. kizkenar yamukta köflegenler, dik olarak kesiflmektedir. AB = 18 cm, KL = 6 cm ise, A(ABCD) kaç cm 2 dir? A) 96 B) 108 C) 112 D) 144 4. fiekildeki ABCD karesinin [BC] ve [DC] kenarlar 3 er eflit parçaya ayr lm flt r. Buna göre, mavi alan n, karenin alan na oran nedir? A) 7/18 B) 5/9 C) 2/3 D) 3/4 83

5. ABCD dikdörtgen [DH] [AC], AH = 4 cm, HC = 9 cm ise, A(AHB) kaçt r? A) 6 B) 9 C) 12 D) 24 6. fiekilde, ABCD yamuktur. A(AOD) = 6 cm 2, A(DOC) = 2cm 2 ise A(ABCD) kaçt r? A) 30 B) 32 C) 36 D) 40 7. fiekilde verilenlere göre A(CEB) kaçt r? A) 8 B) 9 C) 12 D) 15 84

8. fiekilde, ABCD ve BEFG birer karedir. AG = 5cm ise A(ABCD) + A(BEFG) toplam kaçt r? A) 20 B) 25 C) 30 D) 32 9. fiekilde, ABCD paralelkenard r. Verilenlere göre, BC uzunlu u kaçt r? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 10. fiekilde, ABCD dikdörtgendir. S 1 S 2 = 9 7 ise x+y kaçt r? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 85