FUZZY METRİK UZAYLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ MELİH ÇINAR

FUZZY METRİK UZAYLAR 2015 YÜKSEK LİSANS TEZİ MELİH ÇINAR

FUZZY METRİK UZAYLAR Melih ÇINAR Bülen Ecevi Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Maemaik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi Olarak Hazırlanmışır. ZONGULDAK Haziran 2015

Bu ezdeki üm bilgilerin akademik kurallara ve eik ilkelere uygun olarak elde edildiğini ve sunulduğunu; ayrıca bu kuralların ve ilkelerin gerekirdiği şekilde, bu çalışmadan kaynaklanmayan büün aıfları yapığımı beyan ederim. Melih ÇINAR

ÖZET Yüksek Lisans Tezi FUZZY METRİK UZAYLAR Melih ÇINAR Bülen Ecevi Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Maemaik Anabilim Dalı Tez Danışmanı: Prof. Dr. Erdal COŞKUN Haziran 2015, 89 sayfa Bu ez dör bölümden oluşmakadır. Birinci bölümde; fuzzy manığın oraya çıkma sebebi, arihçesi ve kullanım alanları hakkında bilgi verilmişir. İkinci bölümde; ez ile ilgili ön bilgilere, emel anım ve eoremlere yer verilmişir. Üçüncü bölümde; farklı fuzzy merik uzay anımları ele alınmışır. Özellikle; Kramosil ve Michalek Anlamında Fuzzy Merik Uzaylar, Kaleva ve Seikkela Anlamında Fuzzy Merik Uzaylar, George ve P. Veeramoni Anlamında Fuzzy Merik Uzaylar, Non- Archimedean Fuzzy Merik Uzaylar, Shaban Sedghi Anlamında M Fuzzy Merik Uzaylar, T- Bag Anlamında D Fuzzy Merik Uzaylar a yer verilmiş ve örneklerle deseklenmeye çalışılmışır. Dördüncü bölümde ise ezden çıkarılabilecek sonuçlara yer verilmişir. iii

ÖZET (devam ediyor) Anahar Kelimeler: Fuzzy küme, fuzzy sayı, fuzzy merik uzaylar Bilim Kodu: 403.03.01 iv

ABSTRACT M. Sc. Thesis FUZZY METRIC SPACES Melih ÇINAR Bülen Ecevi Universiy Graduae School of Naural and Applied Sciences Deparmen of Mahemaics Thesis Advisor: Prof. Dr. Erdal COŞKUN June 2015,89 pages The hesis consiss of 4 chapers. In he firs chaper, he birh of fuzzy logic, is hisory and usage are discussed. In he second chaper, rudimens abou he hesis, basic definiions and heorems are given. In he hird chaper, differen fuzzy meric spaces are discussed in deails. Especially, Fuzzy Meric Spaces by Kramosil and Michalek, Fuzzy Meric Spaces by Kaleva and Seikkela, Fuzzy Meric Spaces by George and P. Veeramoni, Non- Archimedean Fuzzy Meric Spaces, M- Fuzzy Meric Spaces by Shaban Sedghi, D *- Fuzzy Meric Spaces by T- Bag... are examined in deail and suppored by examples. Keywords: Fuzzy se, fuzzy number, fuzzy meric spaces Science Code: 403.03.01 v

vi

TEŞEKKÜR Bilgi ve birikimlerini hiçbir zaman esirgemeyen değerli hocalarım; Sayın Prof. Dr. Erdal COŞKUN, Sayın Doç. Dr. Tülin COŞKUN, Sayın Yrd. Doç. Dr. Nazmiye GÖNÜL e ve biricik aileme sonsuz eşekkürlerimi; bugünleri bize lüuf eden Yüce Allah a (c.c) ise sonsuz şükürlerimi sunarım. vii

viii

İÇİNDEKİLER Sayfa KABUL:... ii ÖZET... iii ABSTRACT... v TEŞEKKÜR... vii İÇİNDEKİLER... x ŞEKİLLER DİZİNİ... xi ÇİZELGELER DİZİNİ... xiv SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ... xvi BÖLÜM 1 GİRİŞ... 1 1.1 FUZZY (BULANIK) MANTIĞIN DOĞUŞU... 1 1.2 FUZZY MANTIĞIN TARİHÇESİ... 2 1.3 FUZZY MANTIĞIN AVANTAJ VE DEZAVANTAJLARI... 3 1.3.1 Avanajlar... 3 1.3.2 Dezavanajlar... 4 1.4 FUZZY MANTIĞIN UYGULAMA ALANLARI... 5 BÖLÜM 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER... 7 2.1 FUZZY KÜME KAVRAMI VE İLGİLİ TANIM VE TEOREMLER... 7 2.2 FUZZY SAYI KAVRAMI VE İLGİLİ TANIM VE TEOREMLER... 23 2.2.1 Fuzzy Sayı ve Çeşileri... 23 2.2.2 Fuzzy Sayılarda Arimeik İşlemler... 28 2.2.3 İki Fuzzy Sayı Arasındaki Uzaklık... 38 2.2.4 Fuzzy Sayı Dizileri... 43 2.3 FUZZY NOKTA... 46 2.4 KLASİK ANLAMDA METRİK UZAYLAR... 49 2.4.1 Tanım (Klasik Merik)... 49 2.4.2 Tanım (D Merik (ya da Genelleşirilmiş Merik) Uzaylar) (Sedghi vd. 2007)... 49 ix

2.4.3 Tanım (S Merik Uzaylar)... 52 BÖLÜM 3 FUZZY METRİK UZAYLAR... 56 3.1 KRAMOSİL VE MİCHALEK ANLAMINDA FUZZY METRİK UZAYLAR... 56 3.2 KALEVA VE SEİKKELA ANLAMINDA FUZZY METRİK UZAYLAR... 57 3.3 GEORGE VE P. VEERAMONİ ANLAMINDA FUZZY METRİK UZAYLAR... 58 3.4 NON-ARCHİMEDEAN FUZZY METRİK UZAYLAR... 76 3.5 SHABAN SEDGHİ VE NABİ SHOBE ANLAMINDA M FUZZY METRİK UZAYLAR... 77 3.6 TARAPADA BAG ANLAMINDA D FUZZY METRİK UZAYLAR... 83 BÖLÜM 4... 85 SONUÇLAR... 85 KAYNAKLAR... 87 ÖZGEÇMİŞ... 89 x

ŞEKİLLER DİZİNİ No Sayfa Şekil 2.1 Klasik bir A kümesi... 8 Şekil 2.2 R de bir A fuzzy kümesi... 8 Şekil 2.3 A fuzzy kümesi... 9 Şekil 2.4 A nın B yi kapsaması... 10 Şekil 2.5 C ve D fuzzy kümeleri... 11 Şekil 2.6 C ve D fuzzy kümelerinin birleşimi... 11 Şekil 2.7 C ve D fuzzy kümelerinin kesişimi... 11 Şekil 2.8 C ve D fuzzy kümelerinin birleşimi... 11 Şekil 2.9 C ve D fuzzy kümelerinin kesişimi... 11 Şekil 2.10 A kümesinin α ve α kesimleri... 18 Şekil 2.11 Konveks fuzzy küme... 20 Şekil 2.12 Konveks olmayan fuzzy küme... 21 Şekil 2.13 Üs-yarı sürekli... 23 Şekil 2.14 Üs-yarı sürekli değil... 23 Şekil 2.15 Üs-yarı sürekli... 23 Şekil 2.16 Kompak... 23 Şekil 2.17 Kompak değil... 23 Şekil 2.18 Bir A = [a 1, a 2, a 3 ] fuzzy sayısı... 24 Şekil 2.19 A fuzzy sayısı... 25 Şekil 2.20 A üçgensel fuzzy sayısı... 26 Şekil 2.21 Yamuk A Fuzzy Sayısı... 28 Şekil 2.22 A, B ve A+B kümeleri... 34 Şekil 2.23 A ve B fuzzy sayıları... 40 Şekil 2.24 A ve B fuzzy sayıları... 41 Şekil 2.25 δ(a, B) mesafesi (alan meodu ile)... 42 Şekil 2.26 u k fuzzy sayısının u 0 fuzzy sayısına yakınsaması... 44 xi

xii

xiii

ÇİZELGELER DİZİNİ No Sayfa Çizelge 1.1 Fuzzy manığın bazı ürünlerdeki işlevi... 5 Çizelge 2.1 Fuzzy kümelerde bazı özellikler... 14 Çizelge 2.2 x in A ya ai olma derecesi... 35 Çizelge 2.3 x in B ye ai olma derecesi... 35 Çizelge 2.4 x in A B ye ai olma derecesini belirleme çizelgesi... 36 Çizelge 2.5 x in A B ye ai olma derecesi... 36 Çizelge 2.6 x in A B ye ai olma derecesini belirleme çizelgesi... 37 Çizelge 2.7 x in A B ye ai olma derecesi... 37 xiv

xv

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ SİMGELER N R χ A (x) μ A (x) F(R) F(X) A α A α day(a) Core(A) L(R) 0 1 ε c(f) m(f) l r (x, λ) d D S G A W(A) A : Doğal sayıların cümlesi : Gerçel sayıların cümlesi : A kümesinin karakerisik fonksiyonu : x in A fuzzy kümesine ailik derecesi : R üzerindeki büün fuzzy kümelerin ailesi : X üzerindeki büün fuzzy kümelerin ailesi : A nın α kesimi : A nın kesin α kesimi : A fuzzy kümesinin dayanağı : A fuzzy kümesinin çekirdeği : R üzerindeki büün fuzzy sayıların ailesi : Fuzzy sayıların oplamaya göre birim : Fuzzy sayıların çarpmaya göre birim elemanı : İsenildiği kadar küçük seçilebilen poziif reel sayı : Büün yakınsak fuzzy sayı dizilerinin ailesi : Büün sınırlı fuzzy sayı dizilerinin ailesi : Sola olan uzaklık : Sağa olan uzaklık : Fuzzy noka : Klasik merik : Bir genelleşirilmiş merik ürü : Bir genelleşirilmiş merik ürü : Negaif olmayan büün fuzzy sayıların ailesi : A fuzzy sayısının büyüklüğü : A fuzzy sayısının uzunluğu : A fuzzy sayısının büyüklüğü xvi

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ (devam ediyor) A A 1 M Ε R d D : A fuzzy sayısının yansıması : A fuzzy sayısının ersi : Kapalı aralıklar ve fuzzy sayılar için oplam sembolü : Kapalı aralıklar ve fuzzy sayılar için çıkarma sembolü : Kapalı aralıklar ve fuzzy sayılar için çarpma sembolü : Kapalı aralıklar ve fuzzy sayılar için bölme sembolü : Sürekli norm : George ve Veeramoni anlamında fuzzy merik : R de bir al aralık : Kramosil ve Michalek anlamında fuzzy merik : Kaleva ve Seikkela anlamında fuzzy merik : Tarapada Bag anlamında fuzzy merik KISALTMALAR N.A : Non-Archimedean Fuzzy Merik Uzay xvii

BÖLÜM 1 GİRİŞ 1.1 FUZZY (BULANIK) MANTIĞIN DOĞUŞU "Hamza çok uzun boyludur", "Zeynep güzel bir kızdır", "Galerideki koyu mavi araba çok pahalı bir arabadır" gibi cümleler; göreceli kavramlar içerdiğinden herkese aynı ekiyi bırakmaz, yani herkes için aynı doğruluk değeriyle nielendirilmez. (Unuulmamalıdır ki klasik manık sisemleri kesin doğruluk değerlerini içerir. Yani klasik manık sisemlerinde doğruluk değeri ya 0 dır, ya da 1. Dolayısıyla söz konusu eleman ya kümeye aiir, ya da ai değildir.) Yani Hamza bazıları arafından çok uzun boylu olarak nielendirilebilirken, bazıları arafından ora boylu ve haa kısa olarak bile nielendirilebilir. Benzer şekilde güzellik, çirkinlik ; ucuzluk, pahalılık ; açıklık, koyuluk gibi kavramlar ne bir şekilde anımlanmamış ve hep muğlak ifadeler olarak kalmışır. Faka öe yandan her ne kadar göreceli olsa da, insanların bu ür cümlelere olan ihiyacı kaçınılmazdır. Mulak siyah ve mulak beyazın arasında grinin binlerce onu vardır ve bunlara günlük hayaa illa ki bu onlara da ihiyaç duyulmakadır. Kişiler arasındaki bu ileişim sorununu çözmek; bu arz belirsiz kavramları herkese aynı ekiyi bırakacak şekilde anımlamakan geçiyordu. İşe bu belirsizliği oradan kaldırma çabaları fuzzy manık olarak adlandırılan yeni bir manık siseminin kapılarını açmışır. Peki bu arz kavramlara ek anlam ihiva edecek şekilde nasıl doğruluk verilebilirdi? Bu sorunun yanıı ise, sürekli veya dereceli biçimde bir doğruluk, yani bulanık doğruluk kavramını kullanmaka gizlidir. Yani klasik manık sisemlerindeki gibi doğruluk değeri sadece 0 ya da 1 den ibare değil; 0 ile 1 dahil olmak üzere arasındaki üm değerleri de içermekedir. Bulanık doğruluk kavramının, klasik (sıradan) doğruluk kavramıyla benzerlikleri vardır, faka daha geneldir, ve uygulama alanı daha genişir, belirsizliğin, doğruluk ölçüünün keskin bir şekilde anımlanamamasından kaynaklanan durumlardaki problemlerle uğraşmak için güzel bir olanak sağlar. 1

1.2 FUZZY MANTIĞIN TARİHÇESİ Manıksal paradokslar ve Heisenberg in belirsizlik ilkesi, 1920 ler ve 1930 larda çok değerli manık sisemlerinin gelişmesine yol açı. Kuanum eorisyenleri, iki değerli manık sisemlerinin doğru ve yanlış an oluşan değer kümesine, bir üçüncü veya ora doğruluk değeri ekleyerek belirlenemezlik in ifade edilebilmesine imkan sağladılar. Bundan sonraki aşamada, doğru ve yanlış, belirlenemezlik ayfının sınır koşulları olarak görülüp belirlenemezlik derecelendirildi. Heisenberg in belirsizlik ilkesi, belirlenemezlik inin sürekliliğiyle, bilimi çok değerliliğe zorladı. Pek az baılı filozof çok değerliliği benimsemesine rağmen, Lukasiewicz, Gödel, ve Black, ilk çok-değerli ya da bulanık manık ve küme sisemlerini gelişirdiler. 1930 ların başlarında Polonyalı manıkçı Jan Lukasiewicz ilk üç-değerli manık sisemini gelişirdi. Lukaziewicz, daha sonra doğruluk değerlerinin kümesini üm sayılara genelleşirdi. 1930 larda kuanum filozofu Max Black, sürekli değerlere sahip manığı, eleman düzeyinde kümelere uyguladı. Black, bulanık-küme üyelik fonksiyonlarından bahseden ilk kişi oldu. Black, ifade emeye çalışığı yapılardaki belirsizliği müphemlik olarak adlandırdı. Zadeh in bulanık-küme eorisinin aksine, Black in çok değerli kümelerindeki her bir eleman, sürekli değerlere sahip bir manık çerçevesinde ele alınan bir cümleyle eş-değerdi. Fuzzy kavramı ilk kez 1965 e, Azerbaycan doğumlu Lofi Askar Zadeh (Lüfü Askerzade) Fuzzy Kümeler (Fuzzy Ses) başlıklı bir makalesinde ele alındı. Berkeley Kaliforniya Üniversiesi nde profesör olan L. Askerzade, bu arihin dör yıl öncesinde, 1961 de, yayımladığı bir makalesinde olasılık dağılımıyla anımlanamayan bulanık ya da belirsiz nicelikler için farklı bir maemaiğe gereksinim olduğunu yazıyordu. Çünkü, Askerzade doğadaki görüngüler ile süreçlerin sonlu değerli manıkla açıklanamayacağını düşünüyordu. 1960 ların sonlarında Askerzade nin makalesi kesinlik vurgusundan vazgeçmeyen bilimsel çevreler arafından kabul görmemiş, dahası ABD Kongresi nde ABD Ulusal Bilim Vakfı (NSF Naional Science Foundaion) kaynaklarının boşa harcanmasına örnek olarak anılmışı. 70 lerde ise Avrupalı, ve özellikle Japonyalı bilim adamlarının bu konuda aran araşırmaları ile mühendislik uygulamaları nedeniyle fuzzy manık ile fuzzy kümeler kuramı aran hızla gelişi. Günümüzde fuzzy manık oomobillerin vies kuularından bulaşık makinelerine, elekronik devreleri ile yapay zekanın karar verme algorimalarına kadar oldukça kapsamlı 2

eknik uygulamalara sahip; dahası Tokyo monorail sisemi fuzzy mero emelli bilgisayar ile mühendislik sisemleriyle işlemeke. Bilgisayar ile enformaik bilimleri, konrol sisemleri, karar-alma algorimaları fuzzy manığın yoğun olarak kullanıldığı alanlar olarak beliriyor. Fuzzy manığın başlıca özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir: i) doğru, çok doğru, az çok doğru v.b. gibi sözel olarak ifade edilen (linguisik-dilseldeğişkenli)doğruluk derecelerine sahip olması, ii) Geçerliliği kesin değil faka yaklaşık olan çıkarım kurallarına sahip olması, iii) Her kavramın bir derecesi olması, iv) Her manıksal sisemin fuzzy sisemine akarılabilmesi, v) Fuzzy manıka bilginin, fuzzy kısılara ai değişkenlerin esnekliği veya denkliğiyle yorumlanması. 1.3 FUZZY MANTIĞIN AVANTAJ VE DEZAVANTAJLARI Fuzzy manıkan yola çıkılarak kullanılan fuzzy deneleyicilerle ilgili başlıca üsünlükler, zayıf nokalar ve eleşiriler aşağıda açıklanmışır. 1.3.1 Avanajlar Günlük hayaa olduğu gibi belirsiz, zamanla değişen, karmaşık, iyi anımlanmamış sisemlerin deneimine basi çözümler geirir. Sisem basi bir maemaiksel modelle anımlanabilen bir sisemse o zaman geleneksel bir deneim yeerli olacakır. Ama karmaşık bir siseme geleneksel bir manık uygulamak hem çok zor hem de yüksek maliyelidir. Buna karşılık fuzzy manık deneimi geleneksel manığa göre sisemi daha iyi analiz edebileceği gibi aynı zamanda da ekonomikir. 3

Fuzzy manıka işarelerin bir ön işleme abi uulmaları ve oldukça geniş bir alana yayılan değerlerin az sayıda üyelik fonksiyonlarına indirgenmeleri nedeni ile fuzzy deneim genellikle daha küçük bir yazılımla daha hızlı bir şekilde sonuçlanır. Söz edilen az sayıda değerler üzerinde uygulanacak kural sayısı da az olduğundan sonuca ulaşmak daha da çabuklaşacakır. Bu durum geleneksel bilgisayar oramında böyledir.özel gelişirilmiş bir donanımla sonuca daha da hızlı ulaşmak olasıdır. Örneğin Sanyo-Fisher firması mühendisleri, video kayı cihazında kullanmayı düşündükleri mikro bilgisayarın yeersiz kalmasından dolayı, fuzzy deneim kullanmaya karar vermişlerdir. Fuzzy deneim yazılım boyularının daha küçük olmasını sağladığından, dış bellek kullanımına gerek kalmamışır. Fuzzy manık deneiminin sağladığı bir diğer avanaj ise doğrudan kullanıcı girişlerine ve kullanıcının deneyimlerinden yararlanabilmesine olanak sağlamasıdır. Bilindiği gibi oomaik vies değişimi moorun belli hızlara ulaşması sonucunda oomaik olarak gerçekleşir. Buna karşılık manuel viesli bir arabada ise sürücü, yol, yük ve kendi araba kullanış arzına göre belli durumlarda vies değişirir. Subaru arafından üreilen jusy ipi oomobilde kullanılan akarım organının değişirilmesi, bir kayışın konumunun fuzzy manık kullanılarak değişirilmesi ile sağlanır. Böylece arabanın ivmesi ve performansı sürekli olarak ayarlanır hale gelir. Subaru, bu oomobilde kullandığı fuzzy manık üyelik fonksiyonlarını, oomobili es şoförlerine kullandırarak ve onlardan ivme ve performans açısından en iyi akarım oranını öğrenerek ayarlamışır. Bu konuda Honda ve Nissan da benzer çalışmalar yapmışlardır. 1.3.2 Dezavanajlar Fuzzy deneimde kullanılan kurallar deneyime çok bağlıdır. Üyelik fonksiyonlarının seçiminde belirli bir yönem yokur.en uygun fonksiyon deneme ile bulunur. Bu da oldukça uzun bir zaman alabilir. Denelenen sisemin bir kararlılık analizi yapılamaz ve sisemin nasıl cevap vereceği önceden kesirilemez. Yapılacak ek şey benzeim çalışmasıdır. 4

1.4 FUZZY MANTIĞIN UYGULAMA ALANLARI Fuzzy manık uygulamaları ilk olarak çimeno seköründe kullanılmaya başlanmışır. Bu sekörde kireç aşı ve kil 1000-1400 derece sıcaklıka reaksiyona girmekedir. Fırın içindeki sıcaklık ve oksijen oranı çimenonun kaliesini doğrudan ekilemekedir. Sadece bu konuda uzman operaörler isenilen limiler dahilinde ürün elde edebilmekedirler. Ama vardiyalı bir sisemle çalışan bu fabrikada çok sayıda operaör vardır ve her operaörün uzmanlıklarının farklı olması nedeniyle farklı nieliklerde ve verimlilike ürün elde edilmekedir. İsenilen kaliede ürün sadece bu işe yıllardır çalışan uzmanlar arafından sağlanabilmekedir. Zira çimeno üreimi fuzzy bir yapıya sahipir ve süreç konrolünü fuzzy kurallar sağlamakadır. Örneğin ısıyı 10 derece yüksel veya 5 derece azal gibi kesin kurallar değil biraz azal, biraz yüksel gibi bulanık erimlerle ifade edilen kurallarla konrol edilmekedir. Bir Danimarka firması bu sürecin konrolü için uzman operaörlerin kullandığı 50-60 praik kuraldan harekele bir mikro konrolör oluşurmuşlar ve sonuç olarak sabi ürün kaliesi ve yakıa büyük asarruf elde emişlerdir. Daha sonraları fuzzy manık; Mühendislik, Tıp, Sosyoloji, Psikoloji, İşleme, Ulaşırma, Yapay Zeka, Kavşak Sinyalizasyonu gibi alanlarda yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Günümüzde Fuzzy Manık hemen hemen her alanda kendine kolaylıkla uygulama alanı bulabilmekedir. Aşağıdaki çizelgede Fuzzy Manığı kullanan ürünler ve fuzzy manığın üründeki işlevi belirilmişir. Çizelge 1.1 Fuzzy manığın bazı ürünlerdeki işlevi ÜRÜN FUZZY MANTIĞIN İŞLEVİ Yolcu rafiğini değerlendirir. Asansör Deneimi Yolcu rafiğini değerlendirir. SLR Fooğraf Makinesi Ekranda birkaç obje olması durumunda en iyi fokusu ve aydınlamayı belirler Video Kayı Cihazı Cihazın elle uulması nedeniyle çekim sırasında oluşan sarsınıları oradan kaldırır. 5

Çizelge 1.1 (devam ediyor) Çamaşır Makinesi Çamaşırın kirliliğini, ağırlığını, kumaş cinsini sezer, ona göre yıkama programını seçer. Elekrik Süpürgesi Yerin durumun ve kirliliğini sezer ve moor gücünü uygun ayarlar. Su Isııcısı Isımayı kullanılan suyun mikar ve sıcaklığına göre ayarlar. Klima Oram koşullarını değerlendirerek en iyi çalışma durumunu algılar, odaya birisi girerse soğumayı arırır. ABS Fren Sisemi Tekerleklerin kililenmeden frenlenmesini sağlar. El Bilgisayarı El yazısı ile veri ve komu girişine olanak anır. Sendai Mero Sisemi Hızlanma ve yavaşlamayı ayarlayarak raha bir yolculuk sağlanmasının yanı sıra durma konumunu iyi ayarlar, güçen asarruf sağlar. Televizyon Ekran konrasını,parlaklığını ve rengini ayarlar 6

BÖLÜM 2 TEMEL TANIM VE TOREMLER 2.1 FUZZY KÜME KAVRAMI VE İLGİLİ TANIM VE TEOREMLER 2.1.1 Tanım (Karakerisik Fonksiyon) X herhangi bir küme olmak üzere A X olsun. 1, x A ise χ A (x) = { 0, x A ise (2.1) şeklinde anımlı χ A (x): X {0,1} fonksiyonuna A kümesinin karakerisik fonksiyonu denir. 2.1.2 Tanım (Fuzzy Küme) X herhangi bir küme, A X ve I = [0,1] R olsun. Bu durumda μ A : X [0,1] fonksiyonu arafından karakerize edilen A = {(x, μ A (x)) x X} X I (2.2) kümesine X de bir fuzzy küme denir. Burada μ A ya A fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu ve Her x X için μ A (x) I değerine de x in A ya ai olma derecesi denir (Zadeh,1965). R üzerindeki üm fuzzy kümelerin ailesi F(R) ile göserilecekir. Klasik küme eorisinde A bir küme olmak üzere; A nın üyelik (karakerisik) fonksiyonu μ A (x), x A iken 1 ve x A iken 0 olmak üzere iki değer almakadır. Üyelik fonksiyonu sadece 0 ve 1 değerini alan bu kümelere adi veya basi küme denir. Özel olarak; X Fuzzy kümesi; μ X (x) = 1 olmak üzere X = {(x, 1) x X}, Fuzzy kümesi; μ (x) = 0 olmak üzere = {(x, 0) x X} şeklinde göserilir. 7

1 μ A (x) x Şekil 2.1 Klasik bir A kümesi μ A (x) 1 x Şekil 2.2 R de bir A fuzzy kümesi 2.1.2.1 Örnek Üyelik fonksiyonu μ A : R [0,1] olan ve 0, x 1 1 μ A (x) = { (x 1), 3 1, 4 x 1 x 4 şeklinde anımlanan A = {(x, μ A (x)) x R} kümesi bir fuzzy kümedir. 8

μ A (x) 1 1 4 x Şekil 2.3 A fuzzy kümesi 2.1.2.2 Tanım (Sabi Fuzzy Küme) Her x X için üyelik derecesi μ A (x) = α [0,1] olan kümelere sabi fuzzy küme denir (Zadeh 1965). 2.1.2.3 Örnek X = N ve μ A (x) = 0.7 olsun. A = {(x, 0.7) x N} fuzzy kümesi açıkça sabi bir fuzzy kümedir (Zadeh 1965). 2.1.3 Tanım (Eşi Fuzzy Kümeler) X boşan farklı herhangi bir küme, A ve B; X kümesinde iki fuzzy küme olsun. Her x X için μ A (x) = μ B (x) ise A ve B ye eşi fuzzy kümeler denir (Zadeh 1965). 2.1.3.1 Örnek X = {0,1} olmak üzere A ve B fuzzy kümelerinin üyelik fonksiyonları sırasıyla μ A (x) = x ve μ B (x) = x 2 olsun. Bu durumda A ve B eşi fuzzy kümelerdir. Gerçeken; her x X için μ A (x) = μ B (x) dir. Yani A = {(0,0), (1,1)}, B = {(0,0), (1,1)} dır. Dolayısıyla A ve B eşi fuzzy kümelerdir. 2.1.4 Tanım Kümeler eorisinde kullanılan kapsama, birleşim ve kesişim sembolleri yerine fuzzy kümelerde,, sembolleri kullanılır. X herhangi bir küme ve A, B, C fuzzy kümeler olsun. 9

i) Her x X için μ A (x) μ B (x) ise B fuzzy kümesi, A fuzzy kümesini kapsıyor denir ve A B ile göserilir. ii) A B {(x, μ A B (x)): Her x X için μ A B (x): = max{μ A (x), μ B (x)}} şeklinde anımlanan kümeye A ve B fuzzy kümelerinin birleşimi denir ve A B ile göserilir. iii) A B {(x, μ A B (x)): Her x X için μ A B (x): = min{μ A (x), μ B (x)}} şeklinde anımlanan kümeye A ve B fuzzy kümelerinin kesişimi denir ve A B ile göserilir. iv) A {(x, μ A (x)) : Her x X için μ A (x) 1 μ A (x)} şeklinde anımlanan A fuzzy kümesine A nın ümleyeni denir. v) X eki fuzzy kümelerinin bir ailesi {A i i N} olsun. Bu durumda i N A i ve i N A i fuzzy kümeleri sırasıyla C = A i i N {(x, μ C (x)): Her x X için μ C (x): = max i N {μ Ai (x)}} D = A i i N {(x, μ D (x)): Her x X için μ D (x): = min i N {μ Ai (x)}} şeklinde anımlıdır. vi) A B {(x, μ A B (x)) : Her x X için μ A B (x) min{μ A (x), μ B (x)}} şeklinde anımlanan kümeye A, B fuzzy kümelerinin farkı denir (Chang 1968). 2.1.4.1 No Yukarıdaki anımları somu hale geirmek için aşağıda şekilli örneklere yer verilmişir. μ 1 B 0.5 A x Şekil 2.4 A nın B yi kapsaması 10

μ 1 C 0.5 D x Şekil 2.7 C ve D fuzzy kümeleri (Şekil 2.6-2.9 da kullanılacak) μ μ 1 0.5 0.5 Şekil 2.6 C ve D fuzzy kümelerinin birleşimi x Şekil 2.5 C ve D fuzzy kümelerinin kesişimi x μ μ 1 1 x x Şekil 2.9 C ve D fuzzy kümelerinin birleşimi Şekil 2.8 C ve D fuzzy kümelerinin kesişimi 11

2.1.4.2 Örnek X = {a, b} ve A = {(a, 0.1), (b, 0.5)}, B = {(a, 0.2), (b, 0.7)} şeklinde anımlı iki fuzzy küme olmak üzere; A B, A B, A, A B fuzzy kümeleri aşağıdaki şekilde belirlenir. i) Her x X için μ A (x) μ B (x) olduğundan B, A fuzzy kümesini kapsar. Yani A B dir. ii) A B =: C olsun. Her x X için max {μ A (x), μ B (x)} = μ C (x) dır. Dolayısıyla μ C (a) = 0.1, μ C (b) = 0 olacağından A B = {(a, 0.2), (b, 0.7)} olur. iii) A B =: D olsun. Bu durumda μ D (a) = 0.1, μ D (b) = 0.5 olur. Böylece A B = {(a, 0.1), (b, 0.5)} olacakır. iv) A fuzzy kümesinin üyelik derecesi μ A (x) = 1 μ A (x) olduğundan μ A (a) = 0.9, μ A (b) = 0.5 A = {(a, 0.9), (b, 0.5)} bulunur. v) A B = A B şeklinde anımlı olduğundan A B fuzzy kümesinin üyelik derecesi μ A B = min{μ A (x), μ B (x)} yazılır. Böylece μ A B (a) = 0.1 ve μ A B (b) = 0.3 olduğundan A B = {(a, 0.1), (b, 0.3)} bulunur. 2.1.4.3 Teorem X bir küme ve A, B X iki fuzzy küme olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler geçerlidir (Chang 1968): 12

i) (A ) = A. (2.3) ii) A B B A. iii) (A B) = A B, (A B) = A B. (2.4) iv) ( i I A i ) = i I A i. (2.5) v) i I A i = i I A i İspa: (2.6) A fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu μ A, B fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu μ B olmak üzere; i) μ A (x) = 1 μ A (x) ve μ (A ) (x) = 1 (1 μ A(x)) = μ A (x) olduğundan (A ) = A dir. ii) μ A (x) = 1 μ A (x) ve μ B (x) = 1 μ B (x) dir. Dolayısıyla A B μ A (x) μ B (x) 1 μ A (x) 1 μ B (x) 1 μ B (x) 1 μ A (x) μ B (x) μ A (x) B A elde edilir. iii) (A B) = A B eşiliğini gösermek için; her x X olmak üzere μ (A B) (x) = μ A B (x) eşiliği göserilmelidir. μ A, μ B : X [0,1], A B fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu; min{1 μ A, 1 μ B }, A B fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu; max{μ A, μ B }, (A B) fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu da; 1 max{μ A, μ B } dır. 1 max{μ A, μ B } = min{1 μ A, 1 μ B } eşiliği göz önüne alınırsa; (A B) fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu; min{1 μ A, 1 μ B } olur. Dolayısıyla 13

her x X için μ (A B) (x) = μ A B (x), yani (A B) = A B dir. Benzer şekilde; A B fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu; max{1 μ A, 1 μ B }, (A B) fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu; 1 min{μ A, μ B } dır. Burada 1 min{μ A, μ B } = max{1 μ A, 1 μ B } eşiliği göz önüne alınırsa; (A B) fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu; max{1 μ A, 1 μ B } olur. Dolayısıyla her x X için μ (A B) (x) = μ A B (x) dir. iv) ( i I A i ) = max{μ Ai (x)} ve ( i I A i) = 1 max{μ Ai (x)} olduğundan ( i I A i) = min{1 μ Ai (x)} dir. Tümleyen alma özelliğinden ( i I A i) = min{μ A i (x)} = i I A i olur. v) i I A i = min{μ Ai (x)} ve ( i I A i ) = 1 min{μ Ai (x)} olduğundan ( i I A i ) = max{1 μ Ai (x)} = max{μ A i (x)} = i I A i bulunur. 2.1.4.4 Uyarı Fuzzy kümelerde birleşim, kesişim ve ümleyen işlemleri aşağıdaki özeliklere sahipir. Çizelge 2.1 Fuzzy kümelerde bazı özellikler Tek kuvve özelliği A A = A A A = A Değişme özelliği A B = B A A B = B A 14

Çizelge 2.1 (devam ediyor) Yuma özelliği A (A B) = A A (A B) = A Özdeşlik özelliği A X = A A = A Dağılma özelliği B ( T A ) = T (A B) B ( T A ) = T (A B) A X = X A = Birleşme özelliği A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C De Morgan kuralı özelliği ( T A ) = T A ( T A ) = T A 2.1.4.5 Teorem A ve B, X kümesinde herhangi iki fuzzy küme olsun. i) A B fuzzy kümesi A ve B yi içeren en küçük fuzzy kümedir. ii) A B fuzzy kümesi A ve B arafından içerilen en büyük fuzzy kümedir. Kanı. i) A, B fuzzy kümelerinin üyelik fonksiyonları sırasıyla μ A ve μ B olsun. Her x X için μ A B (x) = max{μ A (x), μ B (x)} olduğundan A A B ve B A B dır. Öe yandan A ve B yi içeren herhangi bir fuzzy kümesi D olsun. Yani A D ve B D olsun. O halde her x X için μ A (x) μ D (x) ve μ B (x) μ D (x) dır. Dolayısıyla her x X için max{μ A (x), μ B (x)} μ D (x) μ A B (x) μ D (x) dır. Yani A B D 15

dir. Dolayısıyla A B fuzzy kümesi; A ve B yi içeren herhangi bir D fuzzy kümesi arafından içerildiğinden, A ve B yi içeren en küçük fuzzy küme A B dir. ii) A, B fuzzy kümelerinin üyelik fonksiyonları sırasıyla μ A ve μ B ; ve her x X için μ A B (x) = min{μ A (x), μ B (x)} olduğundan A B A, A B B dır. Öe yandan A ve B arafından içerilen herhangi bir fuzzy küme D olsun. Yani D A ve D B olsun. O halde her x X için μ D (x) μ A (x) ve μ D (x) μ B (x) dır. Dolayısıyla her x X için μ D (x) min{μ A (x), μ B (x)} μ D (x) μ A B (x) dır. Yani D A B dir. Dolayısıyla A B fuzzy kümesi; A ve B arafından içerilen herhangi bir D fuzzy kümesini içerdiğinden, A ve B arafından içerilen en büyük fuzzy küme A B dir. 2.1.4.6 Uyarı X herhangi bir küme ve A bir fuzzy küme olsun. Bu durumda i) A A = olmak zorunda değildir. ii) A A = X olmak zorunda değildir. Dolayısıyla klasik kümelerden farklı olarak; μ A A (x) = μ X (x) ve μ A A (x) = μ (x) eşilikleri geçerli olmak zorunda değildir. Aşağıda bu duruma aksi bir örnek verilmişir. 2.1.4.7 Örnek X = {a, b}, A = {(a, 0.2), (b, 0.9)} olsun. A A = ve A A = X olup olmadığını araşırınız. 16

Çözüm. A = {(a, 0.8), (b, 0.1)} dır. μ A A (x) = min{μ A (x), μ A (x)} şeklinde anımlandığından A A = {(a, 0.2), (b, 0.1)} bulunur. Ayrıca μ A A (x) = max {μ A (x), μ A (x)} olduğundan A A = {(a, 0.8), (b, 0.9)} X bulunur. 2.1.5 Tanım (Fuzzy Kümenin Kuvvei) A = {(x, μ A (x)): x X} fuzzy kümesinin n. Kuvvei A n = {(x, (μ A (x)) n ): x X} (2.7) şeklinde anımlanır. 2.1.5.1 Örnek A = {(3,0.7), (5,0.8), (6,0.9), (7,1)}fuzzy küme olsun. A fuzzy kümesi için A 2, A 3, A n A 2 = {(3,0.49), (5,0.64), (6,0.81), (7,1)} A 3 = {(3,0.343), (5,0.512), (6,0.729), (7,1)} A n = {(3, (0.7) n ), (5, (0.8) n ), (6, (0.9) n ), (7,1)} olarak elde edilir. 2.1.6 Tanım (α kesim, Kesin α kesim) A bir fuzzy küme ve α ]0,1] olsun. A fuzzy kümesinin α kesimi ve kesin α kesimi sırasıyla A α ve A α ile göserilir ve A α = {x X: μ A (x) α} ve A α = {x X: μ A (x) > α } (2.8) şeklinde anımlanır. 17

μ A (x) A α α a 1 (α ) a 1 (α) a 2 (α) a 2 (α ) x A α A α 2.1.7 Tanım (Normallik) A X bir fuzzy küme olsun. Eğer en az bir x 0 X için μ A (x 0 ) = 1 ise A fuzzy kümesine normaldir denir. 2.1.7.1 Örnek Şekil 2.10 A kümesinin α ve α kesimleri X = [ 5, 15 ], A X bir fuzzy küme ve A nın üyelik fonksiyonu 2 2 μ A (x) = { 2x 5 5 2x+15 5, x [ 5 2, 5[, x [5, 15 2 ] (2.9) olarak verilsin. μ A (5) = 1 olduğundan A fuzzy kümesi normaldir. 2.1.8 Tanım (Dayanak) A bir fuzzy küme olsun. A nın dayanağı üyelik derecesi sıfır olmayan büün nokaların kümesidir. Yani day(a) = {x X: μ A (x) > 0} (2.10) şeklinde anımlanır. 18

2.1.8.1 Örnek X = R, A R bir fuzzy küme ve A nın üyelik fonksiyonu x 2 μ A (x) = {, x 0 x 2 +4 0, x = 0 (2.11) olarak verilsin. Bu durumda day(a) = R {0} dır. 2.1.9 Tanım (Boy) A bir fuzzy küme olsun. A nın boyu h(a) = sup μ A (x) (2.12) x X biçiminde anımlanır ve h(a) ile göserilir. 2.1.9.1 Örnek X = Z, A Z bir fuzzy küme ve A nın üyelik fonksiyonu μ A (x) = 1 x 4 (2.13) olarak verilsin. μ A (1) = μ A ( 1) = 1 ve her x Z { 1,1} için μ A (x) < 1 olduğundan h(a) = sup μ A (x) = 1 x X dir. Dolayısıyla A nın boyu 1 dir. 2.1.10 Tanım (Çekirdek) A bir fuzzy küme olsun. μ A (x) = 1 koşulunu sağlayan üm x X lerin oluşurduğu kümeye, A nın çekirdeği denir. Core(A) ile göserilir ve Core(A) = {x X: μ A (x) = 1} (2.14) şeklinde anımlanır. 19

2.1.10.1 Örnek X = Z, A Z bir fuzzy küme ve A nın üyelik fonksiyonu μ A (x) = 1 x 8 (2.15) olarak verilsin. A fuzzy kümesinin çekirdeği Core(A) = { 1,1} dir. 2.1.11 Tanım (Konvekslik) Her λ [0,1] ve her x 1, x 2 X için üyelik derecesi μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{μ A (x 1 ), μ A (x 2 )} (2.16) eşisizliğini sağlayan A fuzzy kümesine konveksir denir. μ A μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) μ A (x 2 ) μ A (x 1 ) x 1 x 2 x Şekil 2.11 Konveks fuzzy küme 20

μ A μ A (x 2 ) μ A (x 0 ) μ A (x 1 ) x 1 x 0 x 2 x Şekil 2.12 Konveks olmayan fuzzy küme 2.1.11.1 Sonuç A X fuzzy kümesinin konveks olması için gerek ve yeer koşul her α ]0,1] için A α = {x X: μ A (x) α} kümesinin klasik anlamda konveks olmasıdır. Kanı: : A fuzzy kümesi konveks olsun. Yani, her λ [0,1] için ve her x 1, x 2 X için μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{μ A (x 1 ), μ A (x 2 )} olsun. x 1, x 2 A α ve α = μ A (x 1 ) olarak seçilsin. O zaman her x 2 X için μ A (x 2 ) μ A (x 1 ) = α olur. λx 1 + (1 λ)x 2 X olduğundan her 0 λ 1 için μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{μ A (x 1 ), μ A (x 2 )} = μ A (x 1 ) = α dır. Yani μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) α eşisizliği elde edilir. Dolayısıyla λx 1 + (1 λ)x 2 A α olur. Yani A α klasik anlamda konveksir. 21

: A α kümesi klasik anlamda konveks olsun. A α nın anımına göre μ A (x 2 ) μ A (x 1 ) = α şarını sağlayacak şekilde x 1, x 2 X elemanları seçilsin. μ A (x 2 ) α olduğundan A α nın anımı gereğince x 1, x 2 A α dır. A α klasik anlamda konveks olduğundan her λ [0,1] için λx 1 + (1 λ)x 2 A α, yani μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) α elde edilir. Dolayısıyla μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) α = min{μ A (x 1 ), μ A (x 2 )} eşisizliğine ulaşılır. Yani A fuzzy kümesi konveks olur. 2.1.11.2 Teorem A ve B fuzzy kümeleri konveks ise A B fuzzy kümesi de konveksir. İspa C = A B olsun. Bu akdirde μ C (λx 1 + (1 λ)x 2 ) = min{μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ), μ B (λx 1 + (1 λ)x 2 )} olur. Şimdi de A ve B nin konveksliğinden, μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{μ A (x 1 ), μ A (x 2 )} ve μ B (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{μ B (x 1 ), μ B (x 2 )} eşisizlikleri geçerlidir. Böylece μ C (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{min{μ A (x 1 ), μ A (x 2 )}, min{μ B (x 1 ), μ B (x 2 )}} min{min{μ A (x 1 ), μ B (x 1 )}, min{μ A (x 2 ), μ B (x 2 )}} min{μ A B (x 1 ), μ A B (x 2 )} min{μ C (x 1 ), μ C (x 2 )} 22

yazılabilir. Bu ise μ C (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{μ C (x 1 ), μ C (x 2 )} eşisizliğini verir. Bu ise ispaı amamlar. 2.2 FUZZY SAYI KAVRAMI VE İLGİLİ TANIM VE TEOREMLER 2.2.1 Fuzzy Sayı ve Çeşileri 2.2.1.1 Tanım (Fuzzy sayı) μ A : R [0,1] üyelik fonksiyonu ile belirli R nin bir A fuzzy al kümesi aşağıdaki özellikleri sağlarsa A ya bir fuzzy sayı denir: i) A normaldir: Yani μ A (x 0 ) = 1 olacak şekilde en az bir x 0 R mevcuur. ii) A fuzzy konveksir: Yani her x, y R ve 0 λ 1 için μ A (λx + (1 λ)y) min{μ A (x), μ A (y)} dir. iii) μ A üs-yarı süreklidir: Yani her [0,1] için {x: μ A (x) < } kümesi açık olmalıdır. Şekil 2.13 Üs-yarı sürekli Şekil 2.14 Üs-yarı sürekli değil Şekil 2.15 Üs-yarı sürekli vi) A 0 = {x R: μ A (x) > 0} kümesinin kapanışı kompak kümedir. Şekil 2.17 Kompak Şekil 2.16 Kompak değil 23

Bundan sonraki bölümlerde üm fuzzy sayıların kümesi L(R) ile göserilecekir. μ A (x) 1 a 1 a 2 a 3 x Şekil 2.18 Bir A = [a 1, a 2, a 3 ] fuzzy sayısı Önerme 0 α 1 olan her α için bir A fuzzy sayısının α kesimi [a 1 α, a 2 α ] şeklinde kapalı bir aralıkır (Diamond and Kloeden1994). Kanı. A, bir fuzzy sayı olsun. Konveks bir fuzzy sayının α kesimi de konveksir. Yani bir aralıkır. Ayrıca A normal olduğundan μ A ( 0 ) = 1 olacak şekilde bir 0 R vardır. μ A üs yarı-sürekli olduğundan μ A (s) = a olmak üzere her R ve ε > 0 için s < c = c() iken μ A () < a + ε olacak şekilde bir c > 0 vardır. α [0,1] olmak üzere, s A α ve ε α μ A(s) 2 c > 0 olmak üzere; olsun. Böylece s R A α ifadesi doğrudur. c < s < c olması için gerekli ve yeerli koşul s c < < c s olmasıdır. Açıkça bu eşisizlik s + c > > s c şeklinde de yazılabilir. μ A (s) < α ve A üs yarı sürekli olduğundan μ A () < μ A (s) + α μ A(s) 2 < α eşisizliği elde edilir. Yani μ A () < α dır. Dolayısıyla, A α aralığının elemanı değildir. O halde R A α olur ve (s c, s + c) A α = eşiliği elde edilir. Böylece (s c, s + c) R A α olup R A α açıkır. Dolayısıyla A α kapalıdır. 24

No i) Bir fuzzy kümenin konvekslik şarı aşağıdaki şekilde de verilebilir. A fuzzy sayısının α kesim kümesi A α = [a α 1, a α 3 ] aşağıdaki şarı sağlıyorsa ve A fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu sürekli ise A fuzzy kümesi konveksir denir. α < α A α A α yani α α < α a 1 a α α 1, a α 3 a 3 dır. ii) Bir fuzzy sayının her α kesimine karşılık gelen aralıklar, ayrık aralıkların birleşimi olarak değil yalnız bir aralık olarak ifade edilebiliyorsa o fuzzy sayı fuzzy konveks olur. Örnek x 2, x [2,3] ise μ A (x) = { x + 4, x [3,5] ise 0, diğer durumlarda (2.17) şeklinde anımlanan μ A : R [0,1] fonksiyonu ile karakerilize edilen A bir fuzzy sayıdır ve grafiği aşağıdaki gibidir. μ A (x) 1 A x 2 3 5 Şekil 2.19 A fuzzy sayısı 25

No α ]0,1] için herhangi bir fuzzy sayının α kesimi kapalı bir aralık olduğu için her fuzzy sayı bir konveks fuzzy kümedir. Faka bazı konveks fuzzy kümelerin α kesimi açık ya da yarıaçık bir aralık olabileceği için ersi doğru değildir. 2.2.1.2 Tanım (Üçgensel Fuzzy Sayı) Üyelik fonksiyonu aşağıdaki gibi anımlanan A fuzzy sayısına üçgensel fuzzy sayı denir ve A = (a 1, a 2, a 3 ) üçlüsü ile göserilir. (2.18) 0, x < a 1 veya x > a 3 μ A (x) = { x a 1, a a 2 a 1 x a 2 1 a 3 x, a a 3 a 2 < x a 3 2 μ A (x) A a 1 a 2 a 3 x Şekil 2.20 A üçgensel fuzzy sayısı Uyarı Her α [0,1] için A fuzzy sayısına α kesimi, a α 1 a 1 = α, a 3 α a 3 = α a 2 a 1 a 3 a 2 eşiliklerinden a 1 α = (a 2 a 1 )α + a 1 a 3 α = (a 3 a 2 )α + a 3 elde edilir. Buradan A α aralığı 26

A α = [a α 1, a α 3 ] = [(a 2 a 1 )α + a 1, (a 3 a 2 )α + a 3 ] olur. Örnek A = ( 5, 1,1) üçgensel fuzzy sayısı için üyelik fonksiyonu μ A (x) = { 0, x < 5 veya x > 1 x+5 4 1 x 2, 5 x 1, 1 < x 1 (2.19) dir. A fuzzy sayısının α kesim aralığı x + 5 4 1 x 2 = α x = 4α 5 = α x = 2α + 1 A α = [a 1 α, a 3 α ] = [4α 5, 2α + 1] olarak bulunur. Örneğin α = 0.5 için, A 0.5 = [a 1 0.5, a 3 0.5 ] = [ 3,0] aralığı elde edilir. 2.2.1.3 Tanım (Yamuk Fuzzy Sayılar) Üyelik fonksiyonu μ A (x) = { 0, x < a 1 veya x > a 4 x a 1, a 2 a 1 a 1 x < a 2 1, a 2 x a 3 a 4 x, a a 4 a 3 < x a 4 3 (2.20) şeklinde anımlı A fuzzy sayısına yamuk fuzzy sayısı denir ve A = (a 1, a 2, a 3, a 4 ) şeklinde göserilir. 27

μ A (x) 1 A a 1 a 2 a 3 a 4 x Şekil 2.21 Yamuk A Fuzzy Sayısı Uyarı Yamuk A fuzzy sayıları için α kesim aralığı aşağıdaki şekilde elde edilir. Her α [0,1] için A α = [(a 2 a 1 )α + a 1, (a 4 a 3 )α + a 4 ] (2.21) olur. Eğer a 2 = a 3 olursa, yamuk fuzzy sayısı, bir üçgensel fuzzy sayı belirir. 2.2.2 Fuzzy Sayılarda Arimeik İşlemler Fuzzy sayılardaki arimeik işlemler, aralıklardaki arimeik işlemler genelleşirilerek elde edilir. Bu yüzden öncelikle aralıklardaki arimeik işlemler haırlaılacakır. 2.2.2.1 Klasik Anlamdaki Aralıklarda Arimeik İşlemler Herhangi bir A = [a 1, a 2 ] için uzunluk, büyüklük, yansıma ve ers kavramları aşağıdaki şekilde anımlanır. Uzunluk ( W(A) ) : W(A): = W[a 1, a 2 ] = a 2 a 1 Büyüklük ( A ) : A : = [a 1, a 2 ] = max( a 1, a 2 ) = { a 1, a 1 a 2 a 2, a 1 a 2 Yansıma (A ) : A : = [ a 2, a 1 ] Ters (A 1 ) : A 1 : = [a 1, a 2 ] 1 = [min ( 1 a 1, 1 a 2 ), max ( 1 a 1, 1 a 2 )],(a 1 0, a 2 0) Örnek [3,7] aralığı için; Uzunluk: W(A) = W[3,7] = 7 3 = 4 28

Büyüklük : A = [3,7] = max( 3, 7 ) = 7 Yansıma : A = [ 7, 3] Ters : A 1 = [3,7] 1 = [ 1, 1 ] 7 3 a 1, a 2, b 1, b 2 R olmak üzere A = [a 1, a 2 ], B = [b 1, b 2 ] aralıkları için aşağıdaki işlemler anımlanabilir. Toplama: a [a 1, a 2 ] ve b [b 1, b 2 ] olsun. O halde a + b [a 1 + b 1, a 2 + b 2 ] dır. Çünkü a [a 1, a 2 ] ve b [b 1, b 2 ] ise a 1 a a 2 ve b 1 b b 2 dir. Dolayısıyla a 1 + b 1 a + b a 2 + b 2 dır. Sembolik olarak A B: = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [a 1 + b 1, a 2 + b 2 ] (2.22) şeklinde göserilir. Çıkarma: a [a 1, a 2 ] ve b [b 1, b 2 ] olsun. Dolayısıyla a b [a 1 b 2, a 2 b 1 ] dır. O halde sembolik olarak A B: = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [a 1 b 2, a 2 b 1 ] (2.23) şeklinde göserilir. Çarpma: a [a 1, a 2 ] ve b [b 1, b 2 ] olsun. Dolayısıyla ab [min(a 1 b 1, a 2 b 2, a 1 b 2, a 2 b 1 ), max(a 1 b 1, a 2 b 2, a 1 b 2, a 2 b 1 )] dır. O halde sembolik olarak A B: = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [min(a 1 b 1, a 2 b 2, a 1 b 2, a 2 b 1 ), max(a 1 b 1, a 2 b 2, a 1 b 2, a 2 b 1 )] (2.24) şeklinde göserilir. 29

Bölme: a [a 1, a 2 ] ve b [b 1, b 2 ] olsun. Çarpma özelliğinden yararlanarak; b 1 0, b 2 0 olmak üzere A B : = A B 1 : = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [a 1, a 2 ] [min ( 1 b 1, 1 b 2 ), max ( 1 b 1, 1 b 2 )] (2.25) göserimi kullanılır. Minumum: A B: = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [min(a 1, b 1 ), min(a 2, b 2 )] Maksimum: A B: = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [max(a 1, b 1 ), max(a 2, b 2 )] Sabi ile Çarpma: k R ise k A: = k [a 1, a 2 ]: = [ka 1, ka 2 ] No Eğer A ve B aralıkları poziif gerçel sayılarda anımlı ise yukarıdaki eşilikler basileşirilerek; Çarpma: A B: = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [a 1 b 1, a 2 b 2 ] (2.26) Ters: A 1 : = [a 1, a 2 ] 1 : = [ 1 a 2, 1 a 1 ] (2.27) Bölme: A B =: [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [ a 1 b 2, a 2 b 1 ] (2.28) olarak anımlanabilir. No Sırasıyla 0 = [0,0] ve 1 = [1,1] aralıkları; aralıklar üzerindeki oplama ve çarpma işlemleri için ekisiz (birim) elemanlardır. Yani A 0 = 0 A = A 30

A 1 = 1 A = A dır. Örnek A = [4,8], B = [ 2,3] olsun. O halde; i) A B = [4 2,8 + 3] = [2,11] ii) A B = [4 3,8 ( 2)] = [1,10] iii) A B = [4,8] [ 2,3] = [min(4. ( 2), 8.3,4.3,8. ( 2)), max(4. ( 2), 8.3,4.3,8. ( 2))] = [min( 8,24,12, 16), max( 8,24,12, 16)] = [ 16,24] iv) A B = [4,8] [ 1 2, 1 3 ] = [min ( 2, 8 3, 4 3, 4), max ( 2, 8 3, 4 3, 4)] = [ 4, 8 3 ] v) A B = [min(4, 2), min(8,3)] = [ 2,3] vi) A B = [max(4, 2), max(8,3)] = [4,8] vii) k = 1 ise k A = 1 [4,8] = 4 4 [1. 4, 1. 8] = [1,2] 4 4 Arimeik İşlemlerde Bazı Özellikler A ve B herhangi iki kapalı aralık olmak üzere; i) A B = B A ii) A (B C) = (A B) C iii) Her A, B R + için A B = B A dır. iv) Her A, B, C R + için (A B) C = A (B C) dır. Gerçeken ([a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]) [c 1, c 2 ] = [a 1 b 1, a 2 b 2 ] [c 1, c 2 ] = [a 1 b 1 c 1, a 2 b 2 c 2 ] = [a 1, a 2 ] [b 1 c 1, b 2 c 2 ] = [a 1, a 2 ] ([b 1, b 2 ] [c 1, c 2 ]) dır. 31

2.2.2.2 Fuzzy Sayılarda Arimeik İşlemler (Kaufmann and Gupa 1991) A ve B iki fuzzy sayı ise A ve B nin oplamı da bir fuzzy sayı mıdır? Diğer bir deyişle A ve B nin oplamı da konveks ve normal midir? Bu bölümde bu soruların cevapları araşırılacakır. Bu kesimde A B göserimi α kesimi A α B α = [a α 1 + b α 1, a α 2 + b α 2 ] ile belirli A ve B fuzzy sayılarının oplamını emsil edecekir. Teorem A ve B, R de iki fuzzy sayı ise A B fuzzy kümesi R de konveksir. Kanı: A ve B nin α kesim kümeleri sırasıyla A α = [a α 1, a α 2 ] B α = [b α 1, b α 2 ] α kesim kümeleri sırasıyla A α = [a 1 α, a 2 α ] B α = [b 1 α, b 2 α ] dır. A ve B konveks olduğundan (α < α ) [a 1 α, a 2 α ] [a 1 α, a 2 α ] (α < α ) [b 1 α, b 2 α ] [b 1 α, b 2 α ] olur. A α B α = [a 1 α + b 1 α, a 2 α + b 2 α ] α A α B α = [a α 1 + b α 1, a α 2 + b 2 ] dır. Dolayısıyla (α < α ) α [a α 1 + b α 1, a α 2 + b 2 ] [a α 1 + b α 1, a α 2 + b α 2 ] elde edilir. Yani A B konveksir. 32

Teorem A ve B, R de iki fuzzy sayısı ise A B de R de bir fuzzy al kümedir ve normaldir. Kanı: A ve B, R de iki fuzzy sayısı olduğundan μ A (x 0 ) = 1 ve μ B (y 0 ) = 1 olacak şekilde en az bir x 0 R ve y 0 R mevcuur. Yani A ve B fuzzy sayılarının α = 1 kesimi A 1 = [a 1 1, a 1 2 ] B 1 = [b 1 1, b 1 2 ] dır. O halde A 1 B 1 = [a 1 1 + b 1 1, a 1 2 + b 1 2 ] dır. Böylece A B normaldir. Fuzzy Sayılarda Toplama İşlemi A ve B iki fuzzy sayı ve α [0,1] için A ve B nin α kesim kümeleri sırasıyla A α = {x R: μ A (x) α} B α = {x R: μ B (x) α} olsun. Her α [0,1] için A α B α = [a α 1, a α 2 ] [b α 1, b α 2 ] = [a α 1 + b α 1, a α 2 + b α 2 ] eşiliği geçerlidir. Her x, y, z R için A B nin üyelik fonksiyonu μ A B (z) = (μ A(x) μ B (y)) z=x+y ile belirlidir. Örnek Her x R için üyelik fonksiyonu 33

x 0, x 5 μ A (x) = + 5, 5 x 2 3 3 x + 1, 2 x 1 3 3 { 0, x 1 (2.29) ve μ B (x) = { 0, x 3 x + 3, 3 x 4 7 7 x + 12, 4 x 12 8 8 0, x 12 (2.30) şeklinde anımlı A ve B fuzzy sayıları için A α B α kümesini belirleyerek μ A B yi hesaplayınız. Çözüm: μ 1 A B A + B 8 5 0 4 13 x Şekil 2.22 A, B ve A+B kümeleri α = a 1 α 3 + 5 3 a 1 α = 3α 5 α = a 2 α 3 + 1 3 a 2 α = 3α + 1 A α = [a α 1, a α 2 ] = [3α 5, 3α + 1] dır. 34

α = b 1 α α = b 2 α 7 + 3 7 b 1 α = 7α 3 8 + 12 8 b 2 α = 12 8α B α = [b 1 α, b 2 α ] = [7α 3, 12 8α] dır. A α B α = [3α 5, 3α + 1] [7α 3,12 8α] = [10α 8, 13 11α] x 0, x 8 μ A B (x) = + 8, 8 x 2 10 10 x + 13, 2 x 13 11 11 { 0, x 13 bulunur. Örnek Aşağıdaki abloda bazı x değerlerine ai üyelik dereceleri verilen A ve B fuzzy sayıları için μ A B (x) i belirleyiniz. Çizelge 2.2 x in A ya ai olma derecesi x 0 1 2 3 4 5 μ A (x) 0.1 0.5 0.9 1 0.6 0.2 Çizelge 2.3 x in B ye ai olma derecesi x 0 1 2 3 4 5 6 μ B (x) 0.2 0.3 1 0.8 0.7 0.1 0.1 Çözüm: Her x, y, z R için μ A B (z) = (μ A(x) μ B (y)) z=x+y olduğundan 35

A 0 B Çizelge 2.4 x in A B ye ai olma derecesini belirleme çizelgesi 0 1 2 3 4 5 6 0,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 1 0,2 0,5 0,3 0,5 1 0,5 0,8 0,5 0,7 0,5 0,1 0,5 0,1 0,5 2 0,2 0,9 0,3 0,9 1 0,9 0,8 0,9 0,7 0,9 0,1 0,9 0,1 0,9 3 0,2 0,1 0,3 0,1 1 0,1 0,8 0,1 0,7 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 4 0,2 0,6 0,3 0,6 1 0,6 0,8 0,6 0,7 0,6 0,1 0,6 0,1 0,6 5 0,2 0,2 0,3 0,2 1 0,2 0,8 0,2 0,7 0,2 0,1 0,2 0,1 0,2 Bu ablodan yararlanarak μ A B (x) aşağıdaki gibi elde edilir. Çizelge 2.5 x in A B ye ai olma derecesi x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 μ A B (x) 0.1 0.2 0.3 0.5 0.9 1 0.8 0.7 0.6 0.2 0.1 0.1 Fuzzy Sayılarda Çıkarma İşlemi A ve B iki fuzzy sayı ve α [0,1] için A ve B nin α kesim kümeleri sırasıyla A α = {x R: μ A (x) α} (2.31) B α = {x R: μ B (x) α} (2.32) olsun. Her x, y, z R için μ A B (z) = (μ A(x) μ B (y)) (2.33) z=x y şeklinde anımlıdır ve her α [0,1] için A α B α = [a α 1, a α 2 ] [b α 1, b α 2 ] = [a α 1 b α 2, a α 2 b α 1 ] aralığı ile belirlidir. 36

Örnek Yukarıdaki örneke verilen bilgileri kullanarak μ A B yi belirleyiniz. Çözüm: Her x, y, z R için μ A B (z) = (μ A(x) μ B (y)) z=x y olduğundan Çizelge 2.6 x in A B ye ai olma derecesini belirleme çizelgesi 0 1 2 3 4 5 6 0 0,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 1 0,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 0,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 3 0,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,1 0,1 1 1 0,1 1 1 4 0,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 5 0,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 Böylece μ A B üyelik fonksiyonu Çizelge 2.7 x in A B ye ai olma derecesi x 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 μ A B (x) 0.1 0.1 0.1 0.5 0.7 0.8 0.9 1 0.6 0.3 0.2 0.2 şeklinde belirlenir. 37

Fuzzy Sayılarda Çarpma İşlemi A ve B, R da iki fuzzy küme olmak üzere A α B α = [a 1 α, a 2 α ] [b 1 α, b 2 α ] = [a 1 α b 1 α, a 2 α b 2 α ] şeklinde anımlıdır. Ayrıca her x, y, z R için μ A B (z) = z=x.y (μ A(x) μ B (y)) şeklinde de göserilebilir. Fuzzy Sayılarda Bölme İşlemi İki fuzzy kümenin bölümü R + da anımlı olup b 1 α, b 2 α > 0 ve her α [0,1] için A α B α = [a 1 α /b 2 α, a 2 α /b 1 α ] (2.34) ve Her x, y, z R + için μ A B (z) = (μ A(x) μ B (y)) (2.35) z=x/y olacak şekilde anımlanır. 2.2.3 İki Fuzzy Sayı Arasındaki Uzaklık 2.2.3.1 Arnold Kaufman ve Madan M. Gupa Anlamında Fuzzy Sayılar Arasındaki Uzaklık Tanım Ε; R de bir aralık, bir işlem ve (X, Y) Ε Ε olmak üzere d(x, Y) R, fonksiyonu her X, Y, Z Ε için i) d(x, Y) 0, (2.36) ii) X = Y d(x, Y) = 0, (2.37) iii) d(x, Y) = d(y, X), (2.38) iv) d(x, Z) d(x, Y) d(y, Z) (2.39) özelliklerini sağlarsa d(x, Y) ye uzaklık denir. 38

Buradaki uzaklık kavramı klasik merik kavramından farklıdır. (Çünkü merik anımındaki X = Y d(x, Y) = 0 koşulu sağlanmaz.) Tanım A = [a 1, a 2 ], B = [b 1, b 2 ], C = [c 1, c 2 ], R de üç aralık olsun. l (A, B) = a 1 b 1, r (A, B) = a 2 b 2 (2.40) farkları sırasıyla sola olan uzaklık ve sağa olan uzaklık olarak adlandırılacakır. No Yukarıda anımlanan l ve r uzaklık kavramları (2.36-2.39) koşullarını sağlar. Gerçeken Her A, B, C R için 1) l (A, B) 0, çünkü a 1 b 1 0 dır. 2) A = B l (A, B) = 0 dır. Çünkü a 1 = b 1 a 1 b 1 = 0 3) l (A, B) = l (B, A) çünkü a 1 b 1 = b 1 a 1 4) l (A, C) l (A, B) + l (B, C) çünkü a 1 c 1 a 1 b 1 + b 1 c 1 dır. r nın ispaı da benzer şekilde yapılabilir. Uyarı l ve r uzaklık kavramları ile belirli, (a, b): = l (A, B) + r (A, B) (2.41) şeklinde anımlı (a, b) bir uzaklıkır. (2.36-2.39) koşullarının bu kabul için sağlandığını gösermek kolaydır. Tanım A = [a 1, a 2 ], B = [b 1, b 2 ], C = [c 1, c 2 ], keyfi aralıklar, β 1, β 2 ; A 0 ve B 0 kesimlerini çevrelemek için uygun keyfi değerler ve [β 1, β 2 ] R olsun. Bu durumda δ(a, B) = 1 2(β 2 β 1 ) d(a, B) (2.42) 39

normalleşirilmiş uzaklık olarak anımlanır. 0 δ(a, B) 1 yazılabilir. (2.43) Aşağıdaki şekildeki gibi R de iki A ve B fuzzy sayıları ele alınsın. 1 δ(a α, B α ) = { } d(a [2(β 2 β 1 )] α, B α ) (2.44) yazılabilir. μ α A B β 1 β 2 Şekil 2.23 A ve B fuzzy sayıları δ(a α, B α ) nin α = 0 den α = 1 e inegrali alınırsa; (2.43) denklemini sağlayan uzaklıkların oplam uzaklığı elde edilir. δ(a, B) = α=1 α=0 δ(a α, B α )d α 1 α=1 = (A 2(β 2 β 1 ) α, B α ) dα (2.45) α=0 1 α=1 = a α 2(β 2 β 1 ) 1 b α 1 + a α 2 b α 2 dα (2.46) α=0 Bu denklem iki fuzzy sayı arasındaki uzaklığı verir. Örnek Her x R için 40

x 0, x 2 μ A (x) = 2, 2 x 10, 8 8 x + 13, 10 x 13, 3 3 { 0, x 13, (2.47) ve x 0, x 5, μ B (x) = 5, 5 x 7, 2 2 x + 15, 7 x 15 8 8 { 0, x 15 (2.48) üyelik fonksiyonları ile belirlenen A ve B fuzzy sayıları arasındaki uzaklığı hesaplayınız. μ 1.0 B A 0.5 0.0 β 1 15.0 5.0 10.0 β 2 Şekil 2.24 A ve B fuzzy sayıları 41

μ 1.0 D E I A 0.5 C F 0.0 A B H β 1 5.0 10.0 G 15.0 β 2 Şekil 2.25 δ(a, B) mesafesi (alan meodu ile) Her α [0,1] için A α = [2 + 8α, 13 3α] B α = [5 + 2α, 15 8α] dır. 2 + 8α = 5 + 2α α = 0.5 ve x = 6 dır. 13 3α = 15 8α α = 0.4 ve x = 11.8 dır. O halde a α 1 b α 1 = 2 + 8α 5 2α = 3 + 6α a α 2 b α 2 = 13 3α 15 + 8α = 5α 2 0,5 1 0,4 1 ( 3 + 6α)dα + (6α 3)dα + ( 2 + 5α)dα + (5α 2)dα = 2,8. α=0 α=0,5 α=0 α=0,4 Eğer β 1 = 2 ve β 2 = 16 seçilirse 42

δ(a, B) = 1 (2,8) = 0,1 2(16 2) olur. Yukarıdaki şekildeki ABC, CDE, DEF, FGH üçgenlerin alanları oplanarak uzaklık ölçümünün doğruluğu konrol edilebilir. A(ABC) + A(CDE) + A(DEF) + A(FGH) = 3.0,5 2 + 3.0,5 2 + 3.0,6 2 + 2.0,4 2 = 2,8 dır. 2.2.3.2 Fuzzy Sayılar Arasındaki Uzaklık L(R), R deki üm fuzzy sayıların ailesi olmak üzere, A, B L(R) olsun. A ve B fuzzy sayıları arasındaki uzaklığı hesaplamak için bir sonraki bölümde d : L(R) L(R) R d (A, B) = sup d H (A α, B α ) = sup max{ a α 1 b α 1, a α 2 b α 2 } (2.49) α [0,1] α [0,1] meriği kullanılacakır. 2.2.4 Fuzzy Sayı Dizileri 2.2.4.1 Tanım (Fuzzy Sayı Dizisi) Bir u = {u k } fuzzy sayı dizisi, u: N L(R) şeklinde anımlanan bir u dönüşümüdür. u k fuzzy sayısı fonksiyonun k N deki değerini göserir ve dizinin k yıncı erimi olarak adlandırılır (Maloka 1986). 2.2.4.2 Tanım (Fuzzy Yakınsaklık) ε > 0 keyfi olmak üzere k > n 0 iken d (u k, u 0 ) < ε olacak şekilde bir n 0 sayısı mevcusa u = {u k } fuzzy sayı dizisi bir u 0 fuzzy sayısına yakınsakır denir ve lim k u k = u 0 şeklinde göserilir. lim k u k mevcusa {u k } dizisi yakınsakır, aksi halde ıraksakır denir. Büün yakınsak fuzzy sayı dizilerinin kümesi c(f) ile göserilecekir. 43

Örnek u k (x) = { k k+2 k k+2 2 2k x + k+2 4k+2 x + k+2 0, diğer durumlarda, x [2k 2, 3] ise k 4k+2, x [3, ] ise k (2.50) üyelik fonksiyonu ile belirli u = {u k } fuzzy sayı dizisinin limii x 2, x [2,3] ise u 0 (x) = { x + 4, x [3,4] ise 0, diğer durumlarda (2.51) üyelik fonksiyonuna sahip bir fuzzy sayısıdır. μ 1 u 1 u 0 u 2 x Şekil 2.26 u k fuzzy sayısının u 0 fuzzy sayısına yakınsaması Aşağıdaki iki eoremin ispaı klasik anlamdaki ispaa benzer olduğundan eoremler ispaına değinilmeden verilecekir. Teorem Yakınsak bir u = {u k } fuzzy sayı dizisinin limii ekir. Teorem Eğer lim k u k = u 0 ve lim k v k = v 0 ise i) lim k (u k + v k ) = u 0 + v 0, (2.52) ii) lim k (u k v k ) = u 0 v 0, (2.53) 44

iii) lim k (u kv k ) = u 0 v 0, (2.54) iv) lim k (u k ) = u 0, (her k N için 0 day(v) ve 0 day(v v k v 0 ) ) 0 özellikleri geçerlidir (Maloka 1986). 2.2.4.3 Tanım (Fuzzy Cauchy Dizisi) Her ε > 0 ve her k > k 0 için d (u k, u m ) < ε olacak şekilde bir k 0 poziif amsayısı mevcu ise u = {u k } fuzzy dizisine bir Cauchy dizisi denir. Gerçel sayı dizilerinde olduğu gibi yakınsak her fuzzy sayı dizisi aynı zamanda fuzzy Cauchy dizisidir. 2.2.4.4 Tanım (Fuzzy Al Dizi) u = {u k } bir fuzzy sayı dizisi ve {k n } doğal sayıların aran bir dizisi olsun. Bu durumda {u kn } dizisine {u k } fuzzy dizisinin bir fuzzy al dizisi denir. 2.2.4.5 Teorem Yakınsak bir u = {u k } fuzzy sayı dizisinin her al dizisi de yakınsakır ve al dizisinin limii de u = {u k } fuzzy sayı dizisinin limii ile aynıdır. 2.2.4.6 Tanım (Sınırlılık) Eğer {u k : k N} fuzzy sayılar cümlesi sınırlı ise u = {u k } fuzzy sayı dizisine sınırlıdır denir. Yani sınırlı dizi; herhangi bir k sayısı için K u k M olacak şekilde K ve M gibi iki fuzzy sayısının mevcu olmasıdır. Tüm sınırlı fuzzy sayı dizileri m(ϝ) ile göserilecekir. Örnek u k (x) = { S 1, k ek ise S 2, k çif ise (2.55) şeklinde anımlı S 1 (x) = { 2x 1, x [ 1 2, 1] 2x + 3, x [1, 3 2 ] 0, diğer durumlarda (2.56) 45

2x 7, x [ 7, 4] 2 S 2 (x) = 2x + 9, x [4, 9 ] 2 { 0, diğer durumlarda (2.57) üyelik fonksiyonları ile belirli {u k } dizisi sınırlıdır. 2.3 FUZZY NOKTA 2.3.1 Tanım (Fuzzy Noka) X, λ [0,1] ve her y X için λ, y = x x λ (y) = { 0, y x (2.58) olarak anımlanan fuzzy kümelere fuzzy noka denir (Ming and Ying-Ming 1980). Yani X olmak üzere X in herhangi bir fuzzy al kümesi; y = x X nokası hariç diğer büün nokalarda 0 değerini alıyorsa bu fuzzy kümeye X de fuzzy noka denir. Bu ezde fuzzy nokalar (x, λ) ile, X üzerindeki üm fuzzy nokaların kümesi ise P F (X) ile göserilecekir. Özel olarak X = R ise fuzzy nokalar, fuzzy skalerler olarak adlandırılacak üm fuzzy skalerlerin kümesi de S F (R) ile göserilecekir. Bir A fuzzy kümesi kendisine ai olan fuzzy nokaların kümesi olarak; A = {(x, λ): μ A (x) λ} (2.59) şeklinde düşünülebilir. 2.3.1.1 Tanım (a, λ) ve (b, λ) iki fuzzy skaler olsun. i) a > b ya da (a, λ) = (b, γ) ise (a, λ) skalerine (b, γ) skalerinden büyükür denir ve kısaca (a, λ) (b, γ) ile göserilir. ii) a b ise (a, λ),(b, γ) den küçük değildir denir ve (a, λ) (b, γ) ya da (b, γ) (a, λ) ile göserilir. iii) a 0 ise (a, λ)a negaif olmayandır denir ve üm negaif olmayan fuzzy skalerlerin kümesi S + F (R) ile göserilir. R, S + F (R) olarak düşünülürse (R, ) ve (R, ), (R, ) ile aynıdır. 46

Aşağıdaki anımda fuzzy nokalar kümesi üzerinde anımlı merik anımı verilecekir. Bu anım üçgen eşisizliğinde yerine alınmasının dışında klasik merik anımına benzerdir. 2.3.1.2 Tanım {(a n, λ n )} fuzzy skalerlerin bir dizisi olsun. Eğer lim n a n = a, {λ i : λ i < λ, i N} sonlu bir küme ve {λ i } nin {λ l } ile göserilen bir al dizisi var öyle ki lim n λ l = λ ise; {(a n, λ n )} fuzzy skalerler dizisi λ 0 olmak üzere (a, λ) fuzzy skalerine yakınsar denir ve lim n (a n, λ n ) = (a, λ) ile göserilir. 2.3.1.3 Tanım (P F (X), d F ), (X, d) arafından indirgenmiş bir fuzzy merik uzay ve {(x n, λ n )}; (P F (X), d F ) deki fuzzy nokaların bir dizisi olsun. Eğer lim n ((x n, λ n ), (x, λ)) = 0 λ ve her γ ]0,1]için λ γ vardır öyle ki lim n ((x n, λ n ), (x, γ)) = 0 λ ise{(x n, λ n )} fuzzy skalerler dizisi(x, λ) ya yakınsar denir. (x, λ) skalerine de dizinin limii denir ve lim n (x n, λ n ) = (x, λ) ile göserilir. 2.3.1.4 Tanım (x n, λ n ) (P F (X), d F ) fuzzy nokalar dizisi bir Cauchy dizisi olarak adlandırılır eğer λ ]0,1] vardır öyle ki her m N için lim d F((x m+n, λ m+n ), (x n, λ n )) = 0 λ. (2.60) n 2.3.1.5 Tanım Eğer bir fuzzy merik uzaydaki her Cauchy dizisi yakınsaksa, bu uzaya am fuzzy merik uzay denir. 2.3.2 Tanım (Fuzzy Nokalar Kümesi Üzerinde Fuzzy Merik) (Xia and Gua 2004) X boşan farklı bir küme ve d F : P F (X) P F (X) S F + (R) bir dönüşüm olsun. Eğer herhangi bir {(x, λ), (y, γ), (z, ρ)} P F (X) için d F dönüşümü i) Negaif olmayanlık: d F ((x, λ), (y, γ)) = 0 olması için gerekli ve yeerli koşul x = y ve λ = γ = 1 dır. ii) Simeriklik: d F ((x, λ), (y, γ)) = d F ((y, γ), (x, λ)); 47

iii) Üçgen eşisizliği: d F ((x, λ), (z, ρ)) d F ((x, λ), (y, γ)) + d F ((y, γ), (z, ρ)) koşullarını sağlarsa d F ye P F (X) e anımlanan bir fuzzy merik; (P F (X), d F ) ye fuzzy merik uzay; d F ((x, λ), (y, γ)) ye de iki fuzzy noka arasında anımlanan fuzzy uzaklık denir. 2.3.2.1 Örnek (X, d) bir klasik merik uzay olsun. P F (X) eki keyfi (x, λ), (y, γ) iki fuzzy nokasının uzaklığı d F ((x, λ), (y, γ)) = (d(x, y), min{λ, γ}) olarak anımlanırsa; (P F (X), d F ) bir fuzzy merikir. Çözüm. i) Negaif olmayanlık: P F (X) eki keyfi iki fuzzy noka (x, λ), (y, γ)olsun. d, bir klasik merik olduğundan d(x, y) 0 dır. 1.6 anımdan d F ((x, λ), (y, γ)) = (d(x, y), min{λ, γ}) negaif olmayan fuzzy skalerdir. d F ((x, λ), (y, γ)) = 0 olması için gerekli ve yeerli koşul d(x, y) = 0 ve min{λ, γ} = 1, x = y ve λ = γ = 1 olmasıdır. ii) Simeriklik: Her {(x, λ), (y, γ)} P F (X) için, d F ((x, λ), (y, γ)) = (d(x, y), min{λ, γ}) = (d(y, x), min{γ, λ}) = d F ((y, γ), (x, λ)) dır. iii) Üçgen eşisizliği: Her {(x, λ), (y, γ), (z, ρ)} P F (X) için d F ((x, λ), (z, ρ)) = (d(x, z), min{λ, ρ}) ((d(x, y) + d(y, z), min{λ, ρ, γ})) 48

= (d(x, y), min{λ, γ}) + (d(y, z), min{γ, ρ}) = d((x, λ), (y, γ)) + d((y, γ), (z, ρ)) olur. 2.4 KLASİK ANLAMDA METRİK UZAYLAR 2.4.1 Tanım (Klasik Merik) X boşan farklı bir küme olsun. Her x, y, z X için d1) d(x, y) 0, (2.61) d2) d(x, y) = 0 x = y, (2.62) d3) d(x, y) = d(y, x), (2.63) d4) d(x, z) d(x, y) + d(y, z). (2.64) şarlarını sağlayan bir d: X X R + {0} fonksiyonuna merik (klasik anlamda merik), (X, d) çifine ise merik ( klasik anlamda merik) uzay denir. 2.4.2 Tanım (D Merik (ya da Genelleşirilmiş Merik) Uzaylar) (Sedghi vd. 2007) İlk defa Dhage (1992) arafından anıılan D merik uzaylar, daha sonra D merik uzaylar (Sedghi vd. 2007) arafından aşağıdaki gibi ekrar anımlandı: X boşan farklı bir küme olsun. Her x, y, z, a X için i) D(x, y, z) 0, (2.65) ii) D(x, y, z) = 0 x = y = z, (2.66) iii) D(x, y, z) = D(p{x, y, z}) p bir permüasyon fonksiyonu olmak üzere, (2.67) iv) D(x, y, z) D(x, y, a) + D(a, z, z). (2.68) şarlarını sağlayan bir D: X 3 R + fonksiyonu genelleşirilmiş merik (ya da D merik), (X, D) çifi ise genelleşirilmiş merik ( ya da D merik) uzay olarak adlandırılır. 2.4.2.1 No (Sedghi vd. 2007) arafından ekrar anımlanan D merikler, D olarak sembolize edilmişir. Faka bu sembolün ileriki bölümlerde bulunan D fuzzy merik sembolüyle karışmaması için D sembolü kullanılmaya devam edilecekir. 2.4.2.2 Örnek x, y, z X ve d bir klasik merik olmak üzere; D(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x) bir genelleşirilmiş merik ( ya da D merik) ir. Çözüm. 49

Her x, y, z, a X için i) d merik olduğundan d(x, y) 0, d(y, z) 0, d(z, x) 0 dır. Dolayısıyla D(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x) 0 dır. ii) D(x, y, z) = 0 d(x, y) + d(y, z) + d(z, x) = 0 d(x, y) = 0 d(y, z) = 0 d(z, x) = 0 x = y = z. iii) d, bir merik olduğundan; d(x, y) = d(y, x), d(y, z) = d(z, ) ve d(z, x) = d(x, z) dir. Dolayısıyla; D(x, y, z) = D(p{x, y, z}) dır. iv) d, bir merik olduğundan; d(y, z) d(y, a) + d(a, z) ve d(z, x) d(z, a) + d(a, x) ir. Aynı zamanda d(z, z) = 0 dır. D(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x) d(x, y) + d(y, a) + d(a, z) + d(z, a) + d(a, x) + d(z, z) = d(x, y) + d(y, a) + d(a, x) + d(a, z) + d(z, z) + d(z, a) = D(x, y, a) + D(a, z, z) Yani; D(x, y, z) D(x, y, a) + D(a, z, z) dir. O halde D(x, y, z) fonksiyonu bir D merikir. 2.4.2.3 Örnek i) D(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(z, x)}, (2.69) ii) X = R n, her p R + için D(x, y, z) = ( x y 1 p + y z 1 p + z x p) 1 p. (2.70) 1 iii) X = R + için 0, x = y = z ise, D(x, y, z, ) = { max{x, y, z}, aksi durumlarda, Hepsi birer D meriğe örnekir. (2.71) 2.4.2.4 Uyarı Bir D merik uzayında, D(x, x, y) = D(x, y, y) dır. 50

Gerçeken; i) D(x, x, y) D(x, x, x) + D(x, y, y) = D(x, y, y) (2.72) ve benzer olarak ii) D(y, x, x) = D(y, y, y) + D(y, x, x) = D(y, x, x) (2.73) Böylece i) ve ii) den D(x, x, y) = D(x, y, y) dır. 2.4.2.5 Tanım (Sınırlılık, Yakınsaklık) (X, D) bir D merik uzay ve A X olsun. i) X in A al kümesinin D sınırlı olduğu söylenebilir eğer öyle bir r > 0 vardır ki her x, y A için D(x, y, y) < r dir. ii) X eki bir {x n } dizisi bir x e yakınsaması için gerek ve yeer koşul n iken D(x n, x n, x) = D(x, x, x n ) 0 dır. Yani her ε > 0 için bir n 0 N vardır öyle ki her n n 0 için D(x, x, x n ) < ε dır (2.74) Bu anımlar aşağıdaki ile denkir. Her ε > 0 için en az bir n 0 N vardır öyle ki her n, m n 0 için D(x, x n, x m ) < ε dır. Gerçeken (2.74) denkleminden D(x n, x m, x) = D(x n, x, x m ) D(x n, x, x) + D(x, x m, x m ) < ε + ε = ε (2.75) 2 2 Tersine, (2.75) denkleminde m = n seçersek D(x n, x n, x) < ε dır. iii) X eki bir {x n } dizisi bir Cauchy dizisi olarak adlandırılır eğer her ε > 0 için bir n 0 N vardır öyle ki her n, m n 0 için D(x n, x n, x m ) < ε dır. iv) Eğer her Cauchy dizisi yakınsaksa (X, D) D merik uzayına amdır denir 2.4.2.6 Yardımcı Teorem (X, D) bir D merik uzay olsun. Eğer X eki {x n } dizisi x e yakınsaksa, x ekir. Kanı: x n x, x n y ve y x olsun.{x n }; x e ve y ye yakınsadığından, her bir ε > 0 için n 1 N vardır öyle ki her n n 1 için D(x, x, x n ) < ε ve n 2 2 N vardır öyle ki her n n 2 için D(y, y, x n ) < ε dir. 2 Eğer n 0 = max{n 1, n 2 } olarak seçilirse her n n 0 için üçgen eşisizliğinden D(x, x, y) D(x, x, x n ) + D(x n, y, y) < ε + ε = ε. 2 2 Böylece D(x, x, y) = 0 51

olur. Bu ise D(x, x, y) > 0 olması ile çelişir. Dolayısıyla x = y dir. 2.4.2.7 Yardımcı Teorem (X, D) bir D merik uzay olsun. Eğer X eki {x n } dizisi x e yakınsaksa, {x n } bir Cauchy dizisidir. Kanı: x n x olduğu için her ε > 0 için n 1 N vardır öyle ki her n n 1 D(x n, x n, x) < ε ve n 2 2 N vardır öyle ki her m n 2 D(x, x m, x m ) < ε 2 dir. Eğer n 0 = max{n 1, n 2 } seçilirse her n, m n 0 için üçgen eşisizliğinden D(x n, x n, x m ) D(x n, x n, x) + D(x, x m, x m ) < ε + ε = ε. 2 2 Böylece {x n } bir Cauchy dizisidir. 2.4.3 Tanım (S Merik Uzaylar) X boşan farklı bir küme olsun. X üzerindeki bir genelleşirilmiş merik ( ya da S meriği ) Her x, y, z, a X için aşağıdaki şarları sağlayan bir S: X 3 [0, [ fonksiyonudur: i) S(x, y, z) 0, ii) S(x, y, z) = 0 x = y = z, iii) S(x, y, z) S(a, y, z) + S(a, x, x) (X, S) çifine de genelleşirilmiş merik (ya da S meriği) denir. d, X üzerinde klasik merik olmak üzere; i) X = R n olmak üzere S(x, y, z) = y + x 2z + y z, (2.76) ii) S(x, y, z) = d(x, y) + d(x, z), iii) X = R n olmak üzere S(x, y, z) = y z + y z, (2.77) iv) X = R, x, y, z R, a > 0 ve a 1 olmak üzere S(x, y, z) = a y+z a 2x + y z (2.78) v) x, y, z R, a > 0 ve a 1 için S(x, y, z) = a d(x,y) a d(y,z) + d(y, z) (2.79) fonksiyonları S meriğe birer örnekir. 2.4.3.1 Uyarı Bir S merik uzayında, 52

S(x, y, y) = S(y, x, x) (2.80) dır. Gerçeken; Üseki anımdaki 2) ve 3) en i) S(x, y, y) S(y, y, y) + S(y, x, x) = S(y, x, x) (2.81) dır. Benzer olarak; ii) S(y, x, x) S(x, x, x) + S(x, y, y) = S(x, y, y) (2.82) dır. Böylece i) ve ii) den S(x, y, y) = S(y, x, x) (2.83) dir. 2.4.3.2 Uyarı (X, S) bir S merik uzay olsun. Eğer f: X 2 [0, [, her x, y X için f(x, y) = S(x, y, y) olarak anımlanırsa; f, X üzerinde bir klasik merikir. Kanı: Merik özelliklerinden d1), d2) oldukça açıkır. d3) özelliği incelenecek olursa; f(x, z) = S(x, z, z) S(y, z, z) + S(y, x, x) = S(x, y, y) + S(y, z, z) = f(x, y) + f(y, z) dır. Böylece f, X üzerinde bir klasik merikir. 2.4.3.3 Tanım (Sınırlılık) X in A al kümesi S sınırlıdır denir eğer bir r > 0 vardır öyle ki her x, y A için S(x, y, y) < r. 2.4.3.4 Tanım (Yakınsaklık) X eki bir {x n } dizisinin x e yakınsaması için gerek ve yeer koşul n iken S(x n, x, x) = S(x, x n, x n ) 0. Yani her ε > 0 için n 0 N öyle ki her n n 0 için S(x, x n, x n ) < ε olmasıdır. 2.4.3.5 Tanım (Cauchy Dizisi) X eki bir {x n } dizisi Cauchy dizisi olarak adlandırılır eğer her ε > 0 için bir n 0 N vardır öyle ki her n, m n 0 için S(x n, x m, x m ) < ε dır. 53

2.4.3.6 Tanım (Tamlık) Eğer (X, S) S merik uzayındaki her Cauchy dizisi yakınsaksa, bu uzaya am merik uzay denir. 2.4.3.7 Yardımcı Teorem (X, S) bir S merik uzayı olsun. Eğer x n x ve y n y olan {x n } ve {y n } dizileri varsa S(x n, y n, y n ) S(x, y, y) dır. Kanı: X 3 e ({x n, y n, y n }) dizisi bir (x, y, y) X X X e yakınsadığından; yani her ε > 0 için lim x n = x, lim y n = y olduğundan n n öyle bir n 1 N vardır ki her n n 1 için S(x, x, x n ) < ε 2, ve öyle bir n 2 N vardır ki her n n 2 için S(y, y, y n ) < ε 2 dır. Eğer n 0 = max{n 1, n 2 } seçilirse, her n n 0 için üçgen eşisizliğinden S(x n, y n, y n ) S(x, y n, y n ) + S(x, x n, x n ) S(y, y n, y n ) + S(y, x, x) + S(x, x n, x n ) < ε 2 + S(y, x, x) + ε = ε + S(y, x, x) 2 dır. Böylece S(x n, y n, y n ) S(y, x, x) < ε dır. Diğer yandan S(y, x, x) S(x n, x, x) + S(x n, y, y) S(x n, x, x) + S(y n, y, y) + S(y n, x n, x n ) < ε 2 + ε 2 + S(x n, y n, y n ) = S(x n, y n, y n ) + ε. yani S(y, x, x) S(x n, y n, y n ) < ε. Bu yüzden S(x n, y n, y n ) S(x, y, y) < ε, yani lim S(x n, y n, y n ) = S(x, y, y) n dır. 2.4.3.8 Yardımcı Teorem (X, S) bir S merik uzay olsun. Eğer X eki {x n } dizisi x e yakınsaksa, x ekir. Kanı: x n y ve y x olsun. {x n } dizisi x e ve y ye yakınsadığı için 54

Her ε > 0 için öyle bir n 1 N vardır ki her n n 1 için S(x n, x, x) < ε 2 ve öyle bir n 2 N vardır ki her n n 2 için S(x n, y, y) < ε. 2 Eğer n 0 = max{n 1, n 2 } seçilirse, her n n 0 için üçgen eşisizliğinden S(x, y, y) S(x n, x, x) + S(x n, y, y) < ε 2 + ε 2 = ε. Böylece S(x, y, y) = 0 olur ki bu bir çelişkidir. Dolayısıyla x = y dir. 2.4.3.9 Yardımcı Teorem (X, S) bir S merik uzay olsun. Eğer X eki {x n } dizisi x e yakınsarsa, {x n } bir Cauchy dizisidir. Kanı: x n x olduğundan; her ε > 0 için öyle bir n 1 N vardır ki her n n 1 için S(x, x n, x n ) < ε 2 ve öyle bir n 2 N vardır ki her m n 2 için S(x, x m, x m ) < ε. 2 n 0 = max{n 1, n 2 } seçilirse; o halde her n, m n 0 için üçgen eşisizliğinden S(x n, x m, x m ) S(x, x n, x n ) + S(x, x m, x m ) < ε 2 + ε 2 = ε. Böylece {x n } dizisi bir Cauchy dizisidir. 55

BÖLÜM 3 FUZZY METRİK UZAYLAR 3.1 KRAMOSİL VE MİCHALEK ANLAMINDA FUZZY METRİK UZAYLAR 3.1.1 Tanım E R, X X E karezyen çarpımı üzerinde aşağıdaki koşulları sağlayan f R karakerisik fonksiyonu ile belirli R fuzzy kümesine X üzerinde bir fuzzy merik denir: i) Her x, y X ve her λ 0 için f R (x, y, λ) = 0, (3.1) ii) λ > 0 keyfi olmak üzere f R (x, y, λ) = 1 olması için gerekli ve yeerli koşul x = y, (3.2) iii) Her x, y X ve her λ E için f R (x, y, λ) = f R (y, x, λ), (3.3) iv) S:[0,1] [0,1] [0,1] ölçülebilir, ikili gerçel fonksiyon; λ, μ E ve S(1,1) = 1 olmak üzere f R (x, z, λ + μ) S(f R (x, y, λ), f R (y, z, μ)), (3.4) v) f R (x, y, λ); lim λ f R (x, y, λ) = 1 olmak üzere her (x, y) X X çifi için soldan sürekli ve λ nın aran bir fonksiyonudur (Kramosil and Michalek 1975). Özel olarak, 1975 yılında Kramosil ve Michalek, klasik merik uzayın bir diğer genelleşirilmesi olan ve Menger arafından 1942 yılında anımlanıp, Schweizer ve Sklar arafından 1960 yılında gelişirilen olasılıksal merik uzay kavramını fuzzy duruma genelleşirerek fuzzy merik uzayı anımladılar. 3.1.2 Tanım 3.1.1 Tanım daki ii) özelliği yerine aşağıdaki ii) alınırsa; R fuzzy kümesine fuzzy yarı-merik denir (Kramosil and Michalek 1975). ii) Her λ > 0 ve x X için f R (x, x, λ) = 1. (3.5) 56

3.1.3 Tanım (Yakınsaklık) (X, f R, ) bir fuzzy merik uzay olsun. {x n }, X e bir dizi olmak üzere, eğer her > 0 için lim f R(x n, x, ) = 1 (3.6) n ise {x n } dizisi x X nokasına yakınsıyor denir ve lim n x n = x şeklinde göserilir. 3.1.4 Tanım (Cauchy Dizisi) {x n }, X e bir dizi olmak üzere, eğer her > 0 ve p > 0 için lim f R(x n+p, x n, ) = 1 (3.7) n oluyorsa {x n } dizisine bir Cauchy dizisi denir. 3.2 KALEVA VE SEİKKELA ANLAMINDA FUZZY METRİK UZAYLAR Ön Bilgiler Negaif olmayan üm fuzzy sayılarının kümesi G ile göserilecekir. (Her < 0 için u() = 0 ise u fuzzy sayısı negaif olmayandır.) R deki üm fuzzy sayılarının kümesi için ise L(R) sembolü kullanılacakır. Fuzzy sayıların oplamaya ve çarpmaya göre birimleri sırasıyla 0 ve 1 ile göserilecekir. r R için r L(R) fuzzy sayısı r () = { 1, = r 0, diğer durumlarda, (3.8) şeklinde anımlanır. 3.2.1 Tanım X bir küme, L, R: [0,1] [0,1] [0,1] simerik, aran iki dönüşüm ve L(0,0) = 0, R(1,1) = 1 olsun. Eğer d : X X G fonksiyonu i) d (x, y) = 0 x = y, (3.9) ii) Her x, y X için d (x, y) = d (y, x), (3.10) iii) Her x, y, z X için a) s u 1 (x, z), u 1 (z, y), s + u 1 (x, y) olmak üzere d (x, y)(s + ) > L (d (x, z)(s), d (z, y)()) (3.11) 57

b) d (x, y)(s + ) R (d (x, z)(s), d (z, y)()) (3.12) s u 1 (x, z) (3.13) u 1 (z, y) (3.14) s + u 1 (x, y) (3.15) koşullarını sağlıyorsa (X, d, L, R) ye fuzzy merik uzay denir (Kaleva and Seikkela 1984). 3.2.2 Tanım Bir (X, d, L, R) fuzzy merik uzayındaki yakınsaklık lim x n = x olması için gerek ve yeer koşul lim d (x n, x) = 0 (3.16) n n şeklinde anımlanır (Kaleva and Seikkela 1984). 3.2.3 Tanım X eki bir {x n } dizisi lim n,m d (x m, x n ) = 0 koşulunu sağlıyor ise bu diziye bir Cauchy dizisi denir. Eğer X eki her Cauchy dizisi yakınsaksa, bu fuzzy merik uzaya am fuzzy merik uzay denir (Kaleva and Seikkela 1984). 3.3 GEORGE VE P. VEERAMONİ ANLAMINDA FUZZY METRİK UZAYLAR George ve Veeramani; Kramosil ve Michalek in fuzzy merik anımını 1994 yılında fuzzy merik uzaylarda Hausdorff opolojisini elde emek için aşağıdaki şekilde gelişirdiler. Bu bölümde George ve Veeramani anlamında fuzzy merik uzaylar incelenecekir. 3.3.1 Tanım (Sürekli Norm) [0,1] [0,1] [0,1] ikili işlemi için i) işlemi değişmeli ve birleşmelidir. ii) işlemi süreklidir. iii) Her a [0,1] için a 1 = a. iv) a c ve b d olan her a, b, c, d [0,1] için a b c d. koşulları sağlanıyorsa ikili işlemine sürekli norm denir (Schwiezer and Sklar1960). 58

3.3.2 Örnek a b = ab şeklinde anımlanan ikili işlem bir sürekli normdur. Gerçeken; Her a, b, c, d [0,1] için i) a b = ab = ba = b a dır. Dolayısıyla a b = b a olduğundan işlemi değişmelidir. Öe yandan (a b) c = (ab) c = (ab)c = a(bc) = a(b c) = a (b c) (a b) c = a (b c) olduğundan işlemi birleşmelidir. ii) (a n ), (b n ); [0,1] üzerinde iki dizi ve a n a, b n b olsun. a n a ve b n b olduğundan a n b n ab dır. O halde a n b n a b olur. Yani işlemi dizisel süreklidir. Dolayısıyla işlemi süreklidir. iii) Her a [0,1] için a 1 = a1 = a iv) a c ve b d olan her a, b, c, d [0,1] için ab cd dir. Yani a b c d dir. O halde işlemi bir sürekli normdur. 3.3.3 Örnek Her a, b [0,1] için a b = max{0, a + b 1} şeklinde anımlı ikili işlem bir sürekli normdur. Çözüm. Gerçeken; her a, b, c, d [0,1] için i) a b = max{0, a + b 1} = max{0, b + a 1} = b a dır. Yani değişmelidir. 59

(a b) c = (max{0, a + b 1}) c = max{0, max{0, a + b 1} + c 1} = max{0, a + b 1 + c 1} = max{0, a + b + c 1 1} = max{0, a + max{0, b + c 1} 1} = a max{0, b + c 1} = a (b c) (a b) c = a (b c) Yani birleşme özelliğine sahipir. ii) (a n ), (b n ), [0,1] üzerinde iki dizi ve a n a, b n b olsun. a n a ve b n b a n b n = max{0, a n + b n 1} max{0, a + b 1} = a b dır. a n b n a b olduğundan dizisel süreklidir. O halde süreklidir. iii) Her a [0,1] için a 1 = max{0, a + 1 1} = max{0, a} = a a 1 = a. iv) a c ve b d olmak üzere her a, b, c, d [0,1] için a + b c + d dir. O halde a + b 1 c + d 1 max{a + b 1} max{c + d 1} a b c d dir. Dolayısıyla sürekli normdur. 3.3.4 Örnek Benzer şekilde her a, b [0,1] için a b = min{a, b} işleminin de bir sürekli norm olduğu kolayca göserilebilir. 3.3.5 Tanım X boş olmayan bir küme, işlemi sürekli norm ve M; X 2 ]0, [ üzerinde bir fuzzy küme olsun. M fonksiyonu; her x, y, z X ve, s > 0 için i) M(x, y, ) > 0, (3.17) ii) M(x, y, ) = 1 x = y, (3.18) iii) M(x, y, ) = M(y, x, ), (3.19) iv) Her, s > 0 için M(x, y, ) M(y, z, s) M(x, z, + s) (3.20) v) M(x, y,. ): ]0, [ [0,1] süreklidir. 60

koşullarını sağlıyorsa; M ye X üzerinde bir fuzzy merik ve (X, M, ) üçlüsüne de bir fuzzy merik uzay denir (George and Veeramoni 1994). 3.3.6 Teorem Her x, y X için M(x, y,. ) aran bir fonksiyondur (George ve P. Veeramoni, 1994). Kanı. Kabul edelim ki 0 < < s ve M(x, y, s) < M(x, y, ) olsun. O halde M(x, y, ) M(y, y, s ) M(x, y, s) < M(x, y, ) olur. Diğer arafan M(y, y, s ) = 1 olduğundan M(x, y, ) 1 = M(x, y, ) < M(x, y, ) elde edilir. Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla M(x, y, ) M(x, y, s) olmalıdır. O halde M(x, y,. ) aran bir fonksiyondur. 3.3.7 Örnek (X, d) bir merik uzay ve a b = ab olsun. Her k, m, n R + için M d (x, y, ) = k n k n +md(x,y) olarak anımlanan fonksiyon bir fuzzy merikir (George and Veeramoni 1994). Kanı. (3.21) x, y, z X;, s > 0 ve k, m, n R + için i) d, bir merik olduğundan her x, y X için d(x, y) 0 dır. k, m, n R +, > 0 olduğundan M d (x, y, ) = dır. k n k +md(x,y) > 0 ii) M d (x, y, ) = 1 k n = k n + md(x, y) md(x, y) = 0 d(x, y) = 0 x = y. iii) d, merik olduğundan d(x, y) = d(y, x) ir. Dolayısıyla 61

M d (x, y, ) = k n k n +md(x,y) = iv) M d (x, y, ) M(y, z, s) M d (x, z, + s) olduğu yani; d bir merik k, m, n R + olmak üzere k n k n +md(y,x) = M d(y, x, ). k n k n + md(x, y). ks n ks n + md(y, z) k( + s) n k( + s) n + md(x, z) olduğu göserilmelidir. d bir merik olduğundan d(x, z) d(x, y) + d(y, z) dir. Öe yandan k(+s) n k n m k(+s)n k n dir. > 1, k(+s)n ks n > m, m k(+s)n ks n md(x, z) m k(+s)n k n > 1 dir ve dolayısıyla > m d(x, y) + m k(+s)n md(y, z) ks n md(x, z) md(x, y) md(y, z) k( + s) n k n + ks n = ksn md(x, y) + k n md(y, z) k 2 (s) n 1 + md(x, z) k( + s) n 1 + ksn md(x, y) + k n md(y, z) k 2 (s) n k(+s)n +md(x,z) k(+s) n k2 (s) n +ks n md(x,y)+k n md(y,z) k 2 (s) n olur. Merik anımından ve m > 0 olduğundan; m 2 d(x, y)d(y, z) 0 dır. Dolayısıyla k( + s) n + md(x, z) k( + s) n k2 (s) n + ks n md(x, y) + k n md(y, z) k 2 (s) n k2 (s) n + ks n md(x, y) + k n md(y, z) + m 2 d(x, y)d(y, z) k 2 (s) n k 2 (s) n k 2 (s) n + ks n md(x, y) + k n md(y, z) + m 2 d(x, y)d(y, z) k( + s) n k( + s) n + md(x, z) k n k n + md(x, y). ks n ks n + md(y, z) k( + s) n k( + s) n + md(x, z) 62

M d (x, y, ) M d (y, z, s) M d (x, z, + s) bulunur. v) Her x, y X, 0 > 0 için lim M d (x, y, ) = lim 0 0 = M d (x, y, 0 ) O halde M d bir fuzzy merikir. 3.3.8 Sonuç k n k n + md(x, y) = Yukarıdaki eoremde k = m = n = 1 alınırsa M d (x, y, ) = +d(x,y) lim k n 0 lim k n + md(x, y) = 0 k 0 n k 0 n + md(x, y) (3.22) elde edilir. M d fuzzy meriğine d arafından indirgenen sandar fuzzy merik denir (George and Veeramoni 1994). 3.3.9 Sonuç Her merik uzaydan bir fuzzy merik uzay elde edilebilir (George and Veeramoni 1994). 3.3.10 Örnek (R, d) bir merik uzay ve a b = ab olsun. d(x, y) = x y şeklinde anımlanan d meriği arafından üreilen sandar fuzzy merik her x, y R, [0,1] için M d (x, y, ) = {, 0 < 1 + x y 0, = 0 (3.23) olarak anımlansın. sürekli normu ile verilen (X, M d, ) bir fuzzy merik uzaydır. Kanı: x, y, z X;, s > 0 için i) d bir merik olduğundan her x, y R için d(x, y) = x y 0 dır. Diğer arafan her > 0 için + x y > 0 dır. O halde M d (x, y, ) = dır. + x y > 0 63

ii) M d (x, y, ) = 1 = + x y x y = 0 x = y. iii) M d (x, y, ) = + x y = iv) M d (x, y, ) M(y, z, s) = + y x = M d(y, x, ) (d merik olduğundan). s +s + x y s+ y z +s+ x z olduğu göserilmelidir. Merik anımından; x z x y + y z dır ve diğer arafan +s olduğundan x z 1 + x z + s + s x y + x z + s +s+ x z +s > 1, +s s > 1 + s y z s x y y z s x y + y z + s s s x y + y z 1 + s s+s x y + y z ) s olur. Merik anımından; x y. y z 0 olduğundan; + s + x z + s s + s x y + y z s s s + s x y + y z + x y y z + s + s + x z ) + x y. s s + y z + s + s + x z M d (x, y, ) M d (y, z, s) M d (x, z, + s) bulunur. v) Her x, y X, 0 > 0 için s + s x y + y z + x y y z s 64

lim M d (x, y, ) = lim 0 0 dır. 3.3.11 Örnek + x y = lim 0 lim + x y = 0 0 0 + x y = M d(x, y, 0 ) (R, d) bir merik uzay ve a b = min{a, b} olsun. d(x, y) = x y şeklinde anımlanan d meriği arafından üreilen sandar fuzzy merik her x, y R, [0,1] için M d (x, y, ) = + x y, M d(x, y, 0) = 0 olarak anımlansın. sürekli normu ile verilen (X, M d, ) bir fuzzy merik uzaydır. Kanı: i) Her x, y R için d bir merik olduğundan d(x, y) = x y 0 dır. > 0 olduğundan + x y > 0 dır. M d (x, y, ) = dır. + x y > 0 ii) M d (x, y, ) = 1 = + x y x y = 0 x = y. iii) M d (x, y, ) = + x y = iv) M d (x, y, ) M(y, z, s) = min { + y x = M d(y, x, ) (d merik olduğundan), + x y olduğu göserilmelidir. Merik anımından; x z x y + y z ve +s olduğundan x z +s 1 + x z + s x z + s +s+ x z +s x y + +s y z s > 1, +s s s s+ y z } > 1 x y y z s x y + y z + s s s x y + y z 1 + s s+s x y + y z ) s +s +s+ x z 65

olur. Merik anımından; x y y z 0 olduğundan; + s + x z + s s + s x y + y z s s s + s x y + y z + x y y z + s + s + x z ) s + x y s + y z + s + s + x z M d (x, y, ) M d (y, z, s) M d (x, z, + s) bulunur. v) Her x, y X, 0 > 0 için lim M d (x, y, ) = lim 0 0 + x y = lim 0 s + s x y + y z + x y y z s lim + x y = 0 dır. Dolayısıyla (X, M d, ) bir fuzzy merik uzaydır. 3.3.12 Örnek 0 0 + x y = M d(x, y, 0 ) C[a, b] = {f f: [a, b] Ϝ fonksiyonu süreklidir}, (C[a, b], d) bir merik uzay ve a b = ab olsun. d(f, g) = sup x [a,b] f(x) g(x) şeklinde anımlanan d meriği arafından üreilen sandar fuzzy merik her f, g C[a, b], [0,1] için M d (f, g, ) = +sup x [a,b] f(x) g(x), M d(f, g, 0) = 0 (3.24) olarak anımlansın. sürekli normu ile verilen (C[a, b], M d, ) bir fuzzy merik uzaydır. Kanı: i) > 0 ve her f, g C[a, b] için d bir merik olduğundan; d(f, g) = sup x [a,b] f(x) g(x) 0 dır. Dolayısıyla 66

sup x [a,b] f(x) g(x) 0 dır. M d (f, g, ) = dır. + sup x [a,b] f(x) g(x) > 0 ii) M d (f, g, ) = 1 = + sup x [a,b] f(x) g(x) sup x [a,b] f(x) g(x) = 0 Her x [a, b] için f(x) g(x) = 0 Her x [a, b] için f(x) g(x) = 0 f(x) = g(x). iii) M d (f, g, ) = +sup x [a,b] f(x) g(x) = iv) M d (f, g, ) M(g, h, s) = + s + s + sup x [a,b] f(x) h(x) eşisizliği göserilmelidir. Merik anımından; +sup x [a,b] g(x) f(x) = M d(g, f, ).. s +sup x [a,b] f(x) g(x) s+sup x [a,b] g(x) h(x) sup x [a,b] f(x) h(x) sup x [a,b] f(x) g(x) + sup x [a,b] g(x) h(x) ve +s > 1, +s s > 1 olduğundan sup x [a,b] f(x) h(x) +s sup x [a,b] f(x) g(x) + +s sup x [a,b] g(x) h(x) sup x [a,b] f(x) h(x) + s sup x [a,b] f(x) g(x) s. sup x [a,b] f(x) g(x) +. sup x [a,b] g(x) h(x) s s + sup x [a,b] g(x) h(x) s 67

1 + sup x [a,b] f(x) h(x) + s 1 + ssup x [a,b] f(x) g(x) + sup x [a,b] g(x) h(x) s +s+sup x [a,b] f(x) h(x) +s olur. Merik anımından; s+s.sup x [a,b] f(x) g(x) +.sup x [a,b] g(x) h(x) ) s sup x [a,b] f(x) g(x) sup x [a,b] g(x) h(x) 0 olduğundan; + s + sup x [a,b] f(x) h(x) + s s + ssup x [a,b] f(x) g(x) + sup x [a,b] g(x) h(x) s s + s. sup x [a,b] f(x) g(x) +. sup x [a,b] g(x) h(x) + sup x [a,b] f(x) g(x) sup x [a,b] g(x) h(x) s s s + s + sup x [a,b] f(x) g(x) + sup x [a,b] g(x) h(x) + sup x [a,b] f(x) g(x) sup x [a,b] g(x) h(x) + s + s + sup x [a,b] f(x) h(x) s + sup x [a,b] f(x) g(x) s + sup x [a,b] g(x) h(x) + s + s + sup x [a,b] f(x) h(x) M d (f, g, ) M d (g, h, s) M d (f, h, + s) bulunur. v) Her f, g C[a, b], 0 > 0 için lim M d (f, g, ) = lim 0 0 + sup x [a,b] f(x) g(x) = lim 0 lim + sup x [a,b] f(x) g(x) 0 68

= 0 0 + sup x [a,b] f(x) g(x) = M d(f, g, 0 ) Dolayısıyla M d, bir fuzzy merikir. 3.3.13 Örnek X = R, a b = ab olsun. x, y, z R ve ]0, [ için M(x, y, ) = e x y olsun. Bu durumda (X, M, ) bir fuzzy merik uzaydır. Çözüm. i) x y 0 x y ii) M(x, y, ) = e x y iii) M(x, y, ) = e x y 0 x y = 1 x y = e y x 0 e x y = 0 x y = 0 x = y = M(y, x, ). iv) x z x y + y z olduğundan + s + s x z ( ) x y + ( ) y z s x z + s e x z +s e x z +s e x z +s x y y z + s e x y + y z s e x y. e y z s e x y. e y z s M(x, z, + s) M(x, y, ) M(y, z, s) v) 0 > 0 olsun. lim M(x, y, ) = lim e x y = e x y 0 = M(x, y, 0 ) 0 0 bulunur. > 0 M(x, y, ) 0 dır. 3.3.14 Uyarı Her fuzzy merik uzay, bir merik uzay değildir. Hemen aşağıda buna bir örnek verilmişir. 3.3.15 Örnek X = N ve a b = ab olsun. Her > 0 için; 69

M(x, y, ) = { x y y x ; x y ; y x (3.25) şeklinde anımlanırsa (N, M, ) bir fuzzy merik uzaydır. Çözüm. i) Her x, y N için a) x y ise M(x, y, ) = x > 0 ( Çünkü x, y N dir.) y b) y x ise M(x, y, ) = y > 0 ( Çünkü x, y N dir.) x Dolayısıyla M(x, y, ) > 0 dır. ii) Her x, y N ve > 0 için M(x, y, ) = 1 x = y olduğunu göserelim. a) x y M(x, y, ) = x = 1 x = y. y b) y x M(x, y, ) = y = 1 x = y. x iii) Her x, y N ve > 0 için M(x, y, ) = { x y y x ; x y = { ; y x y x x y ; x y ; y x = M(y, x, ) dır. iv) Her x, y N ve s, > 0 için M(x, y, ) M(y, z, s) M(x, z, + s) olduğunu göserelim. Kabul edelim ki x y olsun. a) x y z ise M(x, y, ) = x y, M(y, z, s) = y z ve M(x, z, + s) = x z olup M(x, y, ) M(y, z, s) = x y dır. y z = x z = M(x, z, + s) b) x z y ise M(x, y, ) = x y, M(y, z, s) = z y ve M(x,, + s) = x z olup 70

M(x, y, ) M(y, z, s) = x y dır. z y x = M(x, z, + s) z c) z x y ise M(x, y, ) = x y, M(y, z, s) = z y ve M(x, z, + s) = z x olup M(x, y, ) M(y, z, s) = x y z y z x dır. Benzer şekilde y x için; M(x, y, ) M(y, z, s) M(x, z, + s) olduğu görülür. v) Her 0 > 0 için; lim 0 M(x, y, ) = M(x, y, 0 ) = M(x, z, + s) olduğu açıkır. Bu sebeple M(x, y,. ): (0, ) [0,1] süreklidir. Böylece (X, M, ) bir fuzzy merik uzaydır. Faka x ; x y y M(x, y, ) = { y ; y x x iken N üzerinde M(x, y, ) = +d(x,y) eşiliğini sağlayacak bir d meriği yokur. Gerçeken; X üzerinde M(x, y, ) yi üreen bir d meriğinin var olduğu kabul edilsin. M(x, y, ) = + d(x, y) ( + d(x, y))m(x, y, ) = d(x, y) = d1) (1 M(x, y, )) M(x, y, ) Her x, y N için d(x, y) = 0 x = y sağlanıp sağlanmadığı incelenecek olursa 71

( : ) d(x, y) = 0 olsun. O halde d(x, y) = (1 M(x, y, )) M(x, y, ) (1 M(x, y, )) = 0 = 0 M(x, y, ) = 1 ( > 0 olduğundan) M(x, y, ) bir fuzzy merik olduğundan M(x, y, ) = 1 x = y dir. ( : ) x = y olsun. O halde M(x, y, ) = x y = y x = 1 dir. d(x, y) = (1 M(x, y, )) M(x, y, ) = O halde d(x, y) = 0 x = y dir. d2) Her x, y N için d(x, y) = d(y, x) dir. Gerçeken; (1 1) 1 = 0 M(x, y, ) bir fuzzy merik olduğundan M(x, y, ) = M(y, x, ) d(x, y) = (1 M(x, y, )) M(x, y, ) = (1 M(y, x, )) M(y, x, ) = d(y, x) d3) = 2, x = 1, y = 2, z = 3 alınırsa M(x, y, ) = 1 2, M(y, z, ) = 2 3, M(x, z, ) = 1 3 d(x, y) = (1 M(x, y, )) M(x, y, ) = 2 (1 1 2 ) 1 2 = 2 d(y, z) = d(x, z) = (1 M(y, z, )) M(y, z, ) (1 M(y, z, )) M(y, z, ) d(x, z) > d(x, y) + d(y, z) = 2(1 2 3 ) 2 3 = 2(1 1 3 ) 1 3 = 1 = 4 72

dir. Dolayısıyla (X, d) bir merik uzay değildir. 3.3.16 Örnek X = R + olsun. x, y X, > 0 için M(x, y, ) = min{x,y}+ max{x,y}+ (3.26) olarak anımlanırsa; (M,. ), X üzerinde bir fuzzy merikir. 3.3.17 Tanım (Dizi) (X, M, ) bir fuzzy merik uzay ve N doğal sayılar kümesi olsun. Her n N için f(n) = x n X olmak üzere f: N X şeklinde anımlanan her fonksiyona X fuzzy merik uzayında bir dizi denir ve (x n ) n N veya kısaca (x n ) ile göserilir. 3.3.18 Tanım (Yakınsaklık) (X, M, ) bir fuzzy merik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x 0 X olsun. Eğer her 0 < r < 1 ve > 0 için en az bir n 0 N sayısı vardır öyle ki her n n 0 iken M(x n, x 0, ) > 1 r oluyorsa (x n ) dizisi x 0 nokasına yakınsıyor denir ve x n x 0 veya lim n x n = x ile göserilir. 3.3.19 Tanım (Cauchy Dizisi) (X, M, ) bir fuzzy merik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x 0 X olsun. Eğer her 0 < r < 1 ve > 0 için en az bir n 0 N sayısı vardır öyle ki her m, n n 0 için M(x n, x m, ) > 1 r oluyorsa (x n ) dizisine Cauchy dizisi denir. Eğer bu uzaydaki her Cauchy dizisi yakınsaksa (X, M, ) fuzzy merik uzayına amdır denir. 3.3.20 Önerme a b = ab, {x n } n=1 ve {y n } n=1 ; (X, M d, ) fuzzy merik uzayında iki Cauchy dizisi ve > 0 olsun. O halde {M d (x n, y n, )} n=1 gerçel sayı dizisi (0,1) deki bazı gerçel sayılara yakınsar. 3.3.21 Tanım (Tamlık) Eğer bir fuzzy merik uzaydaki her Cauchy dizisi uzaydaki bir nokaya yakınsıyor ise bu fuzzy merik uzaya am fuzzy merik uzay denir. 3.3.22 Örnek {A, B}, X = (2, ) aralığının bir bölünüsü olsun öyle ki {2n 1} n=2 A ve {2n} n=1 B ve Her a, b [0,1] için a b = max{0, a + b 1} ve 2.3.15 Örnekeki (X, M, ) fuzzy merik 73

uzay göz önüne alınsın. Her iki dizinin de (X, M, ) fuzzy merik uzayında Cauchy dizisi olduğunu gösermek kolaydır. Şimdi, eğer n = 2,3, için a n = 2n 1 ve b n = 2n ise n iken M(a n, b n, ) = ( 1 2n 1 + 1 2n ) 0 dır. 3.3.23 Uyarı R am fuzzy merik uzay değildir. Bunun için aşağıda (R, M, ) fuzzy merik uzayındaki her Cauchy dizisinin yakınsak olmadığına dair aksi bir örnek verilecekir. 3.3.24 Örnek (R, d) merik uzay, d(x, y) = x y ve a b = ab olsun. M(x, y, ) = +d(x,y) biçiminde anımlanırsa (R, M, ) fuzzy merik uzaydır. Bu uzayda (3.27) S n = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n olacak biçimde (S n ) dizisini ele alalım. Her p > 0 için; M(S n+p, S n, ) = + S n+p S n = lim n M(S n+p, S n, ) = 1 74 + 1 n + 1 + 1 n + 2 + + 1 n + p olur. O halde (S n ) dizisi (R, M, ) fuzzy merik uzayında bir Cauchy dizisidir. Eğer R am fuzzy merik uzay ise en az bir x R nokası vardır ki n iken M(S n, x, ) 1 dir. M(S n, x, ) 1 ise n iken n iken S n x 0 S n x + S n x 1 olmalıdır. Ancak bu R de doğru değildir. Bu sebeple R am fuzzy merik uzay değildir. 3.3.25 Teorem Sandar (X, M d, ) fuzzy merik uzayının am olması için gerekli ve yeerli koşul (X, d) merik uzayının am olmasıdır. Kanı: ( : ) (X, M d, ) sandar fuzzy merik uzayı am ve {x n } X de bir Cauchy dizisi olsun. O halde Her ε > 0 için n 0 N her n, m n 0 için d(x n, x m ) < ε

dır. Sandar fuzzy merik anımından her n, m n 0 ve her > 0 için M d (x n, x m, ) = + d(x n, x m ) > + ε olduğundan 0 < r < 1 koşulunu sağlayan her r için ε = r 1 r alınırsa M d (x n, x m, ) > 1 r elde edilir. Yani {x n } dizisi (X, M d, ) sandar fuzzy merik uzayında Cauchy dizisi olur. (X, M d, ) fuzzy merik uzayı am olduğundan {x n } Cauchy dizisi X de bir x nokasına yakınsar. O halde M d (x n, x m, ) = yazılabilir. Buradan + d(x n, x m ) = 1 lim M d(x n, x m, ) = lim n n + d(x n, x m ) = 1 lim d(x n, x) = 0 n bulunur. Bu ise (X, d) merik uzayı amdır. ( : ) (X, d) merik uzayı am olsun. (X, M d, ) sandar fuzzy merik uzayında bir {x n } X Cauchy dizisi alınsın. O zaman her 0 < r < 1 ve > 0 için en az bir n 0 N vardır öyle ki her n, m n 0 için M d (x n, x m, ) > 1 r dir. Sandar merik anımından M d (x n, x m, ) = d(x n, x m ) < + d(x n, x m ) > 1 r r 1 r yazılabilir. ε = r 1 r alınırsa, her ε > 0 için her n, m n 0 için d(x n, x m ) < ε bulunur. Yani {x n } dizisi (X, d) merik uzayında Cauchy dizisidir. X am olduğundan {x n } dizisi X de bir x nokasına yakınsar ve lim d(x n, x) = 0 elde edilir. Buradan n lim M d(x n, x m, ) = lim = = 1 n n +d(x n,x) elde edilir. Yani {x n } dizisi (X, M d, ) uzayında x nokasına yakınsar ve dolayısıyla (X, M d, ) sandar fuzzy merik uzayı amdır. 75

3.4 NON-ARCHİMEDEAN FUZZY METRİK UZAYLAR X boşan farklı keyfi bir küme, sürekli norm ve M, her x, y, z X ve, s > 0 için aşağıdaki şarları sağlayan X 2 [0, [ üzerinde bir fuzzy kümeyse (X, M, ) üçlüsüne Non- Archimedean fuzzy merik uzay denir: i) M(x, y, 0) = 0, (3.28) ii) M(x, y, ) = 1 olması için gerek ve yeer koşul x = y olmasıdır. (3.29) iii) M(x, y, ) = M(y, x, ) (3.30) iv) M(x, y, ) M(y, z, s) M(x, z, s), s = max{s, }, (3.31) v) M(x, y,. ): [0, [ [0,1] süreklidir. (3.32) Üseki iv) koşulu Kramosil ve Michalek fuzzy merik uzay anımındaki iv) koşulunu gerekirdiğinden; her Non-Archimedean fuzzy merik uzay, Kramosil ve Michalek anlamında fuzzy merik uzaydır. Kolaylık olması bakımından Non-Archimedean fuzzy merik uzaylar N.A. fuzzy merik uzay olarak kısalılacakır. 3.4.1 Teorem Her x, y X için M(x, y, ) N.A. fuzzy meriği ye göre arandır. 3.4.2 Örnek i) Her a, b [0,1] için a b = ab olsun. d; X üzerinde klasik bir merik olmak üzere; M, her x, y R + için X 2 (0, ) üzerinde M(x, y, ) = e d(x,y) şeklinde anımlanan bir fuzzy küme olsun. O halde (X, M, ) bir N.A. fuzzy merik uzaydır. ii) Her a, b [0,1] için a b = ab ve M; M(x, y, ) = min{x,y} max{x,y} şeklinde anımlanan R+ R + (0, ) üzerinde bir fuzzy küme olsun. O halde (X, M, ) bir N.A. fuzzy merik uzaydır. 3.4.3 Teorem X eki bir {x n } dizisi x e yakınsaması için gerek ve yeer koşul her > 0 için n iken M(x n, x, ) 1 dir. 3.4.4 Tanım Her 0 < ε < 1 ve > 0 için en az bir n 0 N vardır öyle ki n, m > n 0 için M(x n, x m, ) > 1 ε ise Cauchy dizisi denir. Cauchy dizisinin bu anımı George ve Veeramani arafından verilen ile özdeşir. Eğer bir N.A. fuzzy merik uzayındaki her Cauchy dizisi yakınsaksa (X, M, ) N.A. fuzzy merik uzayının am olduğu söylenebilir. 76

3.4.5 No Bir sonraki yardımcı eoremde kullanılmak üzere aşağıdaki şekilde bir dönüşümler ailesi anımlanacakır. Φ, bir dönüşümler ailesi olsun öyle ki her Φ için i) : ]0,1] [0, [, ii) sürekli ve azalandır. iii) (x) = 0 x = 1 ve her x, y ]0,1] için (xy) (x) + (y). 3.4.6 Yardımcı Teorem Her a, b [0,1] için a b ab, (X, M, ) bir fuzzy merik uzay ve her x, y X için M(x, y,. ) fuzzy meriği 0 nokasında süreksiz olsun. Eğer d: X 2 [0, [ d(x, y) = sup α 1 α (M(x, y, )) d (3.33) şeklinde anımlanırsa 0 < α < 1 olmak üzere d, X üzerinde bir merikir. Kanı: Her x, y X için d(x, y) nin iyi anımlanmış olduğu anımdan açıkır. i) Her x, y X için d(x, y) 0 olduğu açıkır. ii) d(x, y) = 0 Her > 0 için (M(x, y, )) = 0 Her > 0 için M(x, y, ) = 1 x = y. iii) d(x, y) = sup α 1 α (M(x, y, )) d = sup α 1 α (M(y, x, )) d = d(y, x) iv) M(x, y, ) M(x, z, ) M(z, y, ) M(x, z, ). M(z, y, ) ve azalan olduğu için d(x, y) = sup α sup α 1 (M(x, y, )) α 1 (M(x, z, )) α d + sup α d sup α 1 (M(x, z, ). M(z, y, )) d α 1 (M(z, y, )) d = d(x, z) + d(z, y) α dır. Bu d nin X üzerinde bir merik olduğunu ispalar. 3.5 SHABAN SEDGHİ VE NABİ SHOBE ANLAMINDA M FUZZY METRİK UZAYLAR X boşan farklı bir küme, sürekli norm olmak üzere her x, y, z, a X ve her, s > 0 için M, X 3 (0, ) üzerinde aşağıdaki şarları sağlayan bir fuzzy küme ise, (X, M, ) sıralı üçlüsüne bir M fuzzy merik uzayı denir (Sedghi and Shobe 2006): i) M(x, y, z, ) > 0, (3.34) 77

ii) M(x, y, z, ) = 1 olması için gerek ve yeer koşul x = y = z olmasıdır. ( 3.35) iii) M(x, y, z, ) = M(p{x, y, z}, ) ( p bir permüasyon fonksiyonu olmak üzere ) (3.36) iv) M(x, y, a, ) M(a, z, z, s) M(x, y, z, + s), (3.37) v) M(x, y, z,. ): (0, ) [0,1] süreklidir. 3.5.1 No Bu kısımda M fuzzy merik uzayları, sürekli norm yardımıyla George ve Veeramani anlamında fuzzy merik uzayların bir genelleşirilmesi olarak anımlanacakır. 3.5.2 Yardımcı Teorem (X, M, ) bir M fuzzy merik uzay olsun. Her x, y X ve her > 0 için i) M(x, x, y, ) = M(x, y, y, ). (3.38) ii) M(x, y, z,. ) arandır. Kanı: i) ε > 0 olsun. O halde FM4 en a) M(x, x, y, ε + ) M(x, x, x, ε) M(x, y, y, ) = M(x, y, y, ), b) M(y, y, x, ε + ) M(y, y, y, ε) M(y, x, x, ) = M(y, x, x, ). a) ve b) de ε 0 iken limi alınırsa M(x, x, y, ) = M(x, y, y, ) elde edilir. ii) Her x, y, z, a X ve, s > 0 için FM4 en M(x, y, a, ) M(a, z, z, s) M(x, y, z, + s) dır. Eğer a = z seçilirse; M(x, y, z, ) M(z, z, z, s) M(x, y, z, + s) yani M(x, y, z, + s) M(x, y, z, ) elde edilir. 3.5.3 Uyarı (X, M, ) bir M fuzzy merik uzay olsun. Her > 0 için M(x, x, y, ) = M(x, y, y, ) dır. Gerçeken; her ε > 0 için üçgen eşisizliğinden i) M(x, x, y, ε + ) M(x, x, x, ε) M(x, y, y, ) = 1 M(x, y, y, ) = M(x, y, y, ) ii) M(y, y, x, ε + ) M(y, y, y, ε) M(y, x, x, ) = 1 M(y, x, x, ) = M(y, x, x, ) 78

dır. i) ve ii) nin ε 0 iken limileri alındığında M(x, x, y, ) = M(x, y, y, ) elde edilir. 3.5.4 Örnek (X, d) bir merik uzay ve her a, b [0,1] için a b = ab olsun. Her ]0, [, her x, y, z X için D(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} ve Μ(x, y, z, ) = +D(x,y,z) (3.39) olsun. O halde (X, M, ) bir M fuzzy merik uzaydır. M ye d arafından indirgenen sandar M fuzzy meriği denir. 3.5.5 Örnek X = [0,1] ve her a, b [0,1] için a b = min{a, b} olsun. X X X (0, ) üzerindeki bir Μ fuzzy kümesi her > 0 için Μ(x, y, z, ) = + x y + y z + z x (3.40) şeklinde anımlansın. O halde (X, M, ) bir fuzzy merik uzaydır. 3.5.6 Örnek X boşan farklı bir küme ve D, X üzerinde bir D merik olsun. Her a, b [0,1] için a b = ab olsun. Her ]0, [ ve her x, y, z X için M(x, y, z, ) = +D(x,y,z) (3.41) şeklinde anımlansın. (X, M, ) bir M fuzzy merik uzay olduğunu gösermek kolaydır. Çözüm. i) > 0 ve D bir merik olduğundan her x, y, z X için D(x, y, z) 0 dır. Dolayısıyla M(x, y, z, ) = dır. + D(x, y, z) > 0 ii) M(x, y, z, ) = 1 = + D(x, y, z) D(x, y, z) = 0 x = y = z. iii) M(x, y, z, ) = +D(x,y,z) = (D merik olduğundan) +D(x,z,y) = Dolayısıyla M(x, y, z, ) = M(p{x, y, z}, ) dir. +D(y,z,x) = iv) M(x, y, a, ) M(a, z, z, s) M(x, y, z, + s) yani; 79 +D(y,x,z) = +D(z,x,y) = +D(z,y,x)

s + D(x, y, a) s + D(a, z, z) + s + s + D(x, y, z) olduğu göserilmelidir. D Merik anımından; D(x, y, z) D(x, y, a) + D(a, z, z) dır. +s > 1, +s s D(x, y, z) +s 1 + D(x, y, z) + s D(x, y, z) + s +s+d(x,y,z) +s olur. Öe yandan > 1 olduğundan, D(x, y, a) + +s D(a, z, z) D(x, y, a) 1 + D(x, y, a). D(, z, z) 0 olduğundan; + s + D(x, y, z) + s + s D(a, z, z) s sd(x, y, a) + D(a, z, z) s s+sd(x,y,a)+d(a,z,z) s bulunur ve dolayısıyla s + sd(x, y, a) + D(a, z, z) s sd(x, y, a) + D(a, z, z) s s s + sd(x, y, a) + D(a, z, z) + D(x, y, a)d(a, z, z) + s + s + D(x, y, z) s + sd(x, y, a) + D(a, z, z) + D(x, y, a)d(a, z, z) s s + D(x, y, a) s + D(a, z, z) + s + s + D(x, y, z) M(x, y, a, ) M(a, z, z, s) M(x, y, z, + s) elde edilir. v) Her x, y, z X, 0 > 0 için 80

lim M(x, y, z, ) = lim 0 0 = M(x, y, z, 0 ) + D(x, y, z) = O halde (X, M, ) bir M fuzzy merik uzaydır. 3.5.7 Örnek lim 0 lim + D(x, y, z) = 0 0 0 + D(x, y, z) X, boşan farklı keyfi bir küme ve ψ, R + (0,1) aran ve sürekli bir fonksiyon öyle ki lim ψ() = 1 olsun. Bu fonksiyonların 3 ipik örneği ψ(x) = x n x+1 πx, ψ(x) = sin ( ) ve 2x+1 ψ(x) = 1 e x dir. Her a, b [0,1] için a b = ab olsun. Her (0, ), her x, y X için d(x, y) klasik bir merik olmak üzere, M(x, y, ) = ψ() d(x,y) olarak anımlayalım. (X, M, ) ın bir fuzzy merik uzay olduğunu gösermek kolaydır. 3.5.8 Yardımcı Teorem (X, M, ) bir M fuzzy merik uzay olsun. Her x, y, z X için M: X 3 (0, ) [0,1] M(x, y, z, ) = M(x, y, ) M(y, z, ) M(z, x, ) (3.43) şeklinde anımlanırsa, (X, M, ) bir M fuzzy merik uzaydır. Kanı: i) Her x, y, z X, her > 0 için M(x, y, z, ) > 0 olduğunu gösermek kolaydır. ii) M(x, y, z, ) = 1 M(x, y, ) = M(y, z, ) = M(z, x, ) = 1 x = y = z dir. iii) p bir permüasyon fonksiyonu olmak üzere M(x, y, z, ) = M(p{x, y, z}, ) dir. iv) Her s > 0 için M(x, y, z, + s) = M(x, y, + s) M(y, z, + s) M(z, x, + s) M(x, y, ) M(y, a, ) M(a, z, s) M(z, a, s) M(a, x, ) = M(x, y, a, ) M(a, z, s) M(z, a, s) M(z, z, s) = M(x, y, a, ) M(a, z, z, s) dir. v) (X, M, ) bir M fuzzy merik uzay olduğundan süreklidir. Dolayısıyla M(x, y, z,. ): (0, ) [0,1] süreklidir. 3.5.9 Tanım (Yakınsaklık) (X, M, ) bir M fuzzy merik uzay olsun. X eki bir {x n } dizisi bir x e yakınsaması için gerek ve yeer koşul n iken M(x, x, x n, ) 1 dir. 81

3.5.10 Tanım (Cauchy dizisi) (X, M, ) bir M fuzzy merik uzay olsun. X eki bir {x n } dizisine Cauchy dizisidir denir eğer her bir 0 < ε < 1 ve > 0 için bir n 0 N vardır öyle ki her n, m n 0 için M(x n, x n, x m, ) > 1 ε dır. 3.5.11 Tanım (Tamlık) (X, M, ) bir M fuzzy merik uzayının am olması için gerek ve yeer koşul her Cauchy dizisi yakınsak olmasıdır. 3.5.12 Tanım (Sürekli Fonksiyon) (X, M, ) bir M fuzzy merik uzay olsun. Eğer X 3 (0, ) üzerindeki {(x n, y n, z n, n )} dizisi bir (x, y, z, ) X 3 (0, ) nokasına yakınsak; yani lim x n = x, (3.44) n lim y n = y, (3.45) n lim z n = z (3.46) n ve lim M(x, y, z, n) = M(x, y, z, ) (3.47) n iken lim M(x n, y n, z n, n ) = M(x, y, z, ) (3.48) n ise M, X 3 (0, ) üzerinde sürekli bir fonksiyondur denir. 3.5.13 Yardımcı Teorem (X, M, ) bir M fuzzy merik uzay olsun. O halde M, X 3 (0, ) üzerinde sürekli bir fonksiyondur. Kanı: x, y, z X, > 0 ve (x n, y n, z n, n ) n, X 3 (0, ) üzerinde (x, y, z, ) e yakınsayan bir dizi olsun. (M(x n, y n, z n, n )) n, ]0,1] aralığında bir dizi olduğu için (x n, y n, z n, n ) n dizisinin bir (x n, y n, z n, n ) al dizisi vardır öyle ki (M(x n, y n, z n, n )) n dizisi [0,1] aralığındaki bir nokaya yakınsar. δ > 0 sabii δ < olarak seçilsin. 2 O halde bir n 0 N vardır öyle ki her n n 0 için n < δ dir. Böylece 82

M(x n, y n, z n, n ) M(x n, y n, z n, δ) M (x n, y n, z, 4δ 3 ) M (z, z n, z n, δ 3 ) M (x n, z, y, 5δ 3 ) M (y, y n, y n, δ 3 ) M (z, z n, z n, δ 3 ) M(z, y, x, 2δ) M (x, x n, x n, δ 3 ) M (y, y n, y n, δ 3 ) M (z, z n, z n, δ 3 ) ve her n n 0 için M(x, y, z, + 2δ) M(x, y, z, n + δ) M (x, y, z, n + 2δ 3 ) M (z n, z, z, δ 3 ) M (x, z n, y n, n + δ 3 ) M (y n, y, y, δ 3 ) M (z n, z, z, δ 3 ) M(z n, y n, x n, n ) M (x n, x, x, δ 3 ) M (y n, y, y, δ 3 ) M (z n, z, z, δ 3 ) n iken limi alındığında, lim M(x n, y n, z n, n ) M(x, y, z, 2δ) 1 1 1 = M(x, y, z, 2δ) n ve sırasıyla M(x, y, z, + 2δ) lim n M(x n, y n, z n, n ) 1 1 1 = lim n M(x n, y n, z n, n ). Bu yüzden M(x, y, z, ) fonksiyonunun sürekliliğinden lim M(x n, y n, z n, n ) = M(x, y, z, ) n elde edilir. Böylece M, X 3 (0, ) üzerinde süreklidir. 3.6 TARAPADA BAG ANLAMINDA D FUZZY METRİK UZAYLAR Tarapada Bag 2012 yılında M fuzzy merik anımını aşağıdaki şekilde ekrar anımladı. 3.6.1 Tanım (D Fuzzy Meriği) Eğer X boşan farklı bir küme, her x, y, z, a X ve, s [0, [ için D, X 3 [0, [ üzerinde aşağıdaki şarları sağlayan bir fonksiyon ise (X, D, ) sıralı üçlüsüne bir D fuzzy merik uzayı denir (T.Bag 2012): i) D (x, y, z, 0) = 0, (3.49) ii) Her > 0 için D (x, y, z, ) = 1 x = y = z, (3.50) iii) D (x, y, z, ) = D (p{x, y, z}, ) (simeri) ( p bir permüasyon fonksiyonu olmak üzere) iv) D (x, y, a, ) D (a, z, z, s) D (x, y, z, + s), (3.51) v) lim D (x, y, z, ) = 1 (3.52) 83

3.6.2 Örnek [8] X boş olmayan bir küme ve D, X üzerinde bir D merik olsun. Her a, b [0,1] için a b = ab seçilirse her [0, [ ve her x, y, z X için D (x, y, z, ) = +D(x,y,z) (3.53) olarak anımlanırsa D, X üzerinde bir fuzzy merik ve (X, D, ) bir D fuzzy merik uzaydır. 84

BÖLÜM 4 SONUÇLAR Bu ezde farklı fuzzy merik uzay anımları ele alınmış, bunlar arasındaki ilişkiler sapanmaya çalışılmışır. Bu açıdan bakıldığında söz konusu ez, fuzzy kavramı ve fuzzy merik uzaylar üzerine çalışacak kişilere yol göserici nielike olacakır. Tezin son kısmında, genelleşirilmiş merik ürlerinden biri olan S meriklere yer verilmişir. Genelleşirilmiş meriklerden yararlanılarak birer fuzzy merik anımının lieraüre kazandırılması ve henüz genelleşirilmiş S meriklerden anıılmış bir fuzzy merik uzay olmaması; üzerine düşünülmesi gereken ve olası bir yeni fuzzy merik anımının oraya konulacağı güzel bir çalışma konusudur ve bundan sonraki çalışmalarımızda bu konu üzerine yoğunlaşılacakır. 85

86

KAYNAKLAR Alun I and Mihe D (2010) Ordered Non-Archimedean Fuzzy Meric Spaces and Some Fixed Poin Resuls, Hindawi Publishing Corporaion, 2010: 1 11. Bag T (2012) Some Resuls on D Fuzzy Meric Spaces, Inernaional Journal of Mahemaics and Scienific Compuing, 2 (1): 29-33. Bulanık manık. (.y.) Ziyare arihi: 07.04.2015, adres: www.deu.edu.r/userweb/k.yaralioglu/dosyalar/bul_man.doc Chang C L (1968) Fuzzy Topological Spaces. Journal of Mahemaical Analysis and Applicaions, 24: 182-190 Cho Y J, Grabiec M and Radu V (2006) On Nonsymmeric Topological and Probabilisic Srucures. ISBN: 978-1594549175, Nova Science Pub Inc. Pe. Ld., New York, 210 pp. Coşkun E (2002) Analiz I. ISBN: 975-6674-06-7, Alp Yayınevi, İsanbul, 350 s. Deng Z (1982) Fuzzy Pseudo-Meric Spaces. Journal of Mahemaical Analysis and Applicaions, 86 (1): 74 95. Dhage B C (1992) Generalised Meric Spaces and Mappings wih Fixed Poin. Bullein of he Calcua Mahemaical Sociey, 84 (4): 329 336. Diamond P and Kloeden P (2001) Meric Spaces of Fuzzy Ses: Theory and Applicaions. ISBN: 981-02-1731-5, World Scienific Publishing Co. Pe. Ld.,Singapore, 175 pp. Erceg M A (1979) Meric Spaces in Fuzzy Se Theory. Journal of Mahemaical Analysis and Applicaions, 69 (1): 205-230. George A, Veeramani P (1994) On Some Resuls in Fuzzy Meric Spaces. Fuzzy Ses and Sysems, 64: 395 399. George A, Veeramani P (1997) On Some Resuls of Analysis for Fuzzy Meric Spaces. Fuzzy Ses and Sysems, 90 (3): 365 368. Goeschel R and Voxman W (1986) Elemenary Fuzzy Calculus. Fuzzy Ses and Sysems, 18 (1): 31 43. Grabiec M (1988) Fixed Poins in Fuzzy Meric Spaces. Fuzzy Ses and Sysems, 27 (3): 385-399. Gregori V and Romaguera S (2002) Some Properies of Fuzzy Meric Spaces. Fuzzy Ses and Sysems, 115 (3): 485 489. Gregori V, Crevillen A L, Morillas S and Sapena A (2009) On Convergence in Fuzzy Meric Spaces. Fuzzy Ses and Sysems, 156 (18): 3002 3006. Hadzic O and Pap E (1994) Fixed Poin Theory in Probabilisic Meric Spaces. ISBN: 978-90-481-5875-1, Kluwer Academic Publishers, 273 pp. 87

Kaleva O and S Seikkala S (1984) On Fuzzy Meric Spaces. Fuzzy Ses And Sysems, 12:215-229. Kaufmann A and Gupa M M (1988) Fuzzy Mahemaical Models in Engineering and Managemen Science. ISBN: 0444705015, Elsevier Science Inc., New York, 338 pp. Kaufmann A and Gupa M M (1991) Inroducion o Fuzzy Arihmeic. ISBN: 978-0442008994, Van Nosrand Reinhold Company, 384 pp. Korkmaz Ö (2012) Fuzzy Merik ve Sezgisel Fuzzy Merik Uzaylar Üzerine. Yüksek Lisans Tezi, Cumhıriye Üniversiesi, Fen Bilimleri Ensiüsü, Maemaik Anabilim Dalı, Sivas, 56 s. Kramosil I and Michalek J (1975) Fuzzy Meric and Saisical Meric Spaces. Kyberneica, 11 (5): 336-344. Maloka M (1986) Sequence of Fuzzy Numbers. Busefal, 28-37. Mihe D (2008) Fuzzy ѱ-conracive Mappings in Non-Archimedean Fuzzy Meric Spaces. Fuzzy Ses and Sysems, 159 (6): 739 744. Pao-Ming P and Ying-Ming L (1980) Fuzzy Topology I. Neighborhood Srucure of a Fuzzy Poin and More-Smih Convergence. Journal of Mahemaical Analysis and Applicaions, 76 (2): 571-599. Schwiezer B and Sklar (1960) Saiscial Meric Spaces, Paci.C. J. Mah.,10: 313-334. Sedghi S and Shobe N (2006) Fixed Poin Theorem in M Fuzzy Meric Spaces wih Propery (E). Advances in Fuzzy Mahemaics, 1 (1): 55-65. Sedghi S and Shobe N (2011) A Common Unique Random Fixed Poin Theorems in S Meric Spaces. Journal of Prime Research in Mahemaics Advances in Fuzzy Mahemaics, 7: 25-34. Sedghi S, Shobe N and Aliouche A (2012) A Generalizaion of Fixed Poin Theorems in S Meric Spaces. Advances in MATEMATͶЧKͶ BECHͶK, 64 (3): 258-266. Sedghi S, Shobe N and Choudhury B S (2012) Relaion Beween Meric and Fuzzy Meric Spaces and Some Fixed Poin Theorems. J. Appl. Mah. & Informaics, 30 (1-2): 265-278. Sedghi S, Zhou H and Shobe N (2007) A Common Fixed Poin Theorems in D Meric Spaces. Hindawi Publishing Corporaion, 2007: 1-13. Soykan Y (2012) Merik Uzaylar ve Topolojisi. ISBN: 9786051332451, Nobel Akademi, Ankara, 548 s. Xia Z-Q, Gua F-F (2004) Fuzzy Meric Spaces, Journal of Applied Mahemaics and Compuing, 16 (1-2): 371-381. Zadeh L A (1965) Fuzzy Ses, Informaion and Conrol, 338-353. 88

ÖZGEÇMİŞ Melih ÇINAR, 13.11.1989 da Bandırma da doğdu. İlk ve ora öğrenimini Bandırma da amamladı. 2007 yılında BEÜ Fen Edebiya Fakülesi Maemaik Bölümü nü kazandı. Bir yıl yabancı dil hazırlık okudukan sonra; 2012 yılında bölümü birincilikle amamladı ve aynı yıl BEÜ Fen Bilimleri Ensiüsü Maemaik Anabilim Dalı nda Yüksek Lisans Programına başladı. 2015 in Ocak ayında ise Yıldız Teknik Üniversiesi nde Araşırma Görevlisi olarak göreve başladı ve halen görevine devam emekedir. ADRES BİLGİLERİ: Adres: İhsaniye Mah. Celal Aik Cad. No:24 Daire:11 Bandırma/BALIKESİR Tel: (212) 383 31 08/641 E-posa: mcinar@yildiz.edu.r 89