Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Bu bölümde, doğrusal, prizmatik, homojen ve lineer elastik davranan bir elemanın eksenine dik doğrultuda yüklerin etkimesi durumunda en kesitinde oluşan kesme gerilmeleri incelenecek. Burada çıkarılacak formüller her durum için kullanılabilirolmamasına rağmen, pratikte karşınıza çıkabilecek bir çok durumu kapsamaktadır.
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Doğrusal Elemanlarda Kesme Kirişler genellikle hem moment etkilerine hem de kesme kuvveti etkilerine maruz kalırlar. Kiriş en kesitinde oluşan V kesme kuvveti en kesitteki kesme gerilmelerinin bileşkesidir. Düşey Kesme Gerilmesi Yatay Kesme Gerilmesi Dikkat edilirse, en kesit üzerinde oluşan düşey kesme gerilmelerini dengeleyecek yatay kesme gerilmeleri de oluşmaktadır.
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Doğrusal Elemanlarda Kesme Fiziksel olarak kirişin neden ekseni doğrultusunda kesme gerilmelerinin oluştuğunu göstermek mümkündür. Aşağıdaki kirişi ele elalım: Ahşap kirişler birbirine yapıştırılmamış durumda Kirişlerin yüzeylerinin pürüzsüz olduğu düşünülürse, P kuvveti kirişleri şekildeki gibi deforme edecektir. Kirişler birbirleri üzerinde kayacaktır.
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Doğrusal Elemanlarda Kesme Bundan farklı olarak, eğer kirişler birbirine tutturulmuşsa, bir başka deyişle, birbirleri üzerinde kaymaları engellemişse, kirişler arasında eksenel doğrultuda kesme gerilmeleri oluşacaktır ve kiriş bir bütün olarak davranacaktır: Ahşap kirişler birbirine yapıştırılmış durumda
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Doğrusal Elemanlarda Kesme Kesme gerilmelerinden dolayı kesme şekil değiştirmeleri oluşacak ve kiriş en kesiti karmaşık bir şekilde şeklini değiştirecektir. Bunu göstermek için yüksek düzeyde şekil değiştirebilen malzemeden(örneğin kauçuk) yapılmış bir kirişin eksenine dik doğrultuda etkiyen bir kuvvet altında şekil değişimini inceleyelim: Deformasyondan Önce Dikkat edilirse, en kesit üniform olmayan bir şekilde deforme oluyor, bunun sebebi en kesitteki üniform olmayan gerilmelerdir. Deformasyondan Sonra
Hatırlanırsa, eğilme formülü çıkarılırken en kesitin düzlemsel ve kiriş eksenine dik kaldığını kabul etmiştik. Bu kabul, kiriş hem kesme kuvvetine hem de eğilme momentine maruz kaldığında ihlal edilmektedir. Ancak özellikle narin kirişler için, en kesit deformasyonunun ihmal edilebilir düzeyde küçük olduğu kabul edilebilir. Bu deformasyonları ihmal etmeyen kiriş teorileri tabi ki mevcuttur (Timoshenko ve Jourawsky teorileri). Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Doğrusal Elemanlarda Kesme
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Kesme Formülü Bu bölümde en kesitteki kesme kuvveti ve en kesitte oluşan kesme gerilmeleri arasında bir ilişki geliştirilecektir. Bunun için aşağıdaki kirişin dengesi incelenecektir. Kesit düzlemi Alan = dx kalınlığındaki bir kiriş parçası
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Kesme Formülü Bu kiriş parçasında sadece normal gerilme dağılımını gösteren diyagram aşağıda verilmiştir. Bu dağılım M ve M + dm eğilme momentleri etkisinden dolayıdır: sağlanır! Kesit düzlemi V ve V + dv ve w(x) etkisinden dolayı oluşan gerilmeler serbest cisim diyagramında gösterilmemişlerdir, çünkü bu etkiler düşey yönde etkimektedir. F x = 0 Sağlanmak zorundadır, çünkü en kesitin her iki tarafına sadece kuvvet çiftleri yani momentler etkimektedir.
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Kesme Formülü Şimdi, aşağıda verilen kesitin y mesafesindeki koyu üst kısmını inceleyelim. Bu kısmın, taban kalınlığı t ve en kesit alanı ise A olsun. İki en kesit arasındaki moment farkı dm dir. Kesit düzlemi Üç boyutlu görünüm Dikkat edilirse, iki en kesit arasındaki moment farkı dm olduğuna göre, eğer τ kesme gerilmesi olmazsa F x = 0 sağlanmaz. Gerilme dağılımının yandan görünüşü
τ Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Kesme Formülü Bu gerilmesinin t kalınlığı boyunca sabit olduğu kabul edilirse, t(dx) alanına etkidiği görülür. x yönündeki kuvvetlerin dengesinden: dx x A A ( ) F = 0; σ da σda τ t dx = 0 M + dm M yda yda τ( t dx) A I A = I dm yda τ( t dx ) I = A 0 Buradan τ çekilirse, aşağıdaki ifade bulunur: 1dM τ = yda It dx A
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Kesme Formülü 1dM τ = yda It dx A Yukarıdaki denklem için şu gözlemleri yapmak mümkün: V dm dx = ve Q= yda= ya A Q ifadesi koyu en kesitin, alan merkezinden nötr eksene göre bulunan birinci alan momentidir.
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Kesme Formülü Bu durumda kesme formülü aşağıdaki formu alır: τ = VQ It τ : Kesitte nötr eksenden y mesafesindeki üniform kesme gerilmesi V: Kesitteki iç bileşke kesme kuvveti Q: t kalınlığının üstünde kalan alanın alan merkezinden nötr eksene göre birinci alan momenti I: Tüm kesitin nötr eksene göre atalet momenti t: Kesme gerilmesinin hesaplandığı noktadaki kesitin genişliği. Bu denklem boyuna doğrultudaki kesme gerilmesi dikkate alınarak çıkarılmıştır. Ancak, düşey kesme gerilmelerinin hesabında da kullanılır, çünkü boyuna kesme gerilmesi düşey kesme gerilmesine eşittir(dengeden dolayı).
Kesme formülündeki temel kabul kesme gerilmesinin kalınlık boyunca, t (b), üniform dağıldığıdır. Oysaki, daha kesin analizler bunun böyle olmadığını ve gerilme dağılımının b/h oranına bağlı olarak t kalınlığı boyunca değiştiğini göstermektedir. b/h = 0.5 için %3 lük bir hata (kabul edilebilir) b/h = 2 için %40 lık bir hata (kabul edilemez).
(Başlık) (Gövde) Kesme formülü başlık ve gövdenin birleştiği nokta için de doğru sonuçlar vermez, çünkü bu bölgede ani kesit değişikliği olduğu için gerilme yığılmaları oluşmaktadır. Ancak bu durum uygulamada sorun oluşturmamaktadır, çünkü mühendisler genellikle kesitteki maksimum gerilmeler ile ilgilenirler. I-kirişte oluşan ortalama maksimum kayma gerilmesi nötr eksen üzerinde oluşmaktadır.
Kesme formülü prizmatik olmayan kesitlere uygulanırken de dikkat edilmelidir. 07_08b-c Gerilmenin Olmadığı Serbest Yüzey Kesme formülü ile elde edilen gerilme dağılımı Mechanics of Materials, Ninth Edition R. C. Hibbeler Copyright 2014 by Pearson Education, Inc. All rights reserved.
Mechanics of Materials, Ninth Edition R. C. Hibbeler Copyright 2014 by Pearson Education, Inc. All rights reserved.
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Kesme Formülü Dikdörtgen Kesitler Kesme gerilmesi formülünü dikdörtgen bir kesit için uygulayalım: A alanı ile gösterilen bölgenin tabanında oluşan kesme gerilmesini hesaplayalım.
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Kesme Formülü Dikdörtgen Kesitler τ = VQ It Q değerini hesaplayalım: 1 h h Q= ya = y+ y y b 2 2 2 1 h = 2 4 2 V VQ τ = = It 2 y b ( 1/2) 2 h 4 bh b ( 3 1/12 ) 2 y b 6V h 2 = bh 3 4 y 2
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Kesme Formülü Dikdörtgen Kesitler Bu sonuç kesitte kesme gerilmelerinin parabolik olarak dağıldığını gösterir 6V h τ= bh 3 4 2 y 2 Kesme gerilmeleri maksimum değerine y = 0 da minimum değeri olan 0 değerine ise y = +/-(h/2 ) da ulaşır. Maksimum değeri y = 0 da aşağıdaki gibidir: τ max V =1.5 A
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Kesme Formülü Dikdörtgen Kesitler Maksimum kesme gerilmesi değeri direkt olarak kesme formülü kullanılarak da bulunabilirdi. V, I ve t sabit olduğuna göre, Q nun maksimum olduğu durumda maksimum kesme gerilmeleri oluşacaktır. Q nun maksimum olduğu durum ise nötr eksenin üzerindeki alanın dikkate alındığı durumdur: τ h bh V VQ 4 2 V = = = 1.5 It 1/12bh b A ( ) max 3 Dikkat edilirse, kesme formülü ile elde edilen maksimum kesme gerilmesi, ortalama kesme gerilmesi ile elde edilen gerilmeden %50 daha fazladır!
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Kesme Formülü Dikdörtgen Kesitler
Örnek -1 Şekilde çelik I kirişinin boyutları verilmiştir. Eğer V = 80 kn ise kirişte kesitinde oluşan kesme kuvveti diyagramını çiziniz.
Örnek 1 (devam) Kesme diyagramı parabolik bir şekilde değişecektir ve aşağıdaki diyagram gibi olacaktır. Gerilme dağılımı simetrik olduğundan, sadece B, B ve C noktalarındaki gerilemeler hesaplanacaktır:
Örnek 1 (devam) Önce kesitin toplam atalet momentini I yı bulalım,:bunun için paralel eksenler teoremi kullanılacaktır: 0.015m
Örnek 1 (devam) B için A aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:
Örnek 1 (devam) Benzer şekilde B için A aşağıdaki şekilde gösterilmiştir: ve
Örnek 1 (devam) Benzer şekilde C için A aşağıdaki şekilde gösterilmiştir: ve
Örnek 1 (devam) Dikkat edilirse, kesme gerilmelerinin çok önemli bir kısmı gövdede oluşmaktadır ve değeri ise 22.6 MPa dan, 25.2 MPa değişmektedir, yani az bir değişim gözlenmektedir. Bu sebeple, bazı tasarım yönetmeliklerinde ortalama kesme gerilmesi formülü kullanılmasına izin verilmektedir.
Örnek -2 Şekilde gösterilen kiriş, iki parçadan oluşmaktadır. Bu iki parçayı birbirine bağlayan yapıştırıcıyı zorlayan maksimum kesme gerilmesini bulunuz.
Örnek 2 (devam) İlk önce, kirişte meydana gelen maksimum kesme kuvvetini bulacağız. Bunun için kesme diyagramını çizmemiz gerekmekte. Maksimum kesme kuvvetinin 19.5 kn olduğunu buluruz.
Örnek 2 (devam) Nötr eksene göre atalet momentini bulmamız gerekmekte, bunun için nötr eksenini yerini yani alan merkezini bulmamız gerekmekte. Kesitin tabanından geçen yatay eksen referans ekseni seçilerek, alan merkezi bulunacak:
Örnek 2 (devam) Şimdi nötr eksene göre atalet momenti hesaplanabilir: =0.120m
Örnek 2 (devam) İki parçanın birleştiği noktadaki kesme gerilmesi hesaplanabilir:
Örnek 3 Şekil gösterilen kiriş dikdörtgen kesite sahiptir. Yüklemeden dolayı C noktasındaki gerilme durumunu hesaplayınız.
Örnek 3 (devam) Önce mesnet reaksiyonlarını bulalım ve sonra C noktasındaki iç kuvvetleri hesaplayalım. Sonra C noktasında keserek C noktasındaki iç kuvvetleri buluruz:
Normal kuvvetin yarattığı gerilmeler: Örnek 3 (devam) Kesme kuvvetinin yarattığı kesme gerilmeleri: Olduğundan kesme gerilmesi de sıfırdır.
Örnek 3 (devam) Eğilme momentinin yarattığı normal gerilmeler: Süperpozisyon kuralı kullanılarak, C noktasındaki toplam gerilme bulunabilir, dikkate edilirse, kesme gerilmesi sıfırdı: