t International Conference on Engeneering Technology and Applied Science Afyon Kocatepe Univerity, Turkey 2-22 April 206 Kaotik Bir Sitemin Çıkış İşaretinin Ayrık Zaman Durum Geri Belemeli Kontrol Yöntemine Dayalı Genetik Tabanlı Optimal Kontrolü Aydın Mühürcü,* -Ercan Köe 2 ÖZET: Bu çalışmada, doğrual olmayan denklemlere ahip bir kaotik oilatörün durum değişkenlerinin referan tabanlı optimal kontrolü ele alınmıştır. Değişkenleri kontrol edilecek kaotik oilatör olarak Loren kaotik itemi eçilmiştir. Sö konuu itemin kontrolü için, ayrık aman durum geri belemeli kontrol yöntemi kullanılmıştır. Ayrık aman kontrolör parametrelerinin optimiayonu, genetik algoritma yöntemi kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Genetik algoritmanın (GA) kullanılmaı ile kontrol ürecinde doğruallaştırma noktaı göetmeden giriş referan değeri aralığı için optimum kontrolör parametreleri elde edilmiştir. Çalışma, Matlab-Simulink benetim ortamında gerçekleştirilmiştir. Kapalı çevrim durum geri belemeli kontrol itemi uygun bir örnekleme periyodu kullanılarak ayrıklaştırılmıştır. Daha onra bu algoritma yaılım kodlarına çevrilerek, Matlab-OptimTool GUI üerinden genetik optimiayonu ağlanmıştır. Benetim onuçları, önermiş olduğumu değişken giriş referanlı optimal kontrol yönteminin doğrual olmayan kaotik itemler için uygulanabileceği götermiştir. Anahtar Kelimeler: Durum Geri Beleme, Ayrık Zaman, Optimiayon, Loren, Kaotik Sitem, Dinamik Davranış, GİRİŞ Kao inyalleri, frekan ekeninde geniş bir alana yayılmış olan ve peryodik olmayan, fakat kendi içinde bir düeni olan alınımlardır. Kao inyallerinin dinamik davranışları, başlangıç koşullarına önemli ölçüde bağlıdır []. Kao inyallerinin literatürde incelenmei iki temel noktaya dayanmaktadır. Bu noktalardan birii, kao inyallerini olumu birer davranış olarak görülüp yok edilmei için yapılan çalışmalardır. Diğer bir nokta ie, kao inyal davranışlarını olumlu olarak görüp, diğer itemlerin çöümlenmei, yorumlanmaı ve geliştirilmei gibi bir çok kullanım alanı için yapılan çalışmalar olarak değerlendirilebilinir [2]. Her iki durum için literatürde pek çok çalışma yapılmıştır. Kaoun olumu olarak görüldüğü itemlerde genel olarak bir gürültü olarak düşünülmüş ve yok edilmei gereken bir davranış olarak değerlendirilmişdir. Örneğin bir kilimanın dış ünitei üerindeki fan motorunun pervane kanat gürültüü, bir el kurutucuunun titreşim gürültüü gibi pek çok kaynağın oluşturduğu gürültü davranışları geniş bir frekan aralığına yayılmış kaotik gürültü olarak düşünülebilmektedir. Örneğin, Lei ve arkadaşları duffing tipi oilatördeki çatallanmaya bağlı kao gürültüünü detaylı olarak tartışıp incelemişlerdir [3]. Kaoun olumlu olarak değerlendirildiği uygulamaların başında ie güvenilir haberleşme gelmektedir. Günümüde en önemli haberleşme problemlerinden birii olan güvenilir haberleşme için, veriler çok kolay olarak kao inyalleriyle kodlanabilmektedir. Örneğin Haan, gürültülü bir kamu kanalında iletişim için güvenli bir kaotik düen önerilmiştir [4]. Kao için diğer önemli bir çalışma alanı ie, kaoun kontrol edilmeidir. Yani, kaoun belli davranışlara orlandığı veya yok edilmeye çalışıldığı durumlardır. Kao inyallerinin yok edilmei veya belli bir denge noktaına oturtulmaı için çok ayıda algoritma ve kontrol yöntemi geliştirilmiştir. Behara ve diğerleri aktif gürültü kontrolü için yapay inir ağı kullanmışlardır [4]. Gholipour ve arkadaşları kao kontrol için çok amaçlı backtepping kontrolör geliştirmişlerdir [5]. Ontañón-García ve arkadaşları karalı bir denge noktaı için, Loren itemine bir geri beleme kontrolünün uygulamışlardır [6]. Khanear ve diğerleri kaoun kontrolü ve enkroniayonu için fuy kontrol geliştirmişlerdir [7]. Köe, ürekli amanlı Shimiu-Morioka kaotik itemi için paive kontrol ve kayan kipli kontrol yöntemlerini uygulamıştır [8]. Bhalekar, kaoun enkroniayonu için aktif kontrol kullanmıştır [9]. Kontrolörlerin çok iyi bir performan götermei için, optimal noktalarda çalıştırılmaları gerekir. Bunu ağlamak için kontrolörlerin parametreleri optimiayon algoritmalarıyla heaplanmaktadır. Örneğin, Karer ve arkadaşları PID kontrolörün parametrelerini heaplarken parçacık ürü optimiayonu algoritmaını kullanmışlardır [0]. Bir başka çalışmada ie, Köe ve arkadaşları kayan kipki kontrolörün katayılarını bulurken genetik algoritma kullanmışlardır []. Bu çalışmada, kapalı çevrim durum geri belemeli kontrol iteminin optimiayonu için, genetik algoritma kullanılmıştır. Genetik algoritmaların, temel ilkeleri ilk ke Holland tarafından ortaya atılmıştır. Holland, evrim yaalarını genetik algoritmalar için kullanmıştır. Genetik algoritma, her hangi bir problemlere karşı, birbirinden tamamen bağımı olan bir çöüm kümei önerir. Problem için olaı pek çok çöümü temil eden bu küme genetik algoritma terminolojiinde popülayon adını alır. Popülayonlar vektör, kromoom veya birey adı verilen ayı diilerinden oluşur. Birey içindeki her bir elemana gen adı verilir. Popülayondaki bireyler evrimel üreç içinde genetik algoritma işlemcileri tarafından belirlenirler [2].
2 LORENZ SİSTEMİNİN MATEMATİKSEL OLARAK MODELLENMESİ Bu çalışma da kullanılan, Loren kaotik iteme ait matematikel ifadeler Eşitlik-'de verilmiştir []. Burada x, y ve durum değişkenlerini göterirken, a, b, c ie birer poitif abit ayıdır. dx a( y x) dy cx x y d xy b () Eşitlik-'de verilmiş olan Loren kaotik itemindeki durum değişkenlerinin kontrolü için, bir kontrolör eklenire (Uxy) ve itemin Laplace dönüşümü uygulanıra Eşiktik-2 elde edilir. X ay ax U x Y cx X Z( ) Y( ) U Z( ) X Y( ) bz( ) U y (2) Bu çalışmada, parametreleri birbirinden farklı 3 durum uay kontrolörünün, Loren oilatörüne ait 3 durum değişkeninin kontrolü amacıyla kullanılmıştır. Kontrol işareti, durum değişkenlerine integral operatöründen önce entegre edilmiştir. Loren doğrual olmayan oilatörüne ait yapı ve bu yapının içine uyarlanmış kontrolörün blok diyagramı Şekil 'de verilmiştir. Şekil.. MATLAB/SIMULINK içeriindeki Loren kao kontrol modeli Şekil 'de görünen -domeni integral operatörleri yönteminden yararlanılarak -domenine dönüştürülmüştür. Eşitlik-3'de verilmiş olan operatör ile (ileri fark yöntemi) ö konuu dönüşüm gerçekleştirilmiştir. Burada, T örnekleme periyonu götermektedir [3]. ( ) (3) T Durum değişkenleri geri beleme yöntemine dayalı kontrol yöntemi Şekil 2'de ayrıntılı bir biçimde verilmiştir. Şekil de kullanılmış olan, anahtarın görevi belirlenen aman aralığı için kontrolcüyü etkin hale getirmek içindir. Şekil. 2. Geliştirilen kritik anahtar 3 GENETİK ALGORİTMA Doğal eçilim ilkeinden yararlanılarak geliştirilen genetik algoritma, Holland tarafında 975 yılında geliştirilmeinden onra bir çok mühendilik uygulamaında başarılı bir şekilde kullanılmış olan bir arama yöntemidir. Standart bir GA'da onuçlar eşit boyutlu vektörlerle ifade edilir. Başlangıçda, kromoon olarak adlandırılan bu vektörlerin bir grubunda popülayon oluşturulur. Daha onra, bu kromoomlar yeni neilleri üreterek değişikliğe uğrarlar. Amaç fonkiyonuna göre heaplanan onuçlara göre kromoomların durumu değerlendirilir. Amaç fonkiyonu değerleri iyi olan kromoomlar kalırken diğerleri elenir. Bir onraki neil oluşturulurken kromoomlar, yeniden üretilebilir, çapralanır ve mutayona uğratılır. Kromoomların şifrenlenmei yani ayıal olarak kodlanmaı için farklı yöntemler kullanılmaktadır. Bu kodlanma olayı problemlere göre değişiklik göterebilmektedir. Toplumdaki birey ayıı genel olarak 00-300 aralığındadır. Uygunluk fonkiyonu kromoomun ne kadar iyi olduğunu bulmamıı ağlar. Kromoomların uygunluğunun bulunmaı olayına evrimleşme denir. Genetik algoritmanın başarılı olmaı uygunluk fonkiyonun haaiyetine ve verilliğine bağlıdır. Yani, uygunluk fonkiyonu genetik algoritmanın başarıında kilit noktayı oluşturur. Seçilen kromolar eşlenerek yeniden kopyalama ve değiştirme işlemleri gerçekleştirilir. Yeniden kopyalama genetik bilginin aktarılmaını ağlar ve çapralama olarak adlandırılır. Değiştirme ie mutayon olarak değerlendirilebilinir. Yeni kromoomlara yer açmak için eki olanlar çıkartılarak toplumun abit kalmaı ağlanır. İşlemler tekrarkanarak daha iyi neiller oluşturulmaya çalışılır. Her tekrarlama iterayon olarak adlandırılır. Sonuçta, en iyi bireylerin bulunduğu bir toplum elde edilmiş olur. Biim çalışmamıdaki bu işlemler Şekil 3'de göterilmiş olan genetik algotirma akış diyagramı kullanılarak gerçekleştirilmiştir [4].
Yaılım kodlarına dönüştürme işlemi, doğrudan programlama yöntemi kullanılarak gerçekleştirilmiştir [5]. 4 OPTİMİZASYON SONUÇLARI Genetik algoritmanın önemli parametreleri Tablo 'de verilmiştir. Tablo. GA parametreleri Populayon büyüklüğü 2000 Fitne Scaling Rank Sınır [0.2;20000] Başlangıç aralığı [0.2;20000] Seçim fonkiyonu Rulet Mutayon fonkiyonu Gauian Shrink:0.0 Genetik değişim Bağımlı kııtlama Neil 000 Fitne limit e-5 Fonkiyon toleranı e-5 Şekil. 3. GA akış diyagramı Şekil 3 de verilmiş olan GA yapıı, Matlab- Optimtool içeriinde koşturularak durum geri beleme dayalı kontrolör parametreleri optimie edilmiştir. Optimiayon ürecinde her bir durum değişkeni için ayrı bir kontrolör düenlenip parametreleri bağımı olarak optimie edilmiştir. Aşağıda, X durum kontrolü ağlanabilmei amacıyla koşturulan GA'nın Kx parametreine ait optimiayon üreci yanıtılmıştır, Şekil 4 ve 5'de verilmiştir. Bu çalışmada, GA için integrallenmiş karael hata (ISE) fonkiyonu amaç fonkiyonu olarak eçilmiştir, Eşitlik-4. n 2 Iie k e k k 0 (4) Şekil 3'de verilmiş olan yapı Matlab-Optimtool GUI içeriinde koşturulmuştur. Bu yöntemde, parametreleri optimie edilecek item GUI içeriine ayrık aman yaılım kodları biçiminde aktarılmalıdır. Bunun için hibrit amalı oilatör ve kontrolcü denklemleri ayrık aman denklemlerine dönüştürülür, Eşitlik-5. Dönüşüm onraı denklem takımı yaılım kodlarına çevrilir. X ( ) T ay ( ) ax ( ) Ref ( ) K ref X * ()K * ( ) * x Y K y Z K (5) Y ( ) T cx ( ) X ( ) Z ( ) Y ( ) Z ( ) T X ( ) Y ( ) bz( ) Şekil 4. G x ()'nin optimiayon üreci fitne değişimi Şekil 5. G x ()'nin optimiayon üreci K x değişimi GA optimiayon onucunda elde edilen uygunluk fonkiyon değerleri ve durum kontrolör katayı değerleri ayrıntılı olarak Tablo 2'de yanıtılmıştır.
Tablo 2. Uygunluk fonk. ve durum kontrolör katayı değerleri Durum Kontrolü K ref K x K y K Uygunluk F. değeri X 297.8 289.4 9.8 0.2 268.5e-06 Y 2560.2 302.6 47.9-22.4 489.0 Z 388.3 5.6 -.0 385.4.77 6 BENZETİM SONUÇLARI Bentim onuçları Şekil 6, 7, ve 8de yanıtılmıştır. Şekil 6'da adece X durum değişkeni için U x () kontrol işareti kullanılarak X, Y ve Z durum değişkenlerinin değişimleri yanıtılmıştır. X durum değişkeni 40 referan değeri için kontrol altına alınmıştır. 25. aniyede kontrol işaretinin devreye girmeiyle X durum değikeni 0.02 aniye içinde referana dayalı %'lik hata bandı içeriinde eyretmiştir. X durumu kontrol ürecinde, Loren kaotik itemindeki X,Y ve Z durum değişkenlerinin amana bağlı değişimleri Şekil 6'da ayrıntılı olarak yanıtılmıştır. Ayrıca, amana bağlı bu değişimlere göre Loren kaotik iteminin XY fa portrei değişimi de Şekil 6.d'de yanıtılmıştır. Diğer iki kontrol deneyiminde de adece Uy() ve U() kontrol işaretleri için Loren doğrual olmayan itemin durum değişkenleri kontrolü gerçekleştirilmiştir, Şekil 7 ve Şekil 8. Kontrol işaretleri 25.n'de erbet bırakılmıştır. Y durum değişkeni 30 referan değerine dayalı; Z durum değişkeni ie 80 referan değerine dayalı kontrol edilmiştir. Ayrıca, kontrol üreci içeriinde oluşan YZ ve XZ işaretlerine ait 2D fa portreleri de yanıtılmıştır, Şekil 7.b ve Şekil 8.b. (a) Y-durum değişkeni (a) X-durum değişkeni (b) YZ-durumu fa portrei Şekil 7. Ref_y=30 ve kontrol başlangıcı 25.n (b) Y-durum değişkeni a) Z-durum değişkeni (c) Z-durum değişkeni b) XZ-durumu fa portrei Şekil 8. Ref_=80 ve kontrol başlangıcı 25.n 7 SONUÇLAR (d) XY-durumu fa portrei Şekil 6. Ref_x=40 ve kontrol başlangıcı 25.n Bu çalışmada doğrual olmayan denklemlere ahip Loren kaotik iteme ait çıkış değişkenleri, modern kontol algoritmalarından olan durum geri belemeli kontrol yöntemi kullanılarak kaotik itemin durum değşkenlerinin değişken referanlı optimum kontrolü başarılmıştır. Durum geri beleme katayıları, GA kullanılarak heaplanmıştır. GA, belirlenmiş olan
referan aralığı için optimum kontrolör parametrelerini heaplayabilmiştir. Böylece, değişken giriş referanı için minimum ürede minimum toplam kareel hata ile doğrual olmayan item çıkışları, referan değeri ileyebilmiştir. REFERENCES [] Edward N., Loren., (963). Determinitic non periodic flow. J. Atmo. Sci., vol. 20 (2), p. 30 4. [2] Youming, Lei., Yong, Yang., Rui Fu., Yanyan, Wang., (206). Dichotomou-noie-induced chao in a generalied Duffing-type ocillator with fractional-order deflection. Journal of Sound and Vibration, vol.363, p. 68-76. [3] Mohamed F., Haan., (206). Synchroniation of uncertain contrained hyperchaotic ytem and chao-baed ecure communication via a novel decompoed nonlinear tochatic etimator. Nonlinear Dynamic, vol.83(4), p. 283-22. [4] Behera, S.K., Da, D.P., Subudhi, B., (204). Functional link artificial neural network applied to active noie control of a mixture of tonal and chaotic noie. Applied Soft Computing, vol. 23, p. 5 60. [5] Gholipour, R., Khoravi, A., Mojallali, H., (205). Multi-objective optimal backtepping controller deign for chao control in a rod-type plama torch ytem uing bee algorithm. Applied Mathematical Modelling, vol. 39, p. 4432 4444. [6] Ontañón-García, L.J., Campo-Cantón, E., (203). Preervation of a two-wing Loren-like attractor with table equilibria. Journal of the Franklin Intitute, vol.350, p. 2867 2880. [7] Khanear, M.A., Tehnehlab, M., Kaynak, O., (202). Control and ynchroniation of chaotic ytem uing a novel indirect model reference fuy controller. Soft Computing, vol. 6, p. 253-265. [8] Köe, Ercan., (205). Controller Deign by uing Sliding Mode and Paive Control Method for Continuou Time Non-Linear Shimiu-Morioka Chaotic Sytem. International Journal of Engineering Innovation & Reearch, vol. 4(6), p. 895-902. [9] Bhalekar, S., (204). Synchroniation of incommenurate non-identical fractional order chaotic ytem uing active control. The European Phyical Journal Special Topic, vol. 223, p.495-508. [0] Karer, Gorad., Skrjanc, Igor., (206). Intervalmodel-baed global optimiation framework for robut tability and performance of PID controller. Applied Soft Computing, vol. 40, p. 526-543. [] Ercan, Köe., Kadir, Abacı., Hakan, Kıma., Saddettin, Akoy, Mehmet Ali, Yalçın., (203). Sliding Mode Control Baed on Genetic Algorithm for WSCC Sytem Include of SVC. Elektronika Ir Elektrotechnika, vol. 9 (4), p. 9-24. [2] http://tr.wikipedia.org [3] Fadali, M.S., Viioli A. (2009). Digital control engineering. p. 9-50, Academic Pre. [4] Vaif V., Nabiyev., (200). Yapay Zeka İnan- Bilgiayar Etkileşimi. Seçkin Yayıncılık, p. 586-590. [5] Nebojša, V. Stojković, Predrag, S. Stanimirović., (200). Two direct method in linear programming. European Journal of Operational Reearch, vol. 3 (2), p. 47 439. Author addree Aydın Mühürcü, Department of Electrical and Electronic Engineering, Sakarya Univerity, 5487, Turkey, amuhurcu@akarya.edu.tr 2 Ercan Köe, Department of Mechatronic Engineering, Merin Univerity, 33480-Taru, Turkey, +90.324.6274804, ekoe@merin.edu.tr Contact peron * Aydın Mühürcü, Department of Electrical and Electronic Engineering, Sakarya Univerity, 5487, Turkey, amuhurcu@akarya.edu.tr