TRAKA ÜĐVERSĐTESĐ FE BĐLĐMLERĐ ESTĐTÜSÜ Fehi EKĐCĐ TRAKA ÜĐVERSĐTESĐ FE EDEBĐAT FAKÜLTESĐ MATEMATĐK BÖLÜMÜ ÜKSEK LĐSAS TEZĐ AALĐZ VE FOKSĐOLAR TEORĐSĐ AABĐLĐM DALI 8 EDĐRE Tez öeicisi: rd. Doç. Dr. Musafa TELCĐ
TRAKA ÜĐVERSĐTESĐ FE BĐLĐMLERĐ ESTĐTÜSÜ FUZZ ORMLU UZALAR Fehi EKĐCĐ ÜKSEK LĐSAS TEZĐ AALĐZ VE FOKSĐOLAR TEORĐSĐ AABĐLĐM DALI Tez öeicisi: rd. Doç. Dr. Musafa TELCĐ 8 EDĐRE
TRAKA ÜĐVERSĐTESĐ FE BĐLĐMLERĐ ESTĐTÜSÜ FUZZ ORMLU UZALAR Fehi EKĐCĐ ÜKSEK LĐSAS TEZĐ AALĐZ VE FOKSĐOLAR TEORĐSĐ AABĐLĐM DALI Bu ez / /8 arihide aşağıdaki jüri arafıda kabul edilişir. Prof. Dr. Hüla ĐŞCA Üe rd. Doç. Dr. Musafa ÇALIŞKA Üe rd. Doç. Dr. Musafa TELCĐ Daışa
i ÖZET Dör bölüde oluşa bu çalışada fuzz erik uzalara bir giriş apılış klasik erik uzalara has bazı özellikler fuzz orlu uzalara geişleilişir. Birici bölüde kouu arihsel gelişii ile ilgili kısaca bilgi verildi. Đkici bölüde George ve Veeraai i aılaış olduğu fuzz erik uzalar ile ou bazı özellikleri iceledi. Üçücü bölüde Saadai ve Vaezpour arafıda oluşuruluş ola fuzz orlu uzalar kavraı iceledi ve ou bazı özellikleri araşırıldı. Dördücü bölüde fuzz orlu uzalar üzeride aılaış ola foksiolar içi sabi oka eoreleri verildi ve Ishikawa ieraso dizisi ile zaıf bağdaşık foksioları sabi okaları elde edildi.
ii SUMMAR I his work which cosiss of four pars a iroducio o fuzz eric spaces has bee sudied ad soe properies which belog o eric spaces are eeded o fuzz ored spaces. I he firs par hisorical aspec of he subjec has bee give. I he secod par soe properies of fuzz eric spaces defied b George ad Veeraai have bee aalsed. I he hird par fuzz ored spaces which were pu ogeher b Saadai ad Vaezpour have bee sudied. I he fourh par firs he fied poi heore for fuzz ored spaces is give he usig Ishikawa ieraio sequece ad fied pois for weakl copaible fucios have bee obaied.
iii ÖSÖZ Bu çalışaı oraa çıkasıda bede ardılarıı deseğii sabrıı ve bilgisii esirgeee değerli Hoca rd. Doç. Dr. Musafa TELCĐ e değerli avsieleride ararladığı ezi gerçekleşeside büük deseğii gördüğü Traka Üiversiesi Fe-Edebia Fakülesi Maeaik Bölüü Başkaı Prof. Dr. Hüla ĐŞCA a ve her a aıda olup ardııı eksik eee eşi Işıl EKĐCĐ e e içe eşekkürlerii suarı. Fehi EKĐCĐ
ĐÇĐDEKĐLER ÖZET...i SUMMAR...ii ÖSÖZ... iii. BÖLÜM / GĐRĐŞ.... BÖLÜM / FUZZ METRĐK UZALARA GĐRĐŞ...3 3. BÖLÜM / FUZZ BAACH UZALARI...3. Fuzz orlu Uzalar...3. Fuzz orlu Uzalarda Dizileri akısaası... 3. Fuzz orlu Uzalarda Süreklilik...5 4. Fuzz orlu Uzalarda Sıırlı Küeler...7 5. Fuzz Baach Uzaı...3 6. Bölü Uzaları...35 7. Fuzz orlu Uzalarda Sıırlı Doğrusal Döüşüler...39 8. Fuzz orlu Uzalarda Doğrusal Döüşüler Đçi Kapalı Grafik Teorei..44 9. Fuzz orlu Uzalarda Doğrusal Topolojik Eşapı Döüşüleri...47. Fuzz orlu Uzalar Üzeride Dek orlar...49. Solu Boulu Fuzz orlu Uzalar...5 4. BÖLÜM / FUZZ ORMLU UZALARDA SABĐT OKTA TEOREMLERĐ...58. Foksioları Sabi okaları...58. Zaıf Bağdaşık Döüşüleri Sabi okaları...59 3. Fuzz orlu Uzalarda Ma ve Ishikawa Đerasoları...63 KAAKLAR...67 ÖZGEÇMĐŞ...69
. BÖLÜM GĐRĐŞ boşa farklı herhagi bir küe olak üzere [ ] biçiideki foksioa bir fuzz küe (bulaık küe) deir. 965 de Zadeh arafıda aılaa ve aksioaik apısı oluşurula fuzz küeler eorisi bilii birçok dalıda öeli ugulaa alaları buluşur. Bua paralel olarak aeaiği birçok dalıda da fuzz küeler ardııla öeli birçok souç ve geelleeler elde edilişir. Elde edile öeli souçlarda bir kısı fuzz erik uzalarla ilgilidir. Bu zaaa kadar değişik ollarla fuzz erik uzalar aılaarak olar üzeride çeşili souçlar elde edilişir. Özellikle Meger (94) arafıda veriliş ola olasılık erik uzalar kavraı Kraosil ve Michalek (975) arafıda geelleşirilerek fuzz erik uzalar oluşuruluşur. Daha sora George ve Veeraai (994) Kraosil ve Michalek i fuzz erik kavraı üzeride bir akı özel değişiklikler aparak fuzz erik uza üzeride Hausdorff ve Birici Saılabile Aksiouu sağlaa bir Topoloji i oluşuruşlardır. Buda soraki çalışalarda George ve Veeraai i apış olduğu fuzz erik uzalar aııla güüüze kadar birçok öeli souç elde edilişir. Bir vekör uzaı üzeride fuzz or ilk olarak Kasaras (984) ve sora Felbi (99) arafıda aılaışır. Cheg ve Mordeso (994) Kraosil ve Michalek ipideki fuzz erik uzalarla uulu bir fuzz oru farklı bir aııı aparak değişik bir aklaşı geirişir. Bu çalışada George ve Veeraai i fuzz erik uza aııla uulu Saadai ve Vaezpour u (5) aıladığı fuzz orlu uzalar göz öüe alıarak fuzz orlu uzalarda dizileri akısaası süreklilik sıırlı küeler Baach uzaları bölü uzaları sıırlı doğrusal döüşüler ve sıırlı doğrusal döüşüler içi kapalı grafik eorei doğrusal opolojik eşapı döüşüleri dek orlar ve solu boulu uzalar iceleişir.
Tezi so bölüüde fuzz orlu uzalarda foksioları sabi okaları çalışılışır. Đlk olarak fuzz orlu uzalarda aılı iki zaıf bağdaşık döüşü içi orak sabi okalarıı varlığıı ve ekliğii içere Chugh ve Rahi i (5) eorei verilişir. Đkici olarak da bir fuzz orlu uzaı kapalı koveks bir al küeside aılı iki foksiou Ishikawa ierasou ardııla oluşuruluş ola dizi ile sabi okalarıı hagi koşullarda var ve ek olduğu araşırılışır.
3. BÖLÜM FUZZ METRĐK UZALARA GĐRĐŞ Bu bölüde George ve Veeraai i (994) aılaış olduğu fuzz erik uzalar göz öüe alıacak ve gerekiği kadarıla George ve Veeraai alaıdaki fuzz erik uzaı bazı özellikleri iceleecekir.. FUZZ METRĐK UZALAR.. Taı (Schwizer ve Sklar 96). Bir :[ ] [ ] [ ] verilsi. Eğer işlei (i) (ii) Birleşeli ve değişeli Sürekli (iii) [ ] (iv) a içi a a a c ve ikili işlei b d özelliğii sağlaa her a b c d [ ] içi a b c d koşullarıı sağlıorsa işleie sürekli -or deir... Örek. a b a. b a b i( a b) ve a b a( a+ b ) biçiide aılaa işlelerii her biri sürekli -ordur...3 o. (i) b [ ] a içi a b a ve b dir. (ii) Eğer [ ] biçide bir α saısı vardır. A ve A β sup ise ε [ β) içi ε β α olacak Kaı. (i) ( :) a b olsu.
4 dır. [ ] a b a a a olduğuda a dir. Bezer biçide dir. [ ] dir. b olduğuda b dir. ( ) a b b b : a ve b a b (ii) eerlidir. ε β < β β olduğuda kaı içi α [ ε β β] A seçek..4 Taı (George ve Veeraai 994). boş olaa herhagi bir küe işlei sürekli bir -or ve M de ( ) Eğer M her z ve s> içi (i) ( ) > M (ii) M ( ) (iii) M ( ) M( ) (iv) M ( ) M( z s) M( z + s) (v) ( ) :( ) [ ] M sürekli üzeride bir fuzz küe olsu. koşullarıı sağlıorsa M e üzeride bir fuzz erik ve ( M ) üçlüsüe de fuzz erik uza deir. Burada M ( ) olarak orulaabilir. i alaı e göre ve arasıdaki akılığı derecesi alısı...5 Örek (George ve Veeraai 994). IR olsu ve z ve ( ) içi M ( ) biçiide aılası. O zaa ( M ) bir fuzz erik uzadır. e a b a. b
5..6 Örek (George ve Veeraai 994). ( d) bir erik uza olsu. [ ] a b içi a b a. b üzeride alısı. > olak üzere ( ) M d ( ) + d ( ) M d biçiide aılası. O zaa ( M ) d bir fuzz erik uzadır. Buradaki M d fuzz eriğie d eriği arafıda idirgee sadar fuzz erik deir...7 Örek (George ve Veeraai 994). I a b a. b alısı. Her > olak üzere alısı. b [ ] a içi M d ( ) biçiide aılası. O zaa ( M ) bir fuzz erik uzadır. d..8 Öeore. Her içi ( ) M azalaa bir foksiodur. Kaı. < s olsu. O zaa < s olduğuda..4 Taı (iv) de olur...4 Taı (ii) de dir. Burada ( ) M( s ) M( z s) M M buluur. ai M ( ) azalaadır. ( s ) ( ) M( s) M
6..9 o (George ve Veeraai 994). bir fuzz erik uza olsu. Her > ve < r < (i) ( M ) içi M( k) > r koşulu sağlaıorsa < biçide bir saısı vardır. (ii) r r r r ( ) ve M( ) > r < r 3 4 5 olak üzere r olacak r > içi r r3 r koşuluu sağlaa bir r 3 ve herhagi bir r 4 içi r5 r5 r4 olacak biçide bir r 5 buluabilir. olsu... Taı (George ve Veeraai 994). ( M ) bir fuzz erik uza < r < ve > olak üzere B ( r ) { : M( ) > r} küesie ( M ) fuzz erik uzaıda erkezli r arıçaplı açık uvar ve B [ r ] { : M( ) r} küesie de ( M ) fuzz erik uzaıda erkezli r arıçaplı kapalı uvar deir. içi B ( r ).. Taı. ( M ) bir fuzz erik uza ve A olsu. Eğer her A olacak biçide > ve < r < varsa ' uzaıda bir açık küe deir. A a ( M ) A fuzz erik.. Öere (George ve Veeraai 994). Fuzz erik uzalarda her açık uvar açık bir küedir. Kaı. < r < ve > olak üzere herhagi bir B ( r ) öüe alısı. Eğer B( r ) ise M( ) > r < < ve M( ) r olsu. O zaa buluabilir...9 o (ii) de > olacak biçide bir açık uvarı göz olacağıda..9 o (i) de saısı vardır. r M( ) r > r olduğuda r > s> r olacak biçide bir < s < Bu duruda B ( r ) B( r ) r r s eşisizliğii gerçeklee bir r ( ) vardır. dir.
7 Gerçeke herhagi bir z B ( r ) içi M ( z ) > r Taı (iv) de eşisizliği vardır. Bölece elde edilir. M ( z ) M( ) M( z ) M ( z ) r r s r Burada z B( r ) buluur. Bu ise B ( r ) olduğuu göserir. olur...4 açık uvarıı açık küe..3 Öere (George ve Veeraai 994). ( M ) bir fuzz erik uza olsu. O zaa τ M biçiide aılaa τ M ailesi içi { A : A > < r< B( r ) A } (i) Ø τ M ve τ M (ii) (iii) A... A τ M ise I A i i A koşulları sağlaır. { i } i I τ A τ M i elealarıı herhagi bir ailesi ise M U i I A τ i M Kaı. (i) (ii) Ø τ M ve τ M olduğu açıkır. A... A τ M olsu. Herhagi bir I A i i A alısı. O zaa her i... içi Ai olup Ai τ olduğuda < ri < B( ri i) Ai dir. r i{ r r... r } bir i... içi B( r ) B( ri i) Ai M ve {... } i... içi > ve i i alıdığıda her buluur. Gerçeke B( r ) r M( ) olur ve burada r r< M( ) M( ) < i i B( ) olduğuu göserir. Souç olarak ( ) I B r r i i ise elde edilir. Bu ise olup I A i i A i i τ dir. M
8 τ (iii) { Ai} M τ olsu. U A i alıdığıda i I vardır Ai olur. i I Ai M olduğuda B( ri i) Ai B ( ri i) Ai U i I i i I olacak biçide r < > vardır. Burada U A olacağıda Ai τ M dir. i I < i i..4 Souç. ( M ) bir fuzz erik uza ise..3 Öereside aılaa τ M ailesi üzeride bir opolojidir...5 o. Her bir içi B :... ailesi de bir koşuluk abaı olduğuda ukarıdaki opoloji birici saılabilirdir...6 Teore (George ve Veeraai 994). ( M ) bir fuzz erik uza olsu. O zaa de her V açık küeleri vardır. içi ai her fuzz erik uza bir Hausdorff uzaıdır. U V ve U V Ø olacak biçide U ve Kaı. ( M ) bir fuzz erik uza olsu. olak üzere herhagi iki içi < M ( ) < dir. O zaa r M( ) olarak alıırsa < r < olur. r < r < eşisizliğii sağlaa her r içi..9 o (ii) de r r r olacak biçide bir r buluabilir. açık uvarları göz öüe alıdığıda U B r ve V B r B r B r dir. Gerçeke eğer bu arakesi boş küe olasadı olacak biçide bir z B r B r z buluurdu. Burada Ø
9 z B r ve z B r olacağıda ve olurdu...4 Taı (iv) de M z > r ( r) M z > r ( r) r M > olurdu ki bu ise bir çelişkidir. Bu duruda dir. ( ) M z M z r r r r B r B r Ø ve M..7 Teore (George ve Veeraai 994). ( M ) bir fuzz erik uza τ fuzz erik arafıda idirgee bir opoloji olsu. O zaa deki bir { } dizisii bir ( ) M olasıdır. e akısaası içi gerekli ve eerli koşul içi Kaı. ( :) Sabi bir > alısı ve olsu. O zaa her bir < r < içi I vardır ( ) r M < olur. Bölece içi B( r ) dir. Burada M( ) > r içi ( ) M buluur. ve ( ) : Her bir > içi ike ( ) her < r < içi I vardır ( ) > r olur. Bu ise B( r ) M M olsu. O zaa verile içi M( ) < r ai olduğuu göserir. O halde dir.
..8 Taı (George ve Veeraai 994). { } bir ( M ) fuzz erik uzaıda bir dizi olsu. Eğer her < ε < > içi I içi M ( ) > ε oluorsa { } dizisie fuzz erik uzada bir Cauch dizisi deir. Eğer bir fuzz erik uzaıdaki her Cauch dizisi uzadaki bir okaa akısar ise bu fuzz erik uzaa a fuzz erik uza deir...9 Souç (George ve Veeraai 997). Sadar ( M ) fuzz erik uzaıı a olası içi gerekli ve eerli koşul ( d) erik uzaıı a olasıdır. d Kaı. ( :) ( M ) sadar fuzz erik uzaı a ve { } de ( d) d erik uzaıda bir Cauch dizisi olsu. O zaa ε > içi I içi ( ) < ε d dur. Sadar fuzz erik aııda ve > içi M d ( ) + d olduğuda < r < koşuluu sağlaa her r içi dir. ai { } dizisi ( M d ) M d ( ) > r > ( ) + ε sadar fuzz erik uzaıda Cauch dizisi olur. ( M ) fuzz erik uzaı a olduğuda { } d okasıa akısar. Bölece buluur. Bu ise ( d) ( ) Cauch dizisi de bir li M d( ) li li d + d ( ) erik uzaıda ike olduğuu göserir. O halde ( d) adır. bir { } ( :) ( d) erik uzaı a olsu. ( M ) sadar fuzz erik uzaıda Cauch dizisi alısı. O zaa < r < > içi I vardır içi M ( ) > r d d dir. Sadar erik aııda
olur. Bölece M ( ) d > r + d ( ) r ε olarak alıdığıda ε > ve r buluur. ai { } dizisi ( d) { } dizisi de bir okasıa akısar. dir. içi d ( ) < ε erik uzaıda Cauch dizisidir. a olduğuda li M d( ) li + d ( ) ai { } dizisi ( M d ) uzaıda okasıa akısar. Şu halde ( M d ) sadar fuzz erik uzaı adır... Teore (Lopez ve Roaguera 4). ( M ) bir fuzz erik uza olsu. O zaa M ( ) üzeride sürekli bir foksiodur. Kaı. > olak üzere ( ) okasıa akısaa bir dizi olsu. { M ( )} ( ] { } ( ) üzeride ( ) aralığıda bir dizi olduğuda { M ( )} ( ] aralığıda akısak olacak biçide {( )} {( )} al dizisi vardır. i bir δ > olacak biçide sabi bir δ > alalı. O zaa içi < δ olacak biçide bir I vardır. Bölece içi ve buluur. M M δ ( ) M( δ) M M( δ) M δ ( + δ) M( + δ) M M( ) M içi sırasıla lii alıdığıda δ δ
li M ( ) M( δ) M( δ) ve elde edilir. M( ) ( + δ ) li M( ) li M( ) M sürekli bir foksio olduğuda dolaı buluur. Bu ise bize M i ( ) ( ) li M( ) M da sürekli olduğuu göserir.
3 3. BÖLÜM FUZZ BAACH UZALARI Fuzz erik uzalarda olduğu gibi; bir vekör uzaı verildiğide ou üzeride değişik ollarla fuzz orlar aılaışır. Bulara örek olarak Kasaras (984) Felbi (99) Cheg ve Mordeso (994) ve Saadai ve Vaezpour u (5) apığı aılar göserilebilir. Bu bölüde de George ve Veeraai i fuzz erik uzalar içi apış olduğu aıa paralel olarak Saadai ve Vaezpour u aılaış olduğu fuzz orlu uzalar göz öüe alıacakır. 3. FUZZ ORMLU UZALAR 3.. Taı (Saadai ve Vaezpour 5). bir vekör uzaı döüşüü sürekli bir -or ve de ( ) küesi her ve s> içi (i) ( ) > (ii) ( ) (iii) Her üzeride bir fuzz küe olsu. Eğer fuzz α içi ( α ) α (iv) ( ) ( s) ( + + s) (v) ( ) :( ) [ ] sürekli (vi) li ( ) koşulları sağlaıorsa e vekör uzaı üzeride bir fuzz or ve ( ) üçlüsüe de fuzz orlu uza deir.
4 3.. Öeore. bir vekör uzaı üzeride bir fuzz or ise (i) ( ) her içi azalaa bir foksiodur. (ii) ( ) ( ) dir. Kaı. (i) ai ( ) azalaadır. < s olsu. k s > olduğuda ( ) ( ) ( ) ( k) ( s) (ii) ( ) ( ( )( ) ) ( ) uza olsu. 3..3 Öere (Saadai ve Vaezpour 5). ( ) bir fuzz orlu ( ) ( ) M biçiide aılaa M fuzz küesi üzeride bir fuzz erikir. Buradaki M fuzz eriğie fuzz oru arafıda idirgeiş fuzz eriği deir. Kaı. (i) M ( ) ( ) (ii) M ( ) ( ) (iii) M ( ) ( ) ( ) M( ) (iv) M ( ) M( z s) ( ) ( z s) (v) ( ) :( ) [ ] ( z s) + ( z s) M + sürekli olduğuda M ( ) :( ) [ ] O halde M bir fuzz erikir. i sürekliliği de açıkır.
5 3..4 o. Bu öerei soucu olarak; her fuzz orlu uzaı aı zaada bir fuzz erik uzaı olduğuu söleebiliriz. Her fuzz orlu uzada bir fuzz erik uza elde edilebildiğie göre her fuzz erik uzada bir fuzz orlu uza elde edilebilir i? Bu soruu cevabı vekör uzaı üzeride aılı her fuzz eriği içi doğru değildir. Acak bazı özellikleri sağlaa fuzz erik uzalar içi bu doğrudur. 3..5 Öere (Saadai ve Vaezpour 5). Bir ( ) fuzz orlu uzaı üzeride fuzz oru arafıda idirgeiş M fuzz eriği aşağıdaki özellikleri sağlar. Her z ve her α saısı içi (i) M ( + z + z ) M( ) (ii) M ( α α ) M α Kaı. (i) M ( + z + z ) ( ( + z) ( + z) ) ( ) ( ) M (ii) M ( α α ) ( α α ) ( ( ) α ) α M α
6 3..6 Öere. Bir vekör uzaı üzeride 3..5 Öeresideki (i) ve (ii) koşullarıı sağlaa fuzz erik M olsu. Eğer M içi li M( ) ( ) M( ) biçiide aılaa fuzz küesi üzeride bir fuzz ordur. ise Kaı. (i) ( ) M( ) > (ii) ( ) M( ) (iii) α olak üzere ( α ) M( α ) M( α α ) M α α (iv) ( + + s) M( + + s) M( + ) M( s) (v) ( ) :( ) [ ] ( + + ) M( s) M ( ) M( s) M ( ) ( s) M sürekli olduğuda ( ) :( ) [ ] sürekliliği de açıkır. (vi) li M( ) li ( ) Souç olarak ( ) vekör uzaı üzeride bir fuzz ordur. ( ) 3..7 Örek. ( ) içi bir orlu uza olsu. a b a. b alısı. ve ( ) olarak aılası. O zaa ( ) bir fuzz orlu uzadır. e
Kaı. (i) ( ) > e (ii) ( ) e e (iii) ( ) α ( ) α α α α α e e e (iv) ve > s içi + + olduğuda s s s + + + + buluur. Burada s s + + + elde edilir. Üsel foksiou özelliğide s s s e e e e. + + + olup s s e e e + + buluur. Burada ( ) ( ) ( ) s s + + eşisizliği elde edilir. 7
8 (v) süreklidir. e üsel foksiou sürekli olduğuda ( ) :( ) [ ] e (vi) li ( ) li O halde ( ) bir fuzz orlu uzadır. e 3..8 Örek. ( ) bir orlu uza olsu. b [ ] > olak üzere ( ) + a içi a b a. b ve biçiide aılaa döüşüü üzeride bir fuzz or olup ( ) bir fuzz orlu uzadır. Bua oru arafıda idirgeiş sadar fuzz oru deir. Kaı. + (i) ( ) > + + (ii) ( ) (iii) ( α ) ( α ) + α + α α α + α (iv) ve s> olsu. oru + + özelliği kullaıldığıda
9 ( ) ( s) + s s+. s + s s+ ( + )( s+ ) + s+ s+ + ( + s) ( + s) + ( + s) + ( + s) + ( + s) ( + s) + ( + s)( + ) ( + s) ( + s)( + s+ + ) + s + s+ + ( + s) + (v) ( ) :( ) [ ] foksiouu sürekli olduğu açıkır. + (vi) li ( ) li O halde ( ) bir fuzz orlu uzadır. Daha öce fuzz erik uzalarda aılaa açık uvar ve kapalı uvar aıları fuzz orlu uzalara aşağıdaki gibi uarlaır. 3..9 Taı. ( ) bir fuzz orlu uza olsu. > < r < ve olak üzere erkezli r arıçaplı B ( r ) açık uvarı ve B [ r ] biçiide aılaır. B ( r ) { : ( ) > r} B [ r ] { : ( ) r} kapalı uvarı
α 3.. Öere (Sadeqi ve Kia 7). ( ) fuzz orlu uza ve ( ) > olak üzere ise dir. a) B ( α ) + B( α ) b) B ( α ). B( α) B ( α ) { : ( ) > α} c) B( α ) B( α ) d) α α B ( α ) B( ) α Kaı. a) + B( α ) + { : ( ) > α} { + : ( ) > α} { z : ( z ) > α} ( α ) B b) B ( α) { : ( ) > α} { : ( ) > α} : > α { : ( ) > α} ( α ) B olduğuda dir. Burada c) olsu. B( α ) ise ( ) IR de azalaa foksio ( ) ( ) α < B ( α )
dir. O halde dir. ( α ) B( α ) B dir. Burada dir. O halde dir. α olsu. B( α ) d) α ise α < α < ( α ) B ( ) ( α ) B( ) α α B α
3. FUZZ ORMLU UZALARDA DĐZĐLERĐ AKISAMASI Fuzz oru arafıda idirgee fuzz erik ve..7 Teorei göz öüe alıdığıda fuzz orlu uzalarda dizileri akısaklığı aşağıdaki biçide aılaır. 3.. Taı. { } bir ( ) Eğer her > içi oluorsa { } dizisi ( ) biçiide göserilir. fuzz orlu uzaıda bir dizi ve olsu. ( ) li fuzz orlu uzaıda e akısar deir ve li 3.. o. { } bir ( ) zaa { } i liii ekir. fuzz orlu uzaıda akısak bir dizi ise o Kaı. ve olsu. O zaa olur. Liie geçildiğide olur. > içi li ve li ( ) ( ) ( ) 3..3 Öere. ( ) bir fuzz orlu uza { } ve { } olsu. { } e akısak ve ( ) ise o zaa { } de iki dizi de e akısar. Kaı. { } e akısadığıda ( ) dir.
3 olup burada liie geçildiğide ( ) ( ) ve ( ) li olur. Bölece li buluur. 3..4 Öere (Saadai ve Park 6). ( IR ) li ( ) sağlaa bir fuzz orlu uza olsu. Bir { β } dizisii ( ) uzaıda akısak olası içi gerekli ve eerli koşul { } akısak olasıdır. koşuluu IR fuzz orlu β dizisii ( ) IR uzaıda Kaı. ( :) Eğer β β ise dir. O halde { β } ( ) li β β ( β β ) li ( ) IR fuzz orlu uzaıda akısak olur. ( :) li ( β β ) olsu. Eğer if( β β) u lisup( β β) v u v + vea { β β} k li ve değil ise o zaa sırasıla bu okalara akısaa { β β} ve al dizileri bulabiliriz. Bölece varsaıda ve.. Teoreide > içi ( u ) ( v ) olup v ve a eşi olası deekir. u buluur. Bu da { β β} Eğer u ve v de biri a da ikisi de sosuz ise ( ) dizisii liiii var eşiliğide k olur. li sup ( ) li β β β β liif ( 3..) β β
4 Eğer li if( β) olsadı (..) β çelişki olur. Bezer biçide eğer sup( β) + çelişki buluurdu. 3 de buluurdu. Bu ise bir li olsadı ie gibi bir β Şu halde u ve v IR de akısakır. + vea olaaz. Bua göre li ( β) β olup { β }
5 3.3 FUZZ ORMLU UZALARDA SÜREKLĐLĐK 3.3. Taı. ( ) ve ( ) fuzz orlu uzalar T : bir döüşü ve olsu. Eğer her <ε < ve > içi ( ) r ve ( ) > r δ > δ koşuluu sağlaa her içi ( T T ) > ε oluorsa T e okasıda fuzz süreklidir vea kısaca F-süreklidir deir. 3.3. Teore. ( ) ve ( ) fuzz orlu uzalar ve T : bir döüşü olsu. T i de F-sürekli olası içi gerekli ve eerli koşul koşuluu sağlaa her { } dizisi içi T T olasıdır. Kaı. ( ) ( :) T r ve > ( ) okasıda F-sürekli olsu. O zaa <ε < ve > içi > r T T > olur. ise δ ( δ) ( ) ε r içi I ( T T ) > ε içi ( ) > r olur. ai T T dır. ( :) δ dir. O halde içi T i F-sürekli oladığı kabul edilsi. O zaa < ε < ve > r ( ) ve > δ içi ( δ ) > r ve ( T T ) ε olak üzere ( ) > { } δ ve ( T T ) ε olur. biçiide de bir dizisi oluşurulabilir. O zaa olasıa karşı T T olaaz. Bu ise bir çelişki olur.
6 3.3.3 Teore (Saadai ve Vaezpour 5). ( ) bir fuzz orlu uza olsu. a) T T( ) + : ve b) Ç : IK Ç( α ) α foksioları F-süreklidir. O zaa Kaı. a) içi ve olsu. olur. Burada ( ) ( ) (( + ) ( + ) ) buluur. Bölece T( ) + + T( ) olur. ai T de F-süreklidir. b) içi α α ve α olsu. O zaa ( α α ) ( α ( ) + ( α α ) ) α ( buluur. Bölece Ç( α ) α α Ç( α ) ) ( α α) α α α olur. ai Ç IK de F-süreklidir.
7 3.4 FUZZ ORMLU UZALARDA SIIRLI KÜMELER Eğer her 3.4. Taı. ( ) bir fuzz orlu uza ve A i bir al küesi olsu. ( r ) A B A içi ( ) > r olacak biçide bir > ve < r < (ai ) var ise A a fuzz sıırlı küe vea kısaca F-sıırlı küe deir. 3.4. Öere. ( ) bir orlu uza ve de üzeride oru arafıda idirgee sadar fuzz oru olsu. O zaa bir A i ( ) uzaıda F-sıırlı olası içi gerekli ve eerli koşul A ı ( ) olasıdır. uzaıda sıırlı Kaı. ( :) A ( ) uzaıda F-sıırlı ise A içi ( ) r > olacak biçide > ve < r < saısı vardır. O zaa A içi dır. O halde A küesi ( ) ( :) A ( ) < dir. > olak üzere + ( ) > r + r r < ( r ) < r r < r uzaıda sıırlıdır. > uzaıda sıırlı olsu. O zaa > A içi + r olarak alıdığıda A içi + + + + + ( ) > r dir. O halde A küesi ( ) uzaıda F-sıırlıdır.
8 3.4.3 Öere (Saadai ve Park 6). ( ) IR üzeride li ( ) koşuluu sağlaa bir fuzz or olsu. IR i bir A al küesii ( IR ) fuzz orlu uzaıda F-sıırlı olası içi gerekli ve eerli koşul A ı IR de sıırlı olasıdır. Kaı. ( :) A ( ) ( ) a r içi IR fuzz orlu uzaıda F-sıırlı olsu. O zaa ve ( a ) a r < > dır. Eğer a A içi a k olacak biçide bir + k IR olasadı > içi a > olacak biçide A da bir { a } dizisi buluabilir. Bu duruda < ( a ) a r olup duruuda a olacağıda li r < a olur ki bu bir çelişkidir. O halde a A içi a k olacak biçide bir k > saısı vardır. Dolaısıla A IR de sıırlıdır. ( :) A IR de sıırlı olsu. O zaa a A içi a k olacak biçide bir k > saısı vardır. ( ) azalaa olduğuda
9 ( ) a a k olur. r k alıırsa r > r olacak biçide bir < r < vardır. O zaa a A r < ( a ) olur. O halde A ( IR ) fuzz orlu uzaıda F-sıırlıdır. 3..4 ve 3.4.3 Öereleri göz öüe alıdığıda aşağıdaki souç elde edilir. 3.4.4 Souç. { β } F-sıırlı reel bir dizi ise e az bir akısak al dizisi vardır.
3 3.5 FUZZ BAACH UZAI Fuzz oru arafıda idirgee fuzz eriği ve..8 Taıı göz öüe alıdığıda fuzz orlu uzalar içi Cauch dizisii aıı aşağıdaki gibi apılır. 3.5. Taı. { } bir ( ) <ε < > içi I fuzz orlu uzaıda bir dizi olsu. Eğer her içi ( ) > ε oluorsa { } dizisie fuzz orlu uzada bir Cauch dizisi vea kısaca F-Cauch dizisi deir. 3.5. o. i) Fuzz orlu uzaıdaki bir { } dizisii F-Cauch olası içi gerekli ve eerli koşul her > içi li ( ) olasıdır. ii) Fuzz orlu uzalarda her akısak dizi bir F-Cauch dizisidir. Kaı. ( :) i) { } I bir F-Cauch dizisi olsu. O zaa her <ε < > içi içi ( ) > ε olur. Burada ( ) < ε buluur. Bu ise içi ( ) olduğuu göserir. ( :) > ve her <ε < içi I içi ( ) içi ( ) < ε içi ( ) > ε elde edilir. ai { } dir. O zaa olur. Burada bir F-Cauch dizisidir.
3 ii) { } bir ( ) zaa > içi li ( ) fuzz orlu uzaıda bir e akısası. O dir. olup burada > içi ( ) li ( ) buluur. 3.5.3 Taı. ( ) bir fuzz orlu uza olsu. Eğer deki her F-Cauch dizisi deki bir okaa akısıorsa ai fuzz or ile aılaa fuzz erik a ise ( ) fuzz orlu uzaıa fuzz Baach uzaı vea kısaca F-Baach uzaı deir. 3.5.4 Öere. ( ) ve ( ) fuzz orlu uzalar ise a) ( ( ) ) ( ) ( ) olak üzere ( ) orlu uzadır. bir fuzz b) Eğer ( ) ve ( ) F-Baach uzaları ise ( ) F-Baach uzaıdır. da bir Kaı. a) ( ) ve > içi i) (( ) ) > olduğu açıkır. ii) ( :) ( ( ) ) ( ) ( )..3 o da ( ) ve ( ) ( ) ( ) buluur. olsu. olur. Bölece ve olup ( :) ( ) ( ) ve ( ) ve ( ) (( ) ) ( ) ( )
3 iii) α içi ( α( ) ) ( ( α α) ) ( α ) ( α ) α ( ) α α iv) z u ve s> içi (( ) ) ( ( z u) s) [ ( ) ( ) ] [ ( z s) ( u s) ] [ ( ) ( z s) ] [ ( ) ( u s) ] ( + z + s) ( + u s) + (( + z + u s) ) + v) (( ) ) :( ) [ ] foksiouu sürekliliği açıkır. vi) li[ (( ) ) ] li[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) li li dir. O halde ( ( ) ) ( ) ( ) üzeride bir fuzz ordur. b) {( )} ( ) uzaıda herhagi bir F-Cauch dizisi olsu. O zaa her <ε < ve > içi I içi (( ) ( ) ) > ε olur. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) (( ) ( ) ) > ε
33 ( ) > ε ve bezer şekilde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) > ε ( ) > ε buluur. Bölece her <ε < ve > içi I içi ( ) > ε ve ( ) > ε olur. Bu ise { } dizisii ( ) uzaıda ve { } dizisii ( ) birer F-Cauch dizisi olduğuu verir. ( ) ve ( ) uzaıda F-Baach uzaı olduğuda ve olacak biçide ve vardır. Şidi ( ) ( ) olduğuu göreli. ve olduğuda > içi ( ) li ve ( ) li dir. li buluur. ai ( ) ( ) (( ) ( ) ) li ( ( ) ) dir. li [ ( ) ( ) ] ( ) li ( ) li Buu de her F-Cauch dizisi içi apabileceğiizde ( ) bir F- Baach uzaıdır.
34 3.5.5 Örek. i) li ( ) F-Baach uzaıdır. ii) ( ) koşuluu sağlaa her ( IR ) fuzz orlu uzaı bir bir Baach uzaı olsu. O zaa 3..8 Öreğideki ( ) + sadar fuzz orua göre ( ) uzaı da bir F-Baach uzaıdır. iii) li ( ) Baach uzaıdır. koşuluu sağlaa her ( C ) fuzz orlu uzaı bir F-
35 3.6. BÖLÜM UZALARI 3.6. Taı (Saadai ve Vaezpour 5). ( ) bir fuzz orlu uza de i bir al vekör uzaı olak üzere doğal döüşüü verilsi ve aılası. ( ) Q : / Q + { } > ( + ) sup ( + ) : 3.6. Teore (Saadai ve Vaezpour 5). Eğer fuzz orlu uzaıı kapalı bir al uzaı ve ( ) uzaıdır. + 3.6. Taııdaki gibi verilsi. Bu duruda a) / üzeride bir fuzz ordur. b) ( Q ) ( ) dir. c) Eğer ( ) bir F-Baach uzaı ise ( / ) da bir F-Baach Kaı. a) (i) ( + ) olduğu açıkır. (ii) ( + ) ( + ) olacak biçide bir { } olsu. i aııda içide dizisi vardır. Bu duruda + ve bua dek olarak ( ) dir. kapalı olduğuda dir. Dolaısıla Tersie + dir. + olsu. al uza olduğuda Burada ( ) buluur. (iii) α içi dir. O zaa ( ) ( α ( + ) ) ( α+ ) { ( α + α ) } sup : sup + : α dir.
36 + α (iv) u v ve + içi buluur. Her iki ada supreua geçildiğide elde edilir. O halde ( / ) (( + ) + ( + ) ) ( ( + ) + ) (( + u) + ( + v ) ) ( + u ) ( v ) + (( + ) + ( + ) ) ( + ) ( ) + (v) ( + ) :( ) [ ] süreklidir. (vi) li ( + ) dir. bir fuzz orlu uzadır. b) ( Q ) ( + ) c) { } / biçide > olur. olduğuda dir. Şidi { ( + ) } sup : ( ) + de bir F-Cauch dizisi olsu. O zaa ε olacak ( + ) ( + ) dir. ε vardır ve ( ) ε ve olacak biçide eleaları seçildiğide ( ( ) ) ( ( ) + ) ( ε ) (( ) + ) ( ε ) ( ( ) ) ( ε ) ( ε ) ( ) ( + ) ) ( ( ) + ) ( ε ) ( + olacak biçide ve seçeli. Bölece
37 ( ) ( + ) ) ( ε ) ( ε ) ( + buluur. Bölece { + } de bir F-Cauch dizisidir. a olduğuda dolaı + olacak biçide bir vardır. Diğer arafa olacağıda her { + } F-Cauch dizisi a olduğuu ve ( / ) ( + ) Q( ) + Q + / de akısak olur. Bu da bize / i i bir F-Baach uzaı olduğuu göserir. 3.6.3 Teore (Saadai ve Vaezpour 5). bir fuzz orlu uzaıı kapalı bir al uzaı olsu. Eğer ve ε ( + ) ise o zaa + + ve ( ) > ( + ) ε [ ) koşuluu sağlaa bir vardır. Kaı...3 o (ii) de ( + ) > ( + ) ε + olarak alıdığıda olacak biçide bir vardır. elde edilir. ( ) > ( + ) ε 3.6.4 Teore (Saadai ve Vaezpour 5). bir ( ) fuzz orlu uzaıı kapalı bir al uzaı olsu. Eğer / uzalarıda herhagi ikisi F- Baach ise üçücüsü de F-Baach olur. dolaı Kaı. Eğer bir F-Baach uzaı ise / ve de bir F-Baach uzaıdır. Buda / ve F-Baach uzaı olduğuda i F-Baach olduğuu göserek kaı içi eerli olacakır. ve I içi / bir F-Baach uzaı ve { } de de bir F-Cauch dizisi olsu.
38 eşisizliğide { + } dizisi (( ) + ) ( ) / de bir F-Cauch dizisi olur ve / F-Baach olduğuda olak üzere + e akısar. Bölece > içi ( ) + ) > ε ( ve ε koşuluu sağlaa bir { ε } dizisi vardır. 3.6.3 Teoreide + ) + ( ve ( ) > ( ( ) + ) ( ε ) koşullarıı sağlaa de bir { } dizisi buluabilir. Bu ise li ( ) li olduğuu göserir. Buda dolaı { } ve de bir F-Cauch dizisidir. F-Baach olduğuda bir z okasıa akısar. Bu da bize { } dizisii z+ okasıa akısadığıı dolaısıla i a olduğuu göserir.
39 3.7 FUZZ ORMLU UZALARDA SIIRLI DOĞRUSAL DÖÜŞÜMLER Bu bölüde fuzz sıırlı doğrusal döüşüler aılaacak oları özellikleri ile birlike fuzz sıırlı döüşüler ile süreklilik arasıdaki ilişki iceleecekir. 3.7. Taı (Saadai ve Park 6). ( ) ( ) fuzz orlu uzalar ve T : doğrusal bir döüşü olsu. Eğer her ve > içi ( T ) ( ) olacak biçide bir saısı varsa T e fuzz sıırlı vea kısaca F-sıırlı döüşü deir. 3.7. Öere (Saadai ve Park 6). ( ) ( ) fuzz orlu uzalar ve T : doğrusal bir döüşü olsu. Eğer T F-sıırlı ise F-süreklidir. Kaı. T F-sıırlı doğrusal döüşü olduğuda ve > içi ( T ) ( ) dir. Bir zaa li ( ) dir. O zaa olup buluur. Burada içi { } > dir. > içi olsu. O içi bu doğru olduğuda içi de li li ( T T ) li ( T ( ) ) li ( ) li ( T T )
4 ( T T ) li dir. Bu ise T T olduğuu göserir. O halde T F-süreklidir. 3.7.3 Öere. ( ) ( ) fuzz orlu uzalar olsu. T : doğrusal döüşüü eğer F-sıırlı ise o zaa deki F-sıırlı küei T alıdaki görüüsü de de F-sıırlı olur. Kaı. T F-sıırlı olsu. O zaa ve > içi ( T ) ( ) ( 3.7.) olacak biçide bir vardır. Eğer S i sıırlı bir al küesi ise olacak biçide < S içi ( ) > r < r vardır. ( 3.7.) ve (.7.) olur. O halde T( S) { T S} ( 3.7.) 3 de S içi ( T ) ( ) > r : küesi de sıırlıdır. 3.7.4 Öere. ( ) ve ( ) orlu uzalar ve üzeride arafıda de üzeride arafıda idirgeiş sadar fuzz orlar olsular. O zaa bir T : doğrusal döüşüüü F-sıırlı olası içi gerekli ve eerli koşul T i ( ) de ( ) e sıırlı olasıdır.
4 Kaı. ( :) dir. Bölece T F-sıırlı olsu. O zaa ve > içi ( T ) ( ) + T + + + T + T olur. O halde T ( ) ( ) : sıırlıdır. dir. ( :) T ( ) ( ) O halde T F-sıırlıdır. : sıırlı olsu. O zaa içi T T + ( T ) ( ) + + 3.7.4 Öere. ( ) ve ( ) fuzz orlu uzalar ve T : doğrusal bir döüşü olsu. T : T( ) ers döüşüüü var ve F-sıırlı olası içi gerekli ve eerli koşul her içi ( ) ( T ) olacak biçide bir saısıı var olasıdır.
4 Kaı. ( :) ( ) ( T ) birebirdir. Gerçeke olacak biçide bir saısı var olsu. T T T koşuluu sağlaa içi ( T T ) ( T ) ( ) ( ) ( ) > içi dir. ai T : T( ) döüşüü vardır. Şidi T i F-sıırlı olduğuu göreli. ( ) ( T ) ( T ) dir. Bu eşisizlik > içi sağladığıda erie alıdığıda T deirse T( ) içi dir. ai T F-sıırlıdır. ( ) ( T ) T ( T ) T ( T ) T ( )
43 ( :) T var ve F-sıırlı olsu.t doğrusal olduğuda T de doğrusaldır. T F-sıırlı olduğuda T T( ) olup > ve bir içi ( T ) ( ) ( ) ( T ) olur. Bu > içi sağladığıda erie alıdığıda ( ) ( T ) ( T ) olur. olarak alıırsa ( ) ( T ) elde edilir.
44 3.8 FUZZ ORMLU UZALARDA DOĞRUSAL DÖÜŞÜMLER ĐÇĐ KAPALI GRAFĐK TEOREMĐ ve IK cisi üzeride iki vekör uzaı ise λ içi cisi üzeride ( ) ( ) IK ( ) + ( ) ( + + ) ( ) ( λ λ ) λ işleleri ile bir vekör uzaı olduğuu bilioruz. çarpı uzaııda IK 3.8. Taı. ve IK cisi üzeride iki vekör uzaı ve T : doğrusal bir döüşü olsu. küesie T i grafiği deir. ( T) G G olup orlu uzalar ve G ( T) doğrusal döüşü deir. ( ) Eğer ( ) ve ( ) ( T) {( T ( ) ): } i bir al vekör uzaıdır. Eğer ( ) ve ( ) orlu orlu uzaıda kapalı ise T e kapalı fuzz orlu uzalar iseler 3.5.4 Öereside uzaıı da bir fuzz orlu uza olduğuu bilioruz. Bua göre eğer G ( T) ( ) ise T e F-kapalı doğrusal döüşü deir. fuzz orlu uzaıı kapalı bir al uzaı 3.8. Teore. ( ) ve ( ) bir IK cisi üzeride fuzz orlu uzalar olsular. T : doğrusal döüşüüü F-kapalı olası içi gerekli ve
45 eerli koşul içide li ve içide li T( ) koşuluu sağlaa her { } dizisi içi ve T ( ) olasıdır. Kaı. ( :) T kapalı olsu. Bu duruda G ( T) grafiği ( ) uzaıı kapalı bir al uzaıdır. { } fuzz orlu ve T olsu. O zaa içi li ( ) > ve li ( T ) dir. Buda dolaı de li ( ( T ) ( ) ) olur. {( T )} G( T) ve ( T) dir. O halde ve G kapalı olduğuda T ( ) ( ) G( T) {( T) : } dir. ( :) li ve T( ) li koşuluu sağlaa { } içi ve T ( ) olsu. O zaa li( T ) ( ) olacak biçide G ( T) de bir { )} ( T dizisi alalı. ( T ) ( ) li ( ( T ) ( ) ) li (( T ) ) li li ( ) > ε içi I içi (( T ) ) ( ) ( T ) > ε ( ) > ε ve ( T ) > ε
46 olur. Burada da buluur. Hipoezde ve ve T T olduğuda ( ) ( T) G( T) dir. O halde G ( T) kapalı dolaıla T F-kapalı doğrusal döüşüdür. 3.8.3 Teore. ( ) ( ) fuuzz orlu uzaları ve T : doğrusal döüşüü verilsi. Eğer ( ) F-Baach uzaı ve T F- sürekli bir döüşü ise T F-kapalı bir döüşü olur. Kaı. ( ) F-Baach uzaı ve T F-sürekli olsu. Bir { } içi ve T olduğu varsaılsı. ( ) F-Baach uzaı olduğuda dir. Arıca T F-sürekli olduğuda T T dir. Bölece 3.8. Teoreide T F- kapalı bir doğrusal döüşü olur.
47 3.9 FUZZ ORMLU UZALARDA DOĞRUSAL TOPOLOJĐK EŞAPI DÖÜŞÜMLERĐ 3.9. Taı (Saadai ve Park 6). ( ) ( ) döüşüü birebir öre ve T T doğrusal : T F-sürekli ise T e F-opolojik eşapı döüşüü deir. Bu duruda ve e de doğrusal opolojik eşapılı uzalar deir. 3.9. Teore. ( ) ( ) ( ) ( ) : fuzz orlu uzalar ve T doğrusal öre bir döüşü olsu. Eğer her > ve her içi ( a ) ( T ) ( b ) ( 3.9.) eşisizliğii sağlaa a b saıları var ise T F-opolojik eşapı döüşüüdür. Kaı. T doğrusal öre bir döüşü ve > ve sağlası. O zaa ( T ) ( b ) içi (.9.) 3 eşisizliği eşisizliği göz öüe alıdığıda; T içi ( T ) b buluur. Bu ise T i birebir olduğuu göserir. Bölece b T vardır.
48 ( 3.9.) eşisizliğii sol arafı T i F-sıırlı olduğuu göserir. O zaa 3.7. Öereside T F-sürekli olur. ie ( 3.9.) eşisizliğii sağ arafı ve 3.7.4 Öeresi göz öüe alıdığıda T i F-sürekli olduğu görülür. Souç olarak T F-doğrusal opolojik eşapı döüşüüdür. 3.9.3 Taı. ( ) ( ) fuzz orlu uzalar ve T : bir döüşü olsu. Her ve > içi ( T ) ( ) koşulu sağlaıorsa T e F-or korua döüşü deir. T : F-or korua döüşüü doğrusal ise birebir olduğu açıkır. Eğer T : F-or korua döüşüü öre ise T e F-eşerel eşapı döüşüü deir. döüşüüdür. 3.9.4 o. Her F-eşerel eşapı döüşüü F-doğrusal opolojik eşapı
49 3.. FUZZ ORMLU UZALAR ÜZERĐDE DEK ORMLAR Bir vekör uzaı verildiğide bir fuzz oru aılaışke ie ou üzeride başka orlar da aılaabilir. 3.. Taı. Bir vekör uzaı üzeride iki fuzz or ve olsu. Eğer ( ) ( ) I : biri döüşüüü kedisi ve ersi F-sürekli ise ve fuzz orlarıa üzeride fuzz dek orlar vea kısaca F-dek orlar deir. 3.. Öere. ( ) ve ( ) fuzz orlu uzalar ve üzeride F-dek orlar ve { } de de herhagi bir dizi olsu. ( ) ( ) fuzz orlu uzaıda olası içi gerekli ve eerli koşul fuzz orlu uzaıda olasıdır. Kaı. ( :) ( ) li dir. ve fuzz orları F-dek olduklarıda I biri döüşüü F-süreklidir. Dolaıla dir. O halde ( I I ) li ( ) li dir. ( :) Bezer biçide li ( ) dir. ve fuzz orları F-dek olduklarıda I biri döüşüü F-süreklidir. Dolaıla dir. O halde ( I I ) li ( ) li dir.
5 3..3 Souç. üzeride ( ) ve ( ) birer fuzz or olsular. ( ) ve ( ) i üzeride F-dek orlar olaları içi gerekli ve eerli koşul bu fuzz orlarda birie göre akısak ola bir dizii diğerie göre de akısak olasıdır. Kaı. ( :) ( ) ve ( ) 3.. Öereside iseile elde edilir. üzeride F-dek iki fuzz or olsu. O zaa ( :) { } de herhagi bir dizi ve ike olsu. ( ) ( ) : I biri döüşüü içi ( ) li ( ) li ( I I ) li olduğuda I biri döüşüü F-süreklidir. ( ) ( ) I biri döüşüü içi : olduğuda li ( ) li ( ) li ( I I ) I biri döüşüü F-süreklidir. O halde ( ) ve ( ) fuzz orları üzeride F-dek orlardır. 3..4 Öere. üzeride ( ) ve ( ) birer fuzz or olsular. Eğer her ve > içi olacak biçide b orlar olur. ( a ) ( ) ( b ) ( 3..) a saıları var ise o zaa ( ) ve ( ) üzeride F-dek Kaı. ( 3..) eşisizliğide kolaca görülür.
5 3. SOLU BOUTLU FUZZ ORMLU UZALAR 3.. Teore (Saadai ve Park 6). {... } bir vekör uzaıı doğrusal bağısız bir al küesi ( i solu boulu olası gerekez.) ve ( ) ( ) li α α... α IR içi koşuluu sağlaa bir fuzz or olsu. O zaa her olacak biçide bir ( α + α ) ( c[ α +... + ] )... IR α + ( 3..) c saısı ve bir ( IR ) IR fuzz orlu uzaı vardır. Kaı. s α +... + α olsu. Eğer s ise j α olacağıda (..) 3 eşisizliği her c saısı içi sağlaır. s > olsu. α j β j olarak alıdığıda ( 3..) s eşisizliği s β olak üzere j j ( β +... + ) ( c ) ( 3..) β IR eşisizliği ile dekir. Bu edele (..) fuzz oruu varlığıı göserek eerlidir. j 3 eşisizliğii sağlaa c saısıı ve IR ( 3..) eşisizliğii doğru oladığı kabul edilsi. O zaa β ve β +... + β olak üzere > ve içi j ( ) olacak biçide bir { } β dir. Bu ise 3.4.3 Öereside { } j dizisi vardır. β j olduğuda j j β dizisii F-sıırlı olduğuu göserir. O halde { β } i akısak bir al dizisi vardır. β ile bu al dizii liiii ve { } { β } ile oluşurula { } ile de i al dizisii gösereli. Aı prosedürü ugulaarak β
{ } β i liii olak üzere { } içi { } β ile oluşurula bir { } al dizisi buluabilir. Bu şekilde deva edildiğide { } içi j j j γ j j γ ve j j γ β li olacak biçide bir { } al dizisii bulabiliriz. j j j j j j j ) ( li li β γ β ) (... ) ( li β γ β γ Bölece j j j j j li β β elde edilir. j j j β alalı. { }... doğrusal bağısız küe olduğuda dır. ( ) olduğuda ( ) dir. Bu edele ( ) ( ) ) ( + ( ) olur ki bu ise bir çelişkidir. 5
53 3.. Teore. li ( ) uzaıı her solu boulu al uzaı adır. koşuluu sağlaa bir ( ) fuzz orlu Kaı. i solu boulu bir al uzaı olsu. bo ( ) olduğu kabul edilsi. de kefi bir { } F-Cauch dizisi verilsi. Bu dizii de bir okasıa akısadığıı gösereli. { e...e } i bir abaı olsu. O zaa her bir içi biçiide ek olarak azılır. { } α e+... + α e de bir F-Cauch dizisi olduğuda <ε < koşuluu sağlaa her ε ve > içi I r> içi ( ) > ε ε < r j c dur. 3.. Teoreide ( α j α j r ) e j IR c α j α j r IR c j α j ( cα α ) α α IR IR j j r IR j j r α j j r c α j α j r olup IR α j α j r > ε olacak biçide c > vardır. Bu ise j... içi c ( α ) ( α α... ) j j j i IR vea C de bir Cauch dizisi olduğuu verir. 3.5.5 Örek (i) ve (ii) de j... olak üzere bir α j e akısar. Bu ae liii kullaarak aılası. α e +... + α olduğu açıkır. Arıca e
54 ( ) ( α j α j ) e j ( ( α α) e+... + ( α α ) e ) j α α) e... ( α ) e ( α e... α e α α α olur. olduğuda j... içi α α j j li e j α α j j buluur. Dolaısıla li ( ) dir. Bu da bize li ( ) ve olduğuu göserir. O halde al uzaı adır. uzaı adır. 3..3 Souç. li ( ) koşuluu sağlaa her solu boulu fuzz orlu ( ) 3..4 Teore (Saadai ve Park 6). Solu boulu bir vekör uzaıda i li ( ) dekir. i koşuluu sağlaa ve fuzz orları birbirie F- Kaı. bo ( ) ve {... } vekör uzaıı bir abaı olsu. Her vekörü j α biçiide ek olarak azılır. ( ) j j fuzz orlu uzaıda I içi olsu. ie azılır. 3.. Teoreide c ve bir ( IR ) α... + α biçiide ek olarak + IR fuzz orlu uzaı vardır ki
55 olup > ( ) c α α ( cα ) IR j j IR j α j j içi li ( ) dir. Buda dolaı IR de 3..4 Öereside j... içi α j α j dır. Şidi içi iceleeli ( ) ( α α )... ( α ) α... α α α α olup α j α j içi olduğuda li j dir. α j α j α j α j Bölece li ( ) ve ( ) fuzz orlu uzaıda dir. Bezer şekilde e göre ise e göre de olduğu göserilebilir. Bölece 3..3 Soucuda ve F-dek orlar olurlar. 3..5 Teore (Saadai ve Park 6). ( ) ve ( ) fuzz orlu uzalar li ( ) li ( ) koşulları sağlası ve ( ) < bo olsu. O zaa her ( ) ( ) : T doğrusal döüşüü F-süreklidir. Tersie T i F-sürekli olası i bouuu solu olasıı gerekirez. Kaı. ( ) ( ) ( T ) biçiide aılası. ( ) uzadır. Gerçeke > içi bir fuzz orlu
56 T > (i) ( ) ( ) ( ) dır. T..3 o da (ii) ( ) ( ) ( ) ( ) ve ( T ) ve T dır. (iii) α içi ( α ) ( α ) ( T( α ) ) α α α ( T ) T α α (iv) ve s> içi ( ) ( ) ( s) [ ( ) ( T ) ] [ ( s) ( T s) ] (v) ( ) :( ) [ ] [ ( ) ( s) ] [ ( T ) ( T s) ] ( + + s) ( T+ T s) + ( + + s) ( T( + s) ) + ( + s) + süreklidir. (vi) li ( ) dir. O halde ( ) bir fuzz orlu uzadır.
57 ( ) Şidi T i F-sürekli olduğuu gösereli. bo < olduğuda 3..4 Teoreide ve üzeride F-dek orlardır. olacak biçide { } alalı. 3.. Teoreide dir. ( ) ( ) ( T ) ( T ) ( T ) olduğuda > içi ( ) ( T ) ( ) li ( T T ) li li ( T T ) li T T O halde T F-süreklidir.
58 4. BÖLÜM FUZZ ORMLU UZALARDA SABĐT OKTA TEOREMLERĐ 4. FOKSĐOLARI SABĐT OKTALARI 4.. Taı. boş küede farklı herhagi bir küe T de de e vea i bir al küeside e gide bir foksio olsu. T ( ) eşiliğii sağlaa bir okasıa T i sabi okası deir. Diğer bir deişle T i sabi okası bir çözüüdür. T ( ) ( ) foksioel dekleii 4.. Örek. (i) : IR IR f( ) + a ( a ) f olarak aılaa f öelee döüşülerii hiçbir sabi okası okur. : olarak aılaa foksio içi ve (ii) g IR IR g( ) olak üzere iki ae sabi okası vardır. (iii) boş olaa bir küe ve I : bir biri döüşü olsu. i her bir okası I içi bir sabi okadır. Foksioları sabi okaları aalizdeki varlık eoreleride öeli bir rol oar. Öreği; P bir kopleks polio olak üzere ( ) ( z) P z dekleii çözüü z z P döüşüüü bir sabi okasıı bulaa dekir. Daha geel olarak eğer D bir vekör uzaıı bir al küesi üzeride herhagi bir operaör olduğuda Du dekleii bir çözüü varsa bu çözü u u Du da bir sabi okaa karşılık gelir. ie u Du ( λ K) λ dekleii çözüü u λdu operaörüü sabi okalarıı bulakla aı alaa gelecekir. Aalizdeki varlık eorelerideki gibi bir operaör üzerideki vea ou aı küesi üzerideki koşullar bir sabi okaı varlığıı garai eede rol oaabilekedir.
59 4. ZAIF BAĞDAŞIK DÖÜŞÜMLERĐ SABĐT OKTALARI 4.. Taı (Jugck ve Rhoades 998). f g : döüşüleri verilsi. Eğer ( ) g( ) f koşuluu sağlaa oluorsa f ve g e zaıf bağdaşık döüşüler deir. okaları içi fg ( ) gf( ) 4.. Öeore. işlei [ ] ( ) bir fuzz orlu uza ve { } içi a içi a a a özelliğii sağlası. de de bir dizi olsu. Eğer her I > ( + k) ( ) ( 4..) olacak biçide bir k ( ) saısı varsa o zaa { } bir F-Cauch dizisidir. Kaı. I > içi (..) ve > 4 eşisizliğii sağlaa ( ) r saıları içi 3.. Taı (iv) ve (..) k saısı var olsu. 4 eşisizliği kullaıldığıda r kr k ( r) ( r kr) ( kr)... ( kr) r kr k + + h dieli. O zaa ( r) ( h) ( kr k r) ( k r) Bu işlee deva edildiğide + + + ( h) ( h) ( k r) +. ( r) ( h) ( k r) k ( h) r ( h) ( h) r kr k
6 ( ) li asaısı alıdığıda olacağıda > özelliği kullaıldığıda < ε < içi eeri kadar büük bir r kr > ε k içi ( r) r Bu ise { } buluur. i bir F-Cauch dizisi olduğuu göserir. 4..3 Teore (Chugh ve Rahi 5). ( ) bir fuzz orlu uza olsu. f g : döüşüleri () ( ) g( ) f () f ( ) vea ( ) g a (3) f ve g zaıf bağdaşık döüşüler (4) < α < ve > içi ( f( ) f( ) α ) ( g( ) g( ) ) koşulları sağlaıorsa f ve g i orak bir sabi okası vardır ve bu oka ekir. Kaı. Herhagi bir alısı. ( ) g( ) f olduğuda f ( ) g( ) olacak biçide vardır.... içi bu biçide deva edildiğide f ) g( ) olacak biçide de bir { } dizisi elde edilir. + ( + Eğer bir r I içi r ise r+ r r r r r+ ) r+ f ( ) f ( ) g( ) g( u olacak biçide bir u vardır. u u f ve g i orak bir sabi okası olduğuu gösereli. f ) g( ) ve f ( r r g zaıf bağdaşık döüşüler olduğuda f ( u) fg( ) gf ( ) g( u) dur. r r
6 (4) de olur. Bölece ( f ( u) u α ) ( f ( u) f ( ) α) ( g( u) g( ) ) ( f ( u) f ( ) ( f ( u) u ) f ( u) u r r r ) g( u) g( r ) α g( u) g( r ) α α ve f ( u) u g( u) olur. Bu da bize u okasıı f ve g i orak bir sabi okası olduğuu verir. (4) de Şidi... içi olsu. + ( ) ( α ) ( f ( ) f ( ) ) ( g( ) g( ) ) ( ) + α olur. 4.. Öeoreide { } de bir F-Cauch dizisidir. g ( ) varsaalı. O zaa i a olduğuu li li g( ) z olacak biçide bir g( ) okasıdır. Gerçeke g( ) z okası vardır. Bu z f ve g i orak bir sabi z olduğuda g ( p) z olacak biçide bir p vardır. (4) de olup olduğuda olur. Burada ( f ( p) f ( ) α ) ( g( p) g( ) ) ( g( p) g( ) ) li ( g( p) z ) li ( f ( p) f ( ) α ) li
6 f ( p) li f ( ) li z z f ( p) g( p) + buluur. f ve g zaıf bağdaşık olduklarıda f ( z) fg( p) gf ( p) g( z) dir. (4) de ( f ( z) z α ) ( f ( z) f ( p) α) ( g( z) g( p) ) ( f ( z) f ( p) ) olduğuda z f (z) dir. ai z okası f ve g içi bir sabi okadır. Sabi okaı ekliğii göserek içi; u ve v f ve g içi iki sabi oka olsu. O zaa (4) de ( u v α ) ( f ( u) f ( v) α) ( g( u) g( v) ) ( u v )... u v α ( ) O halde u v dir. ai sabi oka ekir.
63 4.3. FUZZ ORMLU UZALARDA MA VE ISHIKAWA ĐTERASOLARI 4.3. Taı. ( ) bir fuzz orlu uza olak üzere S T : döüşüleri verilsi. { α }{ β } IR de her I içi α β liβ ve α β koşullarıı sağlaa diziler olak üzere ( α ) + αs ( β ) + βs ( > ) + (I) biçiide de aılaa { } dizisie S ile oluşuruluş Ishikawa ieraso dizisi (Ishikawa 974) deir. Eğer β alıırsa bu Ishikawa ieraso dizisie Ma ieraso dizisi (Ma 953) deir. Bu bölüde { α } ve { β } içi < α < β < liα h ( < h< ) koşullarıı kullaacağız. 4.3. Teore. a [ ] a a a olak üzere ( ) bir fuzz orlu uza ve K da i kapalı koveks bir al küesi S ve T de K da K a her K ve < k < içi ( S T k) ( ) ( S ) ( T ) ( T ) ( S ) ( 4.3.) koşuluu sağlaa iki döüşü olsu. Eğer bir K içi S vea T ile oluşuruluş { } Ishikawa ieraso dizisi bir u K okasıa akısıorsa bu u okası S ve T i orak bir sabi okası olur. Arıca bu oka S ve T i ek bir sabi okasıdır.
64 Kaı. Bir olup bölece u K içi Su u ise ( 4.3.) eşisizliğide u alıdığıda ( u Tu k) ( Su Tu k) ( u u ) ( u Su ) ( u Tu ) ( u Tu ) ( u Su ) ( u Tu ) ( Tu ) ( u Tu ) ( u Tu ) ( u Tu ) ( u Tu k) ( u Tu ) buluur. < k < ve e göre ara olduğuda bu duru acak u Tu olası ile üküdür. Bezer biçide eğer bir { } v K içi Tv v ise Sv v buluur. S ile oluşuruluş Ishikawa ierasou ve li u olsu. + + α ve burada α (I) de ( S ) S elde edilir. li u olduğuda.. Teoreide olur. Burada da buluur. 3..3 Öereside olur. ( 4.3.) eşisizliği kullaılırsa olur. ( α ) + + α ( S ) ( S u ) ( ) ( S Tu k) ( u ) ( S ) ( u Tu ) ( Tu ) ( u S ) ( 4.3.)
65 ( u ) ( ( β ) + β S u ) (( β ) + β S u( β + β ) ) (( β ) ( β ) u+ β S β u ) (( β )( u) + ( S u ) β ) ( β ) u S ( β) β u β ( u ) ( S u ) ( 4.3.3) ( S ) ( ( β ) + β S S ) ( S ) ( S S ) ( 4.3.4) eşisizlikleri elde edilir. ( Tu ) ( ( β ) + β S Tu ) ( Tu ) ( S Tu ) ( 4.3.5) ( 4.3.) de ( 4.3.3) ( 4.3.4) ve (.3.5) 4 eşisizlikleri erie azıldığıda ( S Tu k) [ ( u ) ( S u ) ] [ ( S ) ( S S ) ] ( u Tu ) [ ( Tu ) ( S Tu ) ] ( u S ) olur. Burada içi liie geçildiğide ( u Tu k) ( ) ( ) ( u Tu ) [ ( u Tu ) ] ( u Tu ) ( u Tu k) ( u Tu ) ( u Tu ) ( u Tu ) ( u Tu )
66 olur ki < k < ve ara olduğuda bu duru acak ve acak u Tu olası ile üküdür. eşisizliğide Şidi S ve T i sabi okasıı ek olduğuu göreli. S ve T i başka bir sabi okası v olsu. O zaa Tv v olup ( 4.3.) ( u v k) ( Su Tv k) ( u v ) ( u Su ) ( u Tv ) ( v Su ) ( u v ) ( u v ) ( v u ) ( u v ) ( u v ) ( v u ) ( u v ) < k < ve ara olduğuda bu duru acak ve acak u v olası ile üküdür. ai S ve T i ek bir orak sabi okası vardır. { a b} a b i alıdığıda aşağıdaki souç elde edilir. 4.3.3 Souç. ( ) bir fuzz orlu uza ve K da i kapalı koveks bir al küesi S ve T de K da K a her K ve < k < içi ( S T k) i{ ( ) ( S ) ( T ) ( T ) ( S ) } koşuluu sağlaa iki döüşü olsu. Eğer bir K içi S vea T ile oluşuruluş { } Ishikawa ieraso dizisi bir u K okasıa akısıorsa bu u okası S ve T i orak bir sabi okası olur. Arıca bu oka S ve T i ek bir sabi okasıdır.
67 KAAKLAR []. CHEG C. ad MORDESO J..; 994 Fuzz liear operaor ad liear spaces Bull Calcua Mah. Soc.; 86 49-36 []. CHUGH R. ad RATHI S.; 5 Weakl copaible aps i fuzz ored spaces; Uiv. Di Bacau Sudii Cerceari Şiiifce Seria: Maheaica;5 3-38 [3]. FELBI C.; 99 Fiie diesioal fuzz ored liear spaces Fuzz Ses Sses; 48 39-48 [4]. GRAAS A. ad DUGUDJI J.; 3 Fied Poi Theor Spriger- Verlag ew ork. [5]. GÜDOĞDU F.; 4 Fuzz erik uzalar ve sabi oka eoreleri Traka Üiversiesi Fe Bilileri Esiüsü üksek Lisas Tezi Edire. [6]. ISHIKAWA S.; 974 Fied Poi b a ew ieraio ehod Proc. Aer. Mah. Soc.; 44 47-5 [7]. JUGCK G. ad RHOADES B. E.; 998 Fied poi for se valued fucios wihou coiui Idia J. Pure Appl. Mah.; 5 (3) 7-38 [8]. KATSARAS A. K.; 984 Fuzz opological vecor spaces II. Fuzz Ses Sses; 43-54 [9]. KRESZIG E.; 978 Iroducor Fucioal Aalsis ad Applicaios Wile ew ork. []. MA W. R.; 953 Mea value ehods i ieraio Proc. Aer. Mah. Soc.; 4 56-5 []. MEGER K.; 94 Saisical erics Proc.a. Acad. Sci.; 8 USA 535-537 []. RASHWA R. A.; 995 O he covergece of he Ishikawa ieraes o a coo fied poi for a pair of appigs Deosraio Maheaica; 8 7-74
68 [3]. RODRIGUEZ-LOPEZ J. ad ROMEGUERA S.; 4 The Hausdorff fuzz eric o copac ses Fuzz Ses ad Sses; 47 73-83 [4]. SAADATI R. ad PARK J. H.; 6 O he iuiioisic fuzz opological spaces Chaos Soliios ad Fracals; 7 33-344 [5]. SAADATI R. ad VAEZPOUR S. M.; 5 Soe Resuls o fuzz Baach spaces J. Appl. Mah & Copuig Vol. 7 o. - pp. 475-484 [6]. SADEQI I. ad KIA F. S.; 7 Fuzz ored liear spaces ad is opological srucure Chaos Soliios ad Fracals; doi:. 6/j.chaos.7..5 (aılaacak) [7]. ZADEH L.A.; 965 Fuzz Ses Ifor ad Corol; 8 336-353
69 ÖZGEÇMĐŞ Adı Soadı : Fehi EKĐCĐ Doğu eri : Edire Doğu Tarihi : 7.4.978 EĞĐTĐM VE AKADEMĐK DURUMU : Đlkokul : Fevzi Paşa Đlkokulu Oraokul : Aaürk Oraokulu Lise : Edire Tekik Lisesi (Elekrik Bölüü) Lisas : Gazi Üiversiesi Fe Edebia Fakülesi Maeaik Bölüü abacı Dil : Đgilizce ĐŞ TECRÜBESĐ : 3 ılıda beri Özel Edire Lisesi ve Fe Lisesi de aeaik öğreei olarak çalışakadır.