Lecture 2. Mahir Bilen Can. Mayıs 10, 2016

Lecture 2 Mahir Bilen Can Mayıs 10, 2016 1 Klasik Lie Cebirleri Klasik Lie cebirlerinin hepsi içinde son derece büyük öneme sahip dört sonsuz aile vardır. Bunlar A, B, C, D harfleri ile indekslenmekte ve alt numaraları da onların mertebesini (rankını) belirtmektedir. Örnek 1.1 (A n 1 tipi). Diyelim dim V = n. sl(v ), V vektör uzayının izi sıfır olan endomorfizmaları olsun. Bir baz (taban) seçerek sl(v ) yi izi sıfır olan matrisler ile özdeşleştiriyoruz. Her x, y sl(v ) için T r(xy) = T r(yx) T r(x + y) = T r(x) + T r(y) olduğundan ve sl(v ), gl(v ) nin bir alt uzayı olduğundan sl(v ) yi, Lie braketini koruyan, bir Lie cebirinin altuzayı olarak görebiliriz, böylece bu kendi başına bir Lie cebiridir. Şunları kontrol etmek kolay: 1. dim sl(v ) = n 2 1 2. sl(v ) nin bir bazı e i,j, 1 i j n ve i = 1,..., n 1 olmak üzere e ii e i+1,i+1 ile verilmektedir. 1

Örnek 1.2 (C n tipi). Simplektik Lie Cebiri: Diyelim dim V = 2n ve sp(v ), V nin x gl(v ) endomorfizmlarının uzayı öyle ki f; 0 In s = I n 0 ile tanımlanan ters-simetrik bilineer form ve I n, n n birim matris olmak üzere f(x(v), w) = f(v, x(w)). Şunları kontrol etmek kolay: 1. dim sl(v ) = 2n 2 + n 2. sp(v ), sl(v ) nin bir Lie altcebiridir. Örnek 1.3 (B n tipi). Tek Ortogonal Lie Cebiri so(v ): Diyelim dim V = 2n + 1. V nin x gl(v ) endomorfizmalarının uzayını alalım öyle ki f, 1 0 0 s = 0 0 I n 0 I n 0 ile tanımlanan dejenere olmayan simetrik bilineer form ve I n, n n birim matris olmak üzere f(x(v), w) = f(v, x(w)) koşulu sağlansın. Şunları kontrol etmek kolay: 1. dim so(v ) = 2n 2 + n 2. so(v ), sl(v ) nin bir Lie altcebiridir. Örnek 1.4 (D n tipi). Çift Ortogonal Lie Cebiri so(v ): Diyelim dim V = 2n ve V nin x gl(v ) endomorfizmalarının uzayını alalım öyle ki f 0 In s = I n 0 2

ile tanımlanan dejenere olmayan simetrik bilineer form ve I n, n n lik birim matris olmak üzere f(x(v), w) = f(v, x(w)) koşulu sağlansın. Şunları kontrol etmek kolay: 1. dim so(v ) = 2n 2 n 2. so(v ), sl(v ) nin bir Lie altcebiridir. Yukarıda tanıtılan tüm Lie cebirleri "basit"tir, kastedilen bunların trişka olmayan ideallerinin olmamasıdır ve bunlar değişmeli değildirler. (Bir alt uzay a g bir ideal olarak adlandırılmaktadır eğer her g g ve a a için [a, g] a oluyorsa. ) Basit cebirlerdeki bu dört sonsuz ailelerinin yanısıra daha başka e 6, e 7, e 8, f 4, ve g 2 ile gösterilen beş basit cebir daha vardır. 2 Bir Lie Grubunun Lie Cebiri: Eşlemeler Bu bölümde, [2] ninx özellikle 3 bölümünü takip ediyoruz. Burada belirteceğimiz birçok sonucun kanıtları oldukça teknik ve yazmak için daha fazla teknik detay gerektiriyor. Bunların hepsini Warner ın kitabında bulabilirsiniz. G, R veya C üzerinde bir Lie grubu olsun. G nin birimdeki tanjant uzayı, nokta derivasyonları ile verilen braket operasyonuyla bir Lie cebiridir. Daha global olarak G üzerindeki tüm vektör alanlarının oluşturduğu uzay bir Lie cebiridir. Bu cebirler arasındaki ilişki birincisinin, ikincisinin bir Lie altcebiri olmasıdır. Aslında G üzerindeki sol değişmez vektör alanlarının uzayı T e G ye izomorfiktir. Not: (G nin bir y elemanı ile)l y (x) = yx, x G şeklinde tanımlanan sol öteleme operatörü L y : G G aslında bir difeomorfizmasıdır. Eğer her y G için L y nin differansiyeli, X i x X yx vektör alanına gönderiyorsa G üzerindeki bir X vektör alanı sol değişmez olarak adlandırılır. Bundan sonra G ile iliştirilmiş Lie cebiri hakkında konuştuğumuz zaman anlayacağımız şey, karşılık gelen nokta derivasyonlarının Lie braketiyle, onun birimdeki (G üzerindeki sol değişmez vektör alanlarının uzayı olarak görülen) tanjant uzayıdır. 3

Bu noktada ortaya çıkan doğal bir soru bu durumun tersine çalışıp çalışmadığıdır, yani Lie cebirinden Lie grubuna giden doğal bir gönderimin olup olmadığıdır. Cevap, bir-parametre altgrupları ve eksponansiyel gönderimi ile verilmektedir. İlk önce örtü uzayları ile ilgili temel bir sonucu ifade ediyoruz. Bu bize bir-parametre altgrupların varlığını belirlememize olanak tanıyacak. Teorem 2.1. 1. ρ : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) bir örtü olsun. Z bir yol-bağlantılı ve yerel yolbağlantılı bir topolojik uzay olsun ve de α : (Z, z 0 ) (Y, y 0 ) sürekli bir fonksiyon öyle ki α (π 1 (Z, z 0 )) ρ (π 1 (X, x 0 )) koşulunu sağlasın. O zaman aşağıdaki diyagramı değişmeli kılan yalnız ve yalnız bir α genişlemesi vardır: (X, x 0 ) α ρ (Z, z 0 ) (Y, y 0 ) α 2. Eğer (X, x 0 ) bir yol-bağlantılı, yerel yol-bağlantılı ve yarı-yerel 1-bağlantılı topolojik uzay ise o zaman X bir basit-bağlantılı örtü uzayıdır. 3. Eğer ρ : X Y bir örtü ve Y basit-bağlantılı ise o zaman ρ bir homoemorfizmadır. Şimdi diyelim ki Ḡ, bağlantılı bir G Lie grubunu örten basit-bağlantılı bir çokkatlısı olsun. Gözlemleyeceğimiz şey Ḡ nin aslında kendi başına bir Lie grubu olduğudur. Her şey den önce, π : Ḡ G örtü gönderiminin tanımından gelen yerel izomorfizmayı kullanarak, π bir C gönderim olmak üzere Ḡ nin bir pürüzsüz yapıya sahip olduğunu gözlemleyiniz. m : Ḡ Ḡ G ile m(a, b) = π(a)π(b) 1 fonksiyonunu gösterelim ve e Ḡ, π örten örtü gönderimi yardımıyla e G ye gönderilen bir nokta olsun. Ḡ Ḡ basit-bağlantılı olduğundan, Teorem 2.1 den m : (Ḡ Ḡ, (e, e )) (Ḡ, e) gönderimine sahibiz öyle ki 4

π m = m ve m(e, e ) = e. a, b Ḡ için a 1 := m(e, a) ve ab := m(a, b 1 ). ile ters alma ve çarpma işlemlerini tanımlıyoruz. Artık Ḡ nin bir Lie grubu olduğunu göstermek kolay. Teorem 2.2. Her bağlantılı G grubu bir basit-bağlantılı örtü Lie grubuna sahiptir. Bir π : G H Lie grubu homomorfizmasının ne zaman bir örtü gönderimi olduğunu bilmek için kullanışlı bir teorem şöyledir. Teorem 2.3. G ve H iki bağlantılı Lie grubu olmak üzere π : G H bir Lie grubu homorfizması olsun. O zaman π bir örtü gönderimidir ancak ve ancak bunun differansiyeli bir izomorfizmaysa. Basit-bağlantılı Lie grupları ile çalışmanın bariz bir üstünlüğü vardır. Bir sonraki sonucun kanıtı çok zor değil ancak üzerinde durmayacağımız bir takım fikirleri gerektiriyor. Teorem 2.4. Diyelim ki G basit-bağlantılı bir Lie grubu ve H keyfi bir Lie grubu olsun. g ve h bunların Lie cebirlerini, ve φ : g h bir Lie cebiri homomorfizmasını göstersin. O zaman dψ = φ koşulunu sağlayan yalnız ve yalnız bir Lie grubu homomorfizması ψ : G H vardır. Sonuç 2.5. Eğer iki basit-bağlantılı G ve H Lie gruplarının Lie cebirleri izomorfik ise G ve H Lie grubu olarak izomorfiktirler. Lie grupları ve onların Lie cebirleri arasında bir başka önemli bir eşleme vardır. Bu sefer izomorfik sınıflardan ziyade alt-nesnelere yöneliyoruz. Teorem 2.6. G bir bağlantılı Lie grubu olsun ve g onun Lie cebirini göstersin.o zaman G nin bağlantılı Lie altgrupları ile onun Lie cebirinin altcebirleri arasında 1-1 bir eşleme vardır. 5

3 Eksponansiyel Fonksiyon G bir Lie grubu olsun. Bir φ : (R, +) G homomorfizması G nin bir 1-parametre altgrubu olarak adlandırılır. (R, +) nin Lie cebiri bir-boyutludur ve değişmelidir. φ bir homomorfizma olduğundan 0 ı G nin birim elemanı olan e ye göndermektedir. Özel olarak bir Lie algebra homomorfizması olan φ nin diferansiyeli, 0 ı X = φ(0) g elemanına göndermektedir. Tersine, d dx c d dx ile (R, +) nin Lie cebiri için (doğal) baz vektörünü gösterelim. Bu bariz gönderim cx aslında Lie cebiri homomorfizmasıdır. (R, +) basit-bağlantılı olduğundan, bir önceki bölümden biliyoruz ki teklikle belirli bir 1-parametre altgrubu φ X vardır öyle ki onun diferansiyeli dφ X (c d dx ) = cx. Bir başka deyişle φ X, 0 daki değeri X olan teklikle belirli bir 1-parametre altgrubudur. exponansiyel fonksiyonu teklikle belirli C fonksiyonudur öyle ki exp(0) = e eğer σ : R G, σ(0) = e ile bir C -fonksiyon ve bir X g için σ (t) = X σ(t) oluyorsa o zaman exp(tx) = σ(t). Örneğin, G akla gelen ilk Lie grubu G = C olduğunda onun exponansiyel fonksiyonu exp : T 1 C = R 2 = C C, exp(z) = e z ile verilmektedir. Burada, tabi ki, eğer z = a + ib ise o zaman e z = e a (cos b + i sin b). vardır. Exponansiyel fonksiyonun, bizim kanıtsız olarak değineceğimiz, birçok önemli özellikleri Genel olarak, exp örten değildir. Ancak, eğer G bağlantılı ise o zaman G grup olarak exp in imgesi ile üretilmektedir. Eğer H bir G Lie grubunun kapalı bir altgrubu ise o zaman H, G nin bir Lie altgrubudur. Dahası ι : H G injeksiyonunun e H deki diferansiyelinin imgesi dι(h) = {X g : exp(tx) H for all t R}. 6

Özel olarak eğer G, GL(n, R) nin bir kapalı altgrubu ise o zaman G nin Lie cebiri g = {X Mat n (R) : exp(tx) G for all t R}. ile verilmektedir. Örnek 3.1. A herhangi bir reel ya da kompleks matris olsun. φ(t) = e ta ile tanımlanan φ : (R, +) GL n fonksiyonu bir grup homomorfizmasıdır. Tersine φ : (R, +) GL n grup homomorfizması olan türevlenebilir bir fonksiyon olsun ve de A, φ (0) ifadesini göstersin. O zaman φ(t) = e ta. Burada, e ta = I + ta + t 2 /2A 2 +. Bir diğer örnek için şunu göz önüne alalım. SO(2, R) S 1 ve de 0 1 A = 1 0 olsun. O zaman cos t sin t e ta = sin t cos t olur ve SO(2, R) nin herhangi bir elemanı bu biçimdedir. Daha genel olarak O(n, R) nin birparametre altgrupları, A bir ters-simetrik matris (A = A) olmak üzere, e ta biçimindedir ve U n nin bir-parametre altgrupları, A bir ters-hermitian matris (A = A) olmak üzere, e ta biçimindedir. A Mat n için e trace(a) = det e A özdeşliği bize, A Mat n izi sıfır olan bir matris olmak üzere, SL(n, R) nin 1-parametre altgruplarının e ta biçiminde olduğunu vermektedir. References [1] Humphreys, J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory [2] Warner, F., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups 7