DİNAMİK ARAÇ ROTALAMA PROBLEMLERİ İÇİN YENİ BİR ÇÖZÜM ÖNERİSİ 1 A NOVEL APPROACH FOR SOLUTION OF DYNAMIC VEHICLE ROUTING PROBLEMS

Süleyman Demirel Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi Y.2017, C.22, S.3, s.807-823. Suleyman Demirel University The Journal of Faculty of Economics and Administrative Sciences Y.2017, Vol.22, No.3, pp.807-823. DİNAMİK ARAÇ ROTALAMA PROBLEMLERİ İÇİN YENİ BİR ÇÖZÜM ÖNERİSİ 1 A NOVEL APPROACH FOR SOLUTION OF DYNAMIC VEHICLE ROUTING PROBLEMS Yonca ERDEM DEMİRTAŞ *, Erhan ÖZDEMİR ** * ** Arş.Gör. Dr., İstanbul Üniversitesi, İşletme Faültesi, Sayısal Yöntemler ABD, yncerdem@istanbul.edu.tr Emeli Prof. Dr., İstanbul Üniversitesi, İşletme Faültesi, Sayısal Yöntemler ABD ÖZ Araç Rotalama Problemi (ARP) üzerinde ço uzun zamandır çalışılan bir optimizasyon problemidir. Bir ARP de tüm problem girdileri önceden bilinir ve problem boyunca değişmezler. Her ne adar ARP, NP-Zor sınıfında iyi bilinen stati bir problem olsa da gerçe hayatta benzeri problemler dinami bir şeilde değişmetedir. Bu tip problemler Dinami ARP (DARP) olara isimlendirilmetedir. Diğer taraftan DARP de problem girdilerinin başlangıçta tamamı veya bir ısmı bilinmez ya da planlama esnasında ortaya çıabilir veya değişebilirler. Bu ii önemli arateristiten dolayı DARP, ARP ye oranla daha zor bir problem olara bilinmetedir. Bu çalışmada, DARP incelenmiş ve Parçacı Sürü Optimizasyonu (PSO) yöntemi ile bir çözüm önerilmiştir. Literatürde çalışılan test problemleri PSO ile çözülmüş ve sonuçlar literatürde yer alan diğer yöntemler ile arşılaştırılmıştır. Ele alınan bir gerçe hayat probleminin çözümü için önerilen PSO algoritması uygulanara elde edilen sonuçlar hali hazırda ullanılan rotalar ile arşılaştırılmatadır. Anahtar Kelimeler: Dinami Araç Rotalama Problemi, Meta Sezgisel Algoritmalar, Parçacı Sürü Optimizasyonu, Yerel Arama Tenileri Jel Kodları: C61, L9. ABSTRACT Vehicle Routing Problem (VRP) is a well-nown NP-Hard optimization problem that has been studied for many years. In the VRP, all information about the problem is nown at the beginning of the solution procedure. It is basically a static problem, although many VRP problems change over time in the real world. These problems are called as Dynamic VRP (DVRP) in the literature. In most cases, the real world information can change or appear after the solution process begins. These characteristics mae the DVRP harder than static VRP. In this study DVRP is examined and a Particle Swarm Optimization algorithm is proposed. The most nown benchmars are solved with the proposed algorithm and the results are compared with the previously employed methods in the literature. The propose algorithm is used to solve a real world DVRP and the obtained results are compared with the route that is used by the factory. Keywords: Dynamic Vehicle Routing Problem, Meta Heuristics, Particle Swarm Optimization, Local Search Techniques. Jel Codes: C61, L9. 1 Bu çalışma Prof.Dr. Erhan ÖZDEMİR danışmanlığında yürütülen ve Dr. Yonca ERDEM DEMİRTAŞ tarafından hazırlanan Dinami Araç Rotalama Problemine Parçacı Sürü Optimizasyonu Algoritması Çözüm Önerisi Başlılı Dotora tezinden yararlanılara hazırlanmıştır. 807

ERDEM DEMİRTAŞ ÖZDEMİR 2017 1. GİRİŞ Günümüz gerçe hayat problemlerinin birçoğu zaman fatörünü diate aldığımız müddetçe geçerlidir ve optimum çözüm veya çözüm uzayı zamana bağlı değişebilmetedir. Literatürde yer alan Araç rotalama problemlerine ait çalışmalar genellile stati optimizasyon problemleri üzerine yoğunlaşmıştır. Stati versiyonları dahi NP-Zor sınıfına dahil olan bu problemlerin dinami halleri günümüz araştırmacıları için yeni ve ilgi çeici bir alandır. Bununla birlite dinami problemin stati halini de apsadığı ve stati haline göre daha zor olduğu ispatlanmıştır (Cormen v.d., 2009: 1049-1050). NP-Zor sınıfında bulunan problemlere, analiti yöntemlerle abul edilebilir bir zaman içerisinde aliteli sonuçların üretilmesi pe mümün gözümemetedir. Bu gerçe, meta sezgisel yöntemleri ön plana çıarmatadır. Araç Rotalama Problemi (ARP) NP-Zor sınıfına dahil bir problem olduğundan meta sezgisel çözüm önerileri yaygın olara ullanılmatadır. Dolayısıyla Dinami ARP (DARP) için de analiti yöntemler etisiz almata ve meta sezgisel yöntemler önerilmetedir. Araç rotalama problemi, merezi depodan yola çıan bir veya birden fazla aracın dağıtım ve/veya toplama yapacağı onumlara maliyeti en üçüleyece şeilde yönlendirilmesi şelinde özetlenebilir. ARP gerçe hayat uygulaması ço yaygın olan bir ombinatoryal optimizasyon problemidir. Literatüre azandırıldığı 1959 (Dantzig ve Ramser, 1959) tarihinden itibaren geniş bir itle tarafından üzerinde çalışılmatadır. Problemin zaman avramını dâhil eden ve daha armaşı bir yapıya sahip olan dinami versiyonu Dinami Araç Rotalama problemidir. Dinami ARP literatüre 1988 (Psaraftis, 1988) yılında tanıtılmıştır. Çalışmada dinami ve stati araç rotalama problemleri arasındai farlara değinilmiştir. Ayrıca bir argo şiretinin araçlarının dinami olara rotalama problemini çözen bir algoritma önerilmiştir. Psaraftis 1995 yılında DARP ile ilgili geniş bir derleme çalışması yapara bu alandai literatüre atı sağlamıştır (Psaraftis, 1995). ARP için literatürde yer alan test problemleri Kilby v.d. (1998) tarafından geliştirilere DARP için test problemleri üretilmiştir. Dinami hale getirilen test problemlerine, çalışma günü uzunluğu, taleplerin ortaya çıış zamanları, her bir talebin servis süresi gibi zamana bağlı parametreler elenmiştir. Montemanni v.d. (2005) aynı test problemlerini ullanara Karınca Kolonisi Algoritması ile çözüm önerisi sunmuştur. Bu çalışmada, planlama periyodu eşit uzunluta zaman aralılarına bölünere her bir zaman aralığı içerisinde o ana adar ortaya çıan problem girdileri ile stati problem üretilere çözüm algoritması çalıştırılmıştır. Planlama periyodunun aç eşit alt aralığa bölünmesi geretiği ile ilgili test çalışmaları yapılmıştır. Bu yalaşım il olara Montemanni v.d. (2005) tarafından önerilmiştir. Daha sonra Hanshar ve Ombui-Berman (2007) Geneti Algoritma ve Khouadjia v.d. (2012) Parçacı Sürü Optimizasyonu ile aynı yalaşımı ullanara literatüre atıda bulunmuşlardır. Çalışmamızda PSO algoritması ile DARP problemine yeni bir çözüm önerisi sunulmatadır. Bir meta sezgisel algoritmanın performansını belirleyen en önemli özelli çözüm gösterimi ve dolayısıyla çözüm uzayının nasıl tarandığıdır. Bu açıdan baıldığında yaın zamanda (Khouadjia v.d., 2012) tarafından önerilen benzer bir çalışmayla arşılaştırıldığında özgün bir PSO algoritması önerdiğimizi söyleyebiliriz. Önerilen yöntemde, çözüm gösterimi için reel sayılardan oluşan bir vetör ullanılmatadır. PSO algoritmasıyla bulunan çözümler, performans açısından başarılı olduğu bilinen ve yaygın olara ullanılan yerel arama tenileriyle birlite ullanılara elde edilen sonuçlar arşılaştırılmıştır. 808

C.22, S.3 Dinami Araç Rotalama Problemleri İçin Yeni Bir Çözüm Önerisi İlerleyen bölümlerde sırasıyla problemin tanımı ve matematisel gösterimi anlatılaca, ardından 3. Bölümde PSO algoritması açılanaca ve önerilen yöntemin detayları verilecetir. 4. Bölümde parametrelerin seçimi ifade edilip elde edilen sonuçlar literatürde bilinen diğer yöntemlerle arşılaştırılacatır. Son olara 5. Bölümde sonuçlar değerlendirilece ve olası gelece çalışmalardan bahsedilecetir. 2. DİNAMİK ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİ 2.1. Problem Tanımı Kombinatoryal optimizasyon problemleri içerisinde yer alan Gezgin Satıcı Problemi 1800 lü yıllardan beri üzerinde çalışılan önemli problemlerden biridir. Gezgin Satıcı Problemi (GSP) aralarındai uzalıları bilinen n tane şehrin her birinden yalnız bir ez geçen ve başlanılan notada tamamlanan, en az maliyetli turun bulunmasını hedefleyen bir rotalama problemidir. ARP ise Gezgin satıcı probleminin daha genel hali olara düşünülebilir. Burada m tane aracın rotalarının belirlenmesi söz onusudur, her bir aracın rotası depodan başlayan ve müşterilerin bulunduğu şehirlere ait bir alt ümeyi gezere depoda son bulan bir turdan oluşmatadır. Her bir müşteri yalnızca bir ez ziyaret edilmelidir ve bir rotaya ait müşteri taleplerinin toplamı araç apasitesini aşmamalıdır. ARP de amaç tur maliyetini en üçülemetir. Hesaplama armaşılığı açısından ARP NP-zor sınıfına ait bir problemdir (Cormen v.d., 2009: 1115) Dinami ARP literatüre 1988 yılında azandırılmıştır (Psaraftis, 1988). DARP de yer alan dinami li avramı arar vericiler için, araç rotaları bulunması ve güncellenmesinde ihtiyaç duyulan bilgilerin zamana bağlı olara açığa çımasını göstermetedir. Yolların durumu, müşterilerin özellileri, dağıtım ve toplama işlemlerinin aynı anda bulunup bulunmaması gibi unsurlar diate alınara DARP türleri çeşitlendirilmetedir. Gelenesel ARP ile arşılaştırıldığında DARP daha genelleştirilmiş bir problem sınıfı olara arşımıza çımatadır, ARP nin ait olduğu üme DARP nin bir alt ümesi olara ele alınır. ARP de probleme ait bilgiler planlama periyoduna başlamadan önce tamamıyla bilinmetedir ve planlama sonuna adar değişmemetedir. Öte yandan DARP de problem ile ilgili bilgilerin tamamı bilinmemele beraber, planlama periyodu boyunca değişebilmesi de söz onusudur (Larsen, 2000). Problemle ilgili bilgiler müşterilerin coğrafi onumları, müşteri sayısı, talep veya arz mitarları ve müşterilerin servis edilme süreleri olara ele alınmatadır. ARP türleri için yapılan tüm sınıflandırmalar problemin dinami versiyonu için genelleştirilebilir. Detaylı bilgi için yapılan çalışmalar incelenebilir (Bianchi, 2000), (Larsen, 2000), (Pillac v.d, 2013), (Kilby v.d., 1998). Çalışmamızda ele aldığımız DARP türü apasite ısıtlı araç rotalama probleminin dinami halidir. Araç apasite ve sayılarının bilinmesi ile birlite, müşteri talepleri ve onumları zaman ilerlediçe açığa çımatadır. Problem ele alınıren Montemanni v.d. (2005) tarafından önerilen yalaşım ullanılmıştır. Buna göre planlama periyodu belirli sayıda zaman dilimine bölünere, her bir zaman diliminde o ana adar açığa çıan problem girdileri ile üretilen ARP, çözüm algoritması ile çözülmetedir. Bu sebeple ARP türlerinden apasite ısıtlı stati araç rotalama probleminin matematisel modelinden bahsedere daha sonra problemin dinami versiyonuna geçiş yapılara dinamizm değerlendirmesi yapılmatadır. Toth ve Vigo (2001) de önerilen matematisel model araç sayısı da göz önüne alınara düzenlenmiştir ve aşağıdai şeilde ifade edilebilir: Araç rotalama problemi G = (V, A) çizgesi üzerinde tanımlı olsun. Burada V = {0,1,, n}; 0. düğüm depoyu gösterme üzere şehirlere/müşterilere ait düğümleri, A = {(i, j): i, j V, i j} düğümleri birbirine bağlayan doğru parçaları ümesini 809

ERDEM DEMİRTAŞ ÖZDEMİR 2017 göstermetedir. Her bir düğüm te bir araç tarafından ziyaret edilecetir. Problemde özdeş Q apasiteye ait m adet aracın hizmet verdiği varsayımı bulunmatadır. Probleme ait çizge eğer simetri ise G = (V, E) şelinde gösterilmetedir, burada ii şehrin arasındai yolların temsil edildiği E ümesi, yönlendirilmiş doğru parçalarından (arlardan) oluşmatadır. Bu durumda, i den j ye gitme maliyeti ile j den i ye gitme maliyeti eşittir dolayısıyla problem simetri bir yapıya sahiptir. Parametreler: V {0,1,..., n} : Düğüm ümesi, K {1,2,..., m} : Araç ümesi, Q : Araç apasitesi, c ij : i düğümünden j düğümüne gitme maliyeti, d : i düğümünde yer alan müşterinin talep i mitarı, x ij 1, aracı i. şehirden j. şehire gidiyorsa 0, asi halde. Amaç fonsiyonu: Minimize Kısıtlar: n m i0 1 n n m cij xij (1) io j0 1 xij 1, j V \{0}, (2) n m xij 1, i V \{0}, (3) j0 1 n m xi 0 m, (4) i1 1 n m x0 j m, (5) j1 1 n n ih i0 j0 x xhj, h V, K, (6) n n dixij Q, K (7) i0 j0 is js x S 1, S V \{0}, ij S, (8) Amaç fonsiyonu toplam tur maliyetini minimize edece şeilde modellenmiştir. (2) ve (3) numaralı ısıtlar depo dışındai her bir müşterinin yalnızca bir ez ziyaret edilmesi geretiğini göstermetedir. (4) ve (5) numaralı ısıtlar depoya araç sayısı adar giriş ve çıış olmasını ontrol etmetedir. Yani m adet alt rota oluşturulmatadır. Kısıt (6) ise her bir düğüme giriş ve çıış aynı araç tarafından yapılması geretiğini söylemetedir. Kısıt (7) bir araca ait müşterilerin toplam talebinin araç apasitesini aşmamasını ontrol etmetedir. Son olara (8) numaralı ısıt bir araç için alt tur oluşmasını engellemetedir. Çalışmada ilgilenilen araç rotalama problemi simetri apasite ısıtlı dinami araç rotalama problemidir ve matematisel model yapısı stati problemle aynı özellilerdedir. Tabii i dinami olara müşteri bilgileri değişmetedir, anca her bir değişim ontrolünde eldei bilgiler ışığında anlı stati problemler oluşturulmatadır. 2.2. Dinamizmin Derecesi Dinami olara yapılan rotalamalarda, probleme dair bilgilerin tamamı sistem işleyişine başladıtan sonra ortaya çıabilir. Anca, bazı yapılarda problem girdilerinin bir ısmı sistem işleyişine başlamadan önce biliniyor olabilir. Örneğin argo dağıtımı yapılan bir şiretin, bir öncei günden alan hizmet verilmemiş müşterileri bulunabilir ve bunlara e olara yeni iş gününde ortaya çıaca müşterilerini de diate alara planlamalarının yapılması gereebilir. Rotalama probleminin dinamizminin ölçülmesi ve geliştirilece algoritmaların bu yönde tasarlanması önemlidir. Literatürde problemin dinamiliğini ölçme için bir taım metriler önerilmiştir. Bunlar 810

C.22, S.3 Dinami Araç Rotalama Problemleri İçin Yeni Bir Çözüm Önerisi içerisinde il olara Lund v.d (1996) tarafından önerilen metri en yalın olanıdır ve eşitli (9) ile ifade edilmetedir. nd dod n n s d (9) Burada dod ile gösterilen metri dinamizmin derecesini veya yüzdesini ölçmetedir ve İngilizce degree of dynamism cümlesinin baş harflerinden oluşmatadır. n d ve n s sırasıyla, dinami müşterilerin sayısını ve stati müşterilerin sayısını göstermetedir. Belirli bir planlama periyodu, [0,T], için dinami müşterilerin sayısının toplam müşterilerin sayısına oranlanmasıyla bulunan dinamizmin derecesi [0,1] aralığında bir değer almatadır. Dinamizmin derecesi 1 e ne adar yaınsa sistem o derece dinami ve armaşı bir yapıya sahiptir. Örneğin 10 müşteriden 2 sinin dinami olara ortaya çıtığı bir durumda dinamizmin derecesi 0,2 veya %20 olara hesaplanmatadır. Larsen (2000) çalışmasında dinamizmin derecesini ölçme için zaman avramını da hesaplamalara dahil edilmesi geretiğini önermetedir. Buna göre zamana bağlı olara ortaya çıan müşterilerin ortaya çıma zamanlarını da formülasyonuna elemiştir. Çünü ii sistemin dinamizmini arşılaştırma adına sadece dinami ve stati müşterilerin sayısı yeterli olamamatadır. Dinami olara ortaya çıan müşterilerin planlama periyodunun hangi zaman dilimlerinde ortaya çıtığı da arar verme sürecini etileyen bir unsur olmatadır. Zaman avramını diate alan metriğin hesaplanmasına geçmeden önce pratite nasıl değerlendirildiğinden bahsetme geremetedir. Dinami ve stati müşteri sayıları eşit olan ii senaryo ele alalım; birincisinde dinami olan müşteriler planlama periyodunun hemen il dönemlerinde ortaya çımış olsun, iincisinde ise planlama periyoduna uzun vadede dağılmış olara ortaya çısınlar. İinci sistem arar verici açısından daha esnetir. Çünü arar vericinin değişili ortaya çıtığında bir sonrai değişiliğe adar geçen süresi daha uzundur. Ortaya çıma zamanlarını diate alara sistem dinamizmini ölçen, effective degree of dynamisim cümlesinin ısaltması olara edod dinamizmin efetif derecesi olara çevrilebilen metri eşitli (10) ile gösterildiği şeilde hesaplanmatadır. edod nsnd i1 n s t ( i ) T n d (10) Burada t i [0, T], i. müşterinin ortaya çıma zamanını göstermetedir. Stati müşteriler için t i = 0 dır. Kolayca görülebileceği gibi edod da [0,1] aralığında bir değer almatadır. Tüm müşteriler planlama periyoduna başlamadan önce biliniyorsa edod = 0, eğer tüm müşteriler T zamanında (yani planlama periyodunun en sonunda) ortaya çııyor ise edod = 1 olmatadır. Sonuç olara dinamizmin derecesinin ölçülebilmesi problemin ne derece armaşı bir yapıya sahip olduğunun göstergesi olmatadır. Bu nedenle rotalama problemlerini arşılaştırma adına önemlidir. Dinamizmin ölçülebilir olduğundan bahsettiten sonra, ölçülen değerlerin problemlerin ategorize edilmesinde ullanıldığından bahsetme geremetedir. Dinami araç rotalama problemleri, dinamizm metriğine göre üç farlı ategoride sınıflandırılmatadır; bunlar zayıf dinami, orta dinami ve güçlü dinami şelindedir. Örneğin tedari ve dağıtım şiretlerinde dağıtım yapılaca müşterilerin %80 ve daha fazlası planlamaya başlamadan önce bilindiği için bu tip şiretlerin dağıtım problemleri zayıf dinami sınıfına girmetedir. 3. PSO ALGORİTMASI PSO, 1995 yılında Kennedy ve Eberhart (1995) tarafından önerilen popülasyon temelli meta sezgisel bir optimizasyon teniğidir. Temel prensip olara uş ve/veya balı sürülerinin sosyal 811

ERDEM DEMİRTAŞ ÖZDEMİR 2017 davranışlarına dayanmatadır. Kuş, balı ve hayvan sürülerinin bir bilgi paylaşma yalaşımı uygulayara çevrelerine adapte olabilme, zengin yiyece aynağı bulabilme ve avcılardan açabilme yetenelerinden esinlenmiştir. Bu davranış biçimine sürü zeası (swarm intelligence) ismi verilmetedir. Sürü zeası belirli bir algoritma veya bir sistem değildir. Sürü zeası doğal veya yapay dağıtılmış, endi endine organize sistemlerin, oletif bir davranış biçimidir. Sürü zeasını baz alara işleyen algoritmalara verilebilece en bilinen örneler arınca olonisi algoritması ve parçacı sürü optimizasyonu algoritmasıdır. Diğer evrimsel algoritmalar ile arşılaştırıldığında bu algoritmalarda, birbirlerinin davranışlarından etilenen sürü elemanlarının, bireysel hareet edenlere nazaran çözüm uzayına daha uygun bir şeilde yayıldığı görülmüştür. Bu durum dinami olara değişen çözüm uzaylarındai değişimin daha rahat taip edilebilmesine ve adaptasyonun daha hızlı olmasına olaylı sağlamatadır (Yu ve Gen, 2010: 328). PSO algoritmasında, çözüm uzayındai aramalar popülasyon temelli yapılmatadır, popülasyona sürü, sürü elemanlarının her birine de parçacı ismi verilmetedir. Her bir parçacı aslında probleme ait bir çözümü temsil etmetedir. Başlangıç popülasyonu rasgele seçilen parçacılardan oluşmatadır ve her bir parçacığın endine ait hız ve yön bilgileri bulunmatadır. Yine bu hız ve yön bilgileri başlangıç popülasyonu üretiliren her bir parçacı için rasgele üretilmetedir. Her bir parçacı endi geçmiş pozisyonlarından en iyi olanına dair bilgileri hafızasında tutar. Bu pozisyondai amaç fonsiyonu (uygunlu değeri) değerine işisel en iyi (pbest i ) denir. Sürü elemanlarının en iyi pozisyonuna ise global en iyi (gbest i ) adı verilmetedir. Sürüye ait belirli bir alt üme için de en iyi pozisyon bilgisi salanabilir buna da yerel en iyi (lbest i ) adı verilir. Çözüm uzayında geziniren her bir ilerleme aşamasında parçacılar işisel en iyi ve global en iyi pozisyonları gözetere hızlarını ve yönlerini tayin ederler. Karar verici tarafından önceden belirlenmesi gereen bazı parametreler bulunmatadır. Bunlar sürü yani popülasyonun aç parçacıtan oluşacağı, her bir parçacığın hızının masimum ne adar olabileceği şelindedir. Algoritma tasarlanıren bu bilgiler diate alınmatadır. Örneğin, D tane bilinmeyen içeren bir optimizasyon problemini ele alalım. Bu durumda her bir parçacığın bir çözümü temsil edebilmesi için D boyutlu bir vetör ile gösterilmesi geremetedir. Popülasyonda n adet parçacı olduğunu varsayarsa her bir parçacığın pozisyon vetörlerinden oluşan pozisyon matrisi aşağıdai gibi olacatır: x x x x X x x x x x 11 12 1D 21 22 2D n1 n2 nd Pozisyon matrisindei i. satır i. parçacığın pozisyonunu temsil eder ve X [ x, x,..., x ] i i1 i2 id olara ifade edilir. Aynı parçacığın o ani en iyi uygunlu değerini elde ettiği işisel en iyi pozisyonu pbest [ p, p,..., p ] şelinde i i1 i2 id gösterilir. Popülasyonun, yani sürünün en iyi pozisyonu olan global en iyi [,,..., ] ile temsil edilir. gbest g1 g2 g D Her bir iterasyonda tüm parçacıların pozisyonu hız vetörüne göre güncellenir, i. parçacığın pozisyonundai değişim mitarını veren hız vetörü ise V [ v, v,..., v ] i i1 i2 id olara ifade edilir. Daha önce de bahsedildiği gibi il iterasyon için tüm vetörler rassal olara üretilir, daha sonra her bir iterasyonda belirli formüllere göre güncellemeler yapılmatadır. Kennedy ve Eberhart (1995) ın önermiş olduğu sonrasında (Shi ve 812

C.22, S.3 Dinami Araç Rotalama Problemleri İçin Yeni Bir Çözüm Önerisi Eberhart, 1999) ın geliştirmiş olduğu formülasyona göre i. parçacığın. iterasyonda hız vetörünün j. elemanı denlem (11) şelinde güncellenmetedir: v wv c rand ( p x ) 1 ij ij 1 1 ij ij c rand ( g x ) 2 2 j ij (11) Burada, rand 1 ve rand 2 [0,1] aralığında düzgün dağılıma ait rasgele sayılardır ve c 1 ile c 2 hızlandırma sabiti olara adlandırılan pozitif ii sabit sayıdır 2. c 1, parçacığın endi tecrübelerine göre hareet etmesini, c 2 ise sürüdei diğer parçacıların tecrübelerine göre hareet etmesini sağlar. Ayrıca 0 < w < 1 olma oşulu ile w atalet ağırlığıdır. 3 Düşü atalet ağırlığı değerleri yerel aramayı, yüse atalet ağırlığı değerleri ise global aramayı olaylaştırmatadır. Parçacığın hızının belirlenmesindei il terim mevcut hareetinin etisidir, iinci terim endi belleğinin etisi, son terim ise sürünün belleğinin etisidir. Hız vetörünün güncellenmesinden sonra i. parçacığın pozisyon vetörünün elamanları denlem (12) e göre güncellenir: x x v (12) 1 1 ij ij ij PSO algoritmasının en önemli özellilerinden biri hızlı yaınsaması ve olay uygulanabilir olmasıdır. PSO algoritmasının özet bir şeilde işleyiş adımları Algoritma 1 ile verilmetedir. Algoritma 1: PSO algoritmasının genel işleyişi PSO parametrelerinin belirlenmesi; For Her Bir Parçacı İçin{ Pozisyonlarını ve hızlarını belirle } End For Do { For Her Bir Parçacı İçin{ Uygunlu değerini hesapla; 2 Kennedy ve Eberhart c1=c 2=2 olara seçmeyi önermişlerdir. 3 Shi ve Eberhart atalet ağırlığının algoritmanın işleyişi süresince 0,9 dan başlayıp 0,4 e adar doğrusal olara azalmasını önermetedir. Kişisel en iyi ve global en iyi değerlerini güncelle; } End For For Her Bir Parçacı İçin{ Parçacığın hızını hesapla Parçacığın pozisyonunu güncelle } End For } While { Masimum iterasyon sayısına veya minimum hata oşulu sağlanana adar devam et } 3.1. Önerilen Çözüm Tasarımı DARP için çözüm önerisi geliştirilen çalışmamızda çözüm algoritması PSO ullanılmıştır. PSO nun dinami problemlere uygulanmasına literatürde yaın zamanda yeni yeni arşılaşılmatadır. Çalışmada çözüm yalaşımı olara Montemanni v.d. (2005) tarafından önerilen yalaşım uygulanmıştır. DARP için önerilen çözüm yalaşımında ii ana unsur söz onusudur, ili çözüm aşamalarının işleyişini ontrol eden Olay Yöneticisi ( Event Manager ) ısmı, diğeri ise problemin çözümlerinin üretildiği çözüm algoritmasıdır. Olay Yöneticisi, çözüm algoritmasının ürettiği çözümlerin uygunluğunu denetleyere optimizasyon prosedürü ile müşteriler arasında öprü görevi üstlenmetedir. Çözüm yapısının işleyişi Şeil 1 ile verilmetedir. Çözüm stratejisi planlama periyodunun eşit uzunlutai zaman dilimlerine bölünmesine dayanmatadır. Tüm planlama periyodunun uzunluğu T ile gösterilece olursa ve n ts alt dönem sayısı olma üzere; her bir alt dönemin uzunluğu T n ts olacatır. Problem alt zaman aralılarına ayrıldıtan sonra her bir zaman diliminde o ani problem girdileri göz önünde bulundurulara stati araç rotalama problemi çözülür. Bir sonrai zaman diliminde öncei stati problemin bilgileri hafızada tutulur ve aradai zamanda eğer bilgi değişiliği olmuş ise problem terar güncellenere yeni stati ARP üretilir ve çözülür. 813

ERDEM DEMİRTAŞ ÖZDEMİR 2017 Zaman periyotları içerisinde, üretilen stati ARP ler ardışı olara çözülere dinamizmin taip edilmesine çalışılmatadır. Yapıda arar verici tarafından önceden belirlenmesi gereen bir taım parametreler bulunmatadır. Şeil 1: Çözüm Yapısının İşleyişi Bunlardan ili planlama periyodunun aç alt döneme ayrılacağıdır, yani n ts belirlenmelidir. Müşteriler talepler Olay Yöneticisi atamalar Araçlar oluşturulur iyileştirilmiş çözüm Stati Problem Yerel Arama bilgiler PSO Algoritması uygun çözüm Bir planlama periyodu içerisinde, örneğin 1 gün içerisinde, belirli bir zamandan sonra gelen taleplerin ertesi güne ertelenmesi geremetedir. Örneğin günün il yarısında gelen talepler aynı gün değerlendirilir, iinci yarısında gelen talepler ertesi güne atarılır. Ertesi günün il alt zaman diliminde bir öncei günden bilinen taleplerin tamamı değerlendirilir, diğer zaman dilimlerinde yine dinami olara açığa çıan talepler diate alınır. Böylelile ardışı günler boyunca sistem esintisiz bir şeilde işleyişine devam eder. Belirlenmesi gereen iinci parametre bu notada ortaya çımatadır. Günün veya planlama periyodunun hangi zamanından sonra gelen taleplerin ertesi güne erteleneceğinin ararı T co parametresi ile belirlenir. T co zamanından sonra gelen talepler ertesi güne ertelenir. Bir aracın planında asalı olmaması ve aralarda boşa harcanan zaman olmaması planlayıcı açısından önemli bir ısıttır. Bu nedenle araçlara bir sonrai gideceleri müşteriler belirli bir esneli payı bıraılara bildirilmelidir. Böylelile hem müşterilerin geresiz yere belemeleri engellenmiş olur hem de araçlar daha verimli bir şeilde ullanılır. Çözüm stratejisi içerisinde bu ısıt T ac parametresi ile değerlendirilmetedir. T ac değeri belirleniren, her bir aracın son onumlarından tahmini ayrılma süreleri diate alınır. Araçların son onumlarından tahmini ayrılma zamanlarından en az T ac zaman öncesinden bir sonrai gideceleri adres araçlara bildirilir. Böylelile araç ullanıcıları daha uygun davranabilirler. Bu yalaşım önerildiği çalışmadan sonra aademi literatürde farlı çalışmalarda da ullanılmıştır. Montemanni ve aradaşlarının önermiş olduğu çözüm yapısında, problemin çözüm algoritması aşamasında meta sezgisel bir yöntem olan Karınca Kolonisi Algoritması ullanılmıştır. Hanshar ve Ombui-Berman (2007) tarafından yapılan çalışmada ise Geneti Algoritma çözüm safhasında 814

C.22, S.3 Dinami Araç Rotalama Problemleri İçin Yeni Bir Çözüm Önerisi ullanılmıştır. Son yıllarda yapılmış olan Khouadjia ve aradaşları (2012) tarafından yapılan çalışmada ise PSO ve te çözüm tabanlı Değişen Komşulu Arama algoritmaları arşılaştırmalı olara önerilmiştir. 3.2. Parçacı Gösterimi PSO algoritmasının performansını büyü ölçüde etileyen unsurlardan biri de parçacı gösterimidir. Çözüm uzayında her bir parçacığın bulunduğu bir pozisyon vardır. Bu pozisyonlar ilgilenilen problem için parçacığın temsil ettiği çözümleri odlamatadırlar. Çözüm uzayında gezinen ii parçacığın pozisyon vetörlerinin birbirleri ile uzalığının, temsil ettileri çözüm değerlerinin birbirleri ile uzalıları ile ilişili olması belenir. Bu durum parçacı pozisyon vetörü gösteriminin çözüm uzayını iyi temsil ediyor olması demetir. Bir parçacığın pozisyon vetörünün gösterimi için literatürde farlı yalaşımlar önerilmetedir. Açı uçlu ARP için PSO algoritması çözüm önerisi getirilen çalışmada (MirHassani ve Abolghasem, 2011), yazarlar reel sayılardan oluşan pozisyon vetörü ullanmışlardır. Pozisyon vetörünün boyutu müşteri sayısı ile eşit olara seçilmetedir. Pozisyon vetöründen, temsil ettiği çözüm belirli yöntemler ile ounmatadır. MirHassani ve Abolghasem tarafından yapılan çalışmada, önce pozisyon vetörü elemanları büyüten üçüğe sıralanmatadır. Pozisyon vetörünün her bir elemanına arşılı gelen müşteri de aynı sıralamada yer değiştirir. Daha sonra il sıradai müşteri uygun olan il araca atanır. Son olara te nota yer değiştirme (one-point moving) yerel arama yöntemi ile çözüm iyileştirilmiştir. Açı uçlu ARP için bir diğer PSO önerisi Wang v.d. (2006) tarafından yapılmıştır. Bu çalışmada yine reel sayılardan oluşan pozisyon vetörü ullanılmıştır. Reel sayıların tam ısımları müşterilerin hangi araçlara atanacağının belirlenmesinde ullanılmıştır. Tam ısımları aynı olan reel sayıların temsil ettileri müşteriler aynı araçlardan hizmet görmetedir. Reel sayıların ondalılı ısımları ise müşterilerin atandıları araçlarda hangi sırada hizmet göreceğinin belirlenmesinde ullanılmıştır. Yine literatürde ço bilinen yerel arama yöntemlerinden; en yaındaini eleme (nearest insertion), GENI ve 2-opt yerel arama yöntemleri çözüm iyileştirmete ullanılmıştır. Bu çalışmada ullanılan parçacı gösterimi Wang v.d. nin (2006) önerdiği gösterime dayanmatadır. Pozisyon vetörünün boyutu müşteri sayısı adardır. n tane müşteriden oluşan bir rotalama problemi için reel sayılardan oluşmuş n boyutlu bir vetör ullanılmatadır. Pozisyon vetörünün temsil ettiği çözümü vetörden ouma yönteminde, il olara vetör elemanları üçüten büyüğe sıralanmatadır. Daha sonra aynı tam ısma sahip olan reel sayıların temsil ettileri müşteriler aynı araçlara atanır. Reel sayıların ondalılı ısımları ise müşterilerin hizmet sıralarının belirlenmesine yardımcı olmatadır. Dinami ARP için idealde aç araç ullanılacağının önceden belirlenmesi mümün değildir. Seçmiş olduğumuz parçacı gösteriminde araç sayısı ile ilgili olara yalnızca müşteri sayıları diate alınmatadır, aç tane araç ullanılacağı dinami olara değişebilmetedir. Buna göre, en fazla müşteri sayısı adar araç ile optimizasyona başlanmatadır. Yani ullanılabilir araç sayısı bu şeilde belirlenmetedir. Optimizasyon esnasında araç sayısı anlı olara değişmetedir. Seçilen parçacı gösteriminin 8 müşteri için nasıl olduğu ve gösterimden çözüm ounması aşaması Şeil 2 de detaylı bir şeilde gösterilmetedir. Başlangıç Pozisyonunun Belirlenmesi: Çözüm uzayını olabildiğince iyi tarayabilme için başlangıçta parçacılar çözüm uzayına rasgele dağıtılmıştır. Bir parçacığın pozisyon vetörünün her bir bileşeni bir müşterinin hangi araç tarafından hizmet edildiğini ifade etmetedir. Bu sebeple pozisyon vetöründei her bileşen [1, m] aralığında olma zorundadır. Ayrıca m. araç tarafından en son sırada hizmet 815

ERDEM DEMİRTAŞ ÖZDEMİR 2017 edilen bir müşteri bir sonrai iterasyonda il araç tarafından il sırada hizmet görebilme için hız vetörünün ilgili bileşeninin m e ço yaın bir değer olması geremetedir. Bu nedenle her bir parçacığın pozisyon vetörünün her bir bileşeni için [1, m] aralığında, hız vetörünün bileşenleri için ise [ m, m] aralığında rasgele reel sayılar üretilir. Burada m, DARP nin çözümü için ullanılabilece masimum araç sayısını yani masimum alt rota sayısını göstermetedir. m, arar verici tarafından önceden belirlenmesi gereen bir parametredir. Bu parametre için her bir stati problemde müşteri sayısı üst limit olacağı gözden açırılmamalıdır. Şeil 2: Parçacı Pozisyon Gösterimi ve Çözüm Belirlenmesi Pozisyon Vetörü 1 2 3 4 5 6 7 8 2.1 3.12 1.86 2.5 3.21 1.45 2.67 1.43 Artan Sıralama 8 6 3 1 4 7 2 5 1.43 1.45 1.86 2.1 2.5 2.67 3.12 3.21 Araç Rotaları Rota1 0-8-6-3-0 Rota2 0-1-4-7-0 Rota3 0-2-5-0 3.3. Yerel Arama Metotları Yerel arama yöntemleri bir çözümden başlayara ardışı olara çözümü belirli bir ural doğrultusunda adım adım iyileştirme için ullanılan, basit urallara dayalı sezgisel algoritmalardır. Genellile problem türüne özgü olara algoritmaların işleyiş biçimleri belirlenmetedir. Araç rotalama problemi göz önüne alındığında ise her bir araç için belirlenmiş bir tur çözümü teşil etmetedir. Bu notada PSO algoritması ile elde edilen bir çözümün, yerel arama yöntemi ullanılara ardışı olara iyileştirilmesi amaçlanmatadır. Rotayı iteratif olara iyileştirme amaçlı ullanılan yerel arama yöntemleri ii ategoride ele alınmatadır; rota-içi (intra-route) ve rotalar-arası (inter-route) olara isimlendirilmetedir (Woodruff, 1998: 259). Rota-içi yerel arama yöntemlerinde bir araca ait rotadai müşterilerin sıralaması toplam tur maliyetini en iyileyece şeilde iteratif olara belirli bir urala göre değiştirilmetedir. Rotalar-arası yerel arama yöntemlerinde ise bir aracın rotasında bulunan bir müşteri başa bir aracın rotasına elenebilir veya arşılılı olara ii rota arasında müşteri yer değişiliği yapılabilir. Burada yine toplam tur maliyeti göz önünde bulundurulmatadır. Çalışmamızın bu aşamasında, literatürde ço ullanılan ve başarılı sonuçlar elde edilen yerel arama metotlarından DARP için PSO algoritması tarafından bulunan uygun çözümlerin iyileştirilmesi için ullandılarımızdan detaylı bir şeilde bahsedilecetir. 2-Opt Yerel Arama Metodu (Croes, 1958): 2-Opt prosedürü te bir rotayı ele alır ve rota içerisinde ardışı müşteri çiftlerinden 816

C.22, S.3 Dinami Araç Rotalama Problemleri İçin Yeni Bir Çözüm Önerisi iisi arasında güzergâh değişimi yapar. Sistemati olara yapılan güzergâh değişimlerinde toplam tur maliyetlerini en üçü ılan yer değişimi abul edilir. Ardışı müşteri iilileri i (i + 1) ve j (j+1) olara seçildiğini varsayalım; bu durumda arşılılı olara düğümlerin yer değişimi sonucunda i j ve (i + 1) (j+1) enarları elde edilir. Yani i. müşteriden sonra j. müşteri ve (i+1). müşteriden sonra (j+1). müşteriye servis verilir. Rota-içi yerel arama metotları bir aracın toplam tur maliyetlerini optimize etmetedir. Rotalar-arası yerel arama yöntemleri ise buna e olara toplam tur maliyetini en iyileren araç sayısında da değişili yapmaya imân vermetedir. Böylelile minimum sayıda araç ullanmaya olana sağlamatadır. Rotalar arası yerel arama yöntemlerinde, bir müşteri bir alt rotadan diğerine elenebilir veya alt rotalar arasında birer müşteri yer değiştirebilmetedir. Yer değiştirme işlemleri veya eleme işlemleri yapılıren, araçların apasitelerinin göz önünde bulundurulması geremetedir. Araç apasitesi izin verdiği ölçüde ve yer değiştirme ile bir maliyet indirgenmesi veya araç sayısında bir indirgenme söz onusu ise uygulanmatadır. ARP de müşterilerin hangi sırada hizmet görmesinin yanında, ardışı müşterilerin de hangi müşteriler olduğu önemlidir. Çünü bir şehirden diğerine yol alınıren aradai yolun maliyeti de çözümü etilemetedir. Bu nedenle elde edilmiş bir çözüm önerisinde ardışı ii müşterinin de sıralaması bozulmadan rotalar arası yer değişiliği yapılması söz onusu olabilir. Çizge teorisi (Graph Theory) ne göre ii şehir arasındai yol, enar (edge) olara isimlendirilmetedir. Bir enarın rotalar arası yer değiştirmesi operatörü ise 1-enar eleme (one edge insertion) ile isimlendirilmetedir. Çalışmamızda rotalar-arası yerel arama yöntemlerinden (1,0)- yer değiştirme ve 1- enar eleme yerel arama yöntemleri ullanılmıştır. Bu bölümde rotalar-arası yerel arama teniği olara ullanmış olduğumuz sezgisel algoritmalardan bahsedilecetir. (1,0)-yer değiştirme: Te düğümü yer değiştirme, (1,0)-eleme şelinde de isimlendirilen bu sezgisel yöntem ARP probleminin çözüm alitesini artırma için ullanılmatadır. Literatürde yer alan en basit yer değiştirme metodu (1,0) yer değiştirme şelindedir. Yöntemin işleyiş uralı; bir rotadai bir elemanın başa bir rotaya elenmesidir. Bir alt rotanın tüm elemanları sırası ile diğer alt rotaların içerisine elenir. Her uygulama sonucunda maliyetler hesap edilir. Eğer bulunduğu nota dışında başa bir notada maliyet daha üçü oluyorsa yeni yeri o nota tayin edilir. İteratif olara tüm düğümler arasında gezdirilditen sonra i. düğüm en iyi yerine sabitlenmetedir. 1-enar eleme: Bir alt rotanın ardışı ii elemanının başa bir alt rotanın maliyet açısından en uygun yerine elenmesi şelinde uygulanmatadır. Ardışı ii düğüm bir enarı temsil ettiğinden ismi enar eleme olara ullanılmatadır. PSO algoritmasının bulmuş olduğu uygun çözüm sırasıyla 2-opt, (1,0)-yer değiştirme ve 1-enar eleme sezgiselleri ullanılara iyileştirilmetedir. Kullanılmış olan yerel arama metotları birbirleri ile iş birliği içerisinde çalışmatadırlar. İl olara 2-opt sezgiseli her bir alt rotayı endi içerisinde daha ideal hale getirmetedir. Her bir alt rota için, her müşteri iilisi için 2-opt işlemi uygulanır. Her seferinde maliyetler hesaplanır. Tüm mümün yer değiştirmelerin sonucunda en düşü maliyetli yer değiştirme abul edilere uygulanır. 2-opt işlemi tamamlandıtan sonra (1,0)-yer değiştirme sezgisel algoritması uygulanır. (1,0)-yer değiştirme operatörü alt rotaların her biri için, tüm elemanlarının sırasıyla diğer alt rotalarda farlı pozisyonlarda denemetedir. Her bir yer değiştirme için yine maliyetler hesaplanır ve en üçü maliyetli yer değiştirme abul edilere uygulanır. Son olara 1-enar eleme operatörü ile ardışı müşterilere ait yollar, 817

ERDEM DEMİRTAŞ ÖZDEMİR 2017 farlı alt rotalarda denenere maliyetler diate alınara uygulanır. 4. UYGULAMA Dinami araç rotalama probleminin çözümü için önerilen yöntemi test etme adına literatürde çalışılan problem setleri ele alınmıştır. DARP veri setleri olara ele alınan problemler aademi çalışmalarda ullanılmış problemlerdir. Çalışmamızın bu bölümünde önerilen PSO algoritması ile test verileri çözülmüş ve diğer aademi çalışmalarda elde edilen sonuçlar ile arşılaştırılmıştır. Aynı problem seti ile çalışıp Karınca olonisi algoritması (Montemanni v.d., 2005), Geneti algoritma (Hanshar ve Ombui-Berman, 2007) ve PSO algoritması ile çözüm önerisi getiren (Khouadjia v.d., 2012) çalışmalardai çözümlere de yer verilere sonuçlar arşılaştırmalı olara raporlanmıştır. 4.1. Parametre Seçimi Dinami hale getirilen problem ümeleri, Olay Yöneticisi ve Çözüm Algoritması temelli yapı ullanılara çözülmüştür. Çözüm algoritması olara ullanılan PSO parametrelerinin belirlenmesi önemli bir aşamadır. Bunun yanında, çalışma günü ile ilgili önceden belirlenmesi gereen parametreler bulunmatadır. Elde edilen sonuçları, diğer çalışmalar ile arşılaştırabilme için çalışma günü ile ilgili parametreleri aynı seçme uygun olacatır. Karınca Kolonisi algoritması ile çözüm getiren Montemanni v.d. (2005), Tablo 1: PSO Algoritması Parametreleri günün aça bölünmesi ile ilgili bir taım deneyler yapmışlardır. Farlı sayıda alt dilim ile elde edilen sonuçlar arşılaştırılmıştır. Sonuç olara, bir günü belirli bir sayıdan fazla alt dilime ayırma sonuçları iyiye götürmemetedir. Çünü alt zaman dilimleri çoğaltıldıça süreleri azalmatadır ve bir zaman diliminden diğerine geçeren çoğunlula problem bilgisi değişmemetedir. Bu da çözüm algoritmasının geresiz yere çalıştırılmasına sebep olmatadır. Bir günü eşit alt dilimlere ayırıren bu durum diate alınmıştır ve n ts parametresi 25 olara belirlenmiştir. Yani bir çalışma günü 25 alt döneme ayrılıp, her bir döneme ait stati problem çözülmüştür. T co parametresi ile günün hangi zamanından sonra gelen talepler ertesi güne erteleneceği belirlenmetedir. Aynı problem ümesini çözen çalışmalarda bu değer günün yarısı olara belirlenmiştir. Bu nedenle T co = 0,5 T olara seçme uygun olmatadır. Yani öğleden sonra gelen müşteri talepleri ertesi günün il zaman diliminde değerlendirilecetir. Bir planlama günü 25 alt dilime ayrıldığında, günün yarısına adar 13 zaman dilimi geçmetedir. 13 zaman dilimi boyunca, her bir zaman dilimi öncesinde oluşturulmuş stati problemler PSO algoritması ile çözülür. Günün yarısından sonra gelen talepler ise ertesi günün il zaman diliminde çözülür. Bu nedenle 14. iterasyon olara öğleden sonra gelen taleplerin tamamı bir değerlendirilere, te bir stati problem olara ele alınmatadır. PSO algoritmasına ait seçilen parametreler Tablo 1 ile verilmetedir. Parametre Türü Değer Popülasyon Büyülüğü 10 İterasyon Sayısı 1000 Her Bir Problem İçin Terar Sayısı 10 Atalet Ağırlığı (w) 1 Kişisel En İyi Pozisyonun Ağırlığı (c1) 1 Yerel En İyi Pozisyonun Ağırlığı (c2) 1 818

C.22, S.3 Dinami Araç Rotalama Problemleri İçin Yeni Bir Çözüm Önerisi Popülasyon büyülüğü 10 olara belirlenmiştir. Yani 10 farlı oldan çözüm uzayı taranmatadır. Her bir zaman diliminde üretilmiş problem PSO algoritması çalıştırılara çözülmetedir. İterasyon sayısı 1000 olara belirlenmiştir. Stati ARP için Christofides ve Beasley (1984) (7 farlı problem), Fisher (1995) (1 problem) ve Taillard (1993) (12 farlı problem) tarafından oluşturulan test problemleri, Kilby v.d. (1998) tarafından dinami hale getirilmiştir. Problemler literatüre azandıran işinin isminin baş harfi ve içerdiği müşteri sayısı ile birlite isimlendirilmişlerdir. 4.2. Test Sonuçları Test problemlerinin her biri 10 ar ez çözülere her bir çözüm için sonuçlar aydedilmiştir. Algoritma, i7 cpu ve 8 gb ram özellilerindei bir bilgisayarda çalıştırılmış ve arşılaştırmalı sonuçlar Tablo 2 ile verilmiştir. Karşılaştırmalı sonuçlar raporlanıren, her bir algoritma ile elde edilen çözümler maliyetler açısından arşılaştırılmıştır. Bu durumda tüm algoritmaların amaç fonsiyonları, ullanılan tüm araçların almış olduları yolların toplamını minimize etmetir. Bu nedenle en üçü amaç fonsiyonu değeri ile tüm müşterilere hizmet veren algoritma başarılı abul edilmetedir. 20 adet farlı probleme ait amaç fonsiyonu değerlerinde arşılaştırılan dört algoritma için, en iyi değerin bulunduğu hücre oyu renle verilmiştir. Görülmetedir i 8 adet problem için önerilen PSO algoritması literatürde bu güne adar çalışılmış olan algoritmalardan daha iyi sonuç vermetedir. En iyi sonuçların elde edildiği problem boyutlarına diat edilece olursa, genellile büyü boyutlu (120, 150 adet gidilece onumun bulunduğu) problemlerde PSO algoritması başarılı olmatadır. Buradan yola çıara hesaplama armaşılığı açısından daha armaşı ve çözüm uzayının göreli olara daha büyü olduğu problemlerde başarılı olunmatadır. Optimizasyon açısından bu husus önemli olmatadır ve algoritmanın problem boyutu artsa bile yerel optimaya taılmadan çözüme gittiğini göstermetedir. Tablo 2: Elde Edilen Sonuçların Diğer Çalışmalar ile Karşılaştırılması Problem PSO DAPSO 1 ACO 2 GA 3 En İyi Ort. En İyi Ort. En İyi Ort. En İyi Ort. c50 632,93 655,25 575,89 632,38 631,30 681,86 570,89 593,42 c75 988,36 1029,92 970,45 1031,76 1009,38 1042,39 981,57 1013,45 c100 975,62 1028,57 988,27 1051,50 973,26 1066,16 961,10 987,59 c100b 969,90 1018,11 924,32 964,47 944,23 1023,6 881,92 900,94 c120 1267,26 1348,49 1276,88 1457,22 1416,45 1525,15 1303,59 1390,58 c150 1227,21 1363,56 1371,08 1470,95 1345,73 1455,50 1348,88 1386,93 c199 1781,30 1818,18 1640,40 1818,55 1771,04 1844,82 1654,51 1758,51 f71 277,41 301,26 279,52 312,35 311,18 348,69 301,79 309,94 tai75a 1770,03 1859,38 1816,07 1935,28 1843,08 1945,20 1782,91 1856,66 tai75b 1396,39 1435,85 1447,39 1484,73 1535,43 1704,06 1464,56 1527,77 tai75c 1455,77 1522,10 1481,35 1664,40 1574,98 1653,58 1440,54 1501,91 tai75d 1518,58 1590,72 1414,28 1493,47 1472,35 1529,00 1399,83 1422,27 tai100a 2357,66 2471,72 2249,84 2370,58 2375,92 2428,38 2232,71 2295,61 tai100b 2286,00 2374,24 2238,42 2385,54 2283,97 2347,90 2147,70 2215,39 819

ERDEM DEMİRTAŞ ÖZDEMİR 2017 Problem PSO DAPSO 1 ACO 2 GA 3 En İyi Ort. En İyi Ort. En İyi Ort. En İyi Ort. tai100c 1495,20 1588,89 1532,56 1627,32 1562,30 1655,91 1541,28 1622,66 tai100d 1722,27 1879,96 1955,06 2123,90 2008,13 2060,72 1834,60 1912,43 tai150a 3571,34 3746,67 3400,33 3612,79 3644,78 3840,18 3328,85 3501,83 tai150b 2893,76 3200,97 3013,99 3232,11 3166,88 3327,47 2933,40 3115,39 tai150c 2772,36 2928,11 2714,34 2875,93 2811,48 3016,14 2612,68 2743,55 tai150d 3110,11 3258,46 3025,43 3347,60 3058,87 3203,75 2950,61 3045,16 1: Dynamic Adopted PSO (Khouadjia v.d., 2012) 2: Ant Colony Optimization (Montemanni v.d., 2005) 3: Genetic Algorithm (Hanshar ve Ombui-Berman M., 2007) Algoritmanın performansını ölçme için, her bir zaman diliminde ele almış olduğu problem için iterasyonlar boyunca en iyiye nasıl yaınsadığının görselleştirilmesi önemlidir. Şeil 3 ve Şeil 4 ile verilen ii örne problem için en iyi değere yaınsama grafileri incelenebilir. Bu grafilerde özellile büyü boyutlu ii problem örneği seçilmiştir. Bu notada yaınsamanın hızı gözlemlenebilir. Her bir zaman diliminde bulunan bir çözüm değerinin iyileştirilme hızı gözlemlenmetedir. Son zaman diliminde günün yarısından sonra gelen talepler birlite değerlendirildiği için, il elde edilen çözüm diğer zaman dilimlerine ıyasla daha büyütür. Anca hızlı bir şeilde düşüş olduğu görülmetedir. Bu açıdan baıldığında algoritmanın optimal değere yaınsamasının göreli olara hızlı olduğu sonucuna varılabilir. Şeil 3: c120 Problemi için Algoritmanın En İyi Değere Yaınsaması Şeil 4 c150 Problemi için Algoritmanın En İyi Değere Yaınsaması 820

C.22, S.3 Dinami Araç Rotalama Problemleri İçin Yeni Bir Çözüm Önerisi Algoritmanın en iyi değere yaınsaması veriliren, c120 ve c150 problemleri örne olara seçilmiştir. Her ii problem için de il olara planlama periyodunun tamamının grafiği çizilmiştir ve iinci olara ise günün il yarısının grafiği çizilmiştir. Daha önce de bahsedildiği gibi, günün yarsından sonra gelen taleplerin tamamı ertesi gün değerlendirildiğinden, toplam maliyet il aşamada yüse çımatadır. Bu nedenle y- esenindei değer birden yüselmiştir. PSO algoritmasının iterasyonları neticesinde bu değerler iyileştirilmiştir. 4.3 Önerilen Algoritmanın Bir Gerçe Hayat Problemine Uygulanması Bu çalışmada DARP için PSO algoritması ullanara çözüm önerisi geliştirilmiş ve elde edilen sonuçlar literatürdei diğer çalışmalar ile arşılaştırılmıştır. Literatürde bulunan test problemlerine e olara bir gerçe hayat problemi için çözüm önerisinde bulunulmuştur. Gerçe hayat probleminin ait olduğu firma içme suyu dağıtım setörüne ait bir firmadır. Uzun zamandır bu setörde reabet eden firma raiplerine nazaran daha iyi bir rotalama yapara maliyetleri azaltma istemetedir. Te bir notada bulunan depodan bayilere servis hizmeti verilmetedir. Çalışmamızda bu deponun belirtilen bayilere damacana su dağıtımının en uygun rota ile yapılması için bir çözüm önerisi getirilmiştir. Çeşitli yerlerde toplam 71 adet bayi bulunmatadır. Firmanın eşit apasiteli 20 adet aracı bulunmatadır. İdeal olan rotalamada bu 20 adet aracın en minimal şeilde ullanılması olduğundan, en ötü senaryoda 20 araç ile servis verilmetedir. Eşit apasitede olan her bir aracın 150 birim taşıma apasitesi bulunmatadır. Bir günlü planlar halinde rotalama yapılmatadır. Her bir müşterinin talepleri ve taleplerin ortaya çıma zamanları firmadan temin edilmiştir. Bayilerin depodan talep ettileri ürün mitarları ve depoyu bilgilendirme zamanlarına ait veriler şiretten tedari edilmiştir. Dinami araç rotalama problemi uygulaması olara önerilen PSO algoritması ile çözümler elde edilditen sonra mevcut durum ile arşılaştırmalar yapılmıştır. Amaç fonsiyonu olara rota uzunluğunun maliyeti belirlenmiştir. PSO algoritması ullanılara çözülen problemde, Olay Yöneticisi ve çalışma gününü eşit zaman aralılarına bölme yöntemi ullanılmıştır. PSO algoritması parametreleri, test problemlerinin çözümünde ullanıldığı şeildedir. Popülasyon büyülüğü 10, iterasyon sayısı 1000, atalet ağırlığı 1, öğrenme sabitlerinin her biri 1 olara seçilmiştir. Toplamda 10 adet alt rotanın belirlenmiş olduğu mevcut durumda toplam maliyet 1109,84 m olara hesaplanmıştır. PSO algoritması sonucunda elde edilen çözüm ile alt rota sayısı yine 10 olmala beraber toplam maliyet 963,99 m olup, %15 oranında iyileştirme gözlenmetedir. Ulaşım giderlerinin %15 azalması şiret adına ço önemli bir azanç sayılmatadır. Bu avantaj aynı zamanda şiretin raipleri arşısında daha öne çımasına olana sağlamatadır. Şiret istediği tadirde rotalamalar anlı olara sürücülere bildirilebilir. 5. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmada ulaştırma setöründe ço önemli bir yer tutan Dinami Araç Rotalama Problemleri ele alınmıştır. DARP için meta sezgisel algoritmalar içerisinde NP-Zor sınıfına ait optimizasyon problemlerine başarılı bir şeilde uygulanan olan Parçacı Sürü Optimizasyon algoritması önerilmiştir. Önerilen çözüm algoritması müşteri sayısı 50 ile 150 arasında değişen 20 farlı test problemi üzerinde çalıştırılara geliştirilen çözümün alitesi ve etinliği ölçülmüştür. Test problemleri DARP ile ilgili çalışmalarda ullanılan, olay ulaşılabilen ve optimal değerleri bilinen veri setleridir. Çalışmanın son bölümünde ise bir gerçe hayat problemi ele alınmıştır. 821

ERDEM DEMİRTAŞ ÖZDEMİR 2017 Müşterilerinden telefonla talep bildirimi alan ve dağıtım yapan bir firmanın günlü araç rotalama verileri ullanılara maliyet minimizasyonu yapılmıştır. PSO algoritması ile elde edilen sonuçlar firmanın hali hazırda ullanmış olduğu dağıtım rotaları ile arşılaştırılmıştır. Çalışmamız uluslararası literatürde yeni çalışılmaya başlanmış olan dinami optimizasyon problemleri içerisinde önemli bir yer tutan DARP ile ilgili arşılaştırılabilir sonuçlar sunmatadır. Türçe literatür tarandığında bu onuda daha önce ço az çalışma olduğu görülmüştür. Ayrıca bu aynalarda bir gerçe hayat uygulaması bulunmamatadır. Bu alanda yapmış olduğumuz çalışmalar aademi referans olara bir ayna aracı olara ullanılabilecetir. 6. TEŞEKKÜR Bu çalışma İstanbul Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinasyon Birimi Tarafından Tez Projesi Kapsamında Destelenmiştir. Proje numarası: 47943 7. KAYNAKÇA 1. BIANCHI, L. (2000). Notes On Dynamic Vehicle Routing-The State of The Art. 2. CHRISTOFIDES, N. ve BEASLEY, J. E. (1984). The Period Routing Problem, Networs, 14(2): 237-256. 3. CORMEN, T. H., LEISERSON, C. E., RIVEST, R. L. ve STEIN, C. (2009). Introduction to Algorithms (Cilt 3). Cambridge: MIT Yayım. 4. CROES, G. A. (1958). A Method For Solving Traveling-Salesman Problems, Operations Research, 6(6): 791-812. 5. DANTZIG, G. B. ve RAMSER, J. H. (1959). The Truc Dispatching Problem, Management Science, 6(1): 80-91. 6. FISHER, M. (1995). Vehicle Routing, (İçinde) Handboos In Operations Research and Management, 8: 1-33, Elsevier. 7. HANSHAR, F. T. ve OMBUKI- BERMAN, M., B. (2007). Dynamic Vehicle Routing Using Genetic Algorithms, Applied Intelligence, 27(1): 89-99. 8. KENNEDY, J. ve EBERHART, R. (1995). Particle Swarm Optimization, Proceeding of the IEEE international conference on neural networs, 1942-1948. 9. KHOUADJIA, M. R., SARASOLA, B., ALBA, E., JOURDAN, L. ve TALBI, E. G. (2012). A Comparative Study Between Dynamic Adapted PSO and VNS for the Vehicle Routing Problem with Dynamic Requests, Applied Soft Computing, 12(4): 1426-1439. 10. KILBY, P., PROSSER, P. ve SHAW, P. (1998). Dynamic VRPs: A Study of Scenarios, University of Strathclyde Technical Report. 11. LARSEN, A. (2000). The Dynamic Vehicle Routing Problem. Dotora Tezi, Institute of Mathematical Modelling, Technical University of Denmar. 12. LUND, K., MADSEN, O. B. ve RYGAARD., J. M. (1996). Vehicle routing with varying degree of dynamism. The Department Informatics of Mathematical Modelling. Technical University of Denmar. 13. MIRHASSANI, S. A. ve ABOLGHASEM, N. (2011). A Particle Swarm Optimization Algorithm for Open Vehicle Routing Problem, Expert Systems with Application, 38(9): 11547-11551. 14. MONTEMANNI, R., GAMBERDELLA, L. M., RIZZOLI, A. E. ve DONATI, A. V. (2005). Ant Colony System for a Dynamic Vehicle 822

C.22, S.3 Dinami Araç Rotalama Problemleri İçin Yeni Bir Çözüm Önerisi Routing Problem, Journal of Combinatorial Optimization, 10(4): 327-343. 15. PILLAC, V., GENDREAU, M., GUÉRET, C., ve MEDAGLIA, A. L. (2013). A Review of Dynamic Vehicle Routing Problems, European Journal of Operational Research, 225(1): 1-11. 16. PSARAFTIS, H. N. (1988). Dynamic vehicle routing problems, (İçinde) Vehicle Routing: Methods and Studies: 223-248, North-Holland, Amsterdam. 17. PSARAFTIS, H. N. (1995). Dynamic Vehicle Routing: Status and Prospects, Annals of Operations Research, 61(1): 143-164. 18. SHI, Y. ve EBERHART, R. C. (1999). Empirical Study of Particle Swarm Optimization, Proceedings of the IEEE Congress on Evolutionary Computation: 1945-1950. 19. TAILLARD, É. (1993). Parallel Iterative Search Methods for Vehicle Routing Problems, Networs, 23(8): 661-673. 20. TOTH, P. ve VIGO, D. (2001). The Vehicle Routing Problem, Society for Industrial and Applied Mathematics. 21. WANG, W., WU, B., ZHAO, Y. ve FENG, D. (2006). Particle Swarm Optimization for Open Vehicle Routing Problem, (İçinde) Computational Intelligence: 999-1007, Springer. 22. WOODRUFF, D. L. (1998). Advances in Computational and Stochastic Optimization, Logic Programming and Heuristic Search, Springer. 23. YU, X., GEN, M. (2010). Introduction to Evolutionary Algorithms. Springer Science - Business Media. 823