TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler) Duyarlı Ortalamalar Artmetk ort. Tartılı Artmetk Geometrk ort. Karel ort. Harmok ort. Duyarlı Olmaya Ort. Medya Kartller Değşkelk Ölçüler Değşm Aralığı (Rage) Stadart sapma Varyas Mutlak sapma Değşkelk katsayısı Kartl sapma katsayısı Ortalama sapma katsayısı Çarpıklık Ölçüler Boley asmetr ölçüsü earso asmetr ölçüsü Basıklık Ölçüler Artmetk Ortalama Yer Ölçüler: Artmetk Ortalama - - Medya Üzerde celeme yapıla ver setdek elemaları toplaıp celee elema sayısıa bölümesyle elde edle yer ölçüsüe artmetk ortalama der. Halk dlde ortalama ades kullaıldığıda lk akla gele kavram artmetk ortalamadır. Örek: Sıav otlarıı ortalaması, Yaz aylarıda m ye düşe ortalama yağış mktarı Bast Verler İç Yaş:,, 0,, X Artmetk Ortalama X, 0,,, Medya (0)/. Yer Ölçüler: Artmetk Ortalama - - Medya Grupladırılmış Verler İç 0 bayaı ayakkabı umaraları:,,,, 7,,,, 9, 7,,,,,, 7, 7,,, 9, Grup Frekas 7 9 0 X 0 7 7 9 7 X X : rekas k: grup sayısı,,,.,k 7/0.7 Medya (0)/,. Ver. e çok tekrar ede ver Sıılamış Serler İç Artmetk Ortalama k m k : rekas k : sıı sayısı,,,.,k m : sıı orta oktası k Sıılamış serlerde her br sıı çdek değerler eler olduğu blğde ve yalızca her br sııı rekas değerler bldğde dolayı sııı temsl etmek üzere sıı orta oktaları hesaplamada kullaılır. Kullaıla ormül gruplamış serler ç kullaıla ormüle bezerdr.
Örek: Sııladırılmış Verler İç Artmetk ortalama Artmetk ortalamaı özellkler: Sıılar 0 0 da az 0-0 da az 0-0 da az 0 0 da az 0 0 da az m.m 0 90 00 Brkml Örek elemaları ortalama etraıda toplama eğlmdedr ya öreğ e y temsl ede tek br smetrk değerdr. 0 Artmetk ortalamada sapmaları toplamı sıırdır. 0 X m /. 0 ( ) 0 AĞIRLIKLI ARİTMETİK ORTALAMA: Örek: İstatstk Bölge Brmler Sııladırmasıa göre Türkye toplam bölgeye ayrılmaktadır. Aşağıda bu bölgelere lşk 000 yılı üus ve kş başıa düşe GSYİH (YTL) mktarları verlmektedr. Bu verlerde yola çıkarak Türkye geele lşk ortalama kş başıa düşe GSYİH mktarıı buluuz. İde sayıları hesaplamasıda, yüzdeler ortalamasıda çarpımları ortalamasıı alımasıda kullaılır. / Bast serler ç Frekas verler ç... ˆ...... X... 7 9 0 BÖLGE ADI Kuzeydoğu Aadolu Ortadoğu Aadolu Güeydoğu Aadolu İstabul Batı Marmara Ege Doğu Marmara Batı Aadolu Akdez Orta Aadolu Batı Karadez Doğu Karadez TOLAM GSYİH (000YTL)....7.9..9...9..7. Toplam üus(.000.000)..7. 0.0.9.9.7..7... 7..7. 9. 7. 7.9. 7.9.7 7.9 0.0.7 7.0 Artmetk ortalama le hesaplaırsa:....7.9..9...9..7..7 Sakıca edr? Ağırlıklı artmetk ortalama le hesaplaırsa: (..) (..7)... (.7.).9..7.... GEOMETRİK ORTALAMA: Örek ver değerler çarpımıı, örek hacm derecesde köküe eşttr. G..... Özellkler:. > 0 olmalıdır..serdek değerler her br yere geometrk ortalama koulduğuda ser çarpım soucu değşmez.... 7....Geometrk ortalamaı orjal gözlemler logartmk sapmaları eşttr. Bu özellkte dolayı ortalama oralara, değşme oralarıa, logartmk dağılmış şekller uygulaır. Öreğ; yat dekslerde geometrk ortalama alamlı souçlar verr.
.Artmetk ortalama gerçekte sp ola değerler yere mutlak değerlemş gb br şleme bağlı tutularak çok arta sp değerler olduğuda azla gösterr. Bu yüzde yukarı eğlmldr..logartmk br dağılımda geometrk ortalamaı terch ede böyle br dağılımda mutlak sapmaları değl acak merkez eğlm etraıda sp sapmaları smetrk olma eğlmdr..g brmler değerler arasıdak oraa göre değer alır. 7.Uç değerlerde kadar etklemez..log -log G 9. G < 0. * *... G G G...... G Bast ser : G (..... ) G..... logg [ log log...log ] log G at log log! Frekas serlerde se geometrk ser hesaplaması: ( ) G....... G............ N N...... tae tae tae log G [ log log... log ] log G at log log 0 başlayış mktarı r az yıl yıl sorak meblağ Bleşk Faz Formülü Örek: yılda 000$, 000$ a artmıştır. Yıllık ortalama artış yüzdes edr? % 00 gb gözükse de bu ortalama % artışı doğru değldr. r ortalama artış yüzdes göstermektedr r ( r) 0 ( r) ( r) o 0 log log o log( r) 0 Başlagıç 000 yıl sora 000(r) yıl sora 000(r) yıl sora 000(r) 000 ( r) r HARMONİK ORTALAMA Gözlemler tersler artmetk ortalamasıı tersdr. H.O bell koşullar altıda ve bell yat tpler altıda zama serler ortalamak ç kullaılır. H veya H... Harmok ortalama aşağı eğmldr. H.O da > 0 olmalıdır. G H Eğer... se olur. > G > H Uygulamada sabt ve değşke brmler vardır. Öreğ; brmlk mal A kşs taraıda 0 dk da ve ye brmlk mal B kşs taraıda 0 dk da üretlyorsa mal mktarı sabt, zama değşkedr. Ortalaması alıa değşkedr ya zamadır. H 0 dk da kg mal (ort.) üretlmektedr 0 Uçakla 00 km, trele 0 km(km) 00 H. O 0km / h 00 0 00 Harmok Ortalama uygulama yerler Zama brm başıa hız ara brm başıa satı alıa brm sayısı
Örek: A ve B gb k şehr arasıda 00km lk br yol vardır. Br otomobll yolu lk yarısıı 0 km/saat hızla gdyor. Dğer yarısıı 0 km/saat hızla gdyor. Hız ortalaması edr? v ortalama hız ; t geçe zama ; d alıa yol t: Yolu lk yarısıda geçe zama d vt. vt. t: Yolu kc yarısıda geçe zama d d t ve t d vt v v t t t. v v v v KUADRATİK ORTALAMA : Gözlemler kareler artmetk ortalamasıı köküdür. Stadart sapmaı hesaplamasıda kullaılır. Ortalama değerler ortalamasıda kullaılmaz. K K > > G > H d vt v. t vt v 0 0 v v v Harmok ortalama Br ver setde e çok gözlee ( e çok tekrar ede ) değere veya rekası e azla ola şas değşke değere mod adı verlr. Ver set modu olmayacağı gb brde azla da modu olablr. geellkle keskl şas değşkel ç oluşturula gruplamış serlerde artmetk ortalama yere kullaılablr. Bast Serler İç Örek: Br abrkada çalışa 7 edüstr müheds bldğ yabacı dl sayıları aşağıda verlmştr. Bua göre bu mühedsler bldğ yabacı dl sayısıı moduu hesaplayıız. :,0,,,0,,0 0,0,0,,,,. Ver setde e çok tekrar ede elema 0 olduğuda ( kez ) mod değer 0 dır. Eğer ver set,0,,,0,,0 şeklde olsaydı ver set k modlu olacaktı. ( 0 ve ) Eğer ver set,0,,,0, şeklde olsaydı ver set moduu olmadığı ade edlecekt. Gruplamış Serler İç Örek: Aşağıdak tabloda br TV baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. Sıılamış Serler İç Sıılamış serlerde mod değer hesaplaırke lk olarak mod sııı belrler. Ekra Satış Aded 7 9 7 Frekas dağılımıa bakıldığıda e azla satış mktarı 9 ekra LCD televzyoda olduğuda dolayı ( 7 adet ) dağılımı moduu 9 olduğu söyler. Eğer ekra LCD televzyolarıda da 7 adet satılsaydı dağılımı k modu olduğu ade edlrd. ( ve 9 ) sııı rekası e yüksek ola sııtır. sııı belrledkte sora bu sıı çersde yer ala modu tam değer sıı rekası ve kede komşu ola sıı rekasları dkkate alıarak hesaplaır.
Sıılar 0 0 da az 0-0 da az 0-0 da az 0 0 da az 0 0 da az Δ L mod. Δ Δ sıııı alt sıırı Sııladırılmış Verler İç sıııyla br öcek sıı r. arasıdak ark m.m 0 90 00 Sıı aralığı sıııyla br sorak sıı r. arasıdak ark Sııı Medya Br ver set büyükte küçüğe veya küçükte büyüğe sıraladığımızda tam orta oktada ver set k eşt parçaya ayıra değere ya adı verlr. Ver setde aşırı uçlu elemalar olduğuda artmetk ortalamaya göre daha güvelrdr. Medya, ver setdek tüm elemalarda etklemez. Bast Serler İç Medya Ver Set Hacm Tek Sayı İse; Ver Set Hacm Çt Sayı İse; ve c gözlem değer yadır. c gözlem değer artmetk ortalaması yadır. Örek: İstatstk I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıdak gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç ya değer hesaplayıız. 0,,,,,79,,,90,9 / ve (/) c elemalar ve 79 olup buları ortalaması 7, ya değerdr. Ver Set 0,,,,,79,,,90 şeklde 9 adet verde oluşsaydı ()/ c elema ola ver set yaı olacaktı. Gruplamış Serler İç Medya Gruplamış serlerde ya değer hesaplaırke ver set tam orta oktasıı hag gruba at olduğuu belrlemek ç kümülat rekas sütuu oluşturulur. Grup Frekas 7 9 7 0 Örek: Yadak tabloda br TV baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı yaıı hesaplayıız. / ve (/) c gözlem değerlere karşılık gele değerler (0 ve c sıra ) olduğuda dolayı ya değer dr. Sıra umarası belrledkte sora o sıra umarasıa at grup ya değer olarak ade edlr. Grup Frekas 7 9 Frekas dağılımı yadak gb olsaydı ()/ c elemaa ( c elemaa ) karşılık gele sayı 7 olduğuda dolayı ver set yaı 7 olacak d.
Sıılamış Serler İç Medya Sıılamış serlerde ya değer hesaplaırke lk olarak ya sııı belrler. Medya sııı kümülat rekaslar dkkate alıdığıda toplam rekası yarısıı çde buludura sııtır. Medya sııı belrledkte sora ya sıııda br öcek sııı kümülat rekası ve ya sııı rekası dkkate alıarak hesaplaır. Sıılar 0 0 da az 0-0 da az 0-0 da az 0 0 da az 0 0 da az Med Medya sıııı alt sıırı Sııladırılmış Verler İç L. Medya sıııı rekası m.m 0 90 00 Sıı aralığı Medya sıııda br öcek sııı Yığmalı rekası Medya Sııı Sııladırılmış Verler İç Sıılar m.m 0 0 da az 0 0-0 da az 90 0-0 da az 00 0 0 da az 0 0 da az Sııı Sııladırılmış Verler İç Sıılar m.m 0 0 da az 0 0-0 da az 90 0-0 da az 00 0 0 da az 0 0 da az Medya Sııı Δ L mod. Δ Δ ( 0) 0.0.7 ( 0) ( ) Med L. 0.0 0. KARTİLLER 0 L l. Med L l. l L. 0 0_0 0 _0 0_0 0_0 0_0.7 % % % % Med 0. A.O..
Sıılar 0-0 de az 0-0 da az 0-0 da az 0-0 de az 0-00 0 0 0 sııı Sıılar 0-0 de az 0-0 da az 0-0 da az 0-0 de az 0-00 0 0 0 sııı L l. 0.0. Med L l 0 0.0. Sıılar 0-0 de az 0-0 da az 0-0 da az 0-0 de az 0-00 0 0 0 sııı l L. 0.0 7