DEKENLER ARASINDAK GECKMEL LKLER: Dalm Gecikme ve Ooregresiv Modelleri Zaman serisi modellerinde, baml deiken Y nin zamanndaki deerleri, bamsz X deikenlerinin zamanndaki cari deerleri X, daha önceki dönemlerdeki gecikmeli deerleri X -1, X -,. ye bal olabilir. Y = + X + X + X + X + u o 1 1 3 3 Dalm Gecikme Modeli
Baml Y deikeninin geçmi dönemlere (genellikle geçmi yllara) ai deerleri Y -1, Y -, yi içeriyorsa Y = + X + X + X + Y + Y + u o 1 1 3 1 4 Ooregresiv Model (Dinamik Model) Saik Model Y = + 1 X + u, (=1,,,n.) Saik Model ismi Y ve X aras"nda ayn" dönemde yani döneminde oraya ç"kan ili&kiden gelmekedir. Saik Model ile zaman"nda X e meydana gelen de*i&ikli*in yine ayni dönemde Y de meydana geirece*i ekiyi oraya konulmakad"r. Y = 1 X
Gecikme Kavram Baml Y deikeninin zamanndaki deeri, bamsz deikenlerin geçmi zaman dilimlerindeki (-1,-, gibi) deeri ile ayin edilebilir. Y = a + b X + b X + u 1-1 Y deikeni, X e belli bir zaman boluundan sonra cevap verdiinde bu zaman boluuna GECKME, ilgili modele de gecikmeli iliki denilmekedir. Örnek: Tükeim Fonksiyonu Bir kiiye 1991 de 16 milyar çksn (Y:ükeim X: Gelir) Eski yaam arzndan yeni yaam arzna geçi için bir boluk vardr. Kii gelir arnn amamn hemen o yl harcamaz, belli bir zaman sonra bu parann amamn harcam olur. lk ylda 16 milyarn yars ½=.5 kinci ylda 6/16=.375 Üçüncü ylda /16=.15
Dalm gecikmeli ükeim fonksiyon: Y = a + b X + b X + b X + u 1-1 Y + u - = a+.5x +.375X 1 +. 15X 16 milyar üç döneme yaylr. Bu fonksiyona genel olarak dalm gecikme modelleri denir. Bir sebebin(gelir arnn) ükeime (Y) ekisi belli döneme (3 yl) dalmakadr. Sonlu Dalm Gecikme Modelleri Y = + X + 1 X -1 + X - + u, (=1,,,n.) Genel Model; Y = + X + 1 X -1 + X - + + k X -k +u, (=1,,,n.) k-gecikmeli sonlu dalm gecikme modeli K"sa dönem yada eki çarpan" + 1 + 1 + M M M + 1 + + + k-1 Ara dönem çarpanlar" i= + 1 + + + k Uzun dönem çarpan" (ya daoplam veya da*""lm"& gecikme) * i i = = sandarla&"r"lm"& i i i
Y = a + b X + b X + b X + u k = + b1 + b =.5 +.375+.15= 1 i= b 1-1 - = b Uzun dönemde gelirdeki bir birimlik ar ükeimi bir birim arrmakadr. Yani ükeici uzun dönemde hiç asarruf yapmamaka gelirdeki arlarn amamn ükemekedir. Gecikmenin Nedenleri 1. Psikolojik nedenler. Teknolojik nedenler 3. Kurumsal nedenler
DAITILMI" GEC%KME MODELLER%N%N DORUDAN BAS%T EKKY %LE TAHM%N% Y = + X + X + X + X +... + u o 1 1 3 3 Snrsz Gecikmeli Model Y = + X + X + X + X +... + X + u o 1 1 3 3 k k Sonlu (Snrl) Gecikmeli Model DAITILMI" GEC%KME MODELLER%N%N DORUDAN BAS%T EKKY %LE TAHM%N% Y = + X + X + X + X +... + u o 1 1 3 3 EKKY LE TAHMNLENEBLR.
EKKY Uygulamann Sakncalar: Gecikme says k nn maksimum deerinin önceden belli olmamasdr. Birbirini akip eden gecikmelerin saysnn çok olmas ve gözlem saysnn az olmas halinde serbeslik derecesinin küçülüp, isaisiksel es ve güven aralklarnn salksz olmas X -1, X -, X -3, gecikmeleri arasnda çoklu dorusal balan problemi oraya çkabilir. Dalm Gecikme Modelleri için Yönemler Almon Polinomial Gecikme Modeli KoyckModeli Cagan n Uyumcu Bekleni Modeli Nerlove Ksmi yileirme Modeli
Almon Polinomial Gecikme Modeli Almon, b i bilinmeyen paramerelerinin zamanla ikinci veya üçüncü derece erisi eklinde deiiini varsayarak dalm gecikme modellerini ahmin emiir. Y = + b X + b 1 X -1 + b X - + + b k X -k +u, k = + bi X i i= Y + u (=1,,,n.) (i=1,,,k.) Almon b i nin i gecikme uzunluunun uygun dereceden bir polinom eklinde ifade edileceini varsayar. b i = a + a 1 i + a i b i = a + a 1 i + a i + a 3 i 3 i * * * * * * 1 3 7 i * * * * * * * i 1 3 7 b i = a + a 1 i + a i b i = a + a 1 i + a i + a 3 i 3 Polinomial gecikme yap * i
Genel olarak r inci dereceden bir polinomial gecikme öyle yazlabilir: b i = a + a 1 i + a i + a 3 i 3 + + a r i r Polinomun derecesi < Gecikme says (r k) Almon Polinomial Modeli Tahmin Aamalar: 1.Adm: b ler için belli bir polinom derecesi r ve uygun bir gecikme says k seçilir..adm: r nin derecesine göre polinom b i k = + bi X i i= Y + u denkleminde yerine konur. Örnein b lern ikinci dereceden parabol gecikmeli olduunu farz edersek:
Almon Polinomial Gecikme Modeli k = + (a + a1i + a i )X i i= Y + u k k k Y = + a X i + a1 ix i + a i X i + i= i= i= u Z Z 1 Z Y = a + a Z + a Z + a Z + u 1 1 Örnek: Tükeim fonksiyonunda cari ükeimin (Y ), geçmi ükeim seviyeleri Y -1, Y -, ; cari gelir X ve geçmi gelir seviyeleri (X -1, X -, ) ne baldr. Y = + X + 1X 1+ X + u = Gecikmeli Tükeim Fonksiyonu 1976-199 dönemi ükeim (Y ) ve gelir (X ) verilerini kullanarak Almon eknii ile dalm gecikme modelini ahmin ediniz.
Almon Polinomial Gecikme Modeli Yl Y Y -1 Y - X X -1 I =X -Y 1976 - - 3-3-=1 1977 3-4 3 4-3=1 1978 4 3 5 4 1 1979 6 4 3 7 5 1 198 7 6 4 11 7 4 1981 8 7 6 1 11 4 198 1 8 7 15 1 5 1983 13 1 8 18 15 5 1984 14 13 1 18 8 1985 16 14 13 6 1 1986 19 16 14 9 6 1 1987 19 16 3 9 1 1988 1 19 35 3 14 1989 3 1 4 35 19 199 5 3 1 5 4 5 Almon Polinomial Gecikme Modeli Yl Y Y -1 Y - X X -1 I =X -Y 1976 - - 3-3-=1 1977 3-4 3 4-3=1 1978 4 3 5 4 1 1979 6 4 3 7 5 1 198 7 6 4 11 7 4 1981 8 7 6 1 11 4 198 1 8 7 15 1 5 1983 13 1 8 18 15 5 1984 14 13 1 18 8 1985 16 14 13 6 1 1986 19 16 14 9 6 1 1987 19 16 3 9 1 1988 1 19 35 3 14 1989 3 1 4 35 19 199 5 3 1 5 4 5
Almon Polinomial Gecikme Modeli Yl Y Y -1 Y - X X -1 I =X -Y 1976 - - 3-3-=1 1977 3-4 3 4-3=1 1978 4 3 5 4 1 1979 6 4 3 7 5 1 198 7 6 4 11 7 4 1981 8 7 6 1 11 4 198 1 8 7 15 1 5 1983 13 1 8 18 15 5 1984 14 13 1 18 8 1985 16 14 13 6 1 1986 19 16 14 9 6 1 1987 19 16 3 9 1 1988 1 19 35 3 14 1989 3 1 4 35 19 199 5 3 1 5 4 5 Almon Polinomial Gecikme Modeli Yl Y Y -1 Y - X X -1 I =X -Y 1976 - - 3-3-=1 1977 3-4 3 4-3=1 1978 4 3 5 4 1 1979 6 4 3 7 5 1 198 7 6 4 11 7 4 1981 8 7 6 1 11 4 198 1 8 7 15 1 5 1983 13 1 8 18 15 5 1984 14 13 1 18 8 1985 16 14 13 6 1 1986 19 16 14 9 6 1 1987 19 16 3 9 1 1988 1 19 35 3 14 1989 3 1 4 35 19 199 5 3 1 5 4 5
Almon Polinomial Gecikme Modeli Yl Y Y -1 Y - X X -1 X - Y I =X - 1976 - - 3 - - 3-=1 1977 3-4 3-4-3=1 1978 4 3 5 4 3 1 1979 6 4 3 7 5 4 1 198 7 6 4 11 7 5 4 1981 8 7 6 1 11 7 4 198 1 8 7 15 1 11 5 1983 13 1 8 18 15 1 5 1984 14 13 1 18 15 8 1985 16 14 13 6 18 1 1986 19 16 14 9 6 1 1987 19 16 3 9 6 1 1988 1 19 35 3 9 14 1989 3 1 4 35 3 19 199 5 3 1 5 4 35 5 Almon Polinomial Gecikme Modeli Almon Polinomial Modeli Tahmin Aamalar: 1.Adm: ükeim cari yl ve ondan sonraki b ler için belli bir gecikme says r seçilir. k.adm: r nin derecesine göre polinom + bi X denkleminde yerine konur. ( ) Y = + a + a i+ a i + X + u 1 i i= Y + u = i i=
Almon Polinomial Gecikme Modeli = + i+ 1 i+ i+ i= i= i= Y a X a ix a i X u Y = + a Z + a Z + a Z + u 1 1 ( ) Z = X = X + X + X i 1 i= ( ) Z = ix = X + X 1 i 1 i= = i = 1 + i= ( ) Z i X X 4X Almon Polinomial Gecikme Modeli Yl Y X Z Z 1 Z 1976 3 - - - 1977 3 4 - - - 1978 4 5 1 1 16 1979 6 7 16 13 1 198 7 11 3 17 7 1981 8 1 3 5 39 198 1 15 38 34 56 1983 13 18 45 39 63 1984 14 55 48 78 1985 16 6 66 58 94 1986 19 9 77 7 114 1987 3 87 81 133 1988 1 35 96 9 148 1989 3 4 19 99 163 199 5 5 17 11 18 Z =X +X -1 +X - = 5+4+3=1 Z 1 =X -1 +X - =11+(7)=5
Almon Polinomial Gecikme Modeli Dependen Variable: Y Mehod: Leas Squares Included observaions: 13 afer adjusing endpoins a a 1 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 3.489448.68439 5.9863.6 Z -.5315.3198 -.9999.83 Z1.673845 1.1414.59185.569 Z -.595.5759 -.439694.675 R-squared.98376 Mean dependen var 14.3769 Adjused R-squared.97651 S.D. dependen var 6.95687 S.E. of regression 1.6643 Akaike info crierion 3.1417 Sum squared resid 1.3546 Schwarz crierion 3.3881 Log likelihood -16.8911 F-saisic 167.8 Durbin-Wason sa 1.8537 Prob(F-saisic). a Almon Polinomial Gecikme Modeli Orijinal b i kasaylarnn ahmini için; i = a + a 1 i + a i = a =.53 1 1 [ ] = a + a + a =.53 +.6738.53 =.3676 ( ) ( ) = a + a1+ 4a =.53 +.6738 + 4.53 =.84
Almon Polinomial Gecikme Modeli Orijinal Dalm Gecikme Modeli; Y = 3.4894.53X +.3676X +.84X 1 Koyck Modeli Paramerelerine snrlama koyan ekniklerden biri de Koyck ekniidir.koyck, sonsuz sayda gecikme modelindeki gecikme kasaylarnn geomerik bir dizi eklinde azaldn kabul ederek gecikmeli modelini oluurmuur. Y = + X + X + X +... + u o 1 1 Koyck i lerin geomerik olarak azald"*"n" varsayar: k = k, k=,1,. = Geomerik Gecikmeli Kasay"lar : Da*""lm"& gecikmenin azalma oran" < < 1 1-: uyum h"z" yada inibak h"z"
Koyck Model Dalm gecikme modeli Koyck Modeli varsaym ile u ekilde yazlabilir: k = k, =, =, L, = k 1 k k Modelinde lar yerine eileri konursa = + + 1+ + + Y X X X... u (1) Koyck Modeli k=,1 ve için aadaki sonuçlar elde edilir. Y = + X + X + X +... + u o 1 1 Koyck Model Dönüümü Koyck Model (1) Nolu model bir dönem gecikirilerek yazlr: Y = + X + X + X +... + u () 1 1 3 1 () Nolu modelin her iki araf ile çarplr: Y = + X + X + X +... + u (3) 3 1 1 3 1 (1 ) Nolu model (3) nolu modelden çkarlr:
Koyck Model ( ) Y Y = + X + X + X +... + u 1 1 + X + X + X +... + u (4) 3 1 3 1 ( ) Y = 1 + X + Y 1+v (5) = Dönü&ümlü Koyck Modeli v = u u 1 Koyck Model Koyck Modelinin Özellikleri: 1. Koyck dönüümü ile ooregresiv model ahmin edilmekedir..koyck modelinin çözümü kolay olmakla beraber önemli bir mahzuru vardr: Y -1 bamsz deikeni sokasikir, halbuki EKKY varsaymlarndan biri de bamsz deikenin sokasik olmamasdr. 3. Dönüümlü Koyck modelinin ikinci mahzuru da; v haa eriminin ookorelasyonlu olmasdr.
Koyck Model Koyck Modelinin Özellikleri: 4.(5) nolu ooregresiv modelinde Y -1 deikeninin varl Durbin-Wason d ookorelasyon esinin yaplmasn önlediinden ookorelasyon için ayr bir es olan Durbin s h esi uygulanmakadr. 5.Koyck Modelinde oralama gecikmesi = /(1-) 6.Koyck model: Medyan Gecikme= -log/log Medyan Gecikme, X deki bir birimlik değişmenin Y de yapacağı oplam değişmenin yarısının kaç dönem sonra gerçekleşeceğini gösermekedir. Using Economerics, A.H.Sudenmund, p.415-416 CO = f(yd, YD -1, YD -, ec.) + u CO = + YD + CO -1 + u Yukar"daki denklemlerden birincisi da*""lm"& gecikmeli model, ikincisi dönü&ümlü Koyck modelidir. Buna göre a&a*"da verilen dönü&ümlü Koyck modelinden harekele da*""lm"& gecikme modelini ahmin ediniz. A&a*"daki e&ilik yaln"zca oplam ükeim fonksiyonuna uyman"n yan"nda Milon Frieadman araf"ndan önerilen daimi gelir hipoezidir. 1964-1994 1994 CO = -38.11+.5 YD +.46 CO -1 c 4.44 3.74 Düz-R =.998
CO = + YD + CO -1 + u 1964-1994 1994 CO = -38.11+.5 YD +.46 CO -1 c 4.44 3.74 Düz-R =.998 CO = + YD + 1 YD -1 + YD - + + k YD -k = (1-) 38.11= (1-.46) = -7.57 k = k =.5 ; =.46 = (.5)(.46) 1 1 = 1 =.4 = (.5)(.46) = =.11 CO = 7.57 +.5 YD +.4 YD -1 +.11 YD - +.5 YD -3 + Koyck Model PPCE = -841.86 +.71 PDPI +.954 PPCE -1 (-.41) (5.46) (.37) R =.991 d=1.14 PPCE: kii bana ükeim harcamas PDPI: kii bana gelir Yukarda verilen dönüümlü Koyck modelinden harekele uyum hzn elde ediniz.
( ) Koyck Model Y = 1 + X + Y +v 1 PPCE = -841.86 +.71 PDPI +.954 PPCE -1 =.954 1 = 1.954 =.746 Koyck Modelinde oralama gecikmesi = /(1-) =.954 / (1.954) = 6,4 Y baml deikenindeki deimenin %3 u 6.5 yl içerisinde meydana gelmekedir. CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli Y = + 1 X * + u Baml deiken Y sadece X bamsz deikeninin gerçekleen deerlerine deil de, dönemindeki beklenen deerleri X * a baldr. 1,X * daki bir birimlik de*i&menin Y de meydana geirece*i oralama ekiyi ölçer.
CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli Uyumcu bekleni modelinin elde edilii: Bekleni deikenleri X * lar dorudan gözlenemediinden, bu deiken hakkndaki bekleniler için varsaym u ekilde yaplmakadr: X X = g(x X ) * * * 1 1 Bugünün beklenisindeki deime Uyumcu bekleni Burada Y = Bir maldan alep edilen mikar X * = Beklenen fiya seviyesi ( g 1) Bu varsaymla gerçekleen veya beklenen fiyalar, gerçekleen ve beklenen gelirler arasndaki fark bir uyum ilemi ile kalmaya çallmakadr. CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli Bugünün beklenileri X *, ksmen eski bekleniler X -1 * ksmen de bugünkü deer X nin nda belirlenir. X = gx + (1 g)x * * 1 X = X * * g = 1 X g =1 * = X Beklenen fiyalar ile geçmi yllarn beklenen fiyalar veya gelirleri ayn kalmaka, deimemekedir. Bekleniler % 1 gerçeklemiir.
CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli () Nolu eilik (1) nolu modelde X * de yerine konursa X = gx + (1 g)x () * * 1 Y = + 1 X * + u (1) * ( ) 1 Y = + gx + 1 g X + u (3) 1 1 Y = + gx + X g X + u (3) * * 1 1 1 1 1 elde edilir. CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli Y = + 1 X * + u (1) (1) Nolu model önce bir dönem gecikirilip daha sonra da her iki araf (1-g) ile çarplr; Y = + X +u ( 1-g) * -1 1-1 1 * ( Y -1 ) = ( + 1X -1+u 1 ) ( 1-g) * ( ) ( ) ( ) ( ) 1-g Y = 1-g + 1-g X + 1-g u -1 1-1 1 ( ) Y = g + X -g X + gy + 1-g u (4) * * -1 1-1 1-1 -1 1
CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli (3) nolu modelden (4) nolu model çkarlrsa; - Y = + gx + X g X + u (3) * * 1 1 1 1 1 ( ) Y = g + X g X + gy + 1-g u (4) * * -1 1-1 1-1 -1 1 ( ) Y Y = g + g X + gy + u 1g u 1 1 1 1 CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli ( ) Y = g + g1x + 1 g Y 1+ v (5) =Uyumcu Bekleni Modeli ( ) v = u 1g u 1 Ksa Dönem Modeli (5 nolu modeldeki) gβ 1 ; (uyumcu bekleni modeli) X deki bir birimlik değişmenin Y de meydana geireceği oralama ekiyi ölçer. (kısa dönem modeli) (1 nolu modeldeki) β 1 ; uzun dönem ekiyi gösermekedir.
CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli Uyumcu Bekleni Modelinin Özellikleri: 1. Bekleni modeli de ooregresiv bir modeldir yani Y -1 bamsz deikenini içermekedir..cagan n bekleni modelinin haa erimi v ookorelasyonludur. CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli Uygulama: 1946-197 dönemi dör aylk verilere dayanarak ABD için C = a 1 + a X + a 3 C -1 + u modeli aadaki gibi ahmin edilmiir. C : Toplam Tükeim X C =.361+.959X +.6755C : Toplam Gelir 1 C = b + b X + u * 1 ilikisinden yola çkarak elde edilen ksa dönem modelinden uzun dönem modelini elde ediniz.
CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli C =.361+.959X +.6755C 1 a = gb C = b + b X + u * 1 a 3 =(1-g) a 3 =(1-g)=.6755 (1-g)=.6755 g =.345 a = gb b = a / g=.959/.345 =.91 Uzun dönem eki a ; ksa dönem eki CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli Cari veya gözlenen gelirdeki bir birimlik ar ükeimi yaklak.3 birim arrrken ;gelirdeki bu ar devam eiinde ükeimi.91 birim arrr.
Ksmi yileirme Modeli Ksmi iyileirme modelinde Y baml deikenin isenen bir seviyesi Y * alnarak, Y= + X+ u (1) * 1 dorusal ilikisi ararlmakadr. Y nin gözlenen deerleri Y yerine isenen deerleri Y * lar alnarak, dönemindeki gözlenen X ye dayandrlmakadr. Y * dorudan gözlenememekedir. Ksmi yileirme Modeli Nerlove n ksmi iyileirme hipoezi Y -Y = $ (Y - Y ) () * -1-1 ( < $ 1) Son yldaki gerçekleen deime Son yldaki isenen deime (ar veya azal) () nolu modelde Y yalnz braklrsa; Y = $ Y +(1- $ )Y (3) * -1
Ksmi yileirme Modeli Y =Y+(1-)Y $ $ (3) * -1 * Y (1- $ )Y -1 Y = (3) $ $ Y = + X + u (1) * 1 (3) nolu eilik (1) nolu modelde yerine konursa Y (1- $ )Y 1 = + 1 X + u $ $ Ksmi yileirme Modeli Y (1- $ )Y 1 = + 1 X + u $ $ ( ) Y (1- $ )Y = $ + X + u 1 1 ( ) Y 1$ Y = $ + $ X + $ u 1 1 Y = $ + $ X +(1- $ )Y + $ u (4) 1-1 = K"smi Lyile&irme Modeli = K"sa Dönem Modeli
Ksmi yileirme Modeli Ksmi %yileirme Modelinin Özellikleri: 1. Ksmi yileirme modeli de ooregresiv bir modeldir yani Y -1 bamsz deikenini içermekedir..haa erimi u ookorelasyonlu deildir. Ksmi yileirme Modeli Y * bir irkein arzu eii sok mal düzeyi, Y gerçek sok mal düzeyi X sa mikar olsun. Arzu edilen sok mal düzeyinin salara bal olduunu varsayarsak: Y * = + X
Ksmi yileirme Modeli Pazardaki belirsizliklerden dolay, arzu edilen ve gerçek sok mal düzeyleri arasndaki açk, bir anda kapalamaz. Ancak her dönemde açn belli bir ksm kapalabilir. Bu durumda zamanndaki sok mal düzeyi; -1 zamanndaki sok mal düzeyine, düzelme fakörü ve haa eriminin eklenmesine ei olacakr: Y = Y -1 + $ (Y * -Y -1 ) + u, < $ < 1 Bu model, ksmî iyileirme modeli olarak bilinir. Ksmi iyileirme Modeli $ parameresi, ksmî düzelme kasays; 1/ $, düzelme hzdr. Düzelme kasays, açn bir dönemde kapalacak oransal mikarn; Düzelme hz ise, açn amamen kapalabilmesi için geçmesi gereken dönem saysn verir. Örnein; $ =.5 ise, bir dönemde açn %5'i kapalabilecekir; açn amamen kapanmas için geçecek süre ise, 1/ $ =1/.5=4 yldr.
Uygulama: 1946-197 dönemi dör aylk verilere dayanarak ABD için C = a 1 + a X + a 3 C -1 + u modeli aadaki gibi ahmin edilmiir. C =.361+.959X +.6755C 1 C : Toplam Tükeim X : Toplam Gelir C = b + b X + u * 1 ilikisinden yola çkarak elde edilen ksa dönem modelinden uzun dönem modelini ksmi iyileirme modeliyle elde ediniz. Uygulama: C $ + $ u = b1 + $ b X + (1 $ ) C 1 C + = a1 + a X + a 3C 1 u Ksmi yileirme Modeli C =.361+.959X +.6755C 1 C = b + b X + u Uzun dönem modeli * 1 b uzun dönem marjinal ükeim eilimi iken a ksa dönem marjinal ükeim eilimidir. a 3 =1-$= $=1-a 3 1.6755=.345 $=.345
Uygulama: a = $ b a =.959 ksa dönem eki b =Uzun dönem MTE=.959/.345=.91 Uzun dönemde verilen bir zaman diliminde ükeiciler sadece ükeimlerinin üçe birini düzelmekedir(ayarlamakadr) Uygulama: Modern Economerics R.L.Thomas (p.319-3) De*i&kenler Q= 198 fiyalar"yla g"da harcamalar", X= Cari fiyalarla oplam harcamalar, P= G"da fiya indeksi, G= Genel fiya indeksi. ln(q * ) = + 1 ln(x/g) + ln(p/g) + u ln(q) -ln(q) -1 = $[ln(q * ) -ln(q) -1 ] Uzun dönem modeli varsaym ln(q) = $ + 1 $ ln(x/g) + $ ln(p/g) + (1- $) ln(q) -1 + u Ksa dönem modeli
ln(q) = $ + 1 $ ln(x/g) + $ ln(p/g) + (1- $) ln(q) -1 + u (ksa dönem modeli) $ Dependen Variable: LOG(Q) Mehod: Leas Squares $ 1 Sample: 1965 1989 Included observaions: 5 $ Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 4.337799 1.7119 4.37135.3 LOG(X/G).141664.51548.74813.1 LOG(P/G) -.1974.954 -.177145.41 LOG(Q(-1)).47833.137783 3.471566.3 R-squared.956197 Mean dependen var 1.19364 Adjused R-squared.94994 S.D. dependen var.71161 S.E. of regression.159 Akaike info crierion -5.9668 Sum squared resid.533 Schwarz crierion -5.1168 Log likelihood 7.785 F-saisic 15.876 Durbin-Wason sa 1.1456 Prob(F-saisic). (1-$) (1-$) = 1-.47833 $ =.51677 $ = -.1974 (.51677) = -.1974 = -.3777 $ 1 =.141664 (.51677) 1 =.141664 1 =.7155 $ = 4.3377 (.51677) = 4.3377 = 8.3149 Uzun dönemde ükeiciler gda harcamalarnn yarsn düzelmekedir (iyileirmekedir).
ln(q*) =b + b 1 ln(x/g) + b ln(p/g) + u $ =.51677 = 8.3149 * ( ) 1 =.7155 = -.3777 ln Q = 8.3149 +.715ln(X / G).3777ln(P / G) Uzun dönem modeli Cari veya gözlenen oplam harcamadaki bir birimlik ar gda harcamasn yaklak.14 birim arrrken ;oplam harcamadaki bu ar devam eiinde uzun dönemde gda harcamasn.7 birim arrr. Uygulama: Aadaki abloda ngilere nin 1995- dönemindeki arap ükeimi ve harcanabilir geliri ile ilgili verileri göserilmiir. Yllar arap ükeimi Gelir 1995 5 47 1996 17 38 1997 5 1998 7 55 1999 14 45 19 5 1 65 7 7 Aada arap ükeiminin Almon polinomial modeli verilmiir. Y = 1.635 +.49 Z o -.755 Z 1 +.18 Z s(b i ) (17.35) (.7) (.81) (.394) Buna göre orijinal modeli ahmin ediniz
Uygulama: Z = Xi = ( X + X 1 + X) Z1 = ixi = ( X 1 + X ) i= = i = 1 + i= ( ) Z i X X 4X = a =.49 1 1 i= [ ] = a + a + a =.49.755 +.18 =.144 ( ) ( ) = a + a1+ 4a =.49.755 + 4.18 =.353 Y = 1.635 +.49X.144X.353X 1 Modern Economerics R.L.Thomas(p.3) C= Sabi fiyalarla ükeim harcamalar Y = Sabi fiyalarla kullanlabilir gelir r= ; k=6 6 6 6 = + a X i + a1 ix i + a i i= i= i= Y X + u i 6 X i i= 6 i= 6 i= ix i X i i = X +X -1 +X - +X -3 +X -4 +X -5 +X -6 = X -1 +X - +3X -3 +4X -4 +5X -5 +6X -6 = X -1 +4X - +9X -3 + 16X -4 + 5X -5 + 36X -6
Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemleri Koyck Modeli Uyumcu Bekleni Modeli Ksmi yileirme Modeli Dalm Gecikme Modelini ahmin için kullanlmaka olan bu modeller aslnda ooregresiv modeller olup Y nin gecikmeli deerlerinden oluan Y -1 deikenini içermekedir. Y -1 deikenli ooregresiv model : Y = a + a X + a Y + v Genel Ooregresiv Model 1 1 Y -1 modelde bamsz bir deiken olarak yer almaka ve v haa erimi ookorelasyonludur. Bu nedenle EKKY ile dorudan çözülememekedir. Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemleri Koyck Modeli Uyumcu Bekleni Modeli Sokasik Y -1 bamsz deikeni, v haa erimi ile ilikilidir. Bu nedenle EKK ahmincileri sapmal ve uarsz olur. Örnek büyüklüü sonsuza gise de ahminciler gerçek anaküle deerlerine yaklamazlar. Ksmi yileirme Modeli v =$u olduundan u haa erimi EKK varsaymlarn saladnda v de salar. Bu nedenle ksmi iyileirme modeli EKKY ahmincileri uarl ahminler verir. Ancak küçük örneklerde bu ahminler sapmaldr.
Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemleri Ooregresiv Modellerin EKKY ile Tahminleri Y = $ + $ X +(1- $ )Y + $ u 1-1 = K"smi Lyile&irme Modeli v = $u EKKY ile ahminlenirse; Tuarl ahminler verir Küçük örneklemlerde bu ahminler sapmaldr. Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemleri Ale Deiken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri Haa erimi v nin ookorelasyonlu olmas durumunda ADY ahmincileri Haa erimi v nin ookorelasyonlu olmamas durumunda ADY ahmincileri Küçük örnekler için sapmal, büyük örnekler için asimoik olarak ekin olmayan ahminler elde edilir. Küçük örnekler için sapmal, büyük örnekler için asimoik olarak ekin ve uarl ahminler elde edilir.
Ale Deiken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri ADY de, problem çkaran Y -1 deikeni yerine geçecek bir vekil deiken bulunur. Vekil deikene Ale Deiken de denir. Ale Deiken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri Y = a + a X + a Y + v (1) Genel ooregresiv 1 1 modele ADY u iki admda uygulanr: Adm 1: Y ile X nin gecikmeli deerleri arasndaki regresyon denklemi ahminlenir: Y = c + c X + c X +K () 1 1 3 X e her defasnda yeni bir gecikmeli X -i deikeni eklenerek en iyi model elde edilmeye çallr. Böylece gecikme says belirlenir.
Ale Deiken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri Adm : () nolu denklemden deerleri bulunur ve bir dönem gecikirilerek Y ler elde edilir. Daha sonra (1) nolu ˆ 1 regresyon denklemindeki Y -1 yerine ale deiken olarak alnarak aadaki model ahminlenir: Y Y = a + a X + a Y + v (1) 1 1 Y = a + a X + a Y ˆ + v ) ADY 1 1 Bu modelden a lar ahmin edilir. Ale Deiken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri No 1 Yukardaki denklemde ale deiken belirlenmekedir. ADIM 1. ADIM. Y = + b X + b X + b Y + v Y = c + c X + c X 1 1 Yˆ 1 Y ile X 1 ve X arasndaki iliki ararlr. Adm 1 deki denklemden Y = + b X + b X + b Yˆ + v bazen öyle de ler ilgili X deerleri yerine konarak hesaplanr. lerin bir dönem gecikmeli deerleri ler alnarak aadaki model ahmin edilir. 1 1 3 1 Yˆ 1 Yˆ Y ˆ 1 1 3 1
Ale Deiken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri NOT. Y = a + a X + a Y + v (1) 1 1 Y -1 deikeni yerine vekil deiken olarak X -1 in alnmasna Liviaan yaklam denir. Liviaan, ooregresiv modelin paramereleri a, a 1 ve a nin ahmini için aadaki normal denklemlerin çözümünü önermekedir. Y = na + a1 X + ay 1 YX = a X + a1 X + ay 1X YX = a X + a X X + a Y X 1 1 1 1 1 1 kinci denklemin her iki arafn önce X,, üçüncü denklemin her iki arafn da X -1 ile çarpk.. Liviaan, ahmin edilen a larn uarl olduunu, EKKY ahminlerininse uarsz olduunu gösermiir. Çünkü Y -1, Y -1 = veya = ( ) v = u u 1 v u 1 g u 1 le ilikili olduu halde; X ve X -1 v ile ilikili deildir. Bu yaklam ile haa erimi ve bamsz deiken arasndaki iliki oradan kaldrlr ancak bu kez X ile X -1 arasnda çoklu dorusal balan olma olasl yükselir ve ahminler ekin olmaz.
Ooregresiv Modellerin Genelleirilmi EKKY (GEKKY) ile Tahmini Ooregresiv modellerde ookorelasyon olmas durumunda GEKKY kullanm: Y = a + a X + a Y + v (1) 1 1 (1) nolu model bir dönem gecikirilip p ookorelasyon kasays ile çarplr py = a p + pa X + pa Y + pv () 1 1 1 1 Ooregresiv Modellerin Genelleirilmi EKKY (GEKKY) ile Tahmini Daha sonra (1) nolu modelden () nolu model çkarlarak GEKK ooregresiv modeli elde edilir Y = a + a X + a Y + v (1) 1 1 py = a p + pa X + pa Y + pv () 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Y py = a 1 p + a X px + a Y py + v pv (3) 1 1 1 1 1 =Ooregresiv model GEKKY denklemi Küçük örnekler için sapmal, faka uarl ve asimoik ekin ahminler elde edilir.
Ooregresiv Modellerin Genelleirilmi EKKY (GEKKY) ile Tahmini Ookorelasyon kasays p nin dorudan ahmini için (3) nolu modelde Y yi yalnz brakp, düzenlemeler yapldkan sonra u model elde edilir: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y= a 1 p+ ax apx + a+ py apy + vpv (4) 1 1 1 1 1 Y = c + c X + c X + c Y + c Y + % = a ( 1 p ) 1 1 3 1 4 c1 = a1 c = ap 1 c 3 = a + p c4 = ap c = 1 1 1 3 4 ( v pv ) % = 1 Ooregresiv Modellerin Genelleirilmi EKKY (GEKKY) ile Tahmini Y = c + c X + c X + c Y + c Y + % 1 1 3 1 4 Denkleminde c1= a1 ve c =ap 1 den p bulunur pˆ c c = = 1 X X 1 in kasay"s" nin kasay"s" = p nin do*rudan ahmini
Ooregresiv Modellerin Genelleirilmi EKKY (GEKKY) ile Tahmini p nin Wallis Yönemiyle Tahmini : Adm 1. Y -1 yerine X -1 deikeni ale deikeni olarak alnr. Y = a + a X + a Y + v (1) 1 1 Y = a + a X + a X + v 1 1 Ooregresiv Modellerin Genelleirilmi EKKY (GEKKY) ile Tahmini Adm. v haa eriminin örnek ahmini deerleri leri hesaplanr ve lerin birbirini akib eden deerleri arasndaki iliki hesaplanr n vv ˆˆ 1 = 1 k rˆˆ ˆ vv = n + = p 1 n n vˆ = 1 n = Wallis yönemi ile p hesab" k=ahmin edilen a say"s" (burada k=3) k = düzelme erimi (sapmay" düzelmek için) n vˆ vˆ
Ooregresiv Modellerin Genelleirilmi EKKY (GEKKY) ile Tahmini Adm 3. r vv ˆˆ 1 de*erini ( 1 ) ( ) ( ) ( ) Y py = a p + a X px + a Y py + v pv 1 1 1 1 1 modelinde p yerine koyup EKKY ile model ahminlenir. Böylece Wallis yönemi ile p ahmin edilip GEEKY uygulan"r. Ooregresiv Modellerde Ookorelasyonun Belirlenmesi : Durbin in h Tesi Y = a + a X + a Y + v (1) 1 1 Genel ooregresiv modeli için Durbin h esi dör admda yaplmakadr. Adm 1. Y = a + a X + a Y + v 1 1 modeli EKKY ile ahmin edilerek Y -1 in kasays olan a nin varyans var(a ) hesaplanr.
Ooregresiv Modellerde Ookorelasyonun Tespii : Durbin in h Tesi Adm. Ookorelasyon kasays 1 pˆ = (1 d) d = Durbin-Wason isaisi*i Adm 3. h kriik oran hesaplanr: ˆp hesaplanr: h & 1 ' n = ( 1 d ) * + 1 n[var( a )] n: örnek hacmi Var(a )= Y -1 gecikmeli deikeni kasaysnn varyans d= Durbin-Wason d isaisii Ooregresiv Modellerde Ookorelasyonun Tespii : Durbin in h Tesi Büyük örnekler p= iken h isaisii sandar normal dalmldr(oralamas sfr, varyans bir olan dalm). Bu nedenle gözlenen bir h deerinin isaisiksel olarak anlamll Normal Eri Alanlar Tablosundan belirlenir. Adm 4. Normal dalmda P( 1.96 h 1.96) =.95 olduundan sandar normal deiken h nin esinde karar öyle verilir :
h > 1.96 ise poziif ookorelasyon olmadna dair H hipoezi reddedilir. h < -1.96 ise negaif ookorelasyon olmadna dair H hipoezi reddedilir. -1.96 < h < 1.96 ise poziif veya negaif ookorelasyon olmad H hipoezi reddedilemez, kabul edilir. h esi büyük örnekler ( n >=3) için kurulmu olup, küçük örneklere uygulanabileceikesin olarak göserilememi ve küçük örnek özellikleri henüz oraya konulmamr. Örnek Bir Ooregresiv Model Çözümü Uygulamas 1976-199 dönemi ükeim (Y ) ve gelir (X ) verilerini kullanarak ooregresiv modeli ahmin ediniz. Y= a + ax + ay + v 1 1 Bu modelin çözümü için Liviaan n normal denklemlerinden a lar hesaplaynz. Bu modelin EKK çözümünü bulunuz.
Bir Ooregresiv Model Çözümü Uygulamas Yl Y Y -1 X Y X X Y -1 X Y X -1 X -1 X X -1 Y -1 X -1 1976-3 6 9 - - - - - 1977 3 4 1 16 8 9 3 1 6 1978 4 3 5 5 15 16 4 1 1979 6 4 7 4 49 8 3 5 35 198 7 6 11 77 11 66 49 7 77 4 1981 8 7 1 96 144 84 88 11 13 77 198 1 8 15 15 5 1 1 1 18 96 1983 13 1 18 34 34 18 195 15 7 15 1984 14 13 38 484 86 5 18 396 34 1985 16 14 6 416 676 364 35 57 38 1986 19 16 9 551 841 464 494 6 754 416 1987 19 3 64 14 68 58 9 98 551 1988 1 35 735 15 7 67 3 11 64 1989 3 1 4 966 1764 88 85 35 147 735 199 5 3 5 15 5 115 15 4 1 966 Bir Ooregresiv Model Çözümü Uygulamas Y1X1 = 453 Y = 191 Y X = 553 Y X = 471 1 Y = 166 X = 947 X = 61 1 1 X = 311 Y X = 4955 X X = 5966 1 1 191 15 311 166 = a + a1+ a, - = a + 7a1+ 4955a. = a + a1+ 3a - / 553 311 94 471 61 5966 45 Ooregresiv model Liviaan Normal Denklemleri a = 1.451 a =.19 a = 1. 17 1 Y = 1.451 +.19X + 1. 17Y 1
Bir Ooregresiv Model Çözümü Uygulamas Modelin EKKY ahminleri ise öyledir: Y = 1.4733+.774X +.877Y 1 sb ( i ) (.874) (.1746) (.886) (4.986) Ksmi r (.666) (. 693) s = R = R = F =.763.998,.9954, 595 Liviaan yönemi ile bulunan sonuç: Y = 1.451 +.19X + 1.17Y 1 Dalm Gecikme ve Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemlerinin Karlarlmas(Öze) Gecikmeli deikenli modeller, sadece bamsz deikenin gecikmeli deerlerini içeren modeller (dalm gecikmeli modeller) ile baml deikenin gecikmeli deerlerini içeren modeller(ooregressiv modeller) ve her iki grup gecikmeli deikenleri içeren modeller olarak üçe ayrlr: Sadece bamsz deikenin gecikmeli deerlerini içeren modeller(=dalm gecikme modelleri) Gecikmeli deikenli modeller Baml deikenin gecikmeli deerlerini içeren modeller (=ooregresiv modeller) Dalm gecikme modellerinin ahmini için kullanlan modeller (Koyck, Uyumcu Bekleni, Ksmi yileirme Modeli)
Dalm Gecikme ve Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemlerinin Karlarlmas(Öze) Gecikmeli modeller sayesinde, bamsz deikenin bir birim armasnn baml deiken üzerindeki ksa ve uzun dönemde yapaca ar (veya azal) ayrdemek mümkündür. Gecikmesi dalm modeller prensip olarak EKKY ile ahmin edilebilmekedir ancak bamsz deiken saysnn fazla olmas sebebiyle serbeslik derecesi azalmaka ve çoklu dorusal balan oraya çkmakadr. Çok sayda gecikmeli deikenli modellerde gecikmeli deikenlerin kasaylarna a priori ön snamalar konulmas gerekir. Bunlar: Almon Koyck Uyumcu bekleni Ksmi iyileirme modelleridir.