Uzun ömürlülük bonolarn fiyatlandrma: Uç deer kuram ve kübik risk fiyatlandrma modeli

Transkript

1 saisikçiler Dergisi 4 (2011) saisikçiler Dergisi Uzun ömürlülük bonolarn fiyalandrma: Uç deer kuram ve kübik risk fiyalandrma modeli Aye Ark Haceepe Üniversiesi Aküerya Bilimleri Bölümü Çankaya, Ankara, Türkiye aysearik@haceepe.edu.r Meral Sucu Haceepe Üniversiesi Aküerya Bilimleri Bölümü Çankaya, Ankara, Türkiye msucu@haceepe.edu.r Öze Bu çalmada eknik kazanc ölümlülük endeksine bal olan bir uzun ömürlülük bonosu fiyalandrlmr. Ölümlülük endeksinin geliimindeki küçük deiimler sabi erimli (drifli) rasgele yürüyü modeli ile, sayca az olan uzun ömürlülük durumlar ise uç deer eoremine göre modellenmiir. Uzun ömürlülük bonosu, Lane ve Movchan (1999) arafndan geliirilen kübik risk modeli ile fiyalandrlmr. Anahar sözcükler: Uzun ömürlülük bonosu; Lee-Carer modeli; Uç deer kuram, Ölüm oran, Fiyalandrma. Absrac Pricing longeviy bonds: Exreme value heory and risk cubic pricing model The bond which is wrien on longeviy risk has been priced in his sudy. The payoff is given by depending on a moraliy index. While he small variaions in he moraliy index are modelled by using random walk model wih drif, rare longeviy cases are modelled by exreme value heory. The moraliy modelling is priced by using he risk cubic pricing mehod which is developed by Lane and Movchan (1999). Keywords: Longeviy bonds, Lee-Carer model, Exreme value heory, Moraliy rae, Pricing. 1. Giri# ve önceki çal%#malar 1.1. Giri. Ölümlülük riskinin am ersi olan uzun ömürlülük riski; ekonomik ve çevresel koullar ile beslenme düzeyi ve paki iyilemelere bal olarak oraya çkmakadr. Ölümlülük riski, beklenen ömürden daha ksa süre yaamann geride kalan bireylere ekonomik maliyeini; uzun ömürlülük riski ise beklenen ömürden daha uzun süre yaamann sigora irkelerine olan maliyeini yansmakadr. Hayaa kalma olaslnn gerçek deerinin alnda ahmin edilmesine neden olan bu risk, yanl prim hesaplamalarna neden olmakadr. Bireyler yllar iibariyle daha uzun yaama riski ile kar karya kalmaka ve sosyal güvenlik sisemleri, emeklilik planlar ve özel annüie ürünleri yardmyla bu risken korunmaya çalmakadrlar [3]. Bireylerin, uzun ömürlülük riskine kar kendilerini korumamalar durumunda, ilerleyen yalardaki

2 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) ükeim mikarlarn düürerek bu riske uyum salamalar gerekecekir. Bireylerin uzun ömürlülük riskinden korunmas, iyi geliirilmi bir annüie piyasas arafndan salanabilmekedir. Faydas belirlenmi emeklilik planlarndan, kaks belirlenmi emeklilik planlarna geçilmesi; bireylerin annüie ürünlerine olan alebini arrmakadr. Annüielere olan alepeki ara bal olarak annüie salayan sigoraclarn maruz kald uzun ömürlülük riski ile beraber, bu riskleri yöneme ihiyac da armakadr. Bireyler, risklerden korunmak amacyla sahip olduklar risklerini sigora irkelerine devreikleri anda, sigora irkeleri her bir bireyin riskini içeren büünsel (aggregae) ölümlülük riski ile kar karya kalmakadr. Bu açdan bakldnda, uzun ömürlülük riskinin; garani edilmi annüie opsiyonlarndaki faiz ve piyasa riski ile balanl olarak oraya çk görülmekedir. Sigoral bireylerin yaam sürelerinin birbirinden bamsz olduu varsaym alnda ve Büyük Say0lar Kanunu na göre; kamu sosyal güvenlik siseminin, özel annüie ürünleri saan sigora irkelerinin ya da reasürörlerin uzun ömürlülük ve ölümlülük riskinden korunabilecekleri düünülmekedir. Oysa, büünsel uzun ömürlülük riski sisemaik bir risk olduundan risk havuzu mekanizmas ile deerlendirilememeke ve dalabilir risk snfna dahil edilememekedir. Sigora seköründe risk ransferi kapsamnda ilk olarak reasürans sözlemelerine bavurulmakadr. Geleneksel reasürans anlamalar haya annüiesi porföylerine de uygulanabilmekedir. Ancak belirsizlik riski sigora-reasürans sürecinde dalamamakadr. Dolaysyla ekinlii arrabilmek amacyla reasürans ransferleri, sermaye piyasasna yaplan ransferler ile amamlanmaldr. Ölümlülüün menkul kymeleirilmesi fikri, ilk kez, 1998 ylnda Samuel H. Cox un bir konumas ile gündeme gelmiir. Uzun ömürlülük bonolar ile annüie ürünleri salayan kurum ve kurululara büünsel uzun ömürlülük riskinden korunma olana sunulmakadr. Annüianlarn beklenenden daha uzun yaamas durumunda, uzayan ödeme periyolar nedeniyle daha fazla hasara maruz kalan sigoraclar; uzun ömürlülük bonosuna sahip olduklarndan, daha fazla kupon ödemesi alarak, hasarlarn dengeleyebilmekedirler [5]. Alernaif risk ransfer eorisi (ART), uzun ömürlülük riski problemine bir sermaye piyasas çözümü sunulmas için gerekli eorik al yapy salamakadr. Yakn geçmie sigora irkeleri emina alna aldklar kaasrofik riskleri, afe bonolar sayesinde baarl bir ekilde finansal piyasalara ransfer edebilmilerdir [4]. Yeni bir risk yöneim arac olan ölümlülük menkul kymeleirmesi, kaasrofik hasarlarn finansal piyasalara akarlmasn salayarak haya sigoras endüsrisinin risk kabul kapasiesini arrmakadr [12]. Bu çalmada; ölümlülük yaps modellenerek, uzun ömürlülük riski üzerine yazlm bir bononun fiyalandrlmas yaplmr. Teknik kazanç, ölümlülük endeksine bal olarak ifade edileceinden; ölümlülük geliimindeki küçük deiimler sabi erimli (drifli) rasgele yürüyü modeli ile modellenirken, az saydaki uzun ömürlülük durumlar ise uç deer eoremine göre modellenmiir. Bu sayede söz konusu model ile hem ölümlülük yapsnda meydana gelen deiimleri yakalama, hem de örneklem dndaki uç deer uzun ömürlülük olaylarnn eksrapolasyonunun yaplmas olana salanmr. Kullanlacak olan ölümlülük modeli, Lane ve Movchan (1999) arafndan geliirilen kübik risk modeli ile birleirilmiir [9]. Çalmann Birinci Bölümü nde konuya giri yaplmr. Hkinci Bölüm de ise Swiss Re ve European Invesmen Bank (EIB) arafndan çkarlan ilk resmi ölümlülük ve uzun ömürlülük bonolarnn yaplar ele alnmr. Çalmann Üçüncü Bölümü nde Lee-Carer (LC) ölümlülük modeli ve Uç Deer Kuram (UDK) incelenmiir. Çalmann Dördüncü Bölümü nde, ilk olarak, Türkiye ölümlülük gösergelerinden elde edilen arlklandrlm ölüm oranlar LC Modeli ve Uç Deer Dalmlar ile modellenmiir. Daha sonra eknik kazançlar, ölümlülük endeksine dayanan ve sam opsiyonlarnn fark olarak ifade edilen hipoeik bir uzun ömürlülük bonosu Lane ve Movchan (1999) arafndan geliirilen Kübik Risk Fiyalandrma modeli ile fiyalandrlmr.

3 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) Swiss Re ve EIB araf%ndan ç%kar%lan bonolar Bu bölümde; öncelikle, finansal piyasalarda ilem gören baz ürev ürünlere deinilmi, ardndan finansal ve aküeryal fiyalandrma yaklamlar incelenmiir Swiss Re ölümlülük bonosunun yap0s0 Haya sigoras endüsrisinin finansal kapasiesi kasrga, salgn, deprem ve dier doal ya da insan kaynakl felakelerden kaynaklanan kaasrofik ölümleri emina alna alacak kadar gelimi deildir. Sekör kapasiesinin arrlp, kaasrofik ölüm hasarlarnn azmin edilebilmesi amacyla dünyann en büyük ikinci reasürans irkei olan Swiss Re; ilk saf ölümlülük bonosunu çkararak, kurumsal yarmclardan 400 milyon ABD Dolar büyüklüünde emina elde emiir [12]. Swiss Re 2003 ylnda saa sunduu ilk ölümlülük bonosunu, ölümlülük riskini azalmak için, bir özel amaç kurumu (special vehicle purpose) olan Via Capial I yardmyla çkarmr. Via I e ilikin ilemler aada emaik olarak göserilmiir [3]: -ekil ylnda Swiss Re arafndan çkarlan ölümlülük bonosunun yaps Swiss Re bonoyu Aralk 2003 e çkarmr. Vadesi üç yl olan bono, 1 Ocak 2007 de sona erecek ekilde asarlanmr. Kupon ödemeleri ise ylda dör defa, üç aylk US Dolar LIBOR baz puanlk fark üzerinden yaplmr. Via Capial I, Swiss Re nin kendisine yap sabi prim ödemelerine kar LIBOR almasn salayan bir akas sözlemesine girmiir. Anapara ölümlülük riskine maruz kalmaka ve arlklandrlm bir ölümlülük endeksine bal olarak ifade edilmekedir [3]. Ölümlülük riski; US, UK, Fransa, Halya ve Hsviçre deki yllk ölüm oranlarnn arlklandrlm oralamasna dayanan, ylna ilikin bir q endeksi cinsinden anmlanmakadr. q endeksinin ( = 2004,2005 ya da 2006) 2002 ylnda gerçekleen q0 seviyesinin %130 nun üzerine çkmas durumunda, yarmclarn anapara mikarnda bir azalma olacakr [12]. Swiss Re nin bak açsndan, Via Capial I den elde edilen eknik kazançlar düük kullanm fiya M = 1, 3q0 ve yüksek kullanm fiya da U = 1, 5q0 olan alm opsiyonlarnn fark eklindedir. Swiss Re, ölümlülük endeksine dayal koullu eknik kazançlar karlnda Via Capial I e prim ödemesi yapmakadr. Ölümlülük endeksinin düük kullanm fiyan amas durumunda Swiss Re, Via Capial I fonundan naki çekebilecekir. Ölümlülük endeksinin yüksek kullanm fiyan amas durumunda ise, üm anapara mikar Swiss Re nin kullanmna açk olacakr. Opsiyondan her bir periyoa elde edilen olas eknik kazançlar, anaparann bir yüzdesi olarak aadaki gibi ifade edilebilmekedir [3]:

4 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) Teknik Kazanç ( ;0) ( ;0) Max q M Max q U = U M yl için anapara mikarndaki yüzde azal göseren kay0p, 0, q 1,3q0 1,5q q kay0p = q < q q 1, q > 1, 5q0 0 1, 1,3 0 1,5 0 0,2q0 olarak ifade edilmekedir. Buna göre vade arihindeki ödeme uar, Vade bii mindeki ödeme % kay0p, kay0p < 100% = 2004 = 2004 = = , kay0p 100% eilii ile yazlabilir [12] EIB uzun ömürlülük bonosunun yap0s0 Swiss Re ölümlülük bonosunun çkarlmasndan bir yl sonra, Kasm 2004 e, EIB bir uzun ömürlülük bonosu çkarmr. Sisemaik uzun ömürlülük riskinden korunabilmek için uygun varlk araynda olan finansal kurulular uzun ömürlülük bonosunun hedef kilesini oluurmuur. Bu bono; idareci koluunda BNP Paribas, ihraçç konumunda ise EIB ve risk alm kapasiesini analiz edip, uzman görüü salayan ParnerRe ibirliinde çkarlmr. Bononun oplam deeri 540 milyon Pound (775 milyon-euro) olup, vadesi 25 yl olarak asarlanmr. Bu bono, balangça, UK emeklilik planlar hedef alnarak asarlanmr [2]. EIB bonosunun poansiyel alclar, bono uzun ömürlülük riskini yarmclara devreiinden, emeklilik plan yöneicileridir [12]. Emeklilik plan ve annüie ürünleri saan firmalar hedef alan bono, Blake ve Burrows (2001) arafndan düzenlenen hayaa kalma bonosuna benzer bir yapya sahipir [1][12]. Bono EIB nin yarmclara Pound cinsinden uzun ömürlülük balanl ödemeler yapmay aahhü eii bir sözlemedir. EIB aslnda Euro cinsinden deiken faiz oranlar ödemeyi ercih eiinden bono; BNP ile Euro cinsinden deiken ödemelere karlk, Pound cinsinden sabi ödemeler ald bir çapraz kur faiz oran akasn (cross-currency ineres rae swap) içermekedir. Bu ilemde BNP uzun ömürlülük riskini üslenmeke ve Parner Re ile bir ölümlülük akas sözlemesi düzenlemekedir. Bu anlamaya göre Parner Re; ayn kohorun projeke edilmi hayaa kalma endeksine, S e, bal olarak hesaplanan sabi Pound ödemelerini, deiken Pound ödemeleri ile deiirmekedir. Ölümlülük kesirimleri için UK Hükümei Aküerlik Bölümü arafndan 2002 yl baz alnarak yaplan merkezi ölümlülük projeksiyonundan faydalanlmr. Bu kesirimler Parner Re nin içsel yaps gözönüne alnarak revize edilmiir [3].

5 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) ekil 2. EIB/BNP Paribas arafndan çkarlan uzun ömürlülük bonosunun yaps 3. Lee-Carer modeli ve uç de2er kuram% 3.1. Lee-Carer yönemi LC modeli, ölümlülük modellerinin olaslksal bir süreç olarak ifade edilmesini salayan ilk örnekir. Modelde örneklem haalarndan sapmalar da anmlanm ve böylece süreç riski de dikkae alnmr. LC yönemi oldukça ekili sonuçlar elde edilmesini saladndan, birçok yeni modelin geliirilmesine de yol açmr [14] ylnda Lee ve Carer arafndan geliirilen bu model, isaisiksel zaman serisi yönemleri ile paramerik yaklamn bir kombinasyonu olarak asarlanmr [7]. Geliirilen bu model, ölümlülükeki yaa özel ekilerin ve deiimlerin incelenmesinde kullanlmr. Dorusal bir yapya sahip olan LC modeli; ya göseren x deikeni ile akvim yln göseren deikenine bal olarak aadaki gibi anmlanabilir: ( ) ln mx, ax bxk x, Bu eilike, = + + (1) m x, : zamannda x yanda olan bir bireye ilikin gözlemlenen merkezi ölüm orann, a oralama yaa özel ölümlülük yapsn (age-spesific paern), : x bx : k deiimine bal olarak x yana ilikin ölümlülük deiimini, k : genel ölümlülük düzeyini, x, : zaman ve x yana ilikin ark erimi gösermekedir. k zaman bileeni, logarimik ölçeke, üm yalar için ölümlülük düzeylerinin (oranlarnn) zaman içindeki deiimini ifade emekedir. k deki deiimin doas hakknda herhangi bir varsaym yaplmamakadr. bx ya bileeni, k deki deiimin x yan ne ölçüde ekilediini yansmakadr [8]. LC modelinde; ayn ölümlülük endeksine maruz kalan yaa özel ölüm oranlarnn, ayn mikarlarda olmasa da birlike arklar ya da azaldklar varsaylmakadr [7]. Teorik olarak, herhangi bir durumda ölümlülük oran arp, azalabileceinden, üm b x lerin ayn iareli olma zorunluluu bulunmamakadr. Uygulamada ise

6 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) yeerince uzun bir süre sonunda verinin modele uyumunun salanabilmesi için, üm b x lerin ayn iareli olmas gerekmekedir. Modelde, bx deerlerinin zaman içerisinde deimedii varsaylmakadr [8]. (1) eiliinin sa arafnda gözlemlenebilir bir deiken bulunmadndan, eilie ilikin bir en küçük kareler çözümünün bulunmas için Lee ve Carer (1992) arafndan önerilen ekil de?er ayr0.0rma yönemi (TDA) kullanlmakadr. Modelleme sürecinde haalarn e varyansl olduu varsaylmakadr [7]. Bu varsaym, en küçük kareler yöneminin kullanlmasn salamak için yaplmakadr. Dier arafan gözlemlenen ölüm oranlarnn logarimas, ileriki yalarda genç yalarda olduundan çok daha fazla deikenlik göserdiinden, e varyansllk varsaym çok da gerçekçi deildir [14]. Ölümlülüün yllar içerisindeki geliiminden bamsz olan ax parameresi, yaa ilikin her bir logarimik ölüm orannn oralamas alnarak hesaplanmakadr. Tek bir çözüm bulmak için b x kasaylarnn karelerinin oplamnn 1 e, k deerlerinin oplamnn ise 0 a ei olduu kabul edilmekedir. Bu ölçüler aadaki gibi ifade edilebilir: 1 a m b k (2) 2 x = ln x, x = 1 = 0 T x Lee ve Carer (1992) çalmasnda iki aamal bir ahmin süreci izlemiir. Buna göre ilk aamada, bx ve { } marisine TDA yönemi uygulanmr. Hkinci aamada ise k zaman serisi ikinci a.ama kesirim yönemi ile yeniden ahmin edilmiir. Lee ve Carer; bx ve k ahminleri yardmyla bulunan ahmini ölen kii saylarnn, gözlemlenen ölen kii saylarn göseren D D ile am olarak örümediini görmüür. Bu nokadan harekele ahmini ölen kii x x saylar ile gözlemlenen ölen kii saylar arasndaki fark sfr yapan k deerleri ikinci aama kesirimi ile elde edilmiir. Buna göre aadaki eilii salayan k deerleri bulunmaya çallmr: k ahminlerinin bulunabilmesi için log ( m, ) a x x { exp( ), } D = a + b k N x x x x Eilike yer alan bireylerin saysn gösermekedir. D ifadesi ylnda ölen oplam kii saysn göserirken, N x, (3) ylnda x yanda olan TDA, arlklandrlm en küçük kareler yönemi ve en çok olabilirlik ahmin yönemi, lieraürde, paramere ahmininde en çok ercih edilen yönemler haline gelmiir [8] Uç de?er kuram0 UDK; uç (exreme) olaylarn isaisiksel olarak incelenip modellenmesinde kullanlmakadr. Bu kuram ile merkezi limi eoremi birbirine oldukça benzemekedir. Merkezi limi eoremi, örneklem oplam ya da oralamalarnn limieki dalmlarnn normal da?0l0ma yaklan oraya koymakadr. UDK da ise raslan deikenlerinin limieki davranlar ele alnmakadr [13]. Gerçek bir veri seindeki uç deerler, iki farkl yaklam ile sapanmakadr. Hlk yaklamda; deikenin ardk zaman süreleri (ay ya da yl) içerisinde ald en büyük (ya da en küçük) deerler ile ilgilenilmekedir. Seçilen bu gözlem deerleri uç olaylar oluurmaka ve en büyük deerler kümesi (block maxima) olarak adlandrlmakadr. Hkinci yaklamda ise, verideki bir eik deerin üzerinde kalan gözlem deerleri ile ilgilenilmekedir [6].

7 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) Fisher-Tippe eoremi Fisher-Tippe eoremi; örneklem uç deerlerinin limieki davranlarn anmlayan, UDK nn en emel sonuçlarndan biridir. Bu eorem, akn deerlerin nerede deerlendirilmesi gerekii ile ilgili bir yaklam sunmaka ve e.ik s0n0r0n üzerinde kalan en büyük de?erler (peaks over reshold, POT) olarak da adlandrlmakadr. Belirli bir u eik deerinin üzerinde kalan x deerlerinden elde edilen Fu ( x) dalm fonksiyonu, ko.ullu a.k0n de?er fonksiyonu adn almakadr. X raslan deikeni için u bilinen eik deeri, y= xu akn x ise F( x) dalm fonksiyonunun sa biim nokasn gösermek üzere, koullu akn deerleri ve F deer fonksiyonu, u ( ) ( ), 0 F y = P X u y X > u y x u (4) F olarak ifade edilmekedir. Fu ( y) dalm fonksiyonu, F( x) ifade edilmekedir: F u ( y) ( ) ( ) F( u) ( ) ( ) F( u) F u+ y F u F x F u = = 1 1 dalm fonksiyonu cinsinden aadaki gibi (5) dalm fonksiyonunun bu aralka ahmin edilmesinde, genel olarak, bir problem ile karlalmamakadr; ancak eik deerin F y dalm fonksiyonunun ahmin edilmesinde çeili zorluklarla karlalabilmekedir. X raslan deikeni, arlkl olarak, 0 ile u arasnda deerler almakadr. F( x) üzerinde çok az sayda gözlem deeri bulunmasndan dolay ( ) u UDK, koullu akn deer fonksiyonu F ( ) u y nin ahmin edilmesinde karlalan sorunlarn çözümünde oldukça faydal bir kuramdr. Bu eoriye bir sonraki ksmda yer verilmiir [6] Pickands-Balkema-de Haan eoremi dalm fonksiyonu ailesi için, u büyük bir eik deeri gösermek üzere, koullu u y, genelleirilmi Pareo dalm (GPD) yardmyla yaklak olarak u ekilde ifade edilebilmekedir: Oldukça geni bir F( x) akn deer dalm fonksiyonu F ( ) u ( ) ( ), 0 ( ) F y G y u ve y x u G, ( y), y 0 = y 1 e = 0 F (6) x, x= u+ y olarak anmlandnda, GPD, x in bir fonksiyonu olarak ( x u) G, ( x) = (7) biçiminde ifade edilebilmekedir. G, ( x) genelleirilmi Pareo dalmnn; ekil parameresi ya da kuyruk endeksi olarak ifade edilebilen parameresinin negaif (a), poziif deer (c) ya da sfr deerini (b) almas koullarna bal olarak göserdii deiim Sekil (3) de verilmiir.

8 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) ekil 3. Kuyruk endeksinin deiimine göre genelleirilmi Pareo dalm Genellikle finansal kayplara ilikin bir üs snr konulamayacandan, kaln kuyruklu dalmlarn modellenmesinde, yalnzca, ekil parameresi olan nin poziif deerler ald dalmlarn (Sekil (3) (c)) uygun olaca yorumu Sekil (3) e bal olarak yaplabilir. E.(5) e dayanlarak F( x) dalm fonksiyonunun kapal formu, ( ) = ( 1 ( )) u ( ) + ( ) F x F u F x F u (8) eklinde yazlabilmekedir. n, oplam gözlem saysn; N u, u eik deerinin üzerinde kalan gözlem saysn gösermek üzere n N n olarak deiirildiinde E.(8) deki ( ) u F x GPD ile; F( u) ise ( ) u ( x u) 1 N u Nu F( x) = n n (9) eklinde elde edilecekir. Bu eilik sadeleirilerek, N u F( x) = 1 1+ ( x u) n 1 (10) biçiminde yazlabilmekedir [6]. 4. Fiyaland%rma 4.1. CAT Bonolar0n fiyaland0r0lmas0 Risksiz piyasalarda, sigora riski ile finansal piyasalarn harekei arasnda herhangi bir korelasyon yokur. Dier arafan sigora piyasas risksiz olmad gibi, mükemmelliken de uzakr. Dolaysyla yarmclar, piyasadaki kaasrofik menkul kymelere ilikin üslenecekleri riski azmin edebilmek amacyla bir yükleme parameresine ihiyaç duyarlar [10].

9 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) Sigora ve aküerya lieraüründe brü prim hesaplamalarndaki yükleme parameresini modellemek için pek çok yaklam kullanlmr. Basi olduklarndan dolay en çok ercih edilen iki yönem beklenen de?er ilkesi ve sandar sapma ilkesi dir. EL, beklenen hasar gösermek üzere, beklenen deer ilkesine göre yükleme parameresi beklenen hasarn kadar bir yüzdesi ile oranldr ve prim = EL + EL eklinde ifade edilebilir. Yalnzca beklenen deerin dikkae alnd bu yönem riske duyarl deildir. Yaklamn en büyük avanaj, sadece hasar dalmnn ilk momenine ihiyaç duyulmasdr. Sandar sapma ise oldukça geni kullanm alanna sahip olan bir risk ölçüm aracdr. Brü primin; sandar L e orannda bir yükleme yaplp, beklenen hasara eklenmesi ile hesaplanmakadr: sapma olan ( ) ( ) prim = EL + L Sandar sapma ilkesi simerik rassal sonuçlar için iyi çalmakadr. Sigora ya da reasürans eminalarnda yer alan riskler deerlendirilirken, kâr ve hasar büyüklüklerine ilikin dalmlarn çarpk olabilecei dikkae alnmaldr. Geleneksel risk ölçümü (genellikle, sandar sapma), simerik rassal çklarla ilgilenmekedir. Sigoraclkaki olaylar ise simerik deildir [3]. Sigora balanl menkul kymelerin fiyalarnn, sigoracnn beklenen hasarnn üzerinde olmas ve yaplacak olan fazla ödemenin (excess spread) varsaylan riske bal bir fonksiyon olmas gerekii konusunda görü birlii vardr. Sigora Balanl Menkul Kymeler (Insurance Linked Securiies, ILS) piyasas henüz çok yeni olmakla birlike, reasürans ve finans piyasalarn biraraya geirmekedir ylndaki yllk ILS raporu kapsamnda sandar sapmann kullanmna deinilmi ve daha fazla menkul kyme yazldkça, sandar sapmann sigora verileri için yeerli olmad görülmüür ylndaki yllk raporda ise daha iyi bir ölçüm arac olan ve sigora balanl ürünlerdeki asimerik sigora riskini ölçmeke kullanlan ko.ullu beklenen hasar ( CEL) üzerinde durulmuur. Yalnzca CEL e bavurmak yeerli sonuçlar üremeye yememekedir. Bu durum iki risk ölçümünün birlike düünülmesi gerekii sonucunu dourmuur: CEL ve 1998 ylndaki Risk Cubes makalesinde sözü edilen ilk dolar hasar olas0l0?0 ( PFL) (probabiliy of firs dollar loss). Sigoraclk lieraüründe, CEL hasar iddeine karlk gelirken; hasar skl da PFL yi ifade emeke kullanlmakadr. Risk deerlendirmelerinde; hasar skl ve iddei arasndaki ödünleimi görgül olarak ölçüp, bu ölçümün piyasa fiyalarnda kullanlmas fikri yenidir [10] Kübik risk fiyaland0rma modeli ile sigora riski ( LIBOR un üzerinde kalan ksm) cinsinden elde edilmekedir. Riskeki ark ksm, iki parçaya ayrlarak incelenebilir. Hlk parça yarmcnn beklenen hasarn ( EL) azmin emekedir. Hkinci parça ise yarmn varsaylan riskini azmin emekedir. Bu parça, finansal piyasalarda beklenen ark geiri (expeced excess reurn, EER) olarak adlandrlmakadr. Brü prim; finansal risk ( LIBOR) Üslenilen risklerden ümüyle korunmak mümkün olmadndan, yarmclar bu riskleri azmin edebilmek için bir geiriye ihiyaç duymakadr. EER ; yarmcnn ilemleri sonucu oraya çkan, finansal geirinin ve beklenen hasarn alnda ya da üzerinde kalan beklenen kâr ifade emekedir. Sigoraclar da ayn ilkeyi, farkl bir bak açs ile ele almakadr. Sigora primleri, beklenen hasar ve bir yükleme mikarnn oplam olarak ele alnmakadr. Beklenen hasarlar, ayn veri kümesinin ve

10 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) analizlerin kullanlmas kouluyla, her iki piyasada da ayn ekilde anmlanmakadr. Sigoraclka kullanlan yükleme erimi ise beklenen ark geiriye karlk gelmekedir ylndaki fiyalarn deerlendirilmesi sonucu elde edilen sonuçlara ve LFC nin (Lane Financial Corporaion) kübik risk fiyalandrma modeline dayanarak, beklenen ar0k geiri için Cobb-Douglas Üreim Fonksiyonuna oldukça benzeyen bir fonksiyon kullanlmakadr. LFC, CEL ve PFL arasndaki ödünleimi yakalamak için Cobb-Douglas fonksiyonunu önermiir: EER = ( PFL) ( CEL )! EL, CEL ve PFL bileenleri arasndaki iliki ise aadaki gibi ifade edilebilir [10]: ( ) ( ) ( ) EL= E" $ L L> 0# % Pr L> 0 + E" $ L L= 0# % Pr L= 0 EL = E " $ L L > 0# % Pr L > 0. EL = CEL PFL CEL = EL PFL 5. Uygulama 5.1. Verinin derlenmesi Çalmann bu bölümünde, TÜHK en (2008) alnan, Türkiye nüfus saym verileri kullanlmr. Ham veri, cinsiye ayrmnda ve beerli ya grubundaki il ve ilçe bazl genel nüfus saymlar biçiminde derlenmiir. Verinin güvenilirliini arrmak amacyla 85 ya ve üzeri verinin kullanlmasndan kaçnlmr. ADNKS ile yaplan 2000 yl sonras nüfus saymlar önceki dönemlerin çok üzerinde beklenen yaam süresi sonuçlar üremiir. Bu nedenle 2000 yl sonras nüfus saym verisinin kullanlmamasna karar verilmiir. Çalmada ölümlülük gösergelerine dayanan finansal bir ürev ürün fiyalandrmas yaplacandan ek bir ölümlülük endeksine ihiyaç duyulmakadr. Bu nedenle cinsiye ayrmndaki ham veri arlklandrlarak yllarna ilikin, beerli ya gruplarndan oluan orak ölümlülük hzlar elde edilmiir. Arlklar; cinsiye ayrmnda bulunan her bir ya grubundaki kii saysnn, o yaa hayaa olan oplam kii saysna bölünmesi ile elde edilmiir. Elde edilen arlklar cinsiye ayrmndaki ölüm hzlar ile çarplm ve arlklandrlm ölüm hzlar oplanarak, endeksin ilgili ya grubundaki deeri elde edilebilmiir Ölümlülü?ün Lee-Carer yönemi ile modellenmesi Çalmann bu bölümünde, verdii sonuçlar açsndan en baarl olaslksal modellerden biri olarak ifade edilen LC modelinin Türkiye verisine uyarlanmas amaçlanmr. Veri sei olarak yllarna ilikin Türkiye ölümlülük endeksi kullanlmr. Yaplan uygulamada Microsof Excel yazlmndan faydalanlmr. Ölümlülüün yaa özel, akvim ylndan bamsz örünüsü olan aˆx deerleri Sekil 4 e göserilmiir.

11 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) ekil 4. Türkiye ölümlülük endeksine ilikin aˆx deerleri Sekil 4 e verilen a deerleri incelendiinde, ölümlülüün 0 yandan ya grubuna kadar ˆx beklendii gibi azald, daha sonrasnda ise aran bir seyir izledii görülmekedir. Yllara göre deimeke olan ölümlülüün yaa özel örünüsünü ifade eden b ve ölümlülüün yllara göre x deiimini göseren k paramerelerinin kesirimi için logarimik ölüm hzlar marisinden a vekörü ˆx çkarlm ve elde edilen marise Lee ve Carer n özgün çalmalarnda kullanm olduklar TDA yönemi uygulanmr. Bu ayrrma ilemi için Microsof Excel programna ekleni olarak hazrlanan Biplo yazlmndan yararlanlmr. Endekse ilikin x b kesirim deerleri ( b ˆx ), Sekil 5 de göserilmiir. -ekil 5. Türkiye ölümlülük endeksine ilikin b ˆx deerleri Ölümlülüün yllar içerisindeki deiiminin hangi yaa, ne oranda yansdn ifade eden b ˆx parameresi sonuçlar incelendiinde, negaif bir deerle karlalmad görülmekedir. Bu durum ölümlüün üm yalar için azalmaka olduuna iare emekedir. Buna göre ölümlülüün azalan yapsnn, gelecek yllarda en çok 1-4 ya grubundaki nüfus üzerinde ekili olaca ve bu ya grubunda ölümlülüün daha hzl bir ekilde azalaca söylenebilir. Dier arafan ilerleyen yalarda azalan bir yapya sahip olan b ˆx, ölümlülükeki bu iyilemenin yalar arkça ekisini yiireceine iare emekedir.

12 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) LC modelinde ölüm hz gösergesi olan k, üm yalar için ölüm hzlarnn yllar boyunca gerçekleen deiimini gösermekedir. TDA yönemi ile elde edilen ilk aama k kesirim deerleri ( kˆ ) Sekil 6 da göserilmiir. -ekil 6. Türkiye ölümlülük endeksine ilikin k ˆ deerleri Ölümlülüün yllar içerisindeki geliimini ifade eden k ˆ parameresinin ilk aama kesirim deerleri, Türkiye nüfusu için ölümlülüün azalan bir yapda olduunu gösermekedir. Elde edilen seride dönemsel ini ya da çklarn bulunmamas, ham veriden birer yl aralkl nüfus büyüklüklerinin elde edilebilmesi için kullanlan regresyon modellerinden kaynaklanmakadr. LC yönemi hesaplamalarnda, logarimas alnan deerler kullanldndan elde edilen paramereler ile gözlemlenen ölüm saylar arasnda farkllklar oraya çkmakadr. Bu nedenle k vekörüne ikinci aama kesirimi uygulanmr. k ˆ deerleri ile yeniden kesirimi yaplm k Sekil 7 de verilmiir. ˆ2 k deerleri ( ) -ekil 7. Türkiye ölümlülük endeksine ilikin k ˆ ve kˆ kesirim deerleri 2 Grafik incelendiinde kˆ ikinci aama kesirim deerlerinin, ilk aama kesirim deerlerine benzer bir 2 yap gösermekle birlike, ilerleyen yalarda deiim göserdii gözlemlenmekedir. Buna göre ileri yalarda Türkiye ölümlülük yapsnda meydana gelen düüün, ilk aama kesirim deerlerinin öngördüünden daha az olduu söylenebilir.

13 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) k nin modellenmesi Bu bölümde Lee ve Carer (1992) arafndan ölümlülük endeksi olarak da adlandrlan, ölümlülük gösergesi k nin gelecekeki dalmnn kesirimi elde edilmeye çallmr. Lee ve Carer (1992), k nin drifli rasgele yürüyü modeli ile modellenmesini önermiir. Geleneksel modeller, genellikle, merkezi bölgelerde veriye iyi uyum salarken, kuyruk ksmlarna iyi uyum salamamakadr. Ayrca geçmi gözlemlerden faydalanlarak dalmn kuyruk ksmn oluuran uzun ömürlülük riskine ilikin yeerli veriye de ulalamamakadr. Bu nedenle sa kuyruka yer alan ileri ya ölümlülük gösergelerinin modellenmesinde, güvenilir ahminler elde edilmesini salayan UDK dan faydalanlmr. k veköründeki küçük deiimleri modellemek için Lee ve Carer (1992) arafndan önerilen sabi erimli rasgele yürüyü modelinden faydalanlrken, dalmn kuyruk ksmnn modellenmesinde ise Pickands- Balkema-de Haan Teoremi ne göre GPD kullanlmr. Paramere ahminleri R yazlm kullanlarak elde edilmiir. Oralama fazlalk grafii u eik deerini belirlemede en çok kullanlan yönemlerden biridir. Bu yöneme göre X raslan deikeninin GPD ye uymas durumunda u eik deerinin üzerinde kalan oralama fazlalk grafiinin u nun dorusal bir fonksiyonu olmas beklenmekedir. X deikenine ilikin oralama fazlalk grafii incelendiinde u eik deerinin 0, deeri ile 0, deeri arasndan seçilmesi gerekii görülmekedir. -ekil 8. Oralama fazlalk grafii Birinci dereceden fark alnm kˆ deerleri u eik deerinin 91 ve 96. yüzdelikler arasnda olmas 2 gerekiini gösermekedir. Lieraürde 90 ve 95. yüzdelikler u eik deerinin seçiminde en sk ercih edilen aralklardr [15]. Bu nedenle lieraüre bal kalnm, eik deer seçiminde 90 ve 95. yüzdelikler aras ercih edilmiir. R programnda hesaplanan en çok olabilirlik ahmin edicileri Çizelge 5.1 de verilmiir. Opimal paramereler u = 0, eik deeri için hesaplanmr. Çizelge 1. Opimal paramere ahminleri ˆµ ˆ ˆ ˆ ) -0, , , ,

14 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) LFC nin kübik risk fiyaland0rma modeli ile uzun ömürlülük bonosunun fiyaland0r0lmas0 Bu bölümde CAT bono fiyalandrma yaklam ile hipoeik bir uzun ömürlülük bonosu fiyalandrlacakr. Fiyalandrlmaya çallan bono Chen ve Cummins (2009) arafndan önerilen uzun ömürlülük bonosuna benzer bir naki akna sahipir. Bu bono XYZ Reasürans Sirkei (XYZ Re) arafndan çkarlmakadr. Ürünün poansiyel alclar annüie ve bireysel emeklilik ürünleri saan sigora irkeleridir. Sirke ile bonoyu san alan yarmclar arasndaki naki ak emaik olarak aadaki gibi göserilebilir. -ekil 9. Uzun ömürlülük bonosu Buna göre XYZ Re nominal deeri 400 bin TL olan uzun ömürlülük bonosunu çkarmakadr. Bono uzun ömürlülük riski üzerine yazldndan, bononun poansiyel alclarnn riski ölüm oranlarnn dümesidir. XYZ Re her yl nominal deerin LIBOR+ x i kadar kupon ödemesi yapmay aahhü emekedir. Bunun karlnda ölüm oranlar U seviyesinin alna düüünde, ölüm oranlar M seviyesine ulaana dek anaparann belirli bir ksmna el koyma hakkna sahip olacakr. Ölüm oranlar M seviyesinin de alna düecek olursa, XYZ Re anaparann amamna hak kazanacakr. Dolaysyla anapara ölümlülük riskine maruz kalmakadr ve Türkiye arlklandrlm ölümlülük endeksine bal olarak ifade edilmekedir. XYZ Re nin bak açsndan, bonodan elde edilen eknik kazançlar düük kullanm fiya M = 0,55 l0 ve balangç yüksek kullanm fiya da U = 0,9l olan sam opsiyonlar fark eklinde olacakr. l 0 0, bononun çkarld anda gözlemlenen ölümlülük endeksini gösermekedir. Bono anapara mikar, ölümlülük endeksi yüksek kullanm fiyann alna düüü andan iibaren azalmaya balayacakr. Bu durumda ylna ilikin hasar oran aadaki gibi ifade edilebilir: Hasar Oran0 = ( U l ) ( M l ) max,0 max,0 U M ylna ilikin yüksek kullanm orannn, ölümlülük endeksindeki deiime bal olarak U = min( U 1,l1) eklinde her yl yeniden düzenlenmesi gerekmekedir. Bononun vadesinin 20 yl olduu varsaylmr. Buna göre bono; yüksek kullanm fiya olan U, 20 yldan daha az bir süre içerisinde düük kullanm oran olan M ye ularsa ya da maksimum 20 yllk vadenin biiminde sona erecekir.

15 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) Çalmann bundan sonraki ksmnda ölümlülük endeksinin simülasyonu yaplm ve risk primi, LFC nin kübik risk modelini kullanarak R yazlm yardm ile hesaplanmaya çallmr. Simule edilmi ölümlülük endeksi deerleri Sekil 10 da göserilmiir. Buna göre ölümlülük endeksinin 0,076 ile 0,063 deerleri arasnda yer ald görülmekedir. Orjinal Türkiye ölümlülük verilerinin modellenmesi ile bulunan paramerelerden elde edilen ölümlülük endeksinin azalan bir hzla, düzgün bir ekilde azald görülmekedir. 0,076 0,074 0,072 ri 0,07 rle ğ e e 0,068 d k s 0,066 e d 0,064 E n 0,062 0,06 0, endeks -ekil 10. Simule edilmi ölümlülük endeksi Yıl XYZ Re nin eknik kazançlarna Sekil 11 de yer verilmiir. Grafik incelendiinde; balangça herhangi bir kazanç elde edilemezken, ölümlülük endeksindeki düüe bal olarak birikimli eknik kazançlarn da düzgün bir ekilde ar gözlemlenmekedir , ,00 r ,00 çla n ,00 k a za ik ,00 k n T e , ,00 0, birikimli eknik kazançlar Yıl -ekil 11. Simule edilmi eknik kazançlar Türkiye de kaasrofik bonolara ilikin güvenilir bir fiya serisi olmadndan, Chen ve Cummins (2009) arafndan CEL ve PFL arasndaki ödünleimi yakalamak için kullanlan EER = ( PFL) ( CEL )! Cobb- Douglas fonksiyonunun regresyonundan elde edilen paramere ahminleri veri olarak kullanlmr. Tahmin deerleri Çizelge 2 de verilmiir. Çizelge 2. Paramere ahminleri (Chen ve Cummins, 2009) ˆ ˆ! 2 ˆ R 0,4138 0,0942 0,3016 %67 Yineleme sonucu elde edilen EL, PFL, CEL deikenleri ve x faiz oran Çizelge 3 e göserilmekedir. Yineleme; U seviyesi, l 0 orannn 0,9 ve 0,85 ka; M seviyesi ise l 0 orannn 0,55 ve 0,50 ka olacak

16 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) biçimde ekrarlanmr. Elde edilen x faiz oranlarnn oralamas 0, ve medyan ise 0, olarak hesaplanmr. Oralama ve medyan deerlerinin birbirine yakn çkmas bulunan sonuçlarn uarl olduuna iare emekedir. Çizelge 3. Fiyalandrma sonuçlar (1) U M EL PFL CEL x 0,9 0,55 0, , , , ,85 0,55 0, , , , ,85 0,5 0, , , , ,9 0,5 0, , , , Çizelge 4 e ise özgün U ve M deerleri için yineleme says srasyla 100, 500 ve 1000 olacak biçimde deiirilmiir. Elde edilen x faiz oranlarnn oralama ve medyan deerleri 0, olarak hesaplanmr. Yineleme says arrldkça x faiz orannn daha kararl bir yapya ula gözlemlenmekedir. Çizelge 4. Fiyalandrma sonuçlar (2) U M EL PFL CEL x 0,9 0,55 0, , , , ,9 0,55 0, , , , ,9 0,55 0, , , , Sonuç ve öneriler Sigora irkeleri; insanlar karlaabilecekleri finansal risklerden korumak amacyla kurulmu olsalar da, irkelerin kendileri de çeili riskler ile kar karyadrlar. Uzun ömürlülük riski de bu risklerden biridir. ART, uzun ömürlülük riski problemine bir sermaye piyasas çözümü sunmakadr. Böylece sigora irkeleri emina alna aldklar kaasrofik riskleri, ölümlülük riski üzerine yazlm bonolar yardm ile baarl bir ekilde finansal piyasalara ransfer edebilmekedirler. Ölümlülüün menkul kymeleirilmesi kaasrofik risklerin finansal piyasalara akarlmasna olanak andndan, haya sigoras endüsrisinin risk kabul kapasiesini arrmakadr. Bu çalma ölümlülük endeksini bir sçrama süreci (jump process) olarak modelleyerek geliirilebilir. Ölümlülük endeksinin kararl dalmlara uyumu da incelenebilir. Esscher ilkesi finansal ve aküeryal fiyalandrma ilkeleri arasnda bir köprü kurmakadr. Bu nedenle fiyalandrma ilemleri Esscher ilkesine göre yaplarak, bu çalmada bulunan sonuçlar ile performans karlarmas yaplabilir. Ayrca fiyalandrma ilemleri denge fiyalandrma modeli ve maringale yaklamlar da gözönüne alnarak deerlendirilebilir. Kaynaklar [1] Blake, D., Burrows, W., 2001, Survivor bonds: Helping o hedge moraliy risk, Journal of Risk and Insurance 68 (2), pp [2] Cairns, A. J. G., Blake, D., Dowd, K., 2005, Pricing frameworks for securiizaion of moraliy risk. Working Paper, Herio-Wa Universiy, Edinburgh, UK. [3] Chen, H., Cummins, J.D., 2009, Longeviy bond premiums:the exreme value approach and risk cubic pricing, Insurance: Mahemaics and Economics 46, pp

17 A.Ark, M. Sucu / saisikçiler Dergisi 4 (2011) [4] Cummins, J.D., 2004, Securiizaion of life insurance asses and liabiliies, Submied o TIAA-CREF Insiue. [5] Denui, M., Devolder, P., Goderniaux, A., Securiizaion of longeviy risk: Pricing survivor bonds wih wang ransform in he Lee_Carer framework, Journal of Risk and Insurance 74 (1), pp [6] Gilli, M., Kellezi, E., 2000, Exreme Value Theory for Tail-Relaed risk measures. [7] Haberman, S., Russolillo, M., 2005, Lee-Carer moraliy forecasing:applicaion o he Ialian populaion, Acuarial Research Paper, No:167. [8] Koissi, M-C, Shapiro, A., Högnas, G., 2004, Fiing and forecasing moraliy raes for Nordic counries using Lee-Carer mehod, Deparmen of Mahemaics, Abo Academy Universiy, Finland. [9] Lane, M.N., Movchan, O.Y., 1999, Risk cubes or price, risk, and raings (Par II).Journal of Risk Finance 1 (1), pp [10] Lane, M.N., 2000, Pricing risk ransfer ransacions, Asin Bullein Inernaional Acuarial Associaion, Vol:30, No:2, pp [11] Lee, R.D., Carer, L.R., 1992, Modelling and forecasing U.S. moraliy, Journal of he American Saisical Associaion, No:419, pp [12] Lin, Y., Cox, S.H., 2007, Longeviy risk, rare even premia and securiizaion. Available a SSRN: hp://ssrn.com/absrac= [13] McNeil, A., 1997, Esimaing he ails of loss severiy disribuions using exreme value heory, ASTIN Bullein 27, pp 117_137. [14] Piacco, E., Denui, M., Haberman, S., Olivieri, A., 2009, Modelling Longeviy Dynamics for Pensions and Annuiy Business, Oxford Universiy Press. [15] Sanders, D.E.A., 2005, The Modeling of Exreme Evens, Briish Acuarial Journal 11 (3), pp