Hacettepe Üiversitesi Eğitim Fakültesi ergisi 22: 130-134 {2002} J. of [ Ed 22 MATEMATıciN ESTETiCi ÜZERINE ON AESTHETICS OF MATHEMATICS Cahit PESEN* ÖZET: Matematik, diziliş ve iç uyum ile karakterize edile bir saattır[l]. Matematik bir çok isa tarafıda alaşılması zor, sevimsiz bir ders olarak kabul edilmektedir. Matematik bir düşüme yolu olduğua göre, matematik öğretmelerimizi amacı, öğreciye bilgi yüklemek değil, zibi gelişimie katkıda bulumak olmalıdır. Ayrıca, öğrecileri matematiğe karşı olumlu yaklaşım geliştirebilmeleri içi matematiği estetik yöüü ortaya koması yöüde çaba harcaıalıdır. Bu makalei amacı, matematik dersii geel hedefleride ola "Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirebilme" ve "Estetik duyguyu geliştirebilme" hedeflerii kazadırılması çabasıa katkıda bulumaktır. Bu makalede, Matematiği estetik yöüü keşfedilmesi amacıyla asıl bir öğretim yaklaşımı içeriside oluması gerektiği üzeride durulmuştur. ANAHTAR SÖZCÜKLER: Matematiği estetiği, matematik öğretimi. ABSTRACT: Mathematics is a study of patters ad relatiosbips [I]. Mathematics is regarded as a ulovable ad a very hard subject to be uderstood by a lot of people. As Mathematics is beig a way of thikig the aim of mathematics teachers should't be to 1000 kowledge to the studets but to cotribute to itellect developig. Besides they should strive to direct the studets to develop positive maers for mathematics. The purpose of this paper is to cotribute the struggle of.;aiig "the ability of positive maer for mathematics" ar of "the developig aesthetic feelig." which is cosidered as a oe of the geeral target of mathematics. i this article we tried to fıd out how a teachig method should be foilowed so as to explore aesthetic way of mathematics. KEY WORS: Aesthetics of mathematics,mathematics teachig. 1. GiRiŞ * Yrd. oç. r., icle Üiversitesi, Süt Eğitim Fakültesi. Sııf Öğretmeliği AB. Siirt Matematik birçok isa tarafıda kaçıılması gereke bir kabus olarak görülmektedir. İsaları matematikte hoşlaıamalaı edei, matematiğe doğru bakış açısıı olarda gizlemiş 0Imasıdır[2]. Bir çok isa matematiği karmaşık matığıı alayacak kadar matematik kafasıa sahip olmadığıı düşüür. Matematik kafasıı belirleyici şeyi matıkla, titizlikle veya cebirsel formüllerle işlem yapabilmekle ve hatta kat kat soyutlamaları ustalıkla üsteside gelme yetisiyle belki de fazla ilişkisi yoktur. Buu e açık berraklıkla göre Frasız matematikçi ve filozof Julos-Heri Poicare olmuştur. Aıtsal yazıla yalız matematikçiler ve filozoflar içi değil, değişik alalarda eğitim görmüş isalarda da hedefleye Poicare, matematiğe karşı "estetik duyarlılıkltı matematikçii ruhuubelirlediğie iaırdı. Bu duyarlılık, matematik alaıda "gerçek yaratıcı" olmak içi gerekli ola bir "ice elek" işlevii yerie getiriyordu[2]. Matematiği geel hedefleride bazıla, "Estetik duyguyu geliştirebilme", "Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirebilme" ve "Matematiği öemii kavrayabilme" dir. Bu hedeflere ulaşılabilmesi içi matematiği, estetik ile ilişkisii ortaya koması gerekir. Matematiği güzelliğii ve estetiğii tam algılamada buları gerçekleştirmek mümkü değildir. Estetik kurar,isa tarafıda yapıla veya meydaa getirile eseler arasıda özel bir grupla ilgilidir veya daha iyi deyişle isa tarafıda yapılmış ola şeyleri özel bir işlevi ile ilgilidir. Bu özel gruba gire şeyler, kedilerie estetik bir tavırla bakılması veya estetik olarak değerledirilmesi mümkü ola şeylerdir[3]. Bularda biri de matematiktir.
131 Cahiı Pese [ J. of Ed 22 Estetik düşücesii matematik olarak ele ala ve temelledireler pisagorcular olmuştur. Olara göre evree hakim ola ve evre uyumuu sağlaya şey sayıdır, sayılar arası oratıdır. Buu zorulu soucu da, evrei bilmek demek ou dayadığı sayı ve sayı ilgilerii bilmek demektir[4]. Estetiği belirleyicileri, ora ve simetridir. Bu belirleme, pisagorculugu etkisi altıda kala Plato'u ulaşmış olduğu so oktadır. Matematiği temelide de ora ve simetri yatmaktadır. Saat düyasıda hiçbir bezeri olmaya bir eselliğe sahip olmasıa karşı, yaratıcı matematiği güdüsü ve stadardı bilimde çok saatıkilere bezer. Matematiksel teoremleri sımfladılmasıda estetik kaygı hem matıkta hem de uygulaabilirlikte üstü tutulur. Matematiksel ideleri değerledirilmeside kesi doğru olmasıda ya da yararlı olma olasılığıda çok güzellik ve zarafet etke olur[5]. Resim, müzik ve edebiyatta bulua estetikte etkileildiği gibi matematiği estetiğide de etkileilebileceği uutulmamalıdır. Matematiği, şürde olduğu kadar belirlemiş bir estetik değeri vardır[2]. Resim tuval, boya vb. de meydaa gelir. Bir resimde estetik olarak kedie yöeldiğiiiz şey rek birleşiiidir[3]. Edebiyat düşüceleri, fikirleri belirli kurallar çerçeveside yazılı veya sözlü olarak ifade edilmesidir. Müzik zamasal bir sıraya göre takdim edile sesler ve duraklamalardameydaa gele saattır[3]. Buları alamları, ifade ettikleri şeyler, estetiktir. Müziği ifade aracı dil ve otalar,edebiyatı ifade aracı dil ve kelimeler ike matematiği ifade aracı da dil ve sembollerdir. Şiirler ahekle yazıla sözcüklerde oluşur. Matematik ise sadece ahekle yazıla sözcüklerle değil, zarif sembollerde de oluşur. Bir estetik ese ile estetik bir ilişki kurmamız soucuda bizde bir haz meydaa geldiği söyleebilir. Güzel bir fılii seyretmekte haz duyarız. Güzel bir romaıokumak hoşumuza gider. O halde estetik bir ilişki kurmamızı amacı bizde bir haz duygusu uyadırmak, hoşumuza gitmek ve bizi heyecaladırmak olduğuu söyleyebiliriz[3]. Bütü estetik eselerde farklı derecelerde mevcut ola bir özellik vardır ki bu özellik, yie varlık derecesie göre, bu saat eserie estetik değeri kazadım. Estetik değerle ilgili yararlı ve doğru bir ölçüt bulmak zordur. Estetik esei özellikleri olarak söyledikleri bir saatta diğerie de farklılık gösterir[3]. Matematikteki eselere estetik bakışla bakılabilmesi amacıyla matematikteki estetik eseleri asıl buluabileceği üzeride çeşitli çalışmalar yapılmıştır. 2. Matematiksel üşücei Estetik Niteliğii Ölçülebilmesi İçi Stadartlar Matematiği bir dizi sıkıcı öemsiz uygulamalarda ibaret olmadığı gösterilmelidir. Matcmatiği kullaımı ve uygulaabilirliğiyle birlikte estetik değerii vurgulayarak öğreciler matematiğe yakılaştırılabilir. Eğer matematlği suuluşu ve yazılışı estetik boyutu ortaya çıkaracak ve şiire, müziğe, resme karşı duyarlık göstermeye çalıştığımız gibi, öğrecilerde matematiğe karşı duyarlılığı geliştirecek şekilde çalışmalar yapıldığıda, matematik hakkıdaki düşüceler değiştirilebilir. Matematlği öğreirke ve bu kouda çalışırke, elemeter düzeyde bile, daha öce araştırılmarmş bir estetik yol gösterme kavramı vardır[6]. Bua, estetik değeri ola v'2'i bir irrasyoel sayı olduğu öreği verilebilir. Teorem: v'2 irrasyoel sayıdır. İspat: Teoremi yalış olduğuu, yai v'2'i rasyoel sayı olduğuu varsayalım. O zama v'2 =p / q yazabiliriz. Burada p ve q aralarıda asaldır. Burada, v'2 q =p veya 2q2 =p2 soucu çıkar. O halde p2 bir çift sayıdır. Öyleyse p de bir çift sayıdır. emek ki bir c tam sayısı içi p=2c 'dir. Bu edele, 2q2 =(2c)2 veya q2 =2c2. Öyleyse, q2 çifttir; daha öce olduğu gibi, q da çifttir. Buu soucu olarak p ve q 'u her ikisi de çift sayılardj[ ve bu edele 2 ile bölüebilider. Bu, bizim p ve q'u aralarıda asal olmaları yoludaki varsayımımız ilc çclişir. Öy-
Matemaıiği Estetiği Ozerie 132 leyse,.j2'i rasyoel sayı olduğu varsayıljllljllz yalıştır. O halde,.j2 irrasyoel sayıdır. Şimdi matematiksel estetiği biraz açalım. Matematiksel düşücei estetik iteliğii ölçülebilmesi içi stadartlarolarak iki ilke belirlemiştir[2]. a) Miimal Tambk (Miimal Completeers) : Matematiksel bir N osyou (teorem, teoreıi ispatı, deklem, eşitsizlik veya taım gibi matematiksel ese), matematiksel işlevii yerie getirmek içi gerekli ola bütü özellikleri içerir, kou dışı hiçbir özellik içermezse, ıiimal tamlık ilkesi sağlaır. b) Maksimal Uygulaabilirlik (Maximal Applicability): Matematiksel bir N osyou, eğer N dışıdaki matematiksel osyolara geiş ölçüde uygulaabilir özellik içeriyorsa maksimal uygulaabilirlik ilkesi sağlaır. Matematiksel bir osyo eğer bir alamda, tamam veya kedisie yeterli ise ve de fazlada hiçbir şey içerıiyorsa, birici ilke açısıda ou estetik değeri vardır..j2'i irrasyoel sayı olduğuu ispatı, kedi içide yeterli olduğuda ıiimallik ilkesi geçerlidir. Maksimallik ilkesii sağladığı ise, ispat yöteıii,.j2,.j3,.j4,... 'i de irrasyoel sayı olduğuu ortaya koymak içi uygulaabileceğii görmekle alaşılır. Miimallik ilkesii sağlayıp maksimallik ilkesii sağlamaya durum içi örek vermek gerekirse; "Herhagi bir pozitifreel sayı ile o sayım tersii toplarm 2'de küçük olamaz " Teorem: Eğer X>O ise x+ l/x <!:2 olur. İspat : (X-1)2<!:0 olduğuu biliyoruz. Öyleyse, x2-2x + i <!:O olur ve burada, elde edilir. x41<!: 2x x+l/x <!:2 İspat kedi içide yeterlidir. Çükü herhagi bir reel sayım karesii egatif olamayacağı ve bir eşitsizliği "yöü"ü iki tarafa eşit sayılar ilave etmekle ve pozitif sayılarla bölmekle değişmeyeceği dışıda bir şey gerekmemektedir. Öyleyse miimal tamlık ilkesi geçerlidir. Acak maksimal uygulaabilirlik ilkesii geçerli olmadığı kesidir. Soucu kedisi çok özeldir. İlk eşitsizlik aide ortaya komaktadır. ispat doğru olmasıa rağme zarif deemez. Ardışık sayıları toplamım (+1)/2 formülü ile buluabileceğiikeşfettirmekiçi Gauss'u sekiz yaşıdayke 1'de 100'e kadar ola sayıları toplamım bulmadaki estetikte yararlamlabilir. Öğretmeleri 1 'de 100 Lekadar ola sayıları toplarmm bulmalarım istediğide bütü arkadaşları 1+2=3, 3+3=6,6+4=10,... toplamları ile işe başlarmş, fakat Gauss 1 + 2 + 3 +...+ 98 + 99 + 100 + 100 + 99 + 98 +...+ 3 + 2 + i 101+ 101+ 101+...+ 101 + 101 + 101 olduğuda araıla toplamı yüz kere yüzbir'i yarısı, yai olduğuu fark etmiştir. Ardışık tek sayıları toplamım 2 formülü ile buluabileceğii keşfettirmek içi bezer bir yol takip edilebilir. Öğrecileri "ilk yüz tek sayım toplamı edir?" sorusuu çözmeye çalıştıklarıı düşüelim. Bu soru bir hesap makiesiyle veya cebirsel formül ile çözülebilir. Fakat, matematikteki estetiği yakalaabilmesi içi bu soruucevabıı bulumasıda aşağıdaki yötem takip edilebilir. Şimdi, ilk iki tek sayıyı toplayalım; 1+3 =4 ilk üç, ilk dört ve ilk beş tek sayıyı toplayalım ve biraz düşüelim: 1 + 3+5 =9 1 + 3 +5 + 7 =16 1 + 3+ 5+ 7 +9 =25 Toplamlardaki cevaplara bakıldığıda 4, 9, 16,25 sayılarım 2x2, 3x3, 4x4, 5x5 ile bağlatısı kurulabilir. ilk iki tek sayım toplamı 2x2 olur.
133 Cahiı Pese [ J.of Ed 22 İlk üç tek sayım toplamı 3x3 olur. İlk dört tek sayım toplamı 4x4 olur. İlk beş tek sayım toplamı 5x5 olur. İlk yüz tek sayım toplamı e olur? 100x100 olur. Bu şekilde birkaç örekte sora ögrecileri 2 geellemesie ulaşabilecekleri açıktır. Ögrecileri matematikteki estetlgi yakalayabilmeleri içi bu tür çalışmalara yer verilmelidir. Yukarıdaki ispat yötemleri özelolduguda bu ispatlarda miimallik ilkesii geçerli olduguu söyleyebiliriz. tk k~l = (+l) Z (1) tk2 = (+l)(z+l) (2) kcl 6 L(2k-l) kcl 2 + = 2 = (+l) tk= kcl 2 2 olur. (2) Formülüü ispatı; k3-(k-i)3=k3-(k3-3k2+3k-i)=3k2-3k+ I Bu yüzde (5') formülü, toplamlarımtek bir yötem ile ispat edilebilecegii gösterelim: (12..02)+(22-12)+(32.. 22)+...+(2..(-I )2)=2 (4) (13-03)+(23-13)+(33-23)+...+(3-(-l)3)=3 (5) (14-Q4)+(24-14)+(34-24)+...+(4-(-I)4)=4(6) Toplam otasyouda, (4), (5), (6) formülleri aşagıdaki gibi ifade edilir. L(k2-(k-ı)2)=2 L(ıe -(k-1)3 = 3 k-i L(k4 -(k-ı)4 = 4 k-i (4' ) (5' ) (4'), (5') ve (6') formülleri (1), (2) ve (3) formülleriiispatlarıa götürür. (1) Formülüü ispatı; k2-(k-i)2=k2-(k2-2k+1)=2k-1 Bu yüzde (4') formülü, ~)3k2-3k+l)=3 Bu eşitlij!;i her iki yamm 2 ile çarparsak 6.Lk2 k=1-3( + 1) + Z::::: Z3 6.Lk2 =23 +32 +=(22 +3+l) kcl = ( + 1)(2 + 1) Eşimgi her iki yamı 6 ile bölersek :tk2 ( + 1)(2 + 1) = k=1 6 buluur. (3) Formülüü ispatı;
Matematiği Estetiği Üzerie 134 L(k4-(k-l)4 =4 k4-(k-1)4=4k3-6k2+4k-1 4.Lk3 -(2If +32 +)+(22 +2)-=4 k=) 4~ ıo.ı =4+2ıf +2=2(rl+2+1)=2(+ıJ Eşit1i~iher iki yaım 4 ile bölersek elde edilir. Toplam otasyouu kullaılması ile gerçekleştirile ispat yaklaşımları Lk4, Lks.,... formüllerii aym şekilde ta mmlamasıdauygulama avatajıa sahiptir. Bir başka örek vermek gerekirse, limitlerdeki bazı belirsizlikleri yok etmek içi kullamla çarpalara ayırma özelli~i, miimallik ilkesii sa~larke, bütü belirsizlikleri yok etmek içi kullaıla L'Hospital kuralı ise maksimal uygulaabilirlik içi bir örek oluşturabilir. SONUÇ VE ÖNERILER 1. Resim, müzik ve edebiyata duyula ilgii matemati~e de duyulabilmesi içi matematik ö~retimidematematiktekiesteti~i ortaya koulması ile mümkü olacaktır. Bu durum matemati~ekarşı olumlu tutum geliştirecektir. 2. Matematikteki estetik ö~recileri harekete geçirmelidir. Ö~retmeler, derslerde matematigi estetik boyutuu vurgulamalıdırlar. 3. ers kitapları matematigi estetik boyutuu ortaya koyacak şekilde düzelemclidir. 4. Ögretmeler matematiksel düşüceleri miimal tamlık ve maksimal uygulaabilirlik özelliklerie dikkat çekmelidider. 5. Ögretmeler matematiksel düşüceleri yatay ve dikey ilişkilerie dikkat çekerek bir ö~retimgerçekleştirmelidirler. 6. Matematikteki osyoları işlevi bizde estetik tepkiler uyadırmalıdır. 7. Matematikteki estetigi ö~recilere hissettirilebilmesi içi ilkögretimii ilk yıllarıda itibare ögretmelerimiz sembolleri tahtaya geçirirke semboller arasıdaki ilişkiye dikkat ederek yazmalıdırlar. 8. İlkö~retimi ilk yıllarıda üiversite yıllarıa kadar matematigi estetigii ortaya koulması yoluda ciddi ve sistematik bir çaba harcamalıdır. KAYNAKÇA Reys, R.E., Suydam, M.N., Lidquist, M.M. ad Smith, NL, Helpig Childre Leam Mathematics, Ally ad Baco, Boslo, s:2, (1998) Kig, J.P., "Matematik Saatı", Tübitak Yayıları,(l997). Arsla, A., "Felsefeye Giriş", Vadi (]994). Yayıları, s:]28-]43, Tualı, 1., "Grek Estetik'i", Remzi Kitabcvi, s:133, (1996). Ly Stee, (ed.) "Mathcmatics Today", s:1o. Seymore A. P., "The Mathcmatica] Ucascious", s: ]06. Liebeck, P., "How Childre (1990). Leam Mathematics", Pegui, Öer, N. "Felsefe Yoluda üşüceler", Milli Eğitim Basımevi, (1995). Prieslcy, W.M., "Calculus: A Historica] Approach", Spriger-Verlag New York, (1979).