ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ -TOMURCUK FONKSİYONU ve -BEZIER EĞRİLERİ Mele SARAÇ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2015 Her haı salıdır
ET IK Aara Üverstes Fe Blmler Esttüsü tez yaz m urallar a uygu olara haz rlad ¼g m bu tez çde bütü blgler do¼gru ve tam oldu¼guu, blgler üretlmes aşamas da blmsel et¼ge uygu davrad ¼g m, yararlad ¼g m bütü ayalar at f yapara belrtt¼gm beya ederm. 19/01/2015 Mele SARAÇ
ÖZET Yüse Lsas Tez -TOMURCUK FONKS IYONU VE -BEZIER E ¼GR ILER I Mele SARAÇ Aara Üverstes Fe Blmler Esttüsü Matemat Aablm Dal Da şma: Doç. Dr. Ibrahm BÜYÜKYAZICI Bu tez beş bölümde oluşmatad r. Il bölüm grş sm a ayr lm ş ve tez ha da geel blglere yer verlmştr. Ic bölümde, tezde gerel ola baz avramlar ve özelller fade edlmştr. Üçücü bölümde, Berste taba fosyolar yard m yla oluşturula Bézer e¼grler ta m ve özelller le brlte bu e¼grler ey olara bölmeye yaraya Casteljau algortmas verlmştr. Ayr ca bu bölümde Berste taba fosyolar Bézer e¼grler şel üzerde ets öreler üzerde gösterlmştr. Soras da, -Berste taba fosyou ulla lara ta mlaa -Bézer e¼grler ve özelller verlmştr. Bu e¼grler ç -Casteljau algortmas fade edlmş ve parametres de¼gşm -Bézer e¼grs üzerde ets öre üzerde celemştr. Dördücü bölümde, olduça öeml özelllere sahp ola -tomurcu fosyou ve özelllere yer verlp -Bézer e¼grler ve -tomurcu fosyou aras da ya lş celemştr. Soras da -Berste taba fosyoua at baz özdeşller -tomurcu fosyouda yararla lara spat edlmştr. Beşc bölümde, sahp oldu¼gu otrol (Bézer) otalar le Bézer e¼grler geel olara uygulama alalar da öemde ve bu e¼grler parametresde as l etled¼ge lş souçlarda bahsedlmştr. Oca 2015, 93 sayfa Aahtar Kelmeler: -aalz, -tomurcu fosyou, -Berste taba fosyolar, -Bézer e¼grs, Marsde özdeşl¼g, Casteljau algortmas.
ABSTRACT Master Thess -BLOSSOM AND -BEZIER CURVES Mele SARAÇ Aara Uversty Graduate School of Natural ad Appled Sceces Departmet of Mathematcs Supervsor: Assoc. Prof. Dr. Ibrahm BÜYÜKYAZICI Ths thess cossts of ve chapters. The rst chapter s devoted to the troducto ad geeral formato about the thess s gve. I the secod chapter some otos ad propertes whch are eeded the thess are explaed. I the thrd chapter, gve the geeral de to of Bézer curves ad ther propertes are examed. Also, the e ects o the shape of the Bézer curves by Berste bass fuctos are llustrated. The, -Bezer curves have bee de ed usg -Berste bass ad ther propertes have bee gve. -Casteljau algorthms are expressed ad the e ects o the shape of the -Bézer curves by shape parameter llustrated. I the fourth chapter, -blossom s de ed ad ts propertes are studed. The, the relatoshp betwee the -Bézer curves ad -blossom s gve. Moreover some dettes ad coclusos whch are obtaed for -Berste bass fuctos are proved wth help of the -blossom. I the fth chapter, wth possessg cotrol (Bézer) pots, the mportace of Bézer curves applcato areas ad coclusos about how Bézer curves are a ected by parameter have metoed. Jauary 2015, 93 pages Key Words: -aalyss, -blossom, -Berste bass fuctos, -Bézer curve, Marsde s detty, Casteljau algorthm.
TEŞEKKÜR Bu çal şma ousuu baa vere, araşt rmalar m her aşamas da blg, öer ve yard mlar yla be yöledre ve çal şma lerlemesde at da bulua da şma hocam, Say Doç. Dr. Ibrahm BÜYÜKYAZICI ya (Aara Üverstes Matemat Aablm Dal ) ve çal şmalar m süresce be her zama desteleye aleme e çte duygular mla teşeür ederm. Bu tez "TÜB ITAK 2210-A Yurt Iç Lsasüstü Burs Program " taraf da destelemştr. Mele SARAÇ Aara, Oca 2015 v
IÇ INDEK ILER TEZ ONAY SAYFASI ET IK... ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... v S IMGELER D IZ IN I... v ŞEK ILLER D IZ IN I... v 1. G IR IŞ... 1 2. KURAMSAL TEMELLER... 5 2.1 Berste Taba Fosyolar ve Özelller... 6 2.2 -Aalzde Temel Kavramlar... 23 2.3 -Berste Taba Fosyolar ve Özelller... 25 3. BEZ IER ve -BEZ IER E ¼GR ILER I... 33 3.1 Bézer E¼grler... 33 3.2 Casteljau Algortmas ve Derece Yüseltme... 41 3.3 -Bézer E¼grler... 48 4. -TOMURCUK FONKS IYONU... 55 4.1 -Tomurcu Fosyou ve Asyomlar... 55 4.2 -Bézer E¼grler Baz Özelller -Tomurcu Fosyou Yard m yla Elde Edlmes... 61 4.3 -Tomurcu Fosyou Yard m yla Elde Edle Baz Eştller... 81 5. TARTIŞMA VE SONUÇ... 88 KAYNAKLAR... 90 ÖZGEÇM IŞ... 93 v
S IMGELER D IZ IN I C [0; 1] [0; 1] aral ¼g üzerde sürel fosyolar uzay } Dereces ola polom uzay N j:j : N 0 R R R + [] N p (u 1 ; :::; u ; ) ' ; (u 1 ; :::; u ) Do¼gal say lar ümes Mutla de¼ger Norm N[ f0g Reel say lar ümes boyutlu reel vetör uzay Poztf reel say lar ümes tamsay s tamsay lar ümes bom atsay s f1; :::; g ümes permütasyou -Tomurcu fosyou Elemeter smetr fosyo v
ŞEK ILLER D IZ IN I Şel 2.1 3 -ücü derecede Berste taba fosyolar... 7 Şel 2.2 Te estremuma sahp olma... 10 Şel 3.1 Leer br Bézer e¼grs... 34 Şel 3.2 Kuadrat br Bézer e¼grs... 35 Şel 3.3 Küb br Bézer e¼grs... 35 Şel 3.4 [0; 1] ve [0; 2] aral lar da üb Bézer e¼grler... 36 Şel 3.5 P 1 otrol otas de¼gşm... 37 Şel 3.6 Kotrol otas de¼gşm... 38 Şel 3.7 Bézer e¼grs ve döel csm... 39 Şel 3.8 P 3 otrol otas de¼gşm... 40 Şel 3.9 P 2 ve P 4 otrol otas de¼gşm... 40 Şel 3.10 y ese etraf da döme... 41 Şel 3.11 Algortma le oluşa ye otrol otalar ve bu otalar yard m yla e¼gr üzerde de¼gşm... 42 Şel 3.12 Bölümüş Bézer e¼grler ve otrol çogeler... 43 Şel 3.13 Derece yüseltme ve P 2 otrol otas de¼gşm... 45 Şel 3.14 P; P 1 ve P 2 Bézer e¼grler... 47 Şel 3.15 [0; 1] ve [2; 3] aral lar da ta ml -Bézer e¼grler... 50 Şel 3.16 [0; 1] üzerde brc -de Casteljau algortmas ( 3)... 51 Şel 3.17 [0; 1] üzerde c -de Casteljau algortmas ( 3)... 51 Şel 3.18 [a; b] üzerde c -de Casteljau algortmas ( 3)... 52 Şel 3.19 0 < 1 ç parametres de¼gşm... 53 Şel 3.20 1 ç parametres de¼gşm... 54 v
1. G IR IŞ Yalaş mlar teors temel teorem olara ble, apal ve s rl aral ta verle sürel f fosyoua yalaşa polomu varl ¼g Alma matematç (Weerstrass 1885) taraf da spat edlmştr. Rus matematç (Berste 1912), lerde ed smyle a la bu polomu varl ¼g ya s ra yap s da göstere toplam bçmde polomlar dzs ta mlam ş ve bu polomlar güümüzde e ço çal ş la, üzere e ço maale ve tap yaz la, brço dalda öeml uygulamalara sahp yalaş mlar teors araçlar da br olmuştur. Berste polomlar yap s ; x ve y poztf say lar ve br do¼gal say olma üzere (x + y) 0 x y bom formülüde x t ve y 1 1 0 t; t 2 [0; 1] seçld¼gde oluşa t (1 t) brm aç l m a daya r. Berste polomu, f 2 C [0; 1] ve f fosyouu t otalar da ta ml rasyoel de¼gerler ç le ta mla r. B (f; t) f 0 t (1 t) ; 0 t 1; 2 N B : C [0; 1]! C [0; 1] f! B (f; t) operatörü sürel ve poztf f fosyouu poztf br poloma döüştürdü¼gü, ; 2 R ve f 1 ; f 2 2 C [0; 1] olma üzere B (f 1 + f 2 ; t) B (f 1 ; t) + B (f 2 ; t) 1
eştl¼g sa¼glad ¼g da leer poztf operatördür. Berste polomlar dzs ç ey " > 0 say s verld¼gde 8 t 2 [0; 1] ve 8 0 ç jb (f; t) f (t)j < " eştszl¼g sa¼gla r. Bu eştszl lm B (f; t) f (t)!1 C[0;1] 0 fadese detr. Berste polomlar brço alada öeml uygulamalara sahp olup bularda brs de blgsayar destel geometr tasar m (computer aded geometrc desg) larda olduça öeme sahp ola Bézer e¼grler Berste taba fosyolar ulla lara oluşturulmas d r. Bézer e¼grler oluşturmada ulla laca algortmalar l ez Ctroe de çal şa zç ve matematç (Casteljau 1959) taraf da yaz lm ş ve Fras z müheds (Bézer 1970) taraf da Reault mara otomobller tasar m da ulla lma üzere gelştrlmştr. Casteljau algortmas le br Bézer e¼grs alt bölgelere ay rma ürü tasar mlar da öeml br uygulamad r. Çüü algortma le oluşa ye otrol çogeler ard ş olara stele Bézer e¼grse do¼gru yalaş r. Bézer e¼grler sahp oldu¼gu bu özelller olar e¼gr ve yüzey tasar m da ulla şl hale getrmetedr. Bu özel e¼grler güümüzde otomobl, uça gövde ve aad modelleme çal şmalar da, fotlar tasar m da ve daha brço alada ulla lmatad r. Br Bézer e¼grs otrol çoge üzerde yap la de¼gşl do¼gruda e¼gr üzerde etye sahp olup, otrol otalar ulla m sayesde öcede ulaş lablece souçlar tahm edleblmetedr. 2
Bézer e¼grler temel oluştura Berste polomlar, so y llarda olduça lg toplaya ve brço araşt rmac taraf da çal ş la (uatum) tamsay lar a dayal geellemes l ez (Lupaş 1987) ta mlam şt r. Lupaş, Berste polomlar Bölüm 2.2 de ta mlaaca ola tamsay lar a dayal geellemes f 2 C [0; 1] ve R ; : C [0; 1]! C [0; 1] olma üzere R ; (f) R (f; ; t) şelde ta mlam şt r. f 0! [] [] ( 1)2 t (1 t) (1 t + t) ::: (1 t + 1 t) (Phllps 1996) Berste polomlar tamsay lar a dayal farl br geellemes f 2 C [0; 1] ve B ; : C [0; 1]! C [0; 1] olma üzere B ; (f) B (f; ; t) f 0! [] [] Y 1 t s0 (1 s t) le ta mlam ş ve bu polomlar yalaş m özelller celemştr. (Oruç ve Phllps 2003), Y 1 B (t; ) t (1 s t) ; 0; :::; s0 -Berste taba fosyolar ullaara -Bézer e¼grler ve bu e¼grler ç derece yüseltme ve drgeme ba¼g t s oluşturmuşlard r. Bu tezde geel olara Bézer e¼grs oluşturmada ulla la Casteljau algortmas le oluşa dü¼gümler fadesde ve Bézer e¼grs otrol otalar belrtmede ulla la tomurcu fosyouu, -Bézer e¼grs ç -tomurcu fosyoua geşletlmes celeecetr. 3
Brc bölüm grş sm a ayr lm ş olup c bölümde Berste taba fosyolar ta t l p geel özelller verlecetr. Ayr ca ye bu bölümde -aalz le lgl temel avramlar fade edlp ard da -Berste taba fosyou ve geel özelller verlecetr. Üçücü bölümde Berste taba fosyolar yard m yla oluşturula Bézer e¼grler ve bu e¼grlere at geel özelllerle beraber ey br Bézer e¼grs alt aral larda ta ml Bézer e¼grlere bölmeye yaraya Casteljau algortmas fade edlecetr. Berste taba fosyolar ta ml oldular aral ta "te estremum" de¼gere sahp olmas Bézer e¼grler otrol otalar le lşledrlece ve bu durumu Bézer e¼grs üzerde ets celeecetr. Soras da serbest şel verlmş yüzeylere (free form surface) -Berste taba fosyolar yard m yla daha y br yalaş m yapmay amaçlaya -Bézer e¼grler ta mlaaca ve Bézer e¼grlerdee bezer olara e¼grler ta ml oldu¼gu aral ¼g alt aral lar da bölmeye yaraya ve böylelle soucuda farl -Bézer e¼grler elde edle -Casteljau algortmas fade edlecetr. Bézer e¼grlere ye br ba ş getre parametres -Bézer e¼grler üzerde ets ve parametres de¼gşm e¼gr üzerde şel de¼gşl¼g celeecetr. Dördücü bölümde belrl özelllere sahp özel br fosyo ola -tomurcu fosyouu ta m ve özelllere yer verlecetr ( 1 al d ¼g da las tomurcu fosyou elde edlr). Ayr ca bu özel fosyo -Bézer e¼grler le lşledrlere -Casteljau algortmas da dü¼gümler ve P ; 0; :::; otrol otalar bu fosyo yard m yla fade edlecetr. Ye bu bölümde herhag br P (t) polomuu -tomurcu fosyou le fades verlp ard da -Berste taba fosyolar a at baz eştller spat bu fosyo yard m yla yap lacat r. So bölüm se tart şma ve souç sm a ayr lm şt r. 4
2. KURAMSAL TEMELLER Bu bölümde çal şma boyuca yararla laca ve lerde Bézer e¼grler ta mlamada temel teşl edece ola baz ta mlar, öermeler ve özelller fade edlecetr. Ta m 2.1 (Polom) m 2 N ve c 0 ; c 1 ; :::; c m ler de c m 6 0 olma üzere sabt say lar olsu. P (x) c m x m + c m 1 x m 1 + ::: + c 1 x + c 0 şelde ta mlaa P : R! R fosyoua polom der (Szegö 1967). Ta m 2.2 (Polomu dereces) m 2 N ve c 0 ; c 1 ; :::; c m ler de c m 6 0 olma üzere sabt say lar olsu. P (x) c m x m + c m 1 x m 1 + ::: + c 1 x + c 0 şelde ta mlaa P : R! R fosyouda m do¼gal say s a polomu dereces der (Szegö 1967). Ta m 2.3 (A ombasyo) 0; :::; olma üzere 8 c sabt ve P otas ç 1 olaca şelde c P toplam her ombasyoua a 0 c ombasyo der (Goldma 2002). 0 Ta m 2.4 (Vetör uzay ) R üzerde br V cümles, 8 ~x; ~y; ~z 2 V ve ; 2 R salarlar ç toplama ve salar le çarpma şlemleryle brlte; 1) ~x + ~y 2 V 2) ~x + ~y ~y + ~x 3) ~x + (~y + ~z) (~x + ~y) + ~z 4) ~x + ~0 ~x olaca şelde br ~0 2 V vard r. 5) (~x + ( ~x)) ~0 olaca şelde br te ( ~x) 2 V vard r. 6) ~x 2 V 5
7) (~x) () ~x 8) 1~x ~x 9) (~x + ~y) ~x + ~y 10) ( + ) ~x ~x + ~x asyomlar sa¼gl yorsa V ye br reel vetör uzay der (Halmos 1974). Öre 2.1 -c derecede polom uzay } br vetör uzay d r. Öerme 2.1 (Te termller ç Descartes şaret ural ) -c derecede br P (t) a t polomuu (0; 1) aral ¼g da öler say s N (N ) 0 ve a ; 0; :::; atsay lar şaret de¼gşm say s s (a 0 ; :::; a ) olma üzere N s (a 0 ; :::; a ) dr (Goldma 2002). 2.1 Berste Taba Fosyolar ve Özelller 2.1.1 Berste taba fosyolar Ta m 2.1.1 (Berste polomu) f 2 C [0; 1] olma üzere f fosyouu -c derecede Berste polomu B (f; t) f 0 t (1 t) ; t 2 [0; 1] ; 2 N (2.1) le ta mla r (Berste 1912). Ta m 2.1.2 (Berste taba fosyolar ) (2:1) fadesde B (t) t (1 t) ; t 2 [0; 1] ; 0 6
fosyolar a -c derecede Berste taba fosyolar der. Şel 2.1 3 -ücü derecede Berste taba fosyolar Not 2.1.1 B (t) ; 0; :::; Berste taba fosyolar ç dr. < 0 veya > ) B (t) 0 0 ) B (t) 1 Ta m 2.1.3 ( [a; b] aral ¼g da Berste taba fosyolar ) [a; b] aral ¼g üzerde ta ml Berste taba fosyolar le ta mla r. B (t; [a; b]) (t a) (b t) (b a) ; 0 ; a t b 2.1.2 Berste taba fosyolar özelller Teorem 2.1.1 -c derecede Berste taba fosyolar aşa¼g da özelllere sahptr. 7
() Smetr: B (1 t) B (t) () Idrgeme ba¼g t s : - c derecede Berste taba fosyolar ( 1) -c derecede Berste taba fosyou csde yaz lablr. Böylece -c derecede - c Berste taba fosyou B (t) (1 t) B 1 (t) + tb 1 1 (t) şelde fade edlr. () Negatf olmama: 8 t 2 [0; 1] ç d r. B (t) t (1 t) 0 (v) Brm parçalamas : 8 t 2 [0; 1] ç B (t) 1 dr. 0 (v) Derece yüseltme: Dereces -de üçü ola Berste taba fosyolar -c derecede Berste taba fosyolar leer ombasyou olara şelde fade edlr. B 1 (t) B (t) + + 1 B +1 (t) Özel olara Berste taba fosyolar ç tb (t) + 1 + 1 B+1 +1 (t) (2.2) 8
ve (1 t) B (t) + 1 + 1 B +1 +1 (t) (2.3) eştller geçerl olup bu eştller lerde Bézer e¼grler şel de¼gştrmede dereces yüseltmede ulla lacat r. (v) Kuvvet baz t ; 0; :::; le lş: -c derecede polom uzay br baz ola -c derecede Berste taba fosyolar ve uvvet baz aras da B (t) j ( 1) j t j ; j j 0; :::; ve eştller sa¼gla r. t j B j (t) ; 0; :::; (2.4) j Özel olara (2:4) eştl¼gde 0 al rsa 1 Bj (t) fades Berste taba fosyolar brm parçalamas özell¼g verr. 1 durumuda se elde edlr. t j1 j B j (t) (v) Te estremuma sahp olma: B (t), 0; :::; ; t 2 [0; 1] Berste taba fosyolar t otas da br te estremuma sahptr. Ayr ca t 2 [0; 1] de¼ger ç B 0 (t ) ::: B 1 (t ) B (t ) B +1 (t ) ::: B (t ) eştszl¼g gerçeleece şelde br ds vard r. 9
Şel 2.2 Te estremuma sahp olma Şel 2.2 de görüldü¼gü gb [0; 1] aral ¼g alt aral lar da Berste taba fosyolar ç B 0 (t ) ::: B 1 (t ) B (t ) B +1 (t ) ::: B (t ) eştszl¼g gerçeler. Berste taba fosyolar sa¼glad ¼g bu özell¼g br soucu olara lerde ta mlayaca¼g m z dse arş l gele P ; 0; :::; otrol otas t t otas da Bézer e¼grs üzerde ets d¼ger otrol otalar da daha fazla oldu¼guu br öre üzerde gösterece¼gz. (v) Alt ve üst s rlar: polom uzay ç baz oluşturdu¼gu göz öüe al rsa Berste taba fosyolar -c derecede 8 t 2 [0; 1] ve P (t) c B (t) 0 10
ç m c P (t) max c 0 0 eştszl¼g gerçeler. (x) Uç ota de¼gerler: P (t) c B (t) 0 polomuu [0; 1] aral ¼g uç otalar da ald ¼g de¼gerler P (0) c 0 ve P (1) c dr. (x) Azala sal m özell¼g: t 2 [0; 1] ç P (t) c B (t) 0 polomuu poztf reel öler say s N; Berste taba fosyou atsay lar (c ; 0; :::; ) şaret de¼gşm say s s (c 0 ; :::; c ) de üçütür. Böylece N s (c 0 ; :::; c ) gerçeler. (x) Yede parametreledrme formülü: t! rt ve t! a (1 t) + bt döüşümler s ras yla [0; 1] aral ¼g [0; r] ve [a; b] aral lar a döüştürme üzere; B (rt) B j (r) B j (t) j 11
ve B (a (1 t) + bt) 0; :::; X 0 a ( b B (t) j mj (a b + 1) j B j j (t) (1 t) ) m ( a) m j Bm (t) j t m (2.5) eştller gerçeler. Ispat. () Smetr: B (1 t) (1 t) ( ) t (1 t) t t (1 t) B (t) () Idrgeme ba¼g t s : 1 (1 t) B 1 (t) + tb 1 1 (t) (1 t) t (1 t) 1 +t t 1 (1 t) 1 1 t (1 t) + 1 + B (t) 1 1 t (1 t) ( 1) ( 1) ( 1) 1 t (1 t) 1 t (1 t) 12
() Negatf olmama: 8 t 2 [0; 1] ç oldu¼gu aç t r. B (t) t (1 t) 0 (v) Brm parçalamas : Bom aç l m da 1 [(1 t) + t] B (t) 0 0 t (1 t) dr. D¼ger br spat yötem olara X X 1 B (t) B 1 (t) 0 eştl¼g gösterlmes yeterldr. Çüü X 1 B (t) B 1 (t) ::: 0 0 0 1X B 1 (t) B0 1 (t) + B1 1 (t) 1 0 dr. Gerçete drgeme ba¼g t s uygulad ¼g da, X B (t) 0 X (1 t) B 1 (t) + tb 1 1 (t) 0 (1 t) +t ( X 1 ( X 1 B 1 0 X 1 (1 t) (t) + B 1 (t) B 1 1 1 (t) + B 1 (t) 0 X 1 B 1 (t) 0 B 1 X 1 (t) + t 0 ) ) B 1 (t) 13
olup stele elde edlr. (v) Derece yüseltme: Ispat ç öcelle oldu¼guu gösterelm. 1 B 1 (t) + B +1 (t) + 1 1 1 B 1 1 B 1 (t) + B +1 (t) t (1 t) + t +1 (1 t) (+1) + 1 (t) t (1 t) 1 [(1 t) + t] t (1 t) 1 1 1 B 1 Şmd bu eştl¼g ullaara ey br Berste taba fosyouu daha yüse derecede Berste taba fosyolar csde yazal m. (t) ( 1) -c derecede -c Berste taba fosyou ç eştl¼g elde edlr. 1 B 1 1 (t) B 1 1 (t) 2 3 1 6 1 4 B 1 (t) + B +1 (t) 7 5 + 1 B (t) + + 1 B +1 (t) 14
Bu özell geelleştrlrse; 8 < ç - c derecede Berste taba fosyou -c derecede Berste taba fosyou csde yaz l r. Şmd (2:2) ve (2:3) fadeler spatlayal m. tb (t) t t (1 t) t +1 (1 t) + 1 (+1) (+1) + 1 t +1 (1 t) + 1 (+1) (+1) + 1 + 1 + 1 B +1 +1 (t) + 1 + 1 B+1 +1 (t) ve (1 t) B (t) t (1 t) +1 + 1 t (1 t) +1 + 1 + 1 + 1 + 1 B +1 (t) B+1 (t) eştller elde edlr. 15
(v) Kuvvet baz t ; 0; :::; le lş: B (t) t (1 t) fadesde bom aç l m ulla l rsa X (1 t) 0 ( 1) t B (t) X t ( 1) t 0 X ( 1) t + 0 ( 1) t ( 1) t elde edlr. Şmd t j B j (t) ; j eştl¼g tümevar m yötem le spatlayal m. 0; :::; 0 ç Bj (t) 1 olup aç ça bu eştl Berste taba fosyolar brm aç l ma sahp olmas d r. 1 ç t 1 j 1 j 1 B j (t) 1 eştl¼g do¼gru olsu. ç do¼gru oldu¼guu gösterelm. 16
(2:2) fades ulla l rsa elde edlr. t tt 1 j 1 t B j (t) j 1 1 j 1 j + 1 + 1 B+1 j 1 1 j 1 X+1 1 j + 1 B+1 j (t) j 1 j B j (t) j j+1 (t) Özel olara 1 ç elde edlr. t j 1 B j (t) 1 j B j (t) j1 j1 B 1 (t) + 2B 2 (t) + ::: + B (t) 17
(v) Te estremuma sahp olma: [0; 1] aral ¼g üzerde B0 (t) (1 t) ve B (t) t olup Berste taba fosyolar mootodur. Çüü B (t) ; [0; 1] a- ral ¼g da mooto artare B0 (t) de [0; 1] aral ¼g da mooto azalad r. Bu yüzde bu Berste taba fosyouu br masmum de¼ger olacat r. Şmd B (t) ; 1; :::; araşt ral m. Buu ç 1 Berste taba fosyolar masmum de¼ger B (t) t (1 t) Berste taba fosyouu t de¼gşee göre türev al rsa db (t) dt t 1 (1 t) ( ) t (1 t) 1 t 1 (1 t) 1 [ (1 t) ( ) t] t 1 (1 t) 1 ( t) olup db (t) dt 0 delem te çözümü 8 t 2 (0; 1) ç t dr. Şmd sabt br t de¼ger ç B 0 (t ) ::: B 1 (t ) B (t ) B +1 (t ) ::: B (t ) eştszl¼g gerçeleece şelde br ds var oldu¼guu gösterelm. Buu ç üzerde tümevar m yötem uygularsa 0 ve 1 ç eştszl do¼grudur. Kabul edelm bu eştszl ( ç do¼gru olsu. Ya 1) -c derecede Berste taba fosyolar B 1 0 (t ) ::: B 1 1 (t ) B 1 (t ) B 1 +1 (t ) ::: B 1 (t ) (2.6) 18
sa¼glas. -c derecede Berste taba fosyolar ç geçerl ola B (t) (1 t) B 1 (t) + tb 1 1 (t) drgeme ba¼g t s B 1 (t) fosyouu B (t) ve B 1 (t) fosyolar oves ombasyou oldu¼guu, ya B 1 (t) fosyouu B (t) ve B 1 1 (t) fosyolar aras da yer ald ¼g söyler. Bu ba¼g t le brlte ( 1) -c derecede Berste taba fosyolar ç (2:6) eştszl¼g de ulla l rsa 1 B 0 (t ) B 1 0 (t ) ::: B 1 1 (t ) B (t ) B 1 (t ) B +1 (t ) B 1 +1 (t ) ::: B 1 1 (t ) B (t ) eştszl¼g elde edlr. Burada B 0 (t ) ::: B 1 (t ) B (t ) B +1 (t ) ::: B (t ) olaca şelde br ds mevcuttur. (v) Alt ve üst s rlar: B (t) ; 0; :::; Berste taba fosyolar -c derecede polom uzay } ç baz oluşturdu¼gu göz öüde buludurulursa 0; :::; ç c sabt atsay lar gösterme üzere P (t) c B (t) 0 yaz l r. ve oldu¼guda m c 0 m c P (t) max c 0 0 0 B (t) 1 0 c B (t) P (t) max 0 c 19
eştszl¼g gerçeler. (x) Uç ota de¼gerler: P (t) c B (t) 0 c t (1 t) 0 c 0 (1 t) + c 1 t (1 t) 1 + ::: + c 1 1 aç l m da t 0 ve t 1 ç t 1 (1 t) + c t P (0) c 0 ve P (1) c buluur. (x) Azala sal m özell¼g: t 2 (0; 1)! u 2 (0; 1) t (u) u döüşümü (0; 1) aral ¼g da ta ml P (t) polomuu (0; 1) aral ¼g da 1 + u ta ml Q (u) fosyoua döüştürür. P (t (u)) c B (t (u)) olma üzere 0 Q (u) P (t (u)) u P 1 + u u c B 1 + u 0 u 1 c 1 + u 1 + u 0 u c (1 + u) 0 (1 + u) a u ; a c 0 20
elde edlr. Aç olara c ve a atsay lar ay şaretl olup Q (u) u (0; 1) aral ¼g da öler le P (t) polomuu (0; 1) aral ¼g da öler lşldr. Gerçete B (t) (1 t) t (1 t) (1 t) t 1 t eştl¼gde döüşümü uygula rsa B (t) (1 t) u t 1 t u M (u) elde edlr. Böylece P (t) c B (t) polomuu (0; 1) aral ¼g da öler say s N se 0 c M (u) polomuu (0; 1) aral ¼g da öler say s da N olur. Te termller ç Descartes şaret ural uygula rsa N s (c 0 ; :::; c ) oldu¼gu görülür. (x) Yede parametreledrme formülü: B (rt) (1 rt) (rt) fadesde 1 rt yere (1 t)+(1 r) t yaz l p (1 rt) fades bom aç l m ulla l rsa, 21
B (rt) [(1 t) + (1 r) t] (rt) X ((1 r) t) j (1 t) j r t j X (1 r) j t j+ r (1 t) j j (1 r) j t j (1 t) j r j j j r (1 r) j t j (1 t) j j j j j r (1 r) j j B j (r) B j (t) j t j (1 t) j elde edlr. Bezer şlemler B (a (1 t) + bt) fades ç uygula rsa (2:5) eştl¼g elde edlr. (1 a (1 t) bt) (a (1 t) + bt) Öerme 2.1.1 -c derecede Berste taba fosyolar -c derecede polom uzay } ç baz oluşturur. Ispat. B (t) ; 0 fosyolar } uzay gererler. Bu durum Berste taba fosyolar f1; t; t 2 ; :::; t g uvvet baz csde yaz lmas da görülür. B (t) ; 0 fosyolar leer ba¼g ms zd r. Gerçete c 0; c 1 ; :::; c sabtler ç c 0 B0 (t) + c 1 B1 (t) + ::: + c B (t) 0 eştl¼g sa¼glamas B (t) ; 0 fosyolar uvvet baz csde 22
yaz ld ¼g ve uvvet baz leer ba¼g ms z oldu¼gu göz öüe al d ¼g da c 0 0 1X 1 c 0 1 1 : 0 : c 0 : 0 0; :::; ç 8 c 0 olmas le mümüdür. Berste taba fosyolar germe ve leer ba¼g ms zl özelller sa¼glad ¼g da } polom uzay ç br baz oluşturur. 2.2 -Aalzde Temel Kavramlar Bu bölümde l ez (Lupaş 1987) taraf da yalaş mlar teorse uygulaa ve so y llarda las aalzde var ola brço ta m ve teorem geelleştrlmes üzere çal ş la -aalz (uatum aalz) saca temel ta m ve avramlar verlecetr. Ta m 2.2.1 (-tamsay s ) 2 R + olma üzere egatf olmaya br tamsay s geellemes 8 >< [] >: 1 1 ; 6 1 ; 1 şeldedr (Kac ve Cheug 2002). Bu ta m herhag br reel say olaca şelde geşletlrse [] fadese reel say s der. Ta m gere¼g N ; tamsay lar ümes N 0; 1; 1 + ; 1 + + 2 ; ::: şelde yaz lablr. Aç olara 1 durumuda N ümes egatf olmaya 23
tamsay lar ümes fade eder. Ta m 2.2.2 (-fatöryel) Br tamsay s -fatöryel 8 < [] [ 1] ::: [1] ; 1; 2; ::: []! : 1; 0 şelde ta mla r (Kac ve Cheug 2002). Ta m 2.2.3 (-bom atsay s ) olma üzere bom atsay s aç l m 0 le ta mla r (Kac ve Cheug 2002). []! []! [ ]! [] [ 1] ::: [ + 1] []! Öerme 2.2.1 (Pascal özdeşller) 1 1 olma üzere ve 1 1 + 1 1 + 1 eştller gerçeler (Kac ve Cheug 2002). 1 (2.7) (2.8) Ispat. 1 1 ç [] 1 + + ::: + 1 1 + + ::: + 1 + 1 + + ::: + 1 [] + [ ] 24
olup []! []! [ ]! [ 1]! [] []! [ ]! [ 1]! [] + [ ] []! [ ]! [ 1]! [ 1]! [ ]! + [ 1]! []! [ 1]! 1 1 + 1 dr. Bu da bze (2:7) eştl¼g verr. Şmd (2:8) eştl¼g sa¼glad ¼g gösterelm. -bom atsay s smetr özell¼g ulla l rsa 1 1 + 1 1 1 + 1 elde edlr. 2.3 -Berste Taba Fosyolar ve Özelller Ta m 2.3.1 (-Berste polomu) Berste polomlar tamsay lar a dayal geellemes (Phllps 1996) taraf da f 2 C [0; 1] olma üzere B ; (f; t) f 0! [] [] Y 1 t s0 (1 s t) ; t 2 [0; 1] ; 2 N (2.9) şelde ta mlam şt r (Oruç ve Phllps 2003). 25
Ta m 2.3.2 (-Berste taba fosyolar ) (2:9) fadesde Y 1 B (t; ) t (1 s t) ; t 2 [0; 1] ; 0 s0 fosyolar a -Berste taba fosyolar der. Berste taba fosyolar tpl geellemesde amaç; u seçmyle farl yalaş mlar yapable Bézer e¼grler elde etme olacat r. Öerme 2.3.1 [0; 1] aral ¼g da -Berste taba fosyolar olma üzere Y 1 B (t; ) t (1 s t) ; t 2 [0; 1] ; 0 s0 1; çft ve te olma durumuda -c derecede polom uzay ç baz oluşturmaz (Smeoov vd. 2010). Ispat. Gerçete 1; çft ve te olma durumu ç -bom atsay lar s f rd r. (1 ) (1 1 ) ::: 1 +1 (1 ) (1 1 ) ::: (1 ) aç l m da 2m; 2m + 1; m 0; 1; ::: oldu¼gu date al rsa (1 2m ) (1 2m 1 ) ::: (1 0 ) (1 2m+1 ) (1 2m ) ::: (1 ) 0 buluur. Bu durumu br soucu olara; B (t; ) ; t 2 [0; 1] ; 0 taba fosyolar -c derecede polom uzay ç baz oluşturmaz. Souç 2.3.1 -Bézer e¼grler oluşturmada 1 durumuda B (t; ) 6 0 olmas ç say s te say olara al mal d r. 26
Ta m 2.3.3 ( [a; b] aral ¼g da -Berste taba fosyolar ) Key br [a; b] aral ¼g da -Berste taba fosyolar B (t; [a; b] ; ) Y 1 Y 1 (t a j ) Y 1 (b a j ) (b t j ) ; 0; :::; (2.10) le ta mla r. Burada b a j 6 0 (1 j 1) ve > 0 çft say s ç 6 1 dr (Smeoov vd. 2010). Şmd [a; b] aral ¼g da -Berste taba fosyolar ç baz özel durumlar celeyelm. (2:10) eştl¼gde; ) a 0 ve b 1 al d ¼g da B (t; [a; b] ; ) ; [0; 1] aral ¼g da -Berste taba fosyoua drger. ) Key a < 1 ve b 1 al d ¼g da Lewaowcz ve Wozy taraf da çal ş la -Berste taba fosyolar elde edlr (Lewaowcz ve Wozy 2004). Bu fosyolar ; w 2 R; 6 1; w 6 1; 1 ; :::; 1 ve u w + (1 w) t olma üzere B (u; wj ) 1 (w; ) t wt 1 ; (t; ) ; 0; :::; dr. Bu taba fosyolar br d¼ger formu da B (t; wj ) (w; ) 1 (w; ) Y 1 Y 1 1 j w t w j Y 1 0 1 t ; 0 ; w 1 şeldedr. B (t; ) t (t; ) Y (1 j t) t 1 27
w a < 1 ve b 1 al d ¼g da B (t; aj ) B (t; [a; b] ; ) buluur. ) b a al d ¼g da B (t; [a; b] ; ) dü¼gümler a; a; :::; a ola -c derecede Lagrage taba fosyolar a drger. Dü¼gümler t 0 ; :::; t ola -c derecede Lagrage taba fosyolar L (t jt 0 ; :::; t ) Y (t t j ) j6 Y ; 0; :::; (t t j ) j6 şeldedr. b a ç B (t; [a; a ] ; ) Y 1 Y 1 (t a j ) Y 1 (a a j ) eştl¼gde -bom atsay s aç fades (a t j ) ( 1) ( 1 1) ::: +1 1 ( 1) ( 1 1) ::: ( 1) ; 0; :::; ulla l rsa L (t ja; a; :::; a ) ; 0; :::; Lagrage taba fosyolar buluur. v) 1 al d ¼g da [a; b] aral ¼g da B (t; [a; b] ; 1) (t a) (b t) (b a) ; 0; :::; stadart Berste taba fosyolar elde edlr ve bu fosyolar ç t a 1 b a + b t b a 0 (t a) (b t) (b a) eştl¼g gerçeler. 28
v) t x h ; a h ; b h ve! 1 ç [a; b] üzerde t parametrel -Berste taba fosyolar [; ] üzerde x parametrel h-berste taba fosyolar a döüşür (Smeoov vd. 2010). Gerçete lm!1 B lm!1 lm!1 Y 1 x h lm!1 ( x h Y 1 lm!1 Y 1 lm!1 h x h ; h x h 1 j h + x h h h h) lm!1 j Y 1 Y 1 ; h ; h Y 1 h 1 j h + h Y 1 lm!1 1 j h + x h + x h h j 1 lm!1 ( 1) jh +x h Y 1 Y 1 (jh + x) + Y 1 j x h + h 1 j h + x h Y 1 Y 1 1 j h + h Y 1 Y 1 1 j h + h Y 1 h + x h 1 j 1 j x h + h + h h j j Y 1 + x h h 1 lm!1 Y 1 Y 1 (jh + ) olup stele elde edlr. jh + ( 1) h j (jh x + ) j h + h 1 1 j x h + h + j x + h h h h 1 ( 1) j x + jh x+ lm!1 h h h 1 h + h 1 29
Öerme 2.3.2 c > 0 say s ç B (ct; [ca; cb] ; ) B (t; [a; b] ; ) dr. Ispat. B (t; [a; b] ; ) ; -Berste taba fosyou ta m da B (ct; [ca; cb] ; ) Y c 1 B (t; [a; b] ; ) Y 1 (t a j ) c c 1 Y (b a j ) (b t j ) elde edlr. Uyar 2.3.1 c > 0 ç B (t + c; [c + a; c + b] ; ) 6 B (t; [a; b] ; ) dr. Öerme 2.3.3 ( Idrgeme ba¼g t s ) -Berste taba fosyolar ç aşa¼g da eştller sa¼gla r. B (t; ) 1 t 1 B 1 (t; ) + t B 1 1 (t; ) B (t; ) 1 t 1 B 1 (t; ) + tb 1 1 (t; ) Ispat. ve B 1 (t; ) 1 Y 2 t s0 s0 (1 s t) 1 B 1 1 (t; ) Y 1 t 1 (1 s t) 1 30
taba fosyolar aç l mlar ve ve 1 1 + 1 1 1 + 1 Pascal özdeşller date al rsa stele elde edlr. Öerme 2.3.4 ( [a; b] üzerde drgeme ba¼g t s ) [a; b] aral ¼g da -Berste taba fosyolar ç aşa¼g da eştller sa¼gla r. b t B 1 (t; [a; b] ; ) b a 1 ve t a B 1 (t; [a; b] ; )+ 1 b a 1 B 1 1 (t; [a; b] ; ) b t B (t; [a; b] ; ) 1 t a B 1 1 b a 1 (t; [a; b] ; ) + B 1 b a 1 1 (t; [a; b] ; ) Ispat. Öerme 2.3.3 spat a bezer olara B 1 (t; [a; b] ; ) Y 1 1 Y 2 (t a j ) Y 2 (b a j ) (b t j ) ve 1 B 1 1 (t; [a; b] ; ) 1 Y 2 Y 1 (t a j ) Y 2 (b a j ) (b t j ) taba fosyolar aç l mlar ve 1 1 + 1 31
ve 1 1 + 1 Pascal özdeşller date al rsa stele ba¼g t lar elde edlr. 32
3. BEZ IER ve -BEZ IER E ¼GR ILER I Bu bölümde Bézer e¼grler, özelller ve bu e¼grler oluşturmada ulla laca ola Casteljau algortmas verlp öce bölümde verle Berste taba fosyolar te estremuma sahp olmas özell¼g Bézer e¼grler üzerde as l br etye sahp oldu¼gu br öre üzerde gösterlecetr. Ard da -Bézer e¼grler, geel özelller ve parametres bu e¼grler üzerde ets örelerle celeecetr. -c derecede br Bézer e¼grs eds ta mlayaca ola P 2 R 2 ; 0; :::; otrol otalar oluşturdu¼gu otrol çoge belrler. Bu çoge sadece l ve so öşeler e¼gr üzerde buluup d¼ger öşeler e¼gr dereces dolay s yla şel belrlemeye yard mc olurlar. 3.1 Bézer E¼grler Ta m 3.1.1 (Br Bézer e¼grs parametr delem) -c derecede br Bézer e¼grs, P (x ; y ) 2 R 2 ; 0; :::; otrol (Bézer) otalar ve B (t) Berste taba fosyolar olma üzere t (1 t) ; t 2 [0; 1] ; 0; :::; P(t) (x (t) ; y (t)) P B (t) 0 parametr delem le ta mla r. Burada x (t) x B (t) ; y (t) 0 y B (t) 0 dr. 33
Not 3.1.1 x olma üzere x (t) 0 B (t) t oldu¼guda P (x ; y ) 2 R 2 otrol otalar a sahp - c derecede Bézer e¼grs P (t) y (t) y B (t) 0 polom e¼grsdr. Ta m 3.1.2 (Leer Bézer e¼grs) P 0 ve P 1 otrol otalar verld¼gde bu otay brleştre do¼gru parças leer Bézer e¼grsdr. P (t) P 0 + t (P 1 P 0 ) (1 t) P 0 + tp 1 Şel 3.1 Leer br Bézer e¼grs Ta m 3.1.3 (Kuadrat Bézer e¼grs) P 0 P 1 ve P 1 P 2 otalar oluşturdu¼gu leer Bézer e¼grler brleştrlmesyle oluşa e¼grdr. P (t) (1 t) [(1 t) P 0 + tp 1 ] + t [(1 t) P 1 + tp 2 ] (1 t) Q 0 + tq 1 34
Şel 3.2 Kuadrat br Bézer e¼grs Ta m 3.1.4 (Küb Bézer e¼grs) P 0 P 1 ; P 1 P 2 ve P 2 P 3 otalar a at leer Bézer e¼grler brleşmesyle oluşa e¼grdr. P (t) (1 t) [(1 t) Q 0 + tq 1 ] + t [(1 t) Q 1 + tq 2 ] (1 t) R 0 + tr 1 Şel 3.3 Küb br Bézer e¼grs Ta m 3.1.5 (Key aral lar üzerde ta ml Bézer e¼grler) P (a) P 0 ve P (b) P olaca şelde t 2 [a; b] ç [a; b] aral ¼g da Bézer e¼grs, P (x ; y ) 2 R 2 ; 35
0; :::; otrol otalar ve [a; b] aral ¼g da Berste taba fosyou B (t) b b t t a ; t 2 [a; b] ; 0 a b a olma üzere P [a;b] (t) (x (t) ; y (t)) b P b 0 t t a a b a parametr delem le ta mla r. Burada x (t) b x b 0 t t a ; y (t) a b a b y b 0 t t a a b a dr. Şel 3.4 [0; 1] ve [0; 2] aral lar da üb Bézer e¼grler Şmd br öre le otrol otas de¼gşm uadrat br Bézer e¼grs üzerde ets celeyelm. Öre 3.1.1 Kotrol otalar P 0 (0; 1) ; P 1 1 2 ; 1 ; P 2 (1; 1) 2 36
ola Bézer e¼grs P 1 otrol otas s rayla de¼gştrelm. Kotrol otalar P 0 (0; 1) ; _P 1 1 2 ; 1 ; P 2 (1; 1) P 0 (0; 1) ; 1 P 1 2 ; 2 ; P 2 (1; 1) P 0 (0; 1) ;... 1 P1 2 ; 5 ; 2 P 2 (1; 1) ve P 0 (0; 1) ; ^P 1 1; 1 ; P 2 (1; 1) 2 ola uadrat Bézer e¼grler şel 3.5 te verlmştr. Şel 3.5 P 1 otrol otas de¼gşm 37
Şel 3.5 te görüldü¼gü gb otrol otalar herhag brs veya braç üzerde yap la br de¼gşl Bézer e¼grs üzerde do¼gruda br etye sahptr. Öre 3.1.2 Kuadrat Bézer e¼grler otrol otalar de¼gşm yard m yla br "m" har fotuu elde edlmes şel 3.6 da verlmştr. Şel 3.6 Kotrol otas de¼gşm 38
Öre 3.1.3 Kotrol otalar P 0 (0; 2) ; P 1 (16; 2) ; P 2 (26; 2) P 3 (36; 2) ; P 4 (46; 2) ; P 5 (56; 2) ; P 6 (1; 2) olara belrlee [0; 1] aral ¼g da 6 - c derecede Bézer e¼grs P (t) (x (t) ; y (t)) t; 2 + 24t 120t 2 480t 4 128t 6 + 384t 5 + 320t 3 ve x ese etraf da dömes le oluşa döel csm şel 3.7 de verlmştr. Şel 3.7 Bézer e¼grs ve döel csm P 3 otas yere (36; 2) otas al d ¼g da oluşa Bézer e¼grs ve döel csm, P (t) (x (t) ; y (t)) t; 2 + 24t + 240t 3 + 144t 5 120t 2 48t 6 39
Şel 3.8 P 3 otrol otas de¼gşm P 2 ve P 4 otalar yere s ras yla (26; 2) ve (46; 2) otalar al d ¼g da oluşa Bézer e¼grs ve döel csm P (t) (x (t) ; y (t)) t; 2 + 24t + 80t 3 60t 4 8t 6 + 24t 5 60t 2 Şel 3.9 P 2 ve P 4 otrol otas de¼gşm s ras yla şel 3.8-3.9 da gösterlmştr. Yuar da elde edle Bézer e¼grler y ese etraf da dömes le oluşa döel 40
csmler şel 3.10 da gösterlmştr. Şel 3.10 y ese etraf da döme 3.2 Casteljau Algortmas ve Derece Yüseltme Casteljau algortmas herhag br [t 0 ; t 2 ] aral ¼g da ta ml br Bézer e¼grs, brleşmler bu e¼gry verece şelde [t 0 ; t 1 ] ve [t 1 ; t 2 ] aral lar da ta ml Bézer e¼grlere as l bölece¼gmz fade eder. Bu algortma le, bölümüş Bézer e¼grs ta ml oldu¼gu aral ¼g alt aral lar da ye Bézer e¼grler elde edlr. Böylece stele e¼grye bölümeler le yalaş lm ş olur. Derece yüseltme se e¼gr şel de¼gştrmede otrol otas say s art r p, böylelle e¼gr üzerde daha ço otrol etme ma sa¼glar. Ta m 3.2.1 (Casteljau algortmas ) [t 0 ; t 2 ] aral ¼g da br Bézer e¼grs [t 0 ; t 1 ] ve [t 1 ; t 2 ] aral lar da ta ml Bézer e¼grlere bölme ç ulla la Casteljau algortmas t 1 t 0 olma üzere t 2 t 0 P j 1 (1 ) Pj + P j 1 +1 ; j 1; :::; ; 0; :::; j le verlr. 41
Souç 3.2.1 Casteljau algortmas a göre [t 0 ; t 1 ] aral ¼g da Bézer e¼grs ç sol otrol otalar P 0; 0; :::; ve [t 1 ; t 2 ] aral ¼g da Bézer e¼grs ç sa¼g otrol otalar P ; 0; :::; dr. Öre 3.2.1 [ 1; 1] aral ¼g da ta ml üb Bézer e¼grs otrol otalar P 0 ( 1; 1) ; P 1 1 2 ; 1 1 ; P 2 2 2 ; 1 ; P 3 1; 1 2 olara belrleyelm. Bu e¼gry [ 1; 0] ve [0; 1] aral lar da ta ml üb Bézer e¼grse bölme ç uygulaa algortma soucu bölümüş sol ve sa¼g Bézer e¼grler ve oluşa otalar de¼gşmyle e¼gr üzerde şel de¼gşl¼g şel 3.11 de gösterlmştr. Şel 3.11 Algortma le oluşa ye otrol otalar ve bu otalar yard m yla e¼gr üzerde de¼gşm 42
Souç 3.2.2 Casteljau algortmas le Bézer e¼grs ard ş olara bölümes soucuda oluşa otrol çogeler e¼grye do¼gru yalaşt ¼g görülür. terasyo say s gösterme üzere 1; 3 ve 5 ç oluşa 2 tae Bézer e¼grs ve otrol çogeler şel 3.12 de gösterlmştr. Şel 3.12 Bölümüş Bézer e¼grler ve çogeler (Smeoov vd. 2010) Ta m 3.2.2 (Derece yüseltme) -c derecede br Bézer e¼grs verld¼gde oa de ola ( + 1) -c derecede Bézer e¼grs ç otrol otalar hesaplamas şleme derece yüseltme der. Böylece -c derecede br Bézer e¼grs ( + 1) -c derecede br Bézer e¼grs olara fade edleblr. P(t), -c derecede br Bézer e¼grs olma üzere derece yüseltme formülü (2:2) ve (2:3) eştller ulla lara şu şelde elde edlr: 43
P(t) [(1 t) + t] P(t) [(1 t) + t] P B (t) 0 +1 0 + 1 P B +1 (t) + + 1 + 1 + 1 B+1 +1 (t) X + 1 + 1 0 X+1 ( + 1 ) P + P 1 + 1 0 +1 X 0 P B +1 (t) P B +1 (t) + + 1 + 1 P B +1 +1 (t) B +1 (t) O halde P ; olma üzere 0; :::; dereces yüseltlmş Bézer e¼grs otrol otalar P P 1 + (1 ) P ; + 1 le belrler. Öre 3.2.2 Kotrol otalar P ; dereces yüseltld¼gde ye P ; otalar csde 0; 1; 2; 3 ola üb br Bézer e¼grs 0; 1; 2; 3; 4 otrol otalar öce otrol P 0 P 0 ( 2; 1) P 1 1 4 P 0 + 3 4 P 1 1 4 ( 2; 1) + 3 4 ( 1; 2) 5 4 ; 5 4 P 2 1 2 P 1 + 1 2 P 2 1 2 ( 1; 2) + 1 (1; 2) (0; 2) 2 P 3 3 4 P 2 + 1 4 P 3 3 4 (1; 2) + 1 4 (1; 1) 1; 5 4 P 4 P 3 (1; 1) şelde yaz l r. Ayr ca P 2 (2; 2) düzlemde farl br ota olma üzere 4 otrol otas le belrlemş üb Bézer e¼grs dereces yüseltlere 5 otrol otas 44
le belrlemş 4 -ücü derecede Bézer e¼grs olara fade edlmes ve P 2 otrol otas le e¼gr şel de¼gşl¼g şel 3.13 de gösterlmştr. Şel 3.13 Derece yüseltme ve P 2 otrol otas de¼gşm Şmd Berste taba fosyolar te estremuma sahp olmas Bézer e¼grs üzerde ets celeyelm. Öre 3.2.3 t 2 [0; 1] olma üzere 3 -ücü derecede Berste taba fosyolar s ras yla B0 3 (t) (1 t) 3 B1 3 (t) 3t (1 t) 2 B2 3 (t) 3t 2 (1 t) B3 3 (t) t 3 şeldedr. Şel 2.2 ye göre 0:37 < t < 0:5 aral ¼g da Berste taba fosyolar ç B0 3 (t) < B1 3 (t) > B2 3 (t) > B3 3 (t) s ralamas yap l r. Bua göre B1 3 (t) d¼ger taba fosyolar aras da masmum de¼ger ala fosyo oldu¼guda 3- ücü derecede Berste taba fosyolar 45
le oluşturula üb Bézer e¼grs üzerde P 1 otrol otas ets e fazla olacat r. Kotrol otalar P 0 (0; 1) ; P 1 1 2 3 ; 4 ; P 2 3 ; 3 ; P 3 (1; 1) ola Bézer e¼grs P (t) 3t 3 12t 2 + 9t + 1; t 2 [0; 1] P 1 otrol otas de¼gştrlrse otrol otalar P 0 (0; 1) ; P 1 1 2 3 ; 6 ; P 2 3 ; 3 ; P 3 (1; 1) ola Bézer e¼grs P 1 (t) 9t 3 24t 2 + 15t + 1 P 2 otrol otas de¼gştrlrse otrol otalar P 0 (0; 1) ; P 1 1 2 3 ; 4 ; P 2 3 ; 5 ; P 3 (1; 1) ola Bézer e¼grs P 2 (t) 3t 3 6t 2 + 9t + 1 dr. P; P 1 ve P 2 e¼grler gra ler şel 3.14 te verlmştr. 46
Şel 3.14 P; P 1 ; ve P 2 Bézer e¼grler 47
Şel 3.14 e göre t 0:4 otas da e¼gr üzerde P 1 otrol otas de¼gşm le oluşa et P 2 otrol otas de¼gşmde fazlad r. P 1 (0:4) 3:74 > 3:50 P 2 (0:4) 3.3 -Bézer E¼grler Bu bölümde -Bézer e¼grler ta mlaaca ve parametres de¼gşm -Bézer e¼grler şel as l de¼gştrece¼g celeecetr. Ta m 3.3.1 (-Bézer e¼grs parametr delem) -c derecede br -Bézer e¼grs P (x ; y ) 2 R 2 ; 0; :::; otrol (Bézer) otalar ve Y 1 B (t; ) t (1 s t) ; t 2 [0; 1] ; 0; :::; s0 -Berste taba fosyolar olma üzere P (t) (x (t) ; y (t)) P B (t; ) 0 parametr delem le ta mla r. Burada x (t) x B (t; ) ; y (t) 0 y B (t; ) 0 dr. Ta m 3.3.2 (Key aral lar üzerde ta ml -Bézer e¼grler) P (a) P 0 ve P (b) P olaca şelde t 2 [a; b] ç [a; b] aral ¼g da -Bézer e¼grs P ; 0; :::; otrol 48
otalar ve [a; b] aral ¼g da -Berste taba fosyou olma üzere B (t; [a; b] ; ) Y 1 Y 1 (t a j ) Y 1 (b a j ) P [a;b] (t) (x (t) ; y (t)) parametr delem le ta mla r. Burada (b t j ) P B (t; [a; b] ; ) 0 ; 0; :::; x (t) x B (t; [a; b] ; ) ; y (t) 0 y B (t; [a; b] ; ) 0 dr. Öre 3.2.4 1 2 ve 5 4 otalar s ras yla de¼gerler, [0; 1] ve [0; 3] aral lar da ta ml otrol P 0 0; 1 1 1 ; P 1 2 3 ; 1 ; P 2 2 ; 1 ; P 3 1; 1 2 ve P 0 (2; 1) ; P 1 9 11 4 ; 1 ; P 2 4 ; 1 ; P 3 (3; 0) ola -Bézer e¼grlere ets şel 3.15 te verlmştr. 49
Şel 3.15 [0; 1] ve [2; 3] aral lar da ta ml -Bézer e¼grler 3.3.1 -Casteljau algortmas ve parametres de¼gşm Ta m 3.3.3 (-Casteljau algortmas ) [0; 1] aral ¼g da P (t) -Bézer e¼grs ç -Casteljau algortmas ~P 0 (t) ^P 0 (t) P ; 0; :::; ~P (t) 1 t ~ P 1 (t) + t ~ P 1 +1 (t) ve ^P (t) 1 t ^P 1 (t) + t ^P 1 +1 (t) 50
0; :::; ; 0; :::; ~P 0 (t) ^P 0 (t) P (t) şelde fade edlr. Dat edlrse l algortmada tüm dü¼gümler P (t) ; 0; :::; durumudad r. ; 0; :::; edsde öce gele dü¼gümler a ombasyou Şel 3.16 [0; 1] üzerde brc -Casteljau algortmas ( 3) (Smeoov vd. 2010) Şel 3.17 [0; 1] üzerde c -Casteljau algortmas ( 3) (Smeoov vd. 2010) 51
Ta m 3.3.4 ( [a; b] üzerde -Casteljau algortmas ) Key [a; b] aral ¼g da -Bézer e¼grs ç -Casteljau algortmas ~P 0 (t) ^P 0 (t) P ; 0; :::; b t ~P t a (t) ~P 1 b a (t) + t b a ~P 1 +1 (t) ve 0; :::; b t ^P (t) b a ; 0; :::; t a ^P 1 (t) + b a ^P 1 +1 (t) ~P 0 (t) ^P 0 (t) P (t) le fade edlr. Şel 3.18 [a; b] üzerde c -Casteljau algortmas ( 3) (Smeoov vd. 2010) Şmd parametres de¼gşm -Bézer e¼grs üzerde as l şel de¼gşl¼g oluşturaca¼g br öre le gösterelm. 52
Öre 3.3.1 1; 34; 13 ve 12 de¼gerler otrol otalar P 0 (0; 1) ; P 1 (12; 2) ve P 2 (1; 1) le verle -Bézer e¼grse ets şel 3.19 da verlmştr. Şel 3.19 0 < 1 ç parametres de¼gşm 0 < < 1 ç, de¼ger artt ça uadrat Bézer e¼grler 1 de¼ger ç verle Bézer e¼grse do¼gru yalaşmatad r. 2; 3; 4 de¼gerler otrol otalar P 0 (0; 1) ; P 1 (12; 2) ve P 2 (1; 1) le verle -Bézer e¼grse ets şel 3.20 de verlmştr. 53
Şel 3.20 1 ç parametres de¼gşm > 1 ç, de¼ger artt ça oluşa uadrat Bézer e¼grler 1 de¼ger ç verle Bézer e¼grsde uzalaşmatad r. 54
4. -TOMURCUK FONKS IYONU Bu bölümde -tomurcu fosyou ta t lara, polomlar -tomurcu fosyouu fades verlecetr. Soras da -Bézer e¼grler sahp oldu¼gu brço özell ve -Casteljau algortmas -tomurcu fosyou yard m yla fade edlp -Berste taba fosyolar ç ble baz eştller -tomurcu fosyouda yararla lara spat edlecetr. Ta m 4.1 (-Tomurcu fosyou) -c derecede br P (t) polomuu smetr, ço leer ve -dagoal özell¼ge sahp ço de¼gşel p (u 1 ; u 2 ; :::; u ; ) fosyoua bu polomu -tomurcu fosyou der. 1 ç las tomurcu fosyou elde edlr (Smeoov vd. 2010). 4.1 -Tomurcu Fosyou ve Asyomlar 1. (Smetr) fades, f1; :::; g ümes her türlü permütasyou olma üzere p (u 1 ; :::; u ; ) p u (1) ; :::; u () ; olup -tomurcu fosyouu de¼ger de¼gşeler s rala ş le de¼gşmez. 2. (Ço leerl) u (1 ) v + w ; 1; :::; olma üzere p (u 1 ; :::; (1 ) v + w ; :::; u ; ) (1 ) p (u 1 ; :::; v ; :::; u )+p (u 1 ; :::; w ; :::; u ) dr. 55
3. (-Dagoal) u t 1 ; 1; :::; ç P (t) p t; t; :::; t 1 ; dr (Smeoov vd. 2010). Öre 4.1.1 f1; t; t 2 ; t 3 g üb polomlar ç -tomurcu fosyolar P (t) 1 ) p (u 1 ; u 2 ; u 3 ; ) 1 P (t) t ) p (u 1 ; u 2 ; u 3 ; ) u 1+u 2 +u 3 1++ 2 P (t) t 2 ) p (u 1 ; u 2 ; u 3 ; ) u 1u 2 +u 1 u 3 +u 2 u 3 (1++ 2 ) P (t) t 3 ) p (u 1 ; u 2 ; u 3 ; ) u 1u 2 u 3 3 şeldedr. Tomurcu fosyouu elde edlmes Öerme 4.1.1 de verlecetr. Görüldü¼gü gb bu fosyolar smetr, ço leer ve -dagoal özelllere sahptr. Bu souçlar ullaara 8 P (t) a 3 t 3 +a 2 t 2 +a 1 t+a 0 şelde üb polomlar -tomurcu fosyou 8 6 0 ç u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 + u 1 u 3 + u 2 u 3 u 1 + u 2 + u 3 p (u 1 ; u 2 ; u 3 ; ) a 3 + a 3 2 + a (1 + + 2 1 + a ) 1 + + 2 0 şeldedr. Bezer olara 8 t ; 0; :::; ç de -tomurcu fosyou buluara leerl uygulad ¼g da -c derecede ey br polomu -tomurcu fosyoua ulaş l r 56
Ta m 4.1.1 (Elemeter Smetr Fosyo) f1; :::; g ümes her f 1 ; :::; g alt ümes ç X ' ; (u 1 ; :::; u ) u 1 :::u 1 1 <:::< fosyoua de¼gşel - c elemeter smetr fosyo der (Smeoov vd. 2010). Öerme 4.1.1 M (t) t ; 0; :::; polomuu -tomurcu fosyou şeldedr. m (u 1 ; :::; u ; ) ' ; (u 1 ; :::; u ) ' ; (1; ; :::; 1 ) ; ' ; 1; ; :::; 1 6 0 Ispat. m (u 1; :::; u ; ) M (t) -tomurcu fosyou olablmes ç -tomurcu fosyou asyomlar sa¼glamas gerer. m (u 1; :::; u ; ) smetrtr. Çüü, ' ; (u 1 ; :::; u ) elemeter smetr fosyou ' ; (1; ; :::; 1 ) sabt le bölümüştür. m (u 1; :::; u ; ) ço leerdr. ' ; (u 1 ; :::; u ) elemeter smetr fosyou - c derecede homojedr. Ya X ' ; (tu 1 ; :::; tu ) tu 1 :::tu 1 1 ::: t X 1 1 ::: t ' ; (u 1 ; :::; u ) u 1 :::u eştl¼g sa¼gla r. Ayr ca m (t; t; :::; t 1 ; ) ' ; (t; t:::; t 1 ; ) ' ; (1; ; :::; 1 ; ) t ' ; (1; ; :::; 1 ; ) ' ; (1; ; :::; 1 ; ) 57
t M (t) olup -dagoal özell¼g sa¼gla r. Bu öerme lerde ey br polomu -tomurcu fosyouu varl ¼g gösterlre ulla lacat r. Lemma 4.1.1 de sora br polomu -tomurcu fosyouu var olmas ç (' ; (1; ; :::; 1 ; ) 6 0) üzere baz s tlamalar getrece¼gz. Lemma 4.1.1 ' ; smetr fosyou ç eştl¼g sa¼gla r. ' ; 1; ; :::; 1 ; ( 1) 2 ; 1; :::; Ispat. Bu eştl¼g üzerde tümevar m yötemyle gösterelm. 1 ç ve olup eştl sa¼gla r. ' 1; (1) 1 ( 1) 2 1 1 Eştl ç do¼gru olsu. Ya ' ; 1; ; :::; 1 ; ( 1) 2 58
eştl¼g sa¼glas. Şmd ' +1; (1; ; :::; ; ) eştl¼g sa¼glad ¼g gösterelm. Buu ç ( 1) 2 + 1 ' +1; (u 1 ; :::; u +1 ) ' ; (u 1 ; :::; u ) + u +1 ' ; atsay lar ç Pascal özdeşller uygulayal m. 1 (u 1 ; :::; u ) eştl¼g ve -bom ' +1; (1; ; :::; ) ' ; 1; ; :::; 1 + ' ; 1 1; ; :::; 1 ( 1) 2 + ( 1)( 2) 2 1 ( ) ( 1) 2 + +1 1 ( 1) + 1 2 eştl¼g elde edlr. Bu da spat tamamlar. Souç 4.1.1 ' ; (1; ; :::; 1 ) 0, ) 0 ve > 1; > 1 ) 1 ve çft, te oldu¼guda -tomurcu fosyouu ta ml olablmes ç üzere şu s tlamalar getrece¼gz: 8 2 R ç 8 > 1 ç, 6 0 8 > 1 çft say s ç, 6 1 (Smeoov vd. 2010). Teorem 4.1.1 (-Tomurcu fosyouu varl ¼g ve tel¼g) -c derecede her polomu edse drgeeble br te -tomurcu fosyou vard r. 59
Ispat. Öerme 4.1.1 le üzerde stadart s tlamalar alt da M (t) t ; 0; :::; ç -tomurcu fosyouu oldu¼guu göstermşt. Her polom M (t) t ; 0; :::; fosyolar leer ombasyou olara yaz labld¼gde ve bu fosyolar -tomurcu fosyolar toplam ye -tomurcu fosyou oldu¼guda, üzerde stadart s tlamalar alt da her polomu -tomurcu fosyouu var oldu¼gu olayl la görülür. Şmd -tomurcu fosyouu br te oldu¼guu gösterelm. Kabul edelm -c derecede br P (t) polomuu p (u 1 ; :::; u ; ) ve r (u 1 ; :::; u ; ) olma üzere farl -tomurcu fosyou olsu. -c derecede her smetr, ço leer polomu -c derecede + 1 tae elemeter smetr fosyo csde br te gösterm vard r. Bua göre a 0 ; :::; a ve b 0 ; :::; b sabtler olma üzere p (u 1 ; :::; u ; ) a ' ; (u 1 ; :::; u ; ) 0 ve eştller yaz l r. Burada, -tomurcu fosyouu -dagoal özell¼g uygula rsa; r (u 1 ; :::; u ; ) b ' ; (u 1 ; :::; u ; ) 0 u t 1 ; 1; :::; ç P (t) a ' ; t; t; :::; t 1 ; 0 a t ' ; 1; ; :::; 1 ; 0 60
ve P (t) b ' ; t; t; :::; t 1 ; 0 b t ' ; 1; ; :::; 1 ; 0 olup 0; :::; ç a b d r. Dolay s yla p (u 1 ; :::; u ; ) r (u 1 ; :::; u ; ) eştl¼g elde edlr. oldu¼guu gösterr. Bu da P (t) polomuu -tomurcu fosyouu br te Souç 4.1.2 P (t) a t polomuu -tomurcu fosyou 0 p (u 1 ; :::; u ; ) ' ; (u 1 ; :::; u ; ) a ( 1) 2 0 le ta ml d r. 4.2 -Bézer E¼grler Baz Özelller -Tomurcu Fosyou Yard m yla Elde Edlmes Teorem 4.2.1 P (t) polomu, -tomurcu fosyou p (u 1 ; :::; u ; ) ola -c derecede br polom olsu. Bu durumda t 2 [0; 1] olma üzere P (t) polomu P p (0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; ) ; 0; :::; otrol otalar le -Casteljau algortmas le oluşturulur. 61
Ispat. P (t) -c derecede br polom ve p (u 1 ; :::; u ; ) da P (t) polomuu -tomurcu fosyou olsu. P ~ P 0 (t) p (0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; ) ; 0; :::; al p brc -Casteljau algortmas uygulad ¼g da ~P 0 (t) P B (t; ) 0 -Bézer e¼grs elde edlr. D¼ger yada üzerde tümevar mla ve -tomurcu fosyouu ço leerl özell¼g ulla lara algortmada ~ P (t) dü¼gümler ~P (t) p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; t ; :::; t 1 ; ; 0; :::; ; 0; :::; dr. Özel durumda ~P 0 (t) p t; t; :::; t 1 ; P (t) buluur. Buu üzerde tümevar m yard m yla gösterelm. 0 ç ~ P 0 (t) p (0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; ) oldu¼gu aç t r. ~P (t) p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; t ; :::; t 1 ; olsu. Şmd ~P +1 (t) p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; t 1 ; :::; t 1 ; eştl¼g sa¼glad ¼g gösterelm. -Casteljau algortmas da ~P +1 (t) 1 t 1 ~ P (t) + t 1 ~ P +1 (t) yaz l r. Hpotezde P ~ (t) ve P ~ +1 (t) fosyolar -tomurcu fosyou de¼gerler yere yaz l rsa ~P +1 (t) 1 t 1 p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; t ; :::; t 1 ; +t 1 p 0; :::; 0; 1; ; :::; ; t ; :::; t 1 ; 62
elde edlr. Bu eştlte -tomurcu fosyouu smetr ve ço leerl özelller ulla l rsa ~P +1 (t) p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; t 1 ; :::; t 1 ; elde edlr. ve ~P 0 (t) P B (t; ) 0 ~P 0 (t) p t; t; :::; t 1 ; P (t) eştllerde spat tamamla r. Teorem 4.2.2 [a; b] üzerde P (t) polomu -tomurcu fosyou p (u 1 ; :::; u ; ) ola -c derecede br polom olsu. Bu durumda P (t) p a ; :::; a 1 ; b; b; :::; b 1 ; B (t; [a; b] ; ) 0 dr. Ispat. Ispat üzerde tümevar m le gösterelm. B (t; [a; b] ; ) Y 1 Y 1 (t a j ) Y 1 (b a j ) (b t j ) ; 0; :::; ; j 1; :::; 1 fadesde oldu¼guda 0 ç yal zca 0 durumu söz ousudur. B 0 0 (t; [a; b] ; ) 1 olup P (t) 1 dr. 63
P (t) p (a ; :::; a 1 ; b; b; :::; b 1 ; ) B (t; [a; b] ; ) eştl¼g 1 olma üzere 0 dereces e ço 1 ola polomlar ç do¼gru olsu. P (t) polomu -c derecede br polom olma üzere -Casteljau algortmas le P +1 (t) (1 ; ) P (t) + ; P+1 (t) ; ; t(+1) 1 a b a P (t) p a + ; :::; a 1 ; b; b; :::; b 1 ; t (1) 1 ; :::; t () 1 ; fadesde () al rsa ; t a b a olup P (t) p a + ; :::; a 1 ; b; b; :::; b 1 ; t; t; :::; t 1 ; buluur. 0 ve 1 durumuda P 0 (t) P (t) (1 1;0 ) P 1 0 (t) + 1;0 P 1 1 (t) olup P 1 0 (t) p a 1 ; t; t; :::; t 2 ; P 1 1 (t) p b; t; t; :::; t 2 ; dr. Ayr ca P 1 0 (t) ve P 1 1 (t) fosyolar -tomurcu fosyolar s ras yla p 0 (u 1 ; :::; u 1 ; ) p a 1 ; u 1 ; :::; u 1 ; p 1 (u 1 ; :::; u 1 ; ) p (b; u 1 ; :::; u 1 ; ),u t 1 dr. Dat edlmeldr bu fosyolar -tomurcu fosyou asyomlar sa¼glar. 64
Kabulde X 1 P (t) p a ; :::; a 1 ; b; b; :::; b 1 ; B 1 (t; [a; b] ; ) 0 oldu¼guu blyoruz. [a; b] üzerde P 1 0 (t) ve [a; b] üzerde P 1 1 (t) polomlar ç P 1 0 (t) X 1 p a j ; :::; a 1 ; b; b; :::; b j 1 ; B 1 j (t; [a; b] ; ) X 1 p a 1 ; a j ; :::; a 2 ; b; b; :::; b j 1 ; B 1 j (t; [a; b] ; ) P 0 j B 1 j (t; [a; b] ; ) ve P 1 1 (t) X 1 p a j+1 ; :::; a ; b; b 2 ; :::; b j ; B 1 j (t; [a; b] ; ) X 1 p a ; a j+1 ; :::; a 1 ; b; :::; b j ; B 1 j (t; [a; b] ; ) X 1 Pj+1B 0 1 j (t; [a; b] ; ) X 1 t Pj+1B 0 1 j ; [a; b] ; yaz l r. Ayr ca (1 1;0 (t)) B 1 0 (t; [a; b] ; ) B 0 (t; [a; b] ; ) olup t (1 1;0 (t)) B 1 j (t; [a; b] ; ) + 1;0 (t) B 1 j 1 ; [a; b] ; Bj (t; [a; b] ; ) eştl¼g gerçeler. 65
Souç 4.2.1 [0; 1] aral ¼g üzerde -c derecede -Berste taba fosyolar 1 ve çft durumu harcde -c derecede polomlar ç baz oluşturur. Ispat. Bu souç üzerde stadart s tlamalar alt da öce teoremde dret olara görülür. Ayr ca Y 1 B (t; ) t (1 s t) s0 -Berste taba fosyou fadesde 0 al rsa B (t; 0) t (1 t) t t +1 ; 0; :::; 1 ve al rsa B (t; 0) t polomlar buluur. Souç 4.2.2 Key br [a; b] aral ¼g üzerde -c derecede -Berste taba fosyolar baz oluşturur. 1 ve çft durumu harcde -c derecede polomlar ç Ispat. Bu souç u stadart s tlamalar alt da dret olara görülür. Ayr ca B (t; [a; b] ; ) fadesde 0 al rsa B (t; [a; b] ; 0) (t a) t 1 (b t) b b a b b a t+1 + (ab + b 1 ) t ab 1 b a b a t 1 buluup stele elde edlr. Souç 4.2.3 [0; 1] aral ¼g da -Bézer e¼grs otrol otalar tetr. 66
Ispat. P (t) ; [0; 1] üzerde ta ml, otrol otalar P ; 0; :::; ve -tomurcu fosyou p (u 1 ; :::; u ; ) ola -c derecede br -Bézer e¼grs olsu. Kabul edelm 9 0 ç P 0 otrol otas te olmas. Bu durumda 1 6 2 olma üzere P 0 P 1 ve P 0 P 2 olaca şelde P 1 ve P 2 otalar vard r. P (t) P B (t; ) 0 p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; B (t; ) 0 olup yaz l r. X 0 1 P (t) P B (t; ) + P 0 B 0 (t; ) + P B (t; ) 0 0 +1 X 0 1 P B (t; ) A ve P B (t; ) B olma üzere 0 0 +1 eştl¼gde P 0 P 1 ) P (t) A + B + B 0 (t; ) p (0; :::; 0; 1; ; :::; 1 1 ; ) P 0 P 2 ) P (t) A + B + B 0 (t; ) p (0; :::; 0; 1; ; :::; 2 1 ; ) B 0 (t; ) p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 1 ; p 0; :::; 0; 1; ; :::; 2 1 ; 0 buluur. B 0 (t; ) 6 0 oldu¼guda p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 1 ; p 0; :::; 0; 1; ; :::; 2 1 ; olup P 1 P 2 elde edlr. Souç 4.2.4 [a; b] aral ¼g da -Bézer e¼grs otrol otalar tetr. 67
Teorem 4.2.3 P (t) ; [0; 1] üzerde -c derecede br -Bézer e¼grs ve p (u 1 ; :::; u ; ) da P (t) -tomurcu fosyou olsu. Bu durumda P (t) e¼grs otrol otalar P p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; ; 0; :::; dr. Ispat. Teorem 4.2.1 de P (t) p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; B (t; ) 0 yaz l r. Bu eştlte ve -Bézer e¼grs otrol otalar tel¼gde P p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; ; 0; :::; oldu¼gu görülür. Teorem 4.2.4 P (t) ; [a; b] üzerde -c derecede br -Bézer e¼grs ve p (u 1 ; :::; u ; ) da P (t) -tomurcu fosyou olsu. Bu durumda P (t) e¼grs otrol otalar P p a ; :::; a 1 ; b; b; :::; b 1 ; ; 0; :::; dr. Ispat. Teorem 4.2.2 de P (t) p a ; :::; a 1 ; b; b; :::; b 1 ; B (t; ) 0 yaz l r. Bu eştlte ve -Bézer e¼grs otrol otalar tel¼gde P p a ; :::; a 1 ; b; b; :::; b 1 ; ; 0; :::; oldu¼gu görülür. 68
Teorem 4.2.5 P (t) ; otrol otalar P ; 0; :::; ola [a; b] üzerde -c derecede br -Bézer e¼grs olsu. P ; 0; :::; ; 0; :::; -Casteljau algortmas da dü¼gümler olsu. Bu durumda P (t) X P +j Bj t ; [a; b] ; dr. Ispat. - c derecede P (t) polomuu -tomurcu fosyou Q (u 1 ; :::; u ; ) olsu. P (t) polomlar [c; d] aral ¼g da ta ml olma üzere Teorem 4.2.2 de P (t) X Q c j ; :::; c 1 ; d; d; :::; d j 1 ; Bj (t; [c; d] ; ) yaz l r. Q (u 1 ; :::; u ) p a + ; :::; a 1 ; b; b; :::; b 1 ; u 1 ; :::; u ; oldu¼guu blyoruz. O halde P (t) X p a + ; :::; a 1 ; b; b; :::; b 1 ; c j ; :::; c 1 ; d; d; :::; d j 1 ; Bj (t; [c; d] ; ) dr. [c; d] [a ; b ] seçm yap l rsa P (t) X p a + ; :::; a 1 ; b; b; :::; b 1 ; a +j ; :::; a + 1 ; b ; b +1 ; :::; b +j 1 ; Bj t; a ; b ; 69
P +j p (a +j ; :::; a 1 ; b; b; :::; b +j 1 ; ) olup, P (t) X p a +j ; :::; a + 1 ; a + ; ::::; a 1 ; b; b; :::; b 1 ; b ; b +1 ; :::; b +j 1 ; B j t ; [a; b] ; ve buluur. P (t) X P +j Bj t ; [a; b] ; Teorem 4.2.6 P (t) P B (t; ) br -Bézer e¼grs ve p (u 1 ; :::; u ; ) da bu 0 polomu -tomurcu fosyou olsu. Q 0 P Q +1 (u 1 ; :::; u ; u +1 ) (1 u +1 ) Q (u 1 ; :::; u ) + u +1 Q +1 (u 1 ; :::; u ) ; 0; :::; 1; 0; :::; 1 ve bu durumda Q (u 1 ; :::; u ) p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; u 1 ; :::; u ; 0; :::; ; 0; :::; olup 0 ve olma durumuda Q 0 (u 1 ; :::; u ) p (u 1 ; :::; u ; ) dr. Ispat. Teorem 4.2.1 de Q 0 p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; ; 0; :::; 70
olup teorem spat üzerde tümevar m yard m yla gösterelm. Q (u 1 ; :::; u ) p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; u 1 ; :::; u ; olsu. Q +1 (u 1 ; :::; u ; u +1 ) p 0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; u 1 ; :::; u ; u +1 ; eştl¼g sa¼glad ¼g gösterelm. Q +1 (u 1 ; :::; u ; u +1 ) 1 u +1 Q (u 1 ; :::; u ; ) + u +1 Q +1 (u 1 ; :::; u ; ) fadesde Q +1 (u 1 ; :::; u ; u +1 ) (1 u +1 ) p (0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; ) +u +1 p (0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; ; u 1 ; :::; u ; ) p (0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; u 1 ; :::; u ; u +1 ; ) oldu¼guu gösterelm. (1 u +1 ) p (0; :::; 1 ; 1; ; :::; 2 ; 0; u 1 ; :::; u ; ) +u +1 p (0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; ; u 1 ; :::; u ; ) p (0; :::; 0; 1; ; :::; 1 ; u 1 ; :::; u ; u +1 ; ) dr. Gerçete -tomurcu fosyouu ço leerl özell¼gde 1 u +1 0 + u +1 u +1 olup stele elde edlr. Souç 4.2.5 P (t) P B (t; ) ; -tomurcu fosyou p (u 1 ; :::; u ; ) ola 0 71