erse Mühedsl Uygulmlrıd No Buluu Verlerde rmer Yüzey Delemler Elde Emede Aşmlr Cegz Bl, Sıı Özür 2 Elero ve Hberleşme Mühedslğ Bölümü Kocel Üverses cegzbl@ocel.edu.r Elero ve Hberleşme Mühedslğ Bölümü Kocel Üverses sozur@ocel.edu.r Özeçe zer rm ve bezer meodlr le elde edle hm verlerde, örme yüzey elde edlmes ve yüzeyler bölgelere yrışırılr, CAD-CAM ssemlerde ullıl b-sle yüzey modelleme meodlrı le remer olr fde edleblr sevyeye dr yüselgemes ç gerel şmlr lılıyor.. Grş Bu çlışmd, çeşl ver olm yöemler le dış düyd elde edle, o buluu olr fde edle, csm yüzey ve hcm blgs fde ede hm verler, blgsyr ormıd gösermde şmlr celeyor. erse mühedsl uygulmlrıd, rm chzlrı le elde edle o buluu verler, blgsyrd göserm sevyesde örme yüzey - mesh ve br üs sevyede b-sle ymlr şelde ger elde edlmes ç gerel dımlr çılıyor. Aşmlrı şu şelde özeleeblr: No buluu versde örme yüzey elde edlmes Örme yüzey- mesh sdeleşrme remereledrme meodlrı: Mesh bölgelere, (u,v) rmere uzyıd b-sle rmereler seçlmes meodlrı Bölgelere B-sle ymlr gydrlmes: Bu şelde, hcm çevreleye yüzey rmer delemler elde edlmes. 2. No Buluu Versde Örme Yüzey Elde Eme Meodlrı zer rm chzlrıı gelşmes le brle, shd olmış o buluu versde yüzey ger çm roblem, yoğu br rşırm ousu olmuşur. roblem l olr 98 ler orlrıd, Bosso [] rfıd ımlmışır. 99 yılıd, Hoe ve r. [2] rfıd yıl çlışm, düzesz o buluu verlerde yüzey ger çmd lerleye br şm olmuşur. Yüzey ger çmd rşırmlr emel olr yöde lerlemşr. Heslmlı geomer meodlrı olr ıl, Deluy [3] üçgeleme eğ ullıl çlışmlrd heslmlr Deluy omlese dydırılır ve o vers üzerde Voroo dygrmı ullılr ylı - dul yılr b edlr. Yüzey ger çmd dğer br red, hcmsel volumer meodlr [4] olmuşur. Bu meodlrd, o buluu vers belrl rçlr yrılr bulr üç boyulu fosyolr le ylşımlr ürelr. Bu fosyolrd, sıfır sevyes (zerolevel se) çırımı le, sıırly üler - mrchg cubes vey bezer lgormlr ullılr, yüzey çı olr elde edlmeye çlışılır. Bu oud, MS (movg les squres) yüzeyler [5] üzerde çlışmlr olmuşur. Ayrıc Rdyl blı Fosyolr d (RBF) bezer şelde ullılmışır [6]. rm chzlrıd elde edle verler gürülülü olmsı sebebyle, yüzey ger çm lgormlrıı, gürülüye dyılı olmsı, see br özellr. [7, 8] o lu çlışmlrd, gürülülü ve es ver üzerde şleye çeşl lgormlr gelşrlmşr. rm chzıı yüzey belrl rçlrıd z yoğu öre lmsı eces, es ve homoe olmy verler üzerde de çlışble lgormlr hyç duyulmuşur. Mevcu yüzey ger çm lgormlrıı geş br öze [9] o lu çlışmd bulublr. Aşğıd lsede, yüzey ger çmd ullıl yerel lol ve globl lgormlrı br sııfldırılmsı yılmışır. Bu yzıd sdece yerel ylşımlr çılıyor. Globl Ylşımlr, Deluy ve Voroo Bzlı Algormlr (Heslmlı Geomer Meodlrı) o Crus, ower Crus (Ame, 998) o Cocoe, gh Cocoe (ml K. Dey, 2 ) o Alh Shes Yerel - ol Ylşımlr (Volumer meodlr) o K-E yı omşulr o emel Bleşeler Alz - rcle Comoe Alyss CA o Grd Bzlı Kesl (Dscree) Algormlr Düzlem Ylşımı (Hoe, 99)
o 2. Yerel Bzlı Algormlr rgle Fs Bll vog (Berrd, 999) Imlc Surfce Algorhms MS, Movg es Squres (She, 24) Isosurfce Exrco: osso v.s. (Kzdh, 25) ro of Uy (U) (Ohe, 23) Rdyl blı Fosyolr (Crr, 999, Ohe, 27 ) No buluud yüzey ger çm roblemde, l ylşımlr, olrı omşulu lşler ullılmsı şelde olmuşur. Her br o ç, yüzey orml belrlemesde, de e yı omşulr vey belrl br mesfede üm omşulr ullılır []. Seçle olrı belrledğ düzlem ve bu düzleme orml yöü, olgo ger çmd refers olr ullılır. 2.. -e yı omşulr Üç boyulu o verlerde, her br o ç, o oy e yı de omşu oı bulumsı, O ( 2 ) zmd, b hesl bulublr, c bu çözüm ço fzl syıd oı buluduğu verlerde, uygulblr br çözüm üremez. Nolrı, hyerrş br ğç yısı dğıılmsı le, e yı omşulrı bulumsı şlem her br rm ç O ( log ) zmd mmlblr. Üç boyulu uzyd o rm mçlı olr Ary ve r. [22] rfıd gelşrle blced box decomoso (BDD) ğç yısı, hyerrş uzy bölümlemesde, ğç yısıı derlğ degeleere, üç boyulu rmlr, O ( 3log ) zmd yılblr. Ağç yısı le sğl rm fosyou ullılr, o buluud her br oı, m de omşusu buluur ve bu omşulrı emsl ede br düzlem ve orml heslır. Br oı, m de omşulrıı, ( x, y, z) rezye uzyd oordlrı grd olr ullılr, emel bleşeler lz le, o oı omşulrı rsıd sçılmı yöü buluur. Shd olmış ol o verler düzel dğıldığı frz edlere, ve br oy omşulrı yı düzlemde olduğu frz edlere, oy orml yöüü, e üçü ege değere sh ege veör olduğu soucu vrılır. Çüü, oy orml yöüde hçbr sçılm belemez, sçılmlrı, orml dde bulu düzlem üzerde olmsı beler. Böylece, orml dışıd l ege veör, oı üzerde buluduğu düzlem ımlmış olur. Şelde, boyulu olr, osı omşulr ve bu omşulr ege veörler göserlyor. Şel 2: osı ve yı omşulrı ç emel bleşeler lz Ege veörler yöü, sçılmı yöüü göserre, veörlere ege değerler, sçılmı gelğ göserr. E z sçılmı olduğu ege veör, oy orml yöü olr frz edlr. N fdes, osı de e yı omşulr ümes gösers. o fdes, N ümesde olrı or osıı gösers. 3x 3 boyulu smer ovrys mrs şu şelde ımlır: Kovr ysmrs å xîn ( x- o ) Ä( x- o Burd, ege veörler ve ege değerler heslır. [] 2..3 Yerel grd bzlı lgormlr: Düzlem Ylşımı Bu bölümde lgormlr, olrı omşulu lşler ullılr şler. No buluud yüzey ger çmd, l çözümlerde br, 99 yılıd Hoe ve r. [2] rfıd yıl çlışm olmuşur. Bezer meodlrı çere dğer br çlışm 996 yılıd Curles ve evoy [2] rfıd yılmışır. Hoe çlışmsıd, öcelle her br o ç emel bleşeler lz ullılr düzlem ylşımlrı buluur. Komşu olrı l şmd hesl düzlemler uyumluluğuu sğlmsı ç, lve br düzelme meodu uygulır. ) Şel : BDD ree yısı 2..2 emel bleşeler lz emel bleşeler lz le, uzyd o ümes, ye br uzyd, de ese üzerde yerleşrlr. Ye uzyı belrleye, brbre d veörler, ege veörler olr ılır. Her br ege veörü lşledrldğ br ege değer vrdır. Bu değer, ege veörü göserdğ yöde, o bleşeler sçılmsıı (sred) fde eder. Şel 3: Hoe mesh üreme lgormsı [2] Algorm şu şelde özeleeblr:
. 3D oyı, blmeye yüzeye m ede şrel mesfe fosyouu belrle. Her br o ç, şrel mesfe fosyou, ylşı olr bulu düzleme ol uzlığıı fde eder. Mesfe şrel olmsı, oı, düzlem hg rfıd olduğuu fde eder () Her br o ç düzlem ylşımıı bul (b) düzlemler, omşulrı le ıys edere düzel. 2. Sıırly üler (mrchg cubes) lgormsı ullr mesh yüzey çırılır. Ohe 24 [7] çlışmsıd, o vers üreler le emsl edlmee ve üç omşu üre merezler, örme yüzeye br elem olr rılmdır. Şel 4: Ohe, o buluu şleme şmlrı Şel 5: Üç üre esşme osı br er ürer No buluu versde eldle mesh yısı, sıırly üler - mrchg cubes lgormsı çıışıd ço syısı geresz elemlr çereblr ve sdeleşrlmes ser. Br sor şmd mesh sdeleşrlr. 3. Örme Yüzey Sdeleşrme Algormlrı Örme yüzeyler blgsyrlı grf uygulmlrıd çevreleye yüzey emsl ede emel ver yılrıddır. Örme yüzey olgolrı, üçgeler, dörgeler vey dğer çogelerde oluşblr. Özel doımlı grf rlrı ullılr hızlı br şelde er görüüsü hlde göserleblrler. rm chzlrıd gele yoğu ve düzesz ver, o buluud mesh şmsı geçere, ço syıd geresz olgo ürelmese ede olblr. Bezer şelde blgsyrlı omogrf ve dğer rm chzlrıd elde edle olgo yüzey, çevreleye yüzey emsl eme hrcde ço syıd geresz olgo çerr. No buluu verler emsl fosyolr ullılr fde edlmes ve sorsıd yüzey çırm meodlrı le (sosurfce exrco: mrchg cubes v.b.) örme yüzey elde edlmes şmsıd, ço syıd ve errlı, semeye eröşe ve yüz rçlrı oluşblr. Mesh sdeleşrme meodlrı ullılr, örme yüzey emzlemes ve yüzey oolos bozulmd dh z olgo le yüzey fde edlmes ser. Sdeleşrme ecesde elde edle olgo vers, yı model, oolos bozulmd dh z syıd ver ullr fde emey mçlr. Bu şelde, örme yüzey blgsyr ormıd hızlı ve verml br şelde göserlmese m sğlır. Grf doım geresm ve elerl - mye hfız geresm düşer. Grf modeller ğ ormıd ullılmsı durumud, ğ rfğ geresm zlır. Mesh sdeleşrme yöemlerde, leşm, ıbb görüüleme, blgsyr desel srım, relmcılı, msyo ve blmsel ver göserm llrıd yrrlılmdır[3]. olgo bsleşrme şlem, model bsleşrme şlemler yı sır, değş dey sevyeler (level of dels: OD), demel rsfer ve model sıışırm şlemlerde de ullılır. Model bsleşme, br olgo model, dış görüümüü değşrmede, dh z olgo le fde edlmes mçlr. Bu şelde grf gösermde erforms rışı hedefler. Model bsleşrme şlemde, ullıcı le erf br şelde sdeleşrme ymı öesde, sdeleşrme şlem oom olr yılmsı hedefler. Oyu ve dğer msyo - grf uygulmlrıd, br ese shede oumu göre deylı vey b olr göserlr. Bu durumd ese değş dey sevyelere (level of dels) olgo modeller hfızd olmsı gerer. Dey sevyeler rsıd yumuş göserml geçşler clrıdırılmsı d yrı br roblem eşl eder. olgo modeller ğ ve erf ormlrd şımsı mcıyl, demel rsfer eğ (rogressve meshes) ullılır. Kdemel rsfer eğde, model bse omlese gde şmlrı rsıd geçşler fosyo olr slır. Kullıcı, ğ üzerde, model bs ve omles durumlrı rsıd geçşler yblr. olgo modeller slmsı şmsıd, sıışırılr, dh z deolm lı ullılmsı ser. Model sıışırm şlemler de bezer lgormlr ullılr yılır. Mesh sdeleşrme lgormlrı şu şelde sııfldırılblr [4]: Yerel Sdeleşrme Algormlrı o Köşe Yo Eme (Verex Decmo) o Ker Yo Eme (Edge Corco) Globl Sdeleşrme Algormlrı o Köşeler Brleşrlmes (Verex Cluserg) o Model Ylşımı (She Aroxmo) 3. Yerel Sdeleşrme Algormlr Sdeleşrme yöemler geel olr ye yrılır. Yerel sdeleşrme şlemde, sdeleşrme şlem sdece br bölgeye vey seçle l uygulıre, globl yöemlerde, mesh
model br büü olr ele lıır. Burd yerel sdeleşrme lgormlrıd bzılrı göserlyor. 3.. Köşe Yo Eme (verex decmo) Bu gru lgormlr, olgol modelde her sfhd erf olr br olgo öşes ı sor, bu öşey ull olgo yüzeyler de r ve dh sor gerye l boşluğu err üçgelere böler[5]. Bu lgormlr, modeller oolos oruy lgormlrdır. Aşğıd şmlrd öşe yo eme meoduu deylrı lılıyor. 3... Köşe Sııfldırm (verex clssfco) Köşe yo eme lgormsıd şmlr, öşeler sııfldırılmsı le bşlr. Her br öşe, omşulu lşlere göre sııfldırılır[6]. Bu şelde slmeye dy öşeler es edlmeye çlışılır. Şel 6 d beş çeş sııf durumlr göserlyor. 3...2 Yo eme rer (decmo crero) Köşeler sııfldırılmsıd sor, bu öşe slmes hlde ory çıc hy br ylşım yılır. H ölçümü, öşe sııfldırm blgse göre yılır. Bs öşeler ç h ölçüsü, ım gereğ çevreleye üçgeler hçbr özell erı çermedğde, çevreleye üçgeler ylşı olr düz br yüzey üzerde oldulrı frz edlr. Bu çevreleye üçge yısıı e z h le emsl ede düzlem buluur. E üçü reler meodu ullılır se, üçgeler öşeler le düzlem rsıd mesfe res mmze edlr. Orlm meodu ullılır se, yüzey orml, öşey çevreleye üçgeler ormller orlmsı olr lıır. Bulu düzlem le yüzey rsıd mesfe, değerledrme rer olr ullılır. Yo eme rer, düz bölgelerde öşeler yo edlmese öcel verr e, özell erlrı üzerde öşeler yo edlmes gecrmes beler. Sıırly öşe ve dhl öşeler ç, bu öşe sldğde oluşc ye er le bu öşe rsıd mesfe ölçü olr ullılır. Şel 7 de bu durum göserlyor. Şel 6: Köşe Sııfldırm[6] Bs öşe (A): ümüyle üçgeler le çevrl durumd br öşe yısıı fde eder. Çevreleye üçgeler özell erı brıdırmz. Komles Köşe (B): ümüyle üçgeler le çevrl durumd br öşedr. Ac bu öşey ull erlr, brde ço üçge rfıd ylşılıyor olblr. Sıırly Köşe (C): Yüzey sıırıd bulu, yrısı üçgeler le çevrl öşe. Dhl Köşe (D): Br erı ylş üçge ormllr rsıd çı, belrl br özell çısı (feure gle) d yüse se, bu er yırdedc özell erı (feure edge) bul edlr. İ de özell erı orsıd bulu br öşe, dhl öşe olr şreler. üm Köşe (E): Özell erı üzerde br öşe, brde ço özell erı rfıd ullılıyor se, üm öşe olr şreler[6]. Şel 7: Sıırly öşe ve dhl öşe h ölçüü Yo eme rer olr ullıl mesfeler belrl br ölçeğ lıd ldığı öşeler, slme ç seçlmş öşeler olcır. Bu öşeler slmesde sor ory çı boşluğu, öşe yo edlde sor err üçgelerle doldurulmsı gerer.[6] 3...3 Üçgeleme Slme ç seçle öşe yo edlmesde sor ory çı boşlu, err üçgeler le doldurulur. () 569K üçge (b) 42K üçge
(c) 42K üçge, düz (d) 57K üçge, düz Şel 8: VK üühes le yıl mesh sdeleşrme şlem[6] Şel 8 de VK üühes le yıl mesh sdeleşrme şlem göserlyor. 3..2 Ker Kyşırm (Edge Corco) Ker yşırm emell sdeleşrme, çoç ullıl sdeleşrme lgormlrıd brdr. 993 yılıd Hoe [2] rfıd öerlmşr. Br er lıır ve bu er br öşe hle gerlr. Es er bğlı üm erlr err düzeler. Şel 9 d er yşırm şlem br şmsı göserlyor. Bu yöem ull brço lgorm gelşrlmşr. Bu yöemler rsıd emel fr, yşırm ç er Şel 9: Ker yşırm şlem[2] uygulmlrı yöel çeşl lgormlr mevcuur. Burd, örme yüzey ullıcı eleşm le dörgesel bölgelere yrıldığı frz edlere, b-sle eerolsyo mçlı rmereledrme şmsı geçlyor. B-sle eerolsyo ve ylşımı roblemlerde, grd olr br o ümes verlr. Düğüm veörüü [,] rlığıd değşğ frz edlr se, bu rlı bzı esme (rmere, dur) olrıı, grd ümesde ver olrı rşılı gelmes ser. D,... D ver olrı ç,,... bölgesde + de rmere değer ımlır. C( u ) büü ver olrıd geçe br eğr olr ımlı se, esm yerlerde, olm üzere, msyı değerler ç, D C( ) olur. Şel de rmereler ver olrı le lşledrlmes göserlyor. rmere değerler seçlmes belrszl çerr ve sosuz syıd lerfler mevcuur. Buul brle, rmere değerler dsz br şelde seçlmes, ürele eğrde semeye şeller ve dlglmlr oluşmsı sebe olblr. rmereledrme şmsıd, uform, chord legh, cerel, uversl olr smledrle çeşl meodlr ullılmdır. seçmede uygul rerdr. Ker yşırm şlem, model oolosde değşller üreeblr. Ardışı yşırm şlemler le modellerde boşlulr ılblr c f brbre bğlı olmy bölgeler brleşrlemez. Bu şlem, modol oolosde değşller üremese rğme, ço çözüürlülü çzm ç gere duyul br özell olmdır[7]. Şel d Grld ve Hecber e çlışmd, er yşırm le elde edle sdeleşrlmş modeller göserlyor. Şel : rmereler ve rşılı gele ver olrı Şel : Kdemel sdeleşrle model [7] 4. rmereledrme Meodlrı No buluud örme yüzey - mesh üreme sorsıd, ürele üçge örme yüzey, her br b-sle ymı (u,v) rmere bölgese rşılı gelece dörgesel llr yrılmsı ser. Bu mçl, gere CAD-CAM uygulmlrı yöel, gerese msyo-grf 4. Düzgü dğılımlı rmereledrme - uform sced Uform - düzgü dğılımlı rmereledrme, verle grd d olrı rmere md e bs yöemdr. Düğüm veörüü [,] rlığıd dğıılcğı frz edlrse ve + de grd oı bu rlığı rçy böleceğ düşüülür se, rmereler şu şelde ımlır:
, - Öreğ, 8 ver osı verldğde, 7 olcğıd, uform rmereler ì 2 3 4 5 6 ü şelde belrler. í,,,,,,,ý î 7 7 7 7 7 7 þ Eğer rmereledrme [,] rlığı yere [,b] rlığıd yılm serse, bu rlı eş rçlr yrılr rmere değerler es edlr. b- +, - b Uform rmereledr heslmsı bs olmsı rğme eğr eerolsyoud semeye souçlr üreeblr. Öreğ, grd ver olrı, rmere sede düzgü dğılımlı değl se, semeye çeşl ıvrımlr oluşblr. Bu roblem şm ç çeşl değş rmereledrme meodlrı gelşrlmşr. Ac bu roblem sdece uform rmere ç değl, dğer gelşrlmş rmereledrme meodlrı ç de sözousu olblr. 4.2 Krş uzuluğu göre rmereledrme chord legh Merezcl rmereledrme, E.ee [9] rfıd öerlmşr. Yrış sde rb sürme öreğ le çılırs, Grd ver olrı rsıd mesfeler düzesz dğılımlı se rb ullıre, es döüşlerde merezç se, chord-legh meodu, uform rmereledrmeye göre uvve (vey orml uvve) ço yüse olmmsı ser. dh y çlışır. Güvel br sürüş ç ee, yol boyuc merezç uvve D,, D K D d olrı verlmş olsu. D - osı le çıd değşmle orılı olmsı gereğ öermşr. D olrı rsıd mesfe D - D - le fde edlr. Bu Cerel meodu, bu modele br ylşım sumdır. Bu model, chord legh meodu gelşrlmş br versyou olr durumd, üm d olrı rsıd rş mesfeler görüleblr. olmı şu şelde fde edlr: D, D, K D d olrı verlmş olsu. Üs förü 5.3 å D - D / 2 olr ımlırs, D - osı le D olrı - rsıd mesfe D - D - le fde edlr. Krş-chord Bu durumd, D osıd D osı dr ol rş meodud bu fde üssüz olr ullılıyordu. Bu durumd, uzuluğu orı üm d olgouu uzuluğu öerle meod göre şu şelde fde edlr: å D - D 5.32 - å D - D - şelde fde edlr. Normlze edlmş durumd, [,] D osıd D osı dr ol d olgo rlığıd rmereledrme yıldığı frz edlrse, şu şelde uzuluğuu olm olgo uzuluğu orı se br dğılım olur: å - - D D Bu durumd, [,] rlığı d olrı rsıd mesfe orıd bölgelere ylşırılmış olur. Şel 2 de uform rmereledrme (es çzgl) ve rş uzuluğu rmereledrmese göre yılmış eerolsyo göserlyor. Ver olrı rsı mesfeler düzgü dğılımlı olmdığıd, düzgü dğılımlı uform rmereledrme semeye bzı ıvrımlr oluşurduğu görüleblr. 5.3 Şel 2: Uform (es çzgl) ve chord legh rmereledrme Krş uzuluğu chord rmereledrme sılıl ullılmdır. Ac olom eğrler, olr rsıd ry eğr uzuluğu le orılı şelde dğer br fde le, brm hız sh şelde rmereledrmes mümü görülmemeedr [8]. Nolr rsı rş mesfes, olr rsıı brleşrece ol eğr uzuluğu sdece br ylşım olr ullılmdır. Bu durumd, dh uzu br rş mesfes, robleml durumlr üreeblr. 4.3 Merezcl rmereledrme cerel meod å - D - D şelde fde edlr. Normlze edlmş durumd, [,] rlığıd rmereledrme yıldığı frz edlrse, değerler şu şelde br dğılım uğrr: å - - D D Eğer seçlrse merezcl-cerel rmereledrme, rş-chord rmereledrmeye drgemş olur. Eğer <,
öreğ / 2 (reö) seçlr se, rş _ uzuluğu> frz edlme üzere, D D - - değer, D D - - değerde üçü hle geleceğde, d olgoud uzu rşler es zlılmış olur ve ıs rşler es rırılmış olur. Bu dvrış dolyı ee merezcl-cerel meodu es döüşlerde rş-chord meodu göre dh y dvrış göserdğ söylemeedr. Şel 3 ve 4 de bu meodlrı çeşl ver durumlrıd rşılşırılmsı göserlyor. Şel 3: rmereledrme meodlrı Şel 4: rmereledrme meodlrı 5. Düğüm Veörü Ürem rmere değerler ürelmesde sor, bu değerlerde yol çıılr düğüm veörü ürelr. Elmzde,,... şelde ımlı + de rmere değer buluduğuu ve c derece b-sle rçlrı ullılcğıı frz ederse, m + + şelde ımlı olm üzere, m+ de düğüm değere hycımız olur. Eğer eğr clmed sıılmış olr ımlı se, l bş + de düğüm değer ve sod + de düğüm değer olur. Ord - de düğüm se, düzgü dğılımlı uform olr vey çeşl meodlr göre dğıılır. Uform-düzgü dğılımlı rmereledrme ullılır se, orc ermler - + de rçy bölüür. u u... u u,,2,..., - + - + um- um- +... um Öreğ, 6 de rmere ç ( 5 ) ve 3. derece b- sle ç ( 3 ), ( + + ) + (5+ 3+ ) + de düğüm değer ( m 9 ) gereldr. Clmed- sıılmış b-sle durumud, bş ve sod + de düğüm değerler ve olcğıd, düğüm veörü şu şelde oluşur:,,,, u, u,,,,. Orc erm, [,] rlığıı üç { } 4 5 eş rçy böler. Bu durumd düğüm veörü ì 2 ü,,,,,,,,, şelde oluşur. í ý î 3 3 þ Uform düzgü dğılımlı düğüm veörüü belrlemes ç, rmereledrme değerler blmes geremez. Heslmsı bs olmsı rğme, bu şelde ürele düğüm veörü, chord rş mesfese göre rmereledrme le brle ullıldığıd eerolsyo mrsler sgulr el durum geleceğde çözümsüz br durum oluşur. Bu durumd sım ç, de Boor rfıd öerle, rmere değerler y ğırlılı orlmlrı, düğüm veörüü eşl eder. rmereler orlmsı göre düğüm veörü üreme şlem şu şelde fde edleblr: u u... u u + - + å,,2,..., - um- um- +... um Öreğ, üçücü derece b-sle ç, 3, o de düğüm değer ürelece ( m 9 ) olsu. rmere değerler, ì 2 3 ü {,, 2, 3, 4, 5},,,,, olr verlmş olsu. Bu í ý î 4 3 3 4 þ durumd, u u u u, 2 3 2 + + 2 3 4 3 3 5 + + u4, 7 u 3 3 4 5 3 2 3 2 u6 u7 u8 u9 değerler lır. Şel 5 de verle rmere değerlere rşılı orlm meodu göre ürele düğüm değerler göserlyor. Şel 5: rmere ve düğüm değerler Clmg-sım uygul 3. derece b-sle ç, uform-düzgü dğılımlı, chord-rş mesfes ve cerel-merezcl rmereledrmeler ç, orlmy göre ürele düğüm veörler şel 6 d göserlyor. 5.37
Şel 6: Seçle rmereler (Kırmızı) ve Orlm le Düğüm Veörler 6. B-Sle Eğr Eerolyou Bezer ve b-sle eğrler, blgsyr grfler, msyo uygulmlrıd ve CAD-CAM yüzey modelleme şmlrıd, srımcıd gele orol olrı ve düğüm veörü verlere göre ler yöde çlışmdır. Ac erse mühedsl uygulmlrıd ve ver eerolsyou ver ylşımı mçlı ullımlrd bu şlem erse yürüülmes gerer. Bu durumd eğr vey yüzey eerole edeceğ o verler sğlır e, orol olrı ve gerel düğüm veörüü ürelmes ser. Bu şmd, şlemler erse yürüülür. Krş- chord-legh mesfeye göre rmereledrme yılır se, öcelle hedef olr rsıd mesfeler buluur: D - D o 5, D2 - D 4, D3 - D2 5, D4- D3 3 Mesfeler olmı 7 olduğud rmere değerler şu şelde heslır:, 5, 9 2, 4 3, 4 7 7 7 Sgulr-el mrs durumud sım ç, orlmvergg eğ ullılr, rmere değerlerde, clmg-sım çere düğüm veörü heslır. 5 9 4 28 u ( + + ), 28 U,,,,,,,, 4 3 7 7 7 5 í ì ü ý î 5 þ Düğüm veörü grdse göre lgl bz fosyolrı heslr şğıd leer delem sseme doldurulur: é ù B-sle eğr delem şu şelde verlmş olsu: æ 5 ö æ 5 ö æ 5 ö æ 5 ö N,3 N,3 N2,3 N3,3 d ç ç ç ç é ù è7ø è7ø è7ø è7ø é ù d C( u) å N, ( u) æ 9 ö æ 9 ö æ 9 ö æ 9 ö(5.5) N,3 N,3 N2,3 N3,3 d ç ç ç ç 2 è7ø è7ø è7ø è7ø 2 rmereledrme ecesde, düğüm veörü üzerde her ëd3û æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö N,3 N2,3 N3,3 N ë 3û 4,3 ç ç ç ç br rmere değere rşılı heslc ol oı è7ø è7ø è7ø è7ø değer se şu şelde fde edlr: ë û D hedef olrı eerole edlmes see grd olr D C( ) å N, ( ), olr verldğde, orol olrı (5.6) delem 5.2 de göserle mrs şlemler le elde edlr. egl ve ller remere değerlerde bz fosyolrı değerler N mrse yzılır: bıd [2], bu şlemler blgsyrlşırılmsı şmsı hm lgorm olr göserlyor. én, ( ) N, ( ) N2, ( ) N, ( ) ù N, ( ) N, ( ) N2, ( ) N, ( ) N M O M ë N, ( ) N, ( ) N2, ( ) N, ( ) û Hesl D hedef olrı ve orol olrı mrs formud şu şelde fde edlr: édù d, D M d ë û é ù M ë û Korol olrı verlmş e, ler yöde heslmd, b- sle eğr delem mrs formud şu şelde fde edlr: D N. Korol olrıı heslcğı eğr eerolsyou şlemlerde se orol olrıı elde edlmes ç şğıd şmlr uygulır: D N. N D N N - ( ) ( ) N N N D Küb eğr eerolsyou ç öre olr, D olrı şu şelde verlmş olsu: D (,),(3,4),(-,4),( -4,),(-4,- 3) { } 6. B-Sle Yüzey Eerolsyou (5.7) S yüzey, c ve q ucu derece b-sle Krezye çrımı olr şu şelde ımlmış olsu: åå m S( u, v) N ( u) N ( v),, q, u ve v düğüm veörler rmereledrldğ esme yerlerde, c ve d hrfler le dsl, u (5.8) sc ve v d değerler yer lsı. Bu durumd yüzey formülü şu şelde fde edlr: m D S( s, ) N ( s ) N ( ) åå cd c d, c, q d, N, ( s c ), desde bğımsız olduğud, dışrı lıblr. Bu durumd, b-sle yüzey eerolsyou, 5.9 br dz b-sle eğr eerolsyou olr fde elde edlr: m æ ö Dcd S( sc, d ) å N, ( sc ) ç å N, q ( d ), è ø Mrs formud ımlm ym üzere b-sle rezye 5.2 çrım yüzey fdes şu şelde verlmş olsu: åå m S( u, v) Z ( u) N ( v),, q, Bu yüzey mrs formud göserm ç, C orol olrı ve D hedef olrı şu şelde fde edlr:
éc, c, c, ù éd, d, d, ù c, c, c, C d, d, d, D M O M M O M ëcm, cm, cm, û ëdm, dm, dm, û Bezer şelde, lgl Z ve N bz fosyolrı şu şelde fde edlr: é Z, ( s) Z, ( s ) Z2, ( s ) Zm, ( s) ù Z, ( s) Z, ( s ) Z2, ( s ) Zm, ( s) Z M O M ë Z, ( sm) Z, ( sm) Z2, ( sm ) Zm, ( sm) û én, q ( ) N, q ( ) N2, q ( ) N, q ( ) ù N, q ( ) N, q ( ) N2, q ( ) N, q ( ) N M O M ë N, q ( ) N, q ( ) N2, q ( ) N, q ( ) û Bu durumd, b-sle yüzey mrs formud şu şelde fde edlr: éd, d, d, ù d d d M O M ëdm, dm, dm, û,,, éz, ( s) Z, ( s) Z2, ( s ) Zm, ( s ) ù éc, c, c, ù Z, ( s) Z, ( s ) Z2, ( s ) Zm, ( s ) c, c, c, M O M M O M ë Z, ( sm) Z, ( sm) Z2, ( sm) Zm, ( sm) û ëcm, cm, cm, û én, q ( ) N, q( ) N2, q( ) N, q ( ) ù N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) M O M ë N, q( ) N, q( ) N2, q ( ) N, q( ) û q q q, q,, 2, D ZCN Heslmsı see C orol olrı se şu şelde erşlr[2]: C Z DN - - 7. Souçlr rm chzlrı rfıd shd ol verler gere grf ormıd göserm, gerese srım ve ml mçlı CAD-CAM ssemlerde şleeblr hle gerlmes ç gerel dımlr bu çlışmd celemşr. Kyç [] D J.-D. Bosso. Geomerc srucures for hreedmesol she rereseo. ACM rscos o Grhcs, 3(4):266-286, Ocober 984 [2] Hoe, H., DeRose,, Duchm,., McDold, J., Suezle, W.: Surfce Recosruco from Uorgzed os. Uversy of Wshgo (99). [3] Deluy, B.: Sur l shère vde, Izves Adem Nu SSSR, Odelee Memchesh Esesveyh Nu, 7:793-8, 934 [4] Y. Ohe, A. Belyev, M. Alex, G. ur, d H.-. Sedel. Mul-level ro of uy mlcs. ACM rscos o Grhcs, syf 463-47, July 23. roceedgs of SIGGRAH 23 [5] A. Admso d M. Alex. Aroxmg d ersecg surfces from os. Symosum o Geomery rocessg 23, syf 245-254, 23 [6] J. C. Crr, R. K. Beso, J. B. Cherre,. J. Mchell, W. R. Frgh, B. C. McCllum, d. R. Evs. Recosruco d rereseo of 3D obecs wh rdl bss fucos. I roceedgs of ACM SIGGRAH 2, syf 67-76, Augus 2 [7] Y. Ohe, A. G. Belyev, d H.-. Sedel. 3D scered d roxmo wh dve comcly suored rdl bss fucos. I She Modelg Ierol 24, Geov, Ily, Jue 24 [8] J. C. Crr, R. K. Beso, B. C. McCllum, W. R. Frgh,. J. Mce, d. J. Mchell. Recosruco d rereseo of 3D obecs wh rdl bss fucos. I roceedgs of ACM GRAHIE 23, syf 9-26, Melboure, Ausrl, Februry 23 [9] Am@She. Survey cquso d recosruco. echcl reor, 24 [] Rbb,.: Auomc Recosruco of Idusrl Isllos Usg Imges d o Clouds, Door ez, 25 [] Surfce Recosruco By yer eelg, m Ch W, Door ez [2] B. Curless d M. evoy. A volumerc Mehod for buldg comlex models from Rge Imges. Comuer Grhcs: Sggrh '96 roceedgs, syf 22-227, 996 [3] Uğur Güdüby, "Ço Çözüürlülü Modelleme ç olgol Bsleşrme", Syl İşleme ve Uygulmlrı Kurulyı (SİU'98), Cl I, syf 7-75, Kızılchmm, Ar, Myıs 998 [4] Jery O. lo III. A Shor Survey of Mesh Smlfco Algorhms, Cource Noes for CS 598 MJG., Ocobor 24 [5] Schroeder, W.J., J.A. Zrge, 5.28 W.E. orese, ``Decmo of rgle Meshes, ACM Comuer Grhcs (SIGGRAH 92 roc.), Vol. 26, No. 2, syf 65-7, 992 [6] K, M., Mesh Decmo Usg VK, Isue of Comuer Grhcs d Algorhms, Ve Uversy of echology [7] Grld, M. d Hecber,.S., ``Surfce Smlfco Usg Qudrc Error Mercs, ACM Comuer Grhcs (SIGGRAH 96 roc.), Vol. 3, No. 2, Augus 996 [8] Frou, R.., Sls,.J., 27. Rol sce curves re o u seed. Comuer Aded Geomerc Desg 24 (4), syf 238 24 [9] ee, E. (989) Choosg Nodes rmerc Curve Ierolo, Comuer Aded Desg, vol. 2, o. 6, syf 363-37 [2] es egl, Wye ller, he NURBS Boo, Srger, 998 [2] Y Sog, hd hess [22] S. Ary, D. M. Mou, N. S. Nyhu, R. Slverm, d A. Y. Wu. A oml lgorhm for roxme eres serchg fxed dmeso. Jourl of he ACM, syf 89-923, 998