TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ A. PERİYODİK FONKSİYONLAR A, düna ve güneşin hareketleri, a ve güneş tutulmaları her 7 ılda bir Halle kuruklu ıldızının dünamızı ziareti periodik olarak medana gelen olalardır. Bu periodik olalara benzer şekilde, matematikteki bazı fonksionlar, belirli aralıklarda tekrar tekrar anı değerleri alarak kendilerini inelerler. Tekrarlama özelliğine sahip bu tür fonksionlara periodik fonksionlar denir. Tanım : A R için f : A B bir fonksion olsun. A için, f ( T ) f ( ) + eşitliğini sağlaan bir T reel saısı varsa, f fonksionuna periodik fonksion T reel saısına da f fonksionun periodu denir. f ( + T ) f ( ) eşitliğini sağlaan T pozitif reel saılarından en küçük olanına da f fonksionunun esas periodu denir. Örneğin, Z olmak üzere f ( ) in 5 ile bölümünden kalan şeklinde verilen fonksionu inceleelim. Herhangi bir tamsaının 5 ile bölümünden kalan,,, vea olduğundan tanım kümesi Z olan B,,,, olur. f ( ) fonksionun görüntü kümesi { } Bu sonucu koordinat sistemine taşıdığımızda, tanım kümesinin elemanlarının, 5 birim ara ile anı elemanlara eşlendiğini görürüz. Yani, f fonksionu her tamsaısı için, f ( 5) f ( ) + eşitliğini sağlar. Bu durumda, 5,,5,. Saıları f fonksionun birer periodudur. Bu periotlar arasından en küçük pozitif reel saı olanı 5 olduğundan, f ( ) fonksionun esas periodu 5 tir. O halde, k Z için f ( 5k ) f ( ) + azılır. Ör : f ( ) fonksionun esas periodu T ise, a, b R için g ( ) f ( a b) + fonksionun esas periodunun T a olduğunu gösteriniz. Çözüm : f fonksionun periodu T ise, f ( ) f ( + T ) f ( a + b) f ( a + b + T ) olur. (i ) g fonksionun periodu ' ' T ise, g ( T ) g ( ) + olur. ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ' g ( ) f ( a + at + b) ' f ( a + b) f ( a + at + b) g f a + b g + T f a + T + b
' Yukarıdaki denklemlerden f ( a + b + T ) f ( a + at + b) + + + + ' a b T a at b T at ' T T a olarak bulunur. Esas periodun pozitif olması gerektiğinden ' T ' T olur. a bulunuz. Ör : h( ) 8 f olmak üzere f fonksionun esas periodu 9 ise, h fonksionun esas periodunu Çözüm: ( ) 8 8 T, h fonksionun esas periodu olsun h( + T ) h( ) ise, + T h h T + f fonksionun esas periodu 9 olduğundan, T 9 T olur. bulunur. II. Yol : f ( ) için T 9 ise, ( ) 8 h f f için ' T T olarak bulunur. Not: f fonksionun periodu T ise, f in periodu da T dir. R ve k Z için, sin ( + k. ) sin ve cos ( + k. ) cos olduğundan, sinüs ve kosinüs fonksionları da periodiktir. Bu fonksionların periodu k., esas periodu dir. R + k. için, tan ( + k. ) tan ve k. cot + k. cot olduğundan, R { } için, ( ) tanjant ve kotanjant fonksionları da periodiktir. Bu fonksionların periodu k., esas periodu dir. Sekant ve Kosekant fonksionların periotları k., esas periotları dir. sec,cos ec cos sec Ör: Aşağıdaki fonksionların esas periotlarını bulunuz. a. f ( ). Sin5 (c: ) b. g ( ) cot ( 8 ) 5 (c: )
Kural: n sıfırdan farklı bir tamsaı ve a, b, c, d R olmak üzere,. a + bcos n ( c + d ) n a + bsin ( c + d ) n a + bsec ( c + d ) n a bcosec ( c d ) + + fonksionlarının esas periodu; i. n tek ise, c ii. n çift ise, c dir.. a + btan n ( c + d ) n a + bcot ( c + d ) i. n tek ise, c ii. n çift ise, c dir.. Bir ifade birden fazla trigonometrik fonksion içerior ise; içerdiği fonksionların esas periotlarının ortak katlarının en küçüğünün (O.K.E.K.) her bir tam katı bu fonksionun periodudur. Ör: Aşağıda verilen fonksionların periotlarını bulunuz. a. Cos ( ) b. + Sin ( 7 + 5) c. 7 tan ( ) d.. ( ) g. Cot e. tan 7 ( ) tan Cos + Sin h. f. Sec( 5 5) Sec Cos5 + i. 7. Cos Cos Uarı: Bölüm ve çarpım şeklindeki ifadeleri önce trigonometrik özdeşliklerden fadalanılarak toplam haline getirilir. Sonra elde edilen periotların Ekok (Okek) ları alınır. Çözüm: i. Cos7. Cos [ Cos + Cos] den Cos in periodu T, Cos in periodu T dir. 5 (,5) okek f ( ) in periodu; T bulunur. Soru: f ( ) Sin ( ) Soru: ( ) + fonksionunun periodunu bulunuz. g Cos + fonksionunun periodunu bulunuz.
h f + g Sin + + Cos + Soru: ( ) ( ) ( ) ( ) fonksionunun periodunu bulunuz.. 5 + 7 + fonksionunun periodunu bulunuz. Soru: f ( ) Cos ( ) Soru: f ( ) Sin( 8 ) Cos( 5) + + fonksionunun periodunu bulunuz. + + fonksionunun periodunu bulunuz. Soru: f ( ) Sin Cos5 Sin Soru: f ( ) ( Sin)( Sin) + fonksionunun periodunu bulunuz. Soru: f ( ) Cos7. Cos fonksionunun periodunu bulunuz.
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ Trigonometrik fonksionların periodik olduğunu grafiklerinden de görmek mümkündür. Bir trigonometrik fonksionun grafiğini, aşağıda verilen işlem sırasını izleerek çizebiliriz.. Önce fonksionun esas periodu bulunur.. Bulduğumuz perioda ugun bir aralık seçeriz.. Seçilen aralıkta fonksionun değişimini inceleriz. Bunun için fonksionun bazı özel reel saılarda alacağı değerlerin bir tablosunu aparız. Sonra, fonksionun hangi aralıklarda arttığını vea azaldığını belirleriz. Tabloda fonksionun arttığı aralıklar, azaldığı aralıklar işaretleri ile gösterilebilir.. Esas perioda ugun olarak seçilen aralıkta fonksionun grafiğini çizeriz. Oluşan grafiği diğer periodik aralılarda da tekrarlaarak fonksionun en genel grafiğini çizmiş oluruz.. Sinüs Fonksionun Grafiği geometrik eri {,,sin :, } Analitik düzlemde ( ) ( ) C R kümesinin elemanlarının gösterdiği noktaların sin fonksionun grafiğidir. Yukarıdaki sıraa göre;. sin fonksionun esas periodu dir.. Grafiği çizmek için [, ] aralığını seçelim..,,,, özel değerleri için, sin fonksionu aşağıda tabloda gösterilen değerleri alır. Sin fonksionun artan vea azalan olduğu aralıklar birim çember ardımı ile bulunabilir. Sin fonksionunun grafiği: Periodu olduğundan [, ] aralığında değişimini inceleelim. f :[, ] [,], f ( ) Sin Sin - 5
Soru: f ( ) Sin fonksionunun [, ] aralığında grafiğini çiziniz. f ( ) fonksionunun periodu; T dir. Buna göre grafiği [, ] aralığında çizebiliriz. Aralık bou olur. Sin Sin - -
Sorular: Aşağıda verilen fonksionların grafiklerini çiziniz.. a. Sin b. Sin c. Sin d. 5 Sin( ). Kosinüs Fonksionun Grafiği geometrik eri {,,cos :, } C R kümesinin elemanlarının gösterdiği noktaların Analitik düzlemde ( ) ( ) cos fonksionun grafiğidir. Yukarıdaki sıraa göre;. cos fonksionun esas periodu dir.. Grafiği çizmek için [, ] aralığını seçelim..,,,, özel değerleri için, cos fonksionu aşağıda tabloda gösterilen değerleri alır. cos fonksionun artan vea azalan olduğu aralıklar birim çember ardımı ile bulunabilir. Cos fonksionunun grafiği: Periodu olduğundan [, ] aralığında değişimini inceleelim. f :[, ] [,], f ( ) Cos, Aralık bou: olur. Cos - 7
Soru:. Cos + fonksionunun [ ], aralığında grafiğini çiziniz. Çözüm: f ( ) fonksionunun periodu dir. Aralık Bou: olur. Cos - +.Cos 5-5 5 - - 8
Soru:. Cos fonksionunun ugun bir aralıkta grafiğini çiziniz. Çözüm: f ( ) fonksionunun periodu dir. O zaman grafiği, aralığında çizebiliriz. Aralık Bou:. olur. Cos den, Cos Cos bulunur. Cos ( ) -. Cos - - 5 - - 9
Sorular: Aşağıda verilen fonksionların grafiklerini çiziniz.. a. + Cos b. + Sin c. + Cos d. 5Cos ( ) tan fonksionunun grafiği: Periodu olduğundan [, ] aralığında değişimini inceleelim. Artan fonksiondur. f [ ] :, R, f ( ) tan tan + de tanımsız. Düşe asimptota sahip.
Cot fonksionunun grafiği: Periodu olduğundan [, ] aralığında değişimini inceleelim. Azalan fonksiondur. f :(, ) R, f ( ) Cot tan + ve de tanımsız. Düşe asimptota sahip.
Sec fonksionunun grafiği: Periodu olduğundan [, ] aralığında değişimini inceleelim. Sec olduğundan Cos olan erlerde Sec tanımsızdır. Cos artarken, Sec azalır. Cos Cos azalırken Sec artar. Cos > iken Sec >, Cos < iken Sec < f :[, ], R, f ( ) Sec Cos - Sec Cos - + + -
Cosec fonksionunun grafiği: Periodu olduğundan [, ] aralığında değişimini inceleelim. Cosec olduğundan Sin olan erlerde Cosec tanımsızdır. Sin artarken, Cosec azalır. Sin Sin azalırken Cosec artar. Sin > iken Cosec >, Sin < iken Cosec < ( ) { } R, ( ) sec f :, f Co Sin - Cosec Sin + - + -
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TERS FONKSİYONLARI. SİNÜS FONKSİYONUNUN TERS FONKSİYONU (ARK SİNÜS (Arcsin) ) f R [ ], ( ) :, f Sin fonksionu bire bir ve örten değildir. Ancak tanım kümesini R nin bir alt kümesi olan, olarak seçersek birebir ve örtenliğini sağlamış oluruz. Bu durumda ters fonksionu mevcuttur. f :,, [ ], f ( ) Sin fonksionunun ters fonksionu; f :[, ],, ( ) Sin Arc sin f Arcsin dir.,, [ ] dir. Sin ( ) arcsin f Soru: arcsin ise,? Soru: Soru: Soru: Soru: tan arcsin 5 ise,? arcsin ise,? Cos arcsin işleminin sonucu nedir? 5 A cos arcsin + arcsin 5 ise A?
. KOSİNÜS FONKSİYONUNUN TERS FONKSİYONU (ARK KOSİNÜS (arccos) ) f :[, ] [,], f ( ) Cos fonksionu bire bir ve örten bir fonksiondur. Bu fonksionun tersi olan fonksion; [ ] [ ] ( ) :,,, arccos dir. f f Cos arccos [,] [, ] dir. ( ) arccos f Cos Soru: arccos sin ise,? 7 Soru: cot arccos işleminin sonucu nedir? 5 Soru: arccos cos ise,? 5
. TANJANT FONKSİYONUNUN TERS FONKSİYONU (ARK TANJANT arctan ) f :, fonksion; R, f ( ) tan fonksionu birebir ve örten fonksiondur. Bu fonksionun tersi olan R fonksionudur. f :,, f ( ) arctan tan arctan R, dir. ( ) arctan f tan Soru: arctan ifadesinin değeri nedir? Soru: sin ( arctan (, )) ifadesinin değeri nedir?
. KOTANJANT FONKSİYONUNUN TERS FONKSİYONU ( ARK KOTANJANT - arccot ) f :(, ) R, f ( ) cot f : (, R ), ( ) cot arc cot fonksionu birebir ve örtendir. Bu fonksionun tersi olan fonksion; f arc cot fonksionudur. R dir. (, ) cot ( ) cot f arc Soru: arc cot ifadesinin değeri nedir? Soru: arcsec tan? Soru: f ( ) arcsin fonksionunun tanım kümesi nedir? Soru: f ( ) arcsin fonksionunun tanım kümesi nedir? 7
. arcsin ise, Cos + Sin? ( +. arccos arcsin denkleminde? ( 5 ) UYGULAMALAR: ). arcsin + arcsin? () Sin + 7 fonksionunun grafiğini çiziniz?. ( ) 5. Cos ( 5). 5 tan ( + 7) fonksionunun grafiğini çiziniz? + + fonksionunun grafiğini çiziniz? olmak üzere α Arc cos, β Arc cos θ Arc cos + + ( ) 7. θ, α, β [, ] Sin( θ β α )? 8. Sin Arc cos + Cos( Arcsin )? ( 5 + 5 ) verildiğine göre, 9., ve Arc tan ise, Cos? ( ) 5.. Arc cos + denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. f ( ).tan f 5? ise, ( ). f ( ) Arcsin ve ( ) g Arc tan ise, ( fog ). f ( ). Arc tan ( ) ise, f ( )? ( f ( )?( ) arctan ). Cos arctan +? ( ) 5 5. arctan + arc cot olduğunu gösteriniz.. tan ( arcsin ) 7. Sin arc cot? olduğunu gösteriniz. ( ) 5 8
8. Sin arctan? ( 5 ) 9. ( ) arctan f ise, f? (). f ( ).arcsin ise, f ( )? (). arccos arctan ise,? ( ). f : A,, f ( ) arcsin ( ) fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ([ ]. f : B [, ], f ( ), ) arccos fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. (, ). arcsin arccos ise,? ( ) 5 5. Sin arc cot ifadesinin eşiti nedir? ( ) 5 9
UYARI: arcsin () arcsin arcsin arcsin arcsin ( ) arcsin ( ) arcsin arcsin arcsin arccos () arccos arccos arccos arccos ( ) arccos ( ) 5 arccos arccos arccos arctan () arctan arctan ( ) arctan ( ) arctan ( ) arctan ( ) arctan arccot () arccot arccot ( ) arccot ( ) arccot ( ) arccot ( ) arccot 5
Dosa adı: TRIGONOMETRIK FONKSIYONLARIN GRAFIKLERI (TERS TRIGONOMETRIK DAHIL) Dizin: C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET\TRIGONOMETRI Şablon: C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\Nor mal.dotm Başlık: TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ Konu: Yazar: EGESU Anahtar Sözcük: Açıklamalar: Oluşturma Tarihi: 9..7 :5: Düzeltme Saısı: Son Kaıt: 9..7 :5: Son Kadeden: TOLGA Düzenleme Süresi: Dakika Son Yazdırma Tarihi: 9..7 :5: En Son Tüm Yazdırmada Safa Saısı: Sözcük Saısı:.579(aklaşık) Karakter Saısı:.7(aklaşık)