YILDIZ EKİK ÜİVERSİESİ FE BİLİMLERİ ESİÜSÜ MODELE DAYALI ÖÖRÜLÜ KOROL ALORİMALARI Elekrk Müh. Leven UCU FBE Elekrk Mühendslğ Anablm Dalı Konrol ve Oomason Proramında Haırlanan YÜKSEK LİSAS EZİ e Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. İbrahm Beklan KÜÇÜKDEMİRAL İSABUL, 7
İÇİDEKİLER Saa SİME LİSESİ... v KISALMA LİSESİ... v ŞEKİL LİSESİ... v ÇİZELE LİSESİ... v ÖSÖZ... v ÖZE... x ABSRAC... x. İRİŞ.... MODELE DAYALI ÖÖRÜLÜ KOROL LİERAÜR ARAŞIRMASI. 6 3. MODELE DAYALI ÖÖRÜLÜ KOROL... 7 3. Modele Daalı Önörülü Konrol Alormalarında Kllanılan Modeller... 7 3.. Basamak Yanı Model... 7 3.. Darbe Yanıı Model... 7 3..3 ranser Fonkson Model... 8 3..4 Drm Ua Model... 9 3. Serbes ve Zorlanmış Yanı... 9 3.3 Model Önörülü Ssemlerde Kllanılan Paramereler... 3.3. Male Fonkson... 3.3. Önörü ve Konrol Uk... 3.3.3 Reerans Yörünes... 3.4 Dnamk Mars Konrolü... 3.4. Ssem Model Kllanılarak Önörü Paramerelernn Blnması... 3.4. Ölçüleblen Bocların Ele Alınması... 4 3.4.3 Konrol Kralının Elde Edlmes... 5 3.5 enelleşrlmş Önörülü Konrol... 5 3.5. Ssem Model Kllanılarak Önörü Paramerelernn Blnması... 5 3.5. Konrol Kramının Elde Edlmes... 3.5.3 enelleşrlmş Önörülü Konrolün Kapalı Çevrm Eşdeğer... 3.6 Model Alormk Konrol... 3 3.6. Ssem Model ve Önörü... 3 3.6. Konrol Kralının Elde Edlmes... 5 3.7 Çok Değşkenl Modele Daalı Önörülü Konrol... 6 3.7. Çok Değşkenl Dnamk Mars Konrol... 6 3.7. Çok Değşkenl enelleşrlmş Önörülü Konrol... 7
4. MODELE DAYALI ÖÖRÜLÜ KOROL ALORİMALARII SİMULASYOLARI... 3 4. ek rşl-ek Çıkışlı Ssem Ulamaları... 3 4.. Dnamk Mars Konrol Ulamaları... 3 4... S Isııcı Model... 3 4... Van de Vsse Reakörü... 36 4.. enelleşrlmş Önörülü Konrol Ulamaları... 4 4. Çok rşl-çok Çıkışlı Ssem Ulamaları... 45 4.. enelleşrlmş Önörülü Konrol Ulamaları... 45 5. SOUÇLAR ve ARIŞMA... 48 KAYAKLAR... 49 EKLER... 5 Ek :ranser Mars öserm... 5 Ek : Karesel Form... 53 ÖZEÇMİŞ... 55
SİME LİSESİ A e r o h K M A Haa değer Serbes anı Zorlanmış anı Basamak cevabından elde edlen kasaılar Darbe cevabından elde edlen kasaılar Kaanç vekörü Konrol k ˆn k k adım sonrak önörülen boc değer Mnmm önörü k Maksmm önörü k Konrol k Q da Q,,Q R da R,,R r k k adım sonrak reerans değer û Önörülen konrol snal elecekek konrol snallern çeren vekör eçmşek konrol snallern çeren vekör ŷ k k adım sonrak önörülen çıkış değer V raden λ δ Konrol snalndek arım Ağırlık kasaısı Ağırlık kasaısı x R Q R x Qx v
KISALMA LİSESİ ARMAX Ao-Reressve Movn Averae wh Exoenos Varable Models CARIMA Conroller Ao-Reressve Ineraed Movn-Averae CARMA Conroller Ao-Reressve Movn-Averae DMC Dnamc Marx Conrol PC eneraled Predcve Conrol MPC Model Predcve Conrol OKEK Orak Kaların En Küçüğü PID Propoonal Ineraor Dervave v
ŞEKİL LİSESİ Saa Şekl. MPC sraes Camacho ve Bordons, 4... Şekl. MPC emel apısı... 3 Şekl 3. Darbe ve basamak cevabı... 8 Şekl 3. Serbes ve orlanmış anı... 9 Şekl 3.3 Reerans örünes... Şekl 3.4 PC konrol kralı... Şekl 3.5 Klask kp aama apısı... Şekl 4. S ısııcı... 3 Şekl 4. Basamak cevabı... 3 Şekl 4.3 λ drmnda ssem çıkışı ve konrol snal... 34 Şekl 4.4 λ. drmnda ssem çıkışı ve konrol snal... 35 Şekl 4.5 PI konrollü s ısııcı model çıkışı... 35 Şekl 4.6 PI Konrollü ssem model konrol snal... 36 Şekl 4.7 Basamak cevabı... 37 Şekl 4.8 Kapalı çevrm cevabı, DMC konrollü Van de Vsse reakörü P7... 38 Şekl 4.9 Kapalı çevrm cevabı, DMC konrollü Van de Vsse reakörü P... 38 Şekl 4. Kapalı çevrm cevabı, DMC konrollü Van de Vsse reakörü P5... 39 Şekl 4.a Kapalı çevrm cevabı, PID konrollü Van de Vsse reakörü... 4 Şekl 4.b Kapalı çevrm cevabı, PID konrollü Van de Vsse reakörü... 4 Şekl 4.a Ssem cevabı... 44 Şekl 4.b Konrol snal... 45 Şekl 4.3 Karışırmalı ank reakörü... 46 v
ÇİZELE LİSESİ Saa Çele 4. Basamak cevabı kasaıları... 33 v
ÖSÖZ Ben b çalışmaa önlendren, b çalışmamın her aşamasında bana desek olan e danışmanım Saın Yrd. Doç. Dr. İbrahm Beklan KÜÇÜKDEMİRAL a kmn enşlemesn sağlaan değerl kakılarından dolaı eşekkür ederm. Arıca üksek lsans eğmm bonca bana nansal desek sağlaan ÜBİAK a eşekkür ederm. Her aman her konda anımda olan, eğm haaım bonca madd manev deseklern esremeen, karşılaşığım üm sıkınıları palaşan aleme eşekkür ederm. Yüksek lsans eğmm ve e çalışmalarım bonca bana desek olan Raba BEKAŞ a eşekkür ederm. v
ÖZE Son ıllarda önörülü konrol bakış açısının elşmesle Modele Daalı Önörülü Konrol alormaları hem akademk çalışmalarda hem de endüsrel lamalarda sık erch edlen önemlerdr. B çalışmada da örüleceğ üere pek çok prosese b alormalar çok sonçlar vermekedr. Dğer önemlere öre laması daha kola oldğndan dolaı endüsrde daha ala erch edlmekedr. B çalışmada lk olarak önörülü konrol le ll kısa br leraür araşırması apılarak b kon hakkında daha önce apılmış olan öneml çalışmalarda bl verlmşr. Modele Daalı Önörülü Konrol alormalarının en çok kllanılan üç alorması, enelleşrlmş Önörülü Konrol, Dnamk Mars Konrol ve Model Alormk Konrol anıılmışır. B alormalar hem ek değşkenl hem de çok değşkenl ssemler çn anlaılmışır. üm alormaların konrol krallarının ne şeklde elde edldğ maemaksel olarak ade edlmee çalışılmışır. Arıca b çalışmada enelleşrlmş Önörülü Konrol ve Dnamk Mars Konrol alormaları arklı proseslere lanarak sonçları ölemlenmşr. Önörülü konrol alormaları çok değşkenl örneklere de lanarak çok değşkenl önörülü konrol alormaları da lamalı olarak anlaılmışır. Br örneke PID konrolör le sonçlar karşılaşırılıp b sonçlar hakkında ormlar apılmışır. B çalışmada apılan üm smlasonlar ve hesaplamalar MALAB ve Smlnk proramları kllanılarak apılmışır. Anahar Kelmeler: Model, Önörü, Konrol, Alorma x
ABSRAC Model Based Predcve Conrol alorhms have been sed n academc sdes and ndsral processes becase o developmen o predcve conrol vew a conrol enneern recenl. hese alorhms have scen resls or man deren applcaons as has been ndersood n hs sd. he mplemenaon o alorhms s easer han he oher alorhms. hereore, hese alorhms have been acceped b ndsr. In hs sd here s a hsorcal perspecve or model-based predcve conrol. Wdel sed Model Based Predcve Conrol alorhms; eneraled Predcve Conrol, Dnamc Marx Conrol and Model Alorhmc Conrol are nrodced n hs sd. Boh Snle Inp Snle Op Case and Mlvarable Case are explaned n deals. Calclaon o he conrol laws o all alorhms has been explaned n hs sd. Smlaons o eneraled Predcve Conrol and Dnamc Marx Conrol alorhms or deren processes have been made and he resls o hese smlaons have been observed. here s a comparson o PID Conroller and eneraled Predcve Conroller resls and here are commens abo hs comparson n hs sd. he smlaons and calclaons o he alorhms have been done n MALAB envronmen. Kewords: Model, Predcon, Conrol, Alorhm x
. İRİŞ Modele Daalı Önörülü Konrol 97 lerde oraa aılmış ve ünümüe değn büük ölçüde elşrlmşr. Modele Daalı Önörülü Konrol erm ek br konrolör asarım önemn değl, çok enş br konrol asarım önemler büününü anımlar. B önemlern orak öellğ ssem modelnn doğrdan kllanılması ve konrol şarenn belrl br ölçüe öre mnmmlaşırarak elde edlmesdr. B asarım önemler le elde edlen konrolörler lneer apıdadır. k ŷ k - k Şekl. MPC sraes Camacho ve Bordons, 4 Modele Daalı Önörülü Konrol, ssemn elecekek davranışını opme emek çn lanması ereken konrol dsn hesaplaan br konrolör sınıını nelemekedr. B önemn emel düşünces Şekl. de anlaılmaa çalışılmışır Camacho ve Bordons, 4. Modele Daalı Önörülü Konrol önemler sadece kllanılan ssem model, ürülü modeller ve mnme edlecek olan ölçüler bakımından arklılık öserrler. İlk olarak üç reakörlerndek ve perol ranerlerndek konrol ereksnmlerne bağlı olarak öel elşrlmş olan b önemler, ünümüde kma, ıda, oomov, havacılık, mealür ve kağı endüsrlern kapsaan enş br alana da lanmakadır.
Modele Daalı Önörülü Konrol önemlernn emel lkeler elecekek br aman dlmndek ssem anıını önöreblmek çn ssem modelnn kllanılması Br ölçüü mnmmlaşırarak br konrol rş dsnn hesaplanması Kadırma şlem, an her örnekleme anında kn eleceğe doğr br kadırılması, her adımda elde edlen konrol şare dsnn lk elemanının lanması olarak verleblr Camacho ve Bordons, 4. Modele Daalı Önörülü Konrol alormalarının emel adımları ş şeklde sıralanablr: Ssem modelnden ararlanarak, önörü k denlen, belrlenmş br k bonca elecekek ssem anıı hesaplanır. B anılar o ana kadar blnen değerlereçmşek rşler ve ssem anıları, o andak ssem anıı ve elecekek konrol çıkışları kllanılarak hesaplanır. eleceğe lşkn konrol şare ds br başarım ölçüünü mnmmlaşırarak, enellkle önörülen ssem çıkışı le reerans örünes arasındak haaı mnmmlaşırarak hesaplanır. Sadece o andak konrol çıkışı sseme lanır. Br sonrak örnekleme amanında ölçülür ve brnc adım ekrarlanır. Bölece kadırma önem le hesaplanmış olr. Mnmmlaşırılan ölçü enellkle önörülen çıkış le reerans örünes arasındak haanın karesel onksondr. Eğer model lneer, ölçü karesel se ve sınırlandırmalar oksa analk br çöüm blnablr, aks drmlarda era opmason önemlern kllanmak erekr Camacho ve Bordons, 4. Modele Daalı Önörülü Konrolün emel apısı Şekl. de verlmşr Camacho ve Bordons, 4. Model öncek ssem rş ve çıkışları ve önörülen konrol rşlerne bağlı olarak ssemn elecekek anılarını önörmeke kllanılır. B konrol rşler opmason şlem le elde edlr.
3 Reerans Yörünes eçmşek rş ve Çıkışlar Model Önörülen Çıkışlar - elecekek Konrol rşler Opmason İşlem elecekek Haalar Ölçü Sınırlandırmalar Şekl. MPC emel apısı elşrlmş pek çok Modele Daalı Önörülü Konrol alorması blnmakadır. B alormalarda kllanılmaka olan arklı modeller vardır. En aın olarak kllanılan modellerden br basamak anıı modeldr. B modeln aın olarak kllanılmasının sebeb sseme basamak rş landığında ssem çıkışını ölçmek model paramerelern blmak çn eerldr. B modeln başka br avanaı se çok değşkenl ssemler çn de kllanılablr olmasıdır. B model çok saıda paramereden olşr ve sadece açık çevrm olarak kararlı ssemlerde kllanılablr Camacho ve Bordons, 4. Darbe Yanıı model se b modele çok bener br modeldr. Darbe Yanıı modelnde sseme darbe rş lanarak model paramereler blnr Camacho ve Bordons, 4. ranser onkson model, paramere saısı a ve her ürlü ssem çn n oldğndan akademk dünada en aın olan ve çoğ konrolör asarımı önemlernde kllanılan br modeldr Camacho ve Bordons, 4. Drm aı model se çok değşkenl ssemler kolalıkla anımlaabldğnden dolaı baı alormalarda kllanılmakadır. Drm aı kavramının Modele Daalı Önörülü Konrol kramına akarılmasıla ölçülen değşkenlerde raslanısal bocların blnması b daha
4 karmaşık problemlern ele alınmasını sağlamışır Camacho ve Bordons, 4. Modele Daalı Önörülü Konrol önemlernn elşrlmesnde opmason şlem öneml br kondr. Eğer ölçü karesel se çöüm eçmş rş ve çıkışlara ve elecekek rşlere bağlı olarak lneer br onksonla ade edleblr. Sınırlandırmaların olması drmnda se çöüm daha çok şlem erekren era aklaşımlar le elde edleblr Camacho ve Bordons, 4. Modele Daalı Önörülü Konrol eknkler kllanılan model ve seçlen başarım ölçüler bakımından brbrlernden arklılaşmakadırlar. Aşağıda baı emel Modele Daalı Önörülü Konrol eknkler verlmşr: Dnamk Mars Konrol Dnamc Marx Conrol, DMC: B önem lk olarak 973 ılında Shell araından kllanılmışır. B önemde basamak anıı model kllanılır. B alorma kllanılarak ssem rş ve çıkışlarındak sınırlandırmaları ö önünde blndran ve qadrac proramlama kllanan Qadrac Dnamc Marx ConrolQDMC önem elşrlmşr. B alorma arık drm aı model çn de lanmaa ndr. Model Alormk Konrol Model Alorhmc Conrol, MAC: B alorma, alnı açık çevrmde kararlı ssemler çn n olan darbe anıı modeln kllanır. Alorma, ssem çıkışı le brnc derece br ssem olarak elde edlen rş örünes arasındak arkı mnme emekedr. enelleşrlmş Önörülü Konrol eneraled Predcve Conrol, PC: İsenlen br ağırlıka konrol ücünün er aldığı karesel br başarım ölçüü ve ARMAX Ao-reressve movn averae wh exoenos varable models model kllanılır. Kısılamaların olmadığı drmda analk br çöüm blnmakadır Clarke, Mohad ve s, 987b. B önemler çersnde Dnamk Mars Konrol ve enelleşrlmş Önörülü Konrol en aın kllanılan önemlerdr. Modele Daalı Önörülü Konrolün dğer konrol önemlerne öre üsünlüklernden baılarını ş şeklde sıralaablr Camacho ve Bordons, 4. Kavramlar sesel oldğ ve anı amanda paramere aarları dğer önemlere öre
5 kola oldğ çn konrol bls sınırlı olan çalışanlara çekc elmekedr. Çok bas dnamğe sahp olan proseslerden kararsı, mnmm alı olmaan, çok n ölü amanı blnan prosesler b daha karmaşık dnamklere sahp olan çok çeşl proseslern konrolünde kllanılablr. Çok değşkenl ssemlern konrolünde kllanılablr. Ölü aman eksn derme öellğne sahpr. Ulaması kola doğrsal br konrol kralı elde edlr. eleceğe lşkn rş şare blndğnde oldkça ararlı ve kllanışlıdır. Belrl emel lkeler üerne krlmş elşrlmee amamen açık br önemdr. B üsünlüklern anı sıra Modele Daalı Önörülü Konrolün eksk önler de vardırcamacho ve Bordons, 4: Ssem dnamğnn değşmedğ drmlarda konrolörün elde edlme şlem önceden apılablr ancak arlamalı konrol apılıorsa üm hesap şlemler her örnekleme amanında ekrarlanır. En öneml sorn se sseme lşkn n modeln elde edlmesdr. Alorma ssem modelnden ararlanılarak eleceğe lşkn ssem anıının elde edlmesne daandığından dolaı erçek ssemle anı arasındak arklılık arıkça senlen ssem anıını elde emeke sornlar aşanır.
6. MODELE DAYALI ÖÖRÜLÜ KOROL LİERAÜR ARAŞIRMASI 97lern sonna doğr Model Önörülü Konrol önemnn endüsrde lanması le ll pek çok makale çıkmaa başlamışır. Rchale 978 de Model Alormk Konrol alormasını, Cler ve Ramaker se 98 ılında Dnamk Mars Konrol alormasının lk prensplern oraa amışlardır. Her k alormada da elecekek konrol harekelernn ssem çıkışı üerndek eklern önöreblmek çn dnamk br proses model kllanılmışır. Model Alormk Konrol alormasında darbe anıı kasaıları kllanılırken, Dnamk Mars Konrol alormasında basamak anıından elde edlen kasaılar kllanılmışır. B çalışmalarda önörülen konrol snaller önörülen haaı en aa ndrecek şeklde seçlmee çalışılmışır. arca 98 l ıllardak MPC alormalarının perokma seköründek pek çok arklı lamasını br çalışma alında oplamışır. B lamaların pek çoğ sınırlandırmalar çeren çok değşkenl ssemlerde kllanılmışır. Clarke enelleşrlmş Önörülü Konrol alormasını 987 dek çalışmasında oraa amışır. B alorma enelleşrlmş Mnmm Varans meodnn emellerne daanmakadı. Arıca b emellere daanmaka olan Rchale n Önörüsel Fonksonel Konrol ve Söeerboek n 99 de çalışmasındak Brleşrlmş Önörülü Konrol b alormalar lerleen amanlarda oraa çıkmışır. Morar 994 dek çalışmasında Model Önörülü Konrol alormasının drm aı ormnda lanması le ll olarak br çalışma apmışır. B çalışma drm aı eorlernn b alormada kllanılmasını sağlamakla beraber çok değşkenl ssemler, lneer olmaan ssemler b pek çok kompleks ssemler çn b konrol önemnn enelleşrlmesnde büük rol onamışır. enelleşrlmş Önörülü Konrol alorması üerne apılan lk çalışmalarda daanıklılık üerne baı eoremler elşrlmş olsa da önörülü konrolörler le ll enel kararlılık sonçlarının eksklğ blnmakadı. Clarke ve Scaoln 99 ılında Sınırlandırılmış Kaan Uk Önörülü Konrol alormasını elşrerek sonl br k sonnda çıkışa br eşlk sınırlandırması ererek alormanın kararlılığını spalamışlardır. D. Q. Mane kararlılığı kanılanmış üm önörülü konrol ormülasonlarını öelemşr. B çalışmada kararlı ve sınırlandırılmış br model önörülü konrolör asarlamak çn erekl olan drmlar anlaılmışır.
7 3. MODELE DAYALI ÖÖRÜLÜ KOROL 3. Modele Daalı Önörülü Konrol Alormalarında Kllanılan Modeller B bölümde MPC alormalarında kllanılan arklı ssem modeller ve b modellern elde edlmes anlaılmışır. 3.. Basamak Yanı Model Modele Daalı Önörülü Konrol alormalarında aın olarak kllanılan modellerden br basamak anıı modeldr. Dnamk Mars Konrol önem b model kllanmakadır. rş çıkış lşks 3. le verlr. Bradak ler sseme basamak rş landığında elde edlen çıkışın örneklenmş değerlerdr. örüldüğü b ssem çıkışına lşkn değer ö önüne alınmış, sons oplam apılmamışır. B nedenle b model neraor çermeen ve kararlı doğrsal ssemler çn ndr. - ssemn arık ranser onkson ve - eckrme operaörüdür. 3. B model kllanılarak önörü ades 3. şeklnde aılablr Camacho ve Bordons, 4. k ˆ k 3. 3.. Darbe Yanıı Model B model, Model Alormk Konrol alorması kllanmakadır. rş çıkış lşks 3.3 le verlr. h ler sseme darbe rş landığında elde edlen çıkışın örneklenmş değerlerdr. h H 3.3 Darbe anıının kasaıları le basamak anıının kasaıları arasında 3.4 ve 3.5 de verlen lşkler blnmakadır. h 3.4 h 3.5
8 B model kllanılarak önörü ades 3.6 şeklnde aılablr. k H k ˆ k h 3.6 h h h h Şekl 3. Darbe ve basamak cevabı 3..3 ranser Fonkson Model Paramere saısı a olması ve her ürlü lneer sseme nlk avanaları sebeble aın olarak kllanılan br modeldr. enelleşrlmş Önörülü Konrol alorması b model kllanmakadır Camacho ve Bordons, 4. Ssem çıkışı ve ssem rş ve A a a... a na na 3.7 B b b b... b nb nb 3.8 olmak üere rş çıkış lşks 3.9 le verlr. A B 3.9 B modeln önörü ades se 3. olarak aılablr Camacho ve Bordons, 4. k B ˆ k 3. A
9 3..4 Drm Ua Model Drm aı model, çok değşkenl ssemlern anımlanmasında kolalık sağladığından dolaı Önörüsel Fonksonel Konrol Predcve Fncon Conrol b baı Modele Daalı Önörülü Konrol alormalarında kllanılmakadır. öserm 3. de ade edldğ şeklde apılmakadır Camacho ve Bordons, 4. x Ax B Cx 3. B denklemlerde xdrm değşken, A, B ve C sırasıla ssem mars, rş mars ve çıkış mars olarak ade edlmekedr. Önörü model 3. de öserldğ şeklde ade edlmekedr Camacho ve Bordons, 4. k k ˆ k Cxˆ k CA x A B k 3. B ösermn avanalarından br, ek değşkenl ssemlerdek öserm anı şeklde çok değşkenl ssemlerde de kllanılablmesdr. Konrol kralı, drm vekörünün lneer br kombnasonn er beslemes olarak elde edlmşr. Eğer baı drmlar lenemorsa b drmda br ölemlec asarlanıp önörü alormasına eklenmes erekmekedr. 3. Serbes ve Zorlanmış Yanı Şekl 3. Serbes ve orlanmış anı
Şekl 3. de ade edlen serbes ve orlanmış anı, pek çok Model Önörülü Konrol önemnde kllanılan paramerelerdr. B paramerelern kllanılmasındak asıl amaç, konrol snaln 3.3 de oldğ b k arklı snaln oplamı olarak ade emekr. 3.3 c snal eçmşek rş snallerne karşılık elmekedr. elecek amanlarda aarlanan değşkennn son değerne eş olr ve b değerde sab lr. or,, or,,, 3.4 c snalnn se eçmş amanlardak değer sıırdır, elecek amanlarda se br sonrak konrol snalnn değern alır. or,, c or,,, c 3.5 Ssemn çıkış snalnn önörüsü de şeklden örüleceğ üere ke arılmışır. Serbes anı olan ; ssemn aarlanan değşken, e eş oldğ aman elde edlen çıkış önörüsüdür. Zorlanmış anı olan c se konrol ds e eş oldğ aman elde edlen proses çıkış önörüsüdür. Serbes anı, prosesn o andak drmna öre değşmne karşılık elrken orlanmış anı, prosesn elecekek konrol harekelerle brebr lldr Camacho ve Bordons, 4. c 3.3 Model Önörülü Ssemlerde Kllanılan Paramereler 3.3. Male Fonkson Farklı Model Önörülü Konrol alormaları konrol kralını belrlemek amacıla arklı male onksonları belrler. Male onksonndak enel amaç senen önörü knda elecekek ssem çıkışının daha önceden belrlenmş br reerans snaln akp emes ve anı amanda erekl konrol snalnn de bell sınırlar çnde lp cealandırılmasıdır. üm b amaçları sağlaan male onkson çn enel ade 3.6 şeklnde aılablr Camacho ve Bordons, 4.
J,, δ [ ˆ w ] λ [ ] 3.6 3.3. Önörü ve Konrol Uk Male onksonnda ade edlen ve sırasıla mnmm ve maksmm önörü klarına karşılık elmeke olp, se konrol k olarak adlandırılmakadır. δ ve λ kasaıları se male onksonnda elecekek ssem davranışını belrleen ağırlık kasaılardır. B kasaılar enellkle sab değerler vea üsel adeler olarak seçleblrler. Örnek olarak, 3.7 de öserldğ şeklde δ seçldğnde b drmda üsel br ağırlık kasaısı seçlmş olr. δ α 3.7 Eğer < α < seçlrse b drmda anından en akak haalar, anına daha akın haalara öre daha ala cealandırılırken ssem cevabının senlen reerans değerne ükselmesne daha dü br şekl verr ve daha a br konrol snal lanmasını sağlar. Öe andan, eğer α > seçlrse b drmda lk haalar daha ala cealandırılıp daha sıkı br konrol snal lanmış olr. Anlaılan kasaıların amamı, sandar br konrol snalnden öel prosesler çn ölçüm apılarak hesaplanan üm konrol snallerne kadar endüsrde kllanılan üm model önörülü konrol alormaları çn aar paramereler olarak kllanılablrler Camacho ve Bordons, 4. 3.3.3 Reerans Yörünes Önörü konrolün alormalarının avanalarından br de eğer elecekek reerans değerler blnorsa, reerans değşklğ ssemn cevabını eklemeden ssem b değşklğe kendn adape ederek ssem cevabında olablecek eckmelern önüne eçlecekr. Robo çalışmaları, servolar ve keskl prosesler b pek çok lamada reeransın elecekek drm olan r k daha önceden blnmekedr. Model önörülü konrol alormalarının büük bölümünde, ssemn o andak çıkış değernden senlen reeransa doğr düün aklaşım olan w k kllanılır. w w k α w k α r k k 3.8 < α < değer aarlanablen br değer olp, ssemn dnamk cevabını eklemekedr. Şeklde örüldüğü üere r k reerans değer sab seçlmş olp α parameresnn k
arklı değer çn drm ncelenmşr. Şekl 3.3 de öserldğ b α parameresnn küçük değerler çn reeransı hılı akp edeblme eeneğ w ön plandaken, daha büük α değerlernde reerans örünesne daha düün br ükselme cevabı w sağlamakadır Camacho ve Bordons, 4. rk w k w k Şekl 3.3 Reerans örünes 3.4 Dnamk Mars Konrolü Dnamk Mars Konrolü, Shell Perol şrkenn ereksnmler üerne Cler ve Ramaker araından emşl ılların sonna doğr elşrlmşr. İlerleen ıllarda perokma endüsrs başa olmak üere endüsr dünasında kabl örmüşür Camacho ve Bordons, 4. 3.4. Ssem Model Kllanılarak Önörü Paramerelernn Blnması Ssem model 3.9 da ade edldğ b olşrlr. 3.9
3 Önörü değerler se 3. de ade edldğ şeklde elde edlr. ˆ ˆ ˆ k n k k k n k k k k 3. Boc; 3. de öserldğ üere ssem çıkışı le model çıkışı arasındak ark olarak modellenr ve k bonca sab kabl edlr. ˆ ˆ ˆ n k n m 3. 3. de kllanılan m ölçülen ssem çıkışıdır. B drmda önörülen ade 3. de öserldğ şeklde blnr. Brada k ssemn elecekek konrol şarelerne bağlı olmaan serbes ssem anııdır. ˆ k k k k 3. Serbes ssem anıı; 3.3 ades le hesaplanablr. k m k 3.3 Uk bonca önörü değerler, 3.4 de ade edldğ üere m konrol şare kllanılarak hesaplanır. ˆ ˆ ˆ p p p p m p p 3.4
4 Ssemn dnamk mars ; 3.5 bçmnde anımlanır. m p m p pm 3.5 ˆ 3.6 3.6 kllanılarak önörü denklem elde edlr. mars mkonrol k bo sündan, pönörü k bo saırdan olşmakadır. Her süna ssemn basamak anıı aşağıa brer kadırılarak erleşrlmşr. ŷ, ssemn önörü değerlernden olşan p bol vekör; û, m bol konrol arımları vekörü ve serbes anı vekörüdür. 3.6 ades konrol arımları le elecekek ssem anılarını lşklendrmekedr. B nedenle senlen ssem davranışını olşrmak çn erekl konrol davranışını elde emeke kllanılablr. 3.4. Ölçüleblen Bocların Ele Alınması Ölçüleblen boclar kolaca önörü denklemlerne ekleneblmekedrler. Ölçüleblen boclar ssem rşler olarak düşünüleblrler ve boc önörüsü ades 3.7 kllanılarak hesaplanablr Camacho ve Bordons, 4. ˆ Dd 3.7 d d 3.7 adesnde ŷ d ölçüleblr bocnn ssem çıkışına eks, D bocdak basamak p br değşme lşkn ssem anıının kasaılarını çeren marsne bener br mars, d boc arımları vekörü ve d anıın boca bağlı olmaan kısmıdır. Ölçüleblr ve ölçülemeen bocların blndğ en enel drmda ssemn serbes anıının ssem anıının elecekek konrol rşlerne bağlı olmaan kısmı dör eknn oplamından olşğ düşünüleblr. O andak rş, ölçüleblen boc d, ölçülemeen boc ve ssemn erçek drmdr.
5 B drmda önörü 3.8 le öserleblr. ˆ 3.8 3.4.3 Konrol Kralının Elde Edlmes Dnamk Mars Konrol alorması kısılamalar çeren üksek bol çok değşkenl ssemlerdek lamalardan elmekedr. B çalışmada se ek değşkenl ve kısılamaları değerlendrmeen konrol alorması ncelenmşr. Dnamk Mars Konrolünde amaç ölçüü en küçük kareler önemn kllanarak ssem çıkışı le reerans değer arasındak arkı mümkün oldğnca aalmakır. B nedenle konrol değşkenler; 3.9 kllanılarak elecekek haaların karesel oplamı olan br amaç ölçüünü a da 3.3 kllanılarak haaa ek olarak konrol ücünü de çeren br amaç ölçüünü mnme edecek bçmde seçlr. J J P J P J [ ˆ w ] 3.9 m [ ˆ w ] λ [ ] 3.3 üm önörü sraelernde vekörünün sadece lk elemanı sseme lanır. Konrol k bonca hesaplanan üm d sseme lanma çünkü boc vekörünü haası olarak elde emek ve ssem çıkışını model çıkışından arklı kılacak kaçınılma bocları enellemek olanaklı değldr. Arıca leen m örnekleme aralığı çnde reerans değşeblr. λ I w 3.3 3.5 enelleşrlmş Önörülü Konrol enelleşrlmş Önörülü Konrol alorması, 987 de D. W. Clarke araından önerlmşr. Brçok endüsrel prosese lanmış olp, br başarım ve bell ölçülerde daanıklılık elde edlmşr Clarke vd., 987a. 3.5. Ssem Model Kllanılarak Önörü Paramerelernn Blnması ek rşl ek çıkışlı ssemler br dene nokası eraında lneerleşrlerek 3.3 bçmnde ade edleblr. B denklemde e beklenen değer sıır olan bea ürülü, d se ssemn ölü
6 amanıdır. e C B A d 3.3 A, B ve C polnomları se 3.33, 3.34 ve 3.35 olarak verlmşr. na a na a a A... 3.33 nb b nb b b b B... 3.34 nc c nc c c C... 3.35 B model Conroller Ao-Reressve Movn-Averae CARMA olarak blnmekedr. Endüsrde kllanılan ssemlern çoğ drağan olmadığından dolaı enere edlmş CARMACARIMA modelnn daha n olacağı düşünülmüşür. CARIMA model, 3.36 da ade edldğ şeklde olşrlmşr., e C B A d 3.36 Baslk amacıla boca lşkn modelde C - arklı seçleblr. B drm renkl ürülü drm olarak adlandırılmakadır. enelleşrlmş Önörülü Konrol alorması le verlen amaç ölçüünü mnme edecek konrol şare dsn sapamaa çalışır. w J ] [ ] ˆ [,, λ δ 3.37 3.37 de ˆ, anındak bllerden ve modellerden ararlanarak elde edlen adım lerdek opmm ssem çıkışı önörüsü, mnmm ölçü k, maksmm ölçü k, δ ve λ ağırlık paramereler, w se elecekek reerans örünesdr Camacho ve Bordons, 4. Opmm ˆ önörü değerler elde edlrken ve aralığı kllanılır. Dophanne eşlğ; 3.38 de verlmşr. ~ ~ A A F A E 3.38
7 E ve F polnomları sırası le - ve na derecel polnomlardır ve ek olarak belrleneblrler. B polnomlar saısını, kalan F n çarpanı olana dek ~ A e bölerek elde edleblrler. B bölmenn bölümü E polnomdr. ~ e E d B E E A 3.39 3.39; 3.4 olarak aılablr. e E d B E F 3.4. 3.4 ekrar düenlendğnde 3.4 elde edlr. e E d B E F 3.4 E polnomnn dereces - oldğndan karıdak eşlkek ürülü erm eleceğe lşkndr. çn en önörü ades 3.4 olacakır. ˆ F d 3.4 3.4 adesnde B E 3.43 olarak seçlmşr. E ve F polnomlarını elde emek çn rekürs önemler vardır. Brada se bas br önem ele alınacakır. E ve F polnomları, saısı F kalanın çarpanı olana kadar ~ A e bölünerek elde edlr. B polnomlar 3.44 ve 3.45 şeklnde anımlanablr. na na F,,, 3.44,,, e e e E 3.45 Anı önem E ve F elde emek çn de kllanılır. B drmda se saısı F kalanın çarpanı olana dek ~ A e bölünsün. B drmda F 3.46 da öserldğ şeklde elde edlr.
8 F na,,, na 3.46 B drmda E ve F elde edlp E ve F nn elde edlmes çn bölmenn br adım daha apılması eerl olacakır. E polnom se 3.47 de ade edlen şeklde olacakır. E E e, 3.47 e,, olacağından dolaı F polnomnn kasaıları 3.48 de belrlen ade edlecekr. ~, na 3.48,,,a B denklemler kllanılarak 3.49 ve 3.5 le ade edlen eşlkler elde edlr. E B E B 3.49,, B 3.5 B önem kllanılarak br Malab alorması aılarak Dophanne denklem çöümü apılablr.,,,b, nb 3.5 enelleşrlmş Önörülü Konrol problemnn çöüleblmes çn 3.5 adesnde öserlen ölçüü mnme edecek konrol şare dsnn blnması erekmekedr. Eğer ssemn ölü amanı d örnekleme amanına eş se ssem çıkışı ssem rşnden d örnekleme amanı sonra eklenecekr. B nedenle mnmm önörü kn d den küçük seçmek anlamlı olmaacakır. B şarlar alında d, d ve seçleblr. J,, δ [ ˆ w ] λ [ ] 3.5 Önörü k bonca önörü değerlern 3.53 dek şeklde elde edelm. ˆ d ˆ d d ˆ d d F d d F d F d 3.53
9 B değerler opl br ade olarak 3.54 de öserldğ şeklde aılablr. ' F 3.54 B opl adedek elemanlar se 3.55, 3.56, 3.57 ve 3.58 de öserlen açık adelerle verlmşr. ŷ d ŷ d ŷ d n 3.55 3.56 d d d 3.57 F F F F d d d 3.58 Eğer anında sseme br basamak rş lanırsa, öle k 3.59 dak şarlar sağlansın; çıkışın beklenen değerler [ ] ˆ,, ˆ, ˆ, marsnn brnc sünna eş olacakır.,,, 3.59 Serbes anı, rekürs olarak 3.6 ades kllanılarak hesaplanablr. } {, ~ d B A 3.6
3.5. Konrol Kramının Elde Edlmes enel ades kllanılarak amaç ölçüü 3.6 bçmnde aılablr. J w w λ 3.6 3.6 daha sade br ade le amak sersek 3.6 elde edlr. J H b 3.6 3.6 de; 3.63 dek adelere er verlmşr. H λi b w w w w 3.63 J ölçüünü mnmm apmak çn ereken konrol kralı, kısılamaların blnmadığı drmlarda J nn ürev alınıp sııra eşlenerek 3.64 ades olarak blnablr. H b λ I w 3.64 B drmda 3.64 de elde edlen vekörünün sadece lk elemanı sseme lanır. λ I 3.65 3.65 adesnde elde edlen marsn lk elemanı K olmak üere, 3.66 şeklnde elde edleblr. K w 3.66 3.66 dan anlaşılacağı üere, eğer eleceke ssemn serbes anıı le reerans arasında önörü haası oksa w b drmda ssemn serbes anııla senlen drm sağlandığından dolaı sseme konrol snal lanmaacakır. Aks akdrde an ssemde önörülen br haa varsa b drmda elecekek b haaa bağlı olarak konrol snalnde K vekörüne bağlı olarak br arım olacakır. Brada dkka edlmes ereken noka; sseme lanan konrol harekenn eçmşek ssem haalarından değl, elecekek önörülen ssem haalarından eklenmesdr. B drm se model önörülü konrol alormalarını dğer alormalardan aıran en öneml öellklerden brdr.
Şekl 3.4 PC konrol kralı 3.5.3 enelleşrlmş Önörülü Konrolün Kapalı Çevrm Eşdeğer Kısılaması enelleşrlmş Önörülü Konrolün kapalı çevrm eşdeğer şekldek b elde edleblrcamacho ve Bordons, 4. Şekl 3.5 Klask kp aama apısı
Konrol kralı enden aılırsa 3.67 de belrlen şeklde aılablr. B denklemde R, ve S polnomlardır. B konrol kralı br er besleme bleşen S/ ve br ler ol bleşennden /R olşmşr. S w 3.67 R R B drmda, konrol kralı düenlenerek 3.68 dek şeklde ekrar aılablmekedr. K w k[ w ] 3.68 enel drmda serbes anıı elde emek çn kllanılan C - polnom sıırdan arklı seçlr. Ancak enellkle b polnom br ssem anıma önem le elde edlme. Bocların amanla değşen karakersklern modellemek kola olmadığından dolaı b drm çn b polnoma sab ölec a da ön lre olarak nelendrlen polnom aanacakır. enelleşrlmş Önörülü Konrol çn CARIMA modeln ekrar aılırsa 3.69 elde edlr. e A B 3.69 polnomn çeren 3.7 dek Dophanne denklem le 3.7 dek Dophanne denklem çöülüp serbes anı olan I, F ve polnomları cnsnden elde edlr. E A F 3.7 E B H I 3.7 Eşlğ enden amak erekrse 3.7 ades aılablr. K w k [ w ] I F k w k 3.7 R ve S polnomları se eşlkek konrol kralı ssem model adesnde erne konlrsa reeransın ve bocnn onkson olarak çıkış ades elde edlr. B çıkış adesnden karakersk polnom elde edlerek blnen önemlerle kararlılık ncelemes apılablr.
3 Brada öneml br noka se karakersk polnomn kökler le konrol paramereler olan,, ve λ arasında doğrdan lşk krmak ordr Camacho ve Bordons, 4. B nokada polnomnn seçm önemldr. B polnomn kapalı çevrm ssemn daanıklılığına eks üerne çeşl çalışmalar apılmışır Clarke, 99. 3.6 Model Alormk Konrol Önörülü Konrol alormaları çnde en bas ormülason olan önemdr. Brkaç küçük ark dışında b çalışmada da anlaılmış olan Dnamk Mars Konrol alormasına oldkça benemekedr. Eğer ssem model aılırken br haa apılırsa ranser onkson modeller haalı sonçlar vereblmekedr. Dğer anda se ssemn darbe rş cevaplarının anımlanması kola oldğndan dolaı ssemn darbe cevapları kllanılarak elde edlen konrol kralı oldkça br seçm olarak öükmekedr Rchale vd., 978. 3.6. Ssem Model ve Önörü anındak ssemn çıkışı, 3.73 adesnden de örüleceğ üere ssemn darbe anıı le olşan kasaılarla akından lldr. H h 3.73 B modelden de anlaşılacağı b herhan br andak ahmn edlen çıkış değer, eçmş rş değerler le ssemn darbe anıı olan h ağırlıklarının lneer br kombnason olarak hesaplanmakadır. Model kllanılarak k adım öes çn çıkış önörüsü 3.74 dek ade olarak aılablr. k n k h k ˆ ˆ 3.74 3.74 de kllanılan oplam ormülü 3.75 de öserldğ üere ke arılablr. k o k r k h k k h k 3.75
4 B denklemlerde r serbes anıı, o se orlanmış anıı ösermekedr. B ormüllerde elecekek bocların ş ank anındak değerlernde sab kalacağı kabl edlmşr. B drmda n ˆ k nˆ ades aılablr. Boc, ölçülen çıkış değerle nomnal model kllanılarak önörülen çıkış değer arasındak arkır. nˆ k nˆ h 3.76 Önörü ades se 3.77 de ade edlen şekldedr. ˆ k nˆ 3.77 r o 3.78 ve 3.79 da belrlen marslerde M önörü aralığı, hedelenen konrol snallern çeren vekör, eçmş konrol snaller çeren vekör, önörülen çıkış değerler, n boc değerler, reerans vekörü olan w senen değere dü br aklaşım örünes olarak kabl edlrse ssemn darbe anıı kasaılarından olşan marsler de 3.8 de öserlen şeklde anımlanablr Camacho ve Bordons, 4. ˆ ˆ M ˆ M ˆn w ˆn w n w ˆn M w M 3.78 3.79 H h h h h h h h h h h h h h 3 H M M M 3.8 B drmda önörü çıkışı 3.8 ades olarak aılablr. H H n 3.8
5 3.6. Konrol Kralının Elde Edlmes Konrolör hesaplanmasındak emel amaç; reerans örünes le önörülen çıkış arasındak arkın karesel oplamının mnmm olarak lmasıdır. Model Alormk Konrol alormasında kllanılan reerans örünes ssemn o andak değernden senen değere doğr dü br aklaşım olarak kabl edlmşr. B örüne brnc dereceden br ssem olarak 3.8 dek b ade edleblr. w k α w k α r k k wh w 3.8 Reerans örünesnn şekl α değernn seçlmesne bağlıdır. Reerans örünes, senen nokaa aklaşma hıını belrlemekedr. B drm, lamalarda şöle br avana sağlamakadır. Reerans örünes an α değer değşrlerek alormanın cevabının nasıl olacağı aarlanablr. Zaman sabn arırmak daha avaş ancak daha daanıklı br ssem cevabı verecekr. B drmdan da örüldüğü üere b paramere ssemn kapalı çevrm daanıklılığını brebr ekleen br akördür. Model Alormk Konrol önemnde kllanılan α, dğer model önörülü konrol alormalarında kllanılan ağırlık kasaıları vea önörü k nlkları b paramerelerden daha sesel ve sseme doğrdan eken br parameredr. B alormada male onkson, hem haaı hem de konrol snaln mnmm değere ermek çn elde edlmşr. elecekek ssem haaları 3.83 dek şeklde ade edleblr. e w w H n H w H 3.83 vekörü; eçmşek rşler, şmdk amana a çıkış ve reerans değerler b blnen değerler çermekedr. B drmda male onkson 3.84 de ade edlen şeklde aılablr. J e e λ 3.84 Eğer ssem rşlernde sınırlamalar oksa b drmda çöüm 3.85 şeklnde aılablr. H H λ I H w 3.85 B alormada kaan k önem kllanıldığından dolaı vekörünün sadece lk elemanı sseme lanır. Hesaplamaları br sonrak örnekleme amanında ekrarlaarak sseme lar.
6 H H λ I H w konrol kralının hesaplanması, M M marsnn ersnn alınması şlem çermesne rağmen dğer alormalarla karşılaşırıldığında oldkça kola br önem olarak örülmekedr. B alormada dkka edlmes ereken br noka; eğer elecekek ssem rşlernn saısı bonda oldğndan dolaı, b mars hesaplamaları aalacakır. P < M olacak şeklde seçlrse, H mars M P P P bonda olacakır. B drm erekl Alormanın lama kolalığından ve senldğnde sınırlamaların alormanın çne ekleneblmesnden dolaı Model Alormk Konrol önem, ünümüde endüsrde en çok kllanılan önemlerden br halne elmşr. 3.7 Çok Değşkenl Modele Daalı Önörülü Konrol B bölümde DMC ve PC alormalarının çok değşkenl ssemlere lanması anlaılmışır. 3.7. Çok Değşkenl Dnamk Mars Konrol B alorma çok değşkenl ssemler çn enşlelrken ana eşlkler anı kalacakır. Sadece marslern ve vekörlern boları büüecek ve n şeklde bölümlendrlecekr Camacho ve Bordons, 4. Çıkışlara lşkn önörü değerler 3.86 da öserldğ şeklde ade edleblr. ˆ [,, p,, n,, n p ] 3.86 elecekek konrol şareler ds, 3.87 dek şeklde anımlanablr. ] [,, m,, n,, n mn 3.87 Serbes anı se 3.88 de anımlanmışır. ] [,, p,, n,, n p 3.88 mars se 3.89 da belrldğ şeklde olacakır. n n n n nn 3.89
7 B anımlamalar kllanılarak önörü denklemler anen kllanılablr. 3.7. Çok Değşkenl enelleşrlmş Önörülü Konrol m-rşl, n-çıkışlı çok değşkenl sseme a CARIMA model 3.9 da öserldğ şeklde aılmakadır. A B C e d 3.9 3.9 de A Bordons, 4., B ve C polnomları açık şeklde ade edlmşr Camacho ve A I A A... A na nxn na B B B B... B nb nb C I C C... C nc nxn nc 3.9 Anı şeklde perormans ölçüü, çok değşkenl ssemler çn 3.9 de öserldğ b aılablr Camacho ve Bordons, 4. J,, 3 ˆ w R Q 3.9 B denklemde R ve Q kesn po ağırlık marslerdr. ˆ, anına kadar elmde olan ssem blsn kllanarak adım öedek opmm ssem çıkışı önörüsüdür. ve sırasıla mnmm ve maksmm önörü kdr. w se çıkış vekörü çn eleceke mes senen reerans değerdr. Eğer bea ürülü drm ele alınırsa, lk bölümde ek rşl ek çıkışlı ssemler çn aılan Dophanne eşlğ b bölümde ürülü drmnda C I n n olarak alınır. 3.93 de ade edldğ şeklde aılır. Bea ~ I n n E A F 3.93 B denklemden ararlanılarak 3.94 de aılan önörü ades elde edleblr. ŷ F E B ŷ 3.94
8 3.94 dek adelerden ararlanarak ade önörüden olşan br küme aalım. ˆ ˆ ˆ 3.95 ˆ ˆ ˆ ˆ 3.96 B ade se şeklnde de aılablr. Konrol şarenn 3 adım sonra sab ldğ drmda se perormans ölçüünü ekleen önörü değerler 3.97 de öserlen ade le aılır. 3 3 3.97 B adede 3.98 de öserlen eşlkler kllanılmışır. ] [, ] [ ], [ 3 3 3.98 < çn olmak üere 3.99 da öserlen 3 mars, nn br al marsdr. 3 3 3 3 3.99 Perormans ölçüü, 3. dek ade olarak enden aılablr. 3 3 3 3 3 3 Q w R w J 3. B adedek,, R R da R ve,, Q Q da Q olarak ade edlr. Kısılamaların olmadığı drmda konrol kralı 3. de ade edldğ şeklde aılablr. 3 3 3 w R Q R 3.
9 Kaan k lkes ereğ sadece hesaplamak eerl olacakır. B nedenle 3. de ade edlen marsn sadece lk m saırık olarak adlandırılsın hesaplanmalıdır. Uarlamalı konrolün apılmadığı drmlarda önceden o-lne olarak hesaplamalar apılablr. B drmda konrol kralı w K olarak ade edlr. R Q R 3 3 3 3. Ölçüleblen boclar da çok değşkenl ssemlerde ele alınablmekedr. Çok değşkenl br ssemn 3.3 de öserlen CARIMA modeln ele alalım. e C v D B A 3.3 B modelde v, n bonda anındak ölçüleblen bocları çeren br vekör ve D, n n bonda br polnom mars olp 3.4 de ade edldğ şeklde anımlanablr. n d D nd D D D D 3.4 v H v H v H ˆ ˆ ˆ 3.5 v v v v H H H H H H H H ˆ ˆ ˆ ˆ 3.6
3 B drmda önörüler 3.7 de ade edldğ şeklde aılablr. Hv Hv 3.7 3.7 ö önüne alındığında ölçüleblen haalar hmal edlerek elde edlen alormala anı şekle sahp oldğ örülmekedr. elecek konrol snal anı olla blnablr ancak b drmda serbes anı, harc bocları da çeren lk değerlere ve eleceke blnen boclara ssemn cevabı olarak ele alınması erekmekedr.
3 4. MODELE DAYALI ÖÖRÜLÜ KOROL ALORİMALARII SİMULASYOLARI B bölümde daha öncek bölümlerde anlaılan alormalardan DMC ve PC önemlernn ek değşkenl ve çok değşkenl prosesler üernde smülasonları apılmışır. Smlasonlar Malab Smlnk oramında apılmışır. 4. ek rşl-ek Çıkışlı Ssem Ulamaları 4.. Dnamk Mars Konrol Ulamaları B bölümde DMC alormasının s ısııcı konrolü ve Van de Vsse reakör sıcaklık konrolü örneklerne laması apılmışır. 4... S Isııcı Model Şekl 4. S ısııcı B örneke br s ısııcı model ele alınmışır. B s ısııcı modelnn Dnamk Mars Konrol kllanılarak konrol edlmes senmekedr. Örneğmde çıkış sıcaklığı ısııcıdan elen enerle doğr oranılı olarak değşmekedr. B drmda sıcaklık, ısııcıa den a akışını aarlaan val le konrol edlmekedr. Ssemn basamak cevabını elde emek çn ısııcıa den a akış valne br basamak onkson lanır ve şekl 4. dek basamak cevabı elde edlr.
3 Arık amanda b ssemn ranser onkson 4. de ade edlmekedr. 3.73 4..835 B ssemn basamak cevabı Şekl 4. de öserlmekedr..8.6.4..8.6.4. 5 5 5 3 35 4 Zaman Şekl 4. Basamak cevabı Basamak cevabından da örüleceğ üere ssem 3 örnekleme amanı sonnda kalıcı hal drmna eçmekedr. B drmda ssemn model 4. de ade edldğ şekldedr. 3 4.
33 4. dek kasaıları Çele 4. de öserlen basamak cevabındak değerlerden elde edlmekedr. Çele 4. Basamak cevabı kasaıları.3.59.374.6 3.7 3.49 3.68 4.498 4.456 4.64 5.687 5.487 5.69 6.845 6.53 6.63 7.977 7.535 7.67 8.87 8.553 8.63 9.79 9.565 9.633.56.58 3.635 a b or k 4.3 k Anı amanda kasaıları 4.3 kllanılarak da elde edlmekedr. 4.3 de a ve b sırasıla arık aman ranser onksonnda padanın ve paın kasaıları olarak ade edlmekedr. B örneke ssem k örnekleme amanı bonca ölü amana sahp oldğ çn basamak cevabının lk k kasaısı sıırdır. Önörü k ve konrol k 5 seçlrse b drmda örnek ssem çn dnamk mars basamak cevabı kasaılarından 4.4 de örüldüğü b elde edlmekedr..7.498.7.687.498.7 4.4.845.687.498.7.977.845.687.498.7.87.977.845.687.498.79.87.977.845.687.56.79.87.977.845 Dnamk mars elde edldken sonra λ alınması drmnda 4.5 dek mars hesaplanır. λ I 4.5
34 B drmda konrol kralı; elde edlen marsn lk saırı le serbes anı ve reerans arasındak arkı çeren vekörün çarpımıla 4.6 dak b elde edlr. K w 4.6 B örnek çn konrol kralı 4.7 dek K mars elde edlr. K [.465.836.64.4.78.4..57] 4.7 B denklemdek ssemn serbes anıı 4.8 dek ormül kllanılarak elde edlmekedr. 3 k 4.8 m! k.5.5 5 5 Zaman.5.5 5 5 Zaman Şekl 4.3 λ drmnda ssem çıkışı ve konrol snal
35.5.5 5 5 Zaman.5.5 5 5 Zaman Şekl 4.4 λ. drmnda ssem çıkışı ve konrol snal.4..8.6.4.. 4 6 8 Şekl 4.5 PI konrollü s ısııcı model çıkışı
36.6.4..8.6.4. 4 6 8 Şekl 4.6 PI Konrollü ssem model konrol snal 4... Van de Vsse Reakörü B örneke, Van de Vsse reakör problem dnamk mars konrol alorması kllanılarak çöülmüşür. Van de Vsse reakörü drm aı ormnda 4.9 da verlmşr.. 448 7 A B. 83333. 38. 7 C [ ] D [ ] 4.9 Van de Vsse reakör problemnde, ssem çıkışı knc bleşen konsanrason, konrol edlen rş se serelme oranıdır. B drmda ssemn ranser onkson 4. da ade edlmşr..7s 3.47.5848.3549s p s 4. s 4.649s 5.38.88s.867s
37 Ssemn basamak cevabından da örüleceğ üere, ssemn üm dnamk davranışını ö önünde blndrmak çn model nlğnn en a 35 olarak seçlmes erekmekedr..6.5.4.3... 3 4 5 6 Zaman Şekl 4.7 Basamak cevabı Dnamk mars konrol alorması b örneğe landığında; örnekleme amanı s. dakka, model nlğ 5, konrol k M olarak seçlmşr.
38 5 5 3 4 5 6 aman 5 5.5.5.5 3 3.5 aman Şekl 4.8 Kapalı çevrm cevabı, DMC konrollü Van de Vsse reakörü P7.5.5 3 4 5 6 aman 3 3 4 5 6 aman Şekl 4.9 Kapalı çevrm cevabı, DMC konrollü Van de Vsse reakörü P
39.5.5.5 3 4 5 6 aman.5.5.5 3 4 5 6 aman Şekl 4. Kapalı çevrm cevabı, DMC konrollü Van de Vsse reakörü P5 Van de Vsse reakör örneğne Zehler-chols önemle elde edlen PID konrolör landığında se aşağıdak sonçlar elde edlmekedr.
4..8.6.4...4 4 6 8 Zaman Şekl 4.a Kapalı çevrm cevabı, PID konrollü Van de Vsse reakörü 5 4.5 4 3.5 3.5.5 4 6 8 Zaman Şekl 4.b Kapalı çevrm cevabı, PID konrollü Van de Vsse reakörü
4 4.. enelleşrlmş Önörülü Konrol Ulamaları Brnc dereceden br ssem arıklaşırıldığında 4. ades aılablr. e a b b 4. B örnek çn eckme amanı ve ürülü polnom olan C olarak alınacakır. B örnek çn saısal değerler 4. de verlmşr. a.8 b.4 b.6 3 4. B örneğ çöeblmek çn öncelkle önörü polnomları olan E, F < < 3 aralığı çn hesaplanacakır. ~ A A.8.8 4.3 ~ B örnek çn önörü aralığı çok n olmadığından dolaı önörü polnomları A a bölerek kola hesaplamalar sonc elde edleblr. Önörü aralığının n oldğ drmlarda se b çalışmada blnmaka olan alorma koşrlarak senlen değerler kolalıkla elde edleblmekedr. E F. 8. 8 4.4 Alorma era olarak br ke daha koşrldğnda se 4.5 ve 4.6 dak adeler elde edlr. E. 8 F. 44. 44 4.5 E. 8. 44 F. 95. 95 4.6 3 3 B değerler kllanılarak 4.7 dek B ades elde edlr. B.4.6 4.7
4 B drmda se değerler 4.8 de elde edlmşr. 3.4.6.4.3.4.3.8.56.464 3 4.8 B drmda önörülen çıkışlar 4.9 da ade edldğ b aılablmekedr. ˆ.4 ˆ.3 ˆ 3.56.4.3.6.8.8.8.44.44 4.9.4.464.95.95 Önörü çıkışları elde edldken sonra λ. 8 alınarak konrol kralının hesaplaması apılır..33.86.47 λ I.54.65.86 4..9.54.334 A öncek örneke oldğ üere elde edlen marsn sadece lk saırı kllanılarak 4. dek konrol kralı aılır..64.37.85.33w.86w.47w 3 4. 4. de w reerans örünes olp sab br değer olarak alınablr. B drmda konrol snal; senen reerans değer le eçmş rş ve çıkış değerlernn br onkson olarak aılablr..396.64.37.85.33w.86w.47w 3 4. enelleşrlmş Önörülü Konrol snal Dophanne denklem kllanılmadan da hesaplanablmekedr. Konrol kralını hesaplaablmek çn marsnn ve serbes anı olan nn blnmes erekmekedr. B drmda konrol kralı 4.3 de öserldğ b hesaplanablr. λ I w 4.3 mars ssemn basamak cevabı kasaılarından olşmakadır. B drmda b marsn lk sünnn elemanları aşağıdak denklemn lk ade kasaısı olmakadır.
43 a b 4.4 b : ranser onksonnn paı a : ranser onksonnn padası B drmda 4.5 değerler elde edlmekedr. 3 A.8 B.4.6 b a.4 a b a b.3 a 3 b b.56 4.5 4.5 dek değerler kllanılarak 4.6 dak mars elde edlmekr..4.3.4 4.6.56.3.4 B sonçan da örüldüğü üere elde edlen mars, br öncek meola elde edlen marsle anıdır. Serbes anı Dophanne denklem kllanılmadan da hesaplanablmekedr. Serbes anı, elecekek konrol rşlern br öncek konrol rşlerne eş oldğn ve bocnn sab oldğn kabl eden ssem anııdır. B drmda 4.7 dek adeler oplanıp dışarı çeklrse 4.8 dek değerler elde edlr..8.4.6.8.4.6 4.7.8.8.4.6 4.8
44 Serbes anı denklemnde anının hemen öncesndek konrol snal değşm alındığından dolaı 4.9 aılablr..8.8.6.8.8.44.44.8 3.8.8.95.95.464 4.9 B denklemden de örülmekedr k elde edlen vekörü br öncek meola elde edlen vekörü le anıdır. B drmda elde edlen konrol kralı da anı olacakır..4..8.6.4. 5 5 5 3 Zaman Şekl 4.a Ssem cevabı
45.5.45.4.35.3.5..5. 4 6 8 Zaman Şekl 4.b Konrol snal 4. Çok rşl-çok Çıkışlı Ssem Ulamaları 4.. enelleşrlmş Önörülü Konrol Ulamaları enelleşrlmş Önörülü Konrol lamasının çok rşl çok çıkışlı ssemlere lanmasına örnek olması amacıla karışırıcı ank model ncelenmşr. B lamada Ek de anlaılan ranser Mars öserm meod çöümü kolalaşırmak çn kllanılmışır.
46 Şekl 4.3 Karışırmalı ank reakörü.4.5.3 5.7 s U s U s s s s s Y s Y 4.3 B örneke s U ve s U sırasıla besleme akış hıı ve dış kılıak soğcnn akış hıı olarak ade edlmşr. Konrol edlen çıkışlar s Y ve s Y sırasıla çıkış konsanrason ve reakör sıcaklığı olarak ade edlmşr. Arıklaşırılmış ranser onkson.3 dakkalık örnekleme amanı çn 4.3 dek şeklde elde edlmşr..977.445.948.58.948.4758.958.4 4.3
47 A daonal mars olp daonal üerndek elemanları ranser onksonnn denk elen saırındak padalardak değerlern OKEKOrak Kalarının En Küçüğü olarak seçlr. B drmda 4.3 kllanılarak B ades elde edlr. A B 4.3 A B. 869. 8669. 8695. 8737. 4. 38. 4758. 4559. 58. 54. 445. 36 4.33 Önörü aralığı 3, konrol aralığı ve konrol ağırlığı λ. 5 olarak seçlrse, 3 4.34 örüldüğü üere 3 mars elde edlr..4.4758.58.445.8.963.4.4758 3 4.34.3.786.58.445.6.959.8.963.647.43.3.786
48 5. SOUÇLAR ve ARIŞMA Dnamk Mars Konrol alormasının Van de Vsse reakör örneğnde lanmasında önörü amanını arırmak ssem çıkışı ve konrol snalnde çok daha sonçlar alınmasını sağlamışır ancak b drm marslern bolarını büüüğünden dolaı daha ala şlem apılmasını ve şlemlern daha n sürmesne sebep olmşr. Dnamk Mars Konrol alormasının p5 çn Van de Vsse reakör problemne lanmasının ardından anı probleme Zeler-chols önem kllanılarak br PID konrolör asarlanmışır. Elde edlen konrol snal ve ssem çıkışı raklernden de anlaşılacağı üere Dnamk Mars Konrol alorması PID konrolöre öre hem orma amanı hem de aşım oranı b paramereler açısından daha sonç vermşr. Arıca konrol snal raklernde dnamk mars konrol snal değernn üerne çıkmaken PID konrol snalnn 5 değerne kadar çıkığı örülmüşür. Bölece dnamk mars konrol alorması kllanılarak ereken konrol snalnn de aaldığı ölemlenmşr. enelleşrlmş Önörülü Konrol alormasının ek rşl ek çıkışlı ssemlere ve çok rşl çok çıkışlı ssemlere lanmasında, kllanılan ve elde edlen mars bolarının arığı ölemlenmşr. B drmn sebeb se ssem rş ve çıkışlarının saılarının arması sonc, elde edlen konrol marslernn blnmasında kllanılan rş ve çıkış vekörünün bonn armasıdır.
49 KAYAKLAR Beqee B. W., 3, Process Conrol: Modelln, Desn and Smlaon, Prence Hall Camacho E. F. and Bordons C., 4, Model Predcve Conrol Second Edon, Sprner- Verla London Berln Hedelber Clarke D. W., 988, Applcaon o eneraled Predcve Conrol o Indsral Processes, IEEE Conrol Ssems Maane, :49-55 Clarke D. W., 99, Desnn Robsness no Predcve Conrol, Deparmen o Enneern Scence Parks Road, Oxord OXI 3PJ, UK Clarke D. W., Mohad C. and s P. S.,987a, eneraled Predcve Conrol. Par I. he Basc Alorhm, Aomaca, 3:37-48 Clarke D. W., Mohad C. and s P. S.,987b, eneraled Predcve Conrol. Par II. Exensons and Inerpreaons, Aomaca, 3:37-48 Clarke D. W., Mohad C., 989, Properes o eneraled Predcve Conrol, Aomaca, 56:859-875 Clarke D. W. and Scaoln R., 99, Consraned Recedn-horon Predcve Conrol, Proceedns IEE, 384:347-354 Cler C. R. and Ramaker B. C., 98, Dnamc Marx Conrol- A Comper Conrol Alorhm, In Aomac Conrol Conerence, San Francsco Fros J. B. and Masko., 99, IDCOM-M Applcaon o he Shell Fndamenal Conrol Problem, In AIChE Annal Meen arca C. E., Pre D. M. and Morar M., 989, Model Predcve Conrol: heor and Pracce-a Srve Aomaca, 53:335-348 Kovaraks B., Rosser J. A. and Chan A. O.., 99, Sable eneraled Predcve Conrol: An Alorhm wh araneed Sabl, Proceedns IEE, Par D, 394:349-36 Maceowsk J. M.,, Predcve Conrol wh Consrans, Pearson Edcaon Lmed Morar M., 994, Advances n Model-Based Predcve Conrol, chaper Model Predcve Conrol: Mlvarable Conrol echnqe o Choce, In he 99s Oxord Unvers Pres Morar M. and Lee J. H., 999, Model Predcve Conrol: Pas, Presen, Fre, Comp. Chem. En., 3, 667-68 Mske K.R. and Rawlns J., 993, Model Predcve Conrol wh Lnear Models, AIChE Jornal, 39:6-87 Qn S. J. and Badwell. A., 997, An Overvew o Indsral Model Predcve Conrol echnolo n Chemcal Process Conrol: Assessmen and ew Drecons or Research, In AIChE Smposm Seres 36 Peerka V., 984, Predcor-based Sel-nn Conrol, Aomaca, :39-5 Rchale J., Ral A.,esd J. L. and Papon J., 976, Alorhmc Conrol o Indsral Processes, In 4 h IFAC Smposm on Idencaon and Ssem Parameer Esmaon. bls USSR
5 Rchale J.,Ral A.,esd J. L. and Papon J., 978, Model Predcve Hersc Conrol: Applcaon o Indsral Processes, Aomaca, 4:43-48 Söeerboek R., 99, Predcve Conrol: A Uned Approach, Prence Hall
5 EKLER Ek Ek ranser Mars öserm Karesel Form
5 Ek ranser Mars öserm ranser mars, çok değşkenl ssemlern öserlmesnde oldkça popüler olan br meor. ranser marslernn; rekans anal apılarak vea Reakson EğrsReacon Crve önemnde oldğ b sseme basamak vea darbe snal rşler lanarak rahalıkla elde edlmes b önemn çok kllanılmasına sebep olmşr. Sanadek pek çok endüsrel ssemde ssem ranser marsnn herhan br sün, o süna karşılık elen ssem rşne basamak snal laarak ve her çıkış çn sak kaanç, aman sab, eckme amanı b değerler ölçülerek elde edleblr. Eğer üm b şlemler büün rşler çn lanırsa b drmda ranser marsnn amamı elde edleblmekedr Camacho ve Bordons, 4. CARIMA çok değşkenl modelnde verlen şeklded n m bolarındak ranser mars ş A B mars karıdak denklemden de örüldüğü üere A ve B polnom marslernden olşmakadır. B marsler elde emenn en kola ol; A marsn daonal mars olarak seçp, daonal üerndek elemanları ranser marsnn denk elen saırındak padalardak değerlern OKEK Orak Kalarının En Küçüğü olarak seçmekr. B drmda B karıdak denklemden dolaı B A olarak elde edlecekr. B önemle elde edlen A ve B marslernn enellkle le coprme olması erekmemekr.
53 Ek Karesel Form x Qx ve R b denklemler karesel orm olarak adlandırılırlar. enellkle x ve Q R şeklnde aılırlar. B ür denklemlere ş şeklde br örnek verleblr. x 4 x ve Q x se 4 3 x Qx 4 4 x 3 x [ x x ] olarak elde edlr. Eğer her x değer çn x Qx > se b karesel orm kesn por. Br karesel ormn kesn po oldğ ancak ve ancak Q marsnn ö değerlernn heps dan büükse öserleblr Maceowsk,. Bn maemaksel ade olarak amak erekrse; x Qx > Q > x Qx Q adlandırılır. olarak ade edleblr. olarak ade aılırsa b drmda karesel ade po arı-anımlı olarak Ykarıdak örneke; Q marsnn her k ödeğer de po değerdedr. B drmda karesel ade kesn po anımlıdır. B drmda x ve x değşkenlernn üm değerler çn karesel adenn değernn po oldğ örülmekedrmaceowsk,. Eğer Q I se x Qx x x x, b drmda b ade karesel ökld norm olarak adlandırılır. Eğer Q I Q se b drmda karesel ade, / x Qx Q x oldğndan dolaı, ağırlaşırılmış norm n kares olarak düşünüleblr. Karesel adenn radanının blnması se ş şeklde ade edleblr. V x x Qx [ x, x,, x ] n ve Q mars, n n br mars olarak ade edlr. B drmda radan ş şeklde aılablrmaceowsk, :