Temel Karamlar Tanım e Grubu : G br grup e G olmak üzere G GG e le erlen dönüşüm dferenselleneblr olacak bçmde br dferenselleneblr apıla brlke erlen G

Transkript

1 GİİŞ Bu ezde öncelkle e grubu e e cebr daha sonra e gruplarının öelemeler ardımıla naran e b-naran merkler anımlanacakır de dönmelern grubu SO e kaı harekelern grubu SE brer e grubudur Burada SO e grubu e bu grup çn üsel dönüşüm anımlanacak ne bu dönüşüm ardımıla SO ün - paramerel al grubu e SO üzerndek merk erlecekr Bu merğn SO çn sandar b-naran merk olduğu göserlecekr emann konneksonu anımlanacak e bu konneksonla uumlu merğn bnaran olması durumunda e sol naran ekör alanlar olmak üzere nn önündek koaran üre [ ] şeklnde kola br formülle bulunacakır SE e grubu e buna karşılık gelen se e cebr anımlanacak e bu e cebrnn sandar bazı apı sabler elde edlecekr SE üzerndek naran ekör alanları le se e cebr e A SE olmak üzere T A SE anjan uzaı üzerndek merk anımlanacak e naranlıkları ncelenecekr Sol naran emann merkler çn eğrlk anımları erlecek e merğn fla κ olma durumu ncelenecekr SO e grubunun kessel eğrlkler hesaplanacak e arıca fla sol naran orenz merğe sahp olan - boulu e gruplarıla lgl br eorem de erlecekr Son olarak so e se e cebrlernn adjon emsller bulunacak e bu adjon emsllern skew-adjon olup olmadığı dolaısıla merğn b-naran olup olmadığı ncelenecekr

2 Temel Karamlar Tanım e Grubu : G br grup e G olmak üzere G GG e le erlen dönüşüm dferenselleneblr olacak bçmde br dferenselleneblr apıla brlke erlen G grubuna e grubu denr do Carmo 99 Örneğn; Gn { A n n : dea }sandar mars çarpımıla brlke br e grubudur Tanım : H G grubunun br al grubu e H G çnde kapalı br al cümle se H e G e grubunun br kapalı al grubu denr Karger and Noak 98 Tanım : H G nn br kapalı al grubu se bu akdrde H G nn br al manfoldu e dolaısıla G nn br e al grubudur O nell 98 Tanım : Br manfold boş olmaan k açık cümlenn arık brleşm olarak azılamıorsa bu manfolda rbalıdır denr a da br manfoldun rbalı olması çn gerek e eer şar herhang k nokasının dferenselleneblr br eğr parçası arafından bağlanablmesdr O nell 98 Tanım : e Cebr gl { V } br reel ekör uzaı olsun [] : gl gl gl bracke operaörü çn an-smerk b-lneer [ [ z ] [ [ z ] [ z [ ] Jakob özdeşlğ özelklern sağlıorsa gl [] klsne br e cebr denr Hacısalhoğlu 98

3 Tanım 6 : G br e grubu e g G olsun g G çn g : GG g g dönüşümüne G üzernde sol öeleme denr g : GG g g dönüşümüne G üzernde sağ öeleme denr Hacısalhoğlu 98 Tanım 7 : G br e grubu e G üzernde br ekör alanı da X olsun g g G çn l g Xg Xgg koşulunu sağlaan X ekör alanına sol naran ekör alanı denr G br e grubu e G üzernde br ekör alanı da X olsun g g G çn r g Xg Xg g koşulunu sağlaan X ekör alanına sağ naran ekör alanı denr Hacısalhoğlu 98 Tanım 8 : G br e grubu e d : G G br merk olsun a G e G çn da a d se d merğne sol naran merk da a d se d merğne sağ naran merk denr Tanım 9 : d merğ hem sol naran hem de sağ naran se d merğne b-naran merk denr Tanım : G br grup olsun f : f f G dönüşümü çn f se f Sanger and Weaer 99 e G nn -paramerel al grubu denr

4 Tanım : G e grubu üzernde br g gτ a τ b eğrs g e g τ τ g τ g τ g-τ gτ koşullarını sağlarsa bu eğre G e grubunun -paramerel al grubu denr Aramd G br e grubu e e G brm eleman olsun χ G l G üzerndek büün sol naran ekör alanların uzaı olmak üzere G χ l {X: gg G çn g X g l X } χ G gg dr Teorem : α : G T G χ dönüşümü br lneer zomorfzmdr l e İspa: α lneerdr? χ çn XY G l α XY XYe XeYe α Xα Y α cx cxe cxe cα X α lneerdr α brebrdr? α X α Y Xe Ye g G çn l g ugularsak Xg l g Xe l g Ye Yg

5 X Y dr α brebrdr α örendr? e T e G e g G çn Xg l g e l g Xe l g e l g brebr olduğundan Xe e α X e α örendr O halde α br lneer zomorfzmdr Hacısalhoğlu 98 [] : χ G χ G χ G l l l X Y [ X Y] g f X g Y f -Y g X f ; g G f C G operaörüle brlke G χ l br e cebrdr α : l χ G G T e bracke br lneer zomorfzm olduğundan T e G de br e cebr olur Yan br G e grubunun e brm nokasındak anjan uzaı T e G G e grubunun e cebr olur Tanım : A n n br reel mars olsun Bu durumda ep A e A I A! A! sers akınsakır Curs 979 Teorem : A reel an-smerk br mars se e A orogonaldr Curs 979 İspa : A T A e ep AA T epaepa T

6 I epaepa T epa T epa e A orogonal Tanım : X n n br reel mars olsun X n I komşuluğunda log X X I - X I I X - sers akınsakır Curs 979 Teorem : X n n br reel mars olsun X X T marsler I komşuluğunda değşmel e X I komşuluğunda orogonal se log X an-smerkr Curs 979 İspa: I XX T logxx T logx logx T logx logx T logx T - logx logx an-smerk Tanım : Merk ekör uzalar arasında anımlı br lneer dönüşümünün adjon şeklnde anımlanır Eğer - se lneer dönüşümüne skew-adjon dönüşüm denr Mlnor 976 Tanım : g e cebrndek herhang br elemanı çn g den g-e [ ] lneer dönüşümüne adjon dönüşüm denr e ad le göserlr Mlnor 976 Teorem : Br rbalı e grubu üzernde br sol naran merk anı zamanda sağ naranır b-naranır g çn ad skew-adjonr Mlnor 976 6

7 SO İE GUBU e so İE CEBİİ SO e Grubu e so e Cebrnn Tanımı Tanım : O { A G : A T A AA T I } kümes sandar mars çarpımıla brlke br grupur Bu gruba orogonal grup denr Tanım : SO { G : T gruba O orogonal grubu çnde özel orogonal grup denr T I de } le anımlanan SO opolojk apısıla -boulu br opolojk manfolddur Bu üzden br mars e grubudur Br e grubuna karşılık gelen e cebr grubun brm nokasındak anjan uzaı olduğundan T I SO SO e grubunun e cebr olur Bu e cebrne so delm A SO çn A: J SO eğrsn alalım A d d A T A I A T A I d d d A T A A T d d A d d d A T A A A d d d da A A Ω delm d T Ω A d d T d A T A d A T d T d A T T d T A A A d fadesnde Ω T -Ω T Ω Ω Ω an-smerk mars 7

8 Tanım : so {Ω : Ω T Ω -Ω } SO e grubunun e cebr olarak anımlanır SO e Grubunun Tanjan Operaörü e -Paramerel Al Grubu Tanım : SO e grubunun anjan operaörü Ω operaörüdür A A T Ȧ A an-smerk Ω marsne A dönmesnn açısal hız mars denr Burada A noasonunu kullanalım d d Ȧ Tanım :Ω sab açısal hız mars çn A I başlangıç koşulula erlen Ȧ Ω A dferensel denklemnn çözümü A ep Ω dr Bu durumda A eğrs SO ün -paramerel al grubudur SO ün Geomerk Yorumu SO ün elemanlarını anpodal nokalarla brlke merkez orjnde bulunan π arıçaplı küreler olarak düşüneblrz Gerçeken merkez orjnde bulunan br küre çn küre üzerndek br nokaı anpodalne dönüşüren dönme θ SO alıp dönme açısına da φ dersek φ açısının π olduğu e ekörün bouna eş olduğu görülür Bu durumda kürenn çnde br nokası alınırsa orjn e dan geçen doğru erafındak br θ dönmes çn φ < π dr 8

9 SOn Üzernde Üsel e ogarmk Dönüşümler Burada an-smerk marslern üsel dönüşümünü e orogonal marslern logarmasını anımlamak çn Galler and Xu nun bu konu le lgl br çalışmalarındak hesaplamalardan ararlanılacakır SOn çn n olduğunda br B an-smerk marsnn üsel fadesn azalım J olmak üzere B θ J olarak azılablr Bu akdrde e B θ e J cos θ I sn θ J fades elde edlr SO erldğnde z cosθ olduğu çn cosθ ı bulablrz Bu üzden ukarıda erlen üsel fade problem çözülmüş olur n durumunda br reel B an-smerk mars B c b c a b a e θ a b c ken odrgues formülü e B I snθ cosθ B B θ θ şeklnde azılır Burada B ken e B I dür 9

10 θ ken B an-smerk mars B θb olarak normalleşrleblr Bu durumda odrgues formülü θ e B I sn θ B cosθ B olur Anı zamanda SO erldğnde z cosθ olduğundan cosθ ı e T sn θ B olduğundan B bulablrz θ a da θ π ken an snθ olduğu durumlarda ukarıdak formül kullanılamaz θ ken I e B olur θ π olduğunda I B olacak şekldek B an-smerk marsn bulmak gerekr B pnde br an-smerk mars olduğundan fades blnmeenl br bas denklem ssem olur e kolalıkla çözüleblr odrgues formülü B θ B a da B B olmasından elde edlmşr Ancak n ken sıfırdan farklı br an-smerk mars çn erlen eşlk genellkle doğru değldr Şmd n ken ep : so n SO n üsel dönüşümünü hesaplamak çn odrgues formülünün br genelleşrlmesnn olduğunu göserelm e log : SO n so n logarma fonksonunu hesaplamak çn br önem erelm n n pnde br B an-smerk mars erldğnde B θ B θ B p p

11 olacak bçmde p-ane B B an-smerk mars ardır Burada B an-smerk p marsnn üsel fadesnn nasıl hesaplanacağını e B B marslernn ek olarak p arlığını gösereceğz Aşağıdak lemma B B marslern elde emede öneml br p role sahpr emma : Herhang br n n pnde B an-smerk mars erldğnde B PEP olacak şeklde T E E E m nm br blok dagonal mars e br P orogonal mars ardır Burada her E θ E θ θ θ > olacak bçmde pnde an-smerk marslerdr Burada B an-smerk marsnn egen değerler herhang br an-smerk marsn egen değerlernn a da sırf majner olmasından ± θ j a da olur Şmd hem B j lern arlığını e eklğn hem de odrgues formülünü spalaalım Teorem : Herhang erldğnde n eğer : θ θ θ θ } θ > { p p j n n pnde sıfırdan farklı br B an-smerk mars kümes B nn farklı egen değerlernn kümes e her değernn kalı kökü se ± θ j çn k j k j : egen

12 B θ B θ B p p B B j B j B n j B -B j p e n p olacak bçmde B B an-smerk marsler ek olarak p belldr Arıca e B I n p snθ B cosθ B olur e θ θ } { p değerlernn pozf kareköklerdr BB T smerk marsnn m-ane kalı köke sahp egen İspa : B e B j ler üm j ler çn değşmel olduğundan B e p θ B e e θ B olarak azılablr p B p e θ p Bununla brlke durumundak gb B B eşlğ kullanılırsa B e θ I n sn θ B cosθ B n olduğu görülür B B eşlğ ardımıla k j B B j e B k j B j j e üm k çn elde edlr Bu üzden e B k k θ B θ n I k k! I I n n θ! θ 6 B B! θ! θ! sn θ B cosθ B olur θ! θ 6!

13 Gerçeken B B B B j dr e bu üzden j j n e B I p n m I n p e elde edlr θb sn θ B sn θ B cosθ B cosθ B T B B mars T PE P formunda azılablr Burada E θ θ dr Bölece BB T marsnn egen değerler { θ θ θ m θ } m olur Bu üzden θ θ } { m pozf kareköklerdrler BB T smerk marsnn egen değerlernn Şmd buradak B j lern eklğn göserelm B j lern özellkler kullanıldığında B p θ B B p θ B B p θ B B p p p p θ B

14 ssem elde edlr Bu ssemn kasaılar mars θ θ p θ θ θ θ θ p p p p p p θ p p θ olur Bu mars dag -- - p p le θ V θ θ p marslernn çarpımı olarak azılablr Burada V θ θ br Vandermonde marsdr Bu marsn deermnanına δ n dersek p δ - n p p p θ < j p θ j θ olur Buradak üm θ ler pozf e brbrnden farklı olduklarından δ n dır Bölece B e onun sıfırdan farklı egen değerlernden B B p marsler ek olarak belrleneblr Dolaısıla br SOn erldğnde log B olacak şeklde br B θ B θ B p p an-smerk mars bulunablr

15 İEMANN KONNEKSİYONU e Bİ-İNVAYANT METİKE İİŞKİSİ Bu bölümde emann konneksonu anımlanacak e bu konneksonla uumlu merğn br b-naran merk olması durumunda oraa çıkacak sonuçlar ncelenecekr Br emann merğle brlke br emann konneksonunu dkkae aldığımızda emann konneksonu dferenselleneblr e ekör alanlarının her br çfne nn önünde koaran üre adı erlen br alanını karşılık gerr dferenselleneblr ekör Buradak amacımıza önelk nın ek olarak anımlı olduğunu br fonksonu olarak blneer olduğunu e nn e nn [ ] - smer koşulu z z z merkle uumluluk koşullarının sağlandığını blmek eerldr eşlğ z sab fonkson olacak bçmdek her z ekör alanı çn sıfırdır Özel olarak e z br e grubu üzernde br sol naran merkle brlke erlen sol naran ekör alanlar se bu eşlk her zaman sıfırdır sol naran se de sol naranır Bölece her çn e cebrnden e cebrne anımlı br skew-adjon lneer dönüşümdür z nn ümü sol naran ekör alanlar olsunlar Bu durumda e eşlkler ardımıla

16 z [ [ z] eşlğ elde edlr - [ z ] z [ ] ] Şmd bu eşlğn arlığını göserelm Smer koşulunda e z nn sıraları değşrlrse z z z z z z z z z eşlkler elde edlr den çıkarılırsa z z z [ ] z z z Benzer şeklde den çıkarılırsa [ z ] z elde edlr z Burada lneer dönüşümü skew-adjon olduğundan de z z azılır e le araf arafa oplanırsa 6

17 [ ] z [ z] [ z ] z z [ ] z [ z] [ z ] eşlğ elde edlr Merğn b-naran olması durumunda adjon dönüşüm skew adjon olacağından ad ad ukarıdak eşlke [ ] z ad z ad e bu üzden z [ z] [ z ] ad z ad ad ad elde edlr z z z Bölece z [ ] z olur O halde merğn b-naran olması durumunda sol naran ekör alanlar çn [ ] eşlğ elde edlr 7

18 SE İE GUBU e se İE CEBİİ SE e Grubu e se e Cebrnn Tanımı Bu bölümde SE e grubu e se e cebr anımlanacak e bu apılar üzerndek operaörler erlecekr dek br kaı hareke A : A d ; SO d lneer dönüşümüle fade edleblr Bu dönüşüm mars formunda A d le göserleblr Tanım : Bu formdak büün marslere - boua kaı harekelern özel öklden grubu denrbu grup SE { A : A d kümesle göserleblr Zefran e al 999 d T I de } G br e grubu e SE G nn kapalı br al cümles olduğundan SE br e grubudur A :[ a a] SE d A eğrs erldğnde se e cebrnn br S elemanı aşağıdak gb elde edleblr Bu eğrnn anjan ekörü A olmak üzere d A [ A ] d T A SE dr SE e grubu e I brm mars olmak üzere χ SE T I SE e zomorf l 8

19 9 olduğundan SE T I e cebr olur Burada SE l χ sol naran ekör alanların uzaıdır Kısaca SE T I se delm e se e cebrn elde edelm A SE eğrs çn d A d A d d A A d A A Ω d denlrse S Ω A A se olarak azılablr Benzer şeklde erlen A eğrs çn d d A A d d A A

20 d d A A Ω d d olarak alınırsa S Ω A A elde edlr Kısaca ] [ Ω Ω azılablr Tanım : SE e grubunun anjan operaörü S ] [ Ω le anımlı br operaördür Teorem : Ω an-smerk mars e çn Ω X Ω X eşlğ ardır İspa : Ω X

21 e e e eşlklern sağ arafları eş olduğundan edlr Ω X eşlğ elde Bu üzden Ω an-smerk mars le ekörü arasında Ω eşlemes ardır Dolaısıla her S se elemanına { } ekör çf karşılık gelr Tanım : SE e grubunun se e cebr se { : T } le erleblr Bela and Kumar Şmd se e cebrnn sandar bazını elde edelm S se olsun Bu durumda Ω S bçmnde azılırsa

22 S S 6 se } { 6 Sp X eksen erafındak an dönme Y eksen erafındak an dönme Z eksen erafındak an dönme X eksen bounca an öeleme Y eksen bounca an öeleme 6 Z eksen bounca an öeleme e karşılık gelen marslerdr S { } çn : : Csmn harekenn açısal hızını : Csmn harekenn lneer hızını göserrler Tanım : Knemake { }formundak elemanlara ws adı erlr

23 Teorem : S S se çn bracke çarpımı şlem [] : se se se S S [ ] S S S S S S le anımlı olsun Bu durumda S { } S { } [ ] S S { } çn { } { } dr İspa : çn a a a b b b olsun Bu durumda S a a a S b b b olur [ ] S S S S S S olduğundan [ ] S S b b b b b b a a a a a a

24 e e e b b b b b a a b a a a a e b e b e b b b b b b b e a e a e a a a a a a a son k eşlken b b a a b b a a b b a a azılablr e lk eşlken { } { } eşlğ elde edlr Tanım : se e cebrnn baz ekörlernn bracke çarpımı [ j ] 6 k C j k k şeklnde anımlanır Burada k C j apı sabler çn k C j k C j kasaılarına e cebrnn apı sabler denr k C j bağınısı ardır Sanger and Weaer 99 Yapı sabler hesaplandığında C 6 C C C C C C 6 C C C C C 6 C C C C C C

25 C 6 C C C C C C 6 C C C C C 6 C C C C C C C C C C C C C 6 C C C C C 6 C C C C C C C 6 C C C C C C 6 C C C C C C C C C C C 6 C C C C C C C C C C C C C 6 6 C6 C6 C6 C6 C6 6 C C C C C 6 C C C C C 6 6 C6 C6 C6 C6 C6 6 C C C C C 6 6 C6 C6 C6 C6 C C66 C66 C66 C66 C66 SE e Grubu Üzernde İnaran Vekör Alanları Bu bölümde SE e grubu çn sol e sağ naran ekör alanlar anımlanacakır Tanım : SE üzerndek br X dferenselleneblr ekör alanı se ün br S elemanının soldan öelenmes le elde edleblr Bu durumda X ekör alanının kef br A SE nokasındak değer XA S A AS

26 le erleblr Bu eşlkle elde edlen X ekör alanına br sol naran ekör alanı denr Burada S S e cebr elemanının soldan öelenmesle elde edlen ekör alanını gösermek çn kullanılmışır Zefran e al 999 Benzer şeklde br Y sağ naran ekör alanı da se ün br S elemanının B SE le sağdan öelenmesle YB S B SB şeklnde anımlanablr Tanım : fadesnden sol naran ekör alanların uzaı se e zomorfur Özel olarak T A SE üzerndek bracke çarpımı k j Cj k 6 le anımlanablr do Carmo 99 { 6 { } kümes se çn br baz olduğundan A SE olmak üzere A A A A A 6 A } kümes de SE anjan uzaı çn br bazdır T A Bu üzden herhang br X ekör alanı X 6 X le fade edleblr Burada X kasaıları manfold üzernde değşmekedr Eğer bu kasaılar sabse X br sol naran ekör alanı olur [ X X X ] T e [ X X X ] T olarak anımlanırsa { 6 eşleneblr Zefran e al 999 } ekör çf kef br X ekör alanıla 6

27 se e cebr e A SE olmak üzere T A SE anjan uzaı çn bazı apısal özellkler erldken sonra şmd de SE e grubu üzerndek emann merkler anımlanacak e naran olup olmadıkları araşırılacakır SE e Grubu Üzernde emann Merkler Tanım : Br dferenselleneblr manfold üzerndek her br nokadak anjan uzaı üzernde pozf anımlı b-lneer e smerk olarak anımlanan br forma ç çarpıma emann merğ bu manfolda da emann manfoldu denr do Carmo 99 Eğer bu form non-dejenere se an V T A SE çn V A V A V A A A se elde edlen merğe Sem-emann merk denr Şmd se üzerndek ç çarpımı anımlaalım Tanım : S S se olmak üzere se üzerndek ç çarpım S S I T s W s le anımlıdır Burada s s sırasıla S S e karşılık gelen 6 ekörler e W da pozf anımlı br marsr Zefran e al 999 Tanım : V e V SE ün herhang br nokasındak anjan ekörler olmak üzere T A SE anjan uzaı üzerndek ç çarpım V V A A V A V I le anımlanablr 7

28 Tanım : Herhang X e Y ekör alanları e A B SE çn X B Y B AX B AY B B AB se merk sol naran X B Y B X B A Y B A B BA se merk sağ naranır Zefran e al 999 Teorem : do Carmo a 99 göre le anımlanan merk sol naranır Zefran e al 999 İspa : A B SE olmak üzere V X V X se V B V B AV B AV B? B AB AV B AV B AB AB AV B AB AV B I B V B B V B I V B V B B Dolaısıla erlen merk sol naranır Teorem : V V A V A V A I le anımlanan merk sağ naranır İspa : A B SE olmak üzere V X V X se V B V B V B A V B A? B BA V B A V B A BA V B A BA V B A BA I V B B V B B I V B V B B Dolaısıla erlen merk sağ naranır 8

29 İE GUPAI ÜZEİNDE SO İNVAYANT METİKEİN EĞİİKEİ Kessel Eğrlk Bu bölümde Mlnor un 976 sol naran merklern eğrlkler le lgl çalışmasında elde eğ bulgular ncelenecekr Br nokada br emann manfoldunun eğrlğ b-kuadrak eğrlk fonksonu κ le anımlanablr Burada e erlen nokada değşen anjan ekörler e de emann eğrlk ensörüdür Önerme : M br sem-emann manfold e z w T p M se çn - w w z z z w w dr O nell 98 : T p M T p M z z [ ] z - z z dr Burada emann konneksonudur 9

30 Verlen κ fonksonu br emann merğ çn eğrlk fonksonudur κ e nn fonksonu olarak smerk e b-kuadrakr u e orogonal brm ekörler [ u u - u ] se Κ κ saısına u e arafından gerlen -boulu anjan düzlemn kessel eğrlğ denr Sol naran merkle brlke erlmş br e grubunu çalışmanın en olu sol naran ekör alanların br e e n bazını seçmekr O halde e cebr apısını α apı sablernn br n n n dzsle anımlamak mümkündür Burada j k [ ] e j e α k jk e k a da α [ e e e dr e bu dz lk k ndse göre an-smerkr j k j] k Bu durumda κ eğrlk fonksonu α nın br komplke kuadrak fonksonu olarak anımlanablr j k emma : α lar ardımıla κ e e kessel eğrlğ j k κ e e α -α k α k α k k k - α α α k k α k α k α - k k α k α k şeklnde erleblr Bu açık fade göseror k; eğrlk e cebr e onun merğ ardımıla amamen hesaplanablr α -lar sıfırken eğrlk de sıfırdır j k G br sol naran merkle brlke erldğnde u da g e cebrnde br ekör olsun

31 emma : adu lneer dönüşümü skew-adjon se κ u dr g İspa : Genellğ bozmadan u e oronormal kabul edelm e u e e le brlke br e e e n oronormal bazı seçldğnde ade n skew-adjon olması çn α dzsnn son k ermne göre an-smerk olması anlamına gelr j k O halde formülünden κ e e k α k olur Dolaısıla κ e e dr Tanım : G grubunun üm elemanlarının sırasının değşrlmesle oluşan CG kümesne G grubunun merkez denr CG {g G : g ' g gg ' g ' G} dr Aramd Sonuç : Eğer u ekörü g e cebrnn merkezne ase herhang br sol naran merk çn κ u g sağlanır İspa : Eğer u merkez elemanı se adu dır e sıfır dönüşümü skew-adjonr Sonuç : Her kompak e grubu büün kessel eğrlkler Κ olacak şeklde br sol naran aslında b-naran merğe sahpr Eğer ukarıdak eşszlkκ > olacak bçmde kesnleşrlrse Κ durumu çıkarılırsa bu koşulu sağlaan çok az e grubu olur Yüksek boulu olan e gruplarını anlamanın en kola olu fla olan br anlamda Κ kessel eğrlğ özdeş olarak sıfır olan Κ emann manfoldlarını ncelemekr

32 Br sol naran merk çn flalk şarı aşağıdak gb fade edleblr Br e cebr değşmeldr [ ] g e cebr değşmel se α e cebr apı sabler α [ e e e eşlğnden j k j k j] k sıfır olurlar Dolaısıla eşlğnden her sol naran merk flar cc Eğrlğ Br emann manfoldunun br nokasındak eğrlğnn anımı r kuadrak formu le erlr Bu form anjan ekörünün r κ e e e formülüle anımlanan reel değerl br fonksonudur Burada κ b-kuadrak eğrlk fonksonu e e e n anjan uzaı çn oronormal bazdır Eğer u br brm ekör se o halde ru-a u önündek cc eğrlğ denr Hesaplamalarda kolalık sağladığı çn self-adjon r cc dönüşümüle çalışmak daha ugundur r dr e e Bu durumda r le r arasındak bağını aşağıdak gbdr r e e e e nn lk özelğnden e nn knc özelğnden e

33 r κ e şeklndedr r nn egen değerlerne asl cc eğrlkler denr emma : adu lneer dönüşümü skew-adjon se ru dr İspa : ru kessel eğrlklern oplamı olduğundan e emma den ru dr emma : ru adu lneer dönüşümü skew-adjon dr Eğer u g nn merkezne ase ru dır Teorem : G e grubunun e cebr [ ] z olacak bçmde lneer bağımsız ekörler çerorsa r< e rz> olacak bçmde br sol naran merk ardır İspa : b b b z le brlke sab br b b n bazını seçelm Herhang br ε > reel saısı çn e ε b e ε b e e ε b le anımlanan e e n ardımcı bazını dkkae alalım e e n n oronormal olmasını gerekren br sol naran merk anımlaalım g ε bu özel merk e özel oronormal bazla erlen g e cebrn gösersn [ ] e j e α e jk k apısını kurarsak α j k apı sabler açık br k şeklde ε nun fonksonu olurlar Şmd ε lm durumunu dkkae alalım Bu durumda her br α anımlı br lme sahp olurlar Bu üzden erlen merk j k e erlen oronormal baz le brlke br g lm e cebrn elde ederz Arıca g dak bracke çarpım[ ] e e - [ ] e e le aks akdrde [ ] e e le erlr e j

34 emma e lemma den re < < re g çnde sağlanır Yapı sablern değşrdğmz çn bu cc eğrlkler de değşecekr Bu üzden ε eernce sıfıra akınken re < < re elde edlr Teorem : Aşağıdak -boulu e gruplarının her br br fla sol naran orenz merğne sahpr E ; -boulu Ökld uzaının kaı harekelernn grubu E ; -boulu Mnkowsk uzaının kaı harekelernn grubu formundak üm reel marslerden oluşan Hesenberg grubu Nomzu 979 İspa : Öncelkle her br e grubu çn e cebrn e bu grup üzernde br fla sol naran orenz merk anımlı olacak bçmdek orenz ç çarpımını anımlaalım cosθ E: Bu grup snθ şeklndek marslerden oluşur snθ cosθ a b e cebr se [ ] [ ] [ z] z olacak bçmde z den oluşan br baza sahpr

35 z z z z olacak bçmde br orenz ç çarpımı anımlaalım Bu durumda e z z olur z z z z Buradan z z elde edlr an merk flar E: Bu grup cosh snh a snh cosh b şeklndek marslerden oluşur e cebr se [ ] [ ] [ ] z z olacak bçmde z den oluşan br baza sahpr z z z z olacak bçmde br orenz ç çarpımı anımlaalım Bu durumda z olur z z z Buradan z z

36 elde edlr an merk flar Hesenberg grubunun e cebr [ ] z [ ] z olacak bçmde z [ ] z den oluşan br baza sahpr orenz ç çarpımı z z z z şeklnde anımlanırsa Bu durumda z z olur z z z z z e sonuç olarak z z elde edlr an merk flar Skalar Eğrlk Herhang br e e n oronormal bazı seçldğnde br emann manfoldunun herhang br nokasındak anjan ekörler çn ρ r e r en k e e j < j reel saısına bu nokadak skalar eğrlk denr 6

37 7 SO e Grubu İçn Kessel Eğrlk Hesabı Ω a b a c b c so olmak üzere so ün sandar bazı Ω c b a cz b a so Sp{ } z dr z [ ] z [ ] z z z

38 [ z ] z z Bu durumda [ ] z [ z] [ z ] dr Şmd SO ün sandar merğ çn kessel eğrlkler hesaplaalım Kessel eğrlk fonksonu κ şeklnde anımlanmışı emann eğrlk ensörü z anjan ekörler çn z d [ ] z z z SO e grubu kompak olduğundan üzernde br b-naran merk ardır Br e grubu üzernde b-naran merk bulunması durumunda nn önünde koaran ürenn [ ] le hesaplanableceğ bölümde göserlmş Bu durumda [ ] 8

39 [ ] olduğundan dr [ ] olduğundan [ ] z e [ ] z [ ] z z [ ] z z [ z ] Benzer şeklde z [ z] z [ z ] z z z Benzer şeklde z z dr Bu durumda κ 9

40 dr Ω so an-smerk marsne br ekörü karşılık geldğnden so dür Dolaısıla so üzerndek norm Ökld normu olur Bu üzden κ κ z z z z olduğundan κ z dr olduğundan Sonuç den kompak e grubu üzerndek br b-naran merğn büün kessel eğrlkler κ d Faka burada SO e grubu çn büün kessel eğrlklern pozf olduğunu gördük Çünkü κ ancak değşmel gruplar çn mecu d Ancak SO e grubu br mars e grubu olduğundan e mars çarpımı değşmel olmadığından κ sıfır olamaz

41 6 SO e SE ÜZEİNDE Bİ-İNVAYANT METİKEİN VAIĞININ AAŞTIIMASI 6 SO Üzernde B-naran Merğn Varlığı so e cebr çn Ω c b c a b a so olmak üzere Ω a b cz ; z [ ] z [ z] [ z ] d so e cebr çn adjon dönüşüm ad : so so [ ] ad le anımlıdır so olmak üzere Şmd SO e grubu üzernde b-naran merk olup olmadığını araşıralım Br e grubu üzernde b-naran merk olablmes çn adjon dönüşümün skewadjon olması gerekr so ken ad ad O halde Ω a b cz so çn adjon dönüşümü bulalım [ Ω ] ad Ω [ a b cz ] a [ ] b[ ] c[ z ] c bz

42 [ Ω ] ad Ω [ a b cz ] a [ ] b[ ] c[ z ] c az [ Ω z] ad z Ω [ a b cz z] a [ z] b[ z] c[ z z] b a Bu durumda adjon dönüşümün mars emsl [ ad Ω ] c b şeklndedr c a b a _ T Ω ] [ adω olduğundan [ ad ] [ ad Ω ] c b c a b a c b c a b a [ ad Ω ] Bu üzden SO e grubu üzernde br b-naran merk ardır

43 SO üzernde sandar b-naran emann merğ olsun Bu akdrde θ θ e θ θ le brlke br θ : [ ] SO eğrs erldğnde θ θ θ θ T Tr θ θ θ θ dr Park 99 θ erne Ω alıp bu eşlğ elde edelm Ω so olsun Ω so Ω T ΩΩ Ω Ω z T ΩΩ T z ΩΩ ΩΩ T z dr

44 Teorem 6 : A A SO olmak üzere d A A se d: SO SO A A d A A og A A şeklnde anımlanan d merğ SO çn sandar b-naran merkr İspa : A: []SO A A ep Ω Ω so AA AA başlangıç koşulula erlen A eğrs A nokasını A nokasına bağlaan eğrler çnde uzunluğu en kısa olanıdır A A e Ω A e Ω A A Ω og A A og A A A A A z A A A A T z ΩΩ T da A A A d og A A d A A A A z ΩΩ T olduğu açıkır Bu durumda

45 da A A d A A d A A d dta TA TA d T SO TA TA d A A d da TA T AT AT d A A d AT d T SO Bu son eşlklerden da A dta TA da TA T olduğu görülür Dolaısıla d merğ SO üzernde sandar b-naran merkr

46 6 6 SE Üzernde B-naran Merğn Araşırılması X se olmak üzere X 6 seklnde azılablr Burada 6 ekörler se ün sandar baz ekörlerdr Şmd se üzerndek adjon dönüşümün mars emsln bulalım [ ] X ad X [ ] 6 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 6 6 [ ] X ad X [ ] 6 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 6 6 [ ] X ad X [ ] 6 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 6 6

47 7 [ ] X ad X [ ] 6 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 6 6 [ ] X ad X [ ] 6 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 6 6 [ ] 6 6 X ad X [ ] 6 6 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Bu durumda adjon dönüşümün mars emsl ] [ ad X elde edlr Ω e ] [ an-smerk marsler olmak üzere [ad ] X mars kısaca Ω Ω ] [ ] [ ad X

48 8 şeklnde de göserleblr T X ad X ad ] [ ] [ _ olduğundan ] [ ad X elde edlr [ad ] X mars kısaca Ω Ω ] [ ] [ ad X şeklnde de azılablr Sonuç olarak [ad ] X ] [ X ad olduğundan SE üzernde b-naran merk okur

49 KAYNAKA Adolf K and Noak J 98 Space Knemacs and e groups Gordon and Breach Scence Publshers p Monreu Aramd I Noes on e groups 6 p Usa Bela CA and Kumar V Eucldean mercs for moon generaon on SE Journal of Mechancal Engneerng Scence 6; 7-6 do Carmo MP 99 emannan Geomer Sprnger-Verlag p Boson Curs M 979 Mar groups Sprnger-Verlag New York Galler J and Xu D Compung eponenal of skew smmerc marces and logarhm of orhogonal marces Inernaonal Journal of obocs and Auomaon 7; - Hacısalhoğlu HH 98 Yüksek dferensel geomere grş Fıra Ünerses Fen Faküles Yaınları 9 s Mlnor J 976 Curaures of lef naran mercs on e groups Adances In Mahemacs ; 9-9 Nomzu K 979 ef naran orenz mercs on e groups Osaka J Mah 6; - O nell B 98 Sem emannan geomer wh applcaons o rela Academc Press New York Park FC 99 Dsance mercs on he rgd bod moons wh applcaons o mechansm desgn Journal of Mechancal Desgn 7; 8-9

50 Sanger DH and Weaer O 99 e groups and algebras wh applcaons o phscs geomer and mechancs Sprnger-Verlag p New-York Zefran M Kumar V and Croke C 999 Mercs and connecons for rgd-bod knemacs The Inernaonal Journal of obocs esearch 8; -6

51 ÖZGEÇMİŞ Adı Soadı: Fah DOĞAN Doğum Yer: Ankara Doğum Tarh: 998 Meden Hal: Bekar Yabancı Dl: İnglzce Eğm Durumu Kurum e Yıl se: Fah Sulan Mehme ses 999 sans: Ankara Ünerses Fen Faküles Maemak Bölümü Yüksek sans: Gaz Ünerses Maemak Öğremenlğ Tezsz -7 Yüksek sans: Ankara Ünerses 7-