cos Sabit bir kuvvetin yaptığı Ġġ Sabit bir kuvvetin yaptığı Ġġ BÖLÜM 7 İŞ VE KİNETİK ENERJİ ĠĢ ve Kinetik Enerji

Transkript

1 BÖLÜM 7 İŞ VE KİNETİK ENERJİ KONULAR. Sabt kuvvetn yaptığı Ģ. Ġk vektörün kaler çarpımı 3. DeğĢken br kuvvetn yaptığı Ģ 4. Knetk enerj ve ĠĢ-knetk enerj teorem 6. Güç ĠĢ ve Knetk Enerj Enerj kavramı (ve enerjnn korunumu), en öneml fzk konularından brdr. Enerj, enel olarak ş yapablme yeteneğ olarak blnr. Buraya kadar br parçacığın konumu, hızı, vme ve parçacığa etk eden kuvvet Newton un knc yaaından yararlanarak anlamaya çalıştık. Her problem Newton un knc yaaı le çözümlenemez. Bazen başka yolları denemek lazım. Bu çözüm yollarından brde enerjdr. Rüzar tarlaında hareket eden hava yelpaze üzerne ş yapar ve elektrk motorunun rotorunu döndürür. Enerj rüzar değrmen temnden elektrk enerjne dönüşür. Sabt br kuvvetn yaptığı Ġġ Hız, vme, kuvvet ve benzer fzk termler ünlük hayatımızda aynı anlamda kullanırız. Fzkte ş ünlük hayatımızdak anlamından farklı kullanılır. AĢağıdak remde tahta l örülmektedr. Sl yatay düzlem üzernde farklı açılarda aynı büyüklükte kuvvetler le kaydırılmaya çalıģılmaktadır. (Üç farklı yönde aynı büyüklükte F kuvvet uyulanıyor) Sabt br kuvvetn yaptığı Ġġ (br fzkç tanımıyla) Eğer br kuvvet cme uyulandığında onun konumunu değģtryora cm üzerne Ģ yapılmıģ olur. a) Sl kaydırılablr b) Sl kaydırılablr c) Sl kaydırılamamaktadır. (Zor hareket) (Kolay hareket) (Hareket yok) Br kuvvetn Ģ yapıyor olmaı çn büyüklüğü ve yönü öneml. Tanım: Br cm net br F kuvvetnn etkyle d yerdeğģtrme yapara, bu kuvvetn yaptığı Ģ: W F d co

2 Ağırlık kaldırmayla yapılan ş! En üçlü adam taģı kaldırıyor ve yatay olarak d kadar uzağa ötürüyor. a) Adamın taģ üzernde yaptığı Ģ nedr? b) Kütle-çekm kuvvetnn taģ üzernde yaptığı Ģ nedr? W F d co a) TaĢ m ağırlığında br kuvvetle h kadar kaldırıldığında, düģey yerdeğģtrme ıraında yapılan Ģ W=Fdco0=mh dır. Yatay yerdeğģtrme ıraında taģa uyulanan kuvvet dk olduğundan yapılan Ģ ıfırdır. Yapılan net Ģ=mh dır. b) DüĢey yerdeğģtrme ıraında yerçekm kuvvet yerdeğģtrmeye ter olduğundan taģ üzernde yaptığı Ģ W=-mh dır. Yatay yerdeğģtrme ıraında yapılan Ģ ıfırdır. TaĢ üzernde yapılan toplam Ģ W=mh-mh=0 olur. SABĠT BĠR KUVVETĠN YAPTIĞI Ġġ Blok ürtünmez ortamda yatay yerdeğştrme yapara kütle çekm kuvvet normal kuvvet F kuvvet tarafından yapılan ş nedr? F = 0 N = 60 d = 0m Sürtünmez yatay düzlemdek bu cme etk eden kütle çekm kuvvet ve n normal kuvvet cm üzernde br ş yapmıyorlar. Cm üzernde ş yapan tek kuvvet F kuvvetdr. W=(0)(0)co60=50 Newton-metre Ġġ KAVRAMI HAKKINDA İş br enerj aktarımıdır. İş kaler br ncelktr (vektör değl) Brm (SI temde) Joule (J)(=Newton-metre) Br cm br çok kuvvetn etknde abt yada değşken hızla hareket edyora, yapılan toplam ş, tüm kuvvetlern yaptığı ş mktarlarının cebrel toplamıdır. Yada W İşaret eleneğ: toplam F net d net W poztf: Eğer F ve d paralele Eğer enerj teme (cme) aktarılıra W neatf: Eğer F ve d ant paralele Eğer enerj temden dışarı aktarılıra ÖRNEK: Br eşek yatayla 30º açıda F = 500 N büyüklüğünde br kuvvetle br yük arabaı çekyor. Yük arabaı ml (648 m) çekldğnde eşek tarafından yapılan ş heaplayın. W F d co W (500)(648) co 30 W J 500 N

3 ÖRNEK: -y düzlemnde hareket eden br parçacık, F = ( j) N luk abt br kuvvetn etkyle d = ( j) m lk yerdeğştrme yapıyor. (a) Yerdeğştrme ve kuvvetn büyüklüklern heaplayın. (b) F Tarafından yapılan ş heaplayın. (c) F ve d araındak açıyı heaplayın. (a) d F y F F y m N DEĞĠġKEN BĠR KUVVETĠN YAPTIĞI Ġġ Br cm eken üzernde den ye yerdeğģtrn. Ancak kuvvet Ģekldek b değģkene öğrendğmz Ģ denklemn, abt kuvvet altında eçerl olduğundan kullanamayız. ġekldek b küçük br yerdeğģtrme çn kuvvet yaklaģık olarak abttr. Bu durunda bu küçük yerdeğģtrme çn kuvvetn yaptığı Ģ: W F Bu fade Ģaretl dkdörtenn alanıdır. F n le değģen faden bu tür dkdörtenlere bölerek yapılan toplam Ģ: W F Alan (b) (c) W F d (5 j) ( 3j) 5 5 3j j j3j Nm 6 J AB AB co co 6 (3.6)(5.4) 35 Ġġ DEĞĠġKEN BĠR KUVVETĠN YAPTIĞI Ġġ yerdeğştrmeler ıfıra yaklaştırılıra toplamdak termlern ayıı onuza der. Ancak toplamın değer F eğr altındak alana eşt olur: lm 0 F F Br Yayın Yaptığı İş Bu belrl nteral ayıal olarak F n e öre değşm eğrnn altındak alana, - araı çn, eşttr. O halde cmn den a yerdeğştrme halnde F kuvvetnn yaptığı ş: W F d DeğĢken kuvvetn yaptığı Ģ Br parçacık üzerne brden fazla kuvvet etk edere yapılan ş bleşke kuvvetn yaptığı ştr: Alan W W net F d Yay erlr yada ıkıģtırılıra cm üzerne uyulanan kuvvet: F k Ġġ İş; F - eğr altında kalan alana eşttr. ĠĢaret: yayın etkdğ kuvvet le yerdeğģtrme zıt yönlüdür k: yay abt (ert yay çn büyüktür) : cmn yerdeğştrmedr. 3

4 Kuvvetn Yay üzerne Yaptığı İş Yayı =0 dan = ma a yavaşça eren br dış kuvvet F uy e, bu kuvvet F yay kuvvet le eşt ve zıt yönlü olacaktır. F uy k k Dolayııyla br dış kuvvetn yaptığı ş: mak mak WF Fuyd kd k uy mak 0 0 ÖRNEK 7.6 Yayın kuvvet abtnn bulunmaı Br m kütle yaya aılınca yay d kadar erlr ve deneye elr. Yukarı doğru olan yay kuvvet aşağı doğru olan m kuvvetyle denelenr. m kütlen blyorak d meafen ölçerek yayın kuvvet abt bulunur k kütlel br cm yay aıldığında yay = 0. m uzara; (a) Yayın yay abt nedr? (b) Kütle çekm kuvvetnn cm üzernde yaptığı ş nedr? (c) Yay kuvvetnn cm üzernde yaptığı ş nedr? F kd m m (0.5)(9.80) k 4.5 N/m d 0. WF uy kd W 0 kd (4.5)(0.) 0.49 J (4.5)(0.) 0.49 J KİNETİK ENERJİ VE İŞ-KİNETİK ENERJİ TEOREMİ v üratyle hareket eden m kütlel br parçacığın knetk enerjnn tanımı: K mv Buna öre abt net br F kuvvetnn parçacık üzernde yaptığı ş onun knetk enerjndek değşme eşttr: W K K K (ĠĢ-knetk enerj teorem) Knetk enerj kalerdr ve ş le aynı brme ahptr. Bu eştlğ abt br net kuvvet çn türettk ancak bu eştlk kuvvet değşken ola da eçerldr. GÖRELİM: d KİNETİK ENERJİ VE İŞ-KİNETİK ENERJİ TEOREMİ Parçacık üzerne yönünde etkyen net kuvvet Newton un. yaaına öre F ma Buna öre yapılan net ş (bleşke kuvvetn yaptığı ş eştlğnden) W F d ma d dv W mv d mvdv d v W m v v v v m v v dv dv d dv a v dt d dt d W d (bunu yerne yazarak) mv mv Br parçacık üzernde yapılan net ş knetk enerjndek değşme eşttr. 4

5 ÖRNEK: m = 0.00 k kütlel br merm 500 m/ de hareket edyor. m = 000 k kütlel br kamyon 5 m/ hareket edyor. Hannn knetk enerj daha fazla? K mv K (0.00)(500) 500 J K (000)(5) 500 J KİNETİK SÜRTÜNMEYİ İÇEREN DURUMLAR Newton un. yaaına öre yönünde cme etkyen tek kuvvet ürtünme kuvvet olduğundan; fk ma Her k tarafı da d le çarpar ve v v ad fkd ma ) d mv eģtlğn kullanırak K f Br cm yatay yüzeyde d kadar kayın. v lk hız, v on hız olun. ( mv d (Sürtünmeden dolayı ürtünme k knetk enerj kaybı) Kaybolan bu knetk enerj cmn ve yüzeyn ıınmaına harcanır. Böylece br cmn üzerne dğer kuvvetler le ürtünme kuvvet de etkdğnde Ģ-knetk enerj teorem: K W der f k d K Wder Sürtünme dıģındak kuvvetlern yaptığı Ģlern toplamı ÖRNEK: Br adam tüm kuvvetyle (000 N) kütle 0,000 k olan br kamyonu ürtünmez br yüzeyde 0.0 m çekyor. (a) Adam ne kadar ş yapar? (b) 0 m onra kamyonun hızı nedr? (c) Eğer ürtünme olaydı (ürtünme katayıı 0.053) kamyonun 0 m onrak hızı ne olur? (a) Ağırlık normal kuvvetle denelenyor. Yerdeğştrme yatay doğrultuda yan bu k kuvvet ş yapmaz. Sürtünme kuvvet olmadığından etkyen net dış kuvvet 000 N dur. Bu kuvvetn yaptığı ş: W F d co (000)(0) 0000 J (b) Knematk eştlklern kullanablrz (vmey bulup zamanız hız formülünü kullan). Enerj yaklaşımını kullanırak: İlk knetk enerj ıfır olduğundan; W W K K mv 0 4 m v 0000 v m/ ÖRNEK: Br adam tüm kuvvetyle (000 N) kütle 0,000 k olan br kamyonu ürtünmez br yüzeyde 0.0 m çekyor. (a) Adam ne kadar ş yapar? (b) 0 m onra kamyonun hızı nedr? (c) Eğer ürtünme olaydı (ürtünme katayıı 0.053) kamyonun 0 m onrak hızı ne olur? (c) W F d co (000)(0) 0000 J W W K K mv 0 v 4 m 0000 v m/ 5

6 ÖRNEK 7.9 Eğk düzlem erekl ş azaltır mı? Br adam br buzdolabını br eğk düzlem yardımıyla kamyonete yüklemek tyor. Eğk düzlemn uzunluğu artara adam daha az ş yapar mı? Sürtünmey hmal edn. Uzun eğk düzlem daha az kuvvet ama daha fazla yol demektr. Yapılan ş aynı kalır ve mh kadardır. Br cme br dıģ kuvvet uyulanıra ve bu kuvvetn t GÜÇ ürende yaptığı Ģ W e bu ürede harcanan ortalama üç: W Güç enel olarak P enerj aktarma hızıdır. t An üç: t ıfıra yaklaģırken ortalama ücün lmt değer olarak tanımlanır. W dw P lm (dw: Ģ artıģı) t 0 t dt Br d yerdeğģtrme çn yapılan Ģ artıģı dw=fd dr. Buradan an üç: dw d P F. F. v dt dt SI temnde üç brm: Watt (W) = Joule/anye (J/) Dğer üç brm: HP = BG = 746 W klowatt-aat (kwh): aatte abt hızla kw lık tüketlen veya dönüģtürülen enerj mktarı: kwh=(0 3 W)(3600)= J ÖRNEK 7. Br aanör motorunun verdğ üç Br aanör kabn 000 k ve toplam 800 k kütlel yolcu taşımaktadır N luk abt br ürtünme kuvvet le şekldek b harekete karşı koyuyor. (a) Aanör kabn 3 m/ lk abt br üratte kaldırmak çn motorun verdğ mnmum üç ne olmalıdır? Motor aanörü yukarı çekmek çn T kuvvetn ağlamalıdır. Sürat abt olduğundan ÖRNEK 7. Br aanör motorunun verdğ üç Br aanör kabn 000 k ve toplam 800 k kütlel yolcu taşımaktadır N luk abt br ürtünme kuvvet le şekldek b harekete karşı koyuyor. (b) Motoru yukarı doğru.0 m/ lk vme ağlayacak şeklde taarlanmış e herhan br anda ne kadar üç vermeldr? Şmd vme ıfır değl. Bu ücü (a) dak le kıyalarak, aynı hız çn daha büyük üç elde ederz. 6

7 POTANSĠYEL ENERJĠ VE ENERJĠNĠN KORUNUMU. Potanyel enerj. Korunumlu ve korunumuz kuvvetler 3. Korunumlu kuvvetler ve Potanyel enerj 4. Mekank enerjnn korunumu 5 Korunumuz kuvvetlern yaptığı ş 6. Korunumlu kuvvetlerle Potanyel enerj araındak bağıntı 7. Genelde enerjnn korunumu Arka arkaya çeklen bu remde ırıkla atlayıcının enerjnde ürekl olarak değģm olmaktadır. Yerçekmnden kaynaklanan potanyel düģey doğrultuda değģmektedr. Sırığın eğlmende e baģka br potanyel vardır. POTANSĠYEL ENERJĠ Potanyel enerj br temn depoladığı, ş yapablen enerj şekldr. Uyulanan kuvvetler teme knetk enerj kazandırablr veya kaybettreblrler. Fakat temn toplam enerj her zaman aynıdır. Bu duruma enerjnn korunumu denr. Potanyel enerj evrende değşk şekllerde olablr: Kütle çekm, elektromanyetk, kmyaal ve nükleer b. Bataryadak kmyaal enerj elektrk enerjne dönüşerek br motoru döndüreblr. Enerjnn br formdan dğerne dönüşümü fzğn, kmyanın, mühendlğn, byolojnn, jeolojnn ve atronomnn öneml kımını oluştururlar. Kütle çekm potental enerj Yükekten bırakılan br cm Ģ yapma potanyelne ahptr. Cm düģerken hız yan knetk enerj kazanır. Potanyel enerj cm düģerken knetk enerjye dönüģür. Kütle çekm potanyel enerj U m y m kütlel br cm baģlanıçta y yükeklğnden düģerken etkyen tek kuvvet m kütle-çekm kuvvetdr (havanın drenc hmal) AĢağı doğru d yerdeğģtrmende çekm kuvvetnn yaptığı Ģ: W ( m) d ( mj ˆ)( y y ) ˆj my my Potanyel enerj adece yükeklğe (y) bağlıdır, yatay meafeye bağlı de Kütle çekm potanyel enerj Br cm hem yatay hem düşey yerdeğştrme yapara; d ( )ˆ ( y y ) ˆj Kütle çekm kuvvetnn yaptığı ş; mˆj ( )ˆ 0 W my my olduğundan Yan Kütle çekm kuvvetnn yaptığı ş yatay yerdeğştrmeye bağlı değldr, adece y değşmne bağlıdır. Kütle çekm kuvvetnn yaptığı ş W U U ( U U ) U Kütle çekm potanyel enerjnn brm: Joule (J) ve kaler br ncelktr. Potanyel enerj problemlern çözerken br referan noktaı eçlmeldr. 7

8 Eneklk potental enerj Sürtünmez yatay br düzlemde yayın bloğa uyuladığı kuvvet F k Yayın blok üzerde yaptığı ş: W k k Buna öre yayda depolanan eneklk potanyel enerj U k Stemn eneklk potanyel enerj ıkıştırılmış veya erlmş yayda depolanan enerjdr. (a) Deforme olmamıģ br yay ve ürtünmez yüzey. (b) m kütlel cm yayı kadar ıkıģtıracak Ģeklde tlr. (c) SıkıĢmıĢ yay erbet bırakılıra yayda depolanmıģ potanyel enerj bloğa knetk enerj olarak aktarılır. KORUNUMLU KUVVETLER. Br kuvvetn, k nokta araında hareket eden br parçacık üzernde yaptığı ş, parçacığın yolundan bağımıza kuvvet korunumludur.. Başlanıç ve btş noktaları aynı olan br yol boyunca (kapalı yol) hareket eden br parçacık üzernde yapılan ş ıfırdır. KORUNUMLU KUVVETLERE ÖRNEKLER. Kütle-çekm kuvvet: Bu kuvvetn yaptığı ş; W my my olduğundan cmn adece lk ve on y-koordnatları önemldr. Yan dlen yoldan bağımızdır. Kapalı yol boyunca hareket edere; y y W 0. Yaya bağlı herhan br cme uyulanan kuvvet: Kütle-yay temnde yay kuvvetnn yaptığı ş: W k c k olduğundan cmn lk ve on -koordnatlarına bağlıdır. Ve herhan br kapalı yol çn ıfırdır. Genel olarak korunumlu br kuvvetn br cm üzernde yaptığı ş: W U U U KORUNUMSUZ KUVVETLER Mekank Enerj: E=Knetk Enerj+Potanyel Enerj Yan; E K U Eğer br kuvvet mekank enerjde br değşme neden oluyora bu kuvvet korunumuzdur. ÖRNEK: Knetk ürtünme kuvvet: Sürtünmel yüzeyde kayan br cm çn ürtünme kuvvet cmn knetk enerjn azaltır. Mekank enerj değştğ çn kuvvet korunumuzdur. 8

9 MEKANĠK ENERJĠNĠN KORUNUMU Br temn toplam mekank enerj, knetk ve potanyel enerjlernn toplamı olarak tanımlandığından; Toplam Mekank Enerj: E K U Yerden h yükeklğnde tutulan cmn kütle-çekm potanyel enerj mh dır. Cm bu yükeklkten bırakılıra düşme ıraında potanyel enerj azalırken, cmn ürat dolayııyla knetk enerj artar. Ancak bu ırada mekank enerj abt kalır. Enerjnn korunumu lke: E E K U K U Bu eģtlk adece teme enerj eklenp çıkarılmadığı durumlarda eçerldr. Ayrıca tem çnde Ģ yapan korunumuz kuvvet bulunmamalıdır. Yalıtılmış br temn mekank enerj abttr. Br cme brden fazla kuvvet etk edere temn mekank enerj; K U K U ÖRNEK 8.. Serbet DüĢen Top a) Kütle m olan br top h yükeklğnden bırakılıyor. Hava drenc hmal edlre, yerden y yükeklkte ken topun üratn bulalım: K U K U 0 mh mv my v y v v h h y b) Top h yükeklğnde bırakıldığında v lk üratne ahpe y yükeklğnde topun ürat ne olur? mv mh mv my v h y KORUNUMSUZ KUVVETLERĠN YAPTIĞI Ġġ Cme korunumuz kuvvetler etk edyora temn mekank enerj abt kalmaz. ÖRNEK : Uyulanan br kuvvetn yaptığı Ģ Br cm bell br yükeklğe kaldırırak uyuladığımız kuvvet cme W uy şn yapın. Bu ırada kütle çekm kuvvet de cm üzernde W şn yapar. Cm üzernde yapılan net ş knetk enerjdek değşme bağlıdır. W W uy uy W K Kütle-çekm kuvvet korunumlu olduğunda yaptığı ş K U W U olacağından ÖRNEK : Knetk ürtünmey çeren durumlar Knetk ürtünme korunumuz kuvvet örneğdr. Sürtünmel yatay yüzeyde hareket ettrlen br cm knetk ürtünme kuvvet le yavaşlatılır ve durdurulur. Başlanıçtak cmn knetk enerj cm le ürtünen yüzeyde ç enerjye dönüşür. (7. bölümden) K ürtünme f d Cm ürtünmel eğk düzlemde hareket edere; E K U f d Burada; k E E E k Stemn toplam mekank enerjn uyuladığımız kuvvetle değştrdğmz çn uyulanan kuvvet korunumuzdur. Uyulanan kuvvet teme enerj vereblr, alablr. Problem çözerken buradak b ürtünme kuvvet vara yan mekank enerj korunmuyora toplam on mekank enerj le toplam lk mekank enerj araındak fark ürtünmeden kaynaklanan ç enerjye eşttr. 9

10 KORUNUMLU KUVVETLER VE POTANSĠYEL ENERJĠ ARASINDAKĠ BAĞLANTI Öncek kıımlarda korunumlu br kuvvet yerdeğştrmene neden olduğunda kuvvetn yaptığı ş, potanyel enerjdek değşmn neatf d. Yan; W F U Yerdeğştrme onuz küçüke (d), temn potanyel enerjndek onuz küçük du değşmn yazarak; du Fd Buna öre korunumlu kuvvet; du F d Yan, br tem çndek br cme etkyen korunumlu br kuvvet, temn potanyel enerjnn e öre türevnn neatfne eşttr. GENEL OLARAK ENERJĠNĠN KORUNUMU Pürüzlü br yüzeyde kayan cmn kaybettğ mekank enerj cmde eçc depolanan ç enerjye dönüşür. Bu cmn ıcaklığındak artış olarak örülür. Bu ç enerj, atomların dene konumları etrafındak ttreşmleryle lşkldr. Yalıtılmış br temde toplam enerj korunur. Ancak br bçmden dğerne dönüştürüleblr. Toplam enerj dama korunur. Şekl değşmş yay çn; U k du d F k k d d olduğundan olur. Bu e yayın er çağırıcı kuvvetdr. 0