Korelasyon ve Regresyon

Transkript

1 Korelasyon ve Regresyon 1

2 Korelasyon Analz İk değşken arasında lşk olup olmadığını belrlemek çn yapılan analze korelasyon analz denr. Korelasyon; doğrusal yada doğrusal olmayan dye kye ayrılır.

3 Korelasyon İk değşken arasında br lşk var mıdır? lşk doğrusal mıdır, değl mdr? (varsa) lşknn yönü nedr? lşknn gücü nedr? lşknn büyüklüğü nedr? 3

4 Varsayımlar 1. (X, Y) sürekl tesadüf değşkenlerdr.. X ve Y lern dağılımı normal olmalıdır. 4

5 Serplme Dyagramı İk değşken arasındak lşknn; olup olmadığını, bçmn (doğrusal mı değl m), yönünü ve gücünü belrlemenn en kolay yolu serplme dyagramını çzektr. 5

6 Örnek Br frma bünyesndek satış personel sayısı le satış gelrler arasındak lşky blmek stemektedr. Yıllar Satış Personel Sayısı (X) Satış Gelrler (yüz bn $) (Y) , , ,33 00, , , , , , ,15 6

7 satış gelr Serplme Dyagramı 4,5 Scatterplot of satış gelr vs personel sayısı 4,0 3,5 3,0,5,0 1,5 1, personel sayısı

8 Poztf Korelasyon y y y (a) Poztf x (b) Güçlü poztf x (c) Tam poztf x 8

9 Negatf Korelasyon y y y (d) Negatf x (e) Güçlü negatf x (f) Tam negatf x 9

10 y y x (g) Korelasyon yok (h) Doğrusal olmayan güçlü lşk x 10

11 Doğrusal Korelasyon Katsayısı r Br örnektek X ve Y gb k değşken arasındak doğrusal lşknn büyüklüğünü ölçmektedr. 11

12 Doğrusal Korelasyon Katsayısı r nn Özellkler -1 r 1 r = 1 Tam poztf doğrusal lşk r = -1 Tam negatf doğrusal lşk r = 0 Doğrusal 1,00-0,90 Çok kuvvetl 0,70-0,89 Kuvvetl 0,50-0,69 Orta 0,30-0,49 Düşük 0,00-0,9 Zayıf 1

13 Korelasyon le lgl hatalar 1. Nedensellk: Korelasyon değşkenler arasındak sebep sonuç lşklern açıklamaz.. Doğrusallık: X le Y değşkenler arasında anlamlı br doğrusal korelasyon olmadığı halde, aralarında doğrusal olmayan ya da farklı br lşk olablr. 13

14 Örnek Verler İçn Korelasyon Yıllar Satış Personel Sayısı (X ) Hesaplamaları Satış Gelrler (yüz bn $) (Y ) , , ,33 00, , , , , , ,15 Toplamlar 68 7,73 14

15 Örnek Verler İçn Korelasyon Hesaplamaları Yıllar Satış Personel Sayısı (X ) Satış Gelrler (yüz bn $) (X ) ( X X ) ( Y Y ) ( X X )( Y Y ) ( X X ) ( Y Y ) ,35-11,8-1,4 16,76 139,4, ,63-8,8-1,14 10,03 77,44 1, ,33 -,8-0,44 1,3 7,84 0,19 00,41-4,8-0,36 1,73 3,04 0, ,63-1,8-0,14 0,5 3,4 0, ,93, 0,16 0,35 4,84 0, ,41 3, 0,64,05 10,4 0, ,6 5, 0,49,55 7,04 0, ,63 8, 0,86 7,05 67,4 0, ,15 11, 1,38 15,46 15,44 1,9 Toplamlar 68 7,73 57,46 485,6 6,98 15

16 16 Örnek Verler İçn Korelasyon Hesaplamaları r = 0,98 Personel sayısı le satış gelrler arasında poztf yönlü 0,98 büyüklüğün güçlü korelasyon vardır. ) ( ) ( ) )( ( y x y x Y Y X X Y Y X X r

17 Regresyon Y X bağımsız değşken (açıklayıcı değşken, etkleyen) bağımlı değşken (cevap, yanıt değşken, etklenen) Y 0 1 X e Bast doğrusal 1 = eğm katsayısı regresyon model 0 = sabt (kesen) katsayı 17

18 Regresyon Model Tahmn Bast doğrusal regresyon denklem, Ŷ a bx Bağımsız değşkenn bağımlı değşken üzerndek etksn gösterr. a = sabt b = eğm 18

19 satış gelr Regresyon Doğrusu 4,5 Scatterplot of satış gelr vs personel sayısı 4,0 3,5 3,0,5,0 1,5 1, personel sayısı

20 Notasyon Anakütle Parametres Örnek statstğ Regresyon denklemnde sabt 0 a Regresyon denklemnde eğm 1 b Regresyon model ve eştlğ Y = X + e ^ Y = a + b X Y a bx ê 0

21 Hata termler (Artıklar) ve En Küçük Kareler Yöntem Hata termler (Artıklar) eˆ ( Y Yˆ ) En Küçük Kareler Yöntem eˆ y mnmum yapan a ve b değerlernn bulunmasıdır. 1

22 0 ve 1 çn En Küçük Kareler Tahmnleycler b ( X X )( Y Y ) x y ( X X ) x a Y bx

23 Örnek Verler İçn Regreyon Katsayılarının Hesaplanması Yıllar Satış Personel Sayısı (X ) Satış Gelrler (yüz bn $) (Y ) , , ,33 00, , , , , , ,15 Toplamlar 68 7,73 3

24 Regreyon Katsayılarının Hesaplanması Yıllar Satış Personel Sayısı (X ) Satış Gelrler (yüz bn $) (X ) ( X X ) ( Y Y ) ( X X )( Y Y ) ( X X ) ,35-11,8-1,4 16,76 139, ,63-8,8-1,14 10,03 77, ,33 -,8-0,44 1,3 7,84 00,41-4,8-0,36 1,73 3, ,63-1,8-0,14 0,5 3, ,93, 0,16 0,35 4, ,41 3, 0,64,05 10, ,6 5, 0,49,55 7, ,63 8, 0,86 7,05 67, ,15 11, 1,38 15,46 15,44 Toplamlar 68 7,73 57,46 485,6 4

25 Satış gelrnn personel sayısı le açıklandığı regresyon denklem katsayılarının (a, b) tahmn edlmes Y = - 0,17 + 0,11 X b = 0,11 Personel sayısında br brmlk br artış olduğunda satış gellernde 0,11 (xyüzbn Dolar) brmlk artış olur. a = - 0,17 Personel sayısı sıfır olduğunda satış gelrler -0,17 (xyüzbn Dolar) olur. Yan Dolarlık br zarar olur. 5

26 Tahmn Verlen br X değer çn denklemden tahmn edlen nn (teork, tahmn edlen) değer ne olur?.. Eğer anlamlı br korelasyon varsa, en y tahmn edlen Yˆ değer, X değernn regresyon denklemnde yerne konulmasıyla bulunur. 6

27 Denklemden satış gelrnn tahmn edlmes ^ Y = - 0,17 + 0,11 X ^ Y =? Denklemden Hata termlern (Artıklar) tahmn edlmes eˆ ( Y Yˆ )? 7

28 Y Toplam Değşkenlk, Açıklanan Değşkenlk ve Açıklanamayan Değşkenlk Toplam değşkenlk Y Y ^ Y = 3 + X (5, 19) (5, 13) (5, 9) Y = 9 Açıklanamayan değşkenlk Açıklanan değşkenlk X Y - Ŷ Ŷ Y (Toplam değşkenlk) = (Açıklanan değşkenlk) + (Açıklanamayan değşkenlk) Y Y ( Yˆ Y ) ( Y Yˆ ) (Genel kareler toplamı) = (Regresyon kareler toplamı) + (Artık kareler toplamı) Y ) ( Yˆ ) ( ˆ Y Y Y ) (Y 8

29 Tahmn Edlen Teork Yˆ ve ê değerler Yˆ e ê ˆ 1,48-0,13 1,81-0,18,47-0,14,5 0,16,58 0,05 3,0-0,09 3,13 0,8 3,35-0,09 3,68-0,05 4,01 0,14 0,0169 0,034 0,0196 0,056 0,005 0,0081 0,0784 0,0081 0,005 0,0196 Toplam 0,137 9

30 Belrllk Katsayısı Y dek (bağımlı değşkendek) değşkenlğn ne kadarının bağımsız değşkenlerdek (regresyon doğrusu) değşm tarafından açıklanabldğn gösterr. Bast doğrusal regresyon modellernde belrllk katsayısı, doğrusal korelasyon katsayısının r nn karesne eşttr. r =Belrllk katsayısı. Çoklu regresyon modellernde belrllk katsayısı aşağıdak formülle hesaplanır. r ( Yˆ (Y Y ) Y ) 1 (Y e Y ) RKT GKT 30

31 Örnek Verler İçn Belrllk Katsayısı Satıs gelrlerndek (Y dek) değşmn %97,4 ü, personel sayısındak (X dek) değşm tarafından açıklanablmektedr. r ( Yˆ (Y Y ) Y ) 1 (Y e Y ) RKT GKT r = %96,04 31

32 Korelasyon Katsayısının Anlamlılığının Test =Anakütle korelasyon katsayısı H 0 : = (anlamlı br korelasyon yoktur) H 1 : (anlamlı br korelasyon vardır) 3

33 Test İstatstğ t Test statstğ: t hesap = r- 1 - r n - Krtk değerler serbestlk dereces = n - olan tablo değerler dkkate alınarak karar verlr. 33

34 Ret Bölgeler 34

35 Örnek Verler İçn Anakütle Korelasyon Katsayısının Test (t Test) =Anakütle korelasyon katsayısı H 0 : = (satış personel sayısı le satış gelrler arasında anlamlı br korelasyon yoktur) H 1 : (satış personel sayısı le satış gelrler arasında anlamlı br korelasyon vardır) t hesap = Test statstğ: r- 0,987-0 = = 17, r n - 1 0, Krtk değer serbestlk dereces = n - = 10 = 8, a = 0,05 çn t 0,05, 8 =,31 < 17,39 Karar: H 0 red. Korelasyon anlamlıdır. 35

36 Regreyon Katsayılarının ve Regreyon Modelnn Anlamlılığının Test Regreyon katsayılarının (t test) ve regreyon modelnn anlamlılığının test (F test) n yapablmek çn öncelkle standart hataların hesaplanması gerekmektedr. 36

37 Standart Hataların Hesaplanması Tahmnn Standart Hatası S e ˆ (ˆ e ) ( n - k) Sabt Katsayının (a) Standart Hatası S a S e ˆ 1 n ( X X - X) Eğm Katsayının (b) Standart Hatası S b S (X eˆ - X) 37

38 Regresyon Katsayısılarının Test (t Test) 1ve Anakütle regresyon katsayıları 1çn çn H 0 : 1= H 0 : = (1 anlamsızdır) ( anlamsızdır) H 1 : 1 H 1 : (1 anlamlıdır) ( anlamlıdır) b- 1 a-0 t hes = t hes = Sb Sa Krtk değerler serbestlk dereces = n - k olan tablo değerler dkkate alınarak karar verlr. (modelde hesaplanacak katsayı aded) t hesap > t a/, n k se H 0 Red. 38

39 Standart Hatalar S e ˆ = Tahmnn Standart Hatası S e ˆ (ˆ e ) ( n - k) 0,10685 Sb = b 1 n standart hatasıdır. S b S (X eˆ - X) 1 X Sa = a nın standart hatasıdır. S S a e ˆ n ( X - X) 39

40 katsayısı Örnek Verler le Regresyon Katsayısılarının Test (t Test) 1=Anakütle regresyon (X1 çn) H 0 : 1= (1 anlamsızdır) H 1 : 1 (1 anlamlıdır) 40

41 Test statstğ: Test İstatstğ t t = b-1 Sb = 0,11 = 16,16 0, S b S (X eˆ - X) =0, Krtk değerler serbestlk dereces = n - k olan tablo değerler dkkate alınarak karar verlr. a = 0,05 olsun. 16,16 > t a/, n = t 0,05, 8 =,306 H 0 Red. 1 anlamlıdır. 41

42 B 0 İçn 0=Anakütle regresyon modelnde sabt term H 0 : 0= (0 anlamsızdır) H 1 : 0 (0 anlamlıdır) 4

43 Test İstatstğ t Test statstğ: t = Sa a- 0 = - 0,17 0,1884 = - 0,90 S a S e ˆ 1 n X ( X - X) =0,1884 Krtk değerler serbestlk dereces = n - olan tablo değerler dkkate alınarak karar verlr. a = 0,05 olsun. - 0,90 < t a/, n = t 0,05, 8 =,306 H 0 REDDEDİLEMEZ. 0 anlamsızdır. 43

44 F - Test H 0 : 1... k (Model anlamsızdır) H 1 : en az br çn (Model anlamlıdır) Test İstatstğ = F oranı (F hesap ) = ( Yˆ ( Y Y ) Yˆ ) RKO AKO Bast doğrusal regresyonda t = F olmaktadır. Ret Bölges = F hesap > F a, k-1, (n k) se H 0 RET. (k modelde hesaplanacak katsayı aded) 44

45 F Test (Satış Gelrler Örneğ İçn) H 0 : 1 (Model anlamsızdır) H 1 : En az brs sıfırdan farklı (Model anlamlıdır) Test İstatstğ F hes 6,798 0,05 30,41 Karar = F hes = 30,41 > F0,05, 1, 8 = 5,3 H 0 RET. 45