ÇOKLU REGRESYON MODELİ. Bir bağımlı değişkene etki eden çok sayıda bağımsız değişkeni analize dahil ederek çoklu regresyon modeli uygulanabilir.

Transkript

1 ÇOKLU REGRESYON MODELİ Bir ağımlı değişkene etki eden çok sayıda ağımsız değişkeni analize dahil ederek çoklu regresyon modeli uygulanailir. Y= u Y= k k + u EKKY varsayımları çoklu regresyon analizinde de geçerlidir.

2 ÇOKLU REGRESYON MODELİ Tütün Miktarı Gelir Fiyat

3 ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ Ŷ i ˆ ˆ ˆ Katsayıların Tahmini Normal Denklemler ile, Ortalamadan Farklar ile,

4 NORMAL DENKLEMLER Y nˆ Y Y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ SY=?, n, S =?, S =?,SY =?, SY =?, S =?, S =?, S =?

5 Tütün Miktarı Y Gelir Fiyat SY=67.0 S =0.40 S =7.90 Y Y SY = SY =95.64

6 S = S = S =95.64

7 NORMAL DENKLEMLER ˆ ˆ ˆ 0.40ˆ 7.90ˆ ˆ ˆ ˆ 850.6ˆ

8 NORMAL DENKLEMLER -.04/ ˆ 0.40ˆ 0.40ˆ ˆ 7.90ˆ ˆ ˆ ˆ 778.8ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 76.9 ˆ

9 NORMAL DENKLEMLER -.79/ ˆ 7.90ˆ 0.40ˆ ˆ 7.90ˆ 850.6ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 47.64ˆ 850.6ˆ ˆ 4.99 ˆ

10 NORMAL DENKLEMLER -5.6 / ˆ ˆ 76.9ˆ 4.99ˆ ˆ ˆ 76.9ˆ 76.9ˆ ˆ ˆ 0.895

11 NORMAL DENKLEMLER ( 0.895) 76.9ˆ ˆ ˆ ˆ 0.978

12 NORMAL DENKLEMLER ˆ (0.895) 7. 90( ) ˆ ˆ ˆ 6.

13 ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ Yˆ i

14 ORTALAMADAN FARKLAR YOLUYLA Y ˆ ˆ ˆ y=?, x =?, x =?? Y? x x x yx x x x yx ˆ ˆ ˆ ˆ? Syx =?, Syx =?, Sx x =?, Sx =?, Sx =?

15 ORTALAMADAN FARKLAR Tütün Miktarı Y Gelir Fiyat y x x SY=67.0 S =0.40 S =7.90 Y

16 ORTALAMADAN FARKLAR yx yx x x x x Syx =500. Syx =5.79 Sx x = Sx =878. Sx =4.99

17 ORTALAMADAN FARKLAR -5.6 / ˆ 769. ˆ 769. ˆ 499. ˆ ˆ ˆ 769. ˆ 769. ˆ ˆ ˆ 0.895

18 ORTALAMADAN FARKLAR ( ) 76. 9ˆ ˆ ˆ ˆ 0.978

19 ORTALAMADAN FARKLAR ˆ 67. ( )(. 04) ( )(. 79 ) ˆ 6.

20 ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ Yˆ i Tütün miktarı Gelir Fiyat

21 ELASTİKİYETLERİN HESAPLANMASI E yx i Y / Y lim x 0 / i i Y i. i Y Nokta Elastikiyet Ortalama Elastikiyet

22 NOKTA ELASTİKİYET 0 = 40 0 = 8 Yˆ i ( 40) ( 8) Yˆ

23 NOKTA ELASTİKİYET Y E Y. 0 Yˆ 0 ˆ. Yˆ Y E 0 Tütünün gelir elastikiyeti

24 NOKTA ELASTİKİYET Y E Y. 0 Yˆ 0 ˆ. Yˆ Y E 0 Tütünün fiyat elastikiyeti

25 E i Yi EY ORTALAMA ELASTİKİYET Y ˆ EY Y i i. ˆ i. i Y Y = = Y 67. ; 04. ; 79.

26 ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ Ŷ i ˆ ˆ ˆ Yˆ i

27 ÇOKLU REGRESYON MODELİNDE TAHMİNİN STANDART HATASI s Se i Y ˆ i? ˆ S( Yi Yi ) Sei? n k Yˆ i

28 VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ ) Tek açıklayıcı değişkenli model var ˆ u x ) İki açıklayıcı değişkenli model var var ˆ ˆ x x x xx u x x x xx u Y u Y u Bu ifadeler determinantla şöyle yazılailir.

29 VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ Sapmalar içiminde yazılmış iki açıklayıcı değişkenli modelin normal denklemleri şöyledir. x y ˆ ( x ) ˆ ( x x ) ˆ ( ) ˆ ( ) x y xx x () () Parantez içindeki terimler, örnek gözlemlerinden hesaplanmış determinantlardır ˆ ve ˆ ise ilinmeyenlerdir.

30 VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ () ve () nolu denklemin sağ tarafında yer alan ilinenler, determinant kalıında yazılailir. x x x x x x A Her ir parametrenin varyansı, u parametreye ilişkin minör determinantının (ütün) determinanta ölümünün u İle çarpımıdır. Yani

31 Ve.. VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ x y ˆ ( x ) ˆ ( x x ) ˆ ( ) ˆ ( ) x y xx x () () var ˆ için x x x ˆ xx x x x var u u u x A xx x xx xx x xx x

32 VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ var ˆ için x x x ˆ xx x x x var u u u x A xx x xx xx x xx x

33 VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ ) Üç açıklayıcı değişkenli model Y 4 4 Normal denklemin sağ tarafında görülen ilinen terimlerin determinantı şöyledir: x x x x x x x x x x B x x x x x

34 VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ Y 4 4 Daha önce iki açıklayıcı değişkenli model için açıklanan işlemleri urada da yenilersek varyansları determinant cinsinden şöyle yazailiriz. var ˆ için: 4 xx x xx 4 x xx4 var x ˆ x 4 xx 4 x 4 x x 4 x4 u u x x x x x B B

35 VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ 4 xx x xx 4 x xx4 var x ˆ x 4 xx 4 x 4 x x 4 x4 u u x x x x x B B

36 VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ 4 xx x xx 4 x xx var x ˆ x 4 xx 4 x 4 x x x 4 u u x x x x x B B

37 VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ Katsayı tahminlerinin varyanslarını gösteren daha önceki ifadeler incelenecek olursa, şu genelleme yapılailir. k sayıda açıklayıcı değişken içeren ir modelin tahminlerinin varyansı iki determinantın iririne oranından hesaplanailir.

38 VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ Örneğin ˆk nın varyansı aşağıdaki ifadedir. var ˆ k u x x x x x x x x x x x x x x x x k k k x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k

39 Çoklu Regresyon Modelinde Tahminin Standart Hatası Tütün Y SY=67.0 Gelir Fiyat Ŷ SŶ 67.6 e e Se = Se = 5.68

40 Çoklu Regresyon Modelinde Tahmincilerin Standart Hataları Sei 5.68 s =.954 n k 0 s( ˆ ) s Sx Sx Sx ( Sx x ) =0.067 (878.8)(4.99) (76.9)

41 Çoklu Regresyon Modelinde Tahmincilerin Standart Hataları s( ˆ ) s Sx Sx Sx ( Sx x ) (878.8)(4.99) (76.9) =0.47 Var( ). x x x x s n x x ( xx )

42 Çoklu Belirlilik Katsayısı R RBD TD Sŷ Sy Syx Sy Syx R 0.895(500.) ( 0.978)(5.79) = HBD Se TD S y 5.68 = R HBD TD Se Sy = 0.

43 Düzeltilmiş Belirlilik Katsayısı R değeri yeni ağımsız değişken eklendiğinde daima artar, R de payın değeri artarken payda aynı kalır. Bu sakıncayı ortadan kaldırailmek için aşağıdaki düzeltilmiş elirlilik katsayısı hesaplanailir: R ( R ) n n k 0 ( 0.89) 0 = 0.86 R R Çoklu korelasyon katsayısı (R) : Y ağımlı değişkeni ile ağımsız değişkenleri arasındaki ilişkinin derecesini göstermektedir.

44 Basit Korelasyon Katsayıları r yx r Syx Sx Sy 500. = (878.8)(8.90) r yx x x r r Sx Sx Syx Sx x Sy Sx 5.79 (4.99)(8.90) 76.9 (878.8)(4.99) = = x x r Sx Sx x Sx 76.9 (4.99)(878.8) = 0.964

45 Kısmi Korelasyon Katsayıları x ˆ x x ˆ yx x x ˆ x ˆ yx ˆ ˆ x x yx x x x ˆ x ˆ yx x İfadenin her iki yanı ölünürse

46 Kısmi Korelasyon Katsayıları ˆ yx x x ˆ x x nin Y ye Toplam Etkisi ˆ ˆ ˆ ˆ nin Y ye Doğrudan Etkisi = - nin Y ye Dolaylı Etkisi ( 0.978)(0.768)

47 Kısmi Korelasyon Katsayıları ) r )( r ( r r r r. ) r )( r ( r r r r. ) r )( r ( r r r r. ] (0.964) ][ (0.7490) [ (0.7490)(0.964) =0.86 ] (0.964) ][ (0.877) [ (0.877)(0.964) = ] (0.7490) ][ (0.877) [ (0.877)(0.7490) =0.96

48 Kısmi Regresyon Parametrelerinin Ayrı Ayrı Testi.Aşama H 0 : = 0 H : 0.Aşama a =? = 0.05 ; S.d.=? = n-k =0- = 7 t a,sd =? t 0.05,7 =? =.65.Aşama t hes ˆ s(ˆ ) *? = Aşama t hes = > t ta =.65 H 0 hipotezi reddedileilir

49 Kısmi Regresyon Parametrelerinin Ayrı Ayrı Testi.Aşama H 0 : = 0 H : 0.Aşama a =? = 0.05 ; S.d.=? = n-k =0- = 7 t a,sd =? t 0.05,7 =? =.65.Aşama t hes ˆ s(ˆ ) *? = Aşama t hes =-.86 > t ta =.65 H 0 hipotezi reddedileilir

50 Regresyon Parametrelerinin Topluca Testi Y= u (Sınırlandırılmamış Model)(SM) Y= + u (SR) (Sınırlandırılmış Model)(SR).Aşama H 0 : = = 0 H : i 0.Aşama a =? = 0.05 ; f =? = k- = -= f =? = n-k =0-=7 F a,f,f =? F 0.05,,7 =? =4.74

51 Regresyon Parametrelerinin Topluca Testi.Aşama R /(k ) ( R ) /(n Fhes k)? /( ) ( ) /(0 ) =7.7 4.Aşama F hes = 7.7 > F ta = 4.74 H 0 hipotezi reddedileilir

52 Varyans Analiz Talosu Değişkenlik SKT sd SKTO Fhes F-Anlamlılık RBD HBD TD [0.0005]

53 Güven Aralıkları ˆ t s(ˆ a/ ) = (0.067) 0.70 < < 0.48 ˆ t s(ˆ ) = (0.47) a/ < <

54 Sait Terimsiz Bağlanım(Regresyon) Modeli Y i i u i Y i i u i Sait Terimsiz Bağlanım Modeli Y i i i s( ) s i 0< <

55 Sait Terimsiz Bağlanım Modeli Sait Terimsiz Bağlanım Modelinin Özellikleri ) Sait terimsiz regresyonda Σei lerin sıfıra eşit olması şart değildir. ) Sait terimsiz regresyonda r elirlilik katsayısı uygun ir ölçü değildir. Çünkü u katsayının sait terimsiz regresyonda negatif değer alması söz konusu olailmektedir.

56 Sait Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri İmalat Sanayi Mamülleri Üretim Fonksiyonları Üretim faktörleri girdileri sıfırken çıktı yani üretim de sıfır olmalıdır. Orijinden Geçen Uzun Dönem Tüketim Fonksiyonu saitinin pozitif değeri ize ekonomik irimlerin gelir seviyeleri sıfırken daha önce yaptıkları tasarrufları tükettiklerini ve daha önceki dönemlerde üretilmiş mallardan faydalandıklarını ifade etmektedir. Kapalı ir ekonominin daha önce ürettiği tüketim malları stoku yoksa, değeri sıfırdan üyük olamaz. Bu halde gelir seviyesi sıfıra indiğinde tüketim geliri aşacak, u da negatif ir tasarrufa karşılık gelecektir.

57 Sait Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri Gelirden ağımsız ve kısıtlanması mümkün olmayan tüketim seviyesi 'e ağımsız tüketim harcamaları denir. Bu durum kısa dönemde söz konusu olur. Buna karşılık, daha önceki irikmiş tasarruflara ağlı olarak elli ir tüketim seviyesi in varlığının kaulünün uzun dönemde hiç ir anlamı olmaz.

58 Sait Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri Portföy Teorisi Bir yatırım projesinin toplam riski, iki riskten oluşur: Sistematik risk veya piyasa riski ve sistematik olmayan risk. Sistematik olmayan risk firmanın yönetim şartları, firmalar arası rekaet, grevler ve tüketici davranışlarındaki değişmeler gii faktörlere ağlıdır. Sistematik risk, Piyasa faiz oranlarının değişmesi, enflasyon riski, finansal piyasalardaki değişmeler gii faktörlere ağlıdır

59 Sait Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri Finansal Varlıkları Fiyatlama Modelinin Beta Katsayısı, projelerin sistematik riskini ölçmeye yarar. Finansal Varlıklar Fiyatlama Modeli : R i - r f = ß i (R m - r f ) + u i R i = i finansal varlığı verim oranı R m = Piyasa portföyü verim oranı (riskli varlıklardan oluşan) r f = Risksiz piyasa verim oranı (hazine onosunun 90 günlük verim oranı gii) ß i = Finansal varlığın sistematik riski (Beta katsayısı) u i = hata terimi

60 Sait Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri Y i = a i + ß i i + u i Y i = Şirketin yıllık verimlilik oranı (%) i = Piyasa portföyü yıllık verimlilik oranı (%) ß i = Eğim katsayısı, portföy teorisinde Beta katsayısı (Sistematik Risk) Y i =.0899 i s ( i ): (0.96), Se = t (5.6884) Y i = i s (i) (7.6886) (0.8) t = (0.664) (4.4860)

61 DOĞRUSAL OLMAYAN REGRESYON MODELLERİ Tam Logaritmik Modeller Yarı-Logaritmik Model *Log-Doğ Model(Üstel Model) *Yarı-Logaritmik Model Doğ - Log Model Polinomial Model

62 Tam Logaritmik Model Y > 0< < Y <0 Y ( sait tutulduğunda)

63 Tam Logaritmik Model(Üslü model-log-log Modeller-Sait Elastikiyetli Modeller) Y veya. logy log log log u logy Y * log * log * Y * * * ˆ * ˆ ve ˆ tahminler i sapmasızdı r tahmini eğrinin heryerinde aynıdır. * antilog ˆ tahmini sapmalıdır.

64 E Y. Y Y dy d lim. yx 0 Y Y ' dy d. Y nin eşiti üstteki denklemde yerine konursa E Y...

65 Tam Logaritmik Model Birden fazla ağımsız değişken olduğunda Y.. k. k lny =ln + ln + ln k ln k + u lne Y * = * + * + * k k * + u SY S Y * * * * Y ˆ nˆ * * S ˆ ˆ e u * * ˆ * S e * ˆ ˆ *? ˆ? S *

66 . Y Y '...(. ) Y. E yx Y Y Y. Y Y

67 Y Uygulama 4. (07-0)

68 LNY Uygulama 4. (07-0) LN

69 Uygulama 4. (07-0) Hanehalkı Y * =lny * =ln * Y * =ln() ln(y) * =[ln()] Y * =[ln(y)]

70 Uygulama 4. (07-0) * Y * Y * n * n = = Σx = Σ - n (Σ) Sx * = Σxy = ΣY - n (4.074) =7.986 (Σ) (ΣY) Sy * x * = (4.074) (0.449) =.69

71 Uygulama 4. (07-0) ˆ * x y x * * = 0.67 * = * * Y - = (0.67) =.4 * Ŷ = * ln Ŷ = ln Ŷ = [ln(9.4046) =.4]

72 Üretim Fonksiyonu Y Y. Y Y Y Y= Üretim =Emek ; =Sermaye = Emeğin Marjinal Verimliliği = Sermayenin Marjinal Verimliliği lny = ln ln (t) (-.4) (.87) (4.8) n=5 Düz-R = 0.878

73 Yarı-Logaritmik Model Log-Doğ Model(Üstel Model) Y e e e A e Y Y = Ae Y Y = Ae A >0 A <0 (a) ()

74 Yarı-Logaritmik Fonksiyon Log-Doğ Model(Üstel Model) lny = + + u Yarı Logaritmik Modele ait elastikiyet Y e E Y dy d Y e. e.. E Y.

75 lny = + t + u Artış Hızı Modeli Log-Doğ Model(Üstel Model) r = (Antilog - ). 00 Y= İş hacmi(98-988) ln Y = t r = (Antilog 0. - ). 00 = ( ). 00 = (0.997). 00 = % 4

76 Örnek yıllarına ait GSMH verileri aşağıdadır. Buna göre üyüme hızını ulunuz. Y t logy logy*t t Ytahmin e os GSMH YIL LOGGSMH LOGGSMH_YIL YILKARE YTAHMIN HATA

77 lny = + t + u LOG(GSMH)= YIL t (46.004) (6.640) Pro (0.0000) (0.0000) = (Antilog - ). 00 r = (Antilog ). 00

78 Ücret Modeli Log-Doğ Model(Üstel Model) Aşağıdaki ücret modeli Uygulama 9. den alınmıştır.(s.47) Modelde: Y:Haftalık Kazanç ($) ; : Tecrüe ; : Eğitim Kategorisi lny =

79 Yarı-Logaritmik Fonksiyon Doğ - Log Model Y = + ln+ u Y Y Y = + ln Y = + ln >0 <0 (a) ()

80 Yarı-Logaritmik Fonksiyon Doğ - Log Model Yarı Logaritmik Modele ait elastikiyet Y ln dy d Y.. Y E Y. E Y Y Y

81 Y = + ln + ln + u Hedonik Model Doğ - Log Model Fiyat = ln(m ) ln(yatakoda) (t) (-6.8) (7.5) (-.7) Pro. [0.48] Düz-R = 0.86 sd=

82 Polinomial Fonksiyonlar Y = k+ k + u Kuadratik Model: Y = u dy = + = 0 0 = - / d d d Y = Eğer <0 ise 0 noktası maksimumdur Eğer >0 ise 0 noktası minimumdur

83 Polinomial Fonksiyonlar Kuadratik Model OM= Ortalama Maliyet ; Çıktı =Üretimİndeksi GMİ= Girdi Maliyetleri İndeksi OM = Çıktı (Çıktı) GMİ (t) (4.) (-9.7) (7.8) (4.45) Düz-R =0.978 sd=6

84 Polinomial Fonksiyonlar Küik Model TM= Toplam Maliyet ;Q =Üretim Miktarı TM Q (adet) Y (T oplam Maliyet) (Üretim)

85 Polinomial Fonksiyonlar Küik Model Y = u > 0, > 0 < 0 < 4 TM = Q -.96 Q Q s( i ) (6.7) (4.78) (0.98) (0.059) R =0.998 sd=6

86 En Yüksek Olailirlik Yöntemi İstatistikte, tüm anakütleler kendilerine karşılık gelen ir olasılık dağılımı ile tanımlanırlar. Basit(sıradan) en küçük kareler yöntemi, özünde olasılık dağılımları ile ilgili herhangi ir varsayım içermez. Bu yüzden, çıkarsama yapmada BEK tek aşına ir işe yaramaz. BEK, genel ir tahmin yaklaşımından çok regresyon doğrularını ulmada kullanılailecek ir hesaplama yöntemi olarak görülmelidir. 86

87 BEK yönteminden daha güçlü kuramsal özellikler gösteren ir aşka nokta tahmincisi EYO, yani en yüksek olailirlik (maximum likelihood) yöntemidir. En yüksek olailirlik yönteminin ardında yatan temel ilke şu eklentidir: Rassal ir olayın gerçekleşmesi, o olayın, gerçekleşme olasılığının en yüksek olay olmasındandır. Bu yöntem, 90 li yıllarda Ingiliz istatistikçi Sir Ronald A. Fisher (890-96) tarafından ulunmuştur. Ki-kare testi, ayesgil yöntemler ve çeşitli ölçüt modelleri gii irçok istatistiksel çıkarım yöntemi, temelde EYO yaklaşımına dayanmaktadır. 87

88 EYO yöntemini anlayailmek için, elimizde dağılım katsayıları ilinen farklı anakütleler ve rassal olarak elirlenmiş ir örneklem olduğunu varsayalım: Bu örneklemin farklı anakütlelerden gelme olasılığı farklı ve azı ana kütlelerden gelme olasılığı diğerlerine göre daha yüksektir. Elimizdeki örneklem, eğer u anakütlelerden irinden alınmışsa, alınma olasılığı en yüksek anakütleden alınmış olmalıdır diye düşünüleilir. 88

89 Kısaca:. Anakütlenin olasılık dağılımı elirlenir veya u yönde ir varsayımda ulunulur.. Eldeki örneklem verilerinin, hangi katsayılara sahip anakütleden gelmiş olma olasılığının en yüksek olduğu ulunur. YALTA ( Ders Notları) 89

90 Regresyon Katsayılarının En Yüksek Olailirlik Tahminleri Y + i i Y = + + u modelinde katsayıların en yüksek olailirlik tahminleri yapılmadan önce modelde hata terimi olmadığını ifade edelim. Nokta ile gösterilen yerde Y değerine karşılık gelen değerinin i değerine eşit olduğu görülmektedir. 90

91 Y + i Eğer modele hata terimini eklersek hataların elli ir ortalama ve varyansa ağlı olarak normal dağıldığını varsayailiriz. i 9

92 Y + i i Şekilde gösterilen dağılış hata teriminin önceden tahmin edilen dağılışıdır. Gerçekte hata teriminin dağılışının elli ir değere ağlı olarak modelde normal dağıldığını varsayailiriz. 9

93 Y + i i Ayrıca yatay eksene göre akıldığında; şekilde gösterilen dağılış = i durumunda Y nin tahmini dağılımını da ifade etmektedir. 9

94 Y + i i Y değeri + i e yaklaştıkça göreceli olarak daha yüksek yoğunluğa sahip olmaktadır. 94

95 Y + i i Bununla irlikte + i den uzaklaştıkça yoğunluk azalmaktadır. 95

96 Y + i i Y i nin ortalama değeri + i ve hata terimlerinin standart sapması da s, olduğunu varsayarsak. 96

97 Y f ( Y i ) e Y i i + i i Y i lerin olasılık yoğunluk fonksiyonları f(y i ) fonksiyonu ile ifade edileilir. 97

98 İki Değişkenli Basit Regresyon Modelinin En Yüksek Olailirlik Yöntemi İle Tahmini Tek denklemli ekonometrik modellerin tahmininde EKKY dışında kullanılan alternatif yöntem En Yüksek Olailirlik Yöntemidir. Büyük örneklerde her iki yöntemde yakın sonuçlar vermektedir. Küçük örneklerde ise EYOBY de s e / n olup sapmalıdır. EKKY de ise s e / n sapmasızdır. 98

99 EYOBY nin regresyon modeline uygulanışı şöyledir: Y i i u i Y ağımlı değişkeninin E( Yi ) i ortalamalı var( Y i ) s varyanslı normal ve Y i değerlerinin ağımsız dağıldığı varsayılmaktadır. Yani Y i N(,s i ) () 99

100 Bu ortalama ve varyansla Y i nin Y, Y,,Y n değerlerinin ileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir: f ( Y, Y,..., Yn i, s ) Y ler iririnden ağımsız olduğundan, u ileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, n tane ireysel yoğunluk fonksiyonunun çarpımı olarak yazılailecektir. (Y,Y,...,Y,s ) f (Y,s ).f (Y,s ) n i...f (Y n n,s ) () () deki f(y i ), () deki ortalama ve varyanslı normal dağılımlı yoğunluk fonksiyonu olup şöyle ifade edilir: 00

101 ) ( Y i i Y i e f... ) (... ) ( Y n n Y n e e Y f Y f () () ü () deki her Y i yerine koyarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz: (4) (4) de Y i ler ilindiğinde ve, ve s ler ilinmediğinde (4) ifadesine en yüksek olailirlik fonksiyonu adı verilir ve L(,,s) şeklinde gösterilir. Ortak yoğunluk fonksiyonları her ir yoğunluk fonksiyonunun çarpımına eşittir. 0

102 Y β β Yn β βn σ σ n (5) L β,β,σ Y,...,Y e... e σ π σ π L,, Yii ( ) e n n ( ) En yüksek olailirlik yöntemi ilinmeyen i parametrelerinin, verilen Y nin gözlenme olasılığının ençok(maksimum) olacak tarzda tahmini esasına dayanır. Bu seepten lerin EYOBY ile tahmin için (5) fonksiyonunun maksimumunun araştırılması gerekir. Bu türevdir, türev için en kısa yol alınmasıdır. (5) in log. nın 0

103 Y Y n n e... e ln ln L i Y ln n ln n L ln 0 Y * ln L i 0 Y * ln L i i i i i n Y i i i i Y 0

104 4 i Y ** n ln L 0 Y n ln L i n Y i 04