ÜÇ BOYUTLU PLASTİSİTE-HASAR MALZEME MODELLERİNİN SAYISAL ENTEGRASYONU. Afşin SARITAŞ. İnşaat Mühendisliği Bölümü, Orta Doğu Teknik Üniversitesi

Transkript

1 ÜÇ BOYULU PLASİSİE-HASAR MALZEME MODELLERİNİN SAYISAL ENEGRASYONU Afşin SARIAŞ İnşaa Mühendisliği Bölümü, Ora Doğu eknik Üniversiesi Absrac: In his paper, he numerical inegraion of a class of plasic-damage maerial models is presened. he nonlinear evoluion equaions of he maerial are solved hrough Newon-Raphson mehod wih a sub-sepping sraegy. he algorihmic consisen angen marix is formulaed boh in erms of he sress componens in erms of he principal sress and srain componens hen ransformed o he general reference sysem. In order o accoun for he plane sress condiions, he sress-srain relaions of he 3d maerial model are hen condensed ou. his echnique is exended o include he presence of applied pressure or ransverse reinforcing seel for a 3d concree maerial model. he proposed algorihms are esed wih available experimenal daa. Öze: Bu makalede plasisie-hasar malzeme modellerinin sayısal enegrasyonu anlaılmakadır. Doğrusal olmayan malzeme davranışının gelişimi denklemleri, Newon-Raphson yönemi ve çözüm aralıklarının daralılması sraejisiyle çözülmüşür. Algorimik uarlı anjan marisi asal gerilme birim uzama siseminde çözülmüş ve genel siseme döndürülmüşür. Düzlemsel gerilme koşullarını elde emek için 3 boyulu gerilme birim uzama ilişkileri uygun koşullara sınırlanmışır. Bu yönemi gelişirerek yapılardaki enine donaının varlığı da dikkae alınabilir. Son olarak avsiye edilen yönemlerin davranışı es edilmişir. Anahar Kelimeler: Plasisie, hasar, algorimik uarlı maris, sayısal enegrasyon. GİRİŞ Malzemelerin doğrusal olmayan elasik davranışının modellenmesinde elasisie eorisi, plasisie eorisi, hasar mekaniği veya kırılma mekaniği arafından sunulan eoriler ayrı ayrı veya birleşirilerek kullanılabilir. Her bir değişik eorinin uygulama alanları modellenmek isenen malzemenin ana karakerisik davranışı ile ilgilidir. Örnek vermek gerekirse, demir gibi meal malzemelerin modellenmesinde plasisie eorisi

2 güzel sonuçlar verir, ancak beon gibi kırılgan bir malzemenin modellenmesinde aynı eori yeersiz kalabilmekedir. Beonun davranışı eksenel çekme ve basınça birbirinden amamen farklıdır, ayrıca iki eksenli veya üç eksenli yüklemelerde de durum amamen değişir. Beonun basınç dayanımı plasisie eorisi ile modellenebilmekedir. Hasar mekaniği eorisi ise çalakların oluşması sonucu yapısı zarar gören malzemelerin modellenmesinde kullanılmakadır. Bu eoride basi olarak bir skaler hasar parameresi D nin varlığı dikkae alınır ([]). D = malzemenin hiç hasar görmediği, D = 0 ise malzemenin amamen hasar gördüğü anlamına gelir ve ekin gerilme σ ile gerilme σ arasında ilişki şöyle kurulur σ= ( D) σ () Lieraürde plasisie eorisi ve hasar mekaniğinin karışımı ile değişik modeller gelişirilmişir ([2], [3], [4]). Bu makalede beon malzemesi için gelişirilen plasisie-hasar modellerinin davranışının enegrasyonuna yönelik bir çalışma sunulmuşur. Model davranışı asal gerilme eksenleri yönünde çözülmüş ve bunun için genel en yakın noka projeksiyonu algoriması kullanılmışır. Ayrıca gerekiği durumlarda her bir çözüm adımı malzeme seviyesinde parçalara bölünerek uyarlamalı ara-adım sraejisi kullanılmış ve yakınsama elde edilmişir. Bu sayede global seviyedeki çözüm kolaylaşabilmekedir. Algorimik uarlı anjan marisi asal gerilme birim uzama siseminde çözülmüş ve genel siseme döndürülmüşür. Üç boyulu gerilme birim uzama ilişkilerinin enegrasyonundan sonra elde edilen sonucun kiriş sonlu eleman modellerinde kullanılabilmesi için üç boyua gelişirilen ilişkiler üsüne gerekli sınırlamaların uygulanması şarır. En basiinden bir kiriş elemanında bulunabilecek düzlem gerilme durumuna uygun gerilme birim uzama değerleri sağlamak gerekir. Bunun için üç boyulu bir malzeme modelinin düzlem gerilme durumuna uygun özel olarak üreilmiş halini kullanmak mümkündür (J 2 plasisie modeli için [5] ve plasisie-hasar modeli için [6] ya bakınız). Bu ür bir yaklaşımdaki sorun, her bir farklı model için özel olarak düzlem gerilme durumunun üreilmesi gerekir. Bu yönem yerine, düzlem gerilme şarının gerekirdiği sınırlamaların malzeme modeline direk uygulanmasını sağlayan bir algorimanın kullanılması ve böylece herhangi bir üç boyulu malzeme modelinin dönüşümünün kolayca sağlanması daha avanajlıdır. Bu çalışmada hem düzlem gerilme durumu hem de enine donaı yani eriyenin varlığı da dikkae alınarak bir algorima sunulmuşur. üm gelişirilen algorimalar malzeme seviyesinde es edilerek doğrulanmışır. 2. PLASİSİE-HASAR MODELİ İÇİN KONİNUM DENKLEMLERİ Plasisie-hasar modelinin anımı şu denklemlerle yapılır ε= ε + ε, σ= ( D) σ, σ = C ε, ε = λm( σκ, ), κ = λh( σκ, ) (2) e p e p 0 e p burda ε, ε ve ε sırasıyla oplam, elasik ve plasik birim uzama değerleri; C0 hasarsız durumdaki malzemenin elasik rijilik ensörü, m akış vekörü, κ malzeme modelinde kullanılan paramereleri içeren se ve h da plasisie modülüdür. Plasik çarpan λ aşağıda verilen yükleme-boşalma durumundan elde edilir λ 0, F( σκ, ) 0 ve λ F( σκ, ) = 0 (3)

3 ve F( σκ, ) ise kabul edilebilir gerilmelerin hesabında kullanılacak akma fonksiyonu veya hasar sınırı fonksiyonudur. 2. Hasar Gelişim Denklemlerinin Enegrasyonu (2) ve (3) e verilen koninum denklemlerinin sayısal çözümü parçalı bir şekilde zaman üzerinde ilerliyerek elde edilir. Bunun için geriye doğru Euler zaman enegrasyonu yönemi kullanarak koninum denklemlerini arımsal forma dönüşürebiliriz ve sonuç olarak genel en yakın noka projeksiyonu algorimasını elde ederiz. Çözüm için öncelikle n zamanında malzeme nokasındaki doğrusal olmayan ε, ε p, κ değişkenlerinin bilindiği varsayılır. Bu bilgi ile n davranışı emsil eden { n n n} zamanındaki ekin gerilme σ n ve hasar değişkeni p ( ) D D( ) D n yi şu şekilde hesaplarız; σn = C0 εn εn and n = κ n (4) Burda hasar değerlerini emsil eden paramere sei κ, çekme ve basınç hasar κ = κ ; κ. Çekme ve basınç alındaki değişkenleri kullanılarak şu şekilde yazılır { } hasar fonksiyonları D ve D c ise ek eksenli malzeme deneylerinden elde edilen davranışla karşılaşırılarak hesaplanırlar. Denklem (2) deki plasik birim uzamanın geriye doğru Euler yönemi kullanarak enegrasyonu ile n + zamanındaki plasik birim uzama değerlerini elde ederiz. Elde edilen bu değer ve ε = ε + ε n ifadesinin denklem (2) deki gerilme birim uzama ilişkisine yerleşirilmesi ile zamanındaki ekin gerilmeyi elde ederiz n + deneme 0 ve deneme 0( p = λ = n ) σ σ C m σ C ε ε (5) Bu değerlerin akma fonksiyonuna yerleşirilmesi ile elde edilen sonuç eğer sıfırdan F σ deneme + κ 0 ise, o zaman deneme değerleri çözüm olarak kabul edilir, küçük yani ( n, n) davranış elasikir ve plasik çarpan λ sıfırdır. Yani n + zamanı için gerilme ve hasar deneme değerlerimiz deneme değerleriyle aynıdır, σ = σ ve κ = κ. n Eğer yukarda yazılı akma durumu sıfırdan küçük değilse, o zaman malzeme değerlerinin enegrasyonu yapılır κ κ h (6) = + n λ (5) ve (6) daki doğrusal olmayan denklemlerin aynı anda çözümü ve bu arada akma F σ +, κ + = 0 ifadesinin sağlanabilmesi için doğrusallaşırma yapmak durumu ( ) n n gerekmekedir. Bunun için sıfıra denk gelmeyen arık kısımları emsilen denklemleri asal gerilme değerleri kullanarak şu şekilde yazabiliriz deneme σ 0 κ n λ c ( ) R = σ + λcm σ ; R = κ λh κ ; R = F σ, κ (7) Ĉ0 burda asal eksenlerdeki hasarsız elasik rijilik marisidir ve Lame parameresi ve kesme modülü G kullanılarak şu şekilde yazılır λ L

4 λl + 2G λl λl C 0 = λl λl + 2G λ L λl λl λl + 2G (8) (7) deki Rx ( )= 0 ve ( k ) x = σ n + κ n + λ denkleminin çözümü için x değerinden başlayarak doğrusallaşırma yaparsak aşağıdaki arımsal güncelleme ilişkilerini elde ederiz ( k+ ) ( k) ( k) x = x + x wih x= J R( x ) burda J denklem (7) nin Jacobian marisidir ve şöyle yazılır m m I + λc0 ; λc0 ; C nσ 0m σ κ h h J = λ In λ κ h (0) σ κ { F σ } { F κ} 0 I marisi, boyuları asal gerilme vekörünün boyuu n σ = 3 veya malzeme paramere sayısı nκ olan birim marisdir. Denklem (9) daki çözüme başlamak için ilk değer olarak aşağıdaki vekörü alınır ve arık kısmın normu belli bir oleransdan küçük oluncaya kadar ierasyonlar k dan k + e devam eirilerek çözüme ulaşılır. ( 0 ) σ rial σ ( 0) ( 0 ) ( k + ) + ( 0) x = κn = κn ; Rx ( ) OL () λ 0 Eğer belli bir ierasyon sonrasında denklem () verilen oleransın alına düşmüyorsa, o zaman verilen birim uzama vekörü küçülülerek denklem (9) ekrar çözülür. Sonuç olarak uyarlamalı ara-adım sraejisi dediğimiz yolu izleyeraki global çözüm üzerinde rahalama sağlarız. 2.2 Hasar Düzelme Adımı Hasar gelişimi denklemlerinin enegrasyonundaki son adım oluşan hasarın gerilme hesabına kaılması ile olur. Bu çalışmada dikkae alınan plasik-hasar modellerinde n + zamanındaki hasar değeri D ve gerilme σ, n + zamanındaki malzeme paramereleri κ and ekin gerilme σ değerlerinin fonksiyonlarıdır. Bu yüzden hasar düzelme adımı ve 2. albölümünde sunulan plasik düzelme adımı birbirlerinden amamen ayrıdır. Sonuç olarak aşağıdaki ilişkileri yazabiliriz ( ); ( ) D = D κ σ = D σ (2) (9)

5 2.3 Algorimik uarlı anjan Marisi uarlı anjan marisi denklem () in zamanında birim uzamaya göre ürevinin alınması ile elde edilir dσ dd dκ = σ + dε dκ dε ( D ) dσ dε Yukardaki denklemin sağ arafındaki ürevlerin hesabında iki farklı yönem izleyebiliriz. İlk yönemde asal eksenlerdeki dσ dε değerini hesaplayıp sonra dσ dε değerini hesaplayabiliriz. İkinci yönemdeyse dσ dε değerini direk olarak üç boyulu referans ekseninde hesaplayabiliriz. Bu makalede sadece ilk yönem anlaılacakır. Denklem (7) nin çözümü ile arık kısım yakınsamış olur ve şu ilişkiyi yazabiliriz dσ 0d d C ε σ Ξ σ C0dε d J κ = 0n κ dκ = Ξκ 0n κ, (4) d λ 0 d λ 0 Denklem (4) e sağdaki ilişkide Jacobian marisinin ersinin sadece kullanılacak olan kısımları yazılmış, geri kalan kısımlar ise koyu noka işarei ile göserilmişir. Ekin gerilmenin ve malzeme paramerelerinin birim uzamaya göre ürevini denklem (4) den elde ederek, üç boyulu malzemenin asal eksenlerdeki uarlı anjan marisini yazarız dσ dε ( ) dd = D Ξ σ Ξ κ C0 (5) σ dκ Asal eksenden üç boyuaki referans eksene geçiş için [7] de avsiye edilen yönemi kullanabiliriz ( ) n + dσ D A n + σb σa = ma mb + ( AB AB AB BA A B m m + m m A B A = = B = εb εa dσ dε dε 2 burda m ekin gerilmenin özvekörleri v kullanılarak şu şekilde hesaplanır A m v v m v v A = A A, AB = A B, A B A ekrarlayan özdeğerler olduğu zaman bunlara hafif bir değişim verilir ve isenilen σ σ ε olarak da hesaplama yapılır. Alernaif olarak, ( σb σa) ( εb ε A) ifadesi ( ) hesaplanabilir. ) B A B 3. ÜÇ BOYULU MALZEMENİN KİRİŞ ELEMANI DÜZLEMİNE AKARIMI Kolon veya kiriş beonarme elemanlarında bulunan enine donaının varlığını dikkae alarak beon ile donaı arasında y ve z yönlerinde denge ilişkisini am bağ olduğunu varsayarsak şöyle yazabiliriz R y σ yy + ρ y fvy 0 R = = = R σ zz + ρz fvz 0 z (3) (6) (7) (8)

6 burda ρ y ve oranlarıdır. ρ z enine donaının kesi alanına gore sırasıyla y ve z yönlerindeki f ise enine donaı malzemesinin y ve z yönündeki gerilme f vy ve vz değerleridir. Yukardaki denklemin y ve z yönlerinde başlangıç ε 0 birim uzama değerlerinden doğrusallaşırılması ile bu yönlerdeki güncelleme ilişkisini elde ederiz εxx C ρ yevy C2233 ε yy Ry,0 C22 C222 C223 = γxy C R 3322 C ρze vz ε zz z,0 C33 C332 C 333 γ xz burda malzeme anjan marisinin bileşenleri σ ij = Cijkl ε ij için sayısal göserim {, 2, 3} ve harfli göserim { x, yz,} değişimli kullanılmışır. 3. Kiriş Elemanı için Malzeme Rijilik Marisinin Elde Edilmesi Üç boyulu malzeme modelinden elde edilen denklem (6) daki uarlı anjan marisinin herhangi bir kiriş sonlu elemanında kullanılabilmesi için marisin boyularında ayarlamanın yapılması gerekir. Kiriş elemanında iç akif gerilme σ, σ σ xz ve değerlerinin olduğunu ve geri kalan gerilmelerin sıfır olduğunu varsayarsak, sonuç olarak kiriş elemanı kesidi üzerindeki herhangi bir malzeme nokasında kullanılacak rijilik marisini elde ederiz (deaylı üreim için [8] e bakınız) k m xx (9) xy k m C C C C C + = C2222 yevy C2233 C22 C222 C223 C2 C22 C 23 C222 C ρ 233 C3322 C ρze vz C33 C332 C333 C3 C32 C 33 C322 C 333 (20) 4. PLASİK-HASAR BEON MALZEME MODELİNDE UYGULAMA Uygulama için [4] arafından gelişirilen plasik-hasar beon malzeme modeli seçilmiş ve akma fonksiyonu daha önceden üreilen Barcelona modelidir ([3]). ( 2 max ) F ( σ) = α 3 I + J + β σ c (2) α Bu denklemde ekin gerilme ensörü kullanılmışır. I = r( σ ), J 2 = s: s /2 olmak üzere s deviaorik ekin gerilmedir. σ max cebirsel en büyük asal ekin gerilme ve x = ( x + x)/ 2 ise Macaulay paranez fonksiyonudur. Kohezyon parameresi c basınç alındaki kohezyondur ve κ malzeme paramerelerine bağlı bir fonksiyondur. α, eksenel ve iki-eksenli basınç alındaki davranışın akma dayanımı f c0 ve f b0 değerlerinden elde edilir. β, malzeme paramereleri κ nın fonksiyonudur ve bu ilişki çekme ve basınç kohezyon değişkenlerine bağlıdır. Burda kısaca açıklanan üm bu değişkenlerin daha deaylı açıklamaları için [4] e bakınız. Denklem (6) daki plasisie modülü h ile malzeme değişkenlerinin gelişimi hesaplanır

7 ( σ) ( κ ) r f g 0 0 h( σκ, ) = 0 0 ( r( σ) ) fc( κc) g c burda f ve f c çekme basınç dayanım fonksiyonlarıdır ve sırasıyla κ ve κ c malzeme paramerelerine bağlıdır. g = G / L ve gc = Gc / Lc değerleri sırasıyla çekme ve basınç hasarı sırasında harcanan üm enerjiyi emsil ederler; G ve G c çekme ve basınca karşılık gelen kırılma enerjileridir; L ve L c ise çekme ve basınç için malzemenin ipik uzunluklarıdır. ipik uzunlıkların kullanımı sayesinde sonlu elemanlar yöneminde objekif sonuçlar elde ederiz. Denklem (22) de r( σ ) şu şekilde yazılır 3 3 r( σ ) = 0 eğer σ = 0 ; r( σ ) = σ σ diğer hallerde (23) i i= i= Denklem (2) deki akma vekörü m, plasik poansiyel fonksiyonunun ekin gerilmelere göre ürevinin alınmasıyla elde edilir. [4] eki çalışmada Drucker-Prager fonksiyonu kullanılmışken bu çalışmada Drucker-Prager fonksiyonunun hiperbolik hali kullanılmışır. i ( ) 2 anψ Φ= ρ f 0anψ + 3J2 + 3 I (24) burda ψ genişleme açısı, f 0 hasarsız durumdaki eksenel çekme dayanımı, ρ ise denklem (24) deki asimpoa yaklaşım hızını belirleyen parameredir. Hasar değişkeni D nin hesabı için [9] daki ilişki seçilmişir. ( )( ) D= s D ( κ) s D( κ ), 0 s, s (25) c c c D ve D c değerleri çekme ve basınç alındadaki hasarla ilgilidir ve şu şekilde hesaplanırlar d / b ℵ ℵ Dℵ = ( + aℵ + aℵ(2 + aℵ) κℵ) ℵ {, c } (26) a ℵ burda a ℵ, b ℵ ve d ℵ paramereleri model davranışının çekme ve basınç alındaki davranışı emsil edebilmesi için kalibre edilir. Denklem (25) deki s ve s c ise aşağıya yazılmışır ( ) s = w r( σ) 0 w ; s = w r( σ ) 0 w (27) c c c w ve w c çekme ve basınç davranışları arasındaki geçişe rijiliğin ekrar kazanımını emsil eder. 4. Malzeme Davranışının eslerle Karşılaşırılması [0] da çekme ve [] de basınç deneylerinin sonuçları ile kullanılan beon malzeme modelinin eksenel davranışları bu kısımda karşılaşırılmışır. Malzeme modelinde Poisson oranı 0.8, basınç alında iki-eksenli ile ek eksenli akma dayanımı oranı fb0 f c0 =.2 alınmışır. Çekme deneyini karşılaşırmak için, hasarsız elasik modülü (22)

8 4 olarak E 0 = 3. 0 MPa, en büyük çekme dayanımı f = 3.48 MPa, çekmede kırılma enerjisi G = 40 N/m, ipik malzeme uzunluğu L = 82.6 mm olarak kullanılmışır. Basınç deneyini karşılaşırmak içinse, 4 E 0 = MPa f = 27.6 MPa, basınç alındaki kırılma enerjisi c, en büyük basınç dayanımı G = 5690 N/m, ipik malzeme uzunluğu L c = 82.6 mm olarak kullanılmışır. Karşılaşırma için denklem (8) deki ilişkinin donaısız hali kullanılmış ve üç boyulu malzeme modelinin gerilme birim uzama değerlerinden ek eksenli davranışa ulaşılmışır. Şekil () deki deney sonuçları ile olan karşılaşırmanın da göserdiği gibi gerçekçi beon davranışı elde edilmişir. c Şekil. ek eksenli deneyler ve malzeme modelinin karşılaşırması (sol: çekme, sağ: basınç) 5. GELİŞİRİLEN ALGORİMALARIN YAKINSAMA DAVRANIŞI Bu makalede gelişirilen algorimaların yakınsama özelliklerini çalışmak için normal ve kesme gerilmeleri yaraacak bir yükleme koşulu oluşurulmuşur. Bu yüklemede, normal ve kesme birim uzamaları arasında periyodik olarak γ = 0.5ε ilişkisinin ve malzemede düzlem gerilme durumununun olduğu varsayılmışır. Herhangi bir deneyle karşılaşırma olmadığı için malzeme paramerelerinin belirilmesine gerek yokur. Yükleme sonrasında elde edilen normal gerilme birim uzama ilişkisi Şekil (2) de verilmişir. Bu şekilde malzeme modelindeki rijilik kaybı ve plasik birim uzamalarının varlığı açıkça görülmekedir. Denklem (7) nin çözümünde 0-2 olerans kullanılınca çözüm sırasında oluşan arık kısımlar ablo () de sunulmuşur. Genel en yakın noka projeksiyonu algoriması 3-4 ierasyonda yakınsamakadır. Plasik-hasar beon modelinin yakınsaması çoğunlukla kareliye yakındır. Geriye doğru Euler yöneminin özelliği, düzgün davranışı olan bir fonksiyonun enegrasyonu sonucu olarak kareli yakınsama vermesidir. Bu makalede kullanılan malzeme modelinde akma ve plasik poansiyel fonksiyonlarının farklı olması ve denklem (23) deki fonksiyonun ekil nokalarının olması yüzünden algorimanın yakınsamasında yavaşlamalar gözlemlenmişir. Eğer verilen adımdaki birim uzama büyükse, denklem (7) nin çözümünde ara-adım sraejisi kullanılmışır. xy xx

9 Şekil 2. Normal gerilme birim uzama davranışı ablo. Genel en yakın noka projeksiyonu algorimasının yakınsaması Örnek Çözüm R Adımı e e e e e e e e e e e e SONUÇLAR Bu makalede üç boyulu plasik-hasar malzeme modellerinin çözümü için sayısal enegrasyon algorimaları gelişirişmişir. Bunun için geriye doğru Euler sayısal enegrasyonu kullanılmış, çözüm için asal eksenlerdeki davranışan büün siseme geçilerek gerilme birim uzama ilişkisi ve algorimik uarlı anjan marisi elde edilmişir. Uyarlamalı ara-adım ekniğinin kullanılması ile malzeme modelinin yakınsaması kolaylaşmışır. 7. KAYNAKLAR []. Lemaire, J., Coupled Elaso-Plasiciy and Damage Consiuive-Equaions. Compuer Mehods in Applied Mechanics and Engineering, (-3): p [2]. Simo, J.C. and J.W. Ju, Srain-Based and Sress-Based Coninuum Damage Models.. Formulaion. Inernaional Journal of Solids and Srucures, (7): p [3]. Lubliner, J., J. Oliver, S. Oller, and E. Onae, A Plasic-Damage Model for Concree. Inernaional Journal of Solids and Srucures, (3): p

10 [4]. Lee, J.H. and G.L. Fenves, Plasic-damage model for cyclic loading of concree srucures. Journal of Engineering Mechanics-Asce, (8): p [5]. Simo, J.C. and R.L. aylor, Reurn Mapping Algorihm for Plane Sress Elasoplasiciy. Inernaional Journal for Numerical Mehods in Engineering, : p [6]. Lee, J. and G.L. Fenves, A reurn-mapping algorihm for plasic-damage models: 3-D and plane sress formulaion. Inernaional Journal for Numerical Mehods in Engineering, (2): p [7]. Miehe, C., Comparison of wo Algorihms for he Compuaion of Fourh-Order Isoropic ensor Funcions. Compuers and Srucures, (): p [8]. Sarias, A., Mixed Formulaion Frame Elemen for Shear Criical Seel and Reinforced Concree Members, Ph.D. Disseraion. 2006, Universiy of California, Berkeley. [9]. ABAQUS, heory Manual Version [0]. Gopalaranam, V.S. and S.P. Shah, Sofening Response of Plain Concree in Direc ension. Journal of he American Concree Insiue, (3): p []. Karsan, I.D. and J.O. Jirsa, Behavior of Concree Under Compressive Loadings. Journal of he Srucural Division, ASCE, (S2): p