Hafta 3: SİNYALLER için uygulamalar

Transkript

1 Hafa 3: SİNYALLER için uygulamalar Sorular ve Cevapları... 2 Sayfa

2 Bölüm Sonu Soruları ve Cevapları Alışırma : x() = Ae β ; A = A e jα ve β = γ + jω sürekli zaman genel kompleks eksponansiyel sinyalinin genlik değişimini çizip, çıkan sonucu yorumlayınız. Cevap : A kasayısının kuupsal biçimde genlik ve faz olarak, üsel ifadedeki β kasayısının ise karezyen biçimde gerçel ve sanal kısımlarıyla verilmesi sonucu elde edilen x() sürekli zaman genel kompleks eksponansiyel sinyalin genlik değişimini incelemek için, öncelikli olarak Eşilik.a da görüldüğü üzere, soruda verilen A ve β ifadelerini x() sinyalinde yerine koyarak işe başlamalıyız. x() = Ae β = ( A e jα )e (γ+jω ) = ( A e γ )e j(ω +α) (.a) Eşilik.3 eki Euler açılımından faydalanıldığında x() sinyalinin gerçel ve sanal kısımlarını son haliyle Eşilik.b ile elde emekeyiz. x() = ( A e γ )[cos(ω + α) + jsin(ω + α)] = A e γ cos(ω + α) + j A e γ sin(ω + α) (.b) Karezyen koordinalardaki Eşilik.b yi kullanarak, grafiğini inceleyeceğimiz x() sinyalinin genliğinin maemaiksel ifadesini Eşilik.c ile hesaplamak mümkündür. x() = ( A e γ )[cos 2 (Ω + α) + sin 2 (Ω + α)] = ( A e γ ) (.c) Eşilik.c dikkale incelendiğinde γ değerinin sıfırdan büyük olduğu durumda x() sinyalinin genlik değişiminin eksponansiyel olarak arış eğilimi, γ değerinin sıfırdan küçük olduğu durumda ise ilgili sinyalin genlik değişiminin eksponansiyel olarak azalış (sönümlenme) eğilimi gösermesi beklenmekedir. γ değerinin sıfırdan büyük olduğu duruma örnek eşkil emesi açısından Eşilik.c de A = ve γ =.5 olmak üzere Eşilik.d deki x() genlik ifadesi x() = e.5 (.d) Şekil.a da görülmekedir. Sayfa 2

3 5 x()=a*exp(gama*); A= ve gama= (Zaman) Şekil.a γ> için x() sinyalinin genliğinin eksponansiyel olarak arması (A = ve γ =.5). Benzer şekilde γ değerinin sıfırdan küçük olduğu duruma örnek eşkil emesi açısından Eşilik.c de A = ve γ =.5 olmak üzere Eşilik.e deki x() genlik ifadesi x() = e.5 Şekil.b de görüldüğü gibi elde edilmekedir. (.e) 5 x()=a*exp(gama*); A= ve gama= (Zaman) Şekil.b γ< için x() sinyalinin genliğinin eksponansiyel olarak azalması (sönümlenmesi) (A = ve γ =.5). Eşilik.b deki denklem dikkale incelendiğinde, çıkan sonucun daha da ilginç yanı, Şekil.a ve Şekil.b deki eksponansiyel değişimin, Eşilik.b deki sinüsoidal sinyallerin (gerçel kısım için kosinüs, sanal kısım için de sinüs) zarfı olduğudur. Sayfa 3

4 Eşilik.b nin gerçel kısmını ele aldığımızda; Şekil.a daki eksponansiyel arışın, Şekil.c de görüldüğü gibi kosinüs sinyalinin zarfı olması x() Zarfı Eksponansiyel Olan Sinüsoidal Aris, exp(.5) x()=a*exp(a*).*cos(2*pi*f*) Zaman Şekil.c Zarfı eksponansiyel olarak sinüsoidal biçimde arış göseren x() genel kompleks eksponansiyel sinyalinin gerçel genlik değişimi. ve Şekil.b deki eksponansiyel azalışın, Şekil.d de görüldüğü gibi kosinüs sinyalinin yine zarfı olması x() Zarfı Eksponansiyel Olan Sinüsoidal Sonumleme (Azalis), exp(-.5) x()=a*exp(a*).*cos(2*pi*f*) Zaman Şekil.d Zarfı eksponansiyel olarak sinüsoidal biçimde sönümlenen x() genel kompleks eksponansiyel sinyalinin gerçel genlik değişimi. Sayfa 4

5 beklenen bir sonuçur. Benzer biçimde sanal genlik değişimi de incelenirse, bu durumda eksponansiyel arış ve azalışın, sinüs sinyalinin zarfı olarak elde edileceği aşikardır. Alışırma 2: x() = e (α+jω) kompleks eksponansiyel sinyalinin karezyen formda gerçel ve sanal, kuupsal formda ise genlik ve faz değişimi dikkae alınarak, ilgili sinyaldeki zamanının ve Ω açısal frekansının değişimini üç boyulu göserimde inceleyiniz. Cevap 2: Kompleks eksponansiyel formda verilen x() sinyalini Eşilik.f de görüldüğü gibi gerçel ve kompleks eksponansiyel bileşenlerine ayırdığımızda x() = e α e jω (.f) genliğin e α ile fazın ise (Ω) ile değişiğini görebiliriz. α = olması özel koşulunda; genliğin, ile 2π açısal frekans değişimi boyunca değerinde sabi kalmasıyla, karezyen koordinalardaki gerçel ve sanal koordinaların birim çember üzerinde değişeceğini ve birim çember üzerindeki salınımın Eşilik.f deki (Ω) fazı ile sağlanacağını söyleyebiliriz. Ancak α değeri sıfırdan farklı olduğunda, Ω açısal frekansının ve zamanının değişiminin, x() sinyali üzerinde hangi değişikliklere sebep olacağını incelemek için üç boyulu x() sinyali göserimi algısal kolaylık sağlayacakır. x() sürekli zaman kompleks eksponansiyel sinyalinde α =.3 için, x() sinyalinin karezyen koordinalarda göseriminin gerçel ve sanal bölümleri ile kuupsal koordinalarda göseriminin genlik ve faz bölümleri, Şekil.e deki gibi elde edilmişir. x() 4 Faz(x()) Genlik.4 Faz Re(x()) Im(x()).5.5 Gercel x() Sanal x() Şekil.e x() genel kompleks eksponansiyel sinyalin karezyen koordinalarda göseriminin gerçel ve sanal bölümleri ile kuupsal koordinalarda göseriminin genlik ve faz bölümleri. Alışırma de olduğu gibi, Şekil.e de genlik değişiminin α < ile zamana bağlı olarak eksponansiyel sönümlenerek değişmesi şaşırıcı değildir. Şekil.e de x() sinyalinin karezyen koordinalarda gerçel Sayfa 5

6 ve sanal kısımları ile kuupsal koordinalarda genlik ve faz kısımlarını ayrı ayrı elde emiş olmamıza rağmen, hâlâ üm bu paramerelerin birbiri ile ilişkisi hakkında, dolayısıyla x() sinyalinin karakerisiği hakkında fikir sahibi olunamamakadır. Bu nedenle 3 boyulu algı modumuzu açarak, Şekil.e deki üm bu değişkenleri ek bir çaı alında oplamak isediğimiz x() sinyalinin 3 boyulu göserimi için Şekil.f ye başvurmaka fayda vardır x() Im(x()) Re(x()) Şekil.f x() genel kompleks eksponansiyel sinyalin gerçel, sanal, genlik ve faz kısımlarının değişiminin üç boyulu göserimi. Şekil.f de x (yaay) ekseni x() sinyalinin gerçel kısmını, y (düşey) ekseni x() sinyalinin sanal kısmını ve z (derinlik) ekseni ise x() sinyalinin genlik değişimini gösermekedir. Dördüncü bir boyua henüz geçemediğimiz için, akdir edersiniz ki fazın zamanla nasıl değişiğini gösermek ayrı bir eksende mümkün değildir; ancak Eşilik.g deki gibi x() sinyalinin faz değişiminin, Şekil.f de yer alan x eksenindeki gerçel kısmın ve y eksenindeki sanal kısmın zamana bağlı olarak değişimleri göz önüne alındığında Faz[x()] = arcan[sin(ω) cos (Ω)] (.g) Eşilik.g deki oranın (fazın) zamanla spiral değişim gösermesi ve bu spiralliğin, Şekil.e deki gibi sinüsoidal sinyalin eksponansiyel zarfı olarak değişmesi dikka çekicidir. Sonuç olarak, x() sinyalinin sinüsoidal kısmının zarfı olarak eksponansiyel sönümlenen genlik, z ekseninde spiral karakerisik gösermeke, x ve y eksenlerinin oranına göre değişiklik göseren fazın (Ω) karakerisiği ise, zamanla () sönümlenen genlik formunda yol almaka ve x() = e (α+jω) sinyalinin 3 boyulu göserimi Şekil.f deki gibi elde edilip yorumlanabilmekedir. Sayfa 6