İÇİNDEKİLER. 1. DÖNEL YÜZEYLER a Üreteç Eğrisi Parametrik Değilse b Üreteç Eğrisi Parametrik Olarak Verilmişse... 4

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İÇİNDEKİLER. 1. DÖNEL YÜZEYLER a Üreteç Eğrisi Parametrik Değilse b Üreteç Eğrisi Parametrik Olarak Verilmişse... 4"

Transkript

1

2 İÇİNDEKİLER 1. DÖNEL YÜZEYLER a Üreeç Eğrisi Paramerik Değilse b Üreeç Eğrisi Paramerik Olarak Verilmişse.... DÖNEL YÜZEYLERLE İLGİLİ ÖRNEKLER... 5.a α f,,0 Eğrisinin Dönel Yüzeyleri... 5.b α f,0, Eğrisinin Dönel Yüzeyleri... 8.c α 0, f, Eğrisinin Dönel Yüzeyleri PARAMETRİK EĞRİLERLE İLGİLİ SORULAR a Dekar Yaprağı... 1 Soru b Kayış Eğrisi Soru KAPALI DENKLEMLE İLGİLİ SORU... 0 Soru PARAMETRİK PARALEL EĞRİLERLE İLGİLİ SORULAR... 3 Soru a Dekar Yaprağının Paraleli... 5.b Kayış Eğrisinin Paraleli DÖNEL YÜZEYLERLE İLGİLİ GRAFİKLER... 8 Soru Soru KAYNAKLAR... 87

3 1. DÖNEL YÜZEYLER DÖNEL YÜZEYLER Verilen bir eğrinin verilen bir d doğrusu erafında döndürülmesiyle elde edilen yüzeye dönel yüzey denir. Verilen doğruya dönel yüzeyin ekseni yada dönme ekseni, döndürülen eğriye de dönel yüzeyin üreeci denir. Üreecin konumlarından her birine dönel yüzeyin meridyeni denir. Dönme esnasında eğri üzerinde ki her bir noka, merkezi dönme ekseni üzerinde bulunan bir çember çizer; bu çemberlerden her birine dönel yüzeyin bir paraleli denir. Her bir paralelin düzlemi eksene dikir. Dönel yüzey bu paralellerin geomerik yeri olarak da düşünülebilir. Başka bir ifadeyle dönel yüzey bu paralellerin kümesi olarak düşünülebilir. Eğrinin ekseni erafında ϕ açısı kadar dönmesi yüzeyin oluşmaması için yeerlidir. Dönel yüzeyin denklemi eksenin ve üreeç eğrisinin veriliş biçimine göre çeşili yönemlerle bulunabilir. 1.a Üreeç Eğrisi Paramerik Değilse; Üreeç eğrisinin denklemi F x, y, z 0, G x, y, z 0 şeklinde iki yüzeyin arakesi eğrisi olarak verildiyse ve dönel yüzeyin denklemi ekseni x x0 y y0 z z0 de şeklinde ise dönel yüzeyin denklemi şu şekilde a b c bulunur;

4 Üreecin her hangi x,y,z değişken nokası eksen erafında dönerken çizdiği paralel çember, merkezi x 0,y 0,z 0 nokasında bulunan bir küre ile, eksene dik olan düzlemin arakesi eğrisi olarak düşünülebilir. Buna göre λ ve µ değişken olmak üzere büün paraleller 1 biçimindeki gibi ifade edilebilir. ax by cz λ x x µ 0 y y0 z z0 1 Bu paraleller çemberler üreeci verilen eğriyi kesiklerinden F x, y, z 0, G x, y, z 0 ve 1 eşilikleri birlike geçerli olmak zorundadırlar. Bunlar arasında x,y,z yok edilerek elde edilen ϕ λ, µ 0 bağınısını göz önüne alalım. λ, µ nün 1 denklemindeki eşileri bu bağınıda yerine yazılırsa elde edilen denklem denklemidir. Bu denklem dönel yüzeyin kapalı denklemi olur. ϕ ax by cz, x x y y z z Sonuç 1: Dönme ekseninin z-ekseni olması halinde z λ, x y µ, F0, G0 eşiliğinde x, y ve z yok edilerek bulunan ϕ λ, µ 0 olmak üzere ϕ z, x y 0 dönel yüzeyinin denklemi olur. İspa: 1 eşiliğinde x 0, y0, z0 0,0,0 alınırsa ve z λ olmak üzere; x y z µ x y µ z x y µ λ ν dir. burada ν µ λ dir. Bu değerleri ϕ λ, ν 0 da yerine yazarsak isenen sonuca ulaşırız; yani ϕ z, x y 0 dır. Sonuç : Dönme ekseninin y-ekseni olması halinde y λ, x z µ, F0, G0 eşiliğinde x, y ve z yok edilmesiyle bulunan ϕ λ, µ 0 olmak üzere ϕ y, x z 0 dönel yüzeyinin denklemi olur. Sonuç 3: Dönme ekseninin x-ekseni olması halinde x λ, y z µ, F0, G0 eşiliğinde x, y ve z yok edilmesiyle bulunan ϕ λ, µ 0 olmak üzere ϕ x, y z 0 dönel yüzeyinin denklemidir.

5 Sonuç : F x, z 0, y0 eğrisinin z-ekseni erafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemi f x y, z 0 ; aynı eğrinin x-ekseni erafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemi f x, y z 0 ; yine aynı eğrinin y-ekseni erafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemi de f x z, y 0 dır. İspa: Sonuç 1 gereğince F x, z 0, y 0 eğrisinin z-ekseni erafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemi; y 0, F x, z 0, z λ, x y µ den x,y ve z nin yok edilmesiyle bulunan f µ, λ 0 ifadesinde µ x y ve λ z değerleri yerine yazılarak f x y, z 0 olarak bulunur. Benzer şekilde x-ekseni ve y-ekseni erafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemleri de bulunur. Bu sonuç diğer koordina düzlemlerinde ki eğriler için de genelleşirilebilir. Bir koordina düzleminde bir eğrinin, bu düzlemdeki bir e-koordina ekseni erafında döndürülmesiyle oluşurulan yüzeyin denklemi, eğrinin denkleminde e-ekseni boyunca ölçülmeyen değişken yerine, e-ekseni boyunca ölçülmeyen iki değişkenin kareleri oplamının karekökünün konulmasıyla bulunur. Örnek: y 1, z x doğrusunun x y, z 0 doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşurulan dönel yüzeyin denklemini bulalım. F x, y, z x y 0, G x, y, z z 0 üreeç eğrisinin denklemi x 1 y ve z 0 x, y, z y, y,0 1,0,0 y,1,0 x y, z 0 doğrusu x 0, y0, z0 1,0,0 nokasından geçen u a, b, c,1,0 vekörüne paralel olan doğrudur. Buna göre bu değerleri denkleminde yerine yazarsak, ϕ λ, µ ϕx y, x y z 0 aradığımız dönel yüzeyin kapalı denklemidir. Ayrıca bulduğumuz değerleri 1 denkleminde yerine yazarsak, λ x y ve x y z µ buluruz. Bu iki denklemle F 0, G 0 denklemleri arasında x, y ve z yok edilirse;

6 x 1 y λ x y 1 y y y λ µ x y z µ y µ λ λ µ 0 bulunur. λ ve µ değerlerini bulduğumuz sonuçda yerine yazarsak x y [ x y z ] 0 denklemini buluruz. Gerekli işlemleri ve sadeleşirmeleri yaparsak, ϕ x y, x y z 3x y z 8xy x 3 aradığımız dönel yüzeyin denklemidir. 1.b Üreeç Eğrisi Paramerik Olarak Verilmişse; Üreeç eğrisi ϕ u f u, u, h u şeklinde paramerik olarak verilmişse ve ekseni de x x0 y y0 z z0 a b c herhangi bir paraleli 3 eşiliğindeki gibidir. doğrusu olarak verilmişse dönel yüzeyin x x 0 y y 0 z z ax by cz af u b u ch u 0 f u x 0 u y 0 h u z 0 3 bu denklemden u yok edilerek dönel yüzeyin denklemine ulaşılır. F x, y, z 0, G x, y, z 0 şeklinde verilen eğrinin paramerik bir denklemi bulunabiliyorsa ve α f,, h ise verilen eksenin geçiği 1 noka x 0,y 0,z 0, doğrularının vekörü de u a, b, c ise, dönel a b c yüzeyin paramerik denklemi veya 5 denklemlerinden bulunabilir. x x0, y y0, z z0 < α, u >. u cosϕ. α < α, u > cosϕ. u sinϕ. u α φ, ϕ < α, u > 1 cosϕ u cosϕ. α sinϕ. u α x0, y0, z0 5

7 . DÖNEL YÜZEYLERLE İLGİLİ ÖRNEKLER Şimdi de değişik paramerik eğrilerin x-ekseni, y-ekseni, z-ekseni ve herhangi bir doğru erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeylerin paramerik denklemlerini bulalım. Bu denklemleri bulmak için 6 eşiliğinden faydalanacağız. φ, ϕ < α, u > 1 cosϕ u cosϕ. α sinϕ. u α 6.a α f,, 0 eğrisinin; i x-ekseni erafında, ii y-ekseni erafında, iii z-ekseni erafında, iv xy-z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeylerin paramerik denklemlerini bulalım..a.i α f,, 0 eğrisinin x-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; x-ekseninin vekörü u olmak üzere u 1,0,0 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,,0,1,0,0 > f sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 7 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e 0,0, 3 f 0 7 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine 8 φ, ϕ f 1 cosϕ1,0,0 cosϕ f,,0 sinϕ0,0, f f cosϕ,0,0 f cosϕ, cosϕ,0 0,0, sinϕ f f cosϕ f cosϕ, cosϕ, sinϕ f, cosϕ, sinϕ

8 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α f,,0 eğrisinin x-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f, cosϕ, sinϕ dır..a.ii α f,, 0 eğrisinin y-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; y-ekseninin vekörü u olmak üzere u 0,1,0 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,,0,0,1,0 > sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 9 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e3 f 0,0, f f 0 9 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ 1 cosϕ0,1,0 cosϕ f,,0 sinϕ0,0, f 0, cosϕ,0 f cosϕ, cosϕ,0 0,0, f sinϕ f cosϕ, cosϕ cosϕ, f sinϕ f cosϕ,, f sinϕ 10 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α f,,0 eğrisinin y-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f cosϕ,, f sinϕ dır..a.iii α f,, 0 eğrisinin z-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; z-ekseninin vekörü u olmak üzere u 0,0,1 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,,0,0,0,1 > 0 sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 11 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e1 e f, f,0 f 0 11

9 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ 0.1 cosϕ0,0,1 cosϕ f,,0 sinϕ, f,0 f cosϕ, cosϕ,0 sinϕ, f sinϕ,0 f cosϕ sinϕ, cosϕ f sinϕ,0 1 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α f,,0 eğrisinin z-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f cosϕ sinϕ, cosϕ f sinϕ,0 dır..a.iv αf,,0 eğrisinin xy-z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; z0 olduğundan N 0,0,1 ve x y z doğrusunun normali N 1,, olmak üzere u vekörü 13 eşiliğindeki gibidir. d e1 e e3 u N d N 1 e1 e 0 0 1,,0 13 Bu eşilikde ki u,,0 vekörünü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,,0,,,0 > f sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 1 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α 0 e f 0,0, 3 f 0 f 1 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ f 1 cosϕ,,0 cosϕ f,,0 sinϕ0,0, f f f cosϕ cosϕ, f f cosϕ g cosϕ,0 f cosϕ, cosϕ,0 0,0, f sinϕ sinϕ f 3cosϕ 1 cosϕ, f 1 cosϕ, f sinϕ sinϕ 15

10 eşiliğini elde ederiz. Dolayısıyla α f,,0 eğrisinin x y z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin denklemi φ, ϕ f 3cosϕ 1 cosϕ, f 1 cosϕ, f sinϕ sinϕ dır..b α f, 0, eğrisinin; i x-ekseni erafında, ii y-ekseni erafında, iii z-ekseni erafında, iv xy-z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeylerin paramerik denklemlerini bulalım..b.i α f, 0, eğrisinin x-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; x-ekseninin vekörü u olmak üzere u 1,0,0 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,0,,1,0,0 > f sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 16 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e 0,,0 f 0 16 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ f 1 cosϕ1,0,0 cosϕ f,0, sinϕ0,,0 f f cosϕ,0,0 f cosϕ,0, cosϕ 0, sinϕ,0 f f cosϕ f cosϕ, sinϕ, cosϕ f, sinϕ, cosϕ 17 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α f,0, eğrisinin x-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f, sinϕ, cosϕ dır..b.ii α f, 0, eğrisinin y-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması;

11 y-ekseninin vekörü u olmak üzere u 0,1,0 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,0,,0,1,0 > 0 sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 18 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e1 e3 f,0, f f 0 18 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ 0.1 cosϕ0,1,0 cosϕ f,0, sinϕ,0, f f cosϕ,0, cosϕ sinϕ,0, f sinϕ f cosϕ sinϕ,0, cosϕ f sinϕ 19 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α f,0, eğrisinin y-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f cosϕ sinϕ,0, cosϕ f sinϕ dır..b.iii α f, 0, eğrisinin z-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; z-ekseninin vekörü u olmak üzere u 0,0,1 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,0,,0,0,1 > sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 0 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e f 0, f,0 f 0 0 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine 1 φ, ϕ 1 cosϕ0,0,1 cosϕ f,0, sinϕ0, f,0 0,0, g cosϕ f cosϕ,0, cosϕ 0, f sinϕ,0 f cosϕ, f sinϕ, cosϕ cosϕ f cosϕ, f sinϕ,

12 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α f,0, eğrisinin z-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f cosϕ, f sinϕ, dır..b.iv αf,0, eğrisinin xy-z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; y0 olduğundan N 0,1,0 ve x y z doğrusunun normali N 1,, olmak üzere u vekörü eşiliğindeki gibidir. d e1 e e3 u N d N 1 e1 e ,0,1 Bu eşilikde ki u 1,0,1 vekörünü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,0,,1,0,1 > f sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 3 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e f 0 f 0, f,0 3 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ f 1 cosϕ1,0,1 cosϕ f,0, sinϕ0, f,0 f f cosϕ cosϕ,0, f f cosϕ cosϕ f cosϕ,0, cosϕ 0, f sinϕ sinϕ,0 f 1 cosϕ, f sinϕ sinϕ, f 1 cosϕ eşiliğini elde ederiz. Dolayısıyla α f,0, eğrisinin x y z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin denklemi φ, ϕ f 1 cosϕ, f sinϕ sinϕ, f 1 cosϕ dır..c α 0, f, eğrisinin; i x-ekseni erafında, ii y-ekseni erafında,

13 iii iv z-ekseni erafında, xy-z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeylerin paramerik denklemlerini bulalım..c.i α 0, f, eğrisinin x-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; x-ekseninin vekörü u olmak üzere u 1,0,0 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< 0, f,,1,0,0 > 0 sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 5 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e e3 0 f f 0,, f 5 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ 0.1 cosϕ1,0,0 cosϕ0, f, sinϕ0,, f 0, f cosϕ, cosϕ 0, sinϕ, f sinϕ 0, f cosϕ sinϕ, cosϕ f sinϕ 6 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α 0, f, eğrisinin x-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ 0, f cosϕ sinϕ, cosϕ f sinϕ dır..c.ii α 0, f, eğrisinin y-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; y-ekseninin vekörü u olmak üzere u 0,1,0 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< 0, f,,0,1,0 > f sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 7 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e,0,0 1 0 f 7

14 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine 8 φ, ϕ f 1 cosϕ0,1,0 cosϕ0, f, sinϕ,0,0 0, f f cosϕ,0 0, f cosϕ, cosϕ sinϕ,0,0 g sinϕ, f f cosϕ f cosϕ, cosϕ sinϕ, f, cosϕ eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α 0, f, eğrisinin y-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ sinϕ, f, cosϕ dır..c.iii α 0, f, eğrisinin z-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; z-ekseninin vekörü u olmak üzere u 0,0,1 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< 0, f,,0,0,1 > sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 9 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e1 f f,0,0 0 f 9 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine 30 φ, ϕ 1 cosϕ0,0,1 cosϕ0, f, sinϕ f,0,0 0,0, cosϕ 0, f cosϕ, cosϕ f sinϕ,0,0 f sinϕ, f cosϕ, cosϕ cosϕ f sinϕ, f cosϕ, eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α 0, f, eğrisinin z-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f sinϕ, f cosϕ, dır..c.iv α0,f, eğrisinin xy-z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması;

15 x0 olduğundan N 1,0,0 ve x y z doğrusunun normali N 1,, olmak üzere u vekörü 31 eşiliğindeki gibidir. d e1 e e3 u N d N 1 e e ,, 31 Bu eşilikde ki u 0,, vekörünü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< 0, f,,0,, > f sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 3 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α 0 e1 f f,0,0 0 f 3 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ f 1 cosϕ0,, cosϕ0, f, sinϕ f,0,0 0, f f cosϕ cosϕ, f f cosϕ cosϕ 0, f cosϕ, cosϕ f sinϕ sinϕ,0,0 f sinϕ, f 1 cosϕ, f 1 cosϕ g 3cosϕ 33 eşiliğini elde ederiz. Dolayısıyla α 0, f, eğrisinin x y z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin denklemi φ, ϕ f sinϕ, f 1 cosϕ, f 1 cosϕ 3cosϕ dır.

16 3. PARAMETRİK EĞRİLERLE İLGİLİ SORULAR 3.a Dekar Yaprağı 3a 3 3a 3 Soru 1: α, eğrisini çiziniz. Çözüm : Bu eğriyi Mahemaica programını kullanarak Parameric Plo D de çizelim. i α eğrimizde a sabiini 1 olarak alalım. Buna göre eğrimiz 3 3 α, olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye 3 3 alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; [{ 3 3 Parameric Plo, },{, π,π 3 3 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 15 deki gibidir. ii α eğrimizde a sabiini -1 olarak alalım. Buna göre eğrimiz 3 3 α, olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π 3 3 ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; [{ 3 3 Parameric Plo, },{, π,π 3 3 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 16 deki gibidir. İki grafiken de görüleceği üzere i deki eğri ile ii deki eğri simerikir.

17

18

19 3.b Kayış Eğrisi Srophoid Soru : a a a a α, eğrisini çiziniz. Çözüm : Bu eğriyi Mahemaica programını kullanarak Parameric Plo D de çizelim. i α eğrimizde a sabiini 1 olarak alalım. Buna göre eğrimiz α, olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo[{, },{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 18 deki gibidir. ii α eğrimizde a sabiini -1 olarak alalım. Buna göre eğrimiz α, olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; [{ Parameric Plo, },{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 19 deki gibidir. İki grafiken de görüleceği üzere i deki eğri ile ii deki eğri simerikir.

20

21

22 . KAPALI DENKLEMLE İLGİLİ SORU Soru 3: F x, y x y ax k x y 0 denklemini çiziniz. Çözüm : Bu denklemi Mahemaica programını kullanarak Implici Plo da çizelim. Çizimimizi yapabilmemiz için sayfamızın ilk saırına << Graphic s Im pliciplo ifadesini yazmalıyız ve Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. i F x, y 0 denkleminde a sabiini, k sabiini de 1 olarak alalım. Buna göre denklemimiz F x, y x y x x y 0 olur ve x değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu denklemi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Im pliciplo [ x y x x y 0,{ x, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 1 deki gibidir. ii F x, y 0 denkleminde a sabiini, k sabiini de 1 olarak alalım. Buna göre denklemimiz F x, y x y x x y 0 olur ve x değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu denklemi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Im pliciplo [ x y x x y 0,{ x, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa deki gibidir. İki grafiken de görüleceği üzere i deki eğri ile ii deki eğri simerikir.

23

24

25 5. PARAMETRİK PARALEL EĞRİLERLE İLGİLİ SORULAR Soru :, y x α eğrisinin paraleli olan β eğrisi; a Soru 1 için, y x kx y y x ky x β olmak üzere bu eğriyi çiziniz. b Soru için, y x kx y y x ky x β olmak üzere bu eğriyi çiziniz. Çözüm : Bu eğrileri Mahemaica programını kullanarak Parameric Plo D de çizelim. Ancak daha önce x, y ve y x değerlerini hesaplayalım. Soru 1 için x ve y değerleri; a x a x a x a y a y a y a a y x Soru için x ve y değerleri; a x a x a a x a y a y a a y a a y x

26 5.a Dekar Yaprağının Paraleli Çözüm a α eğrimizde a sabiini ve β eğrisinde k sabiini 1 olarak alalım. Buna göre β eğrimiz şu şekilde olur; 3 β , burada gerekli sadeleşirmeleri yapıkan sonra ise eğrimiz; 3 β , şeklinde olur. değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; 3 A , bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonra al saıra aşağıdaki ifadeyi yazıp aynı işlemleri ekrar yapmalıyız. Aşağıdaki ifadede A yerine doğrudan eğrimizi de yazabiliriz. Parameric Plo[ A,{, π,π Sonuç da α eğrisine paralel olan β eğrisinin grafiğini elde emiş oluruz. α ve β değerlerini aşağıda yerine yazmak şarıyla, bu iki eğriyi birlike çizdirebiliriz. Bunun için aşağıdaki ifadeleri çalışırdıkan sonra son saıra Show [ A, B] yazıp Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafikler sayfa 5 deki gibidir. A ParamericPlo[ α,{, π,π B ParamericPlo[ β,{, π,π

27

28 5.b Kayış Eğrisinin Paraleli Çözüm b α eğrimizde a sabiini ve β eğrisinde k sabiini 1 olarak alalım. Buna göre β eğrimiz şu şekilde olur; β 6, 6 burada gerekli sadeleşirmeleri yapıkan sonra ise eğrimiz; β 6, 6 şeklinde olur. değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; A 6, 6 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonra al saıra aşağıdaki ifadeyi yazıp aynı işlemleri ekrar yapmalıyız. Aşağıdaki ifadede A yerine doğrudan eğrimizi de yazabiliriz. Parameric Plo[ A,{, π,π Sonuç da α eğrisine paralel olan β eğrisinin grafiğini elde emiş oluruz. α ve β değerlerini aşağıda yerine yazmak şarıyla, bu iki eğriyi birlike çizdirebiliriz. Bunun için aşağıdaki ifadeleri çalışırdıkan sonra son saıra Show [ A, B] yazıp Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafikler sayfa 7 deki gibidir. A ParamericPlo[ α,{, π,π B ParamericPlo[ β,{, π,π

29

30 6. DÖNEL YÜZEYLERLE İLGİLİ GRAFİKLER Dönel Yüzeylerle İlgili Örnekler konusunda elde eiğimiz, değişik paramerik eğrilerin x-ekseni, y-ekseni, z-ekseni ve herhangi bir doğru erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeylerin paramerik denklemlerini kullanarak, aşağıdaki soruya cevap bulmaya çalışalım. Soru 5: Soru 1 ve soru için dönel yüzeylerin grafiklerini çiziniz. Çözüm : α 1 f, olmak üzere, üç boyua α eğrimizi aşağıdaki gibi üç farklı şekilde alacağız. buna göre; şeklindedir. 1 α f,,0 α f,0, 3 α 0, f, Soru 1 için f ve g değerleri, a sabii 1 olmak üzere; 3 f g 35 3 şeklindedir. Soru için f ve g değerleri, a sabii 1 olmak üzere; f 36 g 37

31 Çözüm a Soru 1 için çözümümüz; a.1 Eğrimiz α f,,0 olmak üzere 3 ve 35 eşiliklerini yerlerine yazarsak eğrimiz 3 3,, α olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo 3 D[{ 3 3, 3 3,0},{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 30 deki gibidir. a.1.i 3 3,, α eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 8 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ, cosϕ, sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 3 ParamericPlo D[{, 3 3 {, π,π },{ u, π,π 3 cos[ u], 3 3 sin[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 31 deki gibidir.

32

33

34 3 3 a.1.ii α,, 0 eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. 3 3 Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 10 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ cosϕ,, sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 3 ParamericPlo D[{ cos[ u], 3 3 {, π,π },{ u, π,π 3, 3 3 sin[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 3 deki gibidir. a.1.iii 3 3,, α eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 1 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ cosϕ sinϕ, cosϕ sinϕ, denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; ParamericPlo D[{ cos[ u] sin[ u], cos[ u] sin[ u],0},{, π,π },{ u, π,π 3 3

35 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 35 deki gibidir. a.1.iv 3 3,, α eğrisini x y z doğrusu erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 15 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ 3cosϕ 1 cosϕ, cosϕ, sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x y z doğrusu erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; ParamericPlo D[{ 3cos[ u] 1 cos[ u], cos[ u], sin[ u]}, {, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 36 deki gibidir.

36

37

38

39 a. Eğrimiz α f,0, olmak üzere 3 ve 35 eşiliklerini yerlerine yazarsak eğrimiz 3 3 3,0, 3 α olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo 3 D[{ 3 3,0, 3 3 },{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 38 deki gibidir. a..i 3 3 3,0, 3 α eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 17 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ, sinϕ, cosϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 3 ParamericPlo D[{, 3 3 {, π,π },{ u, π,π 3 sin[ u], 3 3 cos[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 39 deki gibidir.

40

41

42 3 3 a..ii α,0, eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. 3 3 Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 19 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ cosϕ sinϕ,0, cosϕ sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; ParamericPlo D[{ cos[ u] sin[ u],0, cos[ u] sin[ u]},{, π,π },{ u, π,π 3 3 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa deki gibidir. a..iii 3 3 3,0, 3 α eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 1 eşiliğinde yerine yazarsak; 3 φ, ϕ 3 3 cosϕ, 3 3 sinϕ, 3 denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 3 Parameric Plo D[{ cos[ u], 3 3 {, π,π },{ u, π,π 3 sin[ u], 3 3 },

43 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 3 deki gibidir. a..iv 3 3 3,0, 3 α eğrisini x y z doğrusu erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini eşiliğinde yerine yazarsak; 3 φ, ϕ cosϕ, 3 1 cosϕ 3 sinϕ 3 sinϕ, denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x y z doğrusu erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; Parameric Plo D[{ cos[ u], sin[ u] sin[ u], cos[ u]}, {, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa deki gibidir.

44

45

46

47 a.3 Eğrimiz α 0, f, olmak üzere 3 ve 35 eşiliklerini yerlerine yazarsak eğrimiz 3 0, 3 3, 3 α olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo 3 D[{0, 3 3, 3 3 },{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 6 deki gibidir. a.3.i 3 0, 3 3, 3 α eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 6 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ 0, cosϕ sinϕ, cosϕ sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; Parameric Plo D[{0, cos[ u] sin[ u], sin[ u]},{, π,π },{ u, π,π cos[ u] bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 7 deki gibidir.

48

49

50 a.3.ii α 0,, eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 8 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ sinϕ,, cosϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 3 ParamericPlo D[{ sin[ u], 3 3 {, π,π },{ u, π,π 3, 3 3 cos[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 50 deki gibidir. a.3.iii 3 0, 3 3, 3 α eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 30 eşiliğinde yerine yazarsak; 3 φ, ϕ 3 3 sinϕ, 3 3 cosϕ, 3 denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 3 Parameric Plo D[{ sin[ u], 3 3 {, π,π },{ u, π,π 3 cos[ u], 3 3 },

51 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 51 deki gibidir. a.3.iv 3 0, 3 3, 3 α eğrisini x y z doğrusu erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 33 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ sinϕ, cosϕ 3cosϕ cosϕ, denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin x y z doğrusu erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; Parameric Plo D[{ sin[ u], cos[ u], 1 cos[ u] cos[ u]},{, π,π },{ u, π,π 3 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 5 deki gibidir.

52

53

54

55 Çözüm b Soru için çözümümüz; b.1 Eğrimiz α f,,0 olmak üzere 36 ve 37 eşiliklerini yerlerine yazarsak eğrimiz,, 0 α olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo 3 D[{,,0},{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 5 deki gibidir. b.1.i,, 0 α eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 8 eşiliğinde yerine yazarsak; φ 1 1 1, ϕ, cosϕ, sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; ParamericPlo D[{, cos[ u], {, π,π },{ u, π,π 3 sin[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 55 deki gibidir.

56

57

58 b.1.ii α,, 0 eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 10 eşiliğinde yerine yazarsak; φ 1 1 1, ϕ cosϕ,, sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; ParamericPlo D[{ cos[ u], {, π,π },{ u, π,π, 3 sin[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 58 deki gibidir. b.1.iii,, 0 α eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 1 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ cosϕ sinϕ, cosϕ sinϕ, 0 denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 ParamericPlo D[{ cos[ u] sin[ u], cos[ u] sin[ u],0},{, π,π },{ u, π,π

59 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 59 deki gibidir. b.1.iv,, 0 α eğrisini x y z doğrusu erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 15 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ 3cosϕ 1 cosϕ, 1 cosϕ, sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin x y z doğrusu erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. değişkeni için aralığımızı π den π ye, ϕ değişkeni içinde aralığımızı önce 0 dan π ye sonra da π den 0 a alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 ParamericPlo D[{ 3cos[ u] 1 cos[ u], 1 cos[ u], sin[ u]}, {, π,π },{ u,0, π 3 ParamericPlo D[{ 3cos[ u] 1 cos[ u], 1 cos[ u], sin[ u]}, {, π,π },{ u, π,0 bu ifadeleri programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak birinci ifade için elde edeceğimiz grafik sayfa 60 deki, ikinci ifade için elde edeceğimiz grafik sayfa 61 deki gibidir.

60

61

62

63

64 b. Eğrimiz α f,0, olmak üzere 36 ve 37 eşiliklerini yerlerine yazarsak eğrimiz,0, α olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo 3 D[{,0, },{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 63 deki gibidir. b..i,0, α eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 17 eşiliğinde yerine yazarsak; φ 1 1 1, ϕ, sinϕ, cosϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; ParamericPlo D[{, {, π,π },{ u, π,π sin[ u], 3 cos[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 6 deki gibidir.

65

66

67 b..ii α,0, eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 19 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ cosϕ sinϕ,0, cosϕ sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 ParamericPlo D[{ cos[ u] sin[ u],0, cos[ u] sin[ u]},{, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 67 deki gibidir. b..iii,0, α eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 1 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ cosϕ, sinϕ, denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 D[{ cos[ u], sin[ u], {, π,π },{ u, π,π Parameric Plo },

68 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 68 deki gibidir. b..iv,0, α eğrisini x y z doğrusu erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ cosϕ, sinϕ cosϕ sinϕ, denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin x y z doğrusu erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 Parameric Plo D[{ cos[ u], sin[ u] sin[ u], cos[ u]}, {, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 69 deki gibidir.

69

70

71

72 b.3 Eğrimiz α 0, f, olmak üzere 36 ve 37 eşiliklerini yerlerine yazarsak eğrimiz 0,, α olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo 3 D[{0,, },{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 71 deki gibidir. b.3.i 0,, α eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 6 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ 0, cosϕ sinϕ, cosϕ sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 Parameric Plo D[{0, cos[ u] sin[ u], cos[ u] sin[ u]},{, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 7 deki gibidir.

73

74

75 b.3.ii 0,, α eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 8 eşiliğinde yerine yazarsak; φ 1 1 1, ϕ sinϕ,, cosϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 ParamericPlo D[{ sin[ u],, {, π,π },{ u, π,π cos[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 75 deki gibidir. b.3.iii 0,, α eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 30 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ sinϕ, cosϕ, denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 D[{ sin[ u], cos[ u], {, π,π },{ u, π,π Parameric Plo },

76 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 76 deki gibidir. b.3.iv 0,, α eğrisini x y z doğrusu erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 33 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ sinϕ, 1 cosϕ, 1 cosϕ 3cosϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin x y z doğrusu erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. değişkeni için aralığımızı π den π ye, ϕ değişkeni içinde aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 Parameric Plo D[{ sin[ u], 1 cos[ u], 1 cos[ u] 3cos[ u]},{, π,π },{ u, π, π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 77 deki gibidir.

77

78

79

80 Soru 6: Soru 1 ve soru için paralellerinin dönel yüzeylerin grafiklerini çiziniz. Çözüm : β 1 f, olmak üzere, üç boyua β eğrimizi β f,,0 şeklinde alalım. a Soru 1 için a ve k sabileri 1 olmak üzere α eğrisinin paraleli β 1 olan eğri şu şekildeydi; 3 β , burada çizimlerimizi kolay yapmamız için f A ve g B olarak alalım. Dolayısıyla eğrimiz β A, B,0 şeklini alır. Dönel yüzeyleri program yardımıyla çizebilmemiz için bu aamaları programa aşağıdaki gibi anımalıyız. 3 A B Bu ifadelerin her birini programda sayfamıza ayrı saırlara yazdıkan sonra, ayrı ayrı olması şarıyla Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Aamalarımızı bu şekilde yapıkan sonra grafiklerimizi çizebiliriz. a.i β A, B,0 eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için A ve B eşiliklerini 8 eşiliğinde yerine yazarsak; A, B cosϕ, sinϕ φ, ϕ B denklemini elde ederiz. Bu denklem, β eğrisinin x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; Parameric Plo3D[{ A, Bcos[ u], Bsin[ u]},{, π,π },{ u, π,π

81 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 80 deki gibidir. a.ii β A, B,0 eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. Bunun için A ve B eşiliklerini 10 eşiliğinde yerine yazarsak; Acosϕ, B, sinϕ φ, ϕ A denklemini elde ederiz. Bu denklem, β eğrisinin y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; Parameric Plo3D[{ Acos[ u], B, Asin[ u]},{, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 81 deki gibidir. a.iii β A, B,0 eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için A ve B eşiliklerini 1 eşiliğinde yerine yazarsak; Acosϕ B sinϕ, B cosϕ Asin,0 φ, ϕ ϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, β eğrisinin z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; Parameric Plo3D[{ Acos[ u] Bsin[ u], Bcos[ u] Asin[ u],0}, {, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 8 deki gibidir.

82

83

84

85 b Soru için a ve k sabileri 1 olmak üzere α eğrisinin paraleli β olan eğri şu şekildeydi; β 6, 6 burada çizimlerimizi kolay yapmamız için f A ve g B olarak alalım. Dolayısıyla eğrimiz β A, B,0 şeklini alır. Dönel yüzeyleri program yardımıyla çizebilmemiz için bu aamaları programa aşağıdaki gibi anımalıyız. A 6 B 6 Bu ifadelerin her birini programda sayfamıza ayrı saırlara yazdıkan sonra, ayrı ayrı olması şarıyla Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Aamalarımızı bu şekilde yapıkan sonra grafiklerimizi çizebiliriz. b.i β A, B,0 eğrisini x-ekseni erafında döndürürsek a.i de olduğu gibi dönel yüzeyimizin denklemi; φ, ϕ A, B cosϕ, B sinϕ şeklindedir. ϕ u ve değişkenleri için aralığımız π den π ye olmak üzere programda yazmamız gereken ifade ise; Parameric Plo3D[{ A, Bcos[ u], Bsin[ u]},{, π,π },{ u, π,π biçimindedir. Bu dönel yüzeyimizin grafiği sayfa 8 deki gibidir. b.ii β A, B,0 eğrisini y-ekseni erafında döndürürsek a.ii de olduğu gibi dönel yüzeyimizin denklemi; φ, ϕ Acosϕ, B, Asinϕ şeklindedir. ϕ u ve değişkenleri için aralığımız π den π ye olmak üzere programda yazmamız gereken ifade ise; Parameric Plo3D[{ Acos[ u], B, Asin[ u]},{, π,π },{ u, π,π biçimindedir. Bu dönel yüzeyimizin grafiği sayfa 85 deki gibidir. b.iii β A, B,0 eğrisini y-ekseni erafında döndürürsek a.iii de olduğu gibi dönel yüzeyimizin denklemi; φ, ϕ Acosϕ B sinϕ, B cosϕ Asinϕ,0 şeklindedir. ϕ u ve değişkenleri için aralığımız π den π ye olmak üzere programda yazmamız gereken ifade ise; Parameric Plo3D[{ Acos[ u] Bsin[ u], Bcos[ u] Asin[ u],0},{, π,π },{ u, π,π biçimindedir. Bu dönel yüzeyimizin grafiği sayfa 86 deki gibidir.

86

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10 Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: b) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir

Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: b) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: a) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir eden gerilme bileşenlerini, gerilme dönüşüm denklemlerini kullanarak

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

Projeksiyon Kavramı. Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap

Projeksiyon Kavramı. Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap Projeksiyon Kavramı Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap ) α: harita üzerinde meridyenler arasındaki açıyı ifade eder. m = α =

Detaylı

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası)

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Örnek...3 : β θ. Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 4. w i. = n z { i=0,1,2,...,(n 1) } Adım 1. Adım 2. Adım 3

Örnek...3 : β θ. Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 4. w i. = n z { i=0,1,2,...,(n 1) } Adım 1. Adım 2. Adım 3 KARMAŞIK SAYININ ORJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ z = a + bi karmaşık sayısını, uzunluğunu değiştirmeden orijin etrafında pozitif yönde β kadar döndürülmesiyle elde edilen yeni karm aşık sa yı w olsun. İm

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

Yeryüzünde Hareket. Test 1 in Çözümleri. 3. I. yol. K noktasından 30 m/s. hızla düşen cismin L 50 noktasındaki hızı m/s, M noktasındaki 30

Yeryüzünde Hareket. Test 1 in Çözümleri. 3. I. yol. K noktasından 30 m/s. hızla düşen cismin L 50 noktasındaki hızı m/s, M noktasındaki 30 4 eryüzünde Hareke es in Çözümleri. nokasından serbes bırakılan cisim, 4 lik yolu e 3 olmak üzere iki eşi zamanda alır. Cismin 4 yolu sonundaki ızının büyüklüğü ise yolu sonundaki ızının büyüklüğü olur..

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1.

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERI (MODÜLÜ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın (A noktasının), başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve z şeklinde

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER TRİGONOMETRİK DENKLEMLER Daha önceden Sin + Cos = 1 ifadesinin R için gerçekleştiğini biliyoruz. Bu tür eşitliklere Özdeşlik adını verdiğimizi biliyorsunuz. Fakat ; Sin = 0 ve tan = 0 gibi eşitlikler R

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır.

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Uzayda Simetri Hazırlayan Halit Çelik Matematik Öğretmeni Noktaya Göre Simetri: A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Buna göre şeklinde

Detaylı

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI TERS PERSPEKTİF DÖNÜŞÜM İLE YÜZEY DOKUSU ÜRETİMİ

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI TERS PERSPEKTİF DÖNÜŞÜM İLE YÜZEY DOKUSU ÜRETİMİ İANBUL İCARE ÜNİERİEİ BİLGİAAR MÜHENDİLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİAAR İEMLERİ LABORAUARI ER PERPEKİF DÖNÜŞÜM İLE ÜZE DOKUU ÜREİMİ Bu deneyde, genel haları ile herhangi bir yüzeye bir dokunun kopyalanması üzerinde

Detaylı

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder.

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder. 2. ÇOK KATLI İNTEGRALLER, DİFERENSİYEL DENKLEMLERE GİRİŞ 2.1. Çok Katlı İntegraller 2.1.1. İki Katlı İntegraller Fonksiyonu bir B bölgesinde sınırlı yani için olsun. B bölgesi alt bölgelere ayrılırsa;

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

Ters Perspektif Dönüşüm ile Doku Kaplama

Ters Perspektif Dönüşüm ile Doku Kaplama KRDENİZ EKNİK ÜNİERSİESİ BİLGİSR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSR GRFİKLERİ LBORURI ers Perspekif Dönüşüm ile Doku Kaplama 1. Giriş Bu deneyde, genel haları ile paralel ve perspekif izdüşüm eknikleri, ers perspekif

Detaylı

H. Turgay Kaptanoğlu. Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört

H. Turgay Kaptanoğlu. Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört KONİNİN KESİTLERİ (II) H. Turgay Kaptanoğlu Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört eğriyi aynı bakış açısı etrafında toplamamızı sağlayacak. Dışmerkezlilik hakkında

Detaylı

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda

Detaylı

AÇILIŞ EKRANI. Açılış ekranı temelde üç pencereye ayrılır:

AÇILIŞ EKRANI. Açılış ekranı temelde üç pencereye ayrılır: AÇILIŞ EKRANI Açılış ekranı temelde üç pencereye ayrılır: Tam ortada çizim alanı (drawing area), en altta komut satırı (command line) ve en üstte ve sol tarafta araç çubukları (toolbar). AutoCAD te dört

Detaylı

z z Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni

z z Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI Q z Genel ükleme durumunda, bir Q noktasını üç boutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni gösterilebilir: σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z.

Detaylı

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4) HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden

Detaylı

= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2

= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2 HAZİNE-1 HAZİNE-2 Bir eksen üzerinde verilen noktadan geçen ve eksen ile belirli açı yaparak dönen doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Konik yüzeyin değişik düzlemler ile arakesit kümeleri çember,

Detaylı

= t. v ort. x = dx dt

= t. v ort. x = dx dt BÖLÜM.4 DOĞRUSAL HAREKET 4. Mekanik Mekanik konusu, kinemaik ve dinamik olarak ikiye ayırmak mümkündür. Kinemaik cisimlerin yalnızca harekei ile ilgilenir. Burada cismin hareke ederken izlediği yol önemlidir.

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 5. Konu ATIŞ HAREKETLERİ ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 5. Konu ATIŞ HAREKETLERİ ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ . SINIF KONU ANLATIMLI. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 5. Konu ATIŞ HAREKETLERİ ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ 5 Aış Harekeleri. Ünie 5. Konu (Aış Harekeleri) A nın Çözümleri. a. K cismi bulunduğu konumdan serbes

Detaylı

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 6 Çözümler

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 6 Çözümler Adam S. Bolton bolton@mit.edu MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 6 Çözümler 5 Nisan 2002 Problem 6.1 Dönen Bobin.(Giancoli 29-62) Bobin, yüzü manyetik alana dik olarak başlar (daha bilimsel konuşmak gerekirse,

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik

Detaylı

Name: Diferensiyel Geometri Spring 2014

Name: Diferensiyel Geometri Spring 2014 Çalışma soruları Tanim [Basit egri] α : (a, b) R 3 egrisi verilsin. Farkli t 1, t 2 (a, b) noktalari icin α(t 1 ) α(t 2 ) oluyorsa α egrisine basit egri adi verilir (kendisini kesmeyen egriye basit egri

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ

DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ Örnek : Taksi ile yapılan yolculukların ücreti taksimetre ile belirlenir Bir taksimetrenin açılış ücreti 2 TL, sonraki her kilometre başına 1 TL ücret ödendiğine

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Koordinat sistemleri. Kartezyen koordinat sistemi

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Koordinat sistemleri. Kartezyen koordinat sistemi Koordinat sistemleri Coğrafik objelerin haritaya aktarılması, objelerin detaylarına ait koordinatların düzleme aktarılması ile oluşur. Koordinat sistemleri kendi içlerinde kartezyen koordinat sistemi,

Detaylı

III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER

III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER Bölüm 1 III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER 1.1 YÜZEYLER:TANIM VE ÖRNEKLER Bu kesimin amacı R 3 de yüzeyler teorisini incelemek ve bunun içinde manifoldlar teorisinin gerekli kısmını aktarmaktır.

Detaylı

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1. Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

Bilgisayar Grafikleri

Bilgisayar Grafikleri Bilgisayar Grafikleri Konular: Cismin Tanımlanması Bilindiği gibi iki boyutta noktalar x ve y olmak üzere iki boyutun koordinatları şeklinde ifade edilirler. Üç boyutta da üçüncü boyut olan z ekseni üçücü

Detaylı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 2011 Seçme Sınavı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 2011 Seçme Sınavı ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 11 Seçme Sınavı 1. Dikey yönde atılan bir taş hareketin son saniyesinde tüm yolun yarısını geçmektedir. Buna göre taşın uçuş süresinin en fazla olması için taşın zeminden ne

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 23 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 23 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / Haziran 996 Matematik Soruları Ve Çözümleri. Bir sınıftaki örencilerin 5 nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır?

Detaylı

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bu bölümde, bir noktaya etkiyen ve bir koordinat ekseni ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

Eğitim Öğretim Yılı Güz Dönemi Diferansiyel Denklemler Çalışma Soruları

Eğitim Öğretim Yılı Güz Dönemi Diferansiyel Denklemler Çalışma Soruları 0 0 Eğiim Öğreim Yılı Güz Dönemi Diferansiel Denklemler Çalışma Soruları 0/0/0 ) 3 8 diferansiel denklemini çözünüz. ) a) d d ( ) diferansiel denklemini çözünüz. b) 3 5 diferansiel denklemini çözünüz.

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 2: Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i

θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ z = a + bi y karmaşık sayısının kartezyen bi koordinatları z=(a, b) dir. Ya da görüntüsü A noktasıdır. A Alıştırmalar Karmaş ık sa yıs ın ın kutupsal

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

ALTERNATİF AKIMIN VEKTÖRLERLE GÖSTERİLMESİ

ALTERNATİF AKIMIN VEKTÖRLERLE GÖSTERİLMESİ 1 ALTERNATİF AKIMIN VEKTÖRLERLE GÖSTERİLMESİ Fazör: Zamanla değişen gerilim ve akımın gösterildiği vektörlerdir. Vektör büyüklüğü maksimum değere eşit alınmayıp en çok kullanılan etkin değere eşit alınır.

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

ÖRNEK: Öteleme ile oluşturulmuş bir süsleme. ÖRNEK: 2)GEOMETRİK HAREKETLER

ÖRNEK: Öteleme ile oluşturulmuş bir süsleme. ÖRNEK: 2)GEOMETRİK HAREKETLER ÖTELEME: Bir şeklin duruşunun, biçiminin, boyutlarının bozulmadan yer değiştirmesine o şekli öteleme denir. Ötelemede biçim, boyut, yön değişmez. Yer değişir. Bir şekil ötelendiği zaman şekil üzerindeki

Detaylı

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x)

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x) 6 II. DERECEDEN FNKSÝYNLR (Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MTEMTÝK 1. f(). f() 6 8 T Yukarıda grafiği verilen = f() parabolünün denklemi nedir?( = 6) Yukarıda grafiği verilen

Detaylı

13 Hareket. Test 1 in Çözümleri. 4. Konum-zaman grafiklerinde eğim hızı verir. v1 t

13 Hareket. Test 1 in Çözümleri. 4. Konum-zaman grafiklerinde eğim hızı verir. v1 t 3 Hareke Tes in Çözümleri X Y. cisminin siseme er- diği döndürme ekisi 3mgr olup yönü saa ibresinin ersinedir. cisminin siseme erdiği döndürme ekisi mgr olup yönü saa ibresi yönündedir. 3mgr daha büyük

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

Ünite. Kuvvet ve Hareket. 1. Bir Boyutta Hareket 2. Kuvvet ve Newton Hareket Yasaları 3. İş, Enerji ve Güç 4. Basit Makineler 5.

Ünite. Kuvvet ve Hareket. 1. Bir Boyutta Hareket 2. Kuvvet ve Newton Hareket Yasaları 3. İş, Enerji ve Güç 4. Basit Makineler 5. 2 Ünie ue e Hareke 1. Bir Boyua Hareke 2. ue e Newon Hareke Yasaları 3. İş, Enerji e Güç 4. Basi Makineler. Dünya e Uzay 1 Bir Boyua Hareke Tes Çözümleri 3 Tes 1'in Çözümleri 3. 1. Süra skaler, hız ekörel

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm : Azimutal Projeksiyonlar Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Azimutal Projeksiyonlar Projeksiyon yüzeyi düzlemdir. Normal, transversal ve eğik konumlu olarak uygulanan azimutal projeksiyonlar,

Detaylı

STATİK KUVVET ANALİZİ (2.HAFTA)

STATİK KUVVET ANALİZİ (2.HAFTA) STATİK KUVVET ANALİZİ (2.HAFTA) Mekanik sistemler üzerindeki kuvvetler denge halindeyse sistem hareket etmeyecektir. Sistemin denge hali için gerekli kuvvetlerin hesaplanması statik hesaplamalarla yapılır.

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

TRANSİSTÖRLÜ YÜKSELTEÇLER

TRANSİSTÖRLÜ YÜKSELTEÇLER Karadeniz Teknik Üniversiesi Mühendislik Fakülesi * Elekrik-Elekronik Mühendisliği Bölümü Elekronik Anabilim Dalı * Elekronik Laborauarı I 1. Deneyin Amacı TRANSİSTÖRLÜ YÜKSELTEÇLER Transisörlerin yükseleç

Detaylı