İÇİNDEKİLER. 1. DÖNEL YÜZEYLER a Üreteç Eğrisi Parametrik Değilse b Üreteç Eğrisi Parametrik Olarak Verilmişse... 4

Transkript

1

2 İÇİNDEKİLER 1. DÖNEL YÜZEYLER a Üreeç Eğrisi Paramerik Değilse b Üreeç Eğrisi Paramerik Olarak Verilmişse.... DÖNEL YÜZEYLERLE İLGİLİ ÖRNEKLER... 5.a α f,,0 Eğrisinin Dönel Yüzeyleri... 5.b α f,0, Eğrisinin Dönel Yüzeyleri... 8.c α 0, f, Eğrisinin Dönel Yüzeyleri PARAMETRİK EĞRİLERLE İLGİLİ SORULAR a Dekar Yaprağı... 1 Soru b Kayış Eğrisi Soru KAPALI DENKLEMLE İLGİLİ SORU... 0 Soru PARAMETRİK PARALEL EĞRİLERLE İLGİLİ SORULAR... 3 Soru a Dekar Yaprağının Paraleli... 5.b Kayış Eğrisinin Paraleli DÖNEL YÜZEYLERLE İLGİLİ GRAFİKLER... 8 Soru Soru KAYNAKLAR... 87

3 1. DÖNEL YÜZEYLER DÖNEL YÜZEYLER Verilen bir eğrinin verilen bir d doğrusu erafında döndürülmesiyle elde edilen yüzeye dönel yüzey denir. Verilen doğruya dönel yüzeyin ekseni yada dönme ekseni, döndürülen eğriye de dönel yüzeyin üreeci denir. Üreecin konumlarından her birine dönel yüzeyin meridyeni denir. Dönme esnasında eğri üzerinde ki her bir noka, merkezi dönme ekseni üzerinde bulunan bir çember çizer; bu çemberlerden her birine dönel yüzeyin bir paraleli denir. Her bir paralelin düzlemi eksene dikir. Dönel yüzey bu paralellerin geomerik yeri olarak da düşünülebilir. Başka bir ifadeyle dönel yüzey bu paralellerin kümesi olarak düşünülebilir. Eğrinin ekseni erafında ϕ açısı kadar dönmesi yüzeyin oluşmaması için yeerlidir. Dönel yüzeyin denklemi eksenin ve üreeç eğrisinin veriliş biçimine göre çeşili yönemlerle bulunabilir. 1.a Üreeç Eğrisi Paramerik Değilse; Üreeç eğrisinin denklemi F x, y, z 0, G x, y, z 0 şeklinde iki yüzeyin arakesi eğrisi olarak verildiyse ve dönel yüzeyin denklemi ekseni x x0 y y0 z z0 de şeklinde ise dönel yüzeyin denklemi şu şekilde a b c bulunur;

4 Üreecin her hangi x,y,z değişken nokası eksen erafında dönerken çizdiği paralel çember, merkezi x 0,y 0,z 0 nokasında bulunan bir küre ile, eksene dik olan düzlemin arakesi eğrisi olarak düşünülebilir. Buna göre λ ve µ değişken olmak üzere büün paraleller 1 biçimindeki gibi ifade edilebilir. ax by cz λ x x µ 0 y y0 z z0 1 Bu paraleller çemberler üreeci verilen eğriyi kesiklerinden F x, y, z 0, G x, y, z 0 ve 1 eşilikleri birlike geçerli olmak zorundadırlar. Bunlar arasında x,y,z yok edilerek elde edilen ϕ λ, µ 0 bağınısını göz önüne alalım. λ, µ nün 1 denklemindeki eşileri bu bağınıda yerine yazılırsa elde edilen denklem denklemidir. Bu denklem dönel yüzeyin kapalı denklemi olur. ϕ ax by cz, x x y y z z Sonuç 1: Dönme ekseninin z-ekseni olması halinde z λ, x y µ, F0, G0 eşiliğinde x, y ve z yok edilerek bulunan ϕ λ, µ 0 olmak üzere ϕ z, x y 0 dönel yüzeyinin denklemi olur. İspa: 1 eşiliğinde x 0, y0, z0 0,0,0 alınırsa ve z λ olmak üzere; x y z µ x y µ z x y µ λ ν dir. burada ν µ λ dir. Bu değerleri ϕ λ, ν 0 da yerine yazarsak isenen sonuca ulaşırız; yani ϕ z, x y 0 dır. Sonuç : Dönme ekseninin y-ekseni olması halinde y λ, x z µ, F0, G0 eşiliğinde x, y ve z yok edilmesiyle bulunan ϕ λ, µ 0 olmak üzere ϕ y, x z 0 dönel yüzeyinin denklemi olur. Sonuç 3: Dönme ekseninin x-ekseni olması halinde x λ, y z µ, F0, G0 eşiliğinde x, y ve z yok edilmesiyle bulunan ϕ λ, µ 0 olmak üzere ϕ x, y z 0 dönel yüzeyinin denklemidir.

5 Sonuç : F x, z 0, y0 eğrisinin z-ekseni erafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemi f x y, z 0 ; aynı eğrinin x-ekseni erafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemi f x, y z 0 ; yine aynı eğrinin y-ekseni erafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemi de f x z, y 0 dır. İspa: Sonuç 1 gereğince F x, z 0, y 0 eğrisinin z-ekseni erafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemi; y 0, F x, z 0, z λ, x y µ den x,y ve z nin yok edilmesiyle bulunan f µ, λ 0 ifadesinde µ x y ve λ z değerleri yerine yazılarak f x y, z 0 olarak bulunur. Benzer şekilde x-ekseni ve y-ekseni erafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemleri de bulunur. Bu sonuç diğer koordina düzlemlerinde ki eğriler için de genelleşirilebilir. Bir koordina düzleminde bir eğrinin, bu düzlemdeki bir e-koordina ekseni erafında döndürülmesiyle oluşurulan yüzeyin denklemi, eğrinin denkleminde e-ekseni boyunca ölçülmeyen değişken yerine, e-ekseni boyunca ölçülmeyen iki değişkenin kareleri oplamının karekökünün konulmasıyla bulunur. Örnek: y 1, z x doğrusunun x y, z 0 doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşurulan dönel yüzeyin denklemini bulalım. F x, y, z x y 0, G x, y, z z 0 üreeç eğrisinin denklemi x 1 y ve z 0 x, y, z y, y,0 1,0,0 y,1,0 x y, z 0 doğrusu x 0, y0, z0 1,0,0 nokasından geçen u a, b, c,1,0 vekörüne paralel olan doğrudur. Buna göre bu değerleri denkleminde yerine yazarsak, ϕ λ, µ ϕx y, x y z 0 aradığımız dönel yüzeyin kapalı denklemidir. Ayrıca bulduğumuz değerleri 1 denkleminde yerine yazarsak, λ x y ve x y z µ buluruz. Bu iki denklemle F 0, G 0 denklemleri arasında x, y ve z yok edilirse;

6 x 1 y λ x y 1 y y y λ µ x y z µ y µ λ λ µ 0 bulunur. λ ve µ değerlerini bulduğumuz sonuçda yerine yazarsak x y [ x y z ] 0 denklemini buluruz. Gerekli işlemleri ve sadeleşirmeleri yaparsak, ϕ x y, x y z 3x y z 8xy x 3 aradığımız dönel yüzeyin denklemidir. 1.b Üreeç Eğrisi Paramerik Olarak Verilmişse; Üreeç eğrisi ϕ u f u, u, h u şeklinde paramerik olarak verilmişse ve ekseni de x x0 y y0 z z0 a b c herhangi bir paraleli 3 eşiliğindeki gibidir. doğrusu olarak verilmişse dönel yüzeyin x x 0 y y 0 z z ax by cz af u b u ch u 0 f u x 0 u y 0 h u z 0 3 bu denklemden u yok edilerek dönel yüzeyin denklemine ulaşılır. F x, y, z 0, G x, y, z 0 şeklinde verilen eğrinin paramerik bir denklemi bulunabiliyorsa ve α f,, h ise verilen eksenin geçiği 1 noka x 0,y 0,z 0, doğrularının vekörü de u a, b, c ise, dönel a b c yüzeyin paramerik denklemi veya 5 denklemlerinden bulunabilir. x x0, y y0, z z0 < α, u >. u cosϕ. α < α, u > cosϕ. u sinϕ. u α φ, ϕ < α, u > 1 cosϕ u cosϕ. α sinϕ. u α x0, y0, z0 5

7 . DÖNEL YÜZEYLERLE İLGİLİ ÖRNEKLER Şimdi de değişik paramerik eğrilerin x-ekseni, y-ekseni, z-ekseni ve herhangi bir doğru erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeylerin paramerik denklemlerini bulalım. Bu denklemleri bulmak için 6 eşiliğinden faydalanacağız. φ, ϕ < α, u > 1 cosϕ u cosϕ. α sinϕ. u α 6.a α f,, 0 eğrisinin; i x-ekseni erafında, ii y-ekseni erafında, iii z-ekseni erafında, iv xy-z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeylerin paramerik denklemlerini bulalım..a.i α f,, 0 eğrisinin x-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; x-ekseninin vekörü u olmak üzere u 1,0,0 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,,0,1,0,0 > f sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 7 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e 0,0, 3 f 0 7 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine 8 φ, ϕ f 1 cosϕ1,0,0 cosϕ f,,0 sinϕ0,0, f f cosϕ,0,0 f cosϕ, cosϕ,0 0,0, sinϕ f f cosϕ f cosϕ, cosϕ, sinϕ f, cosϕ, sinϕ

8 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α f,,0 eğrisinin x-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f, cosϕ, sinϕ dır..a.ii α f,, 0 eğrisinin y-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; y-ekseninin vekörü u olmak üzere u 0,1,0 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,,0,0,1,0 > sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 9 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e3 f 0,0, f f 0 9 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ 1 cosϕ0,1,0 cosϕ f,,0 sinϕ0,0, f 0, cosϕ,0 f cosϕ, cosϕ,0 0,0, f sinϕ f cosϕ, cosϕ cosϕ, f sinϕ f cosϕ,, f sinϕ 10 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α f,,0 eğrisinin y-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f cosϕ,, f sinϕ dır..a.iii α f,, 0 eğrisinin z-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; z-ekseninin vekörü u olmak üzere u 0,0,1 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,,0,0,0,1 > 0 sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 11 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e1 e f, f,0 f 0 11

9 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ 0.1 cosϕ0,0,1 cosϕ f,,0 sinϕ, f,0 f cosϕ, cosϕ,0 sinϕ, f sinϕ,0 f cosϕ sinϕ, cosϕ f sinϕ,0 1 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α f,,0 eğrisinin z-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f cosϕ sinϕ, cosϕ f sinϕ,0 dır..a.iv αf,,0 eğrisinin xy-z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; z0 olduğundan N 0,0,1 ve x y z doğrusunun normali N 1,, olmak üzere u vekörü 13 eşiliğindeki gibidir. d e1 e e3 u N d N 1 e1 e 0 0 1,,0 13 Bu eşilikde ki u,,0 vekörünü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,,0,,,0 > f sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 1 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α 0 e f 0,0, 3 f 0 f 1 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ f 1 cosϕ,,0 cosϕ f,,0 sinϕ0,0, f f f cosϕ cosϕ, f f cosϕ g cosϕ,0 f cosϕ, cosϕ,0 0,0, f sinϕ sinϕ f 3cosϕ 1 cosϕ, f 1 cosϕ, f sinϕ sinϕ 15

10 eşiliğini elde ederiz. Dolayısıyla α f,,0 eğrisinin x y z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin denklemi φ, ϕ f 3cosϕ 1 cosϕ, f 1 cosϕ, f sinϕ sinϕ dır..b α f, 0, eğrisinin; i x-ekseni erafında, ii y-ekseni erafında, iii z-ekseni erafında, iv xy-z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeylerin paramerik denklemlerini bulalım..b.i α f, 0, eğrisinin x-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; x-ekseninin vekörü u olmak üzere u 1,0,0 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,0,,1,0,0 > f sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 16 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e 0,,0 f 0 16 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ f 1 cosϕ1,0,0 cosϕ f,0, sinϕ0,,0 f f cosϕ,0,0 f cosϕ,0, cosϕ 0, sinϕ,0 f f cosϕ f cosϕ, sinϕ, cosϕ f, sinϕ, cosϕ 17 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α f,0, eğrisinin x-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f, sinϕ, cosϕ dır..b.ii α f, 0, eğrisinin y-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması;

11 y-ekseninin vekörü u olmak üzere u 0,1,0 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,0,,0,1,0 > 0 sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 18 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e1 e3 f,0, f f 0 18 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ 0.1 cosϕ0,1,0 cosϕ f,0, sinϕ,0, f f cosϕ,0, cosϕ sinϕ,0, f sinϕ f cosϕ sinϕ,0, cosϕ f sinϕ 19 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α f,0, eğrisinin y-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f cosϕ sinϕ,0, cosϕ f sinϕ dır..b.iii α f, 0, eğrisinin z-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; z-ekseninin vekörü u olmak üzere u 0,0,1 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,0,,0,0,1 > sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 0 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e f 0, f,0 f 0 0 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine 1 φ, ϕ 1 cosϕ0,0,1 cosϕ f,0, sinϕ0, f,0 0,0, g cosϕ f cosϕ,0, cosϕ 0, f sinϕ,0 f cosϕ, f sinϕ, cosϕ cosϕ f cosϕ, f sinϕ,

12 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α f,0, eğrisinin z-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f cosϕ, f sinϕ, dır..b.iv αf,0, eğrisinin xy-z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; y0 olduğundan N 0,1,0 ve x y z doğrusunun normali N 1,, olmak üzere u vekörü eşiliğindeki gibidir. d e1 e e3 u N d N 1 e1 e ,0,1 Bu eşilikde ki u 1,0,1 vekörünü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< f,0,,1,0,1 > f sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 3 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e f 0 f 0, f,0 3 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ f 1 cosϕ1,0,1 cosϕ f,0, sinϕ0, f,0 f f cosϕ cosϕ,0, f f cosϕ cosϕ f cosϕ,0, cosϕ 0, f sinϕ sinϕ,0 f 1 cosϕ, f sinϕ sinϕ, f 1 cosϕ eşiliğini elde ederiz. Dolayısıyla α f,0, eğrisinin x y z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin denklemi φ, ϕ f 1 cosϕ, f sinϕ sinϕ, f 1 cosϕ dır..c α 0, f, eğrisinin; i x-ekseni erafında, ii y-ekseni erafında,

13 iii iv z-ekseni erafında, xy-z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeylerin paramerik denklemlerini bulalım..c.i α 0, f, eğrisinin x-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; x-ekseninin vekörü u olmak üzere u 1,0,0 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< 0, f,,1,0,0 > 0 sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 5 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e e3 0 f f 0,, f 5 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ 0.1 cosϕ1,0,0 cosϕ0, f, sinϕ0,, f 0, f cosϕ, cosϕ 0, sinϕ, f sinϕ 0, f cosϕ sinϕ, cosϕ f sinϕ 6 eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α 0, f, eğrisinin x-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ 0, f cosϕ sinϕ, cosϕ f sinϕ dır..c.ii α 0, f, eğrisinin y-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; y-ekseninin vekörü u olmak üzere u 0,1,0 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< 0, f,,0,1,0 > f sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 7 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e,0,0 1 0 f 7

14 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine 8 φ, ϕ f 1 cosϕ0,1,0 cosϕ0, f, sinϕ,0,0 0, f f cosϕ,0 0, f cosϕ, cosϕ sinϕ,0,0 g sinϕ, f f cosϕ f cosϕ, cosϕ sinϕ, f, cosϕ eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α 0, f, eğrisinin y-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ sinϕ, f, cosϕ dır..c.iii α 0, f, eğrisinin z-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması; z-ekseninin vekörü u olmak üzere u 0,0,1 dır. Bu vekörü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< 0, f,,0,0,1 > sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 9 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α e1 f f,0,0 0 f 9 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine 30 φ, ϕ 1 cosϕ0,0,1 cosϕ0, f, sinϕ f,0,0 0,0, cosϕ 0, f cosϕ, cosϕ f sinϕ,0,0 f sinϕ, f cosϕ, cosϕ cosϕ f sinϕ, f cosϕ, eşiliğini elde ederiz. Bu ise aradığımız sonuçur. Dolayısıyla α 0, f, eğrisinin z-ekseni erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin paramerik denklemi φ, ϕ f sinϕ, f cosϕ, dır..c.iv α0,f, eğrisinin xy-z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denkleminin bulunması;

15 x0 olduğundan N 1,0,0 ve x y z doğrusunun normali N 1,, olmak üzere u vekörü 31 eşiliğindeki gibidir. d e1 e e3 u N d N 1 e e ,, 31 Bu eşilikde ki u 0,, vekörünü α ile iç çarpıma sokarsak, < α, u >< 0, f,,0,, > f sonucuna ulaşırız. Ayrıca u ile α yi vekörel olarak çarparsak 3 eşiliğini elde ederiz. e1 e e3 u α 0 e1 f f,0,0 0 f 3 Bulduğumuz u, α, < α, u >, u α yazarsak; değerlerini 6 eşiliğinde yerine φ, ϕ f 1 cosϕ0,, cosϕ0, f, sinϕ f,0,0 0, f f cosϕ cosϕ, f f cosϕ cosϕ 0, f cosϕ, cosϕ f sinϕ sinϕ,0,0 f sinϕ, f 1 cosϕ, f 1 cosϕ g 3cosϕ 33 eşiliğini elde ederiz. Dolayısıyla α 0, f, eğrisinin x y z doğrusu erafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin denklemi φ, ϕ f sinϕ, f 1 cosϕ, f 1 cosϕ 3cosϕ dır.

16 3. PARAMETRİK EĞRİLERLE İLGİLİ SORULAR 3.a Dekar Yaprağı 3a 3 3a 3 Soru 1: α, eğrisini çiziniz. Çözüm : Bu eğriyi Mahemaica programını kullanarak Parameric Plo D de çizelim. i α eğrimizde a sabiini 1 olarak alalım. Buna göre eğrimiz 3 3 α, olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye 3 3 alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; [{ 3 3 Parameric Plo, },{, π,π 3 3 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 15 deki gibidir. ii α eğrimizde a sabiini -1 olarak alalım. Buna göre eğrimiz 3 3 α, olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π 3 3 ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; [{ 3 3 Parameric Plo, },{, π,π 3 3 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 16 deki gibidir. İki grafiken de görüleceği üzere i deki eğri ile ii deki eğri simerikir.

17

18

19 3.b Kayış Eğrisi Srophoid Soru : a a a a α, eğrisini çiziniz. Çözüm : Bu eğriyi Mahemaica programını kullanarak Parameric Plo D de çizelim. i α eğrimizde a sabiini 1 olarak alalım. Buna göre eğrimiz α, olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo[{, },{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 18 deki gibidir. ii α eğrimizde a sabiini -1 olarak alalım. Buna göre eğrimiz α, olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; [{ Parameric Plo, },{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 19 deki gibidir. İki grafiken de görüleceği üzere i deki eğri ile ii deki eğri simerikir.

20

21

22 . KAPALI DENKLEMLE İLGİLİ SORU Soru 3: F x, y x y ax k x y 0 denklemini çiziniz. Çözüm : Bu denklemi Mahemaica programını kullanarak Implici Plo da çizelim. Çizimimizi yapabilmemiz için sayfamızın ilk saırına << Graphic s Im pliciplo ifadesini yazmalıyız ve Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. i F x, y 0 denkleminde a sabiini, k sabiini de 1 olarak alalım. Buna göre denklemimiz F x, y x y x x y 0 olur ve x değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu denklemi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Im pliciplo [ x y x x y 0,{ x, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 1 deki gibidir. ii F x, y 0 denkleminde a sabiini, k sabiini de 1 olarak alalım. Buna göre denklemimiz F x, y x y x x y 0 olur ve x değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu denklemi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Im pliciplo [ x y x x y 0,{ x, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa deki gibidir. İki grafiken de görüleceği üzere i deki eğri ile ii deki eğri simerikir.

23

24

25 5. PARAMETRİK PARALEL EĞRİLERLE İLGİLİ SORULAR Soru :, y x α eğrisinin paraleli olan β eğrisi; a Soru 1 için, y x kx y y x ky x β olmak üzere bu eğriyi çiziniz. b Soru için, y x kx y y x ky x β olmak üzere bu eğriyi çiziniz. Çözüm : Bu eğrileri Mahemaica programını kullanarak Parameric Plo D de çizelim. Ancak daha önce x, y ve y x değerlerini hesaplayalım. Soru 1 için x ve y değerleri; a x a x a x a y a y a y a a y x Soru için x ve y değerleri; a x a x a a x a y a y a a y a a y x

26 5.a Dekar Yaprağının Paraleli Çözüm a α eğrimizde a sabiini ve β eğrisinde k sabiini 1 olarak alalım. Buna göre β eğrimiz şu şekilde olur; 3 β , burada gerekli sadeleşirmeleri yapıkan sonra ise eğrimiz; 3 β , şeklinde olur. değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; 3 A , bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonra al saıra aşağıdaki ifadeyi yazıp aynı işlemleri ekrar yapmalıyız. Aşağıdaki ifadede A yerine doğrudan eğrimizi de yazabiliriz. Parameric Plo[ A,{, π,π Sonuç da α eğrisine paralel olan β eğrisinin grafiğini elde emiş oluruz. α ve β değerlerini aşağıda yerine yazmak şarıyla, bu iki eğriyi birlike çizdirebiliriz. Bunun için aşağıdaki ifadeleri çalışırdıkan sonra son saıra Show [ A, B] yazıp Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafikler sayfa 5 deki gibidir. A ParamericPlo[ α,{, π,π B ParamericPlo[ β,{, π,π

27

28 5.b Kayış Eğrisinin Paraleli Çözüm b α eğrimizde a sabiini ve β eğrisinde k sabiini 1 olarak alalım. Buna göre β eğrimiz şu şekilde olur; β 6, 6 burada gerekli sadeleşirmeleri yapıkan sonra ise eğrimiz; β 6, 6 şeklinde olur. değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; A 6, 6 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonra al saıra aşağıdaki ifadeyi yazıp aynı işlemleri ekrar yapmalıyız. Aşağıdaki ifadede A yerine doğrudan eğrimizi de yazabiliriz. Parameric Plo[ A,{, π,π Sonuç da α eğrisine paralel olan β eğrisinin grafiğini elde emiş oluruz. α ve β değerlerini aşağıda yerine yazmak şarıyla, bu iki eğriyi birlike çizdirebiliriz. Bunun için aşağıdaki ifadeleri çalışırdıkan sonra son saıra Show [ A, B] yazıp Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafikler sayfa 7 deki gibidir. A ParamericPlo[ α,{, π,π B ParamericPlo[ β,{, π,π

29

30 6. DÖNEL YÜZEYLERLE İLGİLİ GRAFİKLER Dönel Yüzeylerle İlgili Örnekler konusunda elde eiğimiz, değişik paramerik eğrilerin x-ekseni, y-ekseni, z-ekseni ve herhangi bir doğru erafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeylerin paramerik denklemlerini kullanarak, aşağıdaki soruya cevap bulmaya çalışalım. Soru 5: Soru 1 ve soru için dönel yüzeylerin grafiklerini çiziniz. Çözüm : α 1 f, olmak üzere, üç boyua α eğrimizi aşağıdaki gibi üç farklı şekilde alacağız. buna göre; şeklindedir. 1 α f,,0 α f,0, 3 α 0, f, Soru 1 için f ve g değerleri, a sabii 1 olmak üzere; 3 f g 35 3 şeklindedir. Soru için f ve g değerleri, a sabii 1 olmak üzere; f 36 g 37

31 Çözüm a Soru 1 için çözümümüz; a.1 Eğrimiz α f,,0 olmak üzere 3 ve 35 eşiliklerini yerlerine yazarsak eğrimiz 3 3,, α olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo 3 D[{ 3 3, 3 3,0},{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 30 deki gibidir. a.1.i 3 3,, α eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 8 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ, cosϕ, sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 3 ParamericPlo D[{, 3 3 {, π,π },{ u, π,π 3 cos[ u], 3 3 sin[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 31 deki gibidir.

32

33

34 3 3 a.1.ii α,, 0 eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. 3 3 Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 10 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ cosϕ,, sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 3 ParamericPlo D[{ cos[ u], 3 3 {, π,π },{ u, π,π 3, 3 3 sin[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 3 deki gibidir. a.1.iii 3 3,, α eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 1 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ cosϕ sinϕ, cosϕ sinϕ, denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; ParamericPlo D[{ cos[ u] sin[ u], cos[ u] sin[ u],0},{, π,π },{ u, π,π 3 3

35 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 35 deki gibidir. a.1.iv 3 3,, α eğrisini x y z doğrusu erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 15 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ 3cosϕ 1 cosϕ, cosϕ, sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x y z doğrusu erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; ParamericPlo D[{ 3cos[ u] 1 cos[ u], cos[ u], sin[ u]}, {, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 36 deki gibidir.

36

37

38

39 a. Eğrimiz α f,0, olmak üzere 3 ve 35 eşiliklerini yerlerine yazarsak eğrimiz 3 3 3,0, 3 α olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo 3 D[{ 3 3,0, 3 3 },{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 38 deki gibidir. a..i 3 3 3,0, 3 α eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 17 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ, sinϕ, cosϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 3 ParamericPlo D[{, 3 3 {, π,π },{ u, π,π 3 sin[ u], 3 3 cos[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 39 deki gibidir.

40

41

42 3 3 a..ii α,0, eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. 3 3 Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 19 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ cosϕ sinϕ,0, cosϕ sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; ParamericPlo D[{ cos[ u] sin[ u],0, cos[ u] sin[ u]},{, π,π },{ u, π,π 3 3 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa deki gibidir. a..iii 3 3 3,0, 3 α eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 1 eşiliğinde yerine yazarsak; 3 φ, ϕ 3 3 cosϕ, 3 3 sinϕ, 3 denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 3 Parameric Plo D[{ cos[ u], 3 3 {, π,π },{ u, π,π 3 sin[ u], 3 3 },

43 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 3 deki gibidir. a..iv 3 3 3,0, 3 α eğrisini x y z doğrusu erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini eşiliğinde yerine yazarsak; 3 φ, ϕ cosϕ, 3 1 cosϕ 3 sinϕ 3 sinϕ, denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x y z doğrusu erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; Parameric Plo D[{ cos[ u], sin[ u] sin[ u], cos[ u]}, {, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa deki gibidir.

44

45

46

47 a.3 Eğrimiz α 0, f, olmak üzere 3 ve 35 eşiliklerini yerlerine yazarsak eğrimiz 3 0, 3 3, 3 α olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo 3 D[{0, 3 3, 3 3 },{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 6 deki gibidir. a.3.i 3 0, 3 3, 3 α eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 6 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ 0, cosϕ sinϕ, cosϕ sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; Parameric Plo D[{0, cos[ u] sin[ u], sin[ u]},{, π,π },{ u, π,π cos[ u] bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 7 deki gibidir.

48

49

50 a.3.ii α 0,, eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 8 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ sinϕ,, cosϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 3 ParamericPlo D[{ sin[ u], 3 3 {, π,π },{ u, π,π 3, 3 3 cos[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 50 deki gibidir. a.3.iii 3 0, 3 3, 3 α eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 30 eşiliğinde yerine yazarsak; 3 φ, ϕ 3 3 sinϕ, 3 3 cosϕ, 3 denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 3 Parameric Plo D[{ sin[ u], 3 3 {, π,π },{ u, π,π 3 cos[ u], 3 3 },

51 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 51 deki gibidir. a.3.iv 3 0, 3 3, 3 α eğrisini x y z doğrusu erafında döndürelim. Bunun için 3 ve 35 eşiliklerini 33 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ sinϕ, cosϕ 3cosϕ cosϕ, denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin x y z doğrusu erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; Parameric Plo D[{ sin[ u], cos[ u], 1 cos[ u] cos[ u]},{, π,π },{ u, π,π 3 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 5 deki gibidir.

52

53

54

55 Çözüm b Soru için çözümümüz; b.1 Eğrimiz α f,,0 olmak üzere 36 ve 37 eşiliklerini yerlerine yazarsak eğrimiz,, 0 α olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo 3 D[{,,0},{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 5 deki gibidir. b.1.i,, 0 α eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 8 eşiliğinde yerine yazarsak; φ 1 1 1, ϕ, cosϕ, sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; ParamericPlo D[{, cos[ u], {, π,π },{ u, π,π 3 sin[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 55 deki gibidir.

56

57

58 b.1.ii α,, 0 eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 10 eşiliğinde yerine yazarsak; φ 1 1 1, ϕ cosϕ,, sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; ParamericPlo D[{ cos[ u], {, π,π },{ u, π,π, 3 sin[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 58 deki gibidir. b.1.iii,, 0 α eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 1 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ cosϕ sinϕ, cosϕ sinϕ, 0 denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 ParamericPlo D[{ cos[ u] sin[ u], cos[ u] sin[ u],0},{, π,π },{ u, π,π

59 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 59 deki gibidir. b.1.iv,, 0 α eğrisini x y z doğrusu erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 15 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ 3cosϕ 1 cosϕ, 1 cosϕ, sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin x y z doğrusu erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. değişkeni için aralığımızı π den π ye, ϕ değişkeni içinde aralığımızı önce 0 dan π ye sonra da π den 0 a alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 ParamericPlo D[{ 3cos[ u] 1 cos[ u], 1 cos[ u], sin[ u]}, {, π,π },{ u,0, π 3 ParamericPlo D[{ 3cos[ u] 1 cos[ u], 1 cos[ u], sin[ u]}, {, π,π },{ u, π,0 bu ifadeleri programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak birinci ifade için elde edeceğimiz grafik sayfa 60 deki, ikinci ifade için elde edeceğimiz grafik sayfa 61 deki gibidir.

60

61

62

63

64 b. Eğrimiz α f,0, olmak üzere 36 ve 37 eşiliklerini yerlerine yazarsak eğrimiz,0, α olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo 3 D[{,0, },{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 63 deki gibidir. b..i,0, α eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 17 eşiliğinde yerine yazarsak; φ 1 1 1, ϕ, sinϕ, cosϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; ParamericPlo D[{, {, π,π },{ u, π,π sin[ u], 3 cos[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 6 deki gibidir.

65

66

67 b..ii α,0, eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 19 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ cosϕ sinϕ,0, cosϕ sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisini y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 ParamericPlo D[{ cos[ u] sin[ u],0, cos[ u] sin[ u]},{, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 67 deki gibidir. b..iii,0, α eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 1 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ cosϕ, sinϕ, denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 D[{ cos[ u], sin[ u], {, π,π },{ u, π,π Parameric Plo },

68 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 68 deki gibidir. b..iv,0, α eğrisini x y z doğrusu erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ cosϕ, sinϕ cosϕ sinϕ, denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin x y z doğrusu erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 Parameric Plo D[{ cos[ u], sin[ u] sin[ u], cos[ u]}, {, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 69 deki gibidir.

69

70

71

72 b.3 Eğrimiz α 0, f, olmak üzere 36 ve 37 eşiliklerini yerlerine yazarsak eğrimiz 0,, α olur ve değişkeni için aralığımızı da π den π ye alalım. Bu eğriyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz; Parameric Plo 3 D[{0,, },{, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 71 deki gibidir. b.3.i 0,, α eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 6 eşiliğinde yerine yazarsak; φ , ϕ 0, cosϕ sinϕ, cosϕ sinϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 Parameric Plo D[{0, cos[ u] sin[ u], cos[ u] sin[ u]},{, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 7 deki gibidir.

73

74

75 b.3.ii 0,, α eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 8 eşiliğinde yerine yazarsak; φ 1 1 1, ϕ sinϕ,, cosϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 ParamericPlo D[{ sin[ u],, {, π,π },{ u, π,π cos[ u]}, bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 75 deki gibidir. b.3.iii 0,, α eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 30 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ sinϕ, cosϕ, denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 D[{ sin[ u], cos[ u], {, π,π },{ u, π,π Parameric Plo },

76 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 76 deki gibidir. b.3.iv 0,, α eğrisini x y z doğrusu erafında döndürelim. Bunun için 36 ve 37 eşiliklerini 33 eşiliğinde yerine yazarsak; φ, ϕ sinϕ, 1 cosϕ, 1 cosϕ 3cosϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, α eğrisinin x y z doğrusu erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. değişkeni için aralığımızı π den π ye, ϕ değişkeni içinde aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; 3 Parameric Plo D[{ sin[ u], 1 cos[ u], 1 cos[ u] 3cos[ u]},{, π,π },{ u, π, π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 77 deki gibidir.

77

78

79

80 Soru 6: Soru 1 ve soru için paralellerinin dönel yüzeylerin grafiklerini çiziniz. Çözüm : β 1 f, olmak üzere, üç boyua β eğrimizi β f,,0 şeklinde alalım. a Soru 1 için a ve k sabileri 1 olmak üzere α eğrisinin paraleli β 1 olan eğri şu şekildeydi; 3 β , burada çizimlerimizi kolay yapmamız için f A ve g B olarak alalım. Dolayısıyla eğrimiz β A, B,0 şeklini alır. Dönel yüzeyleri program yardımıyla çizebilmemiz için bu aamaları programa aşağıdaki gibi anımalıyız. 3 A B Bu ifadelerin her birini programda sayfamıza ayrı saırlara yazdıkan sonra, ayrı ayrı olması şarıyla Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Aamalarımızı bu şekilde yapıkan sonra grafiklerimizi çizebiliriz. a.i β A, B,0 eğrisini x-ekseni erafında döndürelim. Bunun için A ve B eşiliklerini 8 eşiliğinde yerine yazarsak; A, B cosϕ, sinϕ φ, ϕ B denklemini elde ederiz. Bu denklem, β eğrisinin x-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; Parameric Plo3D[{ A, Bcos[ u], Bsin[ u]},{, π,π },{ u, π,π

81 bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 80 deki gibidir. a.ii β A, B,0 eğrisini y-ekseni erafında döndürelim. Bunun için A ve B eşiliklerini 10 eşiliğinde yerine yazarsak; Acosϕ, B, sinϕ φ, ϕ A denklemini elde ederiz. Bu denklem, β eğrisinin y-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; Parameric Plo3D[{ Acos[ u], B, Asin[ u]},{, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 81 deki gibidir. a.iii β A, B,0 eğrisini z-ekseni erafında döndürelim. Bunun için A ve B eşiliklerini 1 eşiliğinde yerine yazarsak; Acosϕ B sinϕ, B cosϕ Asin,0 φ, ϕ ϕ denklemini elde ederiz. Bu denklem, β eğrisinin z-ekseni erafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin paramerik denklemidir. ϕ ve değişkenleri için aralığımızı π den π ye alalım. Bu dönel yüzeyi program yardımıyla çizebilmemiz için aşağıdaki gibi ifade emeliyiz Burada ϕ u alınmışır.; Parameric Plo3D[{ Acos[ u] Bsin[ u], Bcos[ u] Asin[ u],0}, {, π,π },{ u, π,π bu ifadeyi programda sayfamıza yazdıkan sonra Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Sonuç olarak elde edeceğimiz grafik sayfa 8 deki gibidir.

82

83

84

85 b Soru için a ve k sabileri 1 olmak üzere α eğrisinin paraleli β olan eğri şu şekildeydi; β 6, 6 burada çizimlerimizi kolay yapmamız için f A ve g B olarak alalım. Dolayısıyla eğrimiz β A, B,0 şeklini alır. Dönel yüzeyleri program yardımıyla çizebilmemiz için bu aamaları programa aşağıdaki gibi anımalıyız. A 6 B 6 Bu ifadelerin her birini programda sayfamıza ayrı saırlara yazdıkan sonra, ayrı ayrı olması şarıyla Kernel mönüsünden Evaluaion bölümüne girerek Evaluae Cells i seçmeliyiz yada kısaca klavyemizde ShifEner uşlarına basmalıyız. Aamalarımızı bu şekilde yapıkan sonra grafiklerimizi çizebiliriz. b.i β A, B,0 eğrisini x-ekseni erafında döndürürsek a.i de olduğu gibi dönel yüzeyimizin denklemi; φ, ϕ A, B cosϕ, B sinϕ şeklindedir. ϕ u ve değişkenleri için aralığımız π den π ye olmak üzere programda yazmamız gereken ifade ise; Parameric Plo3D[{ A, Bcos[ u], Bsin[ u]},{, π,π },{ u, π,π biçimindedir. Bu dönel yüzeyimizin grafiği sayfa 8 deki gibidir. b.ii β A, B,0 eğrisini y-ekseni erafında döndürürsek a.ii de olduğu gibi dönel yüzeyimizin denklemi; φ, ϕ Acosϕ, B, Asinϕ şeklindedir. ϕ u ve değişkenleri için aralığımız π den π ye olmak üzere programda yazmamız gereken ifade ise; Parameric Plo3D[{ Acos[ u], B, Asin[ u]},{, π,π },{ u, π,π biçimindedir. Bu dönel yüzeyimizin grafiği sayfa 85 deki gibidir. b.iii β A, B,0 eğrisini y-ekseni erafında döndürürsek a.iii de olduğu gibi dönel yüzeyimizin denklemi; φ, ϕ Acosϕ B sinϕ, B cosϕ Asinϕ,0 şeklindedir. ϕ u ve değişkenleri için aralığımız π den π ye olmak üzere programda yazmamız gereken ifade ise; Parameric Plo3D[{ Acos[ u] Bsin[ u], Bcos[ u] Asin[ u],0},{, π,π },{ u, π,π biçimindedir. Bu dönel yüzeyimizin grafiği sayfa 86 deki gibidir.

86