Lineer Tek Serbestlik Dereceli (TSD) Sistemlerin Tepki Analizi. Deprem Mühendisliğine Giriş Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

Transkript

1 Lineer Tek Serbeslik Dereceli (TSD) Sisemlerin Tepki Analizi

2 Sunum Anaha Tek-serbeslik-dereceli (TSD) sisemlerin epki analizi, Hareke denklemi (Newon nun. yasası ve D Alember Prensibi) Gerçek deplasman, hız ve ivme epki değerleri, Pseudo-epki spekrumları ve gerçek epki değerleri ile ilişkileri, Tepki spekrumlarının fiziksel yorumu, Bir örnek: TSD bir sisemin spekrum analizi.

3 TSD Sisemlerin Tepki Analizi (Hareke Denklemi) Sabi Referans Ekseni u () u() m Hareke yönü Serbes Cisim Diyagramı m (+) k c k cu &() u () g k u () k u () Hareke Denklemi (Equaion of Moion): Newon un ikinci yasası kullanılarak i F = mu&& () i ku () cu &() = mu&& () mu&& () + cu &() + ku () = 0 u&& = u &&() + u&& () Yukarıda yerine konursa mu &&() + cu &() + ku () = mu&& () = p () g g eff

4 TSD Sisemlerin Tepki Analizi (Hareke Denklemi) - Devam Hareke Denklemi (Equaion of Moion): D Alember presibi kullanılarak hareke denklemi bulunabilir. Bu prensip şöyledir: Siseme harekein ersi yönünde fikif bir aale kuvvei ekiilirse, sisem her an dinamik denge alındadır (saik denge denklemlerine benzer bir şekilde). f () I (+) f () D f () S fi + fd+ fs = 0 burada f I mu() = && ( g ) m u&& () + u &&() + cu &() + ku () = 0 mu &&() + cu &() + ku () = mu&& () g

5 TSD Sisemlerin Tepki Analizi (Hareke Denklemi) - Devam Hareke denkleminin sandar formu (sandard form of equaion of moion): u && & && () + ξωu () + ω u () = ug() burada ω= k m : doğal açısal ireşim frekansı T π ω = : doğal ireşim periyodu c c ξ = = = c mω cr c km : sönüm oranı Hareke denkleminin çözümü 1. Gerçek relaif deplasmanepkisi (True relaive displacemen response): u( ) = u && ( ) h( τ) dτ 0 g burada 1 h τ e ω τ ( ) ξω( τ) ( ) = sin D( ) ωd ω ω ξ Genel olarak konvolüsyon inegrali veya ireşim alanında kullanıldığı adıyla Duhamel inegrali denir (başlangıç şarları: durağan a res condiions) D = 1 : sönümlü açısal ireşim frekansı (1) Birim iki (uni impulse) epki fonsiyonu veya Dirac-Dela eki fonsiyonuna karşılık gelen serbes ireşim fonksiyonu! Haırlama - 1

6 TSD Sisemlerin Tepki Analizi (İki Tepki Fonksiyonunun Bulunması) - Devam u &&() + ξωu &() + ω u () = δ() x(0 ) = 0 ve x& (0 ) = 0 m 1 u(0 + ) = 0 ve u& (0 + ) =? Lineer Momenum Değişimi = Ekiyen Dış Kuvve!!!! d( mu& ) d = d 0 0 δ() d d( mu& ) =δ() d + m u& = 1 u& = u(0 & ) = 1 m u () = u () + u () 0 + sonra yükleme olmadığı için u () = 0 h p p ξω u& (0) + ξωu(0) n u () = e u(0)cos D + sin D ωd n ( ω ) ( ω ) ξω 1 n h () = u () = e sin D mω ( ω ) D Başlangıç şarlarından

7 TSD Sisemlerin Tepki Analizi u(, ω, ξ) = u && g( ) h( τ) dτ 0 : Duhamel İnegrali Praike Duhamel inegrali nümerik quadraure yönemi ile bulunur.. Gerçek rölaif hız epkisi (True relaivevelociyresponse): ξ ξω( τ) ξω( τ) (,, ) = ( ) sin( ( )) ( ) cos( ( )) g D g D 1 ξ 0 0 u & ω ξ u && τ e ω τ dτ u && τ e ω τ dτ

8 TSD Sisemlerin Tepki Analizi 3. Gerçek mulak ivme epkisi (True absolueacceleraionresponse): () no luifadenin bir kez daha ürevini almak mümkün ancak farklı bir yoldan sonuca daha kolay ulaşmak mümkün, u&& & () + ξωu () + ω u () = 0 u&& & () = ξωu () ω u () (3) ( 1 ξ ) Biliniyor (1 ve nolu ifadeler yerine konup düzenlenir! ω u&& ω ξ = u&& τ e ω τ dτ + ξω( τ) (,, ) g( ) sin( D( )) 1 ξ 0 ξω( τ) && g( ) cos( D( )) 0 ξω u τ e ω τ dτ

9 TSD Sisemlerin Tepki Analizi (Tepki Spekrumu Tanımları) ω ve ξ Spekral Rölaif Deplasman: değerlerine sahip TSD bir sisemin deprem harekeinin belli bir bileşenine vermiş olduğu maksimum relaif deplasman değerine denir. S d ( ξ, ω) = max u () 0 d (1) no lu denklem d : yer harekeinin süresi (güçlü yer harekei -srong moion süresi de denir). Genellike 0.05g değerini ilk ve son kez aşığı nokalar arasındaki zaman veya %5 < I A < %95 arasında kalan süredir. I A π = ug() d g 0 && : Arias inensiy Spekral Rölaif Hız: ω veξdeğerlerine sahip TSD bir sisemin deprem harekeinin belli bir bileşenine vermiş olduğu maksimum relaif hız değerine denir. S v ( ξ, ω) = max u &() 0 d () no lu denklem

10 TSD Sisemlerin Tepki Analizi (Tepki Spekrumu Tanımları) ω ve ξ Spekral Mulak İvme: değerlerine sahip TSD bir sisemin deprem harekeinin belli bir bileşenine vermiş olduğu maksimum mulak ivme değerine denir. S a ( ξ, ω) = max u&& () 0 d (3) no lu denklem

11 TSD Sisemlerin Tepki Analizi (Tepki Spekrumu Özellikleri) 1. TSD bir sisemin yer ivmesine gösermiş olduğu maksimum epki değerlerini verir (S d, S v, S a ),. Bir yer harekeine maruz çok-serbeslik-dereceli sisemlerin her bir modunun maksimum epki değerini verir (örn: S ( T, ξ )), 3. Herhangi bir deprem yer ivmesi harekeinin sismik enerjisinin (seismic energy) frekans dağılımını göserir, a n n S (, ) a T ξ S ( ) a Tξ 1, S ( ) a T, ξ ξ =%5 T1 T Mulak ivme epki spekrumu (bir deprem harekeine ai) T u&& g() u () 1 h1() && 1, S ( ) a Tξ u&& g() u () h() &&, S ( ) a T ξ S ( Tξ) > S ( T ξ) a 1, a,

12 TSD Sisemlerin Tepki Analizi (Pseudo- Tepki Spekrumları) Pseudo-hız Tepki Spekrumu: İnşaa mühendisliği yapılarında sönüm oranı değerleri, genellikle küçükür ( ξ >0.10). Bu durumda, şu kabulü yapmak mümkündür: ve =0. Ayrıca küçük periyo değerleri için (T<= 0.8~1.0), cos( ω ( τ )) yerine sin( ω ( τ )) kullanılabilir. Gerçek hız ifadesini ekrar haırlarsak: D ξ ξ ξ ξω( τ) ξω( τ) (,, ) = ( ) sin( ( )) ( ) cos( ( )) g D g D 1 ξ 0 0 u & ω ξ u && τ e ω τ dτ u && τ e ω τ dτ D Yukarıdaki kabuller alında bu ifade aşağıdaki hale gelir: ξω( τ) (,, ) && g( ) sin( D( )) 0 u& ω ξ u τ e ω τ dτ Yukarıdaki ifade gerçek relaif deplasman formülü denklem (1) ile karşılaşırılırsa: u& (, ω, ξ) ωu(, ω, ξ) olduğu görülür, bu durumda pseudo-hız değeri aşağıdaki gibi hesaplanabilir: (4) S pv ( ξ, ω) ωs ( ξ, ω) d (5)

13 TSD Sisemlerin Tepki Analizi (Pseudo- Tepki Spekrumları) - Devam Pseudo-ivme Tepki Spekrumu: Yine aynı kabuller alında, gerçek mulak ivme epki spekrumu ξ ξ aşağıdaki hali alır ξ 0.10, ve =0. Gerçek ivme epkisi ifadesini haırlarsak: ( 1 ξ ) ω u&& ω ξ = u&& τ e ω τ dτ + ξω( τ) (,, ) g( ) sin( D( )) 1 ξ 0 ξω( τ) && g( ) cos( D( )) 0 ξω u τ e ω τ dτ ξω( τ) (,, ) = g( ) sin( D( )) 0 u&& ω ξ ω u&& τ e ω τ dτ (6) Denklem (6), denklem (4): pseudo-hız ifadesi ile karşılaşırılırsa aşağıdaki ilişki görülür: u&& (, ω, ξ) ωu& (, ω, ξ) olduğu görülür, bu durumda pseudo-ivme değeri aşağıdaki gibi hesaplanabilir: S pa ( ξ, ω) ωs ( ξ, ω) pv (7)

14 TSD Sisemlerin Tepki Analizi (Pseudo- Tepki Spekrumları) - Devam Denklem (5) ve (7) kullanılarak pseudo-hız ve pseudo-ivme arasındaki ilişki aşağıda verilmişir: S S S pa( ξ, ω) ω pv( ξ, ω) ω d( ξ, ω) pseudo- değerler gerçek değerler Tekbir Duhamel inegrasyonu hesabından pseudo-epki spekrumu değerleri bulunabilir: π π Spa( ξ, ω) Spv( ξ, ω) Sd( ξ, ω) T T

15 TSD Sisemlerin Tepki Analizi (Pseudo- ve Gerçek Tepki Spekrumlarının Karşılaşırılması) Deprem Mühendisliğine Giriş Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

16 Response of a very Long Period SDOF

17 Response of a very Shor Period SDOF

18 TSD Sisemlerin Tepki Analizi (Triparie Tepki Spekrumu) Deprem Mühendisliğine Giriş Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

19 Hwk 1 Newmark Hall Design Response Specrum Regions of Response Specrum

20 Dinamik Serbeslik Derecesi TSD Sisemlerin Tepki Analizi (Pseudo-hız ve Pseudo-ivmenin Fiziksel Yorumu) u () u() u () k c m k k m TSD Osilaör c u () g S ( ξ, T) = max u () d u () g Maksimum deformasyon Bir deprem anında, sisemde depolanan maksimum şekil değişirme enerjisi (srain energy) E () : s max E() s 1 1 = ks = mv 1 1 mω Sd = mv ω Sd = V = Spv d maks. hız max E() s 1 = ms pv Maksimum şekil değişirme enerjisi pseudo-hız değeri ile ilişkilidir.

21 TSD Sisemlerin Tepki Analizi (Pseudo-hız ve Pseudo-ivmenin Fiziksel Yorumu) - Devam Maksimum aban kesme kuvvei veya maksimum yay kuvvei (osilaöre referansla) f () aşağıdaki gibi yazılabilir: max V() = max f () = ks = mω S = ms b s d d pa k ( ω= ) m s Spa Maksimum aban kesme kuvvei ile ilişkili Maksimum aban kesme kuvvei aşağıdaki gibi de yazılabilir: W max V() = ms = S g b pa pa max Vb() Spa W g Yapı ağırlığı Yer çekimi ivmesi : aban kesme kuvvei kasayısı = (laeral force coeff.) Yönemeliklerdebu değer, aban kesme kuvveini bulmak için yapı ağırlığıyla çarpılması gereken kasayıyı emsil eder. S Gerçek spekral değerler ve, maksimum deformasyon ve asarım kuvvelerinin bulunması v S a için gerekli değildir. Bunların bulunması için pseudo-ivmeve pseudo-hız(veya gerçek deplasman) epki spekrumlarının bilinmesi yeerlidir.

22 u() TSD Sisemlerin Tepki Analizi Örnek W = 500 lb (~360kg) 1 (3.7m) A A Çelik boru Di=4.06 in (10.3 cm) A-A Kesii Do=4.5 in (11.4 cm) I = 7.3 in4 (41.6 cm4) E = 9,000 ksi (00,000 MPa) Wboru = lb/f (157.4 N/m) u () g 1940 El Cenro depremi için bu yapının maksimum deplasman ve oluşan maksimum eğilme gerilmesi değerini bulunuz ξ =%. +x 1 u( L ) = 1.0 Euler-Bernoulli Kirişi Kabulü M( L ) = d u EI q( x) 0 4 dx = = Sabi kesili u (0) = 0.0 u (0) = 0.0 u ( x) = Ce h rx u( x) = C + Cx+ Cx + Cx (Sınır şarlarından bulunur, kasayılar bulunur)

23 TSD Sisemlerin Tepki Analizi Örnek - Devam u ( x ) = x 3 L L x : Elasik eğri 3 d u 3EI 3 V( x) = EI = V( L) = k = EI = 0.11 kip/in dx 3 L 3 3 L : Yanal rijilik (36,95 MN/m) Borunun ağırlığı = 10.79*1 = lb; 5,00 lb a göre ihmal edilebilir bir değer! W 5. m = = g 384 = kips s /in ω= k rad/s m = = T n π = = 1.59 s ω

24 TSD Sisemlerin Tepki Analizi Örnek - Devam ( ) S 1.59,0.0 = 5 in : Maksimum deformasyon d π pa( 1.59, 0.0) = d = ω d = 0. S S S g T

25 TSD Sisemlerin Tepki Analizi Örnek - Devam Gerilmeler: f so Spa = W =ksd = 0. 5.= 1.04 kips g M = = 1.48 kip-f so 1 (3.7m) Mso c σ so = = I 46.5 ksi Örnek : Bir önceki soruda bulunan gerilme değerleri, izin verilebilir gerilme değerlerinden büyük çıkığı için, asarımcı borunun çapını aşağıdaki gibi büyüüyor. Bu durumda boruda oluşan maksimum gerilmeleri bulunuz. Çelik boru A-A Kesii Di=7.981 in Do=8.65 in 3 3EI k = =.11kip/in Yanal rijilik 10 ka arı!!! L

26 TSD Sisemlerin Tepki Analizi Örnek -Devam k ω= = 1.59 rad/s m T n π = = 0.50 s ω Küçüldü!!! Tepki spekrumundan: ( ) S 0.50,0.0 =.7 in : Maksimum deformasyon d π Spa( 0.50, 0.0) = Sd = 1.1g T Küçüldü!!! Çok büyüdü!!! (5 ka arı) f so Spa = W =ksd = 5.7 kips M so = 1 5.7= kip-f g Mso σ so = c = 49 ksi 46.5 ksi I

27 TSD Sisemlerin Tepki Analizi Örnek -Devam Sonuç: 8.65 in çaplık borunun kullanılması ile deformasyonlarda düşüş gözlendi; ancak asarımcının öngörüşünün aksine, gerilmelerde arış oldu! Bu durum yapıların dinamik ve saik yükler alındaki davranışları arasındaki farkı gösermekedir. Tasarımcının öngörüşü, saik yükler için olumlu sonuçlar verecekken, dinamik yükler alında amamen ers bir sonuç vermişir. (1.59 sn 0.50 sn yeye düşmesi eşdeğer deprem yükünü arırmışır).