1. G IR IŞ. x n+1 x n +px n k =0; n=0;1;2;::: (1.1)

Transkript

1 . G IR IŞ Fark denklemleri ile zamana ba¼gl çeşitli do¼ga olaylar n n incelenmesinin do¼gal bir ifadesi olarak karş laş lmaktad r. Zamana ba¼gl de¼gişkenlerin kullan ld ¼g olaylar n pek ço¼gu ayr k (kesikli) oldu¼gundan bu tür denklemler önemli matematiksel modelleri oluşturur. Daha da önemlisi, fark denklemleri, diferensiyel denklemler için ayr klaşt rma (discretization) metodlar n n incelenmesinde de karş m za ç kar. Fark denklemleri teorisinde elde edilen pek çok sonuç hemen hemen bunlara karş l k gelen diferensiyel denklemlerin ayr k benzeridir. Bununla birlikte, fark denklemler teorisi karş l k gelen diferensiyel denklemler teorisinden daha zengindir. Örne¼gin, birinci mertebeden bir diferensiyel denklemin benzeri olan bir fark denklemi ghost çözümlere veya kaotik yörüngelere sahip olabilmesine ra¼gmenbudurum ancak yüksek mertebeden diferensiyel denklemler için söz konusudur. Sonuç olarak, fark denklemleri teorisinin ilginç oldu¼gunu ve yak n gelecekte daha fazla öneme sahip olaca¼g n gözlemleyebiliriz. Böylece, fark denklemleri teorisinin uygulamalar, nümerik analiz, kontrol teori, bilgisayar bilimi, ekonomi, biyoloji, sosyoloji, zyoloji gibi bir çok bilim dal nda h zl bir şekilde artmaktad r. Son y llarda fark denklemlerinin çözümlerinin davran ş ve özellikle, sal n ml l ¼g ile ilgili bir çok çal şma yap lmaktad r. Ladas 990 y l ndaki çal şmas nda x n+ x n +px n k =0; n=0;;2;::: (.) p 2 R; k 2 Z lineer, otonom fark denkleminin tüm çözümlerinin sal n ml l ¼g için gerek ve yeter şart vermiştir. Erbe ve Zhang 989 y l ndaki çal şmalar nda x n+ x n +p n x n k =0; n=0;;2;::: (.2) p n negatif olmayan reel terimli dizi ve k 2 Z + olmak üzere lineer, otonom olmayan, gecikmeli fark denkleminin bütün çözümlerinin sal n ml l ¼g için yeter şart vermişlerdir. Yine 989 y l nda, Ladas, Philos ve S cas yukar daki otonom olmayan fark denkleminin tüm çözümlerinin sal n ml l ¼g için yeter şart vermişlerdir. Diferensiyel denklemler ile bunlar n ayr k benzerleri olan fark denklemlerinin çözümlerinin

2 sal n ml l klar aras nda ilgi çekici benzerlikler vard r. Ancak, bu her zaman geçerli olmayabilir. Örne¼gin; x 0 (t)+p(t)x(t k)=0 (.3) gecikmeli diferensiyel denklemini ele alal m. (.2) fark denklemi (.3) diferensiyel denkleminin ayr k benzeridir. k = 0 için (.3) diferensiyel denklemi µ x(t)=x(t 0 )Exp Z t t0 p(s)ds şeklinde bir çözüme sahiptir ve bu çözüm hiç bir zaman sal n ml de¼gildir. Fakat (.2) fark denklemik=0için x n = " n # Y ( p j ) j=n0 şeklinde bir çözüme sahiptir. Dolay s yla bu çözüm 8j n 0 için p j <0 oldu¼gunda sal n ml çözüme sahiptir. Daha sonraki y llarda, örne¼gin 994 y l nda Yu, Zhang ve Wang, 200 y l nda Tang ve Zhang çal şmalar nda (.2) fark denkleminin bütün çözümlerinin sal n ml l ¼g için yeni kriterler elde etmişlerdir. Ayr ca, 993 y l nda Yu, Zhang ve Qian, 2000 y l nda Yu ve Tang (.2) fark denklemindep n nin sal n ml bir dizi olmas durumunda bu denklemin bütün çözümlerinin sal n ml l k durumunu incelemişlerdir. Bu çal şmalar n tümünün fark denklem sistemleriyle de¼gil, sadece fark denklemleriyle ilgili çal şmalar oldu¼guna dikkatinizi çekmek isteriz. Fark denklem sistemlerinin çözümlerinin sal n ml l ¼g ile ilgili olarak literatürde bulabildi¼gimiz ilk çal şmalardan birisinde Chuanxi, Kuruklis ve Ladas 990 y l nda, x n0 x n+ x n +Px n k =0; n=0;;2;::: (.4) P 2R r r vek 2 Z olmak üzere, lineer, otonom, üç terimli fark denklem sisteminin ve x n+ x n +Px n k Qx n l =0; n=0;;2;:: (.5) P;Q 2 R r r ve k;l 2 N olmak üzere (.5) fark denklem sisteminin tüm çözüm- 2

3 lerinin sal n ml l k durumunu incelemişlerdir. 99 y l nda Chuanxi, Kuruklis ve Ladas çal şmalar nda x n+ x n +P n x n k +Q n x n l =0 ; n=0;;2;:: (.6) P n ;Q n 2 R m m vek;l negatif olmayan tamsay lar olmak üzere (.6) otonom olmayan fark denklem sisteminin tüm çözümlerinin sal n ml l k durumlar n incelemişlerdir. Burada (.6) fark denklem sistemi için elde edilen sonuçlar bu sistemde m= olmas durumuna yani, karş l k gelen skalar denklemin çözümlerinin sal n ml l ¼g kullan larak elde edilmiştir y l nda Agarwal ve Grace çal şmalar nda iki bilinmeyen ve iki denklemden oluşan bir fark denklem sisteminin çözümlerinin sal n ml l ¼g n incelemişlerdir. Bu çal şmada şartlar P matrisinin bileşenleri yard m yla verilmiştir. Yine 2000 y l nda Agarwal ve Grace bir başka çal şmalar nda yüksek mertebeden nötral fark denklem sistemlerinin s n rl çözümlerinin sal n ml olmas için kriterler elde etmişlerdir. Bizim tezimizde ise, ikinci bölümde fark denklem ve sistemlerinin çözümleri hakk nda bilgi verildiktensonra, üçüncübölümde ikinci ve üçüncü mertebeden lineer, otonom fark denklem sistemlerinin tüm çözümlerinin sal n ml olmas için baz kriterler elde edilmiştir. Dördüncü bölümde ise key mertebeden lineer, otonom fark denklem sistemlerinin sal n ml l ¼g incelenmiştir. 3

4 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, doktora tezimizde ihtiyaç duyaca¼g m z, bilinen baz tan m, teorem ve lemmalar verece¼giz. Ilk önce fark analizi ve fark denklemleri tan t lacak ve daha sonra fark denklemleri ve fark denklem sistemlerinin çözümleri hakk nda bilgiler verilecektir. Son olarak fark denklemleri ve sistemlerinin sal n ml l ¼g hakk nda bilinen baz tan m ve teoremler hat rlat lacakt r. 2.. Fark Analizi ve Genel Tan mlar n 2 N olmak üzerex n fonksiyonu için kayd rma (öteleme) operatörü Ex n =x n+ ve ileri fark operatörü x n =x n+ x n şeklinde tan mlan r (Ak n 998, Goldberg 958, Elaydi 999, Agarwal 2000). E k x n =x n+k oldu¼gu kolayl kla görülebilir. k x n i hesaplamak için I özdeşlik operatörü olmak üzere, =E I vee= +I ifadelerini kullanabiliriz. O zaman, k x n =(E I) k x n P = k ( ) i k i E k i x n i=0 P = k ( ) i k i=0 i xn+k i bulunur. Benzer şekilde, oldu¼gu görülür. E k x n = kx i=0 k i k i x n Tan m 2... n 2 N olmak üzere x n ; N üzerinde tan ml reel (veya kompleks) 4

5 de¼gerli bir fonksiyon olsun. x n ;x n+ ;:::;x n+k (2..) ifadelerini kapsayan bir ba¼g nt ya (denkleme) k nc mertebeden bir fark denklemi denir (Ak n 998, Agarwal 2000). Bir başka ifadeyle, N; R s ras yla do¼gal say lar ve reel say lar kümesi olmak üzere, x : N! R x : n!x n ;n=0;;2;::: tan m cümlesi do¼gal say lar olan fonksiyonlar fark denklemin çözümü olan fonksiyonlard r (Ak n ve Bulgak 998). Tan m Bir fark denkleminin mertebesi, denklemdeki en büyük indis ile en küçük indis aras ndaki fark olarak tan mlan r. Örne¼gin; x n+3 3x n+2 +7x n+ =0 denklemi ikinci mertebeden bir fark denklemidir (Agarwal 2000). Tan m E¼ger (2..) fark denklemi, kx a in x n+i =b n (2..2) i=0 formunda verilirse k nc mertebeden olan (2..) fark denklemine lineerdir denir. E¼ger en az birn2niçinb n s f rdan farkl ise, bu durumda (2..2) fark denklemine homogen olmayan, lineer fark denklemi denir (Ak n 998, Agarwal 2000). E¼ger (2..) fark denklemi, kx a in x n+i =0 (2..3) i=0 şeklinde verilirse (2..3) fark denklemine homogen, lineer fark denklemi denir (Ak n 998, Agarwal 2000) Lineer Fark Denklemleri Teorisi Bu k s mda k nc mertebeden lineer fark denklemleri hakk nda bilinen bir teorem 5

6 verilecektir. k nc mertebeden, homogen olmayan, lineer fark denklemini x n+k +p n x n+k +:::+p kn x n =g n (2.2.) formunda yazabiliriz. Buradap in veg n,n n 0 için tan ml reel de¼gerli fonksiyonlar ve 8n n 0 içinp kn 6=0d r. Teorem Aşa¼g daki başlang ç de¼ger problemi bir tekx n çözümüne sahiptir x n+k +p n x n+k +:::+p kn x n =g n (Elaydi 999). x n0 =a 0 ;x n0 +=a ;:::; x n0 +k =a k 2.3. Lineer Homogen Sabit Katsay l Fark Denklemlerinin Çözümleri Bu k s mda k nc mertebeden sabit katsay l, lineer, homogen fark denkleminin çözümleri hakk nda bilgi verece¼giz. Şimdi aşa¼g daki k nc mertebeden fark denklemini ele alal m. x n+k +p x n+k +:::+p k x n =0 (2.3.) Burada p i ler sabit ve p k 6= 0 d r. (2.3.) denkleminde n i çözüm kabul edip denklemde yerine yazarsak k+p k +:::+p k =0 (2.3.2) denklemi bulunur. Buna (2.3.) fark denkleminin karakteristik denklemi ve lara ise (2.3.2) denkleminin karakteristik kökleri denir. (2.3.) fark denkleminin çözümüiçin, karakteristik denklemin köklerine ba¼gl olarak çözümler bulunur (Elaydi 999). 6

7 2.4. LineerFarkDenklem Sistemlerinin Çözümleri Bu k s mda k tane ba¼g ml de¼gişken ve k tane lineer denklemden oluşan x (n+) = a x n +a 2 x 2n +:::+a k x kn x 2(n+) = a 2 x n +a 22 x 2n +:::+a 2k x kn.. x k(n+) = a k x n +a k2 x 2n +:::+a kk x kn fark denklem sisteminin çözümleri hakk nda bilinen tan m ve teoremleri verece¼giz. Bu sistemi(x n ;x 2n ;:::;x kn ) T 2 R k vea 2 R k k singüler olmayan bir matris olmak üzere x n+ =Ax n (2.4.) formunda yazabiliriz. (2.4.) sistemine A matrisi sabit katsay l oldu¼gundan dolay otonom sistem denir. n 0 0, x n0 = x 0 başlang ç de¼geri ile birlikte (2.4.) sistemine başlang ç de¼ger problemi denir ve bu sistemin çözümü x n;n0 ;x 0 =A n n 0 x 0 (2.4.2) ile verilir. Burada A 0 = I, kxk tipinde birim matristir. y n n0 = x n ven 0 = 0 al nd ¼g nda (2.4.) sistemi y n+ =Ay n ; y 0 =x n0 (2.4.3) olur ve çözümü y n =A n y 0 (2.4.4) ile verilir (Elaydi 999). Tan m A=(a ij ),kxk tipinde bir matris vei,k k tipinde bir birim matris olsun. Bu durumda det( I A)=0 (2.4.5) 7

8 karakteristik denkleminin kökleri olan 2C k laraamatrisinin özde¼gerleri ve ( I A)»=0 (2.4.6) denkleminin çözümü olan» 2C k lara» 6=0;A matrisinin özde¼gerlerine karş l k gelen özvektörleri denir (Ak n 2002, Elaydi 999). Şimdi x n+ =A n x n (2.4.7) lineer, homogen, otonom olmayan fark denklem sisteminin çözümü ile ilgili bilinen bir teorem verelim. Burada A n = (a ij ) bir k k tipinde singüler olmayan matris fonksiyonudur ve A n de¼gişken katsay l oldu¼gundan (2.4.7) sistemine otonom olmayan sistem denir. Teorem Her hangi birx 0 2 R k ven 0 2 Z + için (2.4.7) sistemix n0 ;n 0 ;x 0 =x 0 ile tek birx n0 ;n 0 ;x 0 çözümüne sahiptir ve çözümü x n0 ;n 0 ;x 0 = " n Y i=n 0 A i # x 0 (2.4.8) d r. Burada 8 n Y < A i = : i=n 0 A n A n 2 A n n0 ; n>n 0 I ; n=n 0 ile verilir (Elaydi 999) Fark Denklemlerinin ve FarkDenklem Sistemlerinin Sal n ml l ¼g Bu k s mda fark denklemlerinin ve fark denklem sistemlerinin sal n ml l ¼g ile ilgili olarak bilinen baz tan m ve teoremler verece¼giz. Tan m E¼ger her pozitif N tamsay s ve n N için x n x n+ 0 ise x n aşikar olmayan çözümüne s f r etraf nda sal n ml d r denir. Aksi haldex n çözümüne sal n ml olmayan çözüm denir. Başka bir şekilde ifade edersek, e¼ger birx n çözümü belli bir yerden (n de¼gerinden itibaren) sonra sadece pozitif ya da sadece negatif 8

9 de¼gilse s f r etraf nda sal n ml d r denir (Agarwal vd 2000, Györi ve Ladas 99, Elaydi 999). Tan m k nc mertebeden bir fark denklem sisteminin bir fx n g çözümü x n =[x n ;x2 n ;:::;xr n ]T olsun. E¼ger her bir fx i n g bileşeni sal n ml ise fx ng çözümüne sal n ml d r denir. Di¼ger durumda yani, bir fx i ng bileşeni belli bir yerden sonra pozitif ya da negatif ise fx n g çözümüne sal n ml olmayan bir çözüm denir. Burada n=0;;2;::: içinx n 2 R r dir (Györi ve Ladas 99). Tan m n = 0;;2;::: için fx n g reel terimli bir dizi olsun. fx n g dizisinin z dönüşümüz(x n ) ile gösterilir ve Z(x n )= X n=0 x n z n (2.5.) serisi ile tan ml d r. Bu dönüşüm, seri yak nsak olacak biçimde bütün kompleks z de¼gerleri içintan ml d r. E¼ger b ve c pozitif say lar öyleki n = 0; ; 2;::: için jx n j bc n (2.5.2) eşitsizli¼gi sa¼glan rsa, bu durumda her jzj > c için (2.5.) serisi yak nsakt r ve bu bölgede z de¼gişkenli kompleks analitik fonksiyon olarak tan ml d r (Györi ve Ladas 99). Lemma k 2 f;2;:::g olsun. Bu durumda Xk Z(x n+k )=z k Z(x n ) x n z k n dir (Györi ve Ladas 99). n=0 Lemma P ;P 2 ;:::;P k ;s s tipinde reel terimli matrisler olsun ve fx n g x n+k +P x n+k +:::+P k x n =0; n=0;;2;::: denkleminin herhangi bir çözümü olsun. Ayr cab=fka 0 k;:::; ka k kg vec 2[; ) 9

10 olsun ve ise, bu durumda kp kc +:::+kp k kc k ka n k bc n ; n=0;;2;::: sa¼glan r (Györi ve Ladas 99). Teorem k ves pozitif tamsay lar ve;2;:::;k içinp i lers s tipinde reel terimli matrisler olmak üzere aşa¼g daki fark denklem sistemini alal m x n+k +P x n+k +:::+P k x n =0; n=0;;2;::: (2.5.3) Bu durumda aşa¼g daki ifadeler birbirine denktir; (a) (2.5.3) denkleminin her fx n g n=0 çözümü sal n ml d r, (b) (2.5.3) ün det ki+ k P +:::+P k =0 (2.5.4) karakteristik denklemi pozitif köke sahip de¼gildir. Burada I, s s tipinde birim matristir (Györi ve Ladas 99). Ispat.(a) )(b); E¼ger (a) sa¼glan rsa, bu durumda (2.5.4) ün pozitif bir köke sahip olmad ¼g n göstermeliyiz. (2.5.4) pozitif bir 0 köküne sahip olsun. O zaman s f rdan farkl bir» 2 R s vektörü vard r ve k 0 I+ k 0 P +:::+P k»=0 d r. Bu durumdax n = n0» çözümü (2.5.3) ün sal n ml olmayan bir çözümüdür. Bu da bir çelişkidir. Dolay s yla, bu durumda ispat tamamlanm ş olur. (b) )(a); (b) ifadesi sa¼glans n ve kabul edelim ki (2.5.3) sal n ml olmas n. Bu durumda (2.5.3) en az bir bileşeni sal n ml olmayan birx n =[x n ;x2 n ;:::;xs n ]T çözümüne sahiptir. Genelli¼gi bozmaks z n fx ng belli bir yerden itibaren pozitif olsun. (2.5.3) denklemi otonom oldu¼gundan n 0 için x n > 0 yazabiliriz. Lemma den 0

11 b;c 2(0; ) vard r ve kx n k<bc n dir. Bu durumda fx n g ninz dönüşümü X(z)= jzj > c için vard r. (2.5.3) denklemine z dönüşümünü uygular ve Lemma 2.5. i kullan rsak jzj > c için X n=0 x n z n F(z)X(z)= (z) sa¼glan r. BuradaP 0 =I; ve (z)= F(z)= kx i=0 kx P i z k i i=0 k i X P i j=0 z k i j x j dir. Hipotezden, z 2 (0; ) için det(f(z)) 6= 0 d r. Üstelik, reel z! iken det(f(z))! oldu¼gundanz2(0; ) için det(f(z))>0 d r. X (z); fx ng bileşenininz dönüşümü olsun vem dedet(f(z)) nin en büyük s f r n n modülü olsun. Bu durumda Cramer kural ndan, jzj > maxfc; Mg için det(f(z))x (z)=det(d(z)) (2.5.5) dir. Burada D(z) elemanlar F(z) ve (z) olan bileşenlere sahiptir. Aç k olarak, (2.5.5) deki determinantlar z ye ba¼gl polinomlard r. X (z)= X n=0 x n z n olsun ve W(z); ½ > 0 yak nsakl k yar çap na sahip pozitif katsay l bir kuvvet serisi olmak üzere W(z) = X ( z ) alal m. jzj > ½ için (2.5.5) denklemi gerçeklenir. Buna denk olarak 0 < jzj < ½ için det F( z ) W(z) = det D( z ) dir. ½ < yak nsakl k yar çap na sahip pozitif katsay l bir kuvvet serisi z = ½ da bir singü-

12 leriteye sahiptir (analitik devam anlam nda). Fakat det F( z ) 6= 0 oldu¼gundan det D( z ) =det F( z ) ; ½ merkezli bir diskte analitiktir ve jzj<½diskinin bu k sm ndaw(z) ile çak ş r. Bu çelişki½=oldu¼gunu ve bu ise jzj>0 için (2.5.5) in gerçeklendi¼gini gösterir. Fakat bu durumda yeterince büyüknler içinx n =0d r. Zira aksi halde, (2.5.5) in sol taraf z=0 da bir singüleriteye sahip olurdu. Bu z tl k fx ng in sal n ml olmamas ile ortaya ç km şt r. Dolay s yla ispat tamamlan r (Györi ve Ladas 99). Şimdi, Teorem 2.5. kullan larak elde edilen, birinci mertebeden fark denklemlerinin sal n ml l ¼g için bilinen aşa¼g daki teoremleri verelim. Teorem p 2 R vek 2 Z olmak üzere aşa¼g daki (k+) inci mertebeden, otonom fark denklemini alal m. x n+ x n +px n k =0 (2.5.6) Bu durumda (2.5.2) fark denkleminin her çözümünün sal n ml olmas için gerek ve yeter şart aşa¼g daki ifadelerdenbirinin sa¼glanmas d r: (i)k= isep ; (ii)k=0 isep ; (iii)k2 f:::; 3; 2g S f;2;:::g isep> (Ladas 990, Györi ve Ladas 99). k k (k+) k+ Teorem Aşa¼g daki fark denklemini alal m. x n+ x n + p i x n ki =0: (2.5.6) E¼ger;2;:::;m için ya p i 2(0; ) vek i 2 f0;;2;:::g 2

13 veya p i 2( ;0) vek i 2 f:::; 2; g sa¼glans n. Bu durumda p i (k i +) ki+ k ki i sa¼glan rsa (2.5.6) fark denkleminin her çözümü sal n ml d r (Ladas 990, Györi ve Ladas 99). > 3

14 3. IK INC I VE ÜÇÜNCÜ MERTEBEDEN L INEER OTONOM FARK DENKLEM S ISTEMLER IN IN SALINIMLILIGI ¼ Chuanxi, Kuruklis ve Ladas 990 y l nda yapm ş olduklar çal şmada birinci mertebeden, lineer, otonom fark denklem sistemlerinin tüm çözümlerinin sal n ml l k durumunuincelemiş ve baz kriterler vermişlerdir. Biz ise bu bölümde ikinci ve üçüncü mertebeden, lineer, otonom fark denklem sistemlerinin tüm çözümlerinin sal n ml olmas için baz sonuçlar elde edece¼giz. 3.. Ikinci Mertebeden FarkDenklem Sistemlerinin Sal n ml l ¼g birinci mertebeden ileri fark operatörü yani, x n =x n+ x n olsun. Bu k s mda ilk önce 2 x n +Px n k =0; n=0;;2;::: (3..) dört terimli, lineer, otonom fark denklem sisteminin tüm çözümlerinin sal n ml l ¼g için P matrislerinin özde¼gerlerini kullanarak gerek ve yeter şartlar verece¼giz. Daha sonra isep i 2 R s s matrislerinin logaritmik normlar n kullanarak 2 x n + P i x n ki =0; n=0;;2;::: (3..2) ikinci mertebeden, lineer, otonom fark denklem sisteminin tüm çözümlerinin sal n ml l ¼g için yeter şart verece¼giz. Bu k s mda elde edilen sonuçlar, bir ana kir olmak üzere, dördüncü bölümde key çift mertebeden fark denklem sistemlerinin çözümlerinin sal n ml l ¼g n elde edece¼giz. Tan m 3... P 2 R s s olmak üzerep matrisinin logaritmik normu¹(p) ile gösterilir ve ¹(P)=maks k»k= (P»;») şeklinde tan mlan r. Burada (, ), R s de bir iç çarp m ve k»k=(»;») 2 dir (Chuanxi vd 990, Györi ve Ladas 99). (3..) fark denklem sistemininbir çözümü n k içintan ml ve n 0 için (3..) 4

15 denklemini sa¼glayan R s de bir fx n g dizisidir. n=0;;2;::: içinx n =[x n ;x2 n ;:::;xs n ]T ile (3..) fark denklem sisteminin bir çözümü fx n g olsun. E¼ger herbir fx i n g bileşeni sal n ml ise fx n g sal n ml çözüm aksi halde sal n ml olmayan çözümdür (Tan m 2.5.2). Şimdik=maksf0;k ;k 2 ;:::;k m g vel=maksf2; k ; k 2 ;:::; k m g olsun. Bu durumda (3..2) fark denklem sistemini lx 2 x n + Q j x n+j =0; n=0;;2;::: (3..3) j= k formunda yazabiliriz. Bu durumda (3..3) fark denklem sistemi(k+l) inci mertebeden bir fark denklem sistemidir. Burada e¼gerk 0vel=2 ise (3..3) fark denklem sistemine gecikmeli fark denklem sistemi, k = 0 ve l 3 ise (3..3) fark denklem sistemine ileri fark denklem sistemi ve k 2 ve l 3 ise (3..3) fark denklem sistemine kar ş k tipten fark denklem sistemidir. (3..3) fark denklem sisteminin çözümlerinin varl ¼g ve tekli¼gi için e¼ger0 k 2vel=2 isedet(q 2 +I) 6=0 e¼gerk=0 vel 3ise detq l 6=0 9 = ; (3..4) şart sa¼glans n. Bu durumda, R s dea k ;:::;a l,(k+l) tane başlang ç şart verilirse, (3..3) fark denklem sistemi x i =a i ; i= k;:::;l başlang ç şartlar n sa¼glayan,n= k;:::;0;;::: için bir tek fx n g çözümüne sahiptir (Györi ve Ladas 99). Teorem 3... P 2 R s s ;k2 Z ve (3..4) şart sa¼glans n. Bu durumda (3..) dört terimli fark denklem sisteminin tüm çözümlerinin sal n ml olmas için gerek ve yeter şart P matrisinin( ; 0] aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas d r. Ispat. (i)k=0 olsun. Bu durumda (3..) fark denklem sistemi x n+2 2x n+ +x n +Px n =0 (3..5) 5

16 şeklinde olur ve (3..5) sistemininkarakteristik denklemi det 2I 2 I+I+P =0 (3..6) olur. (3..6) karakteristik denklemini det ( ) 2 I+P = det ( ) 2 I P =0 şeklinde yazabiliriz. E¼ger v( ) foksiyonunu v( )= ( ) 2 şeklinde al rsak v( ) fonksiyonunun(0; ) aral ¼g ndaki görüntü kümesi( ; 0] aral ¼g d r. Böylece (3..6) denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek ve yeter şart P nin ( ; 0] aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. gere¼gince (i) ispatlan r. (ii) k = olsun. Bu durumda (3..) fark denklem sistemi x n+2 2x n+ +x n +Px n+ =0 (3..7) olur ve (3..7) sisteminin karakteristik denklemi det 2I 2 I+I+P =0 (3..8) dolay s yla ve det I I+P 2I+ =0 det ( + )I (2I P) =0 6

17 şeklinde yazar z. Burada, e¼ger v( ) foksiyonunu v( )= + al rsak v( ) fonksiyonu(0; ) üzerinde sürekli bir fonksiyondur. Şimdi > 0 için v( ) fonksiyonunun görüntü kümesini bulal m. v( ) fonksiyonunun türevini al rsak v 0 ( )= 2 =0 oldu¼gundan =içinv 0 ( )=0olur. Dolay s yla =de¼geriv( ) fonksiyonunun kritik noktas d r. Şimdi v( ) n n ikinci türevini alal m; v 00 ( )= 2 3 = içinv 00 ( )>0 oldu¼gundanv( ) fonksiyonu = için yerel minimuma sahiptir. Dolay s yla min >0 v( )=2 ve lim!0 +v( )= ; lim v( )=! dur. Böylece v( ) fonksiyonunun (0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü [2; ) aral ¼g d r. Dolay s yla (3..8) denkleminin pozitif kökününolmamas için gerek ve yeter şart P nin( ; 0] aral ¼g nda özde¼gere sahipolmamas gerekir. Yani Teorem 2.5. gere¼gince (ii) do¼grudur. (iii)k= 2 olsun. Bu durumda (3..) fark denklem sistemi x n+2 2x n+ +x n +Px n+2 =0 (3..9) şeklini al r ve (3..9) sisteminin karakteristik denklemi det 2I 2 I+I+P 2 =0 (3..0) ve 2I+P det I 2 I+ =0 7

18 ve bu denklemi de det ( 2 2)I (I+P) =0 şeklinde yazar z. E¼ger v( ) foksiyonunu v( )= 2 2 al rsak v( ) fonksiyonunun (0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü( ; ] oldu¼gu(ii) deki gibi gösterilebilir. Dolay s yla (3..0) denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek ve yeter şart P nin( ; 0] aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. (iv) k olsun. Budurumda (3..) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi det 2I 2 I+I+P k =0 (3..) olur ve bu da det k+2 I 2 k+ I+ ki+p =0 d r. Bu denklemi düzenlersek det (2 k+ k+2 k)i P =0 şeklinde yazar z. Bu denklemde v( ) fonksiyonunu v( )=2 k+ k+2 k olarak alal m. v( ) fonksiyonunun(0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü( ; 0] d r. Böylece (3..) karakteristik denkleminin pozitifkökününolmamas için gerek ve yeter şart P nin ( ; 0] aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. gere¼gince ispat tamamlan r. (v) k 3 olsun. Bu durumda yine (3..) sisteminin karakteristik denklemi (3..) da ki gibidir. v( ) fonksiyonunun(0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü( ; 0] d r. Böylece (3..) karakteristik denkleminin pozitifkökününolmamas için gerek ve yeter şart P nin ( ; 0] aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem

19 den ispat tamamlan r. Şimdi (3..) fark denklem sisteminin bir özel şekli olan (3..2) fark denklem sisteminin tüm çözümlerinin sal n ml l ¼g için yeter şart verece¼giz. Buradaki şart,p i 2 R sxs matrislerinin logaritmik normlar kullan larak verilecektir. Teorem ;2;:::;m içinp i 2 R s s,k i 2 Z ve (3..4) şart sa¼glans n. Bu durumda aşa¼g daki ifade geçerli olursa, (3..2) fark denklem sisteminin her çözümü sal n ml d r. P (i a ) >0için m ki ¹( P i )<0 veya (i b ) 6= için sup 2(0;) mp ( ) 2 k i ¹( P P i) <ve m ¹( P i )<0: Ispat. (3..2) fark denklem sisteminin sal n ml olmad ¼g n kabul edelim. O zaman Teorem 2.5. den (3..2) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi det " ( ) 2 I+ k i P i #=0 pozitif bir köküne sahiptir. Böylece s f rdan farkl bir» 2 R s vektörü vard r ve k» k= oldu¼gunu kabul edebiliriz. Bu durumda olur. Buradan, ve " ( ) 2 I+ ( ) 2 = ( ) 2 ki P i #»=0 ki ( P i»;») k i ¹( P i ) (3..2) elde ederiz. (3..2) eşitsizli¼ginden Teorem 3..2 in (i a ) ifadesi sa¼glanmaz. E¼ger 2(0; ); 6=ise (3..2) eşitsizli¼ginden ( ) 2 ki ¹( P i ) 9

20 eşitsizli¼gini elde ederiz ve buradan da sup 2(0;) " ( ) 2 # k i ¹( P i ) olur. Bu ise Teorem 3..2 in(i b ) ifadesinin ilk k sm ile çelişmektedir. E¼ger = ise (3..2) eşitsizli¼ginden 0 ¹( P i ) olur ve Teorem 3..2 in (i b ) ifadesinin ikinci k sm ile çelişmektedir. Böylece ispat tamamlan r Üçüncü Mertebeden Fark Denklem Sistemlerinin Sal n ml l ¼g Bu k s mda ilk önce 3 x n +Px n k =0; n=0;;2;::: (3.2.) üçüncü mertebeden beş terimli, lineer, otonom, fark denklem sisteminin tüm çözümlerinin sal n ml l k durumlar incelenecek ve baz sonuçlar elde edilecektir. Burada P 2 R s s, k 2 Z dir. Elde edilen sonuçlarp matrislerinin özde¼gerleri kullan larak verilecektir. Daha sonra ise, 3 x n + P i x n ki =0; n=0;;2;::: (3.2.2) üçüncü mertebeden, lineer, otonom fark denklem sisteminin tüm çözümlerinin sal n ml l ¼g içinp i 2 R s s matrislerinin logaritmik normlar n kullanarak yeter şartlar verece¼giz. Bu k s mda elde edilen sonuçlar, bir ana kir olmak üzere, dördüncü bölümde key tek mertebeden fark denklem sistemlerinin çözümlerinin sal n ml l ¼g n elde edece¼giz. (3.2.) fark denklem sistemininbir çözümü n k içintan ml ve n 0 için (3.2.) denklemini sa¼glayan R s de bir fx n g dizisidir. Şimdik=maksf0;k ;k 2 ;:::;k m g ve 20

21 l=maksf3; k ; k 2 ;:::; k m g olsun. Bu durumda (3.2.2) fark denklem sistemini lx 3 x n + Q j x n+j =0; n=0;;2;::: (3.2.3) j= k formunda yazabiliriz. Bu durumda (3.2.3) fark denklem sistemi(k+l) inci mertebeden bir fark denklem sistemidir. Burada e¼gerk 0vel=3 ise (3.2.3) fark denklem sistemi gecikmeli fark denklem sistemi, k = 0 ve l 4 ise (3.2.3) fark denklem sistemi ileri fark denklem sistemi ve k 3 ve l 4 ise (3.2.3) fark denklem sistemi kar ş k tipten fark denklem sistemidir. (3.2.3) fark denklem sisteminin çözümlerinin varl ¼g ve tekli¼gi için e¼ger0 k 3vel=3 isedet(q 3 +I) 6=0 e¼gerk=0 vel 4ise detq l 6=0 9 = ; (3.2.4) şart sa¼glans n. Bu durumda, R s dea k ;:::;a l,(k+l) tane başlang ç şart verilirse, (3.2.3) fark denklem sistemi x i =a i ; i= k;:::;l başlang ç şartlar n sa¼glayan,n= k;:::;0;;::: için bir tek fx n g çözümüne sahiptir. Teorem P 2 R s s ; k 2 Z ve (3.2.4) şart sa¼glans n. Bu durumda (3.2.) fark denklem sisteminin tüm çözümlerinin sal n ml olmas için gerek ve yeter şart aşa¼g daki ifadelerden birinin sa¼glanmas d r. (i)k=0isep,( ;] aral ¼g nda özde¼gere sahip de¼gildir, (ii)k= isep,( ; ) aral ¼g nda özde¼gere sahip de¼gildir, (iii)k= 2 isep,( ; ) aral ¼g nda özde¼gere sahip de¼gildir, (iv)k= 3 isep,[ ; ) aral ¼g nda özde¼gere sahip de¼gildir, 2

22 k k (v)k isep,( ;27 (k+3) k+3] aral ¼g nda özde¼gere sahip de¼gildir, k k (vi)k 4 isep,[27 (k+3) k+3; ) aral ¼g nda özde¼gere sahip de¼gildir. Ispat. (i)k=0 olsun. Bu durumda (3.2.) fark denklem sistemi x n+3 3x n+2 +3x n+ x n +Px n =0 (3.2.5) şeklinde olur ve (3.2.5) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi det 3I 3 2I+3 I I+P =0 (3.2.6) olur. (3.2.6) karakteristik denklemini det ( ) 3 I+P = det ( ) 3 I P =0 şeklinde yazabiliriz. Son denklemden,v( )= ( ) 3 al rsakv( ) fonksiyonu(0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü( ; ] aral ¼g d r. O halde (3.2.6) karakteristik denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek ve yeter şart P matrisinin( ; ] aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. uyar nca (i) ispatlanm ş olur. (ii) k = olsun. Bu durumda (3.2.) fark denklem sistemi x n+3 3x n+2 +3x n+ x n +Px n+ =0 (3.2.7) olur ve (3.2.7) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi det 3I 3 2I+3 I I+P =0 (3.2.8) şeklindedir. (3.2.8) karakteristik denklemini det ( ) 3 I+P 22

23 şeklinde yazabiliriz. E¼gerv( )= ( )3 ( ) 3 = det I P =0 al rsak, v( ) fonksiyonu(0; ) aral ¼g nda sürekli bir fonksiyondur. > 0 için v( ) fonksiyonunun görüntü kümesini incelersek;v( ) fonksiyonunun birinci ve ikinci türeviv 0 ()=v 00 ()=0oldu¼gu görülür. Dolay s yla =için v( ) fonksiyonu dü¼güm noktas na sahiptir ve v()= 0 d r. Ayr ca lim!0 +v( )= ve lim v( )=! olur. Dolay s yla v( ) fonksiyonunun(0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü( ; ) aral ¼g d r. O halde (3.2.8) karakteristik denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek ve yeter şart P matrisinin reel özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. gere¼gince(ii) ispatlan r. (iii);(iv);(v) ve(vi) benzer şekilde gösterilir. Şimdi (3.2.2) fark denklem sisteminin tüm çözümlerinin sal n ml l ¼g için aşa¼g daki kriterleri verece¼giz. Teorem ;2;:::;m içinp i 2 R s s,k i 2 Z ve (3.2.4) şart sa¼glans n. Bu durumda aşa¼g daki ifadeler sa¼glan rsa, (3.2.2) fark denklem sisteminin her çözümü sal n ml d r. P (i a ) için m k i ¹( P i)<0veya (i b ) sup 2(;) (iii) inf 2(0;) mp ( ) 3 mp ( ) 3 k i ¹( P P i) < ve m ¹( P i )<0; k i ¹( P i) >: Ispat. (3.2.) fark denklem sisteminin sal n ml olmad ¼g n kabul edelim. Bu durumda, Teorem 2.5. den (3.2.) fark denklem sistemininkarakteristik denklemi det " ( ) 3 I+ k i P i #=0 pozitif bir köküne sahiptir. Böylece s f rdan farkl bir» 2 R s vektörü vard r ve 23

24 k» k= oldu¼gunu kabul edebiliriz. Bu durumda " ( ) 3 I+ k i P i #»=0 olur. Buradan, ( ) 3 = ve ( ) 3 k i ( P i»;») elde ederiz. E¼ger ise, bu durumda (3.2.9) eşitsizli¼ginden k i ¹( P i) (3.2.9) 0 k i ¹( P i ) elde edilir ve(i a ) ifadesi sa¼glanmaz. E¼ger > ise (3.2.9) eşitsizli¼ginden ve buradan da sup 2(;) ( ) 3 " k i ¹( P i ) ( ) 3 # k i ¹( P i ) elde edilir ve(i b ) ifadesinin ilk k sm sa¼glanmaz. E¼ger = ise, bu durumda (3.2.9) eşitsizli¼ginden 0 ¹( P i ) olur ve bu da(i b ) ifadesinin ikinci k sm ile çelişir. E¼ger 2(0;) ise, bu durumda (3.2.9) eşitsizli¼ginden ( ) 3 eşitsizli¼gini elde ederiz ve buradan da inf 2(0;) " k i ¹( P i ) ( ) 3 # k i ¹( P i ) 24

25 olur ve bu ise ifadesi ile çelişmektedir. Böylece ispat tamamlan r. Teorem i= ;2;:::;m içinp i 2 R s s, k i 2 Z ve (3.2.4) şart sa¼glans n. Ayr ca;2;:::;m için ¹( P i ) 0 ve k i 2 f0;;2;:::g (3.2.0) sa¼glans n. Bu durumda aşa¼g daki ifadelerden birisi sa¼glan rsa (3.2.2) fark denklem sisteminin her çözümü sal n ml d r; P (i) m [ ¹( P i )] (k i+3) ki+3 k ki i >3 3 ; mq m (k+3) k+3 (ii)m j¹( P i )j k k >3 3 : Buradak= m mp k i ve0 0 = al nm şt r. Ispat. (3.2.0) sa¼glans n. ¹( P i ) 0hipotezinden ve ayr ca ya (i) den veya (ii) den Teorem in (i a ) ifadesi sa¼glan r. Dolay s yla(i) ve(ii) ifadelerinin Teorem in(ii) ifadesini gerektirdi¼gini göstermemiz yeterlidir. Şimdi(i) sa¼glans n. Bu durumda sup 2(0;) oldu¼gundan;2;:::;m için olur ve 2(0;) için ( ) 3 = (k i +3) ki+3 ki 3 3 k k i i ( ) 3 k ¹( P i) ¹( P i ) (k i +3) ki+3 i 3 3 k k i i ( ) 3 k i ¹( P i ) 3 3 [ ¹( P i )] (k i+3) k i+3 k k i i > (3.2.) sa¼glan r ve buradan da Teorem in(ii) ifadesinin sa¼gland ¼g n görürüz. Şimdi (ii) sa¼glans n. Aritmetik ortalama-geometrik ortalama eşitsizli¼gi ve (3.2.) 25

26 eşitsizli¼gini kullan rsak 2(0; ) için ( ) 3 ki ¹( P i ) = ( ) 3 [ ¹( P i )] ki " m # Y m m [ ¹( P i )] ( ) 3 k elde ederiz. Ayr ca inf 2(0;) ( ) 3 k = (k+3) k k k oldu¼gundan 2(0;) için ( ) 3 " Y m k i ¹( P i ) m [ ¹( P i )] # m 3 3 (k+3) k+3 k k > elde ederiz ve Teorem in(ii) ifadesi sa¼glan r. Dolay s yla ispat tamamlan r. 26

27 4. KEYF I MERTEBEDEN L INEEROTONOM FARK DENKLEM S IS- TEMLER IN IN SALINIMLILIGI ¼ Bu bölümde key mertebeden lineer, otonom, fark denklem sistemlerinin tüm çözümlerinin sal n ml l k durumlar incelenecek ve baz sonuçlar elde edilecektir. Burada elde edilen sonuçlar P matrislerinin özde¼gerleri ve logaritmik normlar kullan larak verilecektir. Bu bölümün ilk k sm nda r x n +Px n k =0; n=0;;2;::: (4.) r inci mertebeden, lineer, otonom fark denklem sisteminin tüm çözümlerinin sal n ml olmas için gerek ve yeter şartlar verilecektir. Burada P 2 R s s, k 2 Z, r 2 N, x n =x n+ x n ver inci mertebeden ileri fark operatörü r x n = 0 rx ( ) r r Ax n+i ; r i i=0 dir. Bu bölümün ikinci k sm nda ise, r x n + P i x n ki =0; n=0;;2;::: (4.2) r inci mertebeden, lineer, otonom fark denklem sisteminin tüm çözümlerinin sal n ml olmas için yeter şartlar verilecektir. Burada;2;:::;m içinp i 2 R s s,k i 2 Z ve r 2 N dir. (4.) fark denklem sisteminin bir çözümü n k için tan ml ve n 0 için (4.) fark denklem sistemini sa¼glayan R s de bir fx n g dizisidir. Şimdi k = maksf0;k ;k 2 ;:::;k m g ve l = maksfr; k ; k 2 ;:::; k m g olsun. Bu durumda (4.2) fark denklem sistemini lx r x n + Q j x n+j =0; n=0;;2;::: (4.3) j= k 27

28 formunda yazabiliriz. Bu durumda (4.3) fark denklem sistemi(k +l) inci mertebeden bir fark denklem sistemidir. Burada e¼ger k 0 ve l = r ise (4.3) fark denklem sistemine gecikmeli fark denklem sistemi,k=0 vel r+ ise (4.3) fark denklem sistemine ileri fark denklem sistemi vek r vel r+ ise (4.3) fark denklem sistemine kar ş k tipten fark denklem sistemidir. (4.3) fark denklem sisteminin çözümlerinin varl ¼g ve tekli¼gi için e¼ger0 k r vel=r ise det(q r +I) 6=0 e¼gerk=0 vel r+ ise detq l 6=0 9 = ; (4.4) şart sa¼glans n. Bu durumda, R s dea k ;:::;a l,(k+l) tane başlang ç şart verilirse, (4.3) fark denklem sistemi, (4.4) şart alt nda x i =a i ; i= k;:::;l başlang ç şartlar n sa¼glayan,n= k;:::;0;;::: için bir tek fx n g çözümüne sahiptir. 4.. Sal n ml l k Için Gerekve YeterŞartlar Bu k s mda (4.) fark denklem sisteminin tüm çözümlerinin sal n ml olmas için gerek ve yeter şartlar verilecektir. Burada elde edilen sonuçlar k terimleri ve P matrislerinin özde¼gerleri kullan larak verilecektir. Teorem 4... P 2 R s s ; k 2 Z, r çift do¼gal say ve (4.4) şart sa¼glans n. Bu durumda (4.) fark denklem sistemininbütünçözümlerinin sal n ml olmas içingerek ve yeter P matrisinin( ; 0] aral ¼g nda özde¼gere sahipolmamas d r. Ispat. (i) k = 0 olsun. Bu durumda (4.) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi; olur ve bu denklemide det[( ) r +P]=0 (4..) det[ ( ) r P]=0 28

29 şeklinde yazabiliriz. E¼gerv( )= ( ) r al rsakv( ) fonksiyonu(0; ) aral ¼g nda sürekli bir fonksiyondur. > 0 içinv( ) fonksiyonunun görüntü kümesini inceleyelim. lim!0 +v( )= ; v()=0 ve lim v( )=! oldu¼gundanv( ) fonksiyonunun (0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü ( ; 0] aral ¼g d r. O halde (4..) karakteristik denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek ve yeter şart P matrisinin( ; 0] aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. gere¼gince (i) ispatlan r. (ii)k 2 f r+; r+2;:::; 2; g olsun. Bu durumda (4.) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi; det ( ) r +P k =0 (4..2) ve det k( ) r P =0 şeklindedir. E¼ger v( ) = k( ) r al rsak, v( ) fonksiyonu (0; ) aral ¼g nda sürekli bir fonksiyondur. > 0 içinv( ) fonksiyonunungörüntü kümesini incelersek v()=0; lim v( )= ve lim v( )=!0 +! olur. Dolay s yla v( ) fonksiyonunun (0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü ( ; 0] aral ¼g d r. O halde (4..2) karakteristik denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek ve yeter şart P matrisinin( ; 0] aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. uyar nca (ii) ispatlanm ş olur. (iii) k = r olsun. Bu durumda (4.) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi (4..2) dir. Burada dav( )= k( ) r al rsak, >0içinv( ) fonksiyonunun görüntü kümesini incelersek; v()=0; lim v( )= ve lim v( )=!0 +! oldu¼gundanv( ) fonksiyonunun (0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü ( ; 0] aral ¼g d r. 29

30 O halde (4..2) karakteristik denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek ve yeter şart P matrisinin( ; 0] aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. den (iii) ispatlan r. (iv) k olsun. Bu durumda (4.) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi (4..2) dir. v( )= k( ) r al p, >0 içinv( ) fonksiyonunun görüntü kümesini incelersek; v 0 k ( k+r )=0 ve v 00 k ( k+r )>0 oldu¼gundan = k k+r noktas ndav( k k )= k rr fonksiyonu yerel minimum noktas na sahiptir. k+r (k+r) k+r Ayr ca v()=0; lim!0 +v( )=0 ve lim v( )=! olur. Dolay s yla v( ) fonksiyonunun (0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü ( ; 0] aral ¼g d r. O halde (4..2) karakteristik denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek ve yeter şart P matrisinin( ; 0] aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. gere¼gince (iv) ispatlan r. (v)k r olsun. Bu durumda (4.) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi yine (4..2) dir. Tekrarv( )= k( ) r al p, >0 içinv( ) fonksiyonunun görüntü kümesini incelersek; ve v 0 k ( k+r )=0 v 00 k ( k+r )<0 oldu¼gundan = k k+r noktas ndav( k k )= k rr fonksiyonu yerel maksimum noktas na sahiptir. k+r (k+r) k+r Ayr ca v()=0 ; lim!0 +v( )= ve lim v( )=0! 30

31 oldu¼gundanv( ) fonksiyonunun (0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü ( ; 0] aral ¼g d r. O halde (4..2) karakteristik denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek ve yeter şart P matrisinin( ; 0] aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. gere¼gince (v) ispatlan r. Teorem P 2 R s s ; k 2 Z, r tek do¼gal say ve (4.4) şart sa¼glans n. Bu durumda (4.) fark denklem sisteminintüm çözümlerinin sal n ml olmas içingerek ve yeter şart aşa¼g daki ifadelerdenbirinin sa¼glanmas d r. (i)k=0isep,( ;] aral ¼g nda özde¼gere sahip de¼gildir, (ii) k 2 f r+; r+2;:::; 2; g ise P, ( ; ) aral ¼g nda özde¼gere sahip de¼gildir, (iii)k= r isep;[ ; ) aral ¼g nda özde¼gere sahip de¼gildir, k k (iv)k isep,( ;r r (k+r) k+r] aral ¼g nda özde¼gere sahip de¼gildir, k k (v)k r isep,[r r (k+r) k+r; ) aral ¼g nda özde¼gere sahip de¼gildir. Ispat. (i) k = 0 olsun. Bu durumda (4.) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi; ve det[( ) r +P]=0 det[ ( ) r P]=0 şeklinde yazabiliriz. E¼gerv( )= ( ) r al rsakv( ) fonksiyonu(0; ) aral ¼g nda sürekli bir fonksiyondur. > 0 içinv( ) fonksiyonunun görüntü kümesini inceleyelim. lim!0 +v( )= ve lim v( )=! oldu¼gundanv( ) fonksiyonunun (0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü ( ; ] aral ¼g d r. O halde (4..) karakteristik denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek ve yeter şart P matrisinin( ; ] aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. den (i) ispatlan r. 3

32 (ii)k 2 f r+; r+2;:::; 2; g olsun. Bu durumda (4.) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi; det ( ) r +P k =0 ve det k( ) r P =0 şeklindedir. E¼ger v( ) = k( ) r al rsak, v( ) fonksiyonu (0; ) aral ¼g nda sürekli bir fonksiyondur. > 0 içinv( ) fonksiyonunungörüntü kümesini incelersek lim!0 +v( )= ve lim v( )=! oldu¼gundanv( ) fonksiyonunun(0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü( ; ) aral ¼g d r. O halde (4..2) karakteristik denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek ve yeter şart P matrisinin reel özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. gere¼gince (ii) ispatlan r. (iii) k = r olsun. Bu durumda (4.) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi (4..2) dir. Burada dav( )= k( ) r al rsak, >0içinv( ) fonksiyonunun görüntü kümesini incelersek; lim!0 +v( )= ve lim v( )=! oldu¼gundanv( ) fonksiyonunun (0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü [ ; ) aral ¼g d r. O halde (4..2) karakteristik denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek ve yeter şart P matrisinin[ ; ) aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. gere¼gince (iii) ispatlan r. (iv) k olsun. Bu durumda (4.) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi (4..2) dür. v( ) = k( ) r al rsak, > 0 için v( ) fonksiyonunun görüntü kümesini incelersek; v 0 k ( k+r )=0 32

33 ve v 00 k ( k+r )<0 oldu¼gundan = k k+r noktas ndav( k k k k+r )=rr fonksiyonu yerel maksimum noktas na sahiptir. (k+r) k+r Dolay s yla max >0 v( ) =rr k k (k+r) k+r; lim!0 +v( )=0 ve lim! v( )= olur. Dolay s ylav( ) fonksiyonunun(0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü( ;r r (k+r) k+r] aral ¼g d r. O halde (4..2) karakteristik denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek ve yeter şartp matrisinin( ;r r (k+r) k+r] aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. uyar nca (iv) ispatlanm ş olur. (v)k r olsun. Bu durumda (4.) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi yine (4..2) dir. Tekrarv( )= k( ) r al p, >0 içinv( ) fonksiyonunun görüntü kümesini incelersek; ve k k v 0 k ( k+r )=0 v 00 k ( k+r )>0 oldu¼gundan = k k+r noktas ndav( k k k k+r )=rr fonksiyonu yerel minimum noktas na sahiptir. (k+r) k+r Ayr ca k min k >0 v( )=rr ; lim (k+r) k+r!0 +v( )= ve lim v( )=0! oldu¼gundanv( ) fonksiyonunun(0; ) aral ¼g ndaki görüntüsü[r r (k+r) k+r; ) aral ¼g d r. O halde (4..2) karakteristik denkleminin pozitif kökünün olmamas için gerek k k ve yeter şart P matrisinin [r r (k+r) k+r; ) aral ¼g nda özde¼gere sahip olmamas gerekir. Böylece Teorem 2.5. gere¼gince (v) ispatlan r. Uyar 4... Teorem 4..2 der= al nd ¼g nda Chuanxi vd. 990 y l nda yapm ş olduklar çal şmadaki Teorem elde edilir. k k k k 33

34 4.2. Sal n ml l k Için Yeter Şartlar Bu k s mda (4.2) fark denklem sisteminin tüm çözümlerinin sal n ml l ¼g için yeter şartlar verece¼giz. Burada şartlar, i = ;2;:::;m için k i terimleri ve P i 2 R s s matrislerinin logaritmik normlar yard m yla verece¼giz. Teorem ;2;:::;m içinp i 2 R s s,k i 2 Z,rçift do¼gal say ve (4.4) şart sa¼glans n. Bu durumda aşa¼g daki ifadeler sa¼glan rsa, (4.2) fark denklem sisteminin her çözümü sal n ml d r. P (i a ) >0için m ki ¹( P i )<0 veya (i b ) 6= için sup 2(0;) ( ) r mp k i ¹( P i) P < ve m ¹( P i )<0: Ispat. (4.2) fark denklem sisteminin sal n ml olmad ¼g n kabul edelim. Bu durumda, Teorem 2.5. den (4.2) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi det " ( ) r I+ k i P i #=0 pozitif bir köküne sahiptir. Böylece s f rdan farkl bir» 2 R r vektörü vard r ve k» k= oldu¼gunu kabul edebiliriz. Bu durumda olur. Buradan, ve " ( ) r I+ ( ) r = ( ) r ki P i #»=0 ki ( P i»;») k i ¹( P i ) (4.2.) elde ederiz. (4.2.) eşitsizli¼ginden(i a ) ifadesi sa¼glanmaz. E¼ger 2(0; ); 6=ise, bu durumda (4.2.) eşitsizli¼ginden ( ) r ki ¹( P i ) 34

35 eşitsizli¼gini elde ederiz ve buradan da sup 2(0;) " ( ) r # k i ¹( P i ) olur. Bu ise Teorem 4.2. in(i b ) ifadesinin ilk k sm ile çelişmektedir. E¼ger = ise, bu durumda (4.2.) eşitsizli¼ginden 0 ¹( P i ) elde edilir ve bu da Teorem 4.2. in (i b ) ifadesinin ikinci k sm ile çelişmektedir. Böylece ispat tamamlan r. Teorem ;2;:::;m içinp i 2 R s s,k i 2 Z,rtek do¼gal say ve (4.4) şart sa¼glans n. Bu durumda aşa¼g daki ifadeler sa¼glan rsa, (4.2) fark denklem sisteminin her çözümü sal n ml d r. P (i a ) >için m ki ¹( P i )<0 veya (i b ) sup 2(;) ( ) r (ii) inf 2(0;) ( ) r mp k i ¹( P i) mp k i ¹( P i) >: P < ve m ¹( P i )<0; Ispat. (4.2) fark denklem sisteminin sal n ml olmad ¼g n kabul edelim. Bu durumda, Teorem 2.5. den (4.2) fark denklem sisteminin karakteristik denklemi det " ( ) r I+ k i P i #=0 pozitif bir köküne sahiptir. Böylece s f rdan farkl bir» 2 R s vektörü vard r ve k» k= oldu¼gunu kabul edebiliriz. Bu durumda " ( ) r I+ ki P i #»=0 35

36 olur. Buradan, ve ( ) r = ( ) r ki ( P i»;») ki ¹( P i ) olur ve (4.2.) eşitsizli¼ginden(i a ) ifadesi sa¼glanmaz. E¼ger 2(; ) ise, bu durumda (4.2.) eşitsizli¼ginden elde edilir ve buradan da sup 2(;) ( ) r " k i ¹( P i ) ( ) r # k i ¹( P i ) elde edilir ve bu eşitsizlikte(i b ) ifadesinin ilk k sm ile çelişir. E¼ger = ise (4.2.) eşitsizli¼ginden 0 ¹( P i ) elde edilir ve(i b ) ifadesinin ikinci k sm sa¼glanmaz. E¼ger 2(0;) ise, bu durumda (4.2.) eşitsizli¼ginden ( ) r eşitsizli¼gini elde ederiz ve buradan da inf 2(0;) " k i ¹( P i ) ( ) r # k i ¹( P i ) olur. Bu ise(ii) ifadesi ile çelişmektedir. Böylece ispat tamamlan r. Teorem ;2;:::;m içinp i 2 R s s,k i 2 Z,rtek do¼gal say ve (4.4) şart sa¼glans n. Ayr ca;2;:::;m için ¹( P i ) 0vek i 2 f0;;2;:::g (4.2.2) sa¼glans n. Bu durumda aşa¼g daki ifadelerden birisi sa¼glan rsa (4.2) fark denklem 36

37 sisteminin her çözümü sal n ml d r; P (i) m [ ¹( P i )] (k i+r) k i+r k k i i >r r ; mq m (ii)m j¹( P i )j (k+r)k+r k k >r r : Buradak= m mp k i ve0 0 = al nm şt r. Ispat. (4.2.2) sa¼glans n. ¹( P i ) 0 hipotezinden ve ayr ca ya(i) den veya (ii) den Teorem in (i a ) ifadesi sa¼glan r. Dolay s yla(i) ve(ii) ifadelerinin Teorem in(ii) ifadesini gerektirdi¼gini göstermemiz yeterlidir. Şimdi(i) sa¼glans n. Bu durumda sup 2(0;) oldu¼gundan;2;:::;m için olur ve 2(0;) için ( ) r k i = r r (k i +r) ki+r k ki i ( ) r k i ¹( P i) ¹( P i ) r r (k i +r) ki+r k ki i ( ) r ki ¹( P i ) r r [ ¹( P i )] (k i+r) ki+r k k i i > (4.2.3) sa¼glan r ve buradan da Teorem nin(ii) ifadesinin sa¼gland ¼g n görürüz. Şimdi (ii) sa¼glans n. Aritmetik ortalama-geometrik ortalama eşitsizli¼gi ve (4.2.3) eşitsizli¼gini kullan rsak 2(0; ) için ( ) r k i ¹( P i ) = ( ) r [ ¹( P i )] k i " m # Y m m [ ¹( P i )] ( ) r k elde ederiz. Ayr ca inf 2(0;) (k+r) k+r ( ) r k= r r k k 37

38 oldu¼gundan 2(0;) için ( ) r " Y m ki ¹( P i ) m [ ¹( P i )] # m r r (k+r) k+r k k > elde ederiz ve Teorem nin(ii) ifadesi sa¼glan r. Dolay s yla ispat tamamlan r. Tezimizi, otonom olmayan sistemler için sal n ml l ¼g incelemeye başlang ç oluşturabilecek birinci mertebeden iki denklemi inceleyerek tamamlamak istiyoruz. x n+ x n +p n x n k =0; n=0;;2;::: (4.2.4) Buradak2 f:::; 3; 2g vep n reel terimli bir dizidir. x n+ x n + p in x n ki =0; n=0;;2;::: (4.2.5) Burada;2;:::;m içink i 2 f:::; 3; 2; g vep n 0dir. Lemma k 2 f:::; 3; 2g olsun. E¼ger sa¼glan rsa, bu durumda; limsupp n =p< n! k k (k+) k+ (4.2.6) (i) aşa¼g daki fark eşitsizli¼gi belli bir yerden sonra pozitif çözüme sahip de¼gildir x n+ x n +p n x n k 0: (4.2.7) (ii) aşa¼g daki fark eşitsizli¼gi belli bir yerden sonra negatif çözüme sahip de¼gildir x n+ x n +p n x n k 0: (4.2.8) Ispat. (i) Aksini kabul edelim. Yani (4.2.7) eşitsizli¼gi belli bir yerden sonra pozitif çözüme sahiptir. Bu durumda bir N > 0 var ve her n N için x n > 0 d r. 38

39 Ayr ca (4.2.6) eşitsizli¼ginden bir N 2 >0var ve hern N 2 içinp n < 0 d r. N = maxfn k;n 2 g olsun. (4.2.6) ve (4.2.7) eşitsizli¼gini kullan rsak hern N için x n+ x n p n x n k 0 d r. Dolay s yla hern N içinx n azalmayand r. Şimdi (4.2.7) eşitsizli¼ginix n ile bölersek hern N için x n+ x n +p n x n k x n 0 olur. Bu eşitsizli¼gide ½ x n+ xn k x n k +p n ::: x ¾ n+ 0 (4.2.9) x n x n k x n k 2 x n şeklinde yazabiliriz. z n = x n+ xn olsun, bu durumdan Niçinz n dir. (4.2.9) eşitsizli¼ginden z n p n (z n k z n k 2 :::z n ) (4.2.0) yazabiliriz. Şimdi lim inf n! z n = q alal m. Kolayca görülür ki q dir. (4.2.0) eşitsizli¼ginin her iki taraf ndan n! iken lim inf al rsak q +liminf n! f( p n)z n k z n k 2 :::z n g +liminf n! ( p n)liminf n! z n k :::liminf n! z n = limsupp n liminf z n k :::liminf z n n! n! n! = pq k elde ederiz. Buradan da p ( q)q k (4.2.) eşitsizli¼gini elde ederiz. Şimdi f fonksiyonunu f(q) = ( q)q k şeklinde alal m. Kolayca gözükür kif 0 ( k+ k )=0vef00 ( k+ k )<0d r. Böylece (4.2.) eşitsizli¼ginden k p f( k+ )= k k (k+) k+ buluruz. Bu da (4.2.6) eşitsizli¼gi ile çelişir. Dolay s yla ispat tamamlan r. 39

40 (ii);(i) deki ispat yöntemi kullan larak (4.2.6) şart alt nda, (4.2.8) eşitsizli¼ginin belli bir yerden sonra negatif çözüme sahip olmad ¼g gösterilir. Teorem k 2 f:::; 3; 2g olsun. E¼ger (4.2.6) şart sa¼glan rsa (4.2.4) fark denkleminin her çözümü sal n ml d r. Ispat. Lemma 4.2. in(i) ve(ii) ifadelerini birleştirirsek, (4.2.6) şart alt nda (4.2.4) fark denkleminin her çözümünün sal n ml oldu¼gunu kolayca görürüz. Uyar (4.2.4) fark denklemindep n =pal n rsa Teorem elde edilir. Uyar (4.2.4) fark denkleminde k 2 N al n rsa, (4.2.4) fark denkleminin her çözümünün sal n ml olmas için yeter şart olmas d r (Erbe ve Zhang 989). liminf n! p n> k k (k+) k+ Lemma i = ;2;:::;m içink i 2 f:::; 3; 2; g ve p in 0 olsun. E¼ger limsupp in =p i ve n! sa¼glan rsa, bu durumda; p i (k i +) k i+ k k i i > (4.2.2) (i) aşa¼g daki fark eşitsizli¼gi belli bir yerden sonra pozitif çözüme sahip de¼gildir x n+ x n + p in x n ki 0: (4.2.3) (ii) aşa¼g daki fark eşitsizli¼gi belli bir yerden sonra negatif çözüme sahip de¼gildir x n+ x n + p in x n ki 0: (4.2.4) Ispat. (i) Aksini kabul edelim. Yani (4.2.3) eşitsizli¼gi belli bir yerden sonra pozitif 40

41 çözüme sahiptir. Bu durumda bir N > 0 var ve her n N için x n > 0 d r. Bu durumda (4.2.3) eşitsizli¼gindenx n azalmayand r. N=maxfN ;N k ;N k 2 ;:::;N k m g ve z n = x n+ xn olsun, bu durumda n N içinz n dir. Şimdi (4.2.3) eşitsizli¼ginix n ile bölersek z n p in (z n ki z n ki 2:::z n ) (4.2.5) yazabiliriz. Şimdi lim inf n! z n = q alal m. Kolayca görülür ki q dir. (4.2.5) eşitsizli¼ginin her iki taraf ndan n! iken lim inf al rsak q + = = elde ederiz. Buradan da eşitsizli¼gini ve q 6= için liminf n! ( p in)liminf n! z n k i :::liminf n! z n limsupp in liminf z n ki :::liminf z n n! n! n! p i q k i p i q ki ( q) p i q k i q (4.2.6) elde ederiz. Şimdif fonksiyonunuf(q)= q k i q f 0 ( ki ki+ )=0vef00 ( ki )<0d r. Böylece (4.2.6) eşitsizli¼ginden ki+ şeklinde alal m. Kolayca gözükür ki p i (k i +) k i+ k k i i = k i p i f( k i + ) q p ki i q buluruz. Bu da (4.2.2) eşitsizli¼gi ile çelişir. Dolay s yla ispat tamamlan r. (ii) (i) deki ispat yöntemi kullan larak (4.2.2) şart alt nda, (4.2.4) eşitsizli¼ginin belli bir yerdensonra negatif çözüme sahip olmad ¼g gösterilir. 4

42 Teorem ;2;:::;m içink i 2 f:::; 3; 2; g olsun. E¼ger (4.2.2) şart sa¼glan rsa (4.2.5) fark denkleminin her çözümü sal n ml d r. Ispat. Lemma nin (i) ve (ii) ifadelerini birleştirirsek, (4.2.2) şart alt nda (4.2.5) fark denkleminin her çözümününsal n ml oldu¼gunu kolayca görürüz. Uyar (4.2.5) fark denkleminde;2;:::;m içinp in =p i al n rsa Teorem elde edilir. Uyar (4.2.5) fark denkleminde k 2 N al n rsa, (4.2.5) fark denkleminin her çözümünün sal n ml olmas için yeter şart (liminf p in) (k i+) ki+ n! k k i i > olmas d r (Ladas 990). 42

43 KAYNAKLAR Agarwal, R. P. and Patricia, Y. J. W Advanced topics in di erence equations. Kluwer Academic Publishers, Boston. Agarwal, R. P Di erence equations andinequalities. Marcel Dekker, Newyork. Agarwal, R. P., Grace, S. R. and O Regan, D Oscillation theory for di erence and functional di erential equations. Kluwer Academic Publishers, Boston. Agarwal, R. P., Grace, S. R The oscillation of systems of di erence equations. Applied Mathematics Letters, 3; -7. Ak n, Ö Nümerik analiz. Ankara Üniversitesi Bas mevi, Ankara. Ak n, Ö ve Bulgak, H Lineer fark denklemleri ve kararl l k teorisi. Selçuk Üniversitesi Rektörlü¼gü Bas mevi, Konya. Ak n, Ö Uygulamal lineer cebir. (Çeviri) Palme Yay nc l k, Ankara. Chuanxi, Q., Kuruklis, S. A. and Ladas, G Oscillations of linear autonomous systems of di erence equations. Applicable Analysis, 36; Chuanxi, Q., Kuruklis, S. A. and Ladas, G. 99. Oscillations of systems of di erence equations with variable coe cients. Journal of Mathematical and Physical Sciences, 25 (); -2. Elaydi, S An introduction to di erence equations. Springer-Verlag, Newyork. Erbe, L. H. and Zhang, B. G Oscillation of discrete analogues of delay equations. Di erential andintegral Equations, 2; Goldberg, S Introductionto di erence equations. Newyork. Györi, I. and Ladas, G. 99. Oscillation theory of delay di erential equations. Clarendon press.,oxford. Kelley, W. C. and Peterson, A. C. 99. Di erence equations an introduction withapplications. Academic Press., San Diego. Ladas, G., Philos, Ch. G. and S cas, Y. G Sharp condition for the oscillation of delay di erence equations. Journal of Applied Mathematics and Simulation, 2; 0-2. Ladas, G Explicit conditions for the oscillation of di erence equations. Journal of Mathematical Analysis andapplications, 53;

44 Lakshmikantham, V. and Trigiante, D Theory of di erence equations; Nümerical methods and applications. Academic Press., San Diego. Tang, X. H. and Zhang, R. Y Newoscillation criteria for delay di erence equations. Computers and Mathematics With Applications, 42; Yu, J. S., Zhang, B. G. and Qian, X. Z Oscillations of delay di erence equations with oscillating coe cients. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 77; Yu, J. S., Zhang, B. G. and Wang, Z. C Oscillation of delay di erence equations. Applicable Analysis, 53; Yu, J. S. and Tang, X. H Su cient conditions for the oscillation of linear delay di erence equations with oscillating coe cients. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 250;