ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SONSUZ JACOBİ MATRİSLERİ İÇİN SPEKTRAL EŞİTSİZLİKLER. Yelda AYGAR

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SONSUZ JACOBİ MATRİSLERİ İÇİN SPEKTRAL EŞİTSİZLİKLER Yelda AYGAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 008 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lisans Tezi SONSUZ JACOB I MATR ISLER I IÇ IN SPEKTRAL EŞ ITS IZL IKLER Yelda AYGAR Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Prof. Dr. Elgiz BAYRAM Bu çal şmada, 8n Z + için a n c n 6= 0, fa n g nz +, fb n g nz + fc n g nz + kompleks diziler olmak üzere l (Z + ) uzay nda (Jy) n = a n y n + b n y n + c n y n+, n = 0; ; ; 3; ::: ile tan ml J operatörü bir fark operatörünü göstermektedir. Bu tez beş bölümden oluşmaktad r. Birinci bölüm giriş k sm na ayr lm şt r. Ikinci bölümde, spektral analizin temel tan m ve teoremleri verilmiştir. Üçüncü bölümde, kompakt operatörlerin s-say lar ve bunlar n baz özellikleri incelenmiş, s-say lar arac l ¼g yla da bu operatörlere ilişkin baz özel s n ar verilmiştir. Ayr ca rölatif kompakt operatörlerin Schmidt aç l m ele al m şt r. Dördüncü bölümde, J operatörünün diskre Laplacian olarak belirlenen J 0 operatörünün Green fonksiyonu ve J operatörünün spektrumu verilmiştir. Buna ek olarak sonsuz Jacobi matrislerine ilişkin pertürbasyon determinantlar ve bunlar yard m yla Jost çözümü ele al nm şt r. Jost çözümüyle Green fonksiyonu aras ndaki ba¼g nt lardan baz spektral eşitsizlikler elde edilmiştir. Beşinci bölümde, birim disk içinde analitik fonksiyonlar n s n ar için s f r kümeleri ele al nm ş bunlar n birbirleriyle ilişkileri incelenmiştir. Bu kümeler yard m yla, J operatörünün diskre spektrumunun y ¼g lma noktalar kümesine ilişkin spektral eşitsizlik ve çeşitli özellikler elde edilmiştir. Temmuz 008, 70 sayfa Anahtar Kelimeler: Jacobi matrisleri, Pertürbasyon determinantlar, Kompakt operatörler, s-say lar, Özde¼gerler, Sürekli spektrum, Diskre spektrum, Jost çözümü. i

3 ABSTRACT Master Thesis SPECTRAL INEQUALITIES FOR INFINITE JACOBI MATRICES Yelda AYGAR Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Superviser: Prof. Dr. Elgiz BAYRAM In this study, a n c n 6= 0 for all n Z +, we denote the operator generated in l (Z + ) by the di erence expression in (Jy) n = a n y n + b n y n + c n y n+, n = 0; ; ; 3; ::: by J, where fa n g nz +, fb n g nz + and fc n g nz + are complex sequences. This thesis consists of ve chapters. The rst chapter is devoted to the introduction. The second chapter, main de nitions and theorems of spectral analysis are given. In the third chapter, the s-numbers of compact operators and some properties of them are introduced. Then some special classes have been given with the help of s-numbers. Also the Schmidt expansion for compact operators has been examined. In the fourth chapter, Green function of the operator J 0, the discrete Laplacian of J operator, is de ned and the spectrum of operator J is given. Furthermore, the Jost solution for in nite Jacobi matrices has been examined with the help of their perturbation determinant. Then some spectral inequalities have been obtained by the relations between Jost solution and Green function. The fth chapter contains zero sets for classes of holomorphic functions in the unit disc. Also with the help of these sets we obtain, some spectral inequalities and various properties of limit sets for discre spectrum of the J operator. Temmuz 008, 70 pages Key Words: Jacobi matrices, Perturbation determinants, Compact operators, Eigenvalues, s-numbers, Continuous spectrum, Discrete spectrum, Jost solution. ii

4 TEŞEKKÜR Çal şmam n her aşamas nda görüş ve önerileriyle beni yönlendiren ve bana her konuda yard mc ve destek olan say n hocam Prof. Dr. Elgiz BAYRAM (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) a, yüksek lisans yapt ¼g m süre boyunca verdi¼gi burs ile beni destekleyen TÜB ITAK a ve çal şmalar m s ras nda destek ve anlay ş n esirgemeyen sevgili aileme en içten sayg ve teşekkürlerimi sunar m. Yelda AYGAR Ankara, Temmuz 008 iii

5 IÇ INDEK ILER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER D IZ IN I v. G IR IŞ TEMEL KAVRAMLAR KOMPAKT OPERATÖRLER IN S-SAYILARI VE BUNLARIN BAZI ÖZELL IKLER I Rölatif Kompakt Operatörlerin Schmidt Aç l m Rölatif Kompakt Operatörlere ilişkin Baz Özel S n ar p S n f ndan Olan Operatörler Için Regüle Edilmiş Karakteristik Determinantlar JACOB I MATR ISLER I IÇ IN PERTÜRBASYON DETERM INANTLARI VE JOST ÇÖZÜMÜ Sonsuz Boyutlu Kompleks Jacobi Matrisleri ve Green Fonksiyonu 0 5. B IR IM D ISK IÇ INDEK I ANAL IT IK FONKS IYON SINIFLARI IÇ IN SIFIR KÜMELER I KAYNAKLAR ÖZGEÇM IŞ iv

6 S IMGELER D IZ IN I N Z Z + = Z + R C R + R (J) (J) (J) d (J) c (J) J C + C + l (Z + ) H Do¼gal say lar kümesi Tam say lar kümesi fx Z : x 0g Reel say lar kümesi Kompleks say lar kümesi fx R : x > 0g J operatörünün resolvent operatörü J operatörünün resolvent kümesi J operatörünün spektrumu J operatörünün özde¼gerler kümesi J operatörünün sürekli spektrumu J operatörünün adjointi fz C : Im z > 0g fz C : Im z 0g a = fa n g nz + : kak = P ja n j < nz + Ayr labilir Hilbert uzay < H uzay nda tan ml tüm s n rl lineer operatörlerin kümesi D (A) R (A) v (A) < de bulunan A operatörünün tan m kümesi < de bulunan A operatörünün de¼ger kümesi < de bulunan tüm (rölatif) kompakt operatörlerin kümesi A operatörünün s f rdan farkl özde¼gerlerinin katlar toplam s j (A) A operatörünün s say lar D (A) fd A () A operatörünün karakteristik determinant den olan A operatörünün regüle edilmiş determinant D BnA () A operatörünün T = B A taraf ndan üretilen pertürbasyon determinant A A T (A) L (R + ) Birim disk içinde analitik ve s n ra dek sürekli olan fonksiyonlar n cebri Tüm türevleri A ya ait olan A daki fonksiyonlar n alt cebri Birim çember A kümesinin çap R f : jf (x)j dx < 0 v

7 . G IR IŞ Fonksiyonel Analiz ve matematiksel zi¼gin birçok problemi, diferensiyel operatörlerin özde¼ger ve özfonksiyonlar n n bulunmas ve diferensiyel operatörlerin tan m kümesinde yer alan key bir fonksiyonun, operatörün özfonksiyonlar cinsinden bir seri veya integral biçiminde aç l m n gerekli k lm şt r. Bu nedenle diferensiyel operatörlerin spektral analizi bir çok çal şman n temel konusu olmuştur. Kuantum mekani¼gi alan nda, non-selfadjoint bir diferensiyel operatörün tan m kümesinde yer alan bir fonksiyonun, operatörün özfonksiyonlar cinsinden aç l m önemli bir problem olmuştur. Bu konuda dikkat çekici ilk gelişme Naimark (960) taraf ndan singüler non-selfadjoint diferensiyel operatörlerin spektral analizinin incelenmesiyle elde edilmiştir. Ayr ca bu problemler, Naimark (968), Bairamov et al. (999, 00, 004, 005) ve Agarwal (000) taraf ndan da detayl bir biçimde incelenmiştir. q kompleks de¼gerli bir fonksiyon, h C olmak üzere L (R + ) uzay nda l 0 (y) := y 00 + q (x) y, x R + diferensiyel ifadesinin ve y 0 (0) hy (0) = 0 s n r koşulunun yard m ile üretilen non-selfadjoint Sturm-Liouville L 0 operatörünün spektrumunun sürekli spektrum, özde¼ger ve spektral tekilliklerden oluştu¼gunu Naimark (960) göstermiştir. Ayr ca Z 0 e "x jq (x)j dx <, " > 0 koşulunun gerçeklenmesi durumunda, L 0 operatörünün özde¼ger ve spektral tekilliklerinin sonlu say da oldu¼gu Naimark (960) taraf ndan ispatlanm şt r. p, q ve K kompleks de¼gerli fonksiyonlar ve p, R + üzerinde mutlak sürekli bir fonksiyon olmak üzere L (R + ) uzay nda l (y) = y 00 + q (x) + p (x) y, x R +

8 diferensiyel ifadesi ve y 0 (0) y (0) + Z K (x) y (x) dx = 0;, C 0 jj + jj 6= 0 s n r koşulu taraf ndan üretilen Kuadratik Schrödinger Operatör demeti L ile gösterilsin. Bairamov et al. (999), L operatörünün özde¼gerlerinin, spektral tekilliklerinin ve bunlar n katlar n n sonlulu¼gunu, analitik fonksiyonlar n birebirlik teoremlerini kullanarak göstermişlerdir. Ayr ca özde¼ger ve spektral tekilliklere karş l k gelen esas fonksiyonlar elde ederek bu fonksiyonlar cinsinden bir spektral aç l m vermişlerdir. Bairamov et al. (00) fa n g nn, fb n g nn kompleks diziler olmak üzere l (N) uzay nda a n y n + b n y n + a n y n+ = y n, n N fark denklemi ve X h n y n = 0, h 0 6= 0 n=0 s n r koşulu taraf ndan üretilen non-selfadjoint fark operatörünün özde¼gerlerinin, spektral tekilliklerinin ve bunlar n katlar n n sonlu oldu¼gunu, periyotlu analitik fonksiyonlar için verdikleri şeritte birebirlik teoremlerinden yararlanarak ispatlam şlard r. Bu tez ise Egorova et al. (005b) çal şmas dikkate al narak yaz lm şt r. fa n g nz +, fb n g nz +, fc n g nz + kompleks diziler olmak üzere 3 b 0 c ::: ::: a 0 b c ::: J = 0 a b c 0 0 ::: a 4 b 3 c 3 0 ::: ::: :::

9 sonsuz matrisi göz önüne al narak a n c n 6= 0, lim n! a n = lim n! c n =, lim n! b n = 0 ve X a n + jb nj + c n n= koşullar alt nda J matrisi yard m yla l (Z + ) uzay nda < a n y n + b n y n + c n y n+ = y n, n Z + (.) y = 0 (.) ikinci dereceden diskre s n r de¼ger problemi tan mlanm şt r. J matrisinin veya (.)- (.) s n r de¼ger probleminin l (Z + ) uzay nda üretti¼gi operatör J ile gösterilmiştir. Ayr ca (.)-(.) s n r de¼ger probleminin a n = c n = ve b n = 0 durumunda l (Z + ) uzay nda üretti¼gi operatör ise J 0 ile gösterilmiştir. Tezde öncelikle J 0 operatörünün sürekli spektrumundan bunun yard m yla da J operatörünün spektrumundan bahsedilmiştir. J 0 operatörünün Green fonksiyonu elde edilmiştir. Ayr ca yukar da bahsedilen çal şmalardan farkl olarak J operatörüne ait Jost çözümü pertürbasyon determinantlar ile verilmiştir. Green fonksiyonu ile pertürbasyon determinant aras ndaki ba¼g nt lardan baz spektral eşitsizlikler elde edilmiştir. Önceki çal şmalarda aç k üst düzlemde analitik reel eksen üzerinde sürekli olan Jost çözümünün bu çal şmada analitiklik bölgesi birim yuvar olarak ele al nm şt r. Dolay s yla birim yuvarda bilinen birebirlik teoremlerinin şeritte bilinen birebirlik teoremlerinden daha fazla olmas avantaj sa¼glamaktad r buna ra¼gmen daha kuvvetli koşullar alt nda önceki çal şmalardan daha zay f sonuçlar elde edilmiştir. Amaç bu durumun hangi sebepten kaynakland ¼g n araşt rmakt r. Ayr ca birim disk içinde analitik olan fonksiyonlar n s f rlar na ilişkin özellikler incelenerek, bu özelliklerin J operatörünün diskre spektrumunun y ¼g lma noktalar kümesi ile ilişkisine de¼ginilmiştir. 3

10 . TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde daha sonra kullan lacak temel tan mlar ve teoremler verilmiştir. Ilk olarak herhangi bir A operatörü için resolvent operatör, resolvent küme ve spektrum kavramlar na ilişkin genel tan mlar verelim. A operatörü bir H Hilbert uzay nda tan mlanm ş herhangi bir operatör ve A n n tan m kümesi H içinde yo¼gun olsun. Tan m.. E¼ger (A I) operatörü var, s n rl ve tüm H Hilbert uzay nda tan ml ise bu operatöre A operatörünün resolvent operatörü denir ve R (A) = (A I) şeklinde gösterilir (Naimark 968). Tan m.. A operatörünün resolvent kümesi (A) ile gösterilir ve 8 >< (A) = : C, >: R (A) var R (A) s n rl D (R (A)) = H 9 >= >; şeklinde tan mlan r (Naimark 968). Tan m.3. A operatörünün spektrumu (A) ile gösterilir ve (A) = Cn (A) şeklinde tan mlan r (Naimark 968). Tan m.4. A operatörünün özde¼gerler kümesi (discret spektrum) d (A) ile gösterilir ve d (A) = f : C, R (A) mevcut de¼gildirg şeklinde tan mlan r (Naimark 968). Tan m.5. A operatörünün sürekli spektrumu (continuous spectrum) c (A) ile 4

11 gösterilir ve 8 >< c (A) = : C, >: R (A) var R (A) s n rs z D (R (A)) = H 9 >= >; şeklinde tan mlan r (Naimark 968). Tan m.6. (Kompakt Operatör) X ve Y iki normlu uzay olsun. Bir T : X! Y operatörü T nin lineer ve X in her M s n rl alt kümesi için T (M) görüntüsünün rölatif kompakt, yani T (M) kapan ş kompakt olmas halinde kompakt lineer operatör olarak adland r l r (Gohberg and Krein 965). Tan m.7. (Self-Adjoint, Uniter ve Normal Operatör) Bir H Hilbert uzay nda, s n rl lineer bir T : H! H operatörü verilmiş olsun. T, T operatörünün Hilbert adjointi olmak üzere T = T ise T ye self-adjoint T = T ise T ye uniter (T birebir ve üzerine) T T = T T ise T ye normal operatör ad verilir (Gohberg and Krein 965). Teorem.. (Minimum- Maksimum Prensibi) A, B ve 0 A B ise bu durumda j = ; ; ::: için j (A) ve j (B) s ras yla A ve B operatörlerinin özde¼gerleri olmak üzere j (A) j (B) (j = ; ; :::) eşitsizli¼gi sa¼glan r (Gohberg and Krein 965). Tan m.8. f, C + da analitik ve C + da n = 0; ; ; ::: için sonsuz türevlenebilir bir fonksiyon, 0 < < olmak üzere f (n) (z) n C (C ) n n!n eşitsizli¼gi sa¼glan yor ise f fonksiyonuna - nc mertebeden analitik fonksiyonlar n Gevrey s n f ndand r denir (Golinskii and Egorova 005b). 5

12 3. KOMPAKT OPERATÖRLER IN S-SAYILARI VE BUNLARIN BAZI ÖZELL IKLER I 3. Rölatif Kompakt Operatörlerin Schmidt Aç l m Bu bölümde bahsedilen operatörler s n rl lineer operatörlerdir. <, H ayr labilir Hilbert uzay nda tan ml tüm s n rl lineer operatörlerin cümlesini göstermek üzere A < için D (A) = H olup kak = sup kak kk= şeklinde tan mlan r. Burada D (A) A operatörünün tan m kümesidir. Tan m 3... A ve T = (A A) olmak üzere T operatörünün özde¼gerlerine A operatörünün s-say lar denir (Gohberg and Krein 965). Dolay s yla s j (A), A operatörünün s-say lar n göstermek üzere s j (A) = j (T ) (j = ; ; 3; :::; r (T )) ; r (T ) = dim R (T ) şeklinde ifade edilir. s (A) = kak şeklinde tan mlan r. Ayr ca e¼ger dim R (T ) = r (T ) < ise bu durumda j = r (T ) + ; ::: için s j (A) = 0 olarak tan mlan r. Bu tan ma dayanarak A olmas ndan T operatörünün kompaktl ¼g söylenir.ve 8f D (A) için ha Af; fi = haf; Afi 0 oldu¼gundan A A operatörü pozitiftir. Pozitif operatörlerin bir tek pozitif karakökü oldu¼gundan T = (A A) operatörü de pozitif operatördür. E¼ger A operatörü self-adjoint ise s j (A) = j j (T )j ; (j = ; ; :::) 6

13 yaz l r. Lemma 3... (I) s j (A) = s j (A ) ; (j = ; ; :::) (3..) (II) Key s n rl B operatörü için (j = ; ; :::) olmak üzere s j (BA) kbk s j (A) (3..) s j (AB) kbk s j (A) (3..3) eşitsizlikleri sa¼glan r (Gohberg and Krein 965). Ispat : Ilk olarak (II) özelli¼gi ispatlanacakt r. (I) özelli¼ginin ispat bundan sonraki k s mda verilecektir. T = (A A) olmak üzere j (T ) = s j (A) tan m ndan ve, A operatörünün özde¼geri iken, A operatörünün özde¼geri olaca¼g ndan s j (BA) = j ((BA) BA) = j (A B BA) ile s j (A) = j (A A) eşitlikleri yaz l r. Di¼ger yandan 8f H için ha B BAf; fi = kbafk kbk kafk = kbk ha Af; fi 7

14 oldu¼gundan kbk ha Af; fi ha B BAf; fi 0 kbk A A A B BA f; f 0 olup key f H için son eşitsizlik sa¼gland ¼g ndan kbk A A Buradan A B BA kbk A A A B BA 0 olur. elde edilir. Son eşitsizlik dikkate al narak Teorem (.) minimum-maksimum prensibi gere¼gince j (A B BA) kbk j (A A) yaz l r. Dolay s yla s j (BA) kbk s j (A) olup s j (BA) kbk s j (A) olarak (3..) eşitsizli¼gi elde edilir. Şimdilik (I) k sm n n yani (3..) eşitli¼ginin do¼grulu¼gu kabul edilsin (j = ; ; 3; :::). Bundan yararlanarak s j (AB) = s j ((AB) ) = s j (B A ) yaz l r. Burada (3..) eşitsizli¼gi göz önüne al narak s j (B A ) kb k s j (A ) elde edilir. B operatörü s n rl oldu¼gundan Hilbert-adjointi vard r, tektir ve kb k = kbk dir. Dolay s yla s j (B A ) jbj s j (A ) olup (3..) kabulünden s j (A ) = s j (A) ve s j ((AB) ) = s j (AB) olaca¼g ndan s j (AB) jbj s j (A) olarak (3..3) eşitsizli¼gi elde edilir. 8

15 Tan m 3... (Polar Gösterim) Her s n rl lineer A operatörü A = U T şeklinde bir polar gösterim kabul eder. Burada T = (A A) ve U ise R (A ) alt uzay n R (A) üzerine götüren izometrik operatördür. Bu A = U T gösterimine A operatörünün polar gösterimi denilir (Gohberg and Krein 965). A = U T gösteriminde bulunan operatörler için aşa¼g daki eşitlikler sa¼glan r. ) U A = T ) T = UT U, T = U T U burada T = (AA ) dir. 3) A = T U, T = AU A A pozitif operatör oldu¼gundan tek bir pozitif karaköke sahip olur dolay s yla tek olarak belirlidir. Böylece A operatörünün A = U T polar gösterimi de tek olarak belirlidir. A kompakt operatörünün özde¼gerleri sonlu veya sonsuz say dad r. E¼ger sonsuz say da ise en çok say labilir say dad r. Özde¼gerler say labilir say da ise tek bir limit noktas olabilir, o noktada s f rd r. Özde¼gerlerin kat sonludur. Sonsuz mertebeli özde¼ger yoktur. E¼ger operatör pozitif ise özde¼gerlerde pozitiftir. Bunlara karş l k gelen özfonksiyonlar n kat dir ve bu özfonksiyonlar tan ml oldu¼gu uzayda baz oluşturur. Şimdi (3..) lemmas n n (I) k sm ispatlanabilir. A kompakt operatörü ve A = U T olarak onun polar gösterimi ele al ns n. j ile T operatörünün R (T ) de yo¼gun olan özvektörlerinin ortonormal sistemi gösterilsin (j = ; ; 3; :::; r (T )). Bu durumda r(t ) X T = s j (A) :; j j (3..4) j= yaz l r. (3..4) eşitli¼ginin, sa¼g k sm ndaki seri norm anlam nda yak nsak ise bu 9

16 eşitli¼gin iki yan na U operatörü uygulanabilir ve v(a) X A = UT = s j (A) :; j Uj (3..5) j= elde edilir. Bu eşitli¼ge A operatörünün Schmidt aç l m denir. j R (T ) ve U uniter operatör oldu¼gundan U j (j = ; ; 3; :::; r (A)) sistemi ortonormaldir. Çünkü j ler ortonormal oldu¼gundan j ; k = ; j = k 0; j 6= k yaz l r. Bu durumda U uniter oldu¼gundan U = U olup Uj ; U k = j ; U U k = j ; k bulunur. Dolay s yla U j sistemi ortonormaldir. Bu yüzden her lineer kompakt A operatörü Schmidt aç l m kabul eder. (3..5) eşitli¼ginden r(a) X A = s j (A) :; j j= j 3 U j = j (3..6) yaz l r. (3..6) Eşitli¼ginden yararlan larak ise r(a) X A = s j (A) :; j j yaz l r. Buradan A A j = s j (A) j elde edilir. Gerçekten j= 0

17 j = için 8 < r(a) X A A = A s j (A) : ; j j= j 9 = ; = A fs (A) g = r(a) X s j (A) s (A) ; j j j= = s (A) j = için 8 < r(a) X A A = A s j (A) : ; j j= j 9 = ; = A fs (A) g = r(a) X s j (A) s (A) ; j j j= = s (A) olup 8 < r(a) X A A k = A s : j (A) k ; j j= j 9 = ;

18 = A s (A) h k ; i + s (A) h k ; i + ::: + s r(a) (A) k ; r(a) r(a) = r(a) X s j (A) s (A) h k ; i + ::: + s r(a) (A) k ; r(a) j= r(a); j j = s (A) s (A) h k ; i + s (A) s (A) h k ; i +::: + s r(a) (A) s r(a) (A) k ; r(a) r(a) = = r(a) X s j (A) k ; j j j= s j (A) j ; k = j 0 ; k 6= j elde edilir. Buradan ise A A j = s j (A) j (3..7) yaz l r. Benzer şekilde AA j = s j (A) j (j = ; ; 3; :::; r (A)) (3..8) elde edilir. T = (A A) olmak üzere s j (A) = j (A A) oldu¼gu (3..7) ve (3..8) eşitliklerinde dikkate al nd ¼g nda A A j = j (A A) j ve AA j = j (A A) j (3..9) yaz l r. Ayr ca AA j = j (AA ) j olaca¼g ndan bu son eşitlik ve (3..9) ifadesinin ikinci eşitli¼ginden j (AA ) = j (A A) bulunur. Böylece s j (A) = s j (A ) yani s j (A) = s j (A ) elde edilmiş olur.

19 3. Rölatif Kompakt Operatörlere ilişkin Baz Özel S n ar = fa < : A (rölatif) kompakt operatörg ( ) P p = A < : A kompakt operatör ve s p j (A) < ( p < ) yani; j= X s p j (A) < j= olacak şekilde tüm (rölatif) kompakt A operatörlerini içeren s n f p ile gösterilir. v(a) P p, E¼ger A p ise k j (A)k p kak p (p > 0) eşitsizli¼gi sa¼glan r.. Özel olarak j= p = ise ( ) P = A < : A ve s j (A) < olarak s n f elde edilir. p = oldu¼gunda ise j= = ( A < : A ve ) X s j (A) < j= s n f elde edilir. Bir A operatörü s n f na ait ise A operatörüne çekirdek operatör denilir. Çekirdek operatörü başka yöntemle de karakterize edilebilir. Bu da bu şekildeki operatörler için bir iz notasyonu üretme imkan sa¼glar. < uzay nda olan A operatörlerinin s n rl ve lineer oldu¼gu biliniyor. E¼ger < uzay n n herhangi ortonormal baz için P j Aj ; j serisi yak nsak ise bu oparatörler j= sonlu matris izine sahiptir (Gohberg and Krein 965). Lemma 3... S n rl, lineer ve pozitif A operatörü ele al ns n. uzay n herhangi fx j g P hax j ; x j i toplam j= ortonormal baz için ayn de¼gere sahiptir. Ve A () X hax j ; x j i < j= 3

20 olmas d r (Gohberg and Krein 965). Teorem 3... S n rl, lineer bir A operatörünün sonlu matris izine sahip olmas için gerek ve yeter şart çekirdek operatörü olmas d r (Gohberg and Krein 965). P E¼ger A ise hax j ; x j i toplam H uzay n n ortonormal fx j g Bu toplam SpA ile gösterilir ve A operatörünün izi şeklinde ad- ba¼gl de¼gildir. land r l r. j= bazlar seçimine Sonlu boyutlu uzaylarda bulunan operatörler için SpA fonksiyonelinin aşa¼g daki özelliklere sahip oldu¼gu bilinir. ) Sp (A + B) = SpA + SpB ) SpA = SpA 3) Sp (AB) = Sp (BA) 4) Sp (S AS) = SpA 5) SpA = v(a) P j= j (A) s n f ndan olan operatörler ise Hilbert-Schmidt operatörleri olarak adland r l r. Lemma 3... S n rl lineer A operatörünün Hilbert-Schmidt operatörü olmas için gerek ve yeter şart Sp (A A) < olmas d r (Gohberg and Krein 965). Ispat : A s n rl lineer operatör ve A olsun. s n f n n tan m ndan X s j (A) < j= P yaz l r. Buradan s j (A) = j (A A) oldu¼gundan j (A A) < bulunur. Bu ise Sp (A A) < eşitsizli¼gini verir. Tersine s n rl lineer A operatörü için Sp (A A) < olsun. A A operatörünün izi P sonlu oldu¼gundan ha Ax j; x j i < yaz l r. Buradan lemma (3..) gere¼gince j= j= 4

21 A A dir. Dolay s yla v(a) X Sp (A A) = j (A A) = j= X s j (A) < j= oldu¼gundan A bulunur. K = olsun. n P j= :; j j boyutu n den küçük yada eşit olan key sonlu boyutlu operatör = ile K ve K operatörlerinin de¼ger uzaylar n içeren key sonlu boyutlu alt uzay gösterilsin. = alt uzay n n fx j g m ortonormal bazlar için det (I K) ile k jk (Kx j; x k )k m matrisinin determinant gösterilir. Bilindi¼gi gibi bu determinant = alt uzay n n seçilişinden ve bunun içindeki bazlardan ba¼g ms zd r. Bundan dolay det (I K) = v(k) Y j= ( j (K)) bulunur. Bu eşitlik den olan herhangi A operatörü için det (I A) n n det (I A) = v(a) Y j= ( j (A)) (3..) şeklinde tan mlanabilece¼gini söyler. (3..) eşitli¼ginin sa¼g k sm yak nsakt r. Çünkü v(a) P herhangi A için k j (A)k kak gerçeklenir. j= det (I A) = v(a) Y j= ( j (A)) ; A determinant na A operatörünün karakteristik determinant denir ve D (A) ile gösterilir (Gohberg and Krein 965). 5

22 3.3 p S n f ndan olan Operatörler için Regüle edilmiş Karakteristik Determinantlar Tan m p N ve 8A p için det (p) (I A) = v(a) Y j= " p X ( j (A)) exp k= # k k j (A) say s na I A operatörünün regüle edilmiş determinant denir. det (p) (I A) = v(a) Y j= " p X ( j (A) ) exp k= # k k j (A) k determinant na ise A operatörünün regüle edilmiş karakteristik determinant denir ve D (p) A () ile gösterilir. E¼ger A ise yukar daki determinant D () A v(a) () = Y j= ( j (A) ) e j(a) şeklinde tan mlan r ve f D A () şeklinde gösterilir (Gohberg and Krein 965). Lemma f D A () determinant aşa¼g daki eşitsizli¼gi gerçekler D () A () exp jj Sp (AA ) (Gohberg and Krein 965). Ispat : f D A () determinant n n tan m ndan D () A v(a) () Y = j= j j j e Re j +i Im j ; j (A) = j 6

23 yaz l r. Buradan; D f A () = = v(a) Y j= v(a) Y j= j j j e Re j e i Im j ( j ) ( j )e Re( j) elde edilir. j = a + ib olmak üzere a = Re ( j ) b = Im ( j ) olup ( j ) ( j ) = ( a ib) ( a + ib) = a + a + b olaca¼g ndan D f A () = v(a) Y j= Re ( j ) + j j j e Re( j) (3.3.) bulunur. + x e x oldu¼gundan bu eşitsizlikte x = Re ( j ) + j j j al nd ¼g nda D f A () = v(a) Y j= v(a) Y j= e Re( j)+j j j e Re( j) e j jj = e j j e j j :::e j v(a)j 8 9 < v(a) X = = exp j j j : ; j= ( bulunur. Buradan D f A () exp jj v(a) ) P j j j veya j= 8 9 D f < v(a) X = A () exp : jj j j j ; 7 j=

24 elde edilir. v(a) X j j j j= X s j (A) = Sp (A A) j= eşitsizli¼gi göz önüne al narak ise bulunur. D f A () exp jj Sp (A A) Teorem A p, (p Z + ) ve F key kapal s n rl küme olsun. Bu durumda herhangi B p ve 8" > 0 için 9 > 0 vard r 3 ja max F D (p) A () D(p) B () < " Bj < iken sa¼glan r (Gohberg and Krein 965). Lemma A ve j j= üzere fdet (I A) = lim n! " det jk gerçeklenir (Gohberg and Krein 965). ise H uzay n n key ortonormal bazlar olmak nx Aj; k n exp # Aj; j j= Ispat : A oldu¼gundan matris gösterimi (r = ; ; :::) olarak yaz labilir. n P j= s j (A) < dur. nx A n = :; j Aj j= Bir operatörün öklid uzaydaki fa n g fdet (I A n ) = det nx jk Aj; k n exp Aj; j n = ; ; ::: dizisi nin normu alt nda A operatörüne yak nsad ¼g ndan dolay teorem (3.3.) gere¼gince fdet (I elde edilerek ispat tamamlan r. j= A) = lim n! det (I A n ) 8

25 Tan m E¼ger I A operatörünün tersi varsa kompleks say s na A operatörünün F-regüler noktas denir (Gohberg and Krein 965). A ve B ayr labilir H Hilbert uzay nda s n rl lineer operatörler olsunlar. A B olsun. E¼ger noktas A operatörünün F-regüler noktas ise (I B) (I A) = I (B A) (I A) olur. Burada (B A) (I A) dir. Gerçekten; noktas A operatörünün F-regüler noktas oldu¼gundan (I A) mevcuttur. I (B A) (I A) = I B (I A) + A (I A) = (I A) (I A) B (I A) + A (I A) = (I A B + A) (I A) = (I B) (I A) olarak bulunur. Ayr ca lemma (3..) özellik II gere¼gince key s n rl B operatörü için P s j (AB) kbk s j (A) yaz l r. A oldu¼gundan s j (A) < olup karş laşt rma P testinden s j (AB) < bulunur. Böylece s n f ndan olan opeatörle s n rl bir j= operatörün sa¼gdan veya soldan çarp m ile oluşan operatörün de s n f ndan oldu¼gu söylenir., A operatörünün F-regüler noktas oldu¼gundan (I A) s n rl d r ve (B A) oldu¼gundan (B A) (I A) dir. Bu durumda j= D B=A () = det (I B) (I A) (3.3.) determinant n n anlam vard r. Bu determinanta A operatörünün T = B A taraf ndan üretilen pertürbasyon determinant denir ve A operatörünün tüm F-regüler noktalar n içeren bölgede analitik fonksiyondur (Gohberg and Krein 965). 9

26 4. JACOB I MATR ISLER I IÇ IN PERTÜRBASYON DETERM INANTLARI VE JOST ÇÖZÜMÜ 4. Sonsuz Boyutlu Kompleks Jacobi Matrisleri ve Green Fonksiyonu 3 b 0 c a 0 b c a J = b c a b 3 c a 4 3 b 4 c J ile kompleks bileşenli sonsuz boyutlu Jacobi matrisi gösterilsin. lim a n = lim c n = n! n! ve lim n! b n = 0, n Z + = f0; ; ; 3; g olsun. Ayr ca sa¼glans n. Ve X a n + jb nj + c n n=0 J 0 : a n = c n = ; b n = 0 < J matrisinin diskre Laplacian olarak tan mlans n. J operatörü J 0 operatörünün kompakt pertürbasyonudur. y = 6 4 y 0 y y. y n y n y n

27 olmak üzere, (Jy) n = y n için 3 b 0 c a 0 b c a b c a 4 n b n c n 7 5 y 0 3 y 0 3 y y.. = y n y n 6 y 4 n 7 6 y 5 4 n 7 5 olur. Buradan a n y n + b n y n + c n y n+ = y n ; = z + z y = 0 fark denklemi elde edilir. n Z + ; z D _ = fz : jzj g ; z 6= 0 c (J) = [ ; ] = c (J 0 ) olup J operatörünün spektrumu (J) = [ ; ] [ d (J) dir. Ayr ca J 0 operatörünün Green fonksiyonu 8 >< zm n z n m ; m n G (n; m; z) = z z >: 0 ; m < n m; n Z + (4..) olarak tan mlan r. Bu bölümde X (k + ) a k + jb kj + c k k=0 < (4..) koşulu alt nda Jacobi matrislerinin pertürbasyon determinantlar incelenmiştir. Lemma 4... (4..) koşulu alt nda J = J J 0 dir. Ve = [ ; ] için (J ) (J 0 ) = I + J (J 0 )

28 yaz l r (Egorova and Golinskii 005b). Ispat : Teorem (3..) gere¼gince s n rl lineer bir A operatörünün sonlu matris izine sahip olmas için gerek ve yeter şart onun çekirdek operatörü olmas d r. J J 0 operatörü kompakt oldu¼gundan s n rl d r. E¼ger J izine sahip oldu¼gu gösterilirse J J J 0 = = J 0 oldu¼gu söylenir. J 0 operatörünün sonlu matris 3 3 b 0 c ::: ::: ::: a 0 b c ::: ::: 0 a b c 0 0 ::: ::: a 4 b 3 c 3 0 ::: ::: ::: ::: ::: 3 b 0 c ::: ::: a 0 b c ::: 0 a b c 0 0 ::: a 4 b 3 c 3 0 ::: ::: ::: oldu¼gundan J J 0 operatörünün sonlu matris izine sahip oldu¼gunu göstermek için P b j < oldu¼gunu göstermek yeterlidir. (4..) koşulu dikkate al narak j=0 > X (k + ) a k + jb kj + c k k=0 X (k + ) jb k j k=0 X jb k j k=0 P yaz l r. Buradan P b k jb k j < oldu¼gundan istenilen elde edilir. = [ ; ] için k=0 k=0 (J ) (J 0 ) = I + J (J 0 ) (4..3) yaz l r. Çünkü (3.3.) tan m ve (3.3.) eşitli¼gine göre (4..3) eşitli¼ginin yaz lmas için J (J 0 ) olmal d r. J oldu¼gundan istenilenin sa¼glanmas için (J 0 ) s n rl olmal d r. c (J) = [ ; ] = c (J 0 ) oldu¼gundan [ ; ] aral ¼g na düşen lar için (J 0 ) s n rs zd r. Dolay s yla ancak = [ ; ] için (4..3) eşitli¼gi yaz l r. Tan m (3.3.) dikkate al narak J 0 operatörü için pertürbasyon deter-

29 minant (z; J) = det (J ) (J 0 ) ; = z + z şeklinde tan mlan r. (4..) koşulu alt nda fonksiyonu birim disk olan D = fz : jzj < g içinde analitik ve s n ra dek sürekli olan fonksiyonlar n cebrine aittir. Lemma 4... jz 0 j < için (z 0 ) = 0 () (z 0 ) d (J) sa¼glan r (Egorova and Golinskii 005b). Ispat : jz 0 j < ve (z 0 ) = 0 olsun. Bu durumda det [J (z 0 )] [J 0 (z 0 )] = 0 olup [J (z 0 )] [J 0 (z 0 )] mevcut de¼gildir. Yani [J0 (z 0 )] [J (z 0 )] mevcut de¼gildir. Bu durumda [J (z 0 )] mevcut olmay p (z 0 ) d (J) bulunur. Benzer şekilde tersine olarak (z 0 ) d (J) al nd ¼g nda (z 0 ) = 0 elde edilir. Teorideki anahtar k s m pertürbasyon determinantlar için yaklaş m ilişkisine aittir. S ras yla J ve J 0 matrislerinin ilk m + sat r ve sütunu al narak (m + ) (m + ) tipinde 3 b 0 c ::: ::: ::: 0 a 0 b c 0 ::: ::: 0 0 a J m = b a..... ve J 0;m = cm ::: ::: 0 a m b m 0 ::: ::: 0 0 tan mlans n. Bu durumda D kümesinin kompakt alt kümeleri üzerinde düzgün olarak yaz l r (Killip and Simon 003;.59). (z; J) = lim det Jm m! J 0;m (4..4) Ayr ca J ve J 0 matrislerinin ilk (n + ) sat r ve sütunu silinerek oluşturulan J (n) ve 3

30 J (n) 0 matrisleri ele al ns n.bu durumda J (n) = 3 b n+ c n+ 0 0 ::: a n+ b n+ c n a n+ b n J (n) 0 = J 0 ve J ( ) = J yaz l r. det (J m ) birinci sat r boyunca aç l p det (J 0;m ) ya bölünerek Jm det J 0;m! J (0) m J0;m = (b 0 ) det det J 0;m J 0;m! J () m J0;m a 0 c 0 det det J 0;m J 0;m (4..5) elde edilir. Gerçekten; det (J m 3 b 0 c 0 0 ::: 0. a 0 b c... ) = det. 0 a b c 4 m ::: 0 a m b m 4

31 3 b c 0 ::: 0. a b c... = (b 0 ) det. 0 a b c 4 m ::: 0 a m b m 3 a 0 c 0 ::: 0. 0 b c... c 0 det. 0 a b cm ::: 0 a m b m 3 b c 0 ::: 0. a b c... det (J m ) = (b 0 ) det. 0 a b cm ::: 0 a m b m 3 b c 0 ::: 0. a b 3 c... a 0 c 0 det. 0 a 3 b cm ::: 0 a m b m olup det (J m ) = (b 0 ) det J (0) m a 0 c 0 det J () m olarak bulunur. Jm det J 0;m = h (b 0 ) det J (0) m i a 0 c 0 det J () m det (J 0;m ) 5

32 = [(b 0 ) det J (0) m det (J 0;m ) det (J 0;m ) a 0 c 0 det J () m det (J 0;m ) det (J 0;m ) ] det (J 0;m ) = (b 0 ) det a 0 c 0 det! J (0) m Jm det J 0;m J 0;m! J () m J0;m det J 0;m J 0;m olarak (4..5) eşitli¼gi elde edilir. Lemma j N = f; ; :::g olmak üzere lim det J0;m j = ( z) j m! J 0;m eşitli¼gi sa¼glan r (Egorova and Golinskii 005b). Ispat : ::: J 0;m = (m+)(m+) (m+)(m+) 6

33 oldu¼gundan = ::: det (J 0;m ) = det ::: ::: = det ::: 0 (m+)(m+) 3 0 ::: det ::: det ::: 0 olarak bulunur. g m (z) = det (J 0;m ) olmak üzere g m (z) = g m (z) 4 g m (z) ; (z) = z + z ikinci dereceden bir fark denklemi elde edilir. de¼geri yerine yaz ld ¼g nda 4g m (z) = z + z g m (z) g m (z) bulunur. m! m + ye ötelendi¼ginde 4g m+ (z) = z + z g m+ (z) g m (z) 7

34 yaz l r. Bu fark denkleminin genel çözümü g m (z) = n m biçimindedir. Bu durumda 4n m+ = z + z n m+ n m olup n m 4n + z + z n + = 0 bulunur. n m 6= 0 oldu¼gundan 4n + (z + z ) n + = 0 olup n ; = n = q (z + z ) (z z ) 8 z, n = z olarak elde edilir. g m (z) çözümü bu çözümlerin kombinasyonu olaca¼g ndan m z z m g m (z) = A + B = Azm + Bz m ( ) m biçimindedir. g 0 (z) =, g (z) = z + z koşullar n sa¼glayan çözüm ise g 0 (z) = için A + B =, g (z) = z + z Az + Bz için = z + z olup ( ) g m (z) = ( z z ) z m + (z + z ) z m (z z ) ( ) m (4..6) olarak elde edilir. Şimdi lim det J0;m j = ( z) j oldu¼gu gösterilebilir. m! J 0;m J0;m j det J 0;m = det (J 0;m j ) det (J 0;m ) olup det (J 0;m j ) lim m! det (J 0;m ) 8

35 ( z z ) z m j + (z + z (m j) ) z (z z ) ( ) m = lim m! (z z ) ( ) m j ( z z ) z m + (z + z ) z m = lim m! ( z z ) z m j + (z + z ) z m j z m ( ) j ( z z ) z m + (z + z ) yaz l r. Buradan jzj < oldu¼gundan [( z z ) z m j + (z + z )] ( ) j lim m! z j [( z z ) z m + (z + z )] = (z + z ) ( ) j (z + z ) z j = ( z) j bulunur veya g n (z) + g n+ (z) = (z + z ) g n+ (z) biçimindeki ikinci dereceden fark denkleminin g (z) = (z + z ), g 0 (z) = koşullar n sa¼glayan çözümünün g n (z) = z (n+) z n+ z z oldu¼gu tümevar m yöntemiyle gösterilebilir. ( = z + z ) g n+ (z) = z + z g n+ (z) g n (z) g n+ (z) = z + z g n (z) g n (z) g n (z) = z + z g n (z) g n (z) ::: = ::: g (z) = z + z g (z) g 0 (z) olup g (z) = z + z (4..7) oldu¼gundan g n (z) = z n z n+ z z (4..8) 9

36 çözümüne tümevar m yöntemi uyguland ¼g nda n = 0 için g 0 (z) = z z z z = n = için g (z) = z z z z = z + z olup n = için g (z) = z 3 z 3 z z = z + z + olarak (4..7) eşitli¼gi elde edilir. n = k için g k (z) = z k+ z k + z z = z k z k z z do¼gru olsun. Bu durumda g k (z) = z + z g k (z) g k (z) eşitli¼ginin do¼grulu¼gu incelendi¼ginde g k (z) = z + z z k z k z = z (k+) z k+ z z z z (k ) z k z z bulunur. Her n Z + için (4..8) eşitli¼gi sa¼gland ¼g ndan g n (z) + g n+ (z) = z + z g n+ (z) fark denkleminin g (z) = (z + z ), g 0 (z) = koşullar n sa¼glayan çözümünün (4..8) oldu¼gu söylenir. = (z + z ) al nd ¼g nda ise; (4..6) eşitli¼gi bulunur. Bu ifadeden yararlanarak ayn şekilde lim det J0;m j = ( z) j ; j = f; ; :::g m! J 0;m oldu¼gu söylenir. Lemma (4..3) kullan larak (4..5) eşitli¼ginden m! için limit al nd ¼g nda; 30

37 lim det Jm m! J 0;m! = (z; J) = (b 0 ) lim det J (0) m ( z) m! J 0;m! a 0 c 0 lim det J () m ( z) m! J 0;m yaz l r. Buradan (z; J) = (! b 0 ) z lim det J (0) m m! J 0;m! a 0 c 0 4z lim det J () m m! J 0;m (z; J) = ( b 0 ) z z; J (0) a 0 c 0 4z z; J () (4..9) bulunur. (4..9) eşitli¼gi key J matrisi için sa¼gland ¼g ndan J = J (n) içinde bu eşitlik yaz l r. 3 3 b 0 c 0 0 ::: ::: b n+ c n+ 0 0 ::: a 0 b c 0 ::: a n+ b n+ c n+ 0 ::: J = 0 a b......, J (n) = 0 a n+ b n+3 c n ::: oldu¼gundan z; J (n) = ( b n+ ) z z; J (n+) a n+ c n+ 4z z; J (n+) (4..0) eşitli¼gi elde edilir. Bu eşitlik z n ile çarp ld ¼g nda; z n z; J (n) = z n+ z; J (n+) b n+ z n+ z; J (n+) 4a n+ c n+ z n+ z; J (n+) yaz l r. n = z n z; J (n) denilirse n (z) = n+ (z) b n+ n+ (z) 4a n+ c n+ n+ (z) 3

38 bulunur. Burada n = m al nd ¼g nda m (z) + b m m (z) + 4a m c m m+ (z) = m (z) m 0 (4..) olarak ikinci dereceden bir fark denklemi elde edilir. Önerme 4... (4..) koşulu alt nda kapal D diski içinde düzgün olarak lim z; J (m) = m! eşitli¼gi gerçeklenir (Egorova and Golinskii 005b). Lemma (4..) koşulu alt nda H (n) = X (jb j j + j4a j c j j), H (n; m) = j=n n+m Y j=n+ ( + H (j)) şeklinde H (n), H (n; m) dizileri oluşturulabilir. fh (n)g l ve H (n), H (n; m) dizileri n ye göre azaland r (Egorova and Golinskii 005b). Ispat : Öncelikle (4a j c j ) = (a j ) (c j + ) + c j a j = (a j ) (c j + ) + (c j ) (a j ) olup H (n) = < X [jb j j + j(a j ) (c j + ) + (c j ) (a j )j] j=n X fjb j j + j(c j )j + j(a j )jg + j=n j=n X j(c j + )j j(a j )j yaz l r. (4..) koşulu dikkate al narak j(c j + )j < M olacak şekilde M R + 3

39 oldu¼gu söylenir. Böylece H (n) < X [jb j j + j(c j )j + j(a j )j] + M j=n X j(a j )j j=n yaz l r. Yine (4..) koşulundan X j(a j j=n )j < ve X [jb j j + j(c j )j + j(a j )j] < j=n olaca¼g ndan H (n) < elde edilir. Dolay s yla H (n) tan ml d r. fh (n)g l oldu¼gunu göstermek için ise X X (jb j j + j4a j c j j) = X X (jb j j + j4a j c j j) < n=0 j=n n=0 j=n oldu¼gunu göstermek yeterlidir. X X X X (jb j j + j4a j c j j) = jb j j + j4a j c j j + (jb j j + j4a j c j j) + ::: n=0 j=n j=0 j= = (jb 0 j + j4a 0 c 0 j) + (jb j + j4a c j) + ::: (jb j + j4a c j) + (jb j + j4a c j) + ::: = = :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: X (k + ) (jb k j + j4a k c k j) k=0 0 X (k + jb kj + ja k j jc k + j A + jc k j + ja k j X (k + ) (jb k j + jc k j + ja k j) k=0 k=0 + X (k + ) ja k j jc k + j k=0 olup (4..) koşulu gere¼gince X X (jb j j + j4a j c j X j) < M + M (k + ) ja k j n=0 j=n k=0 33

40 P (M; M R) ve (k + ) ja k j < olaca¼g ndan k=0 X X (jb j j + j4a j c j j) < n=0 j=n elde edilir. Bu ise fh (n)g l oldu¼gunu verir. Ayr ca her n için X H (n + ) = (jb j j + j4a j c j j) < j=n+ X (jb j j + j4a j c j j=n j) = H (n) oldu¼gundan fh (n)g dizisi n ye göre azalan dizidir. Benzer şekilde her n ve m için H (n; m) H (n + ; m) = n+m Q j=n+ Q n+m j=n+ ( + H (j)) ( + H (j)) = [ + H (n + )] [ + H (n + m)] H (n; m) olup H (n + ) > H (n + m) oldu¼gundan bulunur. Bu da fh (n; m)g H (n + ; m) dizisinin n ye göre azalan oldu¼gunu verir. Buna ek olarak H (n; m + ) H (n; m) = n+m Q j=n+ Q n+m j=n+ ( + H (j)) ( + H (j)) = + H (n + m) > olup key m için H (n; m + ) > H (n; m) oldu¼gundan fh (n; m)g dizisi m ye göre artan dizidir. Lemma = z + z ve (n; m) Kroniker delta olmak üzere J 0 operatörünün Green fonksiyonu olan G (n; m; z) G (n; m + ; z) + G (n; m ; z) G (n; m; z) = (n; m) (4..) eşitli¼gini sa¼glar (Egorova and Golinskii 005b). 34

41 Ispat : Lemmay ispatlamak için (4..) eşitli¼ginde n = m için n = m için G (n; m + ; z) + G (n; m ; z) G (n; m; z) = n 6= m için G (n; m + ; z) + G (n; m ; z) G (n; m; z) = 0 oldu¼gunu göstermek yeterlidir. Öncelikle m = n olsun. Bu durumda (4..) ifadesi ve Green fonksiyonu tan m gere¼gince G (n; n + ; z)+ G (n; n ; z) z + z G (n; n; z) = z z z z + 0 z + z 0 = olur. m 6= n olsun. Bu durumda m < n veya m > n dir. Ilk olarak m < n oldu¼gunu kabul edelim. Dolay s yla m < n ve m + n olur ve G (n; m + ; z) + G (n; m ; z) z + z G (n; m; z) = = 0 olarak bulunur. m > n ise m + > n ve m n olur. Böylece G (n; m + ; z) = zm+ n z n (m+) z z G (n; m ; z) = n z n m+ zm z z z + z z z G (n; m; z) = zm n z n m z z olaca¼g ndan G (n; m + ; z) + G (n; m ; z) z + z G (n; m; z) = 0 bulunur. Bu durumda (4..) eşitli¼gi ispatlanm ş olur. Teorem 4... (4..) koşulu alt nda (z; J) = X j z j j=0 pertürbasyon determinant n n Taylor katsay lar 35

42 Y j j j ( + H (j)) X (jb m j + j4a m j) (4..3) j= m=[j j] j eşitsizli¼gini sa¼glar (Egorova and Golinskii 005b). Ispat : Ispata elde edilen baz eşitliklerde düzenlemelerle başlayal m. (4..) eşitli¼gi G (n; m; z) m ile (4..) eşitli¼gi ile çarp ld ¼g nda s ras yla m G (n; m + ; z) + m G (n; m ; z) mg (n; m; z) = m (n; m) (4..4) ve m G (n; m; z) + b m mg (n; m; z) + a m c m m+g (n; m; z) = mg (n; m; z) eşitlikleri elde edilir. (4..4) eşitli¼ginden (4..5) ifadesi ç kar ld ¼g nda ise (4..5) m G (n; m + ; z) + m G (n; m ; z) b m mg (n; m; z) a m c m m+g (n; m; z) m G (n; m; z) = m (n; m) ifadesi elde edilir. Elde edilen bu son ifade de n den N ye kadar toplam al nd ¼g nda NX m=n 8 < : mg (n; m + ; z) + mg (n; m ; z) m G (n; m; z) bulunur. Dolay s yla b m mg (n; m; z) a m c m m+g (n; m; z) 9 = ; = n (z) n (z) = NX m=n + b m G (n; m; z) + G (n; m ; z) 3 NX 4 mg (n; m + ; z) m G (n; m; z) 5 a m c m m+g (n; m; z) m=n m (4..6) olarak yaz l r. (4..6) eşitli¼ginin sa¼g k sm ndaki ikinci ifade aç l p gerekli sadeleştirme 36

43 işlemleri sonucu NX m=n m G (n; m + ; z) m G (n; m; z) a m c m m+g (n; m; z) = n G (n; n + ; z) n G (n; n; z) a n c n n+g (n; n; z) + n+ G (n; n + ; z) n G (n; n + ; z) a n+ c n+ n+g (n; n + ; z) :::::::::::::::::::::::::::::: + N G (n; N; z) N G (n; N ; z) a N c N NG (n; N ; z) + N G (n; N + ; z) N G (n; N; z) a N c N N+G (n; N; z) = NX N G (n; N + ; z) n G (n; n; z) + a m c m m+g (n; m; z) m=n olarak bulunur. G (n; n; z) = 0 olaca¼g ndan (4..6) ifadesi n (z) = = = NX m=n + NX m=n NX m=n b m G (n; m; z) + G (n; m a m c m m+g (n; m; z) b m G (n; m; z) + G (n; m ; z) ; z) m + N G (n; N + ; z) m + NX m=n a m c m m+g (n; m; z) a N c N N+G (n; N; z) + N G (n; N + ; z) NX b m G (n; m; z) + G (n; m ; z) m + N G (n; N + ; z) m=n a N c N N+G (n; N; z) + NX m=n a m c m mg (n; m ; z) olup n (z) = NX m=n b m G (n; m; z) + a m c m G (n; m ; z) + G (n; N + ; z) N a N c N G (n; N; z) N+ (z) m 37

44 olarak elde edilir. Bu ifadede N! için limit al nd ¼g nda lim N! n (z) = X m=n 8 >< >: + lim N! + b m G (n; m; z) a m c m G (n; m ; z) 9 >= >; m (4..7) G (n; N + ; z) N a N c N G (n; N; z) N+ olur. Eşitli¼gin sa¼g taraf ndaki limit incelendi¼ginde N + > n, N > n ve oldu¼gundan G (n; N + ; z) = zn+ n z n N ; G (n; N; z) = zn n z n N z z z z lim N! G (n; N + ; z) N a N c N G (n; N; z) N+ (z) z N+ n z n N z N n z n N = lim N! z z N 4a N c N z z N+ z N+ n z N n = lim N! (z z ) z N+ n N 4a N c N (z z ) z N n N+ = lim N! 6 4 yaz l r. Buradan dikkate al narak z N+ n z N N z n z N N 4a N c N z N n+ z (N+) N+ z z z z z z N+z (N+) z n+ +4a N c N z z lim N! N z N = lim z; J (N) = N > n ve jzj < oldu¼gu N! lim N! G (n; N + ; z) N a N c N G (n; N; z) N+ (z) = z n + z n+ z z = zn (z z ) z z = z n 38

45 olarak elde edilir. Dolay s yla bu son limit de¼geri (4..7) ifadesinde yaz ld ¼g nda X n (z) = z n + b m G (n; m; z) + m=n X = z n + b m G (n; m; z) + bulunur. Buradan m=n+ a m c m G (n; m ; z) a m c m G (n; m ; z) m m M (n; m; z) = b m G (n; m; z) + a m c m G (n; m ; z) olmak üzere n (z) çözümü n (z) = z n + X m=n+ M (n; m; z) m (z) n = ; 0; ; ::: (4..8) şeklinde ifade edilebilir. Green fonksiyonu tan m ndan M (n; n; z) = 0 oldu¼gu aç kt r. Ayr ca M ^ (n; m; z) = M (n; m; z) z m n olmak üzere z; J (n) = z n n oldu¼gu dikkate al narak ve (4..8) eşitli¼gi şeklinde ifade edilir veya z; J (n) = formunda yaz labilir. z; J (n) = + X m=n+ X m=n+ ^ M (n; m; z) + ^ M (n; m; z) z; J (m) X m=n+ ^ M (n; m; z) z ye göre bir polinomdur ve jzj < için ^ M (n; m; z) z; J (m) (4..9) G (n; m; z) z m n = z (m n) z z jzj jm nj (4..0) G (n; m ; z) z m n = jzj jm n j jzj jm nj eşitsizlikleri gerçeklenir. 39

46 Gerçekten; ^ M (n; m; z) = M (n; m; z) z m n = b m G (n; m; z) + a m c m G (n; m ; z) z m n olup ^ M (n; m; z), z ye göre bir polinomdur. G (n; m; z) z m n = zm n z n m z m n z z = z (m n) z z = z (m n) z jzj olup z (m n) lim z! z = lim z! (m n) z m n z = m n oldu¼gundan G (n; m; z) z m n z (m n) = z jzj jzj jm nj olarak bulunur. Benzer şekilde; n G (n; m ; z) z m n = z n (m ) zm z m n z z = zm n z z z = z m n z z jzj = z m n jzj z olup z m n lim z! z = lim z! (m n ) z m n 3 z = m n oldu¼gundan G (n; m ; z) z m n = jzj z m n z jzj jm n j jzj jm nj 40

47 olarak (4..0) eşitsizlikleri elde edilmiş olur. Bu eşitsizlikler kullan larak ^ b M (n; m; z) = m G (n; m; z) z m n + a m c m G (n; m ; z) z m n jb m j jzj jm nj + a m c m jzj jm nj = jzj jm nj ( jb m j + j 4a m c m j) ; jzj (4..) yaz l r. Şimdi teoremin ispat nda gerekli olacak baz lemmalar verelim. Lemma (4..) koşulu alt nda g (n; z) = P m=n+ ^ M (n; m; z) serisi kapal birim disk olan D içinde düzgün ve mutlak yak nsakt r. Ayr ca (4..) eşitsizli¼gi gere¼gince X jg (n; z)j mh m ; h m = jb m j + j 4a m c m j m=n+ yaz l r (Egorova and Golinskii 005b). Ispat : jg (n; z)j = X m=n+ X m=n+ X m=n+ X ^ M (n; m; z) X m=n+ ^ M (n; m; z) jzj jm nj (jb m j + j 4a m c m j) ; jzj oldu¼gundan jm nj (jb m j + j 4a m c m j) m (jb m j + j 4a m c m j) = m=n+ m=n+ X mh m elde edilir. 4a m c m = ( a m ) ( + c m ) + ( c m ) ( a m ) 4

48 oldu¼gundan jg (n; z)j = X m (jb m j + j 4a m c m j) m=n+ X m (jb m j + j a m j j + c m j + j c m j j a m j) m= X m (jb m j + j a m j + j c m j) m= + X m (j a m j j + c m j) m= olup (4..) koşulu gere¼gince jg (n; z)j < yaz l r. Dolay s yla g (n; z) Weierstrass testinden D da düzgün ve mutlak yak nsakt r. Lemma Ard ş k yaklaş mlar n standart metodu gere¼gince z; J (n) X exp m= eşitsizli¼gi sa¼glan r (Egorova and Golinskii 005b). mh m! X m=n+ mh m Ispat: (4..9) eşitli¼ginde olmak üzere yaz l r. f (n; z) = z; J (n) ; g (n; z) = f (n; z) = g (n; z) + X m=n+ f (n; z) = g (n; z) ; f j+ (n; z) = olmak üzere tümevar m yöntemiyle X m=n+ ^ M (n; m; z) ^ M (n; m; z) f (m; z) X m=n+ jf j (n; z)j j (n) (j )! ^ M (n; m; z) f j (m; z) 4

49 oldu¼gu gösterilebilir. Burada (n) = elde edilir. jf (n; z)j = jg (n; z)j = X m=n+ P m=n+ mh m biçimindedir. j = için ^ M (n; m; z) X m=n+ mh m = (n) j için jf j (n; z)j j (n) (j )! ifadesi do¼gru olsun. Bu durumda jf j+ (n; z)j = X ^ M (n; m; z) f j (m; z) X ^ M (n; m; z) jf j (m; z)j m=n+ m=n+ X m=n+ mh m j (m) (j )! = (j )! X m=n+ mh m j (m) (4..) olur. (4..) eşitsizli¼ginde P m=n+ mh m j (m) ifadesine (a + b) j+ a j+ (j + ) a j b; (a; b > 0) eşitsizli¼gi uyguland ¼g nda; a = (m), b = mh m olmak üzere [mh m + (m)] j+ j+ (m) (j + ) j (m) mh m olur. P k=m+ kh k = (m) oldu¼gundan mh m j (m) = = h i (mh m + (m)) j+ j+ (m) j +! 3 j+ X 4 kh k + mh m j+ (m) 5 j + k=m+! 3 j+ X 4 kh k j+ (m) 5 j + k=m 43

50 P elde edilir. kh k = (m k=m ) olaca¼g ndan ise mh m j (m) = j+ (m ) j+ (m) j + bulunur. Bu son eşitlik (4..) eşitsizli¼ginde dikkate al nd ¼g nda jf j+ (n; z)j (j )! j! lim X m=n+ px p! m=n+ 8 = < j! lim p! : = j! j+ (n) j+ (m ) j+ (m) j + j+ (m ) j+ (m) j+ (n) j+ (n + ) + j+ (n + ) j+ (n + ) +::: + j+ (p ) j+ (p) j! lim p! j+ (p) 9 = ; yaz l r. Yak nsak serinin kalan terimi s f ra gidece¼ginden lim p! j+ (p) = 0 olup jf j+ (n; z)j j! j+ (n) elde edilir. Böylece jf j (n; z)j (j )! j (n) eşitsizli¼ginin sa¼gland ¼g elde edilmiş olur. Bu eşitsizlik dikkate al nd ¼g nda z; J (n) = jf (n; z)j = elde edilir. X f j (n; z) X j= = (n) exp [ (n)] = exp exp! X mh m m= X m=n+ j= X m=n+ j (n) (j )! X mh m! j= X m=n+ mh m ; n, jzj j (n) (n) (j )! mh m 44

51 Lemma z; J (n) pertürbasyon determinant Taylor serisine aç ld ¼g nda; z; J (n) X = + { (n; j) z j j= şeklinde ifade edilir ve { (n; j) Taylor katsay lar için X j{ (n; j)j C mh m m=n+ eşitsizli¼gi gerçeklenir. Burada C, uzay n de¼gişkeninden ve spektral parametreden ba¼g ms z pozitif sabittir. Sabitlenen j için n! iken { (n; j)! 0 elde edilir (Egorova and Golinskii 005b). Ispat : f (z), bir C : jz z 0 j = R çemberinin üzerinde ve içinde analitik, M = max jf (z)j zc olmak üzere jf (z)j M ise Cauchy eşitsizli¼gi f (n) (z 0 ) n!m eşitsizli¼ginin gerçeklendi¼gini söyler. D = fz : jzj g olup D bölgesinde g (n; z) = X m=n+ ^ M (n; m; z) R n mutlak ve düzgün yak nsak oldu¼gundan terim terim türevlenebilir ve analitiktir. P Ayr ca jg (n; z)j 0; J (n) (j) mh m ve j{ (n; j)j = oldu¼gundan Cauchy m=n+ j! eşitsizli¼ginden Lemma (4..7) dikkate al narak yaz l r. M = P m=n+ 0; J (n) (j) j{ (n; j)j = j! C mh m şeklinde ifade edilir. Buradan X m=n+ mh m 45

52 X 0 j{ (n; j)j C m (jb m j + j 4a m c m j) yaz l r. n! için m! olup m=n+ 0 lim n! j{ (n; j)j 0 olur, buradan ise lim j{ (n; j)j = 0 dolay s yla sabitlenen j için n! iken n! { (n; j)! 0 bulunur. Şimdi (4..) Teoreminin ispat na devam edilebilir. (4..0) eşitli¼ginde aç l m yaz ld ¼g nda + X { (n; j) z j = j= z; J (n) = + z + z 4z a n+ c n+ + = z + zb n+ X { (n; j) z j j= b n+ z +! X { (n + ; j) z j j=! X { (n + ; j) z j j= + z + zb n+ { (n + ; ) z + { (n + ; ) z + ::: 4z a n+ c n+ 4z a n+ c n+ { (n + ; ) z + { (n + ; ) z + ::: = zb n+ + ( 4a n+ c n+ ) z + { (n + ; ) z + { (n + ; ) z + ::: zb n+ { (n + ; ) z + { (n + ; ) z + { (n + ; 3) z 3 + ::: +z { (n + ; ) z + { (n + ; ) z + { (n + ; ) z + ::: 4z a n+ c n+ { (n + ; ) z + { (n + ; ) z + ::: 46

53 ç kar. Buradan { (n; ) z + { (n; ) z + { (n; 3) z 3 + ::: = b n+ z + ( 4a n+ c n+ ) z + { (n + ; ) z + { (n + ; ) z + ::: b n+ { (n + ; ) z + { (n + ; ) z 3 + ::: + { (n + ; ) z 3 + { (n + ; ) z 4 + ::: 4a n+ c n+ { (n + ; ) z 3 + { (n + ; ) z 4 + ::: elde edilir. Son eşitlikte katsay lar karş laşt r larak { (n; ) = { (n + ; ) b n+ { (n; ) = ( 4a n+ c n+ ) b n+ { (n + ; ) + { (n + ; ) { (n; 3) = { (n + ; ) 4a n+ c n+ { (n + ; ) b n+ { (n + ; ) + { (n + ; 3) { (n; 4) = { (n + ; ) 4a n+ c n+ { (n + ; ) b n+ { (n + ; 3) + { (n + ; 4) ::: { (n; j + ) = { (n + ; j ) 4a n+ c n+ { (n + ; j ) b n+ { (n + ; j) + { (n + ; j + ), (j ) bulunur veya iterasyon ile { (n; ) { (n + ; ) = b n+ { (n + ; ) { (n + ; ) = b n+ :::::::::::::::::::::::::: = ::::::: { (m ; ) { (m; ) = b m { (m; ) { (m + ; ) = b m+ 47

54 olaca¼g ndan bu eşitliklerin taraf tarafa toplanmas sonucu { (n; ) { (m + ; ) = elde edilir. m! için { (m + ; )! 0 olaca¼g ndan olur. Benzer şekilde { (n; ) = m+ X k=n+ m+ X k=n+ b k b k (4..3) { (n; ) { (n + ; ) = ( 4a n+ c n+ ) b n+ { (n + ; ) { (n + ; ) { (n + ; ) = ( 4a n+ c n+ ) b n+ { (n + ; ) { (n + ; ) { (n + 3; ) = ( 4a n+3 c n+3 ) b n+3 { (n + 3; ) ::::::::::::::::::::::::: = ::::::::::::::::::::::::::::::::::::: { (m ; ) { (m; ) = ( 4a m c m ) b m { (m; ) { (m; ) { (m + ; ) = ( 4a m+ c m+ ) b m+ { (m + ; ) olup bu eşitlikler taraf tarafa topland ¼g nda { (n; ) { (m + ; ) = m+ X k=n+ [b k { (k; ) + 4a k c k ] bulunur. Buradan m! için limit al nd ¼g nda { (m + ; )! 0 olaca¼g ndan { (n; ) = X m=n+ [b m { (m; ) + 4a m c m ] (4..4) 48

55 olarak bulunur. Ayn şekilde j için { (n; j + ) { (n + ; j + ) = { (n + ; j ) b n+ { (n + ; j) 4a n+ c n+ { (n + ; j ) { (n + ; j + ) { (n + ; j + ) = { (n + ; j ) b n+ { (n + ; j) 4a n+ c n+ { (n + 3; j ) { (n + ; j + ) { (n + 3; j + ) = { (n + 3; j ) b n+3 { (n + 3; j) 4a n+3 c n+3 { (n + 4; j ) ::::::::::::::::::::::::::::::::: = :::::::::::::::::::::::::::::::: { (k; j + ) { (k + ; j + ) = { (k + ; j ) b k+ { (k + ; j) 4a k+ c k+ { (k + ; j ) olup elde edilen son eşitlikler taraf tarafa topland ¼g nda { (n; j + ) { (k + ; j + ) = + Xk+ m=n+ Xk+ m=n+ [b m { (m; j) + 4a m c m { (m + ; j )] { (m; j ) { (n; j + ) { (k + ; j + ) = { (n + ; j ) Xk+ m=n+ fb m { (m; j) + (4a m c m ) { (m + ; j )g yaz l r. Yine k! için { (k + ; j + )! 0 olaca¼g ndan j için { (n; j + ) = { (n + ; j ) olarak elde edilir. X fb m { (m; j) + (4a m c m ) { (m + ; j )g m=n+ (4..5) H (n; 0) = [ + H (n + )] [ + H (n)] [ + H (n )] olmak üzere H (n), H (n; m) dizilerinin tan mlar ve (4..3), (4..4), (4..5) 49

56 eşitlikleri kullan larak j üzerinden tümevar mla eşitsizli¼gi yaz l r. j{ (n; j)j H (n; j) H n + + j, n (4..6) j = için j{ (n; )j = X X X b m jb m j jb m j + j4a m c m m=n+ m=n+ m=n+ = H (n + ) H (n + ) H (n; ) j olup (4..6) eşitsizli¼gi elde edilir. j için j{ (n; j)j H (n; j) H n + + j (4..7) eşitsizli¼gi do¼gru olsun. j + için j{ (n; j + )j H (n; j + ) H n + + j + eşitsizli¼ginin sa¼gland ¼g (4..7) eşitsizli¼gi yard m yla gösterilir. (4..5) eşitli¼ginden X j{ (n; j + )j j{ (n + ; j )j+ jb m { (m; j)j+j(4a m c m ) { (m + ; j )j olup (4..7) kabulü alt nda m=n+ j j{ (n; j + )j H (n + ; j ) H n + + X j + jb m j H (m; j) H m + + m=n+ X j + H (m + ; j ) H m + + j4a m c m m=n+ j yaz l r. H (n; m) dizisi n ye göre azalan m ye göre artan dizi ve H (n) dizisi n ye 50