8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I"

Hande Aytaç
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent Teoremi) 0 < r < R olmak üere f fonksiyonu A f : r < j 0 j < Rg halka bölgesinde analitik olsun. Bu durumda 8 A için X X f() a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n sa¼glan r. Bu seriye f fonksiyonunun 0 etraf ndaki Laurent serisi denir. Ayr ca A X b n kümesinin herhangibir kapal alt halkas nda yak nsakl k dügündür. ( n 0 ) n serisine Laurent serisinin esas k sm denir. Teorem8.. Laurent aç l m bir tektir. Soru. f() sin n fonksiyonunun 0 noktas civar ndaki seri aç l m n bulunu. Çöüm. 0 merkeli aç k diskler f() sin k0 fonksiyonunun analitiklik bölgesinin içinde kalmad ¼g ndan, bu nokta civar nda yap lacak olan seri gösterimi Taylor serisi de¼gildir. sin ; jj < oldu¼gundan bu X ( ) k k+ (k + )! seri aç l m 0 < jj < için de geçerlidir. Bu durumda sin X k0 ( ) k k+ (k + )! X k0 ( ) k k (k + )! ; 0 < jj < Soru. f() e ( ) fonksiyonunun 0 noktas civar ndaki Laurent seri aç l m n n ilk dört terimini bulunu. Çöüm. u denilirse e ( ) e e u u olur. e u X u n n! ; juj <

2 X oldu¼gundan e u n u n ; juj < Buradan n! veya f() e u e ( ) e e u u ( + u + (u)! e u X n u n + (u)! n! + : : : e u + e u + e u + e : : : ; 0 < juj < ) f() e ( ) e ( ) + e ( ) + e ( ) +e +: : : ; 0 < j j < olarak elde edilir. Soru. f() ( ) sin fonksiyonunun + noktas civar ndaki Laurent seri aç l m ndaki ilk beş terimi bulunu. Çöüm. + u denilirse ( ) sin (u + 5) sin olup sin u fonksiyonunun seri aç l m kullan larak ya l r. Böylece sin u X u (u 5) sin u (u 5) u u ( ) n u n+ (n + )! ; u 6 0!u + 5!u 5 7!u 7 + ; u 6 0 7!u 7 +!u + 5!u 5!u + 5!u + 5!u ; u 6 0 olup 8 Cn f g f() ( ) sin ( + ) +! ( + ) + 5! ( + ) + 5! ( + ) ; sinh Soru. f() fonksiyonunun orijin etraf ndaki üç seri ( ) ( ) aç l m n elde edini. Çöüm. f fonksiyonu ve noktalar d ş nda tüm kompleks dülemde analitiktir. Dolay s yla bu fonksiyonun orijin etraf nda

3 a) jj < bölgesinde b) < jj < simit bölgesinde ve c) jj > bölgesinde seri aç l mlar vard r. Bunlardan jj < bölgesinde yap lacak olan seri aç l m Taylor seri aç l m di¼gerleri Laurent seri aç l m d r. sinh ( ) ( ) sinh ( ) + ( ) olup orijin etraf ndaki seri aç l mlar bilenen fonksiyonlar kullan larak istenilen seri aç l mlar elde edilebilir. a) sinh ( ) ( ) X X n+ (n + )! n+ (n + )! X n X n X 5 n n # ; jj < Ilk seri jj < ; bölgesinde ikinci seri jj < bölgesinde son seri ise < bölgesinde geçerli oldu¼gundan elde edilen seri jj < bölgesinde geçerlidir. b) ve olup sinh ( ) ( ) c) ve X n+ (n + )! X X n X X ; jj > n+ X n ; jj < n+ X n X n n ; X # n n+ ; < jj < < ; jj > ) jj > n+ 5

4 olup sinh ( ) ( ) Soru5. jj X n+ X n (n + )! n+ X sin + d integralini hesaplay n. # n+ ; jj > Çöüm. sin + sin cos( )+cos sin( ) olup u denilirse sin + sin cos( u u ) + cos sin( u ) olur. ve olaca¼g ndan sin jj cos( u ) X ( ) n u (n)! n ;...0 < juj < cos( ) X ( ) n n ( ) n ;...0 < j j < (n)! sin( ) X ( ) n n+ ( ) n+ ;...0 < j j < (n + )! + d jj sin X ( ) n n ( ) n (n)! d+ jj cos ve analitik fonksiyonun seri gösterimi yak nsakl k bölgesinde terim terime integrallenebilece¼ginden sin +! 6 d sin! ( ) + 6 7! ( ) d5 jj jj 6 + cos jj X! 8! ( ) + 7 d5 ya l r. Cauchy integral ve türev formülleri kullan larak g() olmak üere sin + d i cos g() i cos jj ( ) n n+ ( ) n+ (n + )! d 6

5 Soru6. f() + fonksiyonunu 0 < j j < bölgesinde Laurent ( ) serisine aç n. Çöüm. + ( ) ( ) + ( ) 0 ( ) ( ) + + C + A X + ( ) n + # n ; 0 < < olup f() ( ) + X ( ) n ( ) n () n+ ; 0 < j j < Al şt rmalar. f() ( + ) ( + ) fonksiyonunun 0 noktas civar ndaki Laurent seri aç l m n n ilk dört terimini bulup geçerli oldu¼gu bölgeyi belirtini.. f() sin fonksiyonunun 0 noktas civar ndaki Laurent seri aç l m n n ilk dört terimini bulup geçerli oldu¼gu bölgeyi belirtini.. f() fonksiyonunun aşa¼g da verilen bölgelerdeki seri ( + ) ( + ) aç l mlar n elde edini. a) < jj < b) jj > c) 0 < j + j <. f() fonksiyonunun aşa¼g da verilen bölgelerdeki seri ( ) ( ) aç l mlar n elde edini. a) jj < b) < jj < c) jj < 5. f() fonksiyonunun ve noktalar civar ndaki ( ) ( ) seri aç l mlar n bulunu. 6. f() sin fonksiyonunun orijin civar ndaki Laurent seri aç l m n bulunu. 7

6 7. f() bulunu. 8. jj e ( + ) fonksiyonunun orijin civar ndaki Laurent seri aç l m n k e d integralini e fonksiyonunun Laurent seri aç l m n kullanarak hesaplay n. 9. f() fonksiyonunu 0 noktas civar ndaki Laurent serisinin sinh ilk beş terimini bulunu. 0. jj sinh d i oldu¼gunu gösterini.. f() ( + ) fonksiyonunun a) D f : 0 < j ij < g b) D f : 0 < j ij > g bölgelerindeki Laurent seri gösterimlerini bulunu.. f() fonksiyonunun noktas civar ndaki üç ayr seri aç l m n elde edini.. f() fonksiyonunun orijin civar ndaki üç ayr ( + + i) ( i) seri aç l m n elde edini. 8

Benzer belgeler

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi