(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1

Transkript

1 0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m na sahiptir. Bu aç l mda ifadesinin katsay s olan b z z 0 say s na f fonksiyonunun z 0 noktas ndaki rezidüsü denir ve Res(f; z 0 ) = b ile gösterilir. C pozitif yönlü basit kapal çevresi 0 < jz z 0 j < " bölgesinin içinde kalan ve z 0 noktas n içeren çevre olsun. Bu durumda n= f (z) dz = ib C sa¼glan r. Uyar. Bizi C kapal çevresinin içinde kalan singüler noktalar n rezidüsü ilgilendirir. Teorem0.. (Rezidü Teoremi) C pozitif yönlü basit kapal bir çevre olmak üzere w = f(z) fonksiyonu C içinde bulunan sonlu z ; ; z 3 ; ; z n noktalar d ş nda C çevresinin içinde ve üzerinde analitik ise nx f (z) dz = i Resf(z) C sa¼glan r. Uyar. Rezidü hesaplan rken aşa¼g daki üç yolu izlemek yarar sa¼glar: a)laurent seri aç l m yap larak rezidü hesab en genel yoldur ve tüm singüler nokta çeşitlerinde kullan labilir. Dolay s yla fonksiyonun verilen noktada Laurent aç l m biliniyor veya rahatl kla yaz labiliyorsa bu yolla rezidü bulunabilir. b) Verilen singülerli¼gin kald r labilir olup olmad ¼g na bak l r, sözkonusu singülerlik kald r labilir singülerlik ise, fonksiyonun bu noktadaki rezidüzsü s f rd r. E¼ger verilen noktada kald r labilir singülerlik sözkonusu de¼gilse, kaç nc mertebeden kutup noktas oldu¼gu aran r, kutubun mertebesi önce sezgisel olarak belirtilir ve bunun do¼gru olup olmad ¼g bir önceki bölümde verilen yöntemlerle bulunur. E¼ger z 0 m. mertebeden kutup noktas ise Res(f; z 0 ) aşa¼g daki limit yard m yla hesaplan r. Res(f; z 0 ) = lim zz 0 (m ) j= d m dz m [(z z 0) m f (z)] c) Esas singülerlik durumunda, rezidü hesab için kutup noktas ndakine benzer yöntemler yoktur. Çok kez fonksiyonu Laurent serisine açarak rezidü bulmak gerekir. 4

2 fonksiyonunun z = 3 noktas ndaki singüler- Soru. f (z) = (z + ) (z 3) li¼ginin çeşitini belirleyip I = dz integralini hesaplay n z. (z + ) (z 3) jz 3j= Çözüm. C : jz 3j = çevresi basit kapal bir çevre olup z = 3 noktas d ş nda C çevresinin içinde ve üzerinde analitiktir. Rezidü teoreminden I = ires(f; 3) sa¼glan r. Res(f; 3) de¼gerini f fonksiyonunu z = 3 civar nda Laurent serisine açarak veya kutup noktas oldu¼gunu gösterip yukar daki limit yard m yla da hesaplayabiliriz. Verilen Fonksiyonun 0 < jz 3j < 5 bölgesindeki Laurent seri aç l m :f(z) = = = (z 3) (z + ) = (z 3) z = X n= n ( ) n z 3 ; ::::::::0 < jz 3j < z ; ::::::::0 < jz 3j < 5 olup, bukunan aç l m n esas k sm oldu¼gundan z = 3 birinci mertebe- den kutup noktas d r ve b = 5 bulunur. Dolay s yla I = ires(f; 3) = i 5 olarak elde edilir. Rezidü kullanmadan integral Cauchy integral formülü ile de hesaplanabilir. z 3 Soru. f (z) = (z ) (z 4 fonksiyonunun z = 0 noktas ndaki rezidüsünü + ) hesaplay n z. Çözüm. z = 0 f fonksiyonunun singüler noktas de¼gildir. Dolay s yla Res(f; 0) = 0 yaz l r. Soru3. sin jzj= z + z dz = 4i cos oldu¼gunu gösteriniz. Çözüm. f fonksiyonu z = noktas d ş nda jzj = çemberi içinde ve üzerinde analitiktir. f (z) = sin cos + sin cos olup f fonksiy- z z 43

3 onunun z = civar ndaki Laurent seri aç l m X ( ) n n X ( ) n n+ f (z) = sin n +cos n+ ; :::::::0 < jz j < (n) (z ) (n + ) (z ) bulunur. Buradan b = cos elde edilir. Dolay s yla Rezidü teoremi gere¼gince elde edilir. Soru4. jz j=3 jzj= sin z + dz = ib = 4i cos z (z ) 3 dz = i Res(f; ) oldu¼gunu gösterip de¼gerini (z 6) bulunuz. Çözüm. (z) = olmak üzere f (z) = (z) (z 6) 3 denilirse f fonksiyonu z = noktas d ş nda C : jz j = 3 çevresi içinde ve üzerinde analitiktir. (z ) C çevresi basit kapal bir çevre olup, z = singüler noktas n n görünen mertebesi 3 tür. () = + sin 6= 0 oldu¼gundan görünen mertebe gerçek 5 mertebeye eşittir. Dolay s yla z = noktas f fonksiyonunun 3. mertebeden kutup noktas d r. Dolay s yla Res(f; ) = lim z = lim z d h d d d d = lim dz z = lim d zdz i (z z 0 ) 3 f (z) z 6 = lim z = 5 sin cos 5 elde edilir. Rezidü teoremi gere¼gince olup jz j=3 (z ) 3 (z 6) ( + cos z) (z 6) () (z 6) + cos z z 6 (z 6) (z 6) sin z cos z ( + cos z) (z 6) (z 6) () (z 6) (z 6) 4 5 ( + cos ) + 0 ( + sin ) 65 jz j=3 dz = i35 sin cos 65 (z ) 3 dz = i Res(f; ) (z 6) elde edilir. 44

4 Soru5. () 4 dz integralini hesaplay n z. (z ) Çözüm. C : jzj = 3 çevresi basit kapal çevre olup f (z) = () (z ) 4 fonksiyonunun singüler noktalar olan z = ve z = noktalar çevrenin içine düşmektedir. Bu noktalar d ş nda f fonksiyonu C çevresinin içinde ve üzerinde analitiktir. Rezidü teoreminden () 4 dz = i [Res(f; ) + Res(f; )] (z ) (z) yaz l r. (z) = 4 olmak üzere f (z) = yaz l r, () 6= 0 oldu¼gundan z = singüler noktas için görünen mertebe gerçek mertebesi olup, z = (z ) () singüler noktas. mertebeden kutup noktas d r. Dolay s yla d h i Res(f; ) = lim () f(z) z dz z(z ) 4 = lim z (z ) 5 = bulunur. (z) = () olmak üzere f (z) = (z) 4 yaz l rsa () 6= 0 (z ) oldu¼gundan z = singüler noktas için görünen mertebe gerçek mertebesi olup, z = singüler noktas 4. mertebeden kutup noktas d r. Bu durumda d 3 h i Res(f; ) = lim z 3 dz 3 (z ) 4 f(z) = 6 lim 4z 48 z () 5 = bulunur. Buradan elde edilir. Soru6. f(z) = z e z () 4 dz = i [Res(f; ) + Res(f; )] (z ) = + = 0 fonksiyonunun singüler noktalar n n cinsini belirleyip bu noktalardaki rezidülerini bulunuz. Çözüm. z = x + iy olmak üzere e z = 0 olacak şekildeki z noktalar f fonksiyonunun singüler noktalar d r. e z = 0 denklemi çözülürse z = ni; n bulunur. n = 0 için z = 0 singüler noktas elde edilir. f fonksiyonun z = 0 civar ndaki Laurent serisi z f(z) = = a X 0 + a z + a + z n n 45

5 şeklinde ifade edilebilir. Buradan z = a 0 + a z + a + z + z + z3 3 + olaca¼g ndan a 0 ; a ; a katsay lar a 0 = ; a = ; a = olarak bulunur. Dolay s yla 0 < jzj < için f(z) = z + z + bulunur. Bu aç l m n esas k sm nda hiç terim bulunmad ¼g ndan z = 0 singüler noktas kald r labilir singüler noktad r ve Res(f; 0) = 0 yaz l r. singüler noktalar için z = ni; n nf0g lim (ni) ni zni e z = e z = ni olup bu limit mevcut ve s f rdan farkl oldu¼gundan n nf0g için ni noktalar basit kutup noktalar d r ve rezidü de¼gerleri limit de¼geri olan ni de¼geridir. Res(f; ni) = ni; n nf0g elde edilir. ez Soru7. f (z) = 3 fonksiyonu veriliyor. Res(f; ) de¼gerini hesaplay n z. (z ) Çözüm. z 0 = noktas f fonksiyonunun ayr k singüler noktas d r. lim (z e z z )3 (z ) 3 = e limiti mevcut ve s f rdan farkl oldu¼gundan z 0 = noktas f fonksiyonunun 3: mertebeden kutup noktas d r. d Res(f; ) = lim z d (z ) 3 e z (z ) 3 = e bulunur. Ikinci yol olarak z 6= olmak üzere f fonksiyonu e z (z ) 3 = e (z ) 3 + e (z ) + e (z ) e + e (z ) + 3 şeklinde Laurent seri aç l m na sahiptir. Bu aç l m n esas k sm e (z ) 3 + e (z ) + e (z ) olup buradan z 0 = noktas n n f fonksiyonunun 3: mertebeden kutup noktas oldu¼gu ve Res(f; ) = e oldu¼gu elde edilir. Uyar. p(z 0 ) 6= 0; q(z 0 ) = 0, q 0 (z 0 ) 6= 0 olmak üzere f(z) = p(z) q(z) biçiminde verilen fonksiyonlar için Res(f; z 0 ) = p(z 0) q 0 (z 0 ) 46 formülüyle hesaplanabilir.

6 Al şt rmalar. f (z) = z3 (z + ) ( ) 3 fonksiyonunun z = noktas ndaki rezidüsünü hesaplay n z.. f (z) = z z (z + ) (z + ) fonksiyonunun singüler noktalar n belirleyip ( + 4) bu noktalardaki rezidüleri hesaplay n z. 3. Aşa¼g daki fonksiyonlar n singülerliklerinin çeşitini belirleyip, bu noktalardaki rezidülerini bulunuz. a) f (z) = + z b) g(z)= e z cos z 4. Aşa¼g daki fonksiyonlar n singülerliklerinin çeşitini belirtiniz ve z = 0 noktas ndaki rezidülerini bulunuz. a) f (z) = z 3 ez b) g(z)= cos z z 5 c) h(z) = sin 5. ( dz integralini rezidü yard m yla hesaplay n z. + z + ) 6. () 4 dz integralini rezidü yard m yla hesaplay n z. (z ) cos z 7. n = ; ; 3; olmak üzere z n dz integralini rezidü yard m yla hesaplay n z. jzj= 47