Para Zaman. I. Ozkan. Sunday, November 02, 2014

Transkript

1 Para Zaman I. Ozkan Sunday, November 02, 2014!!!Bu sayfanın pdf halini buradan indirebilirsiniz!!! PARA ve ZAMAN Para zaman içinde değer kaybedebilir (kazanabilir). Paranın değeri zaman içerisinde değişecektir. Bu durumda paranın zamanlar-arası hareketi için bir maliyet/kazanç ortaya çıkar. Faizler basitçe paraya ihtiyaç duyanların (borç alanların) parayı sağlayanlara (borç verenlere) ödedikleri miktar/oran/hadlerdir. Genellikle de, belirli bir dönem için ödemeleri gereken yüzde değerler olarak ifade edilirler. Dönemler genelde bir tam yıl olarak ifade edilirler. Ancak özellikle yüksek faizlerin yaşandığı ülkelerde ve/veya tasarruf ve borçlar için dönemler değişebilirler. Nominal-Reel, Basit-Bileşik, Risksiz, efektif vs gibi birçok faiz terimi sıklıkla kullanılırlar. Ancak biz öncelikle iki faiz terimi üzerinde duracağız; Basit Faizler: Bir dönem içerisinde ana paranın ne ölçüde büyüyeceğini gösterir Bileşik Faizler: Bir dönem içerisinde birden çok faiz getirisi durumunda karşılaşacagımız faizin ne olacağını gösterir FAIZ Para, bugünün tüketimi ile gelecekte yapılacak tüketim arasında karar verilmesinde kullanılan kriterlerin en önemlilerinden birisi faizlerdir. Faiz birçok [risk] faktörüne bağlıdır. Bunlar arasinda paranın değer kaybı, geri ödenmemesi ve zaman içerisinde doğacak likidite ihtiyacı sayılabilir. Piyasalar karar vericilerin (kişi-firma-para otoriteleri vs gibi iktisadi tarafların) tercihlerine göre faizlerin oluşmalarını sağlarlar. kısa dönemli finansal enstrümanlarda kullanılan faiz tanımı genelde basit faizdir. Günlük hayatta kullanılan faizlerin de önemli kısmı basit faizlerden oluşmaktadır. BASİT FAİZ HESAPLARI Bir dönem için basit faiz, dönem başı anaparanın üzerine dönem sonu verilen ek ödeme için kullanılan terimdir. Ara ödemeler yoktur. Zamanlar için genelde kullanılan iki temel tanım ise gelecekteki değer, FV, (future value) ve bugünkü değerdir, PV, (present value). Bir dönem için ödenen faiz r olarak verildiğinde bu iki zaman değeri arasindaki iliski, F V = P V (1 + r) olarak yazılabilir. Dönem sayısı arttikça, Örneğin 2 dönem sonrasinda, F V = P V (1 + r)(1 + r) olacaktır. PV bugünkü değer, her (1+r) faktörü ise dönemlerdeki paranın büyümesini ifade etmektedir. Genelleştirirsek, Örneğin n dönem sonra, F V = P V (1 + r)(1 + r)...(1 + r) n kere (1+r) faktörünün çarpımı olacaktır, yani, F V = P V (1 + r) n olacaktır. 1

2 Örneğin bugünkü para (ana para) 100 TL ve basit faiz %10 ise gelecek 1 dönem sonrasi değeri 100( ) = 110TL olacaktır. Diger bir deyisle ise 1 dönem sonraki 110 TL nin bugünkü değeri ise 100 TL olacaktır. Yani gelecekteki paranın bugünkü değeri hesaplanırken P V = F V iliskisi ve n dönem sonraki paranın bugünkü değeri içinse P V = F V (1 + r) n iliskisi kullanılabilir. Özetlersek, FV, PV, r ve n için ilişkiler: F V = P V (1 + r) n P V = (1 F + V r) F V n P V (1 + r) = (1 + r)n ve ( F P V V ) n = (1 + r) yani faiz r = ( F P V V ) n 1 F P V V = (1 + r)n ve ln( F P V V ) = nln(1 + r) yani dönem sayısı n = ln(f V P V ) olarak bulunabilir. Bir yaklaşık değer içinse, küçük faiz değerleri için ln(1 + r) r ln(1 + r) kullanılabilir (Taylor seri açılımı yolu ile ispatlamaya çalışın) ve bu durumda n = olacaktır. ln(f V ) ln(p V ) r Faiz için genelde kullanılan temel dönem 1 yıldır. Ancak 1 yıl 365, dört yılda bir de 366 gündür. Bu yüzden farklı ülkelerde gün sayısı (day and year convention) değişebilir. Bazı ülkelerde bulunulan yılın gün sayısı kullanılırken bazı ülkelerde 365 olarak sabitlenir. Dersimizde aksi belirtilmedigi sürece gün sayısı 365 olarak alınacaktır. Gün sayısı aylık dönemlerde de önemlidir. Örneğin aylık %1 ile verilen ipotek karşılığı bir borcun 28, 29, 30 ve 31 gün gibi degişik sürelere geldigi düsünülebilir. Gün sayısı sabitlenebileceği gibi her ay için tek bir dönem olarak da bakılabilir. Faiz hesaplari yaparken genelde zaman çizgisi kullanmayı sunum açısından faydalı buluruz. Bir zaman çizgisinde bugünkü A 0 miktarındaki paranın değeri şu şekilde görülebilir. Faizlerin çok düsük oldugu durumlarda bazı yaklaşık değerler hizlica bulunabilir. Örneğin ikinci dönem sonu değer F V = P V (1 + r)(1 + r) iliskisinden, F V = P V (1 + 2r + r 2 ) yazılabilir. Çok küçük faiz, r, değerleri için r 2 parantez içindeki diger değerlere göre çok düsük olacagindan gözardi edilebilir. Bu durumda, F V P V (1 + 2r) ya da genellestirirsek n dönem için F V P V (1 + nr) olarak yazılabilir. Bir örnek verilmesi gerekirse, dönem faizi %1 olsaydi, 2 dönem için ( ) 2 = ve yaklaşık değeri ise, ( ) yani 1.02 olacaktır. Bu durumda gerçek değer ile yaklaşık değerin arasindaki fark gerçek değere göre, %-0.01 olacaktır. Eğer 10 yıllık bir dönemi alsaydık ( ) = 1.1 ve gerçek değer ise ( ) 10 = ve aradaki fark ise %-0.42 olarak bulunabilir. yaklaşık değerin hata payı 10 yıl için bile yüzde yarımdan daha küçük olmaktadır. Örneğin 10,000TL parayı: a) 28 gün b) 90 gün c) 180 gün ve d) 365 gün %10 ile bankaya yatirirsak dönemler sonu elde edilecek para ne kadardir? a) 10000( ) ve bu da olacaktır. b) 10000( ) ve bu da olacaktır. c) 10000( ) ve bu da olacaktır. d) 10000( ) ve bu da olacaktır. - 2

3 Manhattan Adasi 1626 yılında Peter Minuit tarafindan yaklaşık olarak 24$ karşılığına gelen mallar ile satın alindi. O zamanki 24 $ yaklaşık olarak 16 ons gümüs satın alabiliyordu. Manhattan ucuza mı alındı? Manhattan adasinin birim arsa değeri yine yaklaşık olarak 1626 dan günümüze %17 milyar artti. Ancak altın ve gümüşün değerleri için bunu söyleyemeyiz. Gümüş günümüzde onsu 18 dolar civarinda. 18 ons gümüs 16*18=288$ ediyor. ABD nin çok uzun dönemli ortalama faizi %5 olarak düşünülürse, 1626 yılının 24$ ı yukarıdaki hesaplamayı kullanarak 24( ) 388 = ya da yaklaşık 4 milyar $ olmaktadır. Amerikan Merkez Bankası (Federal Reserve) kısa dönem faiz hadlerini FRED adresinden sunmaktadır. ABD nin kısa vadeli faiz serilerinin grafiği aşağıda verilmektedir. [1] "TB3MS" TB3MS TB3MS ABD 3 Ay Faiz Hadleri Faiz (%) Tarih 3

4 Bu faizlerin ortalaması ise %3.609 olarak hesaplanmaktadır. Uzun dönemli faizlerinin durumu ise biraz fakli olacaktır. kısa dönemde Merkez Bankalarinin faizi belirleme gücünün yüksekligi, krizinden sonraki uygulamaya koydugu niceliksel genişlemenin kısa vadeli faizlere etkisi ile görülebilir. ABD 3 Ay Faiz Hadleri Faiz (%) Tarih 2007 sonrasi faizleri gözardı ettiğimizde ortalama faiz %4.021 olmaktadır. Ortalama faiz bu tarih aralığının çıkarılması durumunda %0.413 olmaktadır. Benzer şekilde Amerikan Merkez Bankası (Federal Reserve) uzun dönem getirilerini FRED adresinden sunmaktadır. Uzun vadeli bu faizler için 10 yıl veya daha uzun olan hazine bonolarının getiri ortalamaları kullanılmaktadır. Bu seri 2000 yılına kadar devam etmektedir ancak bize uzun dönemli getiriler hakkında bilgi vermektedir. ABD nin uzun vadeli getiri serilerinin grafiği aşağıda verilmektedir. ## [1] "LTGOVTBD" ## LTGOVTBD ## ## ## ## ## ## ## LTGOVTBD ## ## ## ## ## ##

5 ABD Uzun Vadeli Bonolarin Ortalama Faizleri Faiz (%) Tarih Bu faizlerin ortalaması ise %5.198 olarak hesaplanabilir. BİLEŞİK FAİZ (Compound Interest) Zaman zaman borç ve yatırımların vadeleri 1 yıl olmaz ve/veya vade süresince ara ödemeler olabilir. Örneğin 3 aylık ödemeli olan vadeli hesaplarda 1 yıl içerisinde 4 ödeme dönemi vardir. Ancak faizler genelde yıllık faiz olarak verilir. %12 yıllık, üç ay vadeli tasarrufun getirisi, 3 aya düsen dönem için hesaplanmalıdır. Burada yukarıda verilen hesaplara benzer şekilde, r = 0.12 ve vade 1/4 yıldır. F V = P V ( ) olacaktır. Ya da F V = 1.03P V olarak hesaplanacaktır. Bu örnegi 3 ayda bir fazi ödemeli yıllık vadeye çekersek (ya da 1 yıl boyunca aynı faizle 3 aylık vadeli hesaplarda tuttuğumuzu varsayarsak) F V = P V ( )4 olacaktır. Genelleştirilirse bir yıl içerisinde m defa faiz ödemesi oldugu varsayılırsa, yıl sonu elde edilecek paranın değeri F V = P V (1 + r m )m olacaktır. Eğer toplam süreyi n yıl olarak düşünürsek, F V = P V (1 + r m )nm olarak bulunabilir. Örnek: bir tasarruf sahibi 10,000TL sini yıllık %12 faizle ama 3 ay vadeli hesapta 5 yıl tutacak olsun. Eğer zaman içinde faiz aynı ise 5 yıl sonunda parası, F V = P V (1 + r m )nm iliskisinde, r=0.12, m=4, n=5 yerine konulursa, F V = 10000( )5x4 = bin TL olacaktır. Eğer yatırımcı aynı parayı %12 ile 5 yıl ancak her yıl sonunda faiz ödemeli olarak vadeli hesapta tutsaydi gelecek değeri, F V = P V (1+r) n ve F V = 10000(1+0.12) 5 = bin TL olacaktı. 3 ayda bir faiz ödemenin farkı ise TL olarak bulunabilir. Bu fark faizlerin ara ödemelere sahip olmasından kaynaklanmakta ve yatırımcı efektif olarak daha yüksek gelir elde etmektedir. Bunun nedeni ara ödemelerden gelen faiz ödemelerinin de gelecek dönemlerde faiz ödemesine sahip olmasıdır. Aşağıdaki tablolarda bugünkü paranın gelecek değerleri, ve gelecekteki paranın bu günkü değerleri verilmektedir. 5

6 Ana Para, Vade, faiz, frekans Gelecek değeri PV=1000, n=5, r=0.12, m= PV=1000, n=5, r=0.12, m= PV=1000, n=5, r=0.12, m= PV=1000, n=5, r=0.12, m= PV=1000, n=5, r=0.12, m= PV=1000, n=5, r=0.12, m=365x Yukaridaki tablodan görüleceği gibi gelecekteki değer ödeme frekansının yükselmesi ile bir değere yakınsamaktadır. Gelecek değer, Vade, faiz, frekans Bugünkü değeri FV=1000, n=5, r=0.12, m= FV=1000, n=5, r=0.12, m= FV=1000, n=5, r=0.12, m= FV=1000, n=5, r=0.12, m= FV=1000, n=5, r=0.12, m= FV=1000, n=5, r=0.12, m=365x TL sinin gelecek değerleri, yıl sonu 1000TL sinin basit faizlere göre bugünkü değerlerinin grafiğ ve 1000TL sinin gelecekteki değerlerinin fark grafiği aşağıda verilmektedir TL'nin Gelecek Degeri; Faiz: % Deger Vade 6

7 1000 Yil Sonu 1000 TL'nin Bugunku Degeri Basit Faiz 750 Deger Basit Faiz 60 Bilesik Faiz Basit Faiz Getirileri,Farklari: 5 Yil Vade, Faiz=%12 Getiri Farklari Odeme Frekansi (Yil icinde) Ödeme frekansını sonsuza yaklaştırırsak, ya da her an faiz ödemesi yapılıyor diye düşünürsek sürekli bileşik faiz tanımına ulaşırız. Yani: F V = lim m P V (1 + r m )nm P V e rn (ispat için tiklayiniz) ya da gelecek değeri ve bugünkü değeri sirasi ile 7

8 F V = P V e rn P V = F V e rn olarak elde edilebilir. Bu durumda yukarıdaki tablolarda verilen 1000 TL sinin %12 sürekli bileşik faizle 5 yıl sonraki değeri, 1000e 0.12n = TL ve 5 yıl sonraki 1000 TL sinin aynı faizle bugünkü değeri 1000e 0.12n = TL olarak hesaplanabilir.!!!dersimizde aksi belirtilmedikçe referans faiz sürekli bileşik faiz olacaktır!!! Basit faiz ve sürekli bileşik faiz karşılastırması aşağıdaki grafikte verilmektedir TL'nin Gelecek Degeri; Faiz: % Deger 4000 Faiz BasitFaiz SurekliBilesik Vade Faizler - Enflasyon - Reel Faiz Faiz enflasyon ilişkisi iktisat derslerinizde tartışılmaktadır. Zaman zaman enflasyondan arındırılmış (inflation adjusted) faizler ile de konusulması gerekir. Enflasyon paranın alım gücünü azaltacagı için faiz belirlenmesinde temel bir rolü vardır. Ancak değişik piyasalarda faizlerin belirlenmesi, risksiz faiz haddine, yatırımcıların risk tercihlerine, enflasyon beklentilerine, işlem maliyetlerine vs bağlıdır. Risksiz faiz genel olarak lokal para cinsinden hazine bonoları (ülke riski ile sınırlanmış risk) üzerinden hesaplanır. Farklı faiz tanımları da vardır. Reel Faiz (enflasyondan arındırılmış), Temerrüt faizi (gecikmiş ödemelere uygulanan faiz), yasal faiz (hukuksal ilişkide belirlenemeyen faiz hadlerinde yasal olarak uygulanan faiz), akdi faiz (tarafların anlaştığı faiz) vs gibi. Enflasyondan arındırma için öncelikle bir dönemdeki faizin enflasyon ile iskonto edilmesi gerekir. Yani: r reel = 1 + r 1 + enf 1 Örneğin enflasyon %7 ve faiz, r %9 ise reel faiz r reel = = olacaktır. Faiz ve enflasyonun çok düsük oldugu durumlar için reel getiri ya da reel faiz için faiz enflasyon farkı da yaklaşık olarak doğrudur. (ispatı için Taylor seri açılımı ve düşük enflasyon varsayımı ile yaklaşık olarak bulunulabilir) 8

9 SÜRESİZ NAKİT AKIŞI (Perpetüite) Zaman zaman sonsuza uzayan nakit akımları da karşımıza çıkar. Bu gibi durumlarda bugünkü değer hesaplarının yapılması nasıl olur? Örneğin belirli sabit bir faiz ile (tüm vadelerde faizin sabit olduğu varsayımı altında) bir varlığın sonsuza kadar sabit getirisi olduğunu varsaysak ve varlığın değeri değişmese, bu varlığın fiyatını nasıl hesaplarız? Ya da sonsuza kadar sabit bir miktar para ödemesinin değişmeyen faiz ile bugünkü değeri nedir? Yukarıda gösterilen sonsuz nakit akışının net bugünkü değeri için: Faiz Basit ise: NP V = c i=1 (1 + r) i m kere bileşik ise: Sürekli bileşik ise: NP V = i=1 cei Not: i yıl, m=yıl içi faiz ödeme sayısı, r yıllık faiz. Nakit akışı sonsuza kadar devam ettigi için, 1. ödemeden sonraki ödemeler de perpetüite olarak görülebilir. Bu durumda bugün başlayan bir perpetüite, 1 dönem sonraki ödeme artı bir dönem sonra başlayan perpetüite olarak görülebilir. Yani perpetüitenin bugukü değeri, bir dönem sonraki ödeme ve kendi değerinin bugüne iskontolanmiş halidir. Başka bir deyişle: NP V = NP V (1 i=1 Diğer durumlar için ise siz bulabilirsiniz.. c (1 + r) i = c (1 + r) + NP V NP V NP V (1 + r) (1 + r) = c (1 + r) 1 (1 + r) ) = c (1 + r) NP V (1 1 (1 + r) ) = c NP V (r) = c (1 + r) NP V = c r BELIRLI BIR SÜRE IÇIN NAKIT AKISI ANNÜITE Zaman zaman nakit akışları bir süreliğinedir. Örneğin önümüzdeki 1 yıl için her ay 1000TL gelirin r=%8 ile bugünkü değeri nedir sorusuna vereceğimiz cevap: NP V = i=1 ( olacaktır. 12 gelirin bugünkü değerlerinin toplamı hesap makinesi ile 12 )i nispeten kolayca yapılabilir. Ancak bazen önümüzdeki 1 yıl yerine önümüzdeki 10 yıl için aynı hesabı yapmak gerekebilir. Bu durumda yukarıdaki denklem, NP V = 120 i= ( )i olacaktır. Bu durumda 120 gelirin bugünkü değerinin hesaplanması ve toplanması gerekir ki hesap makinesi ile biraz zorlu anlar yaşanabilir. Hesaplamanın kolay yolu, annüiteyi iki perpetüitenin farkı olarak görmektir. 9

10 İlk perpetüite bugünden başlamakta, ikincisi ise 120. aydan başlamaktadır. Perpetüitelerin bugünkü değerlerinin farkı 10 yıllık annüitenin değerini verecektir. Bu durumda: Annuite = P erpetuite1 P erpetuite2 Annuite = NP V ann = NP V perp1 NP V perp2 NP V perp1 = r c ve m = 12 NP V perp1 = 1000 m ( 0.08 k. ayda 12 ) başlayan perpetüitenin bugünkü değeri: NP V perp2 = 1 (1 + r ] NP V ann = )k 12 [1 c r 12 (1 + r Bu durumda, farklari: NP V ann = r c [1 12 )k 12 1 ( )120 ] NP V ann= olarak bulunabilir. ÖRNEKLER 1- Ali TL, aylık %1 ile 20 yıllık ipoteğe dayalı kredi (mortgage) almayı düşünmektedir. Ali önümüzdeki 20 yıl boyunca ne kadar sabit aylık ödeme yapacaktır? 2- İki araba satıcısı değişik ödeme planları ile satış yapmaktadır. Birincisi, peşin ve 60 ay 500 TL önermekte, digeri ise 6000 peşin, 48 ay 600 TL ve 4 yıl boyunca her yıl sonu 1250 TL ek ödeme seçenegini sunmaktadır. Her iki önerinin de bugünkü değerinin aynı olması için gereken yıllık faizi hesaplayınız? İlk örnekte basit bir ipoteğe dayalı kredi ödemelerinin miktarı sorulmaktadır. Bu basitçe bir annüite olarak görülebilir. Yani Ali nin ödemeleri için aşağıdaki grafik çizilebilir: 10

11 Ali nin ödemelerini bulmak için: NP V ann = r c [1 1 k ] denklemini kullanabiliriz. Kredi faizleri aylık verildiği için 12 ye bölmeye gerek (1 + r) yoktur. Bu durumda r=0.01, k=240 (20 yıl) yerine konulursa; 100, 000 = 0.01 c [1 1 ( ) 240 ] eşitliğinin çözümü Ali nin ödemelerini (c) verecektir. c = , [1 ( ) 240 ] Burdan da, $c=$ TL olarak hesaplanabilir. Ödeme planlari Örneğinde ise iki tane nakit akışının karşılaştırılması gerekmektedir. Birinci planda ödemeler aşağıdaki gibi gösterilebilir. 10,000 TL peşin ödemenin üstüne yapılan ödemeler annüite olarak görülebilir. İkinci satıcının önerdiği ödemeler ise 5,000 TL artı aylık ve yıllık ödemelerdir. 11

12 Bu durumda 1. satıcının ödeme planına O 1 ve ikincisine de O 2 dersek, O 1 = r [1 1 (1 + r ] )60 O 2 = r [1 1 (1 + r ] )48 i=1 i Her iki planın bugünkü değerini eşit kılan yıllık faiz (ayda (1 + r) bir ödemeli) için çözüm O 1 O 2 = 0 eşitliğidir. Bunu sağlayan faizi, Newton metodu olarak da bilinen Newton-Rapson yöntemini kullanarak bulabiliriz. Newton metodu hakkında Wikipedia nın Newton-Rapson sayfasına bakılabilir. Newton metodu için bir örnek aşağıdaki grafikte verilmiştir. 12

13 Burada, başlangıç noktası olarak x 0 = 2 alınmıştır. Bu noktadan fonksiyona teğet geçen dogru yardımı ile bir sonraki nokta (x 1 ) bulunmuş ve bu adımlar kökün çok yakın bir değerinin bulunmasına kadar devam etmiştir. Bu örnekte 10 adım atılmıştır ve yaklaşık kök değeri olarak bulunmuştur. Fonksiyonun bu noktadaki değeri olarak hesaplanmaktadır. Ödeme planlarında da benzer şekilde, ilk ödeme planının net bugünkü değerinden ikincisinin net bugünkü değeri ve Newton yöntemi ile sonucu sıfır yapan yaklaşık faiz değeri bulunabilir. 13

14 Newton yöntemi genelde hızla doğru değere doğru yaklaşır. Bu açıdan analitik olarak da kullanılması mümkündür. Eğer gerçek değere yakın bir başlangıç değerini biliyorsak, Taylor açılımı ile 2. dereceden polinom elde edilip kökleri arasından seçim yapılabilir. R programinda uniroot() fonksiyonu ile faizi bulduğumuzda: ## $root ## [1] ## ## $f.root ## [1] ## ## $iter ## [1] 6 ## ## $init.it ## [1] NA ## ## $estim.prec ## [1] Ödeme planlarının bugünkü değerlerinin faize göre grafiği aşağıdaki şekilde verilmiştir. 14

15 Kampanya Degerleri (Kirmizi=Kampanya 2) Bugunku Deger Odeme= Faiz=% Faiz Ödemelerin arasındaki farkı gösteren odeme1 odeme2 fonksiyonunun faize göre grafiği de aşağıda verilmiştir. Kampanya1 Kampanya2 ve Faiz Bugunku Deger Faiz=% Faiz Bu sayfanın pdf halini buradan indirebilirsiniz 15

16 16