T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ HESSENBERG VE TRĠDĠAGONAL MATRĠSLERĠN PERMANENTLERĠ ĠLE BAZI ÖZEL SAYI DĠZĠLERĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠLER Ġbrahim AKTAġ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematik Anabilim Dalı Ağustos-2013 KONYA Her Hakkı Saklıdır

2 TEZ KABUL VE ONAYI İbrahim AKTAŞ tarafından hazırlanan Hessenberg ve Tridiagonal Matrislerin Permanentleri ile Bazı Özel Sayı Dizileri Arasındaki İlişkiler adlı tez çalışması 20/08/13 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS tezi olarak kabul edilmiştir. Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof. Dr. Aşır GENÇ FBE Müdürü

3 TEZ BĠLDĠRĠMĠ Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

4 ÖZET YÜKSEK LĠSANS TEZĠ HESSENBERG VE TRĠDĠAGONAL MATRĠSLERĠN PERMANENTLERĠ ĠLE BAZI ÖZEL SAYI DĠZĠLERĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠLER Ġbrahim AKTAġ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı DanıĢman: Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE 2013, 51 Sayfa Jüri Prof. Dr. AĢır GENÇ Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE Yrd. Doç. Dr. Necati TAġKARA Sayılar teorisi ve matris teorisi, matematik bilim dalının zengin alt bilim dallarındandır. Matrislerle ilgili pek çok kavram günümüzde birçok mühendislik, fizik, istatistik, ekonomi problemlerinin çözümünde karşımıza çıkmaktadır. Özel sayı dizilerinin bazı ilginç özellikleri müzik, doğa, geometrik şekiller, hatta bazı canlıların vücut yapısındaki ilginç oranlamalarda karşımıza çıkabilmektedir. Bu çalışmada ilk olarak özel sayı dizilerinden bazılarının temel tanım ve özellikleri verilmiştir. Daha sonra matris teorisinde ve diğer bilim dallarında sıkça kullanılan matrislerle ilgili bazı kavramlar açıklanmıştır. Çalışmanın asıl kısmında değişik yöntem ve matrislerle elde edilen bazı özel sayı dizileri, yeni tanımlanan Hessenberg ve Tridiagonal tipteki matrislerle yeniden elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Contraction Metodu, Determinant, Hadamard Çarpım, Hessenberg Matris, Permanent, Tridiagonal Matris. iv

5 ABSTRACT MS THESIS RELATIONSHIPS BETWEEN SOME SPECIAL NUMBER SEQUENCES WITH THE PERMANENTS OF HESSENBERG AND TRIDIAGONAL MATRICES Ġbrahim AKTAġ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS Advisor: Asst. Prof. Dr. Hasan KÖSE 2013, 51 Pages Jury Prof. Dr. AĢır GENÇ Asst. Prof. Dr. Hasan KÖSE Asst. Prof. Dr. Necati TAġKARA Number theory and matrix theory are the very contentful branches of mathematics. The using of very much concepts related with matrices nowadays are discussed about solving of many physics, economy, statistic, engineering problems. We can encounter some interesting properties of special number sequences about music, nature, geometric figures, moreover interesting ratings in anatomy of some livings. In this study, initially, basic definition and properties of some special number sequences is given. Then some concepts related with matrices which are commonly used at matrix theory and other science branches are explained. In essential part of the study, some special number sequences which are given with varied methods and matrices again are obtained from newly defined Hessenberg and Tridiagonal matrices. Keywords: Contraction Method, Determinant, Hadamard Product, Hessenberg Matrix, Permanent, Tridiagonal Matrix v

6 ÖNSÖZ Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik bölümü öğretim üyesi Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE danışmanlığında yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur. Çalışmamız beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, Giriş ve Kaynak Araştırması bölümü olup bu bölümde çalışma konusu ile ilgili literatürden bahsedilmiştir. İkinci bölümde, bazı özel sayı dizilerinin tanımı ve temel özellikleri açıklanmıştır. Üçüncü bölümde, matris teoride sıklıkla kullanılan bazı kavramların tanımı ve temel özellikleri verilmiştir. Ayrıca matrislerin permanentlerinin hesabına ilişkin bir yöntem açıklanmıştır. Dördüncü bölüm, çalışmanın asıl kısmı olup daha önceden farklı matrisler veya yöntemler kullanılarak elde edilen bazı özel sayı dizileri Hessenberg ve Tridiagonal tipte tanımlanan yeni matrisler yoluyla yeniden elde edilmiştir. Beşinci bölüm sonuç ve önerilere ayrılmıştır. Çalışmalarım boyunca katkılarını esirgemeyen değerli hocalarım Matematik bölümü öğretim üyesi Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE ve Arş. Gör. Fatih YILMAZ a teşekkürlerimi sunarım. Ġbrahim AKTAġ KONYA-2013 vi

7 ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET... iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ... vi ĠÇĠNDEKĠLER... vii SĠMGELER VE KISALTMALAR... ix 1. GĠRĠġ VE KAYNAK ARAġTIRMASI ÖZEL SAYI DĠZĠLERĠ VE BAZI ÖZELLĠKLERĠ Fibonacci Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri Lucas Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri Pell Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri Pell-Lucas Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri Perrin Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri Padovan Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri Tribonacci Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri Jacobsthal Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri Jacobsthal-Lucas Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri PERMANENT ve DETERMĠNANT FONKSĠYONLARI Matrislerle İlgili Bazı Kavramlar Permütasyon Matrisi Hessenberg Matrisler Tridiagonal Matrisler İki Matrisin Hadamard Çarpımı Permütasyonlar İnversiyon Permütasyonun İşareti Tek ve Çift Permütasyon vii

8 3.3.Permanent ve Determinant Fonksiyonları Permanent Determinant Contraction Metodu HESSENBERG VE TRĠDĠAGONAL TĠPTEKĠ MATRĠSLERLE BAZI ÖZEL SAYI DĠZĠLERĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠLER SONUÇLAR VE ÖNERĠLER Sonuçlar Öneriler KAYNAKLAR ÖZGEÇMĠġ viii

9 SĠMGELER VE KISALTMALAR Simgeler -inci Fibonacci sayısı -inci Lucas sayısı -inci Pell sayısı -inci Pell-Lucas sayısı -inci Perrin sayısı -inci Padovan sayısı -inci Tribonacci sayısı -inci Jacobsthal sayısı -inci Jacobsthal-Lucas sayısı Kısaltmalar matrisinin determinantı matrisinin permanenti matrislerinin Hadamard çarpımı ix

10 1 1. GĠRĠġ VE KAYNAK ARAġTIRMASI Bilim dünyasındaki gelişmeler diğer bilim dallarında sıklıkla kullanılan özel tipteki matrisler ve özel sayı dizileri arasındaki ilişkileri açıklama ihtiyacını ortaya çıkarmıştır. Özel tipteki matrisler matematik biliminin dışında fizik ve mühendisliğin hemen her dalında karşımıza çıkmaktadır. Diğer taraftan bazı özel sayı dizilerinin özellikleri müzik, sanat, doğa, hatta insan ve hayvan vücutlarındaki ilginç oranlamalarda karşımıza çıkmaktadır. Günümüze kadar matrisler ve özel sayı dizileri ile ilgili birçok araştırma yapılmış ve ilginç sonuçlar elde edilmiştir. Bu çalışmanın amacı Hessenberg ve Tridiagonal tipte matrisler tanımlayarak bu matrislerle Perrin, Padovan, Tribonacci, Pell-Lucas, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayı dizileri arasında yeni ilişkiler elde etmektir. Çalışma beş bölümden oluşmakta olup ilk bölüm, Giriş ve Kaynak Araştırması na ayrılmıştır. İkinci bölümde, özel sayı dizilerinin tanımları ve bazı özellikleri verilmiştir. Üçüncü bölümde, matrislerle ilgili bazı kavramların tanımı ve bazı temel özellikleri verilmiştir. Ayrıca matrislerin permanentlerinin hesabına ilişkin bir metot açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, bazı yeni Hessenberg ve Tridiagonal tipte matrisler tanımlanmış, bu matrislerin permanentleri ile yukarıda bahsedilen sayı dizileri elde edilmiştir. Son bölüm ise sonuç ve önerilere ayrılmıştır. Şimdi ilk olarak Hessenberg ve Tridiagonal tipteki matrisler ile bazı özel sayı dizileri arasındaki ilişkiler üzerine yapılmış olan çalışmalar hakkında kısa bilgiler verelim. D. H. Lehmer (1975), Fibonacci and related sequences in periodic tridiagonal matrices adlı çalışmasında reel yada komplex sayılar olmak üzere sırasıyla alt köşegen, esas köşegen ve üst köşegen elemanları * + * + * + olan Tridiagonal tipteki matrislerin permanentleri ile sırasıyla alt köşegen, esas köşegen ve üst köşegen elemanları * + * + * + olan Tridiagonal tipteki matrislerin determinantlarının eşit olduğunu göstermiştir. J. R. Silvester (1979), Fibonacci properties by matrix methods adlı çalışmasında 0 1 matrisini kullanarak Fibonacci sayıları için bağıntısının varlığını göstermiştir. J. Ercolano (1979), Matrix generators of Pell sequences adlı çalışmasında

11 2 0 1 matrisini kullanarak Pell sayıları için bağıntısının varlığını göstermiştir. G. Y. Lee (2000), k-lucas numbers and associated bipartite graphs adlı çalışmasında şeklinde tanımladığı Hessenberg tipteki matrisi ile Lucas sayıları arasındaki ilişkileri vermiştir. N. D. Cahill, J.R. D Ericco, D. A. Narayan, J. Y. Narayan (2002), Fibonacci determinants adlı çalışmasında alt Hessenberg tipteki boyutlu matrisinin determinantı için olmak üzere ( ) eşitliğini vermiştir. A. A. Öcal, N. Tuğlu, E. AltıniĢik (2005), On the representation of k-generalized Fibonacci and Lucas numbers adlı çalışmalarında k-genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin determinant temsillerini vermişlerdir. E. Kılıç ve D. TaĢçı (2007), On the permanents of some tridiagonal matrices with applications to the Fibonacci and Lucas numbers adlı çalışmalarında Tridiagonal

12 3 tipteki bazı matrislerle Fibonacci ve Negatif İndisli Lucas sayıları arasındaki ilişkileri verdi. Ayrıca; ve matrisleri için eşitliğini vermişlerdir. F. Köken ve D. Bozkurt (2008a), On the Jacobsthal numbers by matrix methods adlı çalışmalarında Jacobsthal-F ve Jacobsthal-M adını verdikleri iki matris yardımıyla Jacobsthal sayıların Binet benzeri bir formülü ile bazı eşitlikler elde etmişlerdir. E. Kılıç ve D. TaĢçı (2008), On families of bipartite graphs associated with sums of Fibonacci and Lucas numbers adlı çalışmalarında için olmak üzere boyutlu tridiagonal ve için olmak üzere matrislerini tanımlayarak

13 4 matrisi ile Fibonacci sayılarının toplamları arasındaki ilişkileri elde etmişlerdir. Ayrıca olmak üzere ve için ve diğer durumlar için olacak şekilde tanımlanan boyutlu matrisi ile Lucas sayılarının toplamları arasındaki ilişkileri vermişlerdir. Diğer taraftan, olmak üzere, iken ve diğer durumlar için olacak şekilde ile, için ve diğer durumlar için olacak şekilde matrislerini tanımladılar ve matrisi ile Lucas sayılarının toplamları arasındaki ilişkileri vermişlerdir. F. Köken ve D. Bozkurt (2008b), On the Jacobsthal-Lucas numbers by matrix method adlı çalışmalarında Jacobsthal-E ve Jacobsthal-R adını verdikleri matrisler

14 5 yardımıyla Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayıları için Binet benzeri formül ve yeni eşitlikler elde etmişlerdir. E. Kılıç ve D. TaĢçı (2009), On the second order linear recurrences by tridiagonal matrices adlı çalışmalarında Tridiagonal matrislerin determinant ve permanentleri için basamaktan lineer rekürans bağıntısı vermişlerdir. E. Kılıç ve D. TaĢçı (2010), Negatively subscripted Fibonacci and Lucas numbers and their complex factorizations adlı çalışmalarında Fibonacci ve Lucas sayı dizilerinin rekürans bağıntılarından hareketle elde edilen negatif indisli Fibonacci ve negatif indisli Lucas sayılarının Tridiagonal tipte -matrisleri ile ilişkilerini elde ettiler. Diğer taraftan -matrisi olan matrisi ile boyutlu bir matrisinin hadamard çarpımı olan matrisi için eşitliğini vermişlerdir. F. Yılmaz ve D. Bozkurt (2011), Hessenberg matrices and the Pell and Perrin numbers adlı çalışmalarında bir tek tamsayı olmak üzerte boyutlu üst Hessenberg tipteki matrisi ve boyutlu üst Hessenberg tipteki

15 6 matrisinin permanent ve determinantları ile Pell ve Perrin sayıları arasındaki ilişkileri vermişlerdir. F. Yılmaz ve D. Bozkurt (2012a), On the Pell sequences and Hessenberg matrices adlı çalışmalarında üst Hessenberg tipteki bir matrisle Pell sayılarının toplamları arasındaki bir ilişkiyi vermiştir. H.C. Li (2012), On Fibonacci-Hessenberg matrices and the Pell and Perrin numbers adlı çalışmasında Fibonacci-Hessenberg matrisler için yeni sonuçlar verdi. Ayrıca deki ve teki matrislerinin determinantları ile Pell ve Perrin sayıları arasındaki ilişkilere alternatif ispatlar vermiştir. F. Yılmaz ve D. Bozkurt (2012b), The Jacobsthal and Jacobsthal-Lucas sequences associated with pseude graphs adlı çalışmalarında Tridiagonal tipte bazı matrisler tanımlayarak bu matrislerle Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayıları arasındaki ilişkileri göstermişlerdir. F. Yılmaz ve D. Bozkurt (2013), On the Fibonacci and Lucas numbers, their sums and permanents of one type of Hessenberg matrices adlı çalışmada alt Hesssenberg tipte bazı matrisler tanımlayarak bu matrislerin Fibonacci ve Lucas sayıları ile onların toplamaları arasındaki ilişkileri vermişlerdir.

16 7 2.ÖZEL SAYI DĠZĠLERĠ VE BAZI ÖZELLĠKLERĠ 12. yüzyılın sonlarında İtalya nın Pisa kentinde doğduğu düşünülen Leonardo Fibonacci 1202 yılında yazdığı Liber Abaci adlı eserinde Fibonacci sayıları adıyla anılan sayıları tanıtmıştır. Leonardo Fibonacci kitabında da bahsettiği gibi söz konusu sayıları tavşanların üremesini konu alan ve günümüze kadar tavşan problemi olarak gelmiş olan bir problemden hareketle literatüre kazandırmıştır. Söz konusu problem ergin hale gelmiş bir tavşan çiftinin her ay bir çift yavru doğurduğunu ve yeni doğan her çiftin doğumundan iki ay sonra yeni bir çift tavşan doğurması ile yıl içinde tavşan ölümü olmaması kabulü altında bir yılın sonunda kaç tavşan çifti olacağı sorusuna yanıt aramıştır. Problemin çözümü için aylara göre tavşan çifti sayısını gösteren aşağıdaki tabloyu verebiliriz. Tablo 1 Birey/Aylar O Ş M N M H T A E E K A Yavrular Erginler Toplam Söz konusu sayılar sadece tavşanların üremesinde ki bu problemde değil günümüzde doğa içinde birçok yerde karşımıza çıkmaktadır. Bu nedenledir ki Fibonacci sayılarına olan ilgi gün geçtikçe artmakta ve bunun sonucu olarak bilim adamlarının bu sayılarla ilgili çalışmaları devam etmektedir. Tablo 1 den de anlaşılabileceği gibi herhangi bir Fibonacci sayısı kendinden önceki son iki sayının toplamı şeklinde ifade edilebilmektedir. Bu ilişki ışığında bilim adamları birçok çalışma yapmış ve neticede Fibonacci sayıları ile ilgili birçok önemli sonuçlar elde etmişlerdir. Aynı zaman da benzer kabuller altında yeni sayı dizileri tanımlamışlar ve bu sayı dizileri ve diğer bilim dalları arasında ilişkiler elde etmeye çalışmışlardır. Fibonacci sayıları ile ilgili elde edilen önemli bir sonuç şu şekildedir. Ardışık herhangi iki Fibonacci sayısının oranı sayısına yakınsamaktadır. Bu sayı günümüzde Altın Oran olarak anılmakta olup bilim ve sanat dünyasında güzel sonuçlar vermektedir. Hatta insan vücudu ile ilgili yapılmış bazı çalışmalarda

17 8 vücudumuzdaki bazı oranların bu sayıya yakınsadığı sonucu elde edilmiştir (Koshy, 2001). 2.1.Fibonacci Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ve için rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Fibonacci Sayı Dizisi denir. Bu sayı dizisinin her bir elemanına da bir Fibonacci Sayısı denir. Burada -inci Fibonacci sayısını göstermektedir. ve sayıları denkleminin kökleri olmak üzere Fibonacci sayıları, bağıntısından da elde edilebilir. Bu bağıntı Fibonacci sayı dizisi için Binet formülü olarak bilinir. (Koshy, 2001) Fibonacci dizisinin ilk birkaç terimi Tablo 2 de verilmiştir. Tablo Diğer taraftan; ve için rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Negatif İndisli Fibonacci Sayı Dizisi denir. Bu dizinin bazı terimleri Tablo 3 te gösterilmektedir (Kılıç ve Taşçı, 2010).

18 9 Tablo ; -inci Fibonacci sayısını göstermek üzere, Fibonacci sayı dizisine ait bazı özellikler aşağıda sıralanmıştır. ) ) ) ) ) olmak üzere, ) 0 1 ) ) olmak üzere

19 10 dir. 2.2.Lucas Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ve için rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Lucas Sayı Dizisi denir. Bu sayı dizisinin her bir elemanına da bir Lucas Sayısı denir. Burada -inci Lucas sayısını göstermektedir. ve sayıları denkleminin kökleri olmak üzere Lucas sayıları, bağıntısından da elde edilebilir (Koshy, 2001). Lucas sayı dizisinin ilk birkaç terimi Tablo 4 te gösterilmektedir. Tablo Diğer taraftan; ve için rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Negatif İndisli Lucas Sayı Dizisi denir (Kılıç ve Taşçı, 2010).

20 11 Bu sayı dizisinin bazı terimleri Tablo 5 te gösterilmektedir. Tablo inci Lucas sayısını göstermek üzere, Lucas sayı dizisine ait bazı özellikler aşağıda sıralanmıştır. ) ) ) ) ) olmak üzere, ) dir.

21 Pell Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ve için rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Pell Sayı Dizisi denir. Bu sayı dizisinin her bir elemanına da bir Pell Sayısı denir. Burada -inci Pell sayısını göstermektedir (Yılmaz ve Bozkurt, 2011). denkleminin kökleri sayıları olup Pell sayıları, ( ) ( ) bağıntısından da elde edilir (Anonymous, 2013b). Pell sayı dizisinin ilk birkaç terimi Tablo 6 da gösterilmektedir. Tablo inci Pell sayısını göstermek üzere, Pell sayı dizisine ait bazı özellikler aşağıda sıralanmıştır. ) 2) 0 1 matrisi ve olmak üzere

22 13 ) için ) için dir. 2.4.Pell-Lucas Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ve için rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Pell-Lucas Sayı Dizisi denir. n-inci Pell-Lucas sayısını göstermektedir (Anonymous, 2013b). denkleminin kökleri sayıları olup Pell-Lucas sayıları, ( ) ( ) bağıntısından da elde edilebilmektedir (Anonymous, 2013b). Dizinin ilk birkaç terimi Tablo 7 de gösterilmektedir. Tablo n-inci Pell-Lucas sayısını göstermek üzere, Pell-Lucas sayı dizisi için aşağıdaki özellikler sağlanmaktadır. )

23 14 ) 0 1 ) ( ) dir. 2.5.Perrin Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ve için rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Perrin Sayı Dizisi denir. Bu sayı dizisinin her bir elemanına da bir Perrin Sayısı denir. Burada n-inci Perrin sayısını göstermektedir (Yılmaz, Bozkurt, 2011). denkleminin kökleri olmak üzere Perrin sayılarını bağıntısı yardımıyla da elde edebiliriz (Anonymous, 2013c). Perrin sayı dizisinin ilk birkaç terimi Tablo 8 de gösterilmektedir. Tablo n-inci Perrin sayısı olmak üzere Perrin sayı dizisi aşağıdaki bağıntıyı sağlamaktadır. ) ve matrisleri olmak üzere için

24 15 dir. 2.6.Padovan Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ve için rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Padovan Sayı Dizisi denir. Burada n- inci Padovan sayısını göstermektedir. =0 denkleminin kökleri olmak üzere Padovan sayılarını eşitliğinden de elde edebiliriz (Anonymous, 2013d). Dizinin ilk birkaç terimi Tablo 9 da verilmiştir. Tablo n-inci Padovan sayısını göstermek üzere, Padovan sayı dizisine ait bazı özellikler aşağıda sıralanmıştır. ) )

25 16 ) ) dir. 2.7.Tribonacci Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ve için rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Tribonacci Sayı Dizisi denir. Dizinin her bir elemanına da bir Tribonacci sayısı denir. Burada n-inci Tribonacci sayısını göstermektedir (Anonymous, 2013e). denkleminin kökleri olmak üzere Tribonacci dizisi bağıntısından da elde edilebilir (Anonymous, 2013e). Dizinin ilk birkaç terimi Tablo 10 da gösterilmektedir. Tablo n-inci Tribonacci sayısı olmak üzere, Tribonacci sayıları aşağıdaki bağıntıları sağlamaktadır. ) matrisi ve olmak üzere

26 17 ) olmak üzere için (, 2008) dir. 2.8.Jacobsthal Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ve için rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Jacobsthal Sayı Dizisi denir. Jacobsthal sayısını göstermek üzere Jacobsthal sayı dizisini n-inci ( ) bağıntısından da elde edebiliriz (Köken ve Bozkurt, 2008a). Dizinin ilk birkaç terimi Tablo 11 de gösterilmektedir. Tablo n-inci Jacobsthal sayısını göstermek üzere, Jacobsthal sayı dizisinin bazı özellikleri aşağıda sıralanmıştır. ) 0 1 matrisi olmak üzere;

27 18 ) ) ; ) 0 1 matrisi için, ) dir. 2.9.Jacobsthal-Lucas Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ve için rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Jacobsthal-Lucas Sayı Dizisi denir. n- inci Jacobsthal-Lucas sayısını göstermek üzere Jacobsthal-Lucas sayı dizisini ( ) bağıntısından da elde edebiliriz (Köken ve Bozkurt, 2008b). Dizinin ilk birkaç terimi Tablo 12 de gösterilmektedir.

28 19 Tablo n-inci Jacobsthal-Lucas sayısını göstermek üzere, Jacobsthal-Lucas dizisine ait bazı özellikler aşağıda sıralanmıştır. ) pozitif bir tek tamsayı olmak üzere 0 1 ) ) dir.

29 20 3. PERMANENT ve DETERMĠNANT FONKSĠYONLARI Bu bölümde ilk olarak bazı özel matrislerin tanımı ile matrislere ait bazı kavramlar verilecektir. Daha sonra permanent ve determinant fonksiyonları ile ilgili temel özellikler verilecektir. Son olarak ise matrislerin permanentlerinin hesabına ilişkin bir metot açıklanacaktır. 3.1 Matrislerle Ġlgili Bazı Kavramlar Permütasyon Matrisi Her bir satırında veya sütununda yalnız bir elemanı ve diğer bütün elemanları olan bir n-kare matrise denir. Böyle matrislerle çarpma; çarpanın satırlarında veya sütunlarında permütasyon etkisi yapar (Başar, 2012). Örnek olarak, Matrisini sırası ile sol ve sağ taraftan permütasyon matrisi ile çarparsak; sonuçları bulunur.

30 Hessenberg Matrisler Bir cismi üzerindeki bir n-kare matrisi; iken ise yani, tarzında ise bir üst Hessenberg matrisi diye adlandırılır. Bunun gibi; transpozu bir üst Hessenberg matrisi olan matriside bir alt Hessenberg matrisi olarak bilinir (Başar, 2012) Tridiagonal Matrisler Hem alt ve hem de üst Hessenberg matrisi olan yani, asli köşegen ile ona alttan ve üstten paralel olan hatlar üzerinde bulunmayan bütün elemanları olan bir cismi üzerindeki bir n-kare matrisine Tridiagonal matris denir. Aşikar olarak bir matrisi iken ise bir tridiagonal matristir. Yani, tridiagonal bir matrisi tarzındadır (Başar, 2012) Ġki Matrisin Hadamard Çarpımı ve matrisleri matrisler olsun.

31 22 çarpımına ile matrislerinin Hadamard Çarpımı denir (Bozkurt, Solak ve Türen, 2010) Permütasyonlar A boştan farklı bir küme olsun. A kümesinin herhangi bir permütasyonu ya bir dönüşümdür. Yani, A kümesinden yine A kümesine tanımlanan her bir fonksiyona permütasyon denir. * + kümesinin altındaki görüntüleri bu kümenin elemanlarının başka bir sıralamasından başka bir şey değildir. Bu sebeple herhangi bir permütasyonu A kümesinin elemanlarının iki satır halinde yazılması ile gösterilir. Buna göre birinci satırdaki her elemanın görüntüsü hemen aynı elemanın altına yazılır. Yani herhangi bir permütasyonu;. / ile gösterilir. * + kümesinin elemanları ile * + kümesinin elemanları birebir eşleşebileceğinden literatürde bir permütasyonu ( ) şeklinde gösterilir (Bozkurt, Solak ve Türen, 2010). Örnek * + kümesinin tüm permütasyonlarını bulunuz. Çözüm: Bu elemanlarını tüm farklı dizilişleri

32 23 olduğundan söz konusu dönüşümlerin tümü;. /. /. /. /. /. / şeklindedir. Bu küme üzerinde bu permütasyonların dışında dönüşüm tanımlanamaz. başka bir Teorem (Bozkurt, Solak ve Türen, 2010) Birbirinden farklı tanedir. elemanlı bir kümenin tüm farklı permütasyonlarının sayısı Ġnversiyon olsun. oluyorsa ( ) ikilisine permütasyonunun bir inversiyonu denir (Sabuncuoğlu, 2008). Örnek ve. / olmak üzere permütasyonunun tüm inversiyonlarını bulunuz. Çözüm: ( ) için olur. Yani olduğundan bir inversiyondur. Daha genel olarak sıralamasından tüm inversiyonlar olup 7 tanedir.

33 Permütasyonun ĠĢareti olmak üzere permütasyonunun tüm inversiyonlarının sayısı olsun. Bu durumda sayısına permütasyonunun işareti denir ve ile gösterilir. Dolayısıyla bir permütasyonda inversiyon sayısı tek ise işaret inversiyon sayısı çift ise işaret olacaktır (Sabuncuoğlu, 2008) Tek ve Çift Permütasyon İnversiyon sayısı tek olan permütasyonlara tek permütasyon, inversiyon sayısı çift olan permütasyonlara ise çift permütasyon denir (Sabuncuoğlu, 2008). 3.3.Permanent ve Determinant Fonksiyonları Permanent kavramı ilk olarak 1812 yılında Binet ve Cauchy tarafından determinant teorisinin gelişim süreci içerisinde tanıtılmıştır. İlk çalışmalarda determinant ve permanent fonksiyonlarının özellikleri birlikte kullanılsa da zamanla permanent konusu determinanttan ayrılarak Muir tarafından bu isimle anılmaya başlanmıştır (Minc ve Marcus, 1984) Permanent boyutlu bir karesel matris olsun. matrisinin permanenti; şeklinde tanımlanır. Burada ki toplam simetrik grubunun tüm permütasyonları üzerindendir (Yılmaz ve Bozkurt, 2011). 0 1 matrisi için

34 dır Determinant boyutlu bir karesel matris olsun. matrisinin determinantı; şeklinde tanımlanır. Burada ki toplam simetrik grubunun tüm permütasyonları üzerindendir. Permanent ve determinant fonksiyonlarının tanımlarının birbirine benzer olması nedeniyle permanentlerin çoğu özelliği determinantın özelliklerine benzemektedir. Ancak tanımlar birbirine benzese de permanentler determinantların temel iki özelliğini taşımazlar. Bunlar Çarpımsallık özelliği ve matrisler üzerindeki bazı elementer işlemler altındaki Değişmezlik özelliğidir. (Yani bir satırın c katı başka satıra eklenirse permanent değeri değişir.) Permanent fonksiyonu ile ilgili ilk çalışmalar Binet ve Cauchy tarafından yapılmasına rağmen devam eden süreçte Borchardt, Cayley ve Muir konu ile ilgili pek çok makale yayımlamıştır. Bu çalışmaların genelinde permanent ve determinantı birlikte içeren sonuçlar elde edilmiştir (Minc ve Marcus, 1984). Teorem (Minc ve Marcus,1984). sırasıyla m-inci ve n-inci basamaktan permütasyon matrisleri, üzere boyutlu bir matris olsun. Bu durumda; olmak dır. Yani matrisin satır (ya da sütunlarının) yer değiştirmesi permanentini değiştirmez.

35 26 Teorem (Minc ve Marcus, 1984) boyutlu bir kare matris olsun. Bu taktirde; dır. 3.4 Contraction Metodu Matris teoride karesel matrislerin permanent ve determinantlarının hesaplanması için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Bir matrisin permanentinin hesabı çoğu zaman çok fazla işlem gerektirir. Özellikle yüksek mertebeli matrislerde analitik yollarla determinant veya permanent hesaplamak çok fazla zaman kaybına neden olmaktadır. Şimdi matrislerin permanentlerinin hesabında önemli bir yer tutan ve literatürde Contraction metodu olarak bilinen yöntemi açıklayalım ve metotla ilgili teoremi verelim., - satır vektörleri olan boyutlu bir matris olsun. matrisinin k-ıncı kolonu sıfırdan farklı iki eleman içersin. Bu durumda, - matrisine -ıncı kolon üzerinden Contractible denir. Kabul edelim ki matrisi -ıncı kolon üzerinden contractible olsun. için olmak üzere matrisinde -inci satır yerine yazıp -ıncı kolon ile -inci satır silinirse elde edilen boyutlu matrisine matrisinin -inci ve -inci satırlara göre k- ıncı kolonu üzerinden bir Contraction ı denir. Eğer için olmak üzere matrisi ıncı satır üzerinden contractible ise o zaman elde edilen matrisine matrisinin -inci ve -inci kolona göre ıncı satırı üzerinden bir contraction ı denir (Brauldi ve Gibson, 1977).

36 27 Teorem (Brauldi ve Gibson, 1977) taktirde; negatif olmayan bir matris, de matrisinin bir Contraction ı olsun. Bu dir.

37 28 4. HESSENBERG VE TRĠDĠAGONAL TĠPTEKĠ MATRĠSLERLE BAZI ÖZEL SAYI DĠZĠLERĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠLER Matris teorisi ve sayılar teorisi arasındaki ilişkileri incelemek amacıyla günümüze kadar birçok çalışma yapılmıştır. Bu çalışmalar sonucunda özel tipteki bazı matrisler kullanılarak çeşitli metotlarla bazı özel sayı dizileri elde edilmiştir. Diğer taraftan sayı dizilerinin terimlerini ihtiva eden bazı matrislerin kuvvetleri alınarak ve matris özellikleri kullanılarak söz konusu dizilerin genel terimlerini içeren birçok eşitlik elde edilmiştir. Bu bölümde boyutlu Hessenberg ve Tridiagonal tipte yeni matrisler tanımlanarak bu matrislerle sırasıyla Padovan, Perrin, Tribonacci, Jacobsthal, Jacobsthal-Lucas ve Pell-Lucas sayı dizileri yeniden elde edilmiştir. Şimdi söz konusu sayı dizilerini elde ederken kullanacağımız Hessenberg ve Tridiagonal matrisleri tanımlayalım ve ilgili sayı dizlerini veren teoremleri verelim. { olmak üzere boyutlu üst Hessenberg tipteki matrisi tanımlansın. Şimdi n-inci Padovan sayısını göstermek üzere bu sayı dizisini elde edildiği aşağıdaki teoremi verelim.

38 29 Teorem.4.1 de tanımlanan matrisi için, olmak üzere dir. Ġspat: olmak üzere, matrisine r-inci defa Contraction metodunun uygulanması ile elde edilen boyutlu matrisi, ise r-inci satırı göstersin. ve olduğundan deki matrisine 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için, 1-inci satır yerine. / yazılır ve 2-inci satır ile 1-inci kolon silinirse; matrisi elde edilir ki bu matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için,

39 30 matrisi elde edilir ki bu matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. Süreç böyle devam ederse; için, yazılabilir. Buradan da; için, olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılıp 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse;

40 31 elde edilir. Teorem gereğince, olup ispat tamamlanır. Şimdi n-inci Perrin sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Hessenberg tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim. { olmak üzere boyutlu üst Hessenberg tipteki matrisi tanımlansın. Teorem.4.2 te tanımlanan matrisi için, olmak üzere dir.

41 32 Ġspat: ve olduğundan teki matrisine 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; için, elde edilir. için, matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. elde edilir. Süreç böyle devam ederse; için,

42 33 yazılabilir. Buradan da; için, olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılıp 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; elde edilir. Teorem gereğince, olup ispat tamamlanır. Şimdi n-inci Tribonacci sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Hessenberg tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim. {

43 34 olmak üzere boyutlu üst Hessenberg tipteki matrisi tanımlansın. Teorem.4.3 te tanımlanan matrisi için, olmak üzere dir. Ġspat: ve olduğundan matrisine n-inci satır üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. olmak üzere r-inci kolonu göstersin. n-inci kolon yerine yazılıp n-inci satır ile (n-1)-inci kolon silinirse; için,

44 35 elde edilir. için, matrisine n-inci satır üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. elde edilir. için, matrisine n-inci satır üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. elde edilir. Metod bu şekilde uygulanmaya devam ederse; için,

45 36 yazılabilir. Buradan da için, olarak elde edilir. Teorem dikkate alınırsa; matrisinin 3-üncü satıra göre Laplace açılımı düşünülür ve 0 1 elde edilir ki bu da ispatı tamamlar. Şimdi n-inci Jacobsthal sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Hessenberg tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim. { olmak üzere boyutlu üst Hessenberg tipteki

46 37 matrisi tanımlansın. Teorem.4.4 te tanımlanan matrisi için, olmak üzere dir. Ġspat: ve olduğundan daki matrisine 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; için,

47 38 elde edilir. için, matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. elde edilir. için, matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. elde edilir. Metot bu şekilde uygulanmaya devam ederse; için, yazılabilir. Buradan da için,

48 39 olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; elde edilir. Teorem gereğince olup ispat tamamlanır. Şimdi n-inci Jacobsthal-Lucas sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Tridiagonal tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim. { olmak üzere boyutlu Tridiagonal tipteki

49 40 matrisi tanımlansın. Teorem.4.5 te tanımlanan matrisi için, olmak üzere dir. Ġspat: ve olduğundan matrisine 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; için, elde edilir. için, matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir.

50 41 elde edilir. için, matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. elde edilir. Metot bu şekilde uygulanmaya devam ederse; için, yazılabilir. Buradan da için,

51 42 olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; elde edilir. Teorem gereğince olup ispat tamamlanır. Şimdi n-inci Pell-Lucas sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Hessenberg tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim. { olmak üzere boyutlu üst Hessenberg tipteki matrisi tanımlansın.

52 43 Teorem.4.6 da tanımlanan matrisi için, olmak üzere dir. Ġspat: ve olduğundan matrisine 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine, yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; için, elde edilir. için, matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir.

53 44 elde edilir. için, matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. elde edilir. Metot bu şekilde uygulanmaya devam ederse; için, yazılabilir. Buradan da için, olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; 0 1 elde edilir. Teorem gereğince

54 45 olup ispat tamamlanır. Matrislerin permanent ve determinantları arasındaki ( gereği aşağıdaki sonuçlar verilebilir. ) de verilen bağıntı Sonuç.4.1 deki ve deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere için dir. Burada n-inci Padovan sayısını göstermektedir. Sonuç.4.2 deki ve deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere için dir. Burada n-inci Perrin sayısıdır. Sonuç.4.3 deki ve deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere için dir. Burada n-inci Tribonacci sayısıdır.

55 46 Sonuç.4.4 deki ve deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere için dir. Burada n-inci Jacobsthal sayısıdır. Sonuç.4.5 deki ve deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere için dir. Burada, n-inci Jacobsthal-Lucas sayısıdır. Sonuç.4.6 deki ve deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere için dir. Burada n-inci Pell-Lucas sayısıdır.

56 47 5. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER 5.1 Sonuçlar Bu çalışmada çeşitli yöntemler veya matrisler yardımıyla daha önceden de elde edilmiş olan Padovan, Perrin, Tribonacci, Jacobsthal, Jacobsthal-Lucas ve Pell-Lucas sayı dizileri tanımlanan Hessenberg ve Tridiagonal tipteki boyutlu karesel matrisler yardımıyla yeniden elde edilmiştir. 5.2 Öneriler Hessenberg ve Tridiagonal tipte tanımlanacak başka matrislerin Catalan, Mersenne, Fermat, Motzkin, Bell, Happy sayı dizileri ile arasındaki determinantal ilişkiler araştırılabilir.

57 48 KAYNAKLAR Anonymous, 2013a, [Ziyaret Tarihi: ] Anonymous, 2013b, [Ziyaret Tarihi: ] Anonymous, 2013c, [Ziyaret Tarihi: Anonymous, 2013d, [Ziyaret Tarihi: ] Anonymous, 2013e, [Ziyaret Tarihi: ] Anonymous, 2013f, [Ziyaret Tarihi: ] Anonymous, 2013g, [Ziyaret Tarihi: ] Başar, F., 2012, Lineer Cebir, Sürat Üniversite Yayınları, Ağustos, İstanbul, Bozkurt, D., Solak, S., Türen, B., 2010, Lineer Cebir, Ekim, Konya, Brauldi, R. A. and Gibson, P.M., 1977, Conveks polyhedra of doubly stochastic matrices I,Applications of the permanent function, J. Combin. Theory 22, Cahill, N.D., D Ericco, J.R.,Narayan, D.A., Narayan, J.Y., 2002, Fibonacci Determinants,The College Mathematics Journal, 33(3), Mayıs. Dasdemir,A., 2011, On the Pell, Pell-Lucas and Modified Pell Numbers By Matrix Method, Applied Mathematical Sciences, 5(64), Ercolona, J., 1979, Matrix Generators of Pell Sequences, Fibonacci Quart., 17(1), Kılıç, E., (2008), Tribonacci sequences with certain indices and their sums, Ars Combinatoria, 86, Koshy, T., 2001, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, John Wiley&Sons, New York,

58 49 Köken, F. and Bozkurt, D., 2008a, On the Jacobsthal numbers by Matrix methods, Int. J. Contemp. Math. Sciences, 3(13), Köken, F. and Bozkurt, D., 2008b, On the Jacobsthal-Lucas method, Int. J. Contemp. Math. Sciences, 3(33), numbers by Matrix Köken, F. and Bozkurt, D., 2010, On Lucas numbers by the Matrix method, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 39(4), Kılıç, E. and Taşçı, D., 2007, On The Permanents of Some Tridiagonal Matrices with Applications to the Fibonacci and Lucas Numbers, Rocky Mountain Journal of Mathematics 37(6), Kılıç, E. and Taşçı, D., 2008, On families of bipartite graphs associated with sums of Fibonacci and Lucas numbers, Ars Combinatoria,89, Kılıç, E. and Taşçı, D., 2009, On the second order linear recurrences by tridiagonal matrices, Ars Combinatoria 91, Kılıç, E. and Taşçı, D., 2010, Negatively subscripted Fibonacci and Lucas numbers and their complex factorizations, Ars Combinatoria 96, Lehmer, D. H., 1975, Fibonacci and related sequences in periodic tridiagonal matrices, Fibonacci Quart. 13, Lee, G.Y, 2000, k-lucas numbers and associated bipartite graphs, Linear Algebra Its Applications 320, Li, H.C., 2012, On Fibonacci-Hessenberg matrices and the Pell and Perrin numbers, Applied Mathematics and Computation 218, Minc, H. and Marcus, M., 1984, Permanents, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Cambridge Universty Press, USA, Öcal A. A., Tuğlu, N.,Altınişik, E., 2005, On the representation of k-generalized Fibonacci and Lucas numbers, Applied Mathematics and Computation 170, Sabuncuoğlu, A., 2008, Lineer Cebir, Nobel Yayın Dağıtım, Ankara, Solak, S., Türkmen. R., Bozkurt. D., 2003, On GCD, LCM and Hilbert matrices and their applications, Applied Mathematics and Computation 146, Silvester, J. R., 1979, Fibonacci Properties by Matrix Methods. Mathematical Gazette 63, Yılmaz, F. and Bozkurt,D., 2011, Hessenberg Matrices and the Pell and Perrin Numbers, Journal of Number Theory 131,

59 50 Yılmaz, F. and Bozkurt, D., 2012a, On the Pell sequences and Hessenberg matrices, Selçuk Journal of Applied Mathematics, Yılmaz, F. and Bozkurt, D., 2012b, The Jacobsthal and Jacobsthal-Lucas sequences associated with pseude graphs, arxiv: Yılmaz, F. and Bozkurt, D., 2013, On the Fibonacci and Lucas numbers, their sums and permanents of one type of Hessenberg matrices, arxiv:

60 51 ÖZGEÇMĠġ KĠġĠSEL BĠLGĠLER Adı Soyadı : İbrahim Aktaş Uyruğu : T.C. Doğum Yeri ve Tarihi : Develi-1982 Telefon : - Faks : - ibrahimaktas@gumushane.edu.tr EĞĠTĠM Derece Adı, Ġlçe, Ġl BitirmeYılı Lise : İmam Hatip Lisesi, Develi, Kayseri 1999 Üniversite : Erciyes Üniversitesi, Kayseri 2004 Yüksek Lisans : Erciyes Üniversitesi, Kayseri 2005 Yüksek Lisans : Selçuk Üniversitesi, Konya 2013 Doktora : - Ġġ DENEYĠMLERĠ Yıl Kurum Görevi Kavram Dersaneleri Matematik Öğr Pianalitik Dersaneleri Matematik Öğr Halen Gümüşhane Üniversitesi Öğretim Görevlisi