TEMEL MATEMATİK TYT KONU ANLATIMLI ÜNİVERSİTEYE TAM HAZIRLIK. Yükseköğretim Kurumları Sınavı ÖSYM NİN YENİ SINAV SİSTEMİNE UYGUN

Transkript

1 Yükseköğretim Kurumları Sınavı ir TYT ek t AKILLI TAHTAYA UYUMLU İRZ D E N U AMA M L I U T N RA İLE SA PA ÖSYM NİN YENİ SINAV SİSTEMİNE UYGUN YENİ TARZ SORULAR ÖZET ANLATIM BOL ÖRNEK ör n ör n KONU ANLATIMLI ir ek t TEMEL MATEMATİK ÜNİVERSİTEYE TAM HAZIRLIK

2 ek tir KİTABIMIZI TANIYALIM TEK SAYI - ÇİFT SAYI Çift Sayı ile tam bölünebilen sayılardır. Çift sayılar kümesi : Ç = {..., 4,, 0,, 4,...} n Z olmak üzere,. n daima çift sayıdır. Tek Sayı ile tam bölünemeyen sayılardır. Tek sayılar kümesi : T = {..., 3, 1, 1, 3,...} 1. Aritmetik işlemlerin yer aldığı bir oyunda oklar ve kutulardan oluşmuş şekiller kullanılıyor. Her şekilde yan yana bulunan iki kutu içinde bulunan sayının her ikisi de çift ise sayılar toplanıyor, her ikisi de tek ise büyük sayıdan küçük sayı çıkarılıyor ve biri tek biri çift ise küçük sayıdan büyük sayı çıkarılıyor ve bulunan sonuç okun gösterdiği kutunun içine yazılıyor. n Z olmak üzere,. n + 1 daima tek sayıdır Ç çift sayıyı, T tek sayıyı göstermek üzere, Anlatım Bölümü Konunun temelini burada attık, açıklamalı örnekleri de burada verdik. + n + n Ç.Ç = Ç n N için Ç = Ç T±T=Ç T.T = T n N için T = T T±Ç=T T.Ç = Ç Tek sayıların çarpımı tek sayıdır. İçinde en az bir tane çift sayı varsa çarpımları çift sayıdır. B) C) 1 D) 1 3 B) 13! C) 6 1 D) Çözümlü Örnek 01 a tek sayı, b ve c çift sayı ise, 3. a tek, b çift sayı olmak üzere, aşağıdakilerden I. b + c hangisi çift sayıdır? II. a.c A) a + b III. a + b + 1 C) a + b B) a b D) 3a b E) a + b ifadelerinin teklik - çiftlik durumlarını araştıralım. I. b ve c çift ise b + c çifttir. hangisi kesinlikle çift sayıdır? A) x + 1 ör n D) x Benim Gözümden Benim Gözümden 14 Konu Tamamlama Testi Birçok soru çeşidiyle ünite sonunda da seninle birlikteyiz. Yapbozun son parçası bu testler. Bu adımdan sonra sınava bizce hazırsın. C) x + x B) x + E) 3x D) a + b tek sayıdır. E) b + c çift sayıdır. için x sayısı çift olmalıdır.) Tek 3y çarpımının çift olması için y çift olmalıdır. Şimdi seçenekleri inceleyelim. II. x. y + 7 I. x y + 3 Ç.Ç + T Tek Ç + Ç + T Tek III. 3x + 5y Ç + Ç Çift. x, y ve z birer tam sayı olmak üzere, x. y çarpımının tek sayı y + z toplamının tek sayı olduğu biliniyor. Buna göre, I. x + z II. y. z III. x y Aman Dikkat! 0 ın bir doğal sayı olduğunu unutmamalısın. ifadelerinden hangileri çift sayıdır? A) Yalnız I B) Yalnız II D) II ve III Çözümlü Örnek 03 a ve b birer tam sayı olmak üzere, a ab + a b sayısının tek sayı olduğu biliniyor. Buna göre, I. a II. a + b 3. a ve b tam sayıları için 6a b = 15 olduğuna göre, I. a çift sayıdır. II. b tek sayıdır. III. a > b dir. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II D) I ve II III. a.b sayılarından hangileri çift sayıdır? a ab + a b = a(a b) + (a b) = (a b)(a + 1) (a b)(a + 1) çarpımı tek sayı ise (a b) ve (a + 1) tek sayı olmalıdır. (a + 1) tek ise, a çifttir. Cep Notu Birbirleriyle çarpım durumunda olan tam sayıların en az bir tanesi çift ise çarpımın sonucu çift olur. C) Yalnız III E) I, II ve III Artık direksiyon sende. Bu bölümdeki sorularla bir deneme sürüşüne çıkacak, öğrendiklerini pekiştireceksin. C) Yalnız III E) I, II ve III 4. x ve y pozitif tam sayıları için 3x + 4y = 36 dır. Buna göre, I. x çift sayıdır. II. y nin alabileceği farklı değer vardır. III. y tek sayıdır. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I D) I ve II B) Yalnız II C) Yalnız III E) I, II ve III Benim Gözümden Benim Gözümden 15 Cep Notu, Aman Dikkat vs. Kitabın sadece anlatım ve sorulardan oluşmuyor. Farklı bölümlerle konunun anlaşılması için her şeyin bulunduğunu göreceksin. ne III. a tek, b çift ise a + b çift, a + b + 1 tek olur. 4. x bir tam sayı olmak üzere, aşağıdakilerden B) c çift sayıdır. C) a tek, b çift sayıdır. ör II. a tek, b çift ise a. c çifttir. E) E) 5 A) a ve b tek sayıdır. x + 3 Tek (3 ile toplandığında sonucun tek olması. Aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır? A) 1 a. b = 6c + 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? Önce x ve y nin tek mi çift mi olduklarını belirleyelim. Buna göre, x kaçtır? A) 3 1. a, b, c birer tam sayı ve I. x y + 3 II. x.y + 7 III. 3x + 5y ifadelerinden hangileri çift sayıdır? x Cep Notu Bazen bir ifadenin tek veya çift olduğunu bulabilmek için, tek sayıların yerine 1, çift sayıların yerine 0 veya yazarak işlem yapılabilir. x, y tam sayıları için (x + 3) tek sayı ve 3y çift sayı olduğuna göre, 00 Tek ve Çift Sayılarda İşlemler DZÇ=Ç Çözümlü Örnek 0 kt ir Konu Başlığı Önce ünite içindeki alt konuları bu başlıklara ayırdık.

3 1. ÜNİTE SAYILAR Bu ünitede üzerinde durulacak konular Tam Sayılarda Dört İşlem Sayı Basamakları Temel Kavramlar Bölme İşlemi Tek Sayı - Çift Sayı Bölünebilme Kuralları Asal Sayı ve Aralarında Asal Sayılar Ardışık Sayılar Faktöriyel Obeb - Okek Rasyonel Sayılar Ondalık Sayılar

4 TAM SAYILARDA DÖRT İŞLEM Dört İşlem Yeteneği Aynı işaretli iki sayı toplanırken sayıların işaretsiz hâlleri toplanır ve bulunan sonucun soluna da sayıların işareti yazılır. Ters işaretli iki sayı toplanırken büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonucun soluna yazılır. Aynı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü pozitiftir. Ters işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü negatiftir. Aman Dikkat! Toplama ve çıkarma işlemlerinde sayılar kendi aralarında yer değiştirebilir. Ancak işaretlerini de beraber yer değiştirmeyi unutmamalısın. Örneğin 6 1 ifadesini olarak yazabilirsin. Çözümlü Örnek işleminin sonucunu bulalım. Önce işareti aynı olan sayıları yan yana alıp kendi aralarında işlem yapalım = = 7 15 = Çözümlü Örnek 0 ( ).( 4).(+7).( 1) işleminin sonucunu bulalım. Önce işaretleri çarpalım. ( ).( ).(+).( ) = (+).( ) = ( ) (+) ( ), 4, 7 ve 1 in çarpımı = 56 olduğundan işlemin sonucu ( ).( 4).(+7).( 1) = 56 bulunur. Çözümlü Örnek 03 9 ( ) + ( 3) işleminin sonucunu bulalım. 9 ( ) + ( 3) = = 11 3 = 8 dir Aritmetik işlemlerin yer aldığı bir oyunda oklar ve çemberlerden oluşmuş şekiller kullanılıyor. Her şekilde okun yanında bulunan işlem uygulanıp elde edilen sonuç okla gösterilen çemberin içerisine yazılıyor. Buna göre, x kaçtır? 5 x 8 3 x + A) B) 1 C) 0 D) 1 E). I. 5 II. 3 1 III ifadelerindeki boş kutuların içine toplama (+), çıkarma ( ) ve çarpma (x) sembolleri hangi sırayla yerleştirilirse üç işlemin sonucu da aynı sayıya eşit olur? I. II. III. A) x + B) x x C) + x + D) + x E) x işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 5 C) 8 D) 30 E) 3 4. (1 15) (7 10) işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 0 C) 1 D) E) 3 8

5 İşlem Önceliği Matematiksel işlemlerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri bir arada verilmişse işlem önceliği devreye girer. Öyle kafanıza göre takılıp canınızın istediği sırayla işlem yapamazsınız. Bir işlemde, İlk önce parantez varsa parantez içindeki işlemler yapılır. Sonra üs alma işlemi yapılır. Sonra çarpma veya bölme işlemleri varsa bu işlemler yapılır. En son toplama ve çıkarma işlemleri yapılır. Çözümlü Örnek 04 (15.3) (6 : 3 + ) işleminin sonucu bulalım. Önce parantez içindeki işlemler yapılır. (15.3) (6 : 3 + ) = (15 6) ( + ) 6 = 9 4 = 5 Çözümlü Örnek 05 x = 3 ve y = olmak üzere, x 3y x + y işleminin sonucunu bulalım. x 3y x + y Çözümlü Örnek 06 =.3 3( ) 3 + ( ) = = 1 1 = : işleminin sonucunu bulalım : = 1 18 : = = 1. b Yukarıdaki şekilde a, b, c sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, K = a + b.c a : b biçiminde tanımlanıyor. a K 1 c K 3 5 Yukarıdaki verilere göre, K değeri kaçtır? A) 18 B) 0 C) 1 D) 3 E) 5. Bilgisayarından bazı matematiksel işlemlerin bulunduğu aşağıdaki çıktıyı alan Hilal; çıkarma ( ), çarpma (x) ve bölme ( ) sembollerinin yerine farklı sembollerin geldiğini farkediyor = 10 5 = 0 Buna göre;, ve sembollerinin ifade ettikleri matematiksel semboller aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x C) x D) x E) x 9

6 TEMEL KAVRAMLAR Rakam, Sayı ve Sayı Çeşitleri Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollerdir. 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri onluk sayma sisteminin rakamlarıdır. Sayı: Rakamların bir araya gelerek oluşturduğu ifadelere sayı denir. 13, 1 5, 73, 5,... birer sayıdır. Doğal Sayılar (N): N = {0, 1,, 3,...} kümesine doğal sayılar denir. En küçük doğal sayı 0 dır. Sayma Sayıları (N + ): N + = {1,, 3, 4,...} kümesine sayma sayıları ya da pozitif tam sayılar kümesi denir. Tam Sayılar (Z): Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,...} kümesine tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi : Z + = {1,, 3, 4,...} Negatif tam sayılar kümesi : Z = {...,, 1} Sıfır tam sayıdır fakat pozitif ya da negatif değildir. Pozitif sayılar sıfırdan uzaklaştıkça negatif sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür. Gerçel (Reel) Sayılar (R): Bütün sayıları kapsar. Örneğin;, 3, 5, 1000, 11 7 sayıdır. ve,5 birer gerçel İrrasyonel Sayılar: Kök dışına tam olarak çıkamayan veya virgülden sonrası tam olarak bilinemeyen sayılardır. p, 3 gibi... En Büyük ve En Küçük Değeri Bulma Verilen ifadenin en büyük ve en küçük değerleri bulunurken sayıların hangi kümenin elemanı olması gerektiğine dikkat etmeliyiz. Çözümlü Örnek 01 x ve y rakam olmak üzere, 3x + 5y toplamının alabileceği en büyük değeri bulalım. Toplamın en çok olabilmesi için x ve y ye en büyük değerleri vermeliyiz. x ile y nin farklı olduğu söylenmediğinden eşit değerler verebiliriz. x ile y rakam olduğundan en fazla 9 değerini alabilirler. O hâlde, 3x + 5y toplamının en büyük değeri = = 7 olur. Çözümlü Örnek 0 a ile b birbirinden farklı doğal sayılardır. Buna göre, a + 7b toplamının alabileceği en küçük değeri bulalım. a ile b birbirinden farklı doğal sayılar olduğundan, a + 7b toplamının en küçük olması için katsayısı büyük olana en küçük değeri vermeliyiz. a ile b doğal sayı olduğundan b ye 0, a ya 1 verirsek. a + 7. b = = + 0 = bulunur. Çözümlü Örnek 03 x, y, z birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, 4x + y z ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulalım. 4x + y z ifadesinde 4x ve y toplanan, z çıkarılan olduğu için en küçük değeri x ve y en küçük, z en büyük değerini aldığında gerçekleşir. x ile y birbirinden farklı olduğundan katsayısı büyük olan x e 0, y ye 1 değerini vermeliyiz. z ye de 9 verirsek ifadenin en küçük değeri 4x + y z = = = 17 olur. Çözümlü Örnek 04 x ve y doğal sayılar olmak üzere, x + y = 10 olduğuna göre, x.y çarpımının alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulalım. x = y = 5 için x.y çarpımı en büyük 5.5 = 5 olur. x = 0 ve y = 10 için x.y çarpımı en küçük 0.10 = 0 bulunur. Aman Dikkat! 0 ın bir doğal sayı olduğunu unutmamalısın. 10

7 1. a ile b birbirinden farklı negatif tam sayılar olmak üzere, a + 7b toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 16 B) 14 C) 13 D) 11 E) 9. x, y, z birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, 3x + y 5z ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 41 B) 4 C) 43 D) 44 E) x ile y birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. x + y = 1 olduğuna göre, x.y çarpımının alabileceği en büyük değeri kaçtır? A) 36 B) 35 C) 3 D) 7 E) 8 4. a, b birer pozitif tam sayı ve a.b = 1 olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 7 B) 8 C) 10 D) 1 E) x ve y birer tam sayıdır. x.y = 6 olduğuna göre, x + y toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 6. Matematik öğretmeni Nilgün Hanım ile öğrencisi Zeynep arasında derste şu şekilde bir konuşma geçiyor: Nilgün Hanım: Zeynep, aklından birbirinden farklı üç rakam tut. Zeynep: Tamam, tuttum. Nilgün Hanım: Tuttuğun rakamlardan birini 3 ile birini ile diğerini 5 ile çarp. Zeynep: Çarptım. Nilgün Hanım: Şimdi bulduğun sonuçları topla ve sonucu bana söyle. Buna göre, Zeynep in bulduğu sonucun en büyük değeri kaçtır? A) 41 B) 4 C) 43 D) 44 E) 45 ÖSYM deki Durum Sevgili arkadaşım dikkat edersen. soru ile 6. soru birbirinin aynısı. Sen klasik gözüken sorunun çözüm mantığını kavrarsan yeni nesil denen 6. soru gibi soruları da kolaylıkla çözersin. 11

8 Çözümlü Örnek 05 x, y ve z birbirinden farklı sayma sayılarıdır. x + y + 3z = 50 olduğuna göre, x in en büyük değerini bulalım. x in en büyük değerini alabilmesi için y + 3z toplamının en küçük değerini alması gerekir. Yani y ve z ye en küçük sayma sayılarını vermeliyiz. y ile z farklı sayma sayıları olduğundan katsayısı büyük olana daha küçük değer vermeliyiz. O hâlde, z ye 1, y ye değerini verirsek x in en büyük değeri x + y + 3z = 50 ise, x = 50 x = 50 x = 43 bulunur. Çözümlü Örnek 06 a, b ve c birer pozitif tam sayıdır. a = 3b b = c + 1 olduğuna göre, a nın en küçük değerini bulalım. b en küçük değerini aldığında a en küçük değerini alacaktır. b = c + 1 olduğundan c ye en az 1 verirsek b = c + 1 = = olur. a = 3b olduğundan a = 3. = 6 bulunur. Çözümlü Örnek Bahar yukarıda üzerinde puanların yazılı olduğu tabelalara üç atış yapacaktır. Her bir tabelaya isabet eden atış sonunda tabelada yazan puan kazanılmaktadır. Bahar ın yaptığı üç atışın da tabelalara isabet ettiği bilindiğine göre, kazandığı puanın alabileceği kaç farklı değer vardır? Bahar ın alabileceği en büyük puan: = 18 Bahar ın alabileceği en küçük puan: + + = 6 O hâlde, {6, 7, 8,..., 18} olmak üzere 13 farklı puan alabilir. 1. x ve y pozitif tam sayılardır. x y = 3 olduğuna göre, x.y çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4. a, b, c birer pozitif tam sayıdır. a = 5b b = c + 1 olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) a ve b birer rakamdır. a = 3b c = a + b olduğuna göre, c nin en büyük değeri kaçtır? A) 5 B) 8 C) 10 D) 1 E) a, b, c pozitif tam sayıları için a b = 3 a c = 3 5 olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 5 B) C) 0 D) 1 E) 10 1

9 Çözümlü Örnek 08 a, b birer doğal sayı ve b = + 10 a olduğuna göre, a nın alabileceği değerleri bulalım. b = + 10 eşitliğinde b doğal sayı olduğuna göre, a, a 10 u tam bölen doğal sayılar olmalıdır. Buna göre, a sayısı 1,, 5 ve 10 değerlerini alabilir. Çözümlü Örnek 09 x tam sayı olmak üzere, 5x + 1 x ifadesi tam sayı olduğuna göre, x in alabileceği değerleri bulalım. 5x + 1 = 5x x x + 1 x = x olur. Bu ifadenin tam sayı olması için x sayısı 1 yi tam bölmelidir. x tam sayı olduğuna göre, negatif değerler de alabilir. O hâlde, x tam sayısı 1,, 3, 4, 6, 1, 1,, 3, 4, 6 ve 1 değerlerini alabilir. Çözümlü Örnek 10 a, b birer pozitif tam sayı olmak üzere, a + 3b = 0 eşitliğini sağlayan b değerlerinin toplamını bulalım. a sayısında a, ile çarpıldığı için a, nin katıdır. Benzer şekilde 3b de 3 ün katı olur. a + 3b = 0 'nin katı 'nin katı nin katı olan bir ifade ancak nin katı olan bir ifade ile toplanırsa sonuç nin katı olur. Bu nedenle 3b sayısı da nin katı olmalıdır. Yani b sayısı ve nin katı olan, 4 ve 6 değerlerini alabilir. O hâlde, b nin alabileceği değerler toplamı = 1 olur. 1. 3x + 18 x ifadesi tam sayı olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı pozitif tam sayı değeri vardır? A) 1 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4. a ve b tam sayıları için 3a 5 b = a eşitliği veriliyor. Buna göre, b nin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 8 B) 5 C) 0 D) E) 3 3. x, y birer doğal sayı ve 3x + 5y = 50 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) 5 E) 6 4. Aşağıdaki şekilde çember ve karelerin içine şu kurala göre pozitif tam sayılar yazılıyor. Kural: Her bir karenin içine yazılan sayı, kendisine komşu olan iki çember içine yazılan sayıların çarpımına eşit olmalıdır K Buna göre, K yerine aşağıdaki sayılardan hangisi yazılamaz? A) 6 B) 4 C) 54 D) 180 E) 16 13

10 TEK SAYI - ÇİFT SAYI Çift Sayı ile tam bölünebilen sayılardır. Çift sayılar kümesi : Ç = {..., 4,, 0,, 4,...} n Z olmak üzere,.n daima çift sayıdır. Tek Sayı ile tam bölünemeyen sayılardır. Tek sayılar kümesi : T = {..., 3, 1, 1, 3,...} n Z olmak üzere,.n + 1 daima tek sayıdır. Tek ve Çift Sayılarda İşlemler Ç çift sayıyı, T tek sayıyı göstermek üzere, Ç ± Ç = Ç Ç.Ç = Ç n N + için Ç n = Ç T ± T = Ç T.T = T n N + için T n = T T ± Ç = T T.Ç = Ç Tek sayıların çarpımı tek sayıdır. İçinde en az bir tane çift sayı varsa çarpımları çift sayıdır. Cep Notu Bazen bir ifadenin tek veya çift olduğunu bulabilmek için, tek sayıların yerine 1, çift sayıların yerine 0 veya yazarak işlem yapılabilir. Çözümlü Örnek 01 a tek sayı, b ve c çift sayı ise, I. b + c II. a.c III. a + b + 1 ifadelerinin teklik - çiftlik durumlarını araştıralım. I. b ve c çift ise b + c çifttir. II. a tek, b çift ise a.c çifttir. III. a tek, b çift ise a + b çift, a + b + 1 tek olur. 1. Aritmetik işlemlerin yer aldığı bir oyunda oklar ve kutulardan oluşmuş şekiller kullanılıyor. Her şekilde yan yana bulunan iki kutu içinde bulunan sayının her ikisi de çift ise sayılar toplanıyor, her ikisi de tek ise büyük sayıdan küçük sayı çıkarılıyor ve biri tek biri çift ise küçük sayıdan büyük sayı çıkarılıyor ve bulunan sonuç okun gösterdiği kutunun içine yazılıyor. 019 Buna göre, x kaçtır? A) 3 B) C) 1 D) 1 E). Aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır? x A) 1 3 B) 13! C) 6 1 D) 3 4 E) a tek, b çift sayı olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi çift sayıdır? A) a + b B) a b C) a + b D) 3a b E) a + b 4. x bir tam sayı olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır? A) x + 1 B) x + C) x + x D) x E) 3x 14

11 Çözümlü Örnek 0 x, y tam sayıları için (x + 3) tek sayı ve 3y çift sayı olduğuna göre, I. x y + 3 II. x.y + 7 III. 3x + 5y ifadelerinden hangileri çift sayıdır? Önce x ve y nin tek mi çift mi olduklarını belirleyelim. x + 3 Tek (3 ile toplandığında sonucun tek olması için x sayısı çift olmalıdır.) Tek 3y çarpımının çift olması için y çift olmalıdır. Şimdi seçenekleri inceleyelim. I. x y + 3 II. x.y + 7 Ç + Ç + T Tek Ç.Ç + T Tek Çözümlü Örnek 03 III. 3x + 5y Ç + Ç Çift a ve b birer tam sayı olmak üzere, a ab + a b sayısının tek sayı olduğu biliniyor. Buna göre, I. a II. a + b III. a.b sayılarından hangileri çift sayıdır? a ab + a b = a(a b) + (a b) = (a b)(a + 1) (a b)(a + 1) çarpımı tek sayı ise (a b) ve (a + 1) tek sayı olmalıdır. (a + 1) tek ise, a çifttir. (a b) tek ise, a çift olduğundan b tektir. O hâlde, a ve a.b çifttir. Cep Notu Birbirleriyle çarpım durumunda olan tam sayıların en az bir tanesi çift ise çarpımın sonucu çift olur. 1. a, b, c birer tam sayı ve a.b = 6c + 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) a ve b tek sayıdır. B) c çift sayıdır. C) a tek, b çift sayıdır. D) a + b tek sayıdır. E) b + c çift sayıdır.. x, y ve z birer tam sayı olmak üzere, x.y çarpımının tek sayı y + z toplamının tek sayı olduğu biliniyor. Buna göre, I. x + z II. y.z III. x y ifadelerinden hangileri çift sayıdır? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III 3. a ve b tam sayıları için 6a b = 15 olduğuna göre, I. a çift sayıdır. II. b tek sayıdır. III. a > b dir. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 4. x ve y pozitif tam sayıları için 3x + 4y = 36 dır. Buna göre, I. x çift sayıdır. II. y nin alabileceği farklı değer vardır. III. y tek sayıdır. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 15

12 ASAL SAYI VE ARALARINDA ASAL SAYILAR Asal Sayı Sadece 1 e ve kendisine tam bölünebilen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir., 3, 5, 7, 11,... sayıları birer asal sayıdır. den başka çift asal sayı yoktur ve en küçük asal sayı dir. Aralarındaki farkın 1 olduğu asal sayılar sadece 3 ve dir. Çözümlü Örnek 01 a, b birer pozitif tam sayı ve (a ).(b + 5) = 17 olduğuna göre, a ve b değerlerini bulalım. 17 asal olduğundan 17 nin çarpanları 1 ve 17 dir. (a )(b + 5) = 17 = ise, a = 1 ve b + 5 = 17 olur. Buradan a = 1 den a = 3 ve b + 5 = 17 den b = 1 bulunur. (a = 17 ve b + 5 = 1 alınırsa, b pozitif tam sayı olmaz.) Çözümlü Örnek 0 a, b ve c asal sayıları için a.b + a.c = a + 8 eşitliği veriliyor. Buna göre, a.b.c çarpımını bulalım. a.b + a.c = a + 8 a(b + c) = a + 8 b + c = a + 8 a b + c = a + 8 a a asalı 8 i tam böldüğünden a = olur. Bu durumda, b + c =. + 8 = 8 eşitliğinden b ile c, 3 ve 5 olabilir. O hâlde, a.b.c =.3.5 = 30 bulunur. 1. Birbirinden farklı iki asal sayının çarpımı biçiminde yazılabilen doğal sayılara yarı asal denir. Örneğin, 15 sayısı 3 ile 5 in çarpımı olduğundan yarı asaldır. Buna göre, aşağıdaki sayılardan hangisi yarı asal değildir? A) 14 B) 1 C) 35 D) 77 E) 90. a, b ve c birer pozitif tam sayı olmak üzere, a = (b )(c + 1) eşitliği sağlanıyor. a bir asal sayı olduğuna göre, b + c toplamının a türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) a + 3 B) a + C) a + 1 D) a E) a 1 3. p bir asal sayı olmak üzere, p + sayısı asal oluyorsa veya p + sayısı asal iki sayının çarpımı biçiminde yazılabiliyorsa p ye bir Chen asalı denir. Buna göre, I. 17 II. 37 III. 83 sayılarından hangileri Chen asalıdır? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 4. x, y, z pozitif tam sayılar, z asal sayı ve x + 3 z = z y + 1 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) x < y < z B) x < z < y C) y < x < z D) z < x < y E) z < y < x 16

13 Aralarında Asal Sayılar 1 den başka pozitif ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir. Örneğin, 1 ile 1; 5 ile 1; 9 ile 16 sayıları aralarında asal sayılardır. Burada dikkat edilmesi gereken iki önemli nokta var. Sayıların aralarında asal olması için kendilerinin asal olmaları gerekmez. 1 bütün sayılarla aralarında asaldır. Çözümlü Örnek 03 x 1 ile y + aralarında asal sayılardır. x 1 y + = 6 14 olduğuna göre, x.y çarpımını bulalım. 3 x 1 y + = 6 olduğundan x 1 = 3 ve y + = olmalıdır. Buradan x = 4 ve y = 5 x.y = 4.5 = 0 bulunur. Çözümlü Örnek 04 a ile b aralarında asal sayılardır. a + b + 9 = 9 olduğuna göre, a.b çarpımını bulalım. a + b + 9 = 9 9a + 18 = b a = b a = ve b = 9 O hâlde, a.b =.9 = x < 0 olmak üzere, 1 ile x aralarında asal sayılardır. Buna göre, x in alabileceği kaç farklı pozitif tam sayı değeri vardır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 10 E) 15. x ile y aralarında asal sayılardır. x.y = 18 olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 15 E) Yan yana duran 5 çember içerisinde {, 3, 6, 7, 9, 1, 14, 15, 17} kümesinin farklı elemanları yazmaktadır. Yan yana bulunan her iki çember içerisindeki sayılar aralarında asaldır. Çember içerisindeki sayılar soldan sağa doğru artmaktadır. Buna göre, çember içerisine yazılabilecek sayıların toplamı en az kaçtır? A) 30 B) 3 C) 34 D) 35 E) x ile y + 3 aralarında asal sayılardır. xy + 3x y = 17 olduğuna göre, y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 17

14 ARDIŞIK SAYILAR Belli bir kuralı olan ve artış miktarları aynı olan sayı dizilerine ardışık sayılar denir. Ardışık Tam Sayılar n tam sayı olmak üzere, {...,, 1, 0, 1,,..., n, n + 1, n +,...} Ardışık Çift Tam Sayılar n çift sayı olmak üzere, {..., 4,, 0,, 4,..., n, n +, n + 4,...} Ardışık Tek Tam Sayılar n tek sayı olmak üzere, {..., 3, 1, 1, 3, 5,..., n, n +, n + 4,...} Burada dikkat etmemiz gereken bilgiler şunlardır: Ardışık iki tam sayı arasındaki fark +1 veya 1 dir. Ardışık iki tek tam sayı ya da ardışık iki çift tam sayı arasındaki fark + veya dir. Çözümlü Örnek 01 a, b, c ardışık tam sayılar ve a < b < c olduğuna göre, (a b).(c a) çarpımını bulalım. Sayılardan herhangi birini bulmamız istenmediğinden a, b, c ye değer vererek de çözüm yapabiliriz. a, b, c ardışık tam sayılar ve a < b < c olduğundan a = 1, b = ve c = 3 alabiliriz. Buna göre, (a b)(c a) = (1 )(3 1) = ( 1). = olur. Çözümlü Örnek 0 a, a ve a + b sayıları küçükten büyüğe doğru b sıralanmış ardışık üç çift tam sayıdır. Buna göre, a ve b sayılarını bulalım. Sayıların aralarındaki farklar dir. a b + = a ve a + = a + b a + = a + b b = ve a + = a = a a = 4 bulunur. 1. x bir pozitif tam sayı olmak üzere x = 1 ile x arasındaki ardışık çift doğal sayıların toplamı x = 1 ile x arasındaki ardışık tek doğal sayıların toplamı biçiminde modelleniyor. Örneğin, 5 = + 4 = 6 4 = = 4 Buna göre, 9 10 işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E). x, y, z ardışık üç tek sayı ve x < y < z olduğuna göre, (x y)(y z)(z x) çarpımı kaçtır? A) 16 B) 14 C) 1 D) 10 E) 8 3. Ardışık iki ya da üç pozitif tam sayının karelerinin toplamına eşit olan sayılara kardışık sayılar denir. 4. Örneğin, 5 = = olduğundan 5 ve 9 birer kardışık sayıdır. Buna göre, I. 13 II. 35 III. 50 sayılarından hangileri kardışık sayı değildir? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III y, 4x + y ve y + 5 sayıları küçükten büyüğe doğru x sıralanmış ardışık üç tam sayıdır. Buna göre, x.y çarpımı kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 18

15 Çözümlü Örnek 03 Ardışık üç tek tam sayının toplamı 33 olduğuna göre, en büyük sayıyı bulalım. Ardışık tek sayılar şer şer arttığından en küçük tek sayıya x dersek diğerleri sırasıyla x + ve x + 4 olur. Toplamları 33 olduğundan bu sayıları toplayıp 33 e eşitleyelim. x + x + + x + 4 = 33 3x + 6 = 33 ise, 3x = 7 x = 9 olur. Buna göre, en büyük sayı x + 4 olduğundan = 13 bulunur. Çözümlü Örnek 04 Bir A kümesi ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir. 4 ardışık tek doğal sayıdan oluşmaktadır. Kümedeki elemanların toplamı, en büyük elemanın 3 katından 5 fazladır. Buna göre, A kümesinin en küçük elemanını bulalım. A kümesinin elemanları n, n +, n + 4, n + 6 olsun. Buradan, n + n + + n n + 6 = 3(n + 6) + 5 4n + 1 = 3n n + 1 = 3n + 3 n = 11 bulunur. Çözümlü Örnek 05 Ardışık 4 çift tam sayının toplamı A olduğuna göre, en büyük sayının A türünden değerini bulalım. Sayılar x, x +, x + 4 ve x + 6 olsun. x + x + + x x + 6 = A 4x = A 1 x = A 1 olur. 4 O hâlde, en büyük sayı x + 6 = A = A bulunur. 1. Ardışık beş tam sayının toplamı biçiminde yazılabilen sayılara beşli sayı denir.. Örneğin, 15 = olduğundan 15, bir beşli sayıdır. Buna göre, aşağıdaki sayılardan hangisi beşli sayı değildir? A) 0 B) 30 C) 45 D) 90 E) 103 Yukarıda, üst satırdaki üç çemberin içine soldan sağa doğru artan ardışık sayılar yazılmıştır. Sonra yan yana yazılan iki sayının toplamı, çizgilerin birleştiği alt satırdaki çembere yazılarak sayı üçgeni tamamlanmıştır. x 31 Buna göre, sayı üçgenindeki x kaçtır? A) 58 B) 59 C) 60 D) 61 E) 6 3. Bir sokakta, yolun üst tarafındaki evler ardışık tek sayılarla, alt tarafındakiler ise ardışık çift sayılarla numaralandırılıyor. Numaralar soldan sağa doğru artmaktadır. Sol C A Tekler B D Çiftler Sağ A ve C evlerinin numaraları için A C = 11 olduğuna göre, B ve D evlerinin numaraları için B D farkı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) Ardışık 3 pozitif tek sayı ile ardışık 3 pozitif çift sayının toplamı 63 tür. Buna göre, çift sayıların en büyüğü en fazla kaç olabilir? A) 16 B) 0 C) D) 3 E) 4 19

16 Ardışık Sayıların Toplamı Ardışık terimleri arasındaki farkları eşit olan sayı dizisindeki terimlerin toplamı İlk terim+son terim Terimler toplamı =.Terim sayısı ile hesaplanır. Son terim İlk terim Terim sayısı = + 1 Artış miktarı n(n + 1) n = Çözümlü Örnek toplamını bulalım. Verilen toplamda ilk terim 50, son terim 100 ve ardışık iki terim arasındaki fark 5 olduğundan Son terim İlk terim Terim sayısı = + 1 Artış miktarı = + 1 = 11 olur. 5 İlk terim + Son terim Terimler toplamı =. Terim sayısı =. 11 = = 85 bulunur. Çözümlü Örnek işleminin sonucunu bulalım toplamında 0 terim olduğundan toplamda 0 = 10 tane 1 vardır. O hâlde, toplamları 10. ( 1) = 10 olur Şekilde, 1 den 40 a kadar numaralandırılmış 40 tane kutu vardır. Her kutuya numarası kadar bilye atıldığına göre, kutularda toplam kaç bilye vardır? A) 780 B) 790 C) 800 D) 810 E) 80. Bir köyde 1 den 0 ye kadar numaralandırılmış 0 tane kuyu vardır. Köyün delisi her kuyuya numarasının katı kadar taş atmıştır. Buna göre, kuyulara toplam kaç taş atılmıştır? A) 40 B) 410 C) 400 D) 390 E) x bir pozitif tam sayı olmak üzere, x = 1 ile x arasındaki (1 ve x dahil) doğal sayıların sayısı x = 1 ile x arasındaki çift doğal sayıların sayısı biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) 4 D) 5 E) toplamında her terim 5 artırılırsa toplam kaç artar? A) 100 B) 95 C) 90 D) 85 E) 80 0

17 Ardışık Sayı Uygulamaları Çözümlü Örnek 08 Yukarıdaki şekilde mavi ile boyalı karelerin sayısı 31 olduğuna göre, beyaz ile boyalı karelerin sayısını bulalım. 1. sırada 1 mavi kare, diğer sıralarda ikişer mavi kare vardır. Bu durumda beyaz karelerin olduğu (31 1) : = 15 sıra vardır. Beyaz karelerin sayısı, 1, 3, 5,..., sıra sıra sıra sıra olduğundan toplamları = = 15 = 5 olur. Çözümlü Örnek 09 Bir tuhafiyede içine düğme konulan çok bölümlü iki kutu aşağıda verilmiştir Her bir kutunun bölümlerinden birincisine 1, ikincisine ve bu şekilde devam edilerek düğmeler konmaktadır. İlk kutunun son bölümünde 40, ikincisinin son bölümünde ise 41 düğme konulduğuna göre, iki kutudaki toplam düğme sayısı kaçtır? İlk kutudaki düğme sayısı: İkinci kutudaki düğme sayısı: = 41 [40 + 4] = = Yukarıdaki 100 kutu sırasıyla 1 den 100 e kadar numaralandırılmıştır. Ceren bu kutulardan 1, 4, 7, 10,..., 3n,..., 100 numaralı olanları mor renge boyanmıştır. Buna göre, mor ile boyanmayan kaç kutu vardır? A) 34 B) 35 C) 5 D) 65 E) 66 Yukarıdaki şekilde, tamamı eş kare motiflerle işlenmiş bir masa örtüsünün masadan sarkan parçası gösterilmiştir. Bu parçanın yan kenarlarında bulunan karelerin içi dolu, diğerlerinin ise boştur. Sarkan parçadaki dolu karelerin sayısı 19 olduğuna göre, boş karelerin sayısı kaçtır? A) 6 B) 64 C) 68 D) 7 E) 81 Sarı ve beyaz üçgenler kullanılarak şekildeki gibi bir süsleme yapılmıştır. Bu süslemede 45 tane sarı üçgen olduğuna göre, kaç tane beyaz üçgen vardır? A) 103 B) 93 C) 86 D) 75 E) 7 1

18 FAKTÖRİYEL Faktöriyel 1 d e n n y e k a d a r o l a n d o ğ a l s a y ı l a r ı n ç a r p ı m ı n a n faktöriyel denir ve n! şeklinde gösterilir. n! = n(n 1)(n ) ! = 1 1! = 1 Çözümlü Örnek 01 9! 8! 7! 9! işleminin sonucunu bulalım. 9! 8! 7! = 9.8.7! 8.7! 7! 9! 9.8.7! Çözümlü Örnek 0 (n + 1)! + n! = 10 n + = 7!.(7 8 1) = ! 7 = 7 8 eşitliğini sağlayan n değerini bulalım. (n + 1)! + n! = 10 (n + 1).n! + n! = 10 n + n + n!(n + ) = 10 n + n! = 10 n! = 5! n = ! + 6! 7! 6! işleminin sonucu kaçtır? A) 5 3 B) 4 3 C) 3 4. a ve b pozitif tam sayıları için a! = 110 b! D) 3 5 E) 3 olduğuna göre, a + b toplamı en az kaçtır? A) 18 B) 19 C) 0 D) 1 E) 3. a = 4!.8! b = 5!.7! c = 6!.6! olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) b < c < a 4. n 0 olmak üzere, D) b < a < c E) c < b < a (n + 1)! n! = 4.n olduğuna göre, n kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

19 Çözümlü Örnek 03 a, b, c ve d pozitif tam sayıları için 10! 18.8! = a.3 b.5 c.7 d olduğuna göre, a + b + c + d toplamını bulalım, 10! 18.8! = a.3 b.5 c.7 d ! 18.8! = a.3 b.5 c.7 d 8!.7 = a.3 b.5 c.7 d = a.3 b.5 c.7 d = a.3 b.5 c.7 d a = 10, b = 4, c = d = 1 olduğundan a + b + c + d = = 16 bulunur. Çözümlü Örnek 04 n ve A birer pozitif tam sayıdır. 53! = 3 n.a olduğuna göre, n nin en büyük değerini bulalım n nin en büyük değeri = 3 tür Çözümlü Örnek 05 47! sayısının sondan kaç basamağı 0 dır? Bu soru, 47! = a.10 n n en çok kaçtır? sorusu ile aynıdır. 47! = a. n.5 n = sondan 10 basamak 0 dır a, b ve c pozitif tam sayıları için 7! + 6! = a.3 b.5 c olduğuna göre, a + b c işleminin sonucu kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 8. x ve y birer pozitif tam sayıdır. 39! = 6 x.y olduğuna göre, x in alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 19 B) 18 C) 17 D) 16 E) A ve n birer pozitif tam sayıdır. 7! = 4 n.a olduğuna göre, n nin alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 3 B) C) 17 D) 11 E) ! 1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur? A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 1 3

20 SAYI BASAMAKLARI Basamak Kavramı Dört basamaklı abcd sayısının basamakları, abcd biçimindedir. birler basamağı onlar basamağı yüzler basamağı binler basamağı Cep Notu Dört basamaklı abcd sayısında c nin sayı değeri c, basamak değeri 10c dir. Çözümlü Örnek 01 1 den 80 e kadar olan sayılar soldan sağa doğru yan yana yazılarak A = sayısı elde ediliyor. Buna göre, A sayısının kaç basamaklı olduğunu bulalım. A = Bir İki basamaklı basamaklı 10 ile 80 arasında 71 tane sayı var. Her biri iki basamaklı olduğundan 71. = 14 basamak ordan gelir. 1 den 9 a kadar da 9 basamak geldiğinden A sayısı toplam = 151 basamaklı olur. Çözümlü Örnek 0 Üç basamaklı ve rakamları birbirinden farklı üç farklı doğal sayının toplamı 98 olduğuna göre, en küçük sayı en az kaç olabilir? Toplamları verilmiş sayıların en küçüğünün en az olabilmesi için diğer sayıları verilen şartlara uygun büyük sayılar seçmeliyiz. Soruda toplamı 98 olan üç sayıdan en küçüğünün alabileceği en küçük değer sorulduğundan diğer iki sayıyı mümkün olan en büyük sayılar seçmeliyiz. Sayıların hem rakamları birbirinden farklı hem de sayılar farklı olduğundan bu sayıları 987 ve 986 seçeriz = 1973 olduğundan en küçük sayı en az = 35 bulunur. 1. İki basamaklı beş doğal sayının toplamı 1 olduğuna göre, en büyük sayı en çok kaç olabilir? A) 76 B) 79 C) 81 D) 8 E) 83. En küçüğü 3 olan farklı dört doğal sayının toplamı 31 dir. Buna göre, en büyük sayı en çok kaç olabilir? A) 130 B) 131 C) 13 D) 133 E) sayfalık bir kitabın sayfaları sırasıyla 1 den 150 ye kadar numaralandırılıyor. Sayfalara numara verilirken kaç tane rakam kullanılır? A) 341 B) 34 C) ,, 5, 6, 7 D) 344 E) 345 rakamları birer kez kullanılarak yazılan rakamları birbirinden farklı beş basamaklı ABCDE sayısında A + E = B + D dir. Bu koşulları sağlayan kaç tane beş basamaklı ABCDE sayısı yazılır? A) 4 B) 8 C) 10 D) 1 E) 16 4

21 Çözümleme Üç basamaklı abc doğal sayısı abc = 100a + 10b + c birler basamağı onlar basamağı yüzler basamağı biçiminde çözümlenir. Çözümlü Örnek 03 İki basamaklı ab doğal sayısı rakamları toplamının 7 katına eşittir. Buna göre, a kaç farklı değer alır? ab = 7(a + b) 10a + b = 7a + 7b 3a = 6b a = b olur. a;, 4, 6 ve 8 değerlerini alabilir. Çözümlü Örnek 04 Üç basamaklı ABC doğal sayısının onlar ve yüzler basamağı yer değiştirdiğinde sayının değeri 450 azaldığına göre, A B farkı kaçtır? ABC sayısının onlar ve yüzler basamağı yer değiştirdiğinde BAC sayısı elde edilir. BAC sayısı ABC sayısından 450 eksik olduğuna göre, ABC BAC = 450 (100A + 10B + C) (100B + 10A + C) = A 90B = 450 ise 90(A B) = 450 A B = 5 bulunur. Çözümlü Örnek 05 Üç basamaklı bir doğal sayının sağına 1 yazılarak dört basamaklı A sayısı, aynı sayının soluna 5 yazılarak dört basamaklı B sayısı elde edilmiştir. A + B = 8565 olduğuna göre, üç basamaklı sayının rakamlarının toplamı kaçtır? Üç basamaklı sayı abc olsun. A = abc1 ve B = 5abc olduğundan A + B = abc1 + 5abc = 8565 abc abc = (abc) + abc = abc = 3564 abc = 34 a + b + c = 9 1. ABC, BCA ve CAB üç basamaklı birer doğal sayıdır. ABC + BCA + CAB = 888 olduğuna göre, ABC sayısının alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir? A) 107 B) 116 C) 17 D) 130 E) 134. A, B, C birer rakam ve AB iki basamaklı bir doğal sayıdır. AB (A + B + C) = 4 olduğuna göre, C kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 3. Üç basamaklı 3KM sayısı iki basamaklı KM sayısının 16 katıdır. Buna göre, K M farkı kaçtır? A) B) 1 C) 0 D) 1 E) 4. Zeki nin çantasının şifresi üç basamaklı bir sayıdır. Zeki, şifresini soran arkadaşına şunu söylemiştir: Eğer şifrenin birler basamağındaki rakam ile yüzler basamağındaki rakam yer değiştirirse asıl şifremin değeri 495 artmaktadır. Buna göre, Zeki nin oluşturduğu şifre aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 106 B) 57 C) 318 D) 419 E) 59 5

22 Konu Tamamlama Testi Aşağıdaki çemberlerin içine birer tam sayı, karelerin içine ise toplama (+) ya da çarpma (x) işlemlerinden biri yazılıyor. Karenin içindeki işlem o karenin üstündeki iki çemberin içindeki sayılara uygulanıp elde edilen sonuç o karenin altındaki çembere yazılarak aşağıdaki diyagram oluşturuluyor. 3 x 18 K M 7 Buna göre; K, L ve M harflerinin yerine yazılacak sayı ve işlemler aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? K L M A) 6 + x B) C) 6 x + D) 6 + x E) 6 x + L 4. x, y, z pozitif tam sayıları için x.y = 10 y.z = 15 olduğuna göre, x + y + z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 100 B) 70 C) 40 D) 50 E) 0 4. x, y, z birer doğal sayı ve x + y = 5 y.z = 7 olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) Fikri soldaki hesap makinesinde 46 sayısı ile iki basamaklı bir doğal sayıyı topluyor Fikri nin kızı Filiz ise rakamları bilmediği için babasının bastığı tuşlarla aynı konumdaki tuşlara aynı sırada sağdaki hesap makinesinde basıyor. Filiz in elde ettiği sonuç 137 olduğuna göre, Fikri nin elde ettiği sonuç kaçtır? A) 80 B) 81 C) 8 D) 83 E) a = 3, b = ve c = 4 olduğuna göre, kaçtır? A) 3 B) 1 3 a.b c işleminin sonucu b + c + a C) 1 D) 1 3 E) 3 7. a, b, c ardışık doğal sayılar olmak üzere, a > b > c dir. a.b = 4 olduğuna göre, c kaçtır? A) 8 B) 7 C) 5 D) 4 E) 3 6

23 8. Yukarıdaki gibi yerleştirilmiş karelerin içine rastgele sayılar yazılıyor. Yan yana duran karelerin içine yazılan sayılar toplanıyor ve sonuç okun gösterdiği kutunun içine yazılıyor. Örneğin; = = = x 8 15 Yukarıdaki şekle göre, x + y toplamı kaçtır? A) 48 B) 46 C) 4 D) 40 E) x, y, z pozitif tam sayıları için x y = 6 y z = 5 olduğuna göre, x in alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 7 B) 9 C) 10 D) 1 E) 13 y 10. Aşağıdaki tabloda bazı şehirler ve sıcaklık bilgileri verilmiştir. Buna göre, Şehir Sıcaklık İstanbul 7 C Rize C Ankara 3 C I. Rize deki hava sıcaklığının İstanbul ile aynı olması için sıcaklığının 9 C yükselmesi gerekir. II. Ankara da hava sıcaklığı 8 C azalırsa 5 C olur. III. Ankara ile Rize arasındaki sıcaklık farkı 5 C dir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 11. x, y ve z pozitif tam sayılar ve x + y = 4z + 10 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır? A) x.y B) x + z C) y + z D) 3x + y + E) x + y + z 1. a, b, c birer doğal sayıdır. a + b = 10 c = a b + 1 olduğuna göre, c nin alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 7

24 Konu Tamamlama Testi - 1. Yukarıdaki gibi üçgen biçiminde yerleştirilmiş çemberlerin içine aşağıda verilen kurala göre sayılar yazılarak sayı üçgenleri oluşturuluyor. Kural : Önce, üst satırdaki dört çemberin içine soldan sağa doğru artan ardışık sayılar yazılacaktır. Sonra, yan yana olan iki sayının toplamı çizgilerin birleştiği alt satırdaki çembere yazılarak sayı üçgeni tamamlanacaktır. Bu sayı üçgenindeki en büyük tek sayı 3 olduğuna göre, bu sayı üçgenindeki en büyük çift sayı kaçtır? A) 84 B) 8 C) 80 D) 78 E) den 9 a kadar olan doğal sayılar her çemberin içine farklı bir sayı gelecek şekilde yerleştirilecektir. Bu yerleştirmede okun çıktığı çemberdeki sayıya okun yanındaki işlem uygulanıp okun gösterdiği çemberin içine yazılacaktır. A x4 3 B +5 Buna göre, A, B ve C harflerinin bulunduğu çemberlere hangi sayılar gelir? A B C A) B) C) D) E) C x x, en çok üç basamaklı bir doğal sayı olmak üzere, T(x) : x sayısının basamaklarındaki rakamların toplamı Ç(x) : x sayısının basamaklarındaki rakamların çarpımı olarak tanımlanıyor. Örneğin, T(7) = 7 Ç(3) =.3 = 6 Ç(x) = 18 eşitliğini sağlayan üç basamaklı en büyük x doğal sayısı için T(x) kaçtır? A) 11 B) 1 C) 13 D) 14 E) Aşağıdaki şekilde, çember üzerindeki kare ve dairelerin içine pozitif tam sayılar yazılacaktır. Her karenin içindeki sayı kendisine komşu olan iki dairenin içindeki sayıların çarpımına eşit olacaktır. 36 Karelerin ikisine şekildeki gibi 18 ve 36 yazıldığına göre, boş karenin içine yazılacak sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 16 B) 7 C) 18 D) 1 E) 8 5. Her biri en az üç basamaklı olan on doğal sayının yüzler basamağı azaltılır, birler ve onlar basamağı 3 artırılırsa bu on sayının toplamı nasıl değişir? 18 A) 1700 artar. B) 1670 artar. C) 150 azalır. D) 1670 azalır. E) 1700 azalır. 8

25 6. a, b ve c birer gerçel sayıdır. a.b < 0, b.c < 0 ve a(b c) > 0 olduğuna göre, a, b ve c nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) +,, + B), +, C), +, + D),, + E),, 7. Rakamları birbirinden farklı olan ve yüzler basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakam yer değiştirdiğinde sayı değeri 594 artan üç basamaklı kaç farklı ABC doğal sayısı yazılabilir? A) 36 B) 30 C) 7 D) 4 E) 1 8. x, y ve z pozitif tam sayılardır. x = y = 3z olduğuna göre, x + y + z toplamının üç basamaklı en küçük değeri kaçtır? A) 108 B) 110 C) 14 D) 11 E) T.C. kimlik numaralarında soldan sağa doğru ilk 10 rakamının toplamının birler basamağı 11. rakamı vermektedir. Örneğin, sayısı T.C. kimlik numarası olmak üzere, = 3 olup 11. rakamı dir. Buna göre, soldan ilk on rakamı olan bir T.C. kimlik numarasının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) a, b iki basamaklı birer doğal sayı ve a b = 4 olduğuna göre, a nın alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 64 B) 65 C) 66 D) 67 E) x ve y birer tam sayı olmak üzere, I. x y tek ise, x.y çifttir. II. x + y çift ise, x.y tektir. III. x.y tek ise x y tektir. ifadelerinden hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 1.,,, sembollerinden her biri farklı birer rakamı gösterecek şekilde 0, 1, ve 3 rakamları ile eşleştirilerek biçiminde üç basamaklı doğal sayılar oluşturuluyor. Bu sayılar küçükten büyüğe sıralandığında 13, 01 ve 30 sayıları elde ediliyor. Buna göre, farkı kaçtır? A) 3 B) C) 1 D) 1 E) 9