EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ

Transkript

1 EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ 0 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

2

3 SAYILAR Z{,-,-,-,0,,,, } Z - {,-,-,-} negatif tam sayılar kümesi {0} (elemanı 0 olan bir küme) Z + {,,,,n,n+, } pozitif tam sayılar kümesi Z - {0} Z + Z biçiminde gösterilir. Tek-Çift Sayılar: n Z, n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı ve n- ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir. Çift sayılar kümesi Ç ile gösterilir. Ç{,-6,-,-,0,,,6,,n, } Tek sayılar kümesi T ile gösterilir. T{,-,-,-,,,,,n-, } Tek ve çift sayılarla ilgili genel özelliklerimizi bir tabloda gösterelim. T TÇ T TT n Z + T ÇT T ÇÇ T n T Ç ÇÇ Ç ÇÇ Ç n Ç Bölme işlemi için belli bir kural yoktur. ArdıĢık Sayılar: Belli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir. TAM SAYILAR VE DOĞAL SAYILAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Onluk sayma sisteminde kullanılan rakamlar kümesi, {0,,,,,,6,7,8,9} dur. Sayma Sayıları: ile başlayıp sonsuza kadar ardışık olarak büyüyen sayılar kümesidir. {,,,,n,n+, } dir. (n N + ) Doğal Sayılar: 0 ile başlayıp sonsuza kadar ardışık olarak büyüyen sayılar kümesidir. N{0,,,,,n,n+, } dir. (n N + ) Tam Sayılar: Doğal sayılar ve doğal sayıların negatiflerini aldığımızda oluşan kümeye tam sayılar kümesi denir. n Z olmak üzere; Ardışık tam sayılar{,-,-,0,,,,n,n+, } Ardışık çift tam sayılar{,-,0,,,n,n+, } Ardışık tek tam sayılar{ -,0,,,n-,n+, } ün katı ardışık tam sayılar; {,-,0,,,n,n+, } Kural: Artış miktarı eşit olan ardışık sayılardan sonlu tanesinin toplamı için ; a ilk terim a n son terim r ortak fark an a Terimsayısı n r Terimler Toplamı a a n.n olmak üzere, formülleri ile bulabiliriz. TAM SAYILARDA DÖRT ĠġLEM Toplama: Pozitif tam sayıların toplamı daima pozitiftir. (+) + (+7) Negatif tam sayıların toplamı daima negatiftir. (-7) + (-) -7-8 Zıt işaretli iki tam sayı toplanırken, birbirinden çıkartırız. Mutlak değerce büyük olanının işaretini veririz. (-7) + (+) -7 + (+7) + (-) 7 - Çarpma ve Bölme: Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı daima pozitiftir. (+7) (+) (-7) (-) EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

4 Zıt işaretli iki tam sayının çarpımı daima negatiftir. (-7) (+) - (+7) (-) - Asal Sayılar: den büyük, ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan doğal sayıya asal sayı denir. Bazı asal sayılar;,,,7,,,7,9,, Aynı işaretli iki tam sayının bölümü daima pozitif, farklı işaretli iki tam sayının bölümü daima negatiftir , -0 - Çıkarma: (+a) - (-b) a + b (+a) (+b) a b dir. Tam Sayılarda Kuvvet Alma: (). (-) (-).(-) (-) (-).(-).(-) -8 (-) 0 (+) 0 Negatif bir tam sayının, çift kuvveti pozitif, tek kuvvet, negatif bir tam sayıdır. (-), - - (-a) n a n (-a) n a n (n N) (-a) n- -a n- (n N) Mükemmel Sayı: Kendisinden başka pozitif bölenlerinin toplamı kendine eşit olan sayıya mükemmel sayı denir. n N ve (n+) asal sayı olmak üzere M n.( n+ -) ifadesi mükemmel sayıyı verir. Ancak bu formülün mükemmel sayılar için doğruluğu kesinlik kazanmamış olup araştırmalar devam etmektedir. 8 sayısının kendisi dışındaki pozitif bölenleri,,,7, dür olduğundan 8 mükemmel sayıdır. En küçük asal sayı dir. den büyük her doğal sayının en az bir asal sayı böleni vardır. den büyük bir n doğal sayısı, kendinden büyük olmayan hiçbir asal sayı ile bölünmüyorsa n asal sayıdır. 7 sayısının asal olup olmadığını anlamak için; 7,.. olduğundan 7 sayısı ve den küçük olan,,,7 ve asal sayılarından herhangi birine bölünmediği için 7 asal bir sayıdır. Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır? A) 9 B) 9 C) D) 67 E) 7 9, 9, 67 ve 7 sayıları ile bölünürler., sayısı,,,7, ve e bölünmediği için asal sayıdır. Aralarında Asal Sayılar: Yanıt: C Olarak bölenleri olan veya den büyük doğal sayılara aralarında asal sayılar denir. ( ve 6), ( ve ), (9,, 0) aralarında asal sayılardır. ile bütün sayılar aralarında asaldır. Ardışık pozitif tam sayılar aralarında asaldır. a ile b aralarında asal iki pozitif tam sayı ise, (a+b) ile (a.b) de aralarında asaldır. ile y ve a ile b aralarında asal sayı, y a b ise a ve yb dir.

5 ve y doğal sayılar, (+6) ve (y-) aralarında asaldır. (+6).(y-) 6 olduğuna göre, in kaç farklı değeri vardır? A) B) C) D) E) A dan küçük ve A ile aralarında asal olan doğal A. sayıların sayısı:.. a b c A nın tam sayı bölenlerinin çarpımı: (+6). (y-) 6 6 ise 0 ve y 9 ise ve y6 9 ise - N ve y 6 ise - N ve y8 Bu durumda in iki farklı değeri vardır. Asal Çarpanlara Ayırma: Bir doğal sayıyı, asal çarpanları türünden ifade etmeye asal çarpanlara ayırma denir olur. 0 A (+).(y+).(z+) 96 sayısını inceleyelim. 96. ) 96 sayısının pozitif tam sayı bölen sayısı: p (+).(+) tanedir. ) 96 sayısının tam sayı bölenlerinin sayısı:. tanedir. ) 96 sayısının asal bölenleri toplamı: + ) 96 sayısının tam sayısı bölenlerinin toplamı:0 ) 96 sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı: - tanedir. Bir Doğal Sayının Pozitif Bölenlerinin Sayısı: A bir doğal sayı olsun, a, b, c birbirinden farklı asal sayılardır., y, z pozitif tam sayılar ise A nın asal çarpanları Aa.b y.c z biçiminde ifade edilir. Buna göre A doğal sayısını bölen; Pozitif tam sayı bölen sayısı: (+).(y+).(z+) Tam sayı bölen sayısı:.(+).(y+).(z+) 6) Tam sayı bölenlerinin toplamı ile asal sayı bölenlerinin toplamının farkı: 0- - T 7) 96 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı: T olur. 6. Pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı: T(a 0 +a + +a )(b 0 +b + +b y )(c 0 +c + +c z ) veya y z T. a b c.. a b c 8) 96 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: (+).(+) Ç bulunur. EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

6 ÇÖZÜMLÜ TEST. A.(0).8.() sayısı kaç basamaklıdır?. a, b Z + olmak üzere, a+b8 koģulunu sağlayan kaç tane b sayısı vardır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) A) B) C) D) 6 E) 7., y N olmak üzere, +y olduğuna göre,.y nin alacağı en küçük değer ile en büyük değerlerinin toplamı kaçtır? 6., y ve z birbirinden farklı rakamlar ise, 6- y+z ifadesinin en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır? A) 6 B) 6 C) 6 D) 67 E) 69 A) B) C) D) 7 E) 9 7. a Z + ise; aģağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?. ifadesinin bir tam sayı belirtmesi için yerine kaç tane farklı tam sayı yazılabilir? A) a +a + B) a +a+7 C)a + a + a D) E) a -a +6 A) B) C) D) E) 6. a, b, c birer doğal sayı, a.b a.c77 olduğuna göre, a+b+c toplamı en az kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 7 8., y, z Z olmak üzere, z eşitliği y + 6 veriliyor. AĢağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) tek sayı B) y tek sayı C) y çift sayı D) çift sayı E) z tek sayı 6

7 9. a, b N + olmak üzere, (a+b) tek ve (a+b) çift bir sayıdır. Buna göre, aģağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır? A) a+b B) a.b C) a+b D) (a+b) E) a.b+. A +++ +n B (n-) A-B farkı 80 olduğuna göre, n kaçtır? A) B) C) 6 D) 7 E) 8 0. N, 0 < 6 arasındaki ile tam bölünmeyen sayılar kaç tanedir? A) B) C) 6 D) 7 E) 8. A A sayısının ikinci çarpanlarını arttırdığımızda sayı ne kadar artar? A) B) 6 C) 60 D) 6 E) 66., y, z ardışık tek sayıdır. >y>z olduğuna göre, ( - y) + ( - z) ifadesinin değeri kaçtır? (y - z). X olduğuna göre, A toplamının X cinsinden değeri nedir? A) X+ B) 6X+6 C) 6X D) X E) X+ A) 8 B) 6 C) D) E) -., y N + olmak üzere,. y dür. Buna göre, nin en küçük değeri kaçtır? y 6. (+) ve (y+) sayıları aralarında asaldır. olduğuna göre, -y farkı kaçtır? y A) B) C) 9 D) E) A) B) C) -6 D) -7 E) -8 7 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

8 ÇÖZÜMLER. A sayısının kat sayısı 8 e tam bölünüyor. O halde b sayısı ve ün katı olmalıdır., 6, 9,, değerlerini alır. 8 sayısında negatif değer alacağından b. +y. 8 dir. Yanıt: C 0 ve y.y0.0 en küçük değerdir. ve y.y. en büyük değerdir. Buradan 0+ bulunur. Sonuç: Toplamları sabit olan iki doğal sayı birbirine en uzak değerler seçildiğinde çarpım en küçük değerini alır. Birbirine en yakın iki değer seçildiğinde çarpım en büyük değerini alır. I. yol: ifadesinde pay paydaya bölünür Tam 9 Pay Bölünen Kalan Bölüm+ olduğundan Bölen Bölen + 9 dir. Bu sonucun tam sayı olması için, kesirli ifadenin tam sayı olması gerekir. 9 sayısının tam sayı bölenleri,, 9 olmak üzere 6 tane olduğundan, + yerine 6 tane farklı tam sayı yazılır. yerine yazılacak tam sayı değerleri; II. Yol: değişkeni 6 farklı değer alır ( + ) Bu işlemden sonra değer bulma işlemleri yukarıdaki örnekte olduğu gibi aynen uygulanır.. a.b a.c 77 a.b 7.6 a.c 7. olduğuna göre a7, b6, c dir. a+b+c7+6+ olur.. A.(..0). 6. A A A.(.) 6.0 Yanıt: E Yanıt: C A A basamaklıdır. Bu sayının sondan 8 basamağı sıfırdır y+z en büyük değeri için 9, y0 ve z8 olmalıdır y+z en küçük değeri için 0, y9, z olmalıdır Toplamları: a +a + daima çifttir. T+T+Ç (a T) Ç+Ç+Ç (a Ç) B) a +a+7 daima tektir. T+T+7T Ç+Ç+7T C ve D şıkları tek veya çift olabilir. Yanıt: D E şıkkı ise daima çifttir. Bu soruyu a yerine herhangi bir sayı vererek de çözebilirsiniz. Ancak a sayısını tek ve çift vermeyi unutmamalısınız. 8

9 8. Payda daima çift ve sonuç tam sayı olduğu için, pay çift olmak zorundadır. Bu durumda +7 sayısı çift ise tek sayıdır. ( n - +) n - - (n+).(n - 8) B. + n.(n +) (n +).(n - 8) A-B a+b tek sayı ise T+Ç T eşitliğinden, a tek bir sayıdır. a+b çift sayı ise Ç+Ç Ç eşitliğinden b çift bir sayıdır. Buna göre, a+b toplamı daima tek sayıdır. Yanıt: C (n+) ortak parantezine alalım. ( n +).(n - n + 8) 80 (n ).8 80 n+ n 0. 6 tane sayı ile bölünür >y>z ise, y, z tek sayıları alınırsa; ( - ) ( -) + ( -) 8 + Yanıt: C. A II. çarpanları bir arttıralım ve yeni sayı B olsun. B olur. A B B-A+++ + B-A nın toplamı, artış miktarıdır. B-A sayı 6 artar. Yabın: B.. y... y y elde etmek için.. olmalı... y 6. y y.. bulunur. y. Toplam ( n+) n - A. + (ilk terim + son terim) (n+).n. terim sayısı toplamında ve ortak sayı olduğundan ve parantezine alınır..( )6 olur. Yanıt: C 6..(+).(y+) 0+y+6 (+)+(y+)+ (+)(y+) (+) ve (y+) aralarında asal olduğundan + y+ olur. -y -8 bulunur. Yanıt: E 9 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

10 DOĞAL SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĠ (Basamak Analizi) (y)+(y) olduğuna göre, < y koşulu ile kaç farklı y sayısı yazılabilir? A) B) C) D) E) a, b, c birer rakam olmak üzere, İki basamaklı bir doğal sayı: (ab) 0a+b Üç basamaklı bir doğal sayı: (abc) 00a+0b+c Dört basamaklı bir doğal sayı: (abcd) 000a+00b+0c+d şeklinde çözümlenir. İki basamaklı bir (ab) sayısının rakamlarının yer değiştirdiğinde elde edilen sayı (ba) dır. (ab)+(ba) (0a+b)+(0b+a) (a+b) (ab)-(ba) (0a+b)-(0b+a) 9(a+b) Sonuç: İki basamaklı bir sayının rakamlarının yerleri değiştirilerek elde edilen sayılar için: a) İlk iki sayı ile toplanırsa sonuç sayısının katıdır. b) İlk sayı ile farkları ise 9 sayısının katıdır. c) İki basamaklı (ab) doğal sayısı, rakamlarının sayı değerlerinin toplamının katına eşitse (ba) doğal sayısı, rakamlarının sayı değerlerinin toplamının (-) katına eşit olur. (abc)-(cba) 99. (a-c) (y)+(y) (+y) (y)+(y) (+y) ise +y < y koşuluna uyulduğunda +y toplamları , 8 ve 67 olmak üzere tane yazılabilir. Yanıt: C İki basamaklı (ab) sayısı rakamlarının toplamının katına eşittir. Buna göre, (ba) doğal rakamları toplamının kaç katıdır? A) B) C) D) E) 6 Çözüm : (ab) (a+b) 0a+b a+b a b ise a, b Bu durumda (ba) olur..(+) ise 6 bulunur. a b c c b a - ise, y +z 9 dur. y z İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirdiğinde bu sayı 6 küçülüyor. En büyük sayı kaçtır? Çözüm : Verdiğimiz özelliğe göre, ab.(a+b) ise ba (-).(a+b) ise - 6 bulunur. Yanıt: E A) 9 B) 87 C) 96 D) 76 E) 97 İki basamaklı sayı (ab) olsun. (ab)-(ba) 6 9(a-b) 6 a-b 7 dir. En küçük: 8 ve En büyük: 9 dir. (y) ve (y) iki basamaklı sayıdır. 0

11 TABAN ARĠTMETĠĞĠ Günümüzde kullanılan sayı sistemi 0luk tabana göre düzenlenmiştir. Sayı sistemleri n taban ve n > olmak koşulu ile n tabanında da yazılabilir. (abcde) n a.n +b.n +c.n +d.n +e.n 0 n tabanında çözümleyerek 0 tabanına çevirebiliriz. Taban aritmetiğinde sayıyı oluşturan rakamlar daima verilen tabandan küçük olmalıdır. ve 6 sayı tabanıdır. (a) 6 ve (b) iki sayı ise (a+b) toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) a < 6 ise a b < ise b a+b + 9 olur. Herhangi Bir Tabandan 0 luk Tabana Çevirme: Herhangi bir tabandan 0 luk tabana çevirirken verilen sayı hangi tabanda ise, o tabana göre çözümlenir. 6 tabanında rakamları farklı basamaklı en küçük sayının 0 luk tabandaki değeri kaçtır? 6 tabanında en küçük basamaklı sayı, (0) 6 dır. ( 0 ) Onluk Tabandaki Sayıyı Herhangi Bir Tabana Çevirme: 0 tabanında verilen bir sayıyı n tabanında yazmak için; verilen sayı n sayısına ardışık olarak, bölüm tabandan küçük olana kadar bölünür. Son olarak elde edilen bölümden başlayarak kalanlar sağdan sola doğru yazılır. 87 sayısını 6 tabanında yazınız. BASAMAK DEĞERĠNĠN BULUNMASI Aşağıdaki tablo 0, 7, ve n tabanındaki sayıların sağdan sola doğru basamaklarının bulunuşunu göstermektedir. Taban Sayı Sağdan Sola Doğru Çözümleme 0 (abcd) 0 0 a+0 b+0c+d 7 (abcd) 7 7 a+7 b+7c+d (abcd) a+ b+c+d n (abcd) n n a+n b+nc+d (0) tabanındaki sayının basamak değerini bulunuz. ( 0 ) 0 nin basamak değeri:. 0 ün basamak değeri:. 7 0 ın basamak değeri: 0. 0 ün basamak değeri:. 0 in basamak değeri: (87) 0 () 6 bulunur. 0 Taban Aritmetiğinde ĠĢlemler: a) Toplama: () 6+() 6 toplamının sonucu 6 tabanında kaçtır? ()6 + ()6 (0)6 + 0 sayısı 6 ile bölünür, kalan ve bölüm dir. Kalan aynen yazılır, bölüm elde olur. + toplamına elde eklenir, 6 olur. 6, 6 ya bölünür. Kalan 0 aynen yazılır, elde olur. + 7 toplamına elde eklanir, 8 olur. 8, 6 ya bölünür. Kalan aynen yazılır, elde olur. Sola yazılır. EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

12 b) Çıkarma: Taban Aritmetiğinde Tek ve Çift sayılar: (0) 7-(6) 7 çıkarma işleminin 7 tabanındaki değeri kaçtır? (0) 7 - (6) 7 () 7 den 6 çıkmaz, komşudan bir 7 alırız, 9 dan 6 çıkar kalır. yerinde 0 kaldı, komşudan 7 alırız, çıktı kaldı. 0 yerine 6 kaldı, 6 dan çıkar kalır. yerinde 0 kaldı, 0 da yazılmaz. c) Çarpma: Sayının tabanı çift ise, sayının birler basamağına bakılır. Birler basamağı tek ise sayı tektir. Birler basamağı çift ise sayı çifttir. () 8 sayısında taban çift, birler basamağı olduğundan sayı tektir. O halde sayımız tek sayıdır. (0) 6 sayısında taban ve birler basamağı çifttir. O halde sayımız da çifttir. Taban tek ise rakamlar toplamına bakılır. Bu toplam tek ise sayı tektir. Bu toplam çift ise sayı çifttir. ().() çarpma işleminin sonucu tabanında kaçtır? () () + () Çarpma işleminde 0 luk tabanda olduğu gibidir. Çarpımın sonucu tabana bölünür. Bölüm eldeler olur, kalan yazılır. Bir Tabandan BaĢka Tabana Çevirme: 6 tabanında verilen () 6 sayısının 7 tabanındaki değeri kaçtır? (7) 9 taban tek, ++7+ tek sayı olduğundan sayı tektir. (0) 7 taban tek sayıdır çift sayı olduğundan sayı çifttir. (6ab)8 sayısı tek sayı olduğuna göre, a+b nin en büyük değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 6 b < 8 ise b7 taban çift ise birler basamağı tek sayı olacaktır. a < 8 ise a 7 ve a+b olur. Yanıt: C () 6 önce 0 luk tabana çeviririz. () (90) 0, 7 lik tabana çevirelim () 6 (00) 7

13 ÇÖZÜMLÜ TEST. (ab) iki basamaklı doğal sayısı rakamları toplamının 7 katıdır. En küçük (ab) sayısı ile en büyük (ab) sayısının toplamı kaçtır?. (yz), (yz) ve (zy) üç basamaklı doğal sayılardır. (yz) + (yz) + (zy) ifadesinin değeri kaçtır? + y + z A) B) C) 7 D) 99 E) A) 0 B) 0 C) 98 D) 96 E) 9. (abc) ve (cba) üç basamaklı iki doğal sayıdır. (abc)-(cba) 9 olduğuna göre, bu koģulu sağlayan kaç farklı (abc) sayısı yazılır? 6. (ab8) ve (ba) üç basamaklı doğal sayılardır. (ab8) (ba) olduğuna göre, (a-b) kaçtır? A) 9 B) 6 C) D) 6 E) 9 A) B) 0 C) 0 D) E) 0. A (6X7Y) ve B (X8Y) sayıları, basamaklı birer doğal sayı olduğuna göre, A-B farkı kaçtır? A) 00 B) 000 C) 990 D) 970 E) Her biri en az dört basamaklı 7 sayının binler basamağı er arttırılır, yüzler basamağı er azaltılır, onlar basamağı Ģer arttırılırsa bu sayıların toplamı ne kadar artar? A) 00 B) 0 C) 0 D) 0 E) 00. Üç basamaklı (6y) sayısı, (y) iki basamaklı sayısının 6 katıdır. Buna göre, +y toplamı kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 7 8. (y) ve (y) iki basamaklı doğal sayılardır. y 7 olduğuna göre, (y) (y) kaçtır? A) 9 B) 69 C) 79 D) 89 E) 89 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

14 9. (yz) üç basamaklı sayısının sayı değerlerinin çarpımı dir. Bu koģula uygun kaç tane üç basamaklı sayı yazılır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) ÇÖZÜMLER. (ab) 7(a+b) 0a+b 7a+7b a 6b a b En küçük b için a En büyük b için a bulunur. 0. ve taban olmak üzere, () (0) eģitliğinde kaçtır? A) B) 6 C)7 D) 8 E) 9. (abc)-(cba) 9 (00a+0b+c)-(00c+0b+a) 9 00a+0b+c-00c-0b-a 9 99(a-c) 9 a-c 6 bulunur. a 7, 8, 9 ve c,, olur. b rakamı 0 tane rakam da yazılabilir. 0 0 Yanıt: E. 0 tabanındaki 8 ün tabanında yazılıģı nedir? A) 000 B) 0000 C) 0000 D) E) A X+7.0+Y B X+8.0+Y taraf tarafa çıkaralım. A-B Yanıt: C. sayı tabanı olmak üzere, (,) +(,) toplamının 0 tabanındaki değeri kaçtır? A), B), C) 7, D) 7, E) 7,. (6y) 6(y) 600+(y) 6(y) 600 (y) (y) 0 ve y 0 dır. +0

15 . (yz) 00+0y+z (yz) 00y+0z+ + (zy) 00z+0+y (yz)+(yz)+(zy) +y+z (yz) + (yz) + (zy) ( + y + z) + y + z + y + z Yanıt: E 9. basamaklı, rakamlarının sayı değerlerinin çarpımı olan sayılar,,,,,, (6 sayı yazılabilir.) 6, 6, 6, 6, 6, 6 (6 sayı yazılabilir.) Toplam sayı elde edilir. Yanıt: D 6. (ab8) (ba) 00a+0b+8 - (00b+0a+) 00a+0b+8-00b-0a- 90a 90b 0 90(a b) 0 a b (a b) bulunur. Yanıt: C 0. () (0) olamaz 6 dır. 7. Binler basamağı arttırılır ise sayı 000 artar artar. Yüzler basamağı azaltılırsa sayı 00 azalır azalır ve azalır. Onlar basamağı arttırılırsa sayı 0 artar..0 0 artar ve artar artar.. 8 sayısını ün kuvvetleri biçiminde yazalım. ( ) 9 8. ( ).. (0000) Yanıt: C. (,) + (,) (0,) ( 0, ) (y) (y) (y+y)(y y) (+y)(9 9y) (+y)9( y) 99( y ) , 7, Yanıt: E EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

16 BÖLME VE BÖLÜNEBĠLME A, B, C, K birer tam sayı olmak üzere; A B A: Bölünen - C B: Bölen K C: Bölüm K: Kalan ( bölme özdeşliği) a) A B.C+K b) 0 K < B (kalan özelliği) c) K C ise bölen (B) ile bölüm (C) yer değiştirdiğinde kalan yer değiştirmez. A doğal sayısı ile bölündüğünde bölüm, kalan 7 dir. A sayısı kaçtır? A) 00 B) 0 C) 07 D) 08 E) 09 A A.+7 - A 09 dir. 7 CEVAP: E A, B N A 8 - B+ B- Yukarıdaki bölme işleminde A nın alacağı en büyük değer kaçtır? A) B) 7 C) 96 D) E) A 8.(B+)+B- 8 > B- ise > B ve B alınırsa, A bulunur. Yanıt: D BÖLÜNEBĠLME KURALLARI İşlemleri daha kolay ve daha hızlı yapabilmek için bazı sayıların tam bölünebilme kurallarının işleyeceğiz. ) ile bölünebilme: Her çift sayı ile tam bölünür. -0, -8, 0,, 6 gibi. ) ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı ve sayısının katı olmalıdır k ün katı değil 7 sayısı e bölünemez ün katı, 68 sayısı e tam bölünür. 7a dört basamaklı sayısının e tam bölünmesi için a kaç değer alır? 7+a++ +a a {,, 8} üç değer alır. Not:. {0,, 6, 9}. {,, 7}. {,, 8} e bölünebilmede verilen sayının içindeki değişken bu üç kalıptan birini alır. ) ile bölünebilme: Son iki basamağı ve ün katı olan sayılar ile bölünür. sayısı e tam bölünür. Çünkü sayısı ün katıdır. 00 sayısı ile tam bölünür. 00 ün katıdır. ) ile bölünebilme: Birler basamağı 0 ve olan sayılar ile tam bölünür. -6, -0,, 0, gibi. ) 9 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 9 ve 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir. 6

17 (6a6) beş basamaklı sayısı 9 ile tam bölündüğüne göre, a nın alacağı kaç tane değer vardır? 6++a++6 9k 8+a 9k a 0 veya a 9 iki tane değer alır. ( ) sayısı basamaklı bir sayıdır. Bu sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? ( ) tane rakamının toplamı,. dir kalan 8 olur. 6) 0 ile bölünebilme: Birler basamağı 0 olan sayılar 0 ile bölünür. 0, 0, 70, gibi Kural: A) ve ile tam bölünen sayılar, 6 ile tam bölünür. B) ve ile tam bölünen sayılar, ile tam bölünür. C) ve ile bölünen sayılar, ile tam bölünür. D) ve 9 ile tam bölünen sayılar, 8 ile tam bölünür. E) ve ile tam bölünen sayılar, 0 ile tam bölünür. F) Son iki basamağı 00 veya in katı olan sayılar, ile tam bölünür. (sayının son rakamı 00,, 0, 7 olmalıdır.) G) ve ile tam bölünen sayılar, ile tam bölünür. H) ve 9 ile tam bölünen sayılar, 6 ile tam bölünür. İ) ve 9 ile tam bölünen sayılar ile tam bölünür. 7) ile bölünebilme: abcde basamaklı bir sayı ise, a b c d e olmak üzere, (a+c+e) (b+d) k, k Z ise, bu sayı ile tam bölünür. 7b dört basamaklı sayısının 0 ile bölümünden kalan 7 dir. Buna göre, 7ab sayısının ile tam bölünmesi için a kaç olmalıdır? 7b sayısının 0 ile bölümünden kalan 7 ise b7 dir. 7a7 sayısının e tam bölünmesi için, (7+7) a k (k Z) a k k alınır. a a olur. 7 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

18 ÇÖZÜMLÜ TEST. (76) dört basamaklı sayısı 6 ile kalansız bölünüyor. kaç farklı değer alır? A) B) C) D) E). 8 - n+ n Yukarıdaki bölme iģleminde in alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 0 B) C) 7 D) E) 7. Dört basamaklı ab sayısı ile tam bölünüyor. Buna göre a+b nin alabileceği en büyük değer kaçtır? 6. (y) iki basamaklı bir sayıdır. 78 y - 0 Yukarıdaki bölme iģlemine göre y kaçtır? A) 6 B) 70 C) 7 D) 80 E) 8 A) B) C) 6 D) 7 E) 8. (77y) beş basamaklı sayısı ile bölündüğünde kalanını vermekte ayrıca 9 ile tam bölünmektedir. Buna göre in alacağı değerler çarpımı kaçtır? A) 8 B) C) D) E) 7. Aşağıdaki işlemlerde her harf farklı bir rakam belirtmektedir. A B C D ABCD CD - C D A y Yukarıdaki iģlemlere göre, +y kaçtır? A) B) 8 C) 0 D) E). (y6) beş basamaklı doğal sayı ve ile tam bölünüyor. Buna göre, +y toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır? A) B) C) D) E) 8. y 7 - y 8 Yukarıdaki bölme iģleminde in en küçük değeri kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) E) 6 8

19 ÇÖZÜMLER. 6 ile tam bölünmesi için sayı ve ile tam bölünmelidir. değeri çift rakam olmalıdır toplamı ün katı olmalıdır. + k için +. 7 k için +. k 6 için +.6 k 8 için k sadece değerini alır. Yanıt: D y 6 ile bölünmesi için, ) (++6) (+y) k (k Z) olmalıdır. ile bölünmesi için, +++y+6 +y+ k +y toplamı ve ün katı olmalıdır. ) +y k (k Z) ve yi sağlayan ve y değerlerini bulalım. y+ k ve +y k için y + 6 için y için y y toplamı farklı değer alır. Yanıt: C. ab sayısının ile bölünmesi için aynı anda ve e bölünmelidir. Ayrıca a ve b en büyük seçilmelidir. Önce ile bölünebilme kuralı uygulanır. b sayısı ün katı olmalıdır. b 0 için 0 b b için b 8 için 8 olabilir. En büyük b değeri 8 olur. a8 +a++8 k olmalı +a k a en büyük 9 değerini alır. Böylece a+b bulunur. Yanıt: D. 8.(n+)+(n ) kalan bölenden küçüktür. n < 8 ise n < dür. in en büyük değeri için n nin en büyük değeri olmalıdır. n ise 8.(+)+( ) bulunur. Yanıt: C (y) (y) 70 0.(y) ise (y) 7 Yanıt: C y sayısının ile bölümünden kalanın olması için, 7y 7 ve 76 e tam bölünür y y 7 olmalıdır. 77 sayısının 9 a bölünmesi için, k sayısının 9 a bölünmesi için, k Bu durumda. 6. bulunur. A B C D işleminde A rakamı 7 veya 8 dir. - C D C olduğundan A 8 bulunur. 7 8 A D, C 9 ve B 7 olur Yanıt: D 8. Bir bölme işleminde bölen kalandan daima büyüktür. y 7 > 8 ise y > y 6 alınırsa, (6 7).6+8 bulunur. Yanıt: C 9 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

20 FAKTÖRĠYEL (eğer a nın asal çarpanlarının içinde kuvveti birden büyük olan varsa bulunan kuvvet asal çarpanın üssüne bölünür ve bölüm alınır.) sayısından n sayısına kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir, n! olarak götserilir n n! 0!!!.!.. 6!...! n!... Faktöriyelin Bazı Özellikleri:. n olmak üzre, n! bir çift doğal sayıdır.. n olmak üzre, n! sayısının son rakamı sıfırdır. Yani, n! sayısının sonunda n! in içindeki asal sayısı kadar 0 rakamı bulunur.. n!- sayısının sonundaki 9 rakamlarının sayısı n! in sonundaki sıfır rakamlarının sayısı kadardır..,y,n birer sayma sayısı ve a bir asal sayı olmak üzre n! a.y koşulunu sağlayan en büyük n doğal sayısını bulmak için sayısı a asal sayısına bölünür ardışık bölme işlemine bölüm sıfır veya a dan küçük oluncaya kadar devam edilir. Elde edilen bölümler toplanır, toplamın sonucu kadar a asalı mevcuttur! içinde..,y,n birer sayma sayısı ve a bir asal sayı değilse n! a.y koşulunu sağlayan en büyük n doğal sayısını bulmak için, a sayısı asal çarparlarına ayrılır ve her asal için (.) durumdaki işlem tekrarlanır. 0

21 . ÇÖZÜMLÜ TEST 9!- 8! 7!+6! iģleminin sonucu kaçtır?. A.8! eģitliğinde A nın en küçük değeri alması için kaç olmalıdır? A) B) C) D) 0 E) 8 A) 6 B) 8 C) 60 D) 6 E) 6 (n +)!. (n -)! olduğuna göre, n kaçtır? 6. 8! sayısının asal olmayan doğal sayı bölenleri kaç tanedir? A) 97 B) 96 C) 9 D) 9 E) 90 A) 0 B) C) D) E). 99! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 9 B) 0 C) D) E)! 7. K K bir tam sayı olduğuna göre, +y. y nin en büyük değeri kaçtır? A) 7 B) 9 C) 0 D) E). (6! 8!) sayısının sondan kaç basamağında 9 vardır? A) B) C) D) E) 6 8., y, z asal sayı olmak üzere, 8! ifadesi tam sayı olduğuna göre,.y.z (+y+z) ifadesinin en büyük değeri kaçtır? A) B) 0 C) D) 7 E) EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

22 ÇÖZÜMLER. 9!- 8! 9.8!-8! (9 -).8! ! 6 7!+6! 7.6!+6! (7 +).6! 8.6!. (n+)! (n+).n.(n-)! olarak yazılabilir. (n +)! (n +).n.(n -)! (n -)! (n -)! (n+).n n +n- 0 n - n (n-).(n+) 0 n veya n - - negatif sayı olduğu için alınmaz çünkü (-)! yoktur. n bulunur.. Sona gelen sıfır rakamını, içinde ve çarpanı olan sayılar oluşturur. n! sayısının içinde kaç tane rakamı var ise o kadar sıfır vardır. n sayısı e ardışık olarak bölünür. Bölenlerin toplamı bize kaç tane sıfır olduğunu verir tane çarpanı vardır. O halde tane sıfırı vardır. Yanıt: D. (6! 8!) 8! sayısında kaç tane sıfır var ise, bu işlemin sonucunda, sağdan sola o kadar 9 rakamı vardır. 8 + tane 9 rakamı vardır..! A.8! A 8 8, sayısını ye ardışık böleriz ve bölümleri toplarız. 7 6 tane vardır. 8 i oluşturalım. 6 ( ) bulunur. 6. 8! Sayısının asal bölenlerini bulalım. Yanıt: E ! Sayısında 7 tane 8! tane tane tane 7 var. Pozitif bölenleri (7+).(+).(+).(+) Asal olmayan bölenleri sayısı 96 9 dir y y +8 olur. 8. Yanıt: D Yanıt: E 8! içindeki en büyük asal sayılar 7,, dir. 7++ Yanıt: E

23 O.K.E.K. O.B.E.B. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN - EBOB (OBEB) En az biri sıfırdan farklı olan iki ya da daha çok sayıyı aynı anda bölen en büyük pozitif sayıya bu sayıların en büyük ortak böleni denir. e.b.o.b. (a,b) veya (a,b) e.b.o.b. biçiminde gösterilir. a ile b nin ortak böleni ise, 6 ile 8 in en büyük ortak böleni kaçtır? I. yol: 6 nın pozitif bölenlerinin kümesi A ise, A {,,,, 6, 9,, 8, 6} 8 in pozitif bölenlerinin kümesi B ise, B {,,,, 6, 8,, 6,, 8} A B {,,,, 6, } e.b.o.b. (6,8) dir. II. yol: Ortak olanların en küçük üsleri alınır, çarpılır. e.b.o.b. (6,8). dir. III. yol (pratik yol): İki sayıyı aynı anda bölen sayılar işaretlenir. İşaretli sayıların çarpımı bize e.b.o.b. u verir. e.b.o.b. (6,8).. dir. EN KÜÇÜK ORTAK KAT - EKOK (OKEK) Sıfırdan farklı iki veya daha fazla sayıdan her birinin katı olan en küçük doğal sayıya bu sayıların en küçük ortak katı denir. e.k.o.k. (a,b) veya (a,b) e.k.o.k. biçiminde gösterilir. a ile b nin en küçük ortak katı ise, 6 ve 8 in en küçük ortak katı kaçtır? I. yol: 6 nın katlarının kümesi A ise, A,6, 7, 08,, 80, 6,, 88, - 8 in katlarının kümesi B ise, B,8, 96,, 9, 0, 88, - A B,, 88, - e.k.o.k.(6,8) dür. II. yol: e.k.o.k.(6,8). Ortak asal sayıların en büyük üslü olanları ile ortak olmayanların çarpımı sayıların e.k.o.k. unu verir. III. yol: Ortaklık aranmaksızın bütün sayılar çarpılır. e.k.o.k.(6,8)... EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

24 EBOB(a,b) EBOB(-a,-b) EBOB(-a,b) EBOB(a,-b) a ile a nın tam sayı bölenleri aynı olduğundan EKOK(a,b) EKOK(-a,-b) EKOK(-a,b) EKOK(a,-b) A ve B doğal sayı ve A<B ise, EBOB(A,B) A B EKOK(A,B) dir. A ile B ardışık iki sayı veya aralarında asal sayılar ise, EBOB(A,B) ve EKOK(A,B) A.B dir. A ve B iki doğal sayı olmak üzere, EBOB(A,B) ise A.m (m ve n aralarında asal sayılar) Kesirli sayıların ebob ve ekok larını bulurken; Ebob ekok a c, b d a c, b d ebob(a.d,c.b) ekok(b,d) ekok(a,c) ebob(b,d) 9 ile sayılarının en büyük ortak böleni ile en küçük ortak katının toplamı kaçtır? B.n EKOK(A,B).m.n dir. EBOB(a,b) m EKOK(a,b) n ise ma(a+b) m+n dir. k Z {0} EKOK (k.a,k.b) k. EKOK(a,b) 9 ebob, ebob ekok 9, 9, ebob(.,.9) ekok(,) 0 ebob(6,) ekok(,) ekok(,9) ebob(,) 6 6 a, b Z + EKOK(a,b) ve a.b 6 olduğuna göre, a+b en az kaç olabilir? dir. Verilen problemin ifadesinde soru kökü bütünden parçaya ise, sayıların EBOB u bulunur. a.b EKOK(a,b). EBOB(a,b) 6. EBOB(a,b) EBOB(a,b) a.m EKOK(a,b).m.n b.n.m.n 6 m.n m, n a. 8 b. 7 a+b 0 veya 6 m.n m, n 6 a. b.6 a+b 68 (a+b) nin alacağı en küçük değer 0 dir. 0 kg, 60 kg ve 6 kg lık çuval pirinç hiç artmayacak biçimde eşit torbalanacaktır. En az kaç torbaya ihtiyaç vardır? Çuvalları bütün torbayı parça olarak kabul edersek; 0, 60 ve 6 sayılarının EBOB unu buluruz. EBOB(0, 60, 6) Bir torbaya kg pirinç konacak anlamına gelir. Her bir çuval için gereken torba sayısı bulunur ve bunlar toplanarak toplam torba sayısı elde edilir. 0 : 0 60 : 6 : 0++ torbaya ihtiyaç vardır. Verilen problemin ifadesinde soru kökü parçadan bütüne ise sayıların EKOK u bulunur.

25 Boyutları, 0, cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutular yan yana getirilerek en küçük boyutlu bir küp yapılacaktır. En az kaç kutuya ihtiyaç vardır? Kutunun boyutu parça, küpün boyutunu bütün kabul edersek, ÇÖZÜMLÜ TEST. Bir torbada 70 ile 00 arasında bilye vardır. bilyeleri 6 şar, 8 er ve şer saydığımızda her seferinde bilye artıyor. Torbada kaç bilye vardır? A) 8 B) 88 C) 9 D) 96 E) 98 EKOK(,0,) 60 Yapılacak küpün bir boyutu 60 cm dir. küpün hacmi Kutu sayısı kutunun hacmi kutuya ihtiyaç vardır.. a 8 ve b 0 ve EBOB(a,b) olduğuna göre, EKOK(a,b) kaçtır? A) 0 B) 0 C) 80 D) 80 E) 70 a ve b doğal sayılarının ekok u 60 dır. a+b nin en büyük değeri kaçtır? a+b nin en büyük değer alması için sayıların ekok u verilmişse sayılar birbirine eşit alınır. Çünkü eşit olan iki sayının ekokları da kendilerine eşittir. a 60 ve b 60 olur. a+b dir.. 0, ve sayılarının EBOB u ve EKOK u 700 dür. sayısının en büyük ve en küçük değerinin farkı kaçtır? A) 6 B) 6 C) 6 D) 66 E) 67 a ve b birbirinden farklı iki doğal sayıdır. ekok(a,b) 60 ise a+b nin toplamı en çok kaç olur? Sayılar birbirinden farklı dediği için en büyük olma koşulu ilk ekok a eşit olan sayı diğeri de o sayının katı olan en küçük sayıdır. a 60 ve b 0 olur. a+b bulunur.. 6,, sayılarına bölünebilen en küçük tam sayı 7 değeri kaçtır? A) 0 B) C) 0 D) E) 60. A 8+ 0y+7 z eşitliğinde A sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 7 B) 60 C) 6 D) 66 E) 69 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

26 6. 6 ve 8 ile bölünebilen iki basamaklı sayıların toplamı kaçtır? A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60. A!+0! Ve B! 0 EKOK(A,B) oranı kaçtır? EBOB(A,B) olduğuna göre, A) 00 B) 0 C) 00 D) 0 E) Boyutları 00 cm, 80 dm ve 0 m olan bir dikdörtgenler prizması şeklindeki bir depoya hiç boşluk kalmayacak biçimde en az kaç tane eş küp kutular yerleştirilir? A) 0 B) C) 8 D) E) 6. EKOK(8,90,).. EBOB(8,90,) 6 olduğuna göre, en küçük doğal sayısı kaçtır? A) 0 B) 0 C) D) 7 E) 0 8. a N + EKOK(a+,a ) EBOB(a+,a ) olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 8. a ve b pozitif tam sayılardır. EBOB(a,b) dir. a.b 700 olduğuna göre, kaç farklı (a,b) ikilisi yazılabilir? A) 6 B) 8 C) D) E) 9. 7 sayısına en küçük hangi pozitif tam sayı eklenirse bu sayı, 8 ve ile tam bölünür? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 0. Dairesel bir koşu pistini I. atlet sn de, II. atlet 0 sn de, III. atlet ise 8 sn de koşabiliyor. Aynı noktadan üçü beraber koşuya başladıktan kaç dakika sonra başlangıç noktasından beraber geçerler?., y N + +y EKOK(,y) 00 olduğuna göre, in alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 8 B) C) D) 7 E) 0 A) B) C) D) E) 6

27 ÇÖZÜMLER. 6, 8 ve nin EKOK u bulunur EKOK(6,8,). 70 ile 00 arasında ün katı olacak biçimde bir sayı elde edelim. Sayımız 88 dir. Bilyele-rimiz arttığına göre bulunur.. a.b EBOB(a,b). EKOK(a,b) 8.0. EKOK(a,b) EKOK(a,b) 0 Yanıt: C. 0 ve sayılarındaki ortak çarpanı bulursak aynı. sayı için de geçerli olur. 0...a EKOK u ortak çarpana bölersek geride kalan sonuç bize ortak olmayan kısımları verir. 700 : çarpanı 0 ve sayılarına ait olamayacağı için.a ifadesindeki a 7 dir..7 en küçük değerdir. için en büyük değer EKOK un kendisidir. Yani 700 olur bulunur.,, 6 7 7,, 6 Yanıt: D Bu durumda in 6,, sayılarına bölünmesi gerekir. EKOK(,6,) 60 Yanıt: E. A 8+ 0y+7 z 6. Tüm eşitliklere ekleyelim. A y+0 z A+ 8(+) 0(y+) z A+ sayısı 8, 0, sayıları ile orantılıdır. 8 0 EKOK(8,0,).. 0 veya katlarıdır. Cevaplarda 00 lü şıklar verildiği için 0 nin katı A+ 60 A 7 6 ile 8 in EKOK u bulunur. 6 8 EKOK(6,8). Sayılar ve katlarıdır bulunur cm m 80 dm 8 m Yanıt: C Bütünden parçaya indiğimiz için EBOB u buluyoruz. EBOB(,8,0) Kübün bir boyutu m dir. Kutu sayısı Deponun hacmi Kübün hacmi bulunur. 7 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

28 8. a+ ve a ardışık tek sayılardır ve araların-da asal sayılardır. EBOB(a+,a ) dir. EKOK(a+,a ) EKOK(a+,a ) EKOK için sayıların ortak olan en büyük üsleri ve ortak olmayan elemanları alınır ve birbirle-riyle çarpılır. O halde değerinin içinde olmalıdır. Her sayıda 6 ortak çarpan olduğuna göre, bulunur.. 7 a+ 7 a 8 bulunur. II. yol: (a+).(a ) a a 6 a 6 a 8 bulunur. Yanıt: E 9., 8 ve sayılarının EKOK u bulunur. EKOK(,8,) ın katları alınır EBOB(a,b) ise a ile b aralarında asaldır. a.b çarpımını aralarında asal iki sayının çarpımı biçiminde yazalım. a.b (,700) a.b (7,00) a.b (8,) a.b (7,) veya (700,), (00,7), (,8), (,7) olur. (b,a) sırasıyla birlikte toplam 8 farklı (a,b) sıralı ikilisi yazılır ve +8 olduğundan bulunur. Yanıt: C 0. EKOK(,0,8) 0 0:60 dakika Yanıt: D. A!+0!.0!+0!.0! B.0.9!.9! 0 EKOK(.0!,.9!)! (En küçük kat olduğu için) EBOB(.0!,.9!) 9! ( ikisini de bölen en küçük ortak sayı olduğu için) EKOK(A,B)!..0.9! 0 olur. EBOB(A,B) 9! 9! Yanıt: D 8

29 RASYONEL SAYILAR RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER işleminin sonucu kaçtır? ) Toplama Çıkarma İşlemleri: a c a.d± c.b ± b d b.d ) Çarpma: a c a.c. b d b.d Çarpma işleminde varsa sadeleştirme yapılır Rasyonel Sayılarda Sıralama: a c, Q olsun. b d ) Bölme: a c a d a.d :. b d b c b.c ) ) ) a c - b d > 0 a b > c d a c - b d < 0 a b < c d a c - b d 0 a b c d dir. - - : işleminin sonucu kaçtır? Buna üç hal kuralı denir. Rasyonel sayıları bir eşitsizlik zinciri içinde sıralayabilmek için bu sayıların payları veya paydaları eşit olmalıdır. ) Payları eşit ise: Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası büyük olan daha küçüktür : : : -. sayılarını büyükten küçüğe doğru sırala ,,, 7 9 yınız ,,, 7 9 sayıları için >9>7> olduğundan, 8 < 8 9 < 8 7 < 8 olur. - - : (-) : -. Not:, y, z negatif tamsayılar ise, sıralama pozitif sayıların tam tersi olur. 9 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

30 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıra ,-,-,- 7 9 layınız. ) Pay ve Paydalar Eşit Değil ise: Verilen rasyonel sayılarda pay ve paydalar eşit değil ise, önce pay veya paydalar eşitlenir,. veya. maddeler uygulanır. Çözüm : 8 < 8 9 < 8 7 < 8 Negatif kesirlerde sıralama tam tersidir. 8 - < - 8 < - 8 < Çözüm : Negatif kesirlerde paylar eşit ise, paydası büyük olan daha büyüktür. 8 - < - 8 < - 8 < - 8 olur. 7 9 ) Paydalar Eşit ise: Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür. 7,,, sayılarını büyükten küçüğe doğru sırala-yınız > > > olduğundan 7-6, y -, z - sayılarını eşitleyiniz. 7 -, -, - paydaları eşitleyelim ve sayıları işaretle- 6 rine bakmadan sıralayalım., y 9, z z < y < olur. Negatif sayı sıralaması z >y > dir. ) Pay ve Paydası Arasındaki Fark Eşit Olan Pozitif Kesirlerde: Pay ve paydasındaki sayılar büyüdükçe; basit kesirlerin değeri artar, bileşik kesirlerin değeri azalır. 9 a, b, c 8 0 sıralamayı bulunuz. olduğuna göre, a, b, c arasındaki Pay ve payda arasındaki fark üç kesirde de dir. Kesirler bileşik kesir olduğu için, a > b > c dir. 7 9 > 9 > 9 > 9 olur. sayılarını büyükten küçüğe doğru sıra- 7 -,-,-, layınız. Negatif kesirlerde paydalar eşit ise mutlak değerce payı büyük olan daha küçüktür. 7 - > - > - > olur. ile arasına iki rasyonel sayı yerleştiriniz. < < y < (Paydaları eşitleyelim.) 6 < < y < (Kesirleri genişletelim.) < < y < < < y < , y 6 80 olabilir. 0

31 ONDALIK SAYILAR Paydası 0 ve 0 un pozitif kuvvetleri olan sayı-lara ondalık sayılar denir.,,,... gibi Her pozitif rasyonel sayının devirli veya devirsiz bir ondalık açılımı vardır. Ondalık açılımını payı paydaya bölerek buluruz. Örnekleri İnceleyiniz:, 0 9 0, ,8 0,7-9, ,7 9 -, Not: Devreden rakamı 9 ise, solundaki sayı artırılır, 9 yok olur , Ondalık Sayıların Üslü İfadesi: 0,00 0a a.(0) -n (a 0) n tane Örnekleri inceleyiniz: DEVİRLİ ONDALIK SAYILAR 0,,,000 Şeklindeki ondalık sayılara devirli ondalık sayılar denir. Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayı belirtir.,...,,, Biçiminde gösterilir. Üzerinde çizgi olan sayı devirli sayıdır. 86,9 ondalık açılımında 9 devreden sayıdır. Devirli Ondalık Açılımı Verilen Rasyonel Sayıyı Bulma: Sayının tamamı-devretmeyen Rasyonel sayı y ve y; sayının virgülden sonraki kısmındaki sırasıy-la devreden rakam sayısını ve devretmeyen rakam sayısını göstermektedir. 0, , (0, ) (6.0 - ) Not: Dikkat edilirse, virgül nekadar sağa kayarsa 0 un kuvveti de o kadar AZALIYOR, Virgül ne kadar sola kayarsa 0 un kuvveti o kadar ARTIYOR. REEL (GERÇEK) SAYILAR Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların birleşimidir. R ile gösterilir. N Z Q R Reel Sayı Aralıkları Reel sayılarda bazı işlemleri ifade etmek için aralık kavramı geliştirilmiştir. a, b R olmak üzere,. a b, Î R Þ a,b. a < b, Î R Þ a,b. a < b, Î R Þ a,b. a < < b, Î R Þ a,b EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

32 ÇÖZÜMLÜ TEST. N + olmak üzere, - ifadesini basit kesir yapan değerlerinin + toplamı kaçtır? A) B) 7 C) 0 D) E). A ise, - - ifadesinin A türünden eşiti aşağıdakilerden 8 hangisidir? A) A+ 7 B) A- 8 C) A- D) A+ E) A ifadesini basit kesir yapan tam sayı değeri kaç tanedir? A) B) C) D) E) 6. a, b 7 9, c a, b, c arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir? A) a<b<c B) a<c<b C) b<c<a D) c<a<b E) b<a<c. 7 < < 7 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi olabilir? 7. a -, b -, c - 7 A) B) C) D) 9 E) 7 a, b, c sıralaması aşağıdakilerden hangisinde doğrudur? A) a>b>c B) c>a>b C) b>a>c D) a>c>b E) c>b>a. < 0 < y olmak üzere, a y - gerçel sayısı veriliyor. Buna göre, a sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) - B) - C) D) E) 8. 0,8, y 0,8, z 0,8, y, z arasındaki sıralama aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir? A) >y>z B) z>>y C) z>y> D) >z>y E) y>z>

33 9. ifadesinin sonucu kaçtır? 0, 0, 0, , 0, 0,77. 0,+ - - işleminin sonucu kaçtır? - 0, A), B) C), D), E) A) - B) C) D) 8 E) ifadesinin sonucu kaçtır?. - + işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) işleminin sonucu kaçtır?. 0,ab + 0,ba - olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? (0,9) A) B) 6 C) 8 D) 9 E) A) 7 B) 7 C) 7 D) E). - + : işleminin sonucu kaçtır? - A) 7 B) C) 8 D) 66 E) Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır? 7,.0.0,0.0 0, A) ,.0 B) 7.0 C) 7,.0 D) ,.0 E) 7.0 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

34 . ÇÖZÜMLER - + ifadesi basit kesir ise, < + < N +, {,,, } Yanıt: C. A B A B A B 8 B A - 8. a b kesrinin basit kesir olması için, - < a b < olmalıdır. - < < - < < 7+0 < - < 7 < - 7 < < 7 < 6. Pozitif basit kesirlerde pay ve payda arasındaki fark eşit ise kesirlerin değerleri arttıkça değeri artar. Bileşik kesirlerde ise küçülür. a < b < c Z, {-, -, -, 0} Yanıt: D. 7 < < 7 ( ile yi ile genişletelim.) < < Pay ve payda arasındaki fark her birinde eşit olan negatif sayılarda, pozitif yönlü sıralamanın tersidir.. a y - olur. Yanıt: D a y - ve 8. 0,800 y 0,888 z 0,88 Birler, onda birler ve yüzde birler basamakları birbirine eşit. Binde birler basamağı in 0, y nin 8, z nin tür. y > z > Yanıt: E y < 0 olduğundan, a < - dir.

35 9. 0, 0, 0, , 0, 0, ,. 0, ( ) - 0, Yanıt: D () () Yanıt: E (-). (+) 0 veya - ( - olamaz.) Yanıt: E. 0,ab + 0,ba - (0,9) ab ba ab + ba (a + b) 99 Þ ( ) 9 a + b. Þ a + b 9 9 Yanıt: D. - + : ,.0.0, , Yanıt: E EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

36 BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM SİSTEMLERİ İçinde en az bir değişken (bilinmeyen) bulunan eşitliklere denklem denir. ÇÖZÜMLÜ TEST. (+) ( ) eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) - B) - C) - D) E) 7 değişkenine bağlı m+ m değişkenine bağlı Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir.. a b c+ ise, değerinin eşiti nedir? +y 7 ve y ye bağlı a b - a ve b ye bağlı birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerdir. y ve y değişkenine bağlı +y 6 Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. A) b - a + c D) b - a- c B) b + a - c E) b + a + c C) b + a + c. ise, kaçtır? - + A) -0 B) -8 C) -6 D) 6 E) ise, kaçtır? A) B) C) 0 D) - E) -. y y+ ise, y nin cinsinden değeri nedir? A) + - D) + + B) + - E) + - C) - + 6

37 6. a+b + 0 denkleminin çözüm kümesi Ø (boş küme) ise, a kaçtır? 0. (a )+ +a 0 eşitliğinde - ise, a kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 7 A) - B) - C) - D) E) ise, kaçtır? + - A) 0 B) C) D) E). + - olduğuna göre, kaçtır? A) B) C) D) E) 8. y +y sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (,) B) (,) C) (,) D) (,) E) (,) a - b a + b. - - olduğuna göre, b a kaçtır? A) B) C) D) 7 E) y + y denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) C),, E) {(-, -)} B), D) {(, )} ise, aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) 0 E) 0 7 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

38 ÇÖZÜMLER. (+) ( ) dür. 6. a+b + 0 a -b (a ) -b -b - a - a 0 a olursa eşitlik tanımsız olur.. a b c+ a c b+ (a c) b+ b + a - c dir (içler dışlar çarpımı yapılır.) (+) ( ) dır. Yanıt: C Yanıt: C (- ) ( +) (+) bulunur. Yanıt: D 8. Bu tür denklem sistemlerini çözebilmek için değişkenlerden uygun olanı seçilir. Seçilen değişkenin her iki denklemde de katsayıları eşitlenir ve zıt işaretli hale getirilir. Sonra taraf tarafa toplanarak değişken yok edilir. / y / +y 6y +6y. y y+ y li terimleri eşitliğin bir yanına alalım. y y + y( -) + y + - olur. 7 değeri denklemin birinde yerine yazılarak, y değeri bulunur. y. y -y -9 y Çözüm kümesi:,(, )- 8

39 9. / - - y + y - - y + y. a-b a+b (a b) (a+b) 6a b a+b a 7b b a 7 dir. Yanıt: D 0 Þ - - Þ - - y y + Þ Þ y y y Çözüm kümesi:, Þ 0 Þ 0 0. (a )+ 0 - ise, (a )(-)+(-) + a 0 -a+ + a 0 - a a Þ s Þ Þ Yanıt: C 9 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

40 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM ÇÖZÜMÜ ÇÖZÜMLÜ TEST. + 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? a +b+c 0 Bu tür denklemleri ayrılıyorsa çarpanlarına ayırarak yaparız. Çarpanlarına ayrılmıyorsa aşağıdaki formülü kullanırız: -b + Δ -b - Δ, a a b ac dir. A) {, } B) {, } C) D) -,- E) {, }, > 0 ise, iki reel kök vardır. 0 ise, kökler birbirine eşittir. Tam kare bir ifadedir. < 0 ise, reel kök yoktur. Çözüm kümesi boş kümedir. Köklerin toplamı + b - a Köklerin çarpımı. c a dır.. 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? A) -,+ B) - +, C) {, } D) -, + E) {-, } denkleminin kökleri ve dir.. +. değeri kaçtır? A) - B) - C) - D) -6 E) -8 0

41 ÇÖZÜMLER ( )( ) Ç.K,. 0 çarpanlarına ayrılmaz. b ac (a, b -, c -) (-).().(-) -b + Δ + Þ a -b - Δ - Þ a dir. Ç.K - +, a, b, c. +.. ( + ) b a c. olur. a olur. EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

42 BASİT EŞİTSİZLİKLER 7. n > ve n Z + olmak üzere, 0 < < ise, n < n-, y R olmak üzere, < y, y, > y Yukarıdaki değerlerden yalnız biri doğrudur. y olması halinde eşitsizlik vardır. 8. < ise, 0 < < dir. > ise, < 0 veya > dir. Aynı yönde eşitsizlikler taraf tarafa toplanır, ancak çıkarılamaz. Eşitsizliğin Özellikleri:. Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkartılırsa eşitsizlik bozulmaz. < y ise +z < y+z -z < y-z dir. Not: Aynı yönde eşitsizliklerle taraf tarafa çarpma ve bölme işlemi yapılamaz. 9..y > 0 ise ile y aynı işaretli,.y < 0 ise ile y zıt işaretlidir.. < y, y < z ise, < z, geçişme özelliği vardır.. Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişmez. < y ve z > 0 olsun..z < y.z :z < y:z. Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. < y ve z < 0 olsun..z > y.z :z > y:z. 0 < < y ve n Z + olmak üzere, a) n < y n b) < y dır. 6. < y < 0 ve n Z + olmak üzere, a) n çift ise, n > y n n tek ise, n < y n dir. b) < y

43 ÇÖZÜMLÜ TEST. a-<-(-a) eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir? A) [-,+ ) B) (-,+ ) C) (-,-]. > y olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) +z > y+z B) -z > y-z C) -y > 0 D) y- < 0 E).z > y.z D) (-,-) E) (-,). - a a - a eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 6. a, b Z olmak üzere, - a < ve - < b ise, a-b ifadesinin en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 7 9 A) a B) a> C) a 9 D) a 9 E) a < 7. a, b R olmak üzere, - a < ve - < b ise, a-b ifadesinin en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) E) 6. a < 0, a, y a, z olduğuna göre, a aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) > z > y B) > y > z C) y > z > D) z > > y E) y > > z 8. < ve y < 8 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A).y > 0 B).y > 8 C) > y D) y > E).y < 8. a- < +(+a) a+ eşitsizliğinin tam sayılar kümesinde çözüm kümesi nedir? A) [,) B) [,] C) *, ) D) [,) E) {,} 9. a < 0 olmak üzere, a - a - 9 a -, y, z a - a - 7 a - 9 olduğuna göre;, y, z aşağıdakilerin hangi-sinde doğru olarak sıralanmıştır? A) > y > z B) z > y > C) > z > y D) z > > y E) y > z > EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

44 ÇÖZÜMLER. a- < -(-a). a- < -+a -+ < a-a - < a Ç.K (-,+ ) - a a- a () (6) () () 9 a a + 8 a 9 a 9 a Yanıt: C. z değeri tanımlanmamıştır. z < 0 ise.z < y.z olur. Yanıt: E 6. a-b ifadesinin en büyük değer olması için, in en büyük y nin en küçük değeri alması gerekir. a ve b - olmalıdır..-.(-) -(-) 7 dir. Yanıt: E 7. - a <, ile genişletiriz ve a elde ederiz..(-) a <. -9 a < () - < b, - ile genişletiriz ve -b elde ederiz. (-).(-) > -b (-). 0 > -b - ().. a - alınırsa, -, y -, z - > z > y olur. B ile yi taraf tarafa toplarız. -9 a < + - -b < 0 - a-b < En büyük tam sayı değeri olur. Yanıt: D a- < +(+a) a+ A A) a- < +(+a) a- < ++a a-a < + a < 6 a < B) +(+a) a+ ++a a+ - a-a a a A B çözüm kümesi olur. a < Ç.K,,- Yanıt: E 8. < ise 0 < < dir..y nin değeri daima 8 den küçük olur. 9. a < 0 olduğu için a - alalım y z Yanıt: E, y, z bileşik kesirlerdir ve pay ile payda arasında fark vardır. mutlak değerce payı büyük olan daha küçüktür. > y > z dir.

45 MUTLAK DEĞER Sayı doğrusu üzerindeki sayısının sıfıra olan uzaklığına in mutlak değeri denir ve ile gösterilir Çözüm. Mutlak değer içindeki ifadeler 0 a eşit veya 0 dan büyük olacağı için iki ifadenin toplamının 0 olabilmesi demek iki ifadenin de 0 a eşit olması demektir. a- 0 a- 0 a -b 0 -b 0 b + 7 bulunur., 0 ise -, < 0 ise olarak tanımlanır. bir uzunluk gösterdiğinden 0 olur. Buna göre, - Mutlak Değerin Özellikleri: Her a,b R için. n n a a ve a 0. a -a a-b b -a. - a a a < 0 < y olmak üzere, - y + - y - ifadesinin eşiti nedir? < 0 için - y > 0 için y y -y < 0 - y - (-y) y- olduğuna göre, - y + - y - --y+y--(-) --y+y-+ y olur.. a.b a. b. a a, b 0 b b 6. a - b a+b a + b üçgen eşitsizliği 7. n N + n n a a Mutlak Değerli Denklemler: a-8 ifadesinin en küçük değeri için kaçtır? Mutlak değer içindeki bir fonksiyonun en küçük değeri her zaman için 0 dır. Yani, f() 0 f() 0 olur. a-8 0 a-8 0 ise a 7 bulunur.. f() 0 f() dir.. R + olmak üzere, f(a) f(a) veya f(a) - a- + -b 0 olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? - denkleminin çözüm kümesi - veya -+ - Ç.K, -, } EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

46 . a +b k denkleminin kökler toplamı: -b a + 6 denkleminin kökler toplamı: a +b + a + c d denkleminin kökler toplamı: b + c -a dir. dır. dir. a- eşitsizliğinin çözüm kümesi: - a- - a 8 - a Ç.K * -, ] Not: R - ise f(a) eşitliğinin çözüm kümesi: Ç.K Ø. a R + olmak üzere, f() a f() a veya f() -a dır. a+ + a- 8 denkleminin kökler toplamı: - - dür. Not: a Ç.K R R - olmak üzere, f() > a ise çözüm kümesi:. f() p() ise, f() p() veya f() -p() + + denkleminin çözüm kümesi: (+) Ç.K, -, } dir. 6. f() p() f() p() veya f() -p() Bu denklemlerin köklerinden f() p() denklemini sağlayanlar alınır. a-6 9 -a denkleminin çözüm kümesi: a-6 9-a a a-6-9+a a - Bulunan değerlerin verilen denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilerek her ikisinin sağladığı görülür. Ç.K, -, } a - > 6 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. a - > 6 a > 6 veya a < -6 a > 9 veya a < - Ç.K (-, - ) ( 9, ). a, b R + olmak üzere, a < f() < b a <f()< b veya a < -f() < b a+ < eşitsizliğinin çözüm kümesi: a+ < a+ < veya -a- < - a < veya -8 < a -. f() < p() [f()] < [p()]. f() < p() -p() < f() < p() a < a eşitsizliğinin çözüm kümesi: a < a -(a ) < a < a Ç.K (, ) olur. -a+ < a ve a < a < a ve < a olup 7 Mutlak Değer İçeren Eşitsizlik Çözümü:. b R + olmak üzere, f() b -b f() b 6

47 ÇÖZÜMLÜ TEST. a < b < 0 olduğuna göre, a+b - a-b - b ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6. a+ 7 eşitsizliğini sağlayan kaç tane a tam sayı değeri vardır? A) B) C) D) E) A) a B) a C) b D) b E) a b. - < a < olduğuna göre, a+ - a- -a+ ifadesinin en sade biçimi nedir? A) 0 B) a C) a D) a E) a 7. a- + b- 0 olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? A) B) 7 C) 8 D) 0 E) işleminin sonucu kaçtır? 8. a- - 7 denklemini sağlayan a değerlerinin toplamı kaçtır? A) - B) - C) 0 D) E) A) - B) 0 C) D) 6 E) 6. a < 0 olduğuna göre, -a+ - a ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? + a 9. a -8a+6 çözüm kümesi nedir? A) {-} B) {-, 9} C) {9} D) {0, } E) {0} A) - B) C) D) a E) a. a < b < 0 olmak üzere, a + ab +b + b - a + 8 olduğuna göre, a kaçtır? b b 0. a, b R olmak üzere, a+ < için a b+6 0 denklemini sağlayan kaç tane b tam sayı değeri vardır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) A) 9 - B) - C) - D) E) 9 7 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

48 ÇÖZÜMLER. Mutlak değerin için negatif ise, eksi parante-zinde mutlak değerden kurtarırız. a+b - a-b - b -(a+b) (-(a b)) (-b) -a b + a b + b -b bulunur.. - ve aralığındaki değerler için... a+ > 0 ve a < 0 olur. Yanıt: D a+ - a- -a+ a++a 6 a a+ - a + a -a+- a - a 0 olur a + ab +b + b - a + 8 b (a+b) + b-a + 8 b b a+b + b-a + 8 b -a b+b a 8 -a 9 a 9-6. a+ 7-7 a+ 7-8 a 6 Yanıt: E -a -a - a - a b b 8 - a Ç.K.,-, -, 0,, } Yanıt: D 7. a- + b- 0 olması için a- 0 ve b- 0 olmalı a 0 a b 0 b a.b. 0 olur. Yanıt: D 8. a- - 7 a - -6 a a - 8 a a - -6 Ç.K. Ø ( Çünkü hiçbir zaman mutlak değer dışına çıkan değer negatif olamaz.) a - 8 Ç.K., -6, 0 } bulunur. 9. a -8a+6 a- Ç.K.,-, 9} 0. a+ < - < a+ < - < a < olur. a b+6 0 a b - 6 yazılırsa, - < b < b < 0 olur. a 8 a 0 a -8 a -6 (a- ) a a 9 a - a - < -8 < b 6 < Yanıt: C ifadesi eşitsizlikte a yerine b tam sayı değerleri,-,0,,,,,,6,7,8,9} Yanıt: E 8

49 ÜSLÜ İFADELER. R ve m, n Z + için ( n ) m m.n dir. Tanım: bir reel sayı ve m Z + olmak üzere, m tane in çarpımı.. m biçiminde gösterilir... 8 ( ) m. -n. m n m n. m+n -(m+n) Özellikler: 7. (.y) -m -m.y -m. a. b a+b (-) m -n -m+n -m -n m.n ( ). a.y a (.y) a a m m + b - c m (a + b - c) (8++ ) 0 m. R-{0}, a,b Z + için a b 7 (a (a a - b -7 b) b) 7 9 (a b) 7-9 (a b) - (a b). {-, 0, } ve - ise kaçtır? - - bulunur. m n ise m n dir.. R, y R-{0}, n Z + için n y n n 6 6 dir. y 8 eşitliğini sağlayan kaç tane değeri vardır? EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

50 ÇÖZÜMLÜ TEST a. 7 a- a ise; a nın değeri kaçtır?. a, b, Z olmak üzere, a-b+ a+b+ ise; a.b nin değeri nedir? A) B) 6 C) 9 D) E) A) B) C) D) E) 6. 0,6 8 ise; in değeri aşağıdakilerden hangisidir?. m m m n ise m m- işleminin sonucunu bulunuz? A) B) C) 8 D) 6 E) A) n B) n C) 9n D) n E) 9n a 7. a- < eşitsizliğini sağlayan a nın en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) - B) - C) - D) 0 E). 9 y ise; y-+ ifadesinin değeri kaçtır? A) B) 8 C) D) 6 E) 0 8. (a ) a+ eşitliğini sağlayan a değerlerinin toplamı kaçtır? A) B) 6 C) 8 D) 0 E). () (+) ise; in değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) olduğuna göre kaçtır? A) B) C) D) 7 E) 0

51 . ( ÇÖZÜMLER ) a + a- - ( ) a- 67 a - a - a a (+ - ). 7 9 a a a 6 7 a 6 a bulunur. Yanıt: C 6. 0,6 8 bulunur. 7. a- <.. Þ Þ a a- < -a-0 a- < -a-0 a < -7 a < Buna göre en büyük a tam sayısı - olur. Yanıt: E 7 - tür.. m+ m+ + + m+ m- m m. +. m - m. +. ( + ). ( + ). m.9 9n bulunur.. ve - y ( y ) y m m m 0. 0 m. Yanıt: C 8. Eşitliğin sağlanması için a 0 iken a+ 0 a iken a+ R, a - iken a+ çift tam sayı olmalıdır. a+ 0 a - dir ve a 0 olur. a a ve a+ R olur. a - a ve a+ çift tam sayı olur. -++ bulunur. y-+ y bulunur Sayılar nin kuvvetine çevrilir. () (+) + bulunur. Yanıt: E..( ) 9.( ) 7. Verilen eşitliğin sağlanması için üslerin 0 a eşit olması gerekir. Çünkü üslerin sıfır olmasıyla iki ifade de bulunur ve iki ifade birbirine eşit çıkar. a-b+ 0 a-b - a+b+ 0 a+b - a - ve b - bulunur. a.b olur. EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

52 KÖKLÜ İFADELER. Paydası rasyonel olmayan bir köklü ifadenin paydasını rasyonel yapabilmek için paydadaki köklü ifadenin eşleniği ile pay ve payda çarpılır. Tanım: Bir reel sayının karesinin karekökü o reel sayının mutlak değerine eşittir. R için tir. < ise - + ifadesi neye eşittir? - + ( - ) - < ise < 0 olur. Bu durumda - -(-) -+ bulunur..( ) - ( - ).( ). a 0 ve b 0 olmak üzere, a,b R için a. b a.b dir dir. < 0 < y ise bulunuz., y < 0-0 < y y y + y - ( - y) işleminin sonucunu y ve ( - y) - y < y y < 0 - y -( y) -+y + y - ( - y) -+y+ y 0 bulunur. -+y (-+y) dir.. a 0 ve b > 0 olmak üzere, a,b R için dir R + ve n Z + olmak üzere, ( ) n n a b olur. a b ÖZELLİKLER. a b - c b + d b (a - c + d) b ( ).( 7 6 ) bulunur. + - ( + - ) 7. m n a n n m a ve a n a dir.. a + b nin eşleniği a - b dir. Bunların çarpımı, ( a + b ).( a - b ) a b dir. a a a - ( 7 + ).( 7 - ) bulunur. n m n m n m n. m 8. ( a ) a ve a a a n. m a a 7. a. a 7 a. 7 a 8 7 a a 8

53 9. n n n a a n- a... a. a,b R + ve n N + n n n ise a. b a.b dir a. a a.a (a) a dır. n n n 0. a : a : a... n a : 8: a,b R+ ve n N+ ise n n a n a b a b a b 7a b ab ab b dir. ab. a + a + a ise + a n.(n +) + n.(n +) + n.(n +) +... n n.(n +) - n.(n +) - n.(n +) -... n a ± b ifadesinde b nin çarpanları m ve n olsun. m+n a ise (m>n) a ± b m ± n olur. - 6 ifadesinde çarpımları 6 toplamları olan ve vardır bulunur. EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

54 ÇÖZÜMLÜ TEST 0,6 + 0,0. 0,6 + 0,0 A) B) işleminin sonucu kaçtır? C) D) E) 6 6. ( 6, + 0,) : ( 0,8-0,) işleminin sonucu kaçtır? A) B) 0 C) D) E) işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu aşağıdakiler- 7. (0,0) + 0, 0009 den hangisidir? A) B) C) D) 6 E) 8 A) B) C).0 - D) E) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 8.,.0 - sayısının karekökü aşağıdakilerden hangisidir? A).0 - B).0 - C).0 - D).0 - E) y + y + 0 ise +y aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) C) D) E) işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) C) D) E). (-) işleminin sonucu kaçtır? A) - B) - C) D) E) (0,) eşitliğini sağlayan değeri kaçtır? A) - B) - C) - D) - E) -

55 ÇÖZÜMLER 0,6 +. 0,6 + 0,0 0,0 0, + 0, 0,6 0,6 + 0, 0,8 Yanıt: C - 7. (0,0) + 0, 0009 (.0 ) Yanıt: E 8., Yanıt: D Yanıt: C Yanıt: C. + y + y + 0 Her iki değer de negatif olamayacağı için her iki köklü değer de 0 olmak zorundadır. y+ 0 y - +y 0 +.(-) y +(-) Yanıt: D (0,) X+ X+ 0 X+ X+ X+ - + X (-) (-) + (-)+ ++ Yanıt: C 6. ( 6, + 0,) : ( 0,8-0,) ( 6.0, +.0,) : (.0, - 0,) ( 8 0, + 0,) : ( 0, - 0,) 0 0, 0, , 0, EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

56 ÖZDEŞLİK ÇARPANLARA AYIRMA Örnekler : ) 9 İçindeki değişken veya değişkenlerin alabilecekleri her değer için aynı sonucu veren eşitliklere özdeşlik denir. a+b (a+b) a, b -, için.+(-). ( +(-)) 6. ) 9 )6 ( ).( ) a a )a (a ) a (a ) a a ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER. (+y) +y+y 6 )8 y ( y ).( y y ) 6)7 ( ).(9 ). ( y) y+y. (+y) ( y) +y. ( y) (+y) -y. y (+y).( y) 6. +y (+y) y +y ( y) +y 7. +y (+y).( y+y ) 8. y ( y).( +y+y ) 9. (a+b+c) a +b +c +(ab+bc+ac) 0. a +b +c (a+b+c) (ab+bc+ac) Uyarı: ( y) n (y ) n ( y) n+ -(y ) n+ 6

57 ÇÖZÜMLÜ TEST. a, b Z + a b 7 ise, b a oranı kaçtır? A) 9 B) 7 C) D) E)..y, y ise, y ifadesinin sonucu kaçtır? A) 6 B) 70 C) 76 D) 8 E) 88 A) 9 B) 8 C) D) E) 9. a -, b + ise, a b değeri kaçtır? A) - B) - 8 C) 0 D) 8 E) ise, + değeri kaçtır? A) 7 B) C) D) E) 9. - ise, + değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 9 B) 0 C) D) 6 E) 7., y Z + y 6, y ise, +y kaçtır?. + 7 ise, - değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 7 E) 7 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

58 ÇÖZÜMLER. a b 7 ( 7 asal sayı) (a b).(a+b).7 a b a+b 7 a 8 a 9 ve b 8 dir. a 9 b 8 dir.. a - ve b + ise, a b (a b).(a+b) ( )( ) bulunur...y, y ise, y ( y).( +y+y ).( +y +).[( y) +y+].( +.+) y 88 bulunur. Yanıt: E ise, tüm eşitliğin terimlerini e böleriz olur. 7 Her iki tarafın karesini alalım olur.. - her iki tarafın karesini alalım bulunur. 7.,y Z + y 6 ve y y ( y).( +y+y ) 6.( +y+y ) 6 [( y) +y+y] 6 +y y 0 ( y) y+y +y 0 +y olur ise, Yanıt: D 8

59 HARFLİ İFADELERİ ÇARPANLARINA AYIRMA ) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma: Her terimde ortak çarpanlar bulunup parantezin önüne yazılır. Terimler ortak çarpana bölünür, bölümler parantez içine yazılır. ) Özdeşliklerden Faydalanarak Çarpanlara Ayırma: a) Tam Kare Özdeşliği ( ) y y + y I. terimin karesi I.ve II terimlerin çarpımının iki katı II. terimin karesi. a+b (a+b). a b 9ab ab(a b). a( y)+(y )b a( y) b( y) ( y)(a b). y 8y 6(y y ). a a a a(a a ). 6a 0ab+b (a b) a a. +a+ a a b. 0,0 0,+ (0, ) 0, ) Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma: Gruplandırma yapabilmemiz için terim sayısı en az dört ve terim sayısı çift olmalıdır. Ortak terim olan elemanları gruplayarak, arka arkaya ortak çarpan özelliği kullanılır.. a+by+ay+b a+ay+b+by a(+y)+b(+y) (+y).(a+b). ce+df de cf ce de+df cf e(c d)+f(d c) e(c d) f(c d) (c d).(e f) b) İki Kare Farkı Özdeşliği y ( y).(+y). y ( y ).( +y ) ( y).(+y).( +y ). y y 9 - y -.. 7y ( 9y ) ( y).(+y) - ( - )( + ) ( - ) EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

60 c) İki Küp Toplam ve Fark Özdeşliği e) A +B+C Üç Terimlisinin Çarpanlara Ayrılması a +b (a+b)(a ab+b ) a b (a b)(a +ab+b ) A a.a C c.c B a.c +a.c A +B+C (a +c )(a +c ) a c. 7a + (a+)(9a a+). 6 - y 8 - y y. 6a b ab ab(8a 7b ) y ab(a b)(a +6ab+9b ) a c. 6 + ( )( ) - -. b +b (b+)(b 6) b + b -6. 0a +ab 0b (6a +ab 6b ) (a b)(a+b) d) +B+C Üç Terimlisinin Çarpanlara Ayrılması Bu tür ifadeleri çarpanlara ayırırken üçüncü terim olan C den faydalanırız.. 7+ ( )( ) - -. ( )(+) - +. ( 6)(+) (+)(+6)

61 . ÇÖZÜMLÜ TEST 9abc c : ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisine a bc ac eşittir? A) a B) b C) c D) a E) c. + a + b + ab - a + b - ab ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) - a - b D) a B) + a - b E) b a C) + a - a. mn - mn n + n +. ifadesinin sadeleşmiş hali n - mn+ m aşağıdakilerden hangisidir? 6. + olduğuna göre, +6 + ifadesinin değeri kaçtır? A) n m B) m C) m D) n E) n n A) B) C) D) E). +m+9 ifadesi bir tam kare ise m nin negatif değeri kaçtır? A) - B) -0 C) -8 D) -6 E) y 6y+ 0 olduğuna göre, +y toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) işleminin sonucu kaçtır? y9y eşitliğinde değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 8 B) C) 6 D) 0 E) A) B) 9 9 C) 9 7 D) E) EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

62 9. a +8 a - 9 a - 6a+. : a- 6 a +a + a + sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) a + D) 7a + B) b + E) ifadesinin en C) b + a 6 a + 6. (a b) ve a b 6 olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır? A) - B) - C) D) E) 0. m +mn m n 9 denklemini sağlayan kaç tane (m,n) ikilisi vardır? A) B) C) D) E) 6. a R olmak üzre; (.a a ).( a) 7 olduğuna göre; a kaçtır? A) B) C) D) - E) -. p r - p r + - r p p. - r p.r aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin en sade biçimi. m m : m n m mn n olduğuna göre; n m kaçtır? A) -r B) -p C) r D) p E) p.r A) B) C) D) E). > 0 olmak üzere, - kaçtır?. + + olduğuna göre, denkleminin bir kökü a olduğuna göre; (a )(a ) (a ) çarpımı kaçtır? A) B) C) D) E) A) B) C)-8 D)- E) - 6

63 ÇÖZÜMLER.. 9abc c 9abc ac :. a bc ac a bc c c Yanıt: E mn n - mn n + n +. - mn+ m mn(n - ) (n +). n bulunur. (n - )(n +) m(n +) Yanıt: D. +m+9 ifadesinin tam sayı belirtebilmesi ve m nin negatif olabilmesi için 9 un negatif tam kare çarpanı bulunur. +m (-) +.(-) - m (000+).(000 ) (000+).(000 ) (000 ) (000 6) bulunur. 7. +y 6y+ 0 ++y 6y+9 0 ( ) +(y ) 0 Üssü çift olan ifadeler negatif değer alamaya-cağı için bu iki tam kare ifade de 0 a eşittir. 0 ve y 0 ve y bulunur. +y + olur y 9y 6 +0y 9y Yanıt: E (8+9)( ) ve bulunur. Yanıt: D a +8 a - 9 a - 6a+ 9.. : a- 6 a +a + a + a + (a - ) a + a (a - )(a + ) (a +).. (a + )(a +) (a - a + ) - a + (a + ).. ( )( ) (a + ) (a - a + ) + a + b + ab. - a + b - ab ( b) a( b) ( b) - a( b) ( a)( ( - a)( b) b) a - a a + a +. 6 olur. Yanıt: C Yanıt: C ( ) ( + - ) bulunur. ( ) 0. m +mn m n 9 m(m+n) (m+n) 9 (m+n)(m ) 9 9 u çarpanlarına ayırırsak; 9,,, -, -, farklı değer aldığı için (m, n) ikilisi 6 farklı değer alır denir. Yanıt: E 6 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

64 . p r p -r -. p r p.r - r p p r (p-r)(p r) -. r p p-r p.r r p p.r p.r (p-r)(p r) -. p r p-r p.r (p-r)(p r) p.r -. p r p-r p.r p-r-(p r) (p-r)(p r). (p-r)(p r). ( a ).( a) 7 sol tarafa çarpma işlemi yapalım a a a 7 a a a a a 7 7 Yanıt: E p r p r -r olur.. m m : m n m mn n m (m n)(m mn n ) m m n m n m m n n m. (m mn n ) m Yanıt: C. ( )(+) 0 ve - > 0 olduğu için bulunur. (a b) ve a ab b a b ab 6 ab a b denkleminin bir kökü a ise; a a 6 0 a a 6 (a )(a ) (a ) (a ).(a ).(a ) çarpma ve tam kare alma yapalım, (a a a 8).(a a ) (a a 8).(a a ) (6 8).(6 ) ( ).7 Yanıt: E ab ab 6

65 ORAN ORANTI Tanım:, y reel sayılardan en az birinin sıfırdan farklı olmak koşulu ile ifadesine, in y ye göre oranı denir. y ve y aynı birim olmalıdır.. 6. y z k a b c ise, a.k, y b.k, z c.k a c a c k k b d b d ORANTI Tanım: İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. a c k eşitliğine ikili orantı, b d a c e k eşitliğine üçlü orantı denir. b d f k değeri sabi orantıdır. ORANTININ ÖZELLİKLERİ a c a.c k k b d b.d a c e k b d f a + c + e k b + d + f a. c. e k b. d. f. Bir orantıda içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir. a c a.d c.b b d. Bir orantıda içler ve dışlar yer değiştirebilir. a c d c b d b a a c a b b d c d ORANTILI ÇOKLUKLAR A) Doğru Orantılı Çokluklar İki çokluktan biri artarken veya azalırken, diğeri de orantılı biçimde artıyor veya azalıyorsa bu iki çokluğa doğru orantılı çokluk denir. y k y k. şeklinde ifade edilir. Grafiği bir doğru belirtir.. a c a c + + b d b d a + b c + d dir. b c I I I I I I I I I _ I I I I I I - _ I I I I I -. a 0, b 0 olmak üzere, z a + bz k k y t ay + bt, y, z sayıları sırası ile a, b, c ile doğru orantılı ise, y z k dır. a b c 6 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

66 B) Ters Orantılı Çokluklar İki çokluktan biri artarken diğeri ona bağlı olarak orantılı şekilde azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri orantılı şekilde artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir. ile y ters orantılı ise,.y k veya k y Geometrik Ortalama n tane sayının çarpımının n. kuvvetten köküne bu sayıların geometrik ortalaması denir. a, a, a,,a n G.O n a.a.a.....a n dir. Grafiği bir eğri belirtir., y, z sayıları sırası ile a, b, c ile ters orantılı ise, a. b.y c.z k veya y z k dır. a b c C) Bileşik Orantı İkiden fazla çokluğun bulunduğu orantılara bileşik orantı denir. Bileşik orantıda aynı anda doğru ve ters orantılı çokluklar olabilir. a sayısı b ile doğru c ile ters orantılı ise, b. k a c dir. Aritmetik Ortalama n tane sayının toplamının n sayısına bölünmesi, bu sayıların aritmetik ortalamasını verir. a, a, a,,a n A.O a + a + a an n dir. 66

67 ÇÖZÜMLÜ TEST. Yaşları, ve 6 olan üç kardeşe TL yaşları ile orantılı olarak dağıtılıyor. En fazla alan kardeş kaç TL almıştır?. abycz 0 ve a+b+c toplamı kaçtır? + + y z 8 olduğuna göre, A) B) C) 7 D) 9 E) A) 9 B) C) 8 D) 0 E). y, y z iken, +y+z 66 ise; y+z toplamı kaçtır? A) 0 B) C) 6 D) 0 E) 6., y, z negatif tamsayılardır. y z olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) y > > z B) y > z > C) > y > z D) z > > y E) z > y >. a c b ve a+b c 0 olduğuna göre, a+b c toplamı kaçtır? 7. y, y+60 olduğuna göre; kaçtır? y z A) 0 B) C) D) E) A) 70 B) 7 C) 80 D) 8 E) 90 8., y, z pozitif tamsayılar. a a+b olduğuna göre, b 7 a oranı kaçtır? y z olduğuna göre, +y+z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 9 8 B) C) 8 D) E) 9 8 A) 9 B) 0 C) D) E) 67 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

68 9. İki basamaklı y, yz ve z sayılarının aritmetik ortalaması dür. Buna göre, +y+z toplamı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E). traktör dönüm toprağı günde sürerse, traktör 0 dönüm toprağı kaç günde sürer? A) B) C) D) E) gramı,8 TL olan zeytinin 00 gramı kaç TL dir? A), B), C),8 D) E),. sayısı y+ ile doğru, y ile ters orantılıdır. iken y tür. 6 iken y değeri kaçtır? A) B) C) D) E). Bir dağcı kampında 0 günlük yiyecek vardır. Kamptan kişi ayrılınca yiyecek gün yetecektir. Buna göre kampta kaç kişi vardır?. ile y nin aritmetik ortalaması, y ile z nin aritmetik ortalaması, ile z nin aritmetik ortalaması 9 ise,, y, z nin aritmetik ortalaması kaçtır? A) 0 B) C) D) E) A) B) 6 C) 8 D) 0 E). kişilik bir sınıfın not ortalaması tür. 0 kişinin not ortalaması,, 9 kişinin not ortalaması olduğuna göre, geri kalanın not ortalaması kaçtır? A) B) C) D) E) 7 68

69 ÇÖZÜMLER. Üç kardeş, y, z ise, y z k 6 k, y k, z 6k +y+z k+k+6k k k z 6k z 6. TL bulunur. Yanıt: E. a by cz 0 a b c 0 y z a + b + c a + b + c y z 8 a+b+c 0. 8 a+b+c bulunur.. y, y z y ler ortak olduğu için y değerini eşitleyelim. 8. y y 0 y y 0. z z 8k, y 0k, z k +y+z 66 8k+0k+k 66 k 66 k y 0 ve z 0 y+z bulunur. Yanıt: D 6., y, z Z - 7. y z -k -k, y -k, z -k y > > z bulunur. Not: Negatif sıralama, pozitif sıralamanın tam tersidir. y, y z 6 y, y z 6k, y k, z k olur. iki eşitlikteki y leri eşitlersek,.. a c b k ise, a k, b k, c k a+b c 0.k+.k k 0 k 0 k 8 a 6, b 8, c a+b c bulunur. a b 7 a k, b 7k a+b.k + 7k 9k 9 a.k 8k 8 bulunur. y+60 6k k+60 k 60 k 6k bulunur. 8., y, z Z + y z k k k, y, z k olur. +y+z k + k +k 9k 0 bulunur. Yanıt: C En küçük değer alması için k 0 olmalı +y+z 9 olur. 69 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

70 9. y + yz + z 0+y+0y+z+0z+ 99. tak tak dak 0 dak gün gün (+y+z) 99 +y+z 9 bulunur. I II III I. yi kapatalım II ve III ü karşılaştıralım. dönüm gün 0 dönüm gün T.O gram,8 TL 00 gram TL 00.,8 700, TL (Biri azalırken diğeri de azaldığı için doğru orantı vardır.) Yanıt: E II.yi kapatalım I ve IIIü karşılaştıralım. traktör gün traktör gün gün D.O Yanıt: E. kişi 0 gün kişi gün 0..( ) bulunur. (Kişi sayısı azalırken gün sayısı artmıştır. Bu yüzden ters orantı kullanılmıştır.). k.( y ) y ve y yazılarak k değeri bulunur k.( ) 6 ve k yazılarak y. değeri bulunur k k.(y ) 6 y y y 9y y bulunur.. Not toplamı Not ortalaması Sinif Mevcudu 0.(,) bulunur.. + y +y 0 y + z y+z + z 9 +z 8 Taraf tarafa toplarsak; +y+z 7 +y+z 6 Yanıt: E + y + z 6 bulunur. Yanıt: E 70

71 SAYI VE KESİR PROBLEMLERİ Sayı problemlerini çözerken, denklemin doğru kurulması gerekir. 6 fazlası, o sayının ka- ÇÖZÜMLÜ TEST. Hangi sayının ünün inin tından 90 eksiktir. Bu sayı kaçtır? Matematik Diline Çevirme A) 60 B) 6 C) 0 D) E) 0 Herhangi bir sayı olsun. Bir sayının katı : Bir sayının katının fazlası : + Bir sayının 7 fazlasının ( + 7) ü : Herhangi iki sayı ve y olsun. İki sayının toplamı : +y İki sayının kareleri farkı : y İki sayıdan I.nin üç katı ile II.sinin katı farkı : y biçiminde matematik diline çevirerek denklem kuru-lur ve problem çözülür.. Deniz ile Nazım ın paraları toplamı 90 TL dir. Deniz in parası Nazım ın parasının katından 0 TL eksiktir. Nazım ın parası kaç TL dir? A) B) 0 C) D) 0 E) i 8 olan sayı kaçtır?. 8 Þ 0 Þ 80 Hangi sayının katının fazlasının yarısı 6 dır?. Bir adamın Kr, 0 Kr ve TL den oluşun 7 tane madeni parası vardır. 0 Kr nin sayısı Kr nin sayısının yarısıdır. Toplam para TL ise, kaç tane TL vardır? A) 9 B) 0 C) D) E) Hangi sayının ile 6.( ) 6 () sinin farkı 6 dır? (). 7 kişilik bir sınıftan erkek, kız öğrenci ayrıldığında, kızların sayısı erkeklerin sayısının katı oluyor. Başlangıçta bu sınıfta kaç kız öğrenci vardır? A) 9 B) C) D) 6 E) EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

72 . yanlışın doğruyu götürdüğü 90 soruluk bir sınavda, her sorunun değeri puandır. Tüm soruları yanıtlayan bir öğrenci toplam 80 puan aldığına göre, bu öğrencinin kaç sorusu doğrudur? A) 6 B) 70 C) 7 D) 7 E) Ulaş günde 0 km yol yürüyerek bir yolun ini, sonra günde km yol yürüyerek kalan kısmı bitiriyor. Ulaş, yolun tamamını 6 günde bitirdiğine göre, yolun ü kaç km dir? A) 00 B) 0 C) 0 D) 00 E) 0 6. Yeşim bir sınavdaki soruların inin 0 fazlasını doğru, ünün eksiğini yanlış yapmış ve 0 soruyu boş bırakmıştır. Bu sınavda kaç soru sorulmuştur? A) 60 B) 6 C) 68 D) 70 E) 7 0. i su dolu bir bidonun ağırlığı kg dır. Suyun 9 u döküldüğünde bidonun ağırlığı kg gelmektedir. Buna göre, boş bidonun ağırlığı kaç kg gelmektedir? A) B) C) D) E) 6 7. adım ileri, adım geri atarak yürüyen bir adam toplam 60 adım atmıştır. Bu kişi başladığı noktadan kaç adım ileri gitmiştir? A) 60 B) 70 C) 7 D) 80 E) 8. 0 kişilik bir öğrenci grubu geziye gidecekleridir. Aralarından kişi geziye katılamayınca, geri kalanları 0 TL daha ücret ödüyorlar. Buna göre, geziye ödenen ücret kaç TL dir? A) 00 B) 600 C) 60 D) 67 E) bir öğretmen maaşının ini ev kirasına, kalan para- 8 nın ünü mutfak masrafına, kalan paranın yarısını da taksitlere vermiştir. Cebinde 00 TL kaldığına göre, bu öğretmenin maaşı kaç TL dir? A) 080 B) 80 C) 80 D) 00 E) 0. Bir parça telin ucundan i kesilince orta nokta cm 8 kayıyor. Telin uzunluğu kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) 60 D) 6 E) 6 7

73 ÇÖZÜMLER. Sayı olsun. Sayının ünün i,.. 6 fazlası: kişinin tanesi kız ise, 7 tanesi erkektir. erkek ayrılırsa: 7 kız ayrılırsa: ( ) tane kız öğrenci bulunur. Yanıt: E Sayının katının 90 eksiği: bulunur.. 90 sorunun tanesi doğru ise, 90 tanesi yanlıştır yanlış doğruyu götürürse, net sayısı - olur. Her doğru soru puan ise, Nazım ın parası: ise, Deniz in parası: 90 tir. N D 90 Deniz in parası Nazım ın parasının katından 0 eksik ise, Deniz in parası: 0 dur olur. Yanıt: D bulunur. Yanıt: D 6. Soru sayısına dersek, Doğru cevap: + 0. tane 0 Kr varsa, tane Kr vardır. 7 tane TL 00 Kr vardır..0+.+(7 ) tane TL vardır. Yanıt: C Yanlış cevap: - Boş soru: 0 Hepsinin toplamı soru sayısı olan e eşitlenir olur. 7 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

74 7. adım ileri, adım geri toplam 7 adım atıyor. 7 adımda adım ilerliyor. 60 adımda kaç tane 7 adım var bulmak için 60 ı 7 ye böleriz adımda adım ileri giderse adımda adım ileri gider ı 6 ya böldüğümüzde 6 kalmıştı. Bunun anlamı 6 adım arttığıdır. 6 adımda adım ileri gitti adım geri geldi. Yani adım ilerlemiş oldu adım ilerlemiş oldu. 8. Paydamız 8 olduğu için bir bütünü 8 eş parçaya bölelim. Ev kirası y y y y Mutfak masrafı Her kalan yeni bir bütündür. z 00 TL cebinde kalan para y z y TL y TL Başlangıçtaki parası 8 olduğuna göre, TL bulunur. z Yanıt: C z 0. + y kg ( ) in u dökülüyor. 9. dökülen su kalan su + y ( ) - my - + y y - 0 Þ kg.0 + y y kg bulunur. suyun ağırlığına, bidonun ağırlığına y diyelim. Yanıt: C. Kişi başına TL ödeniyorsa, toplam 0 TL ödenir. kişi ayrılınca kişi,.(+0) TL ödenir. 0 (+0) ve yi ortak çözelim (y yi yok edelim) Toplam ödenecek para: TL 9. Yolun tamamı km olsun. km yi günde 0 saat gidecek, y günde, 6 y günde yürümüş olur. 0 y. 0 6 y. Þ 6 - y 0 y, y 6-0. Bir telin i kesildiğinde orta nokta a kadar kayıyor- sa, telin i a birim kadardır. i. 8 cm ise tamamı 88 6 cm dir. 8 Yanıt: E 6 - Þ Denklemini çözersek, 00 km bulunur. Yanıt: D 7

75 YAŞ PROBLEMLERİ. Anne ile oğlunu yaşları toplamı 70 tir. Anne oğlunun yaşında iken oğlu yaşındaydı. Buna göre annenin bugünkü yaşı kaçtır? Yaş problemlerini de sayı problemleri gibi düşünebiliriz. A) B) 7 C) 8 D) 0 E) Yaş Problemlerinde Dikkat Edilecek Noktalar ) İki kişinin yaşları farkı sabittir. ) Herkes aynı sayıda yaşlanır. ) Yaşların oranı veya toplamı yıllara göre değişir. ) n kişinin yaşları toplamı ise, t yıl sonra +n.t olur. t yıl önce n.t olur. ) A doğduğunda B nin yaşı denilince B A verilmiş demektir.. Baba ve annenin yaşları ve ile doğru, çocuklarının yaşı ile ters orantılıdır. Üçünün yaşları toplamı 60 ise, çocuk bugün kaç yaşındadır? A) B) C) D) 6 E) 7 ÇÖZÜMLÜ TEST. Baba ile oğlunu yaşları toplamı 60 tır. yıl önce babanın yaşı oğlunu yaşının katından eksiktir. Babanın bugünkü yaşı kaçtır?. Yeşim annesinin ü, ablasının i yaşındadır. Ablası doğduğunda annesi yaşında olduğuna göre, Yeşim bugün kaç yaşındadır? A) 9 B) 0 C) D) E) A) 8 B) 0 C) D) E) 6. Dedenin yaşı y iki basamaklı sayısıdır. Torununun yaşı ise, dedenin yaşının rakamları toplamıdır. Dede torununun yaşının 6 katı ise, dede bugün kaç yaşındadır?. Bir annenin yaşı iki çocuğunun yaşları toplamının katından fazladır. yıl sonra annenin yaşı çocukların yaşları toplamının katı ise, anne ile çocukların yaşları toplamının farkı kaçtır? A) B) 7 C) 8 D) 0 E) A) 7 B) 6 C) 60 D) E) 0 7. Bugünkü yaşları ve ile orantılı olan iki kişinin 6 yıl sonra yaşları ve ile orantılı olacaktır. Buna göre, bu kişilerin yaşları farkı kaçtır? A) 6 B) C) D) E) 7 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

76 ÇÖZÜMLER. Babanın yaşı: Oğlunun yaşı: 60 tir. yıl öce yaşları;. Kişilerin yaşları sıra ile a, b, c olsun. b a c k, a+b+c 60 a + b + c 60 k Þ k + + BABA OĞLU ( ) (60 ) k 8 bulunur. a k.8 ( ) 6 68 bulunur. Yanıt: C b k.8 c k 8 yaşındadır.. Çocukların yaşları toplamı: Annenin yaşı: + yıl sonra; Çocukların yaşları toplamı: +0 Annenin yaşı: (+0) olur. Annenin yaşı:.0+ Yaşları farkı: 0 bulunur.. Anne Oğlu 70 Bugünkü yaşları 70 Anne oğlunun Yaşında iken Yaşları farkı sabittir. Geçen zamanlar eşittir. (70 ) (70 ) olur.. Annenin yaşı ise, Yeşim in yaşı: Ablasının yaşı y ise, yeşim in yaşı: y dir. y 6y dir. Anne abladan yaş büyük ise, y+ 6y y + Þ 6y y + 6 y 6 y ablanın yaşı y. Yeşim: bulunur. 6. Dedenin yaşı y ise, Torunun yaşı: +y dir. y 6(+y) 0+y 6+6y y ve y dır. Yanıt: D Dede yaşında, torun + 9 yaşındadır 7. I. kişi, II. Kişi y yaşında olsun. y, 6 yıl sonra + 6 y + 6 dır. y +0 y+ k.k+0.k+ y k k y.6 Yaşları farkı: 8 6 olur. Yanıt: D 76

77 YÜZDE PROBLEMLERİ. Bir sayısı y sayısının % ine eşit ise, y sayısı sayısının yüzde kaçına eşittir? Yüzde Kavramı Bir A sayısının % ini bulmak için, yapılır. A. A işlemi A) 00 B) 00 C) 00 D) 00 E) 00 0 ın %0 u nedir? 0 0. dir. 00. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları %0 azaltıldığında hacmi yüzde kaç azalır? Hangi sayının %0 u dir? olur. 00 A), B), C),6 D) 7,8 E) 8,8 0 sayısının yüzde kaçı dir? 0. Þ bulunur. 00 ÇÖZÜMLÜ TEST. %0 ı 8 olan sayının % ü kaçtır?. Ali elindeki bilyelerin %0 unu Nazım a verirse, kalan bilyeleri Nazım ın bilyelerinin yarısına eşit oluyor. Başlangıçta Nazım ın bilyeleri Ali nin bilyelerinden yüzde kaç fazladır? A) 0 B) C) 0 D) E) 0 A),6 B),8 C) D), E),. Bir sınıfın %60 ı erkektir. Erkeklerin %0 u gözlüklü ise, gözlüklü erkek öğrenciler sınıfın yüzde kaçıdır? A) B) 8 C) D) E) 7 6. Hangi sayının %0 unun fazlası, o sayının % inin 60 fazlasına eşittir? A) 0 B) 0 C) 0 D) 00 E) 0 77 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

78 ÇÖZÜMLER. Sayı olsun bulunur. 0.,6 00 olur.. Dikdörtgenler prizmasının tüm boyutlarını 0 br olarak alalım. Hacim H a.b.c Hacim br Boyutlarını %0 azaltırsak yeni boyutlar: 0 0. br, 0 8 br olur. 00 Yeni hacim H br H H br azalır. 88 8,8 %8,8 bulunur Yanıt: E. Sınıf mevcudu verilmemiş. Sınıf mevcudunu 00 kabul ettiğimizde, erkek öğrenci sayısı 60 olur. bu 60 kişinin %0 u gözlüklü olduğuna göre, erkek öğrenci gözlüklüdür. 00 Sınıftaki öğrenci sayısı 00 gözlüklü erkek öğrenci sayısı da 8 olduğuna göre, gözlüklü öğrenciler, sınıfın %8 ini oluşturur.. Ali nin bilye sayısı 00 ve Nazım ın bilye sayısı olsun Ali nin kalan bilye sayısı Nazım ın son bilye sayısı +0 olur. 70 ( + 0) (Nazım ın bilye sayısı) Nazım ın bilye sayısı, Ali nin bilye sayısının %0 fazlasıdır.. y y. y 00 a y. 00y.a a. a 00 y sayısı sayısının %00 üne eşittir. Yanıt: D 6. Sayıya dersek, olur. Yanıt: C 78

79 KAR-ZARAR PROBLEMLERİ. Bir malın etiket fiyatı üzerinden %0 indirim yapılıp, daha sonra bu fiyat üzerinden %0 zam yapıldığında, bu malın yeni etiket fiyatı için ne söylenebilir? Bir malın alış fiyatı ile satış fiyatı arasındaki fark pozitif ise kar, negatif ise zarar olur. A) % kar B) % zarar C) ne kar ne zarar D) % zarar E) % kar Kar problemleri Maliyet00 Kar yüzdesi %y 00.%y.y Satış fiatı 00+.y Zarar problemleri Maliyet00 Zarar yüzdesi%y ise 00.%y.y Satış fiatı 00-.y. Bir satıcı 0 düzine bardak almış ve bunların %0 sini kırmıştır. Geri kalan bardakları % kaç kar ile satarsa, %0 kar elde edilir? ÇÖZÜMLÜ TEST A) 0 B) 0 C) 0 D) 60 E) 70. %0 zararla 60 TL ye satılan bir mal, %0 kar ile kaç TL ye satılır? A) 900 B) 070 C) 70 D) 0 E) 7 6. %0 zararla satılan bir maldan %0 kar elde etmek için satış fiyatına yüzde kaç zam yapılmalıdır? A) 0 B) 0 C) D) 60 E) 6. %0 kar ile satılan bir mal, etiket fiyatı üzerinden 7 TL indirim yapılırsa % zarar ediyor. Bu malın maliyet fiyatı nedir? A) 0 B) 00 C) 0 D) 600 E) Bir satıcı elindeki bardakların tanesini, TL ye satarsa 0 TL zarar, TL ye satarsa 60 TL kar elde ediliyor. Buna göre satıcı elindeki bardakları %0 kar ile satarsa, kaç TL kar elde eder? A) 8 B) 8 C) 68 D) 78 E) 88. Bir malın etiket fiyatı üzerinden %0 indirim yapıldığı halde % kar elde ediliyor. Etiket fiyatı üzerinden yüzde kaç kar elde ediliyor? A) 0 B) 60 C) 70 D) 80 E) Etiket fiyatı üzerinden %0 indirimle satılan bir mal, bu fiyata %0 luk ikinci bir indirim daha uygulayarak malı 6 TL ye satıyor. Bu malın etiket fiyatı kaç TL dir? A) 0 B) 80 C) 90 D) 00 E) 79 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

80 ÇÖZÜMLER. Malın maliyeti 00 olsun. %0 zararla 70 satılır. 00 TL mal Kaç TL mal (A) A 70 satılırsa A 900 TL (Malın maliyeti) 900% TL dir.. Malın maliyeti 00 olsun. %0 kar ile 0 e satılır. 60 TL ye satılır. Yanıt: D 7 TL indirimle % zarar ediyor. 9 e satılır Maliyet 00 idi TL dir.. Bu tür soruları şıklardan giderek çözmek daha kolay olur. Malın maliyetini 00 TL kabul edelim. %0 kar ile 0 TL ye satılır TL kar % kar (yanlış) %60 kar ile 60 TL ye satılır % kar elde edilmiştir. Doğru cevap %60 olur.. Malın etiket fiyatı 00 olsun. %0 indirim e %0 zam yapılırsa, zam yapılır satılır zarar % zarar olur tane bardak almış tanesi kırılmış tane bardak kalmış Tanesini 0 Kr almış olsak, maliyet kar elde etmeli bardaklar kırılmasaydı Kr satılacaktı. 0 Kr 96 Tanesi Kr satılırsa %0 kar ile satılmalıdır. 6. Malın maliyet fiyatı 00 ise, satılır. %0 zamlı fiyatı: TL mal 00 TL mal A 0 TL 80.A 0.00 %0 zam yapılmalıdır. Yanıt: C 0TL satılırsa kaça (A) satılır. 7. Satıcı tane bardak almış olsun. maliyeti bulalım., , 0 tane bardak almış Maliyet:, TL dir TL kar elde edilir Etiket fiyatı 00 olsun. %0 indirim, olur. Tekrar %0 luk indirim yapılırsa, TL satılır. 00 TL mal 6 TL satılırsa (A) kaç TL mal A A 00 TL bulunur. Yanıt: C 6 TL ye satılır. Yanıt: D 80

81 FAİZ PROBLEMLERİ Bankaya yatırılan bir miktar paraya bir süre sonra ödenen fazla paraya faiz denir. A Anapara F Faiz t Zaman n Faiz oranı II. YOL: A+F 800+F n A F 800. t F F 0 F TL dir. 00 yıl n A t F F A.n.t (yıllık faiz) 00 F A.n.t (aylık faiz) 00 F A.n.t (haftalık faiz) 00 A.n.t F (günlük faiz) 6000 Bileşik Faiz: Faize yatırılan para, her yıl getirdiği faiz ile birlikte tekrar faize yatırılması ile elde edilen toplam faize bileşik faiz denir. t n Bileşik faiz: A+F A. + formülü ile bulabiliriz TL yıllık %0 dan bileşik faiz ile bankaya yatırılıyor. İki yılın sonunda toplam ne kadar faiz alınır? I. YOL: I. yıl gelen faiz: F TL II. yıl gelen faiz: F Toplam faiz: 0+70 TL dir. TL 8 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

82 ÇÖZÜMLÜ TEST. 700 TL yıllık % den basit faize yıllığına yatırılıyor. yıl sonra toplam para kaç TL dir?. İlknur elindeki parasını % den basit faize yatırmıştır. Bu parayı yıllık % den basit faize yatırsaydı bir yılda 00 TL fazla para alacaktı. Buna göre İlknur un bankaya yatırdığı para kaç TL dir? A)000 B) 0 C) 7 D) E) 0 A) 000 B) 00 C) 000 D) 000 E) TL nin bir kısmı %0 dan 8 ay, kalan kısmı %0 dan 9 ay faize yatırılıyor ve toplam 800 TL faiz alınıyor. %0 dan faize verilen para kaç TL dir?. Arzu 600 YTL sini 8 ay bankaya yatırarak 70 TL faiz almıştır. Arzu parasını % kaç faizden bankaya yatırmıştır? A) B) 0 C) D) 0 E) 0 A) 000 B) 00 C) 70 D) 000 E) 0 6. Bankaya basit faiz ile yatırılan bir miktar paranın ay sonra kendisinin yıllık faiz oranı yüzde kaç olmalıdır? ü kadar faiz getirmesi için, A) 8 B) 0 C) 6 D) 70 E) 7. Bir miktar paranın i %0 den ay bankaya yatırılıyor ve 00 TL faiz alınıyor. Buna göre paranın tamamı kaç TL dir? A) 00 B) 000 C) 00 D) 00 E) TL nin bir kısmı %0 faiz oranı ile bankaya yatırılıyor. 8. ayın sonunda paranın kalan kısmı kadar faiz alınıyor. Buna göre alının faiz kaç TL dir? A) 70 B) 700 C) 60 D) 600 E) 00 8

83 ÇÖZÜMLER. İlknur un parası A dır.. F A.n.t 00 (yıllık faiz) F TL TL bulunur. Yanıt: D A.. A F F 00 0 F A.. 7A A A F F A 000 A 000 TL dir YTL nin bir kısmı ise, kalan kısmı 000 dir. F , F (000 - ) F +F 800 (000 - ) TL dir.. A 600 TL t 8 F 700, n? F A.n.t n.8 n 0 00 Para %0 dan bankaya yatırılmıştır. 6. Bir miktar para A Yanıt: D Faiz A, t ay, n?. Bir miktar para A olsun. F A.n.t (aylık faiz) 00 A.0. F A 0000 A 00 TL olur. Yanıt: E F A.n.t 00 A A.n. n 00 8 n 6 Para %6 ise faize verilmiştir TL nin kısmı bankaya yatırılıyor. F 00 F TL Yanıt: C Alınan faiz: TL dir. 8 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

84 KARIŞIM PROBLEMLERİ Karışım: İki veya daha fazla çözeltilerin homojen olarak karıştırılması ile elde edilen yeni çözeltidir. Karışım problemlerinde de yüzde problemlerinde kullanılan formüller kullanılır.. Şeker oranı %0 olan 0 gr şekerli suyun şeker oranını %0 yapmak için ne kadar şeker ilave ederiz? A) B) 0 C) D) 0 E) Karışım oranı Saf madde miktarı Karışım miktarı Tuz miktarı: Su miktarı: y Karışımın tuz oranı Karışımın su oranı + y y + y Saf madde seçimi probleme göre değişir. Tuz oranı %a olan gramlı tuzlu su ile tuz oranı %b olan y gram tuzlu su karıştırılıyor. Yeni karışımın tuz oranı %c ise,. Tuz oranı % olan 00 gr tuzlu suya tuz oranı %0 olan bir miktar tuzlu su karıştırılıyor. Yeni karışımın tuz oranı %0 olduğuna göre, kaç gr tuzlu su karıştırılmıştır? A) 600 B) 0 C) 00 D) 0 E) 0 %a %b + y %c (+y) a b c. + y. ( + y) a+by (+y).c eşitliği ile tüm karışım problemi çözülür.. Şeker oranı %0 olan 900 gr şekerli sudan ne kadar buharlaştıralım ki şeker oranı %60 olsun? A) 00 B) 80 C) 600 D) 60 E) 60. Hacimce %i alkol olan 600 gramlık alkollü suyun %0si dökülüyor. Yerine aynı miktarda su ilave ediliyor. Yeni karışımın alkol oranı yüzde kaçtır? A) B) 0 C) D) 0 E) ÇÖZÜMLÜ TEST. 0 gramlık una ne kadar şeker karıştıralım ki yeni karışımın şeker oranı % olsun? 8

85 A) 0 B) C) 0 D) E) 60. Saf maddeyi şeker olarak alalım. %0 0 + %00 %0 (0+) 6. Şeker oranı %0 olan 0 gr un-şeker karışımına 70 gr daha un karıştırılıyor. Yeni karışımın un oranı yüzde kaçtır? (0+) gr A) 6 B) 70 C) 7 D) 80 E) 8 7. Alkol oranı %0 olan gr karışım ile alkol oranı %0 olan y gr karışım karıştırılarak alkol oranı %0 olan yeni karışım elde ediliyor.. Saf madde tuz olsun (00+) gr Buna göre y oranı kaçtır? A) B) C) D) E). Saf madde şeker olsun. %0 900 _ %0 %60 (900 ) 8. %0 şeker olan 800 gramlık karışımın bir miktarı dökülüyor, yerine aynı miktarda şeker ilave edilerek şeker oranı %76 olan bir karışım elde ediliyor. Buna göre, dökülen miktar kaç gramdır? gr. Yanıt: C A) 80 B) 00 C) 0 D) 0 E) 80 ÇÖZÜMLER. Saf madde alkol olsun. 8 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

86 00 gramlık karışımın %0si dökülüyor., %80i kalıyor gr kalan 00 0 gr dökülüyor, yerine 0 gr su ilave ediliyor. %0 %0 %0 + y +y % %0 % y 0.(+y) 0y 0y 0 0 0y 0 y bulunur Yeni karışımın alkol oranı %0 dir. Yanıt: D y olur.. Saf madde şeker olsun. 8. Şeker saf madde olsun. 800 gramlık karışımdan gram dökülünce 800 gram kalır. %00 %0 % %0 %00 % (0+) gr şeker katılmalıdır. Yanıt: E 0.(800 ) gr bulunur. Yanıt: E 6. Saf madde un olsun. %0 şeker ise %70 i undur. %70 %00 % olur. un oranı %7 bulunur. Yanıt: C 7. Alkol saf madde olsun. 86

87 HAREKET PROBLEMLERİ Sabit bir V hızı ile t zamanda X kadar yol alan bir hareketli için; Yol Hız Zaman X V.t bağıntısı vardır. Dairesel bir pist üzerinde ve bir A noktasından V ve V hızları ile iki hareketli a) Ters yönde hareket ediyor ve t zamanda B de karşılaşıyorsa, dairenin çevresi Ç olmak üzere; Ç V.t+V.t t(v +V ) dir. b) Aynı yönde hareket ediyor ve hızlı olanı bir tur attıktan sonra diğerine t zamanda yetişiyor ise, V > V ve dairenin çevresi Ç olmak üzere; Ç V.t V.t t(v V ) dir. Hareket problemlerinin çözümü için bazı kurallar vereceğiz.. Kural (Karşılıklı Hareket) A ve B noktalarından karşılıklı hareket ediliyor ve C noktasında karşılaşılıyor ise, ÇÖZÜMLÜ SORULAR. V V V V A C B AB V.t+V.t t.(v +V ) dir.. Kural (Aynı Yönde Hareket) V > V olmak üzere, iki araç A ve B noktalarından aynı anda, aynı yönde hareket ederler ve hızlı olan t zaman sonra C noktasında yakalar ise, V V A B C D V V Şekildeki A ve C noktalarından aynı anda karşılıklı hareket ederlerse saat sonra B noktasında karşılaşıyorlar. Aynı yönde hareket ederlerse, A dan hareket eden C den hareket edeni 8 saat sonra D noktasında yakalıyor. A) B) V V 8 C) oranı kaçtır? D) 8 E) 8 A B C AB AC - BC AB V.t V.t t.(v V ) dir.. Kural (Ortalama Hız) Bir araç km yolu V hızı ile t zamanda, km yolu V hızı ile t zamanda alıyorsa, + kmlik yolun ortalama hızı; toplamyol A) V ort toplamzaman t t.v.v B) V ort formülü ile de bulunabilir. V V. Kural (Tren Tünel) birim uzunluğundaki bir tren, y birim uzunluğundaki bir tüneli veya bir köprüyü t zamanda geçiyorsa, +y V.t. Kural (Bağıl Hız) Bir hareketlinin hızını, olumlu veya olumsuz yönde etkileyen güçtür. Bir nehrin akıntı hızı, rüzgarın esme hızı gibi. Nehirde hareket eden bir hareketlinin (hareketli V, nehrin hızı V ise) a) Akıntı yönünde: V +V b) Akıntıya karşı: V V dir.. Bir otomobil A kentinden B kentine 80 km hızla gidip, 70 km hızla dönmüştür. Toplam 9 saatte gidip döndüğüne göre, AB kaç km dir? A) 0 B) 6 C) 0 D) 60 E) 80. Saatteki hızı 60 km/sa olan 00 m uzunluğundaki bir tren 700 m uzunluğundaki bir köprüyü kaç dakikada geçer? A) B) C), D) E), 6. Kural (Dairesel Hareketler) 87 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

88 . Bir geminin durgun sudaki hız saatte 0 mildir. Akıntı hızı saatte mil olan bir nehirde, saatte en çok kaç mil gidilip gelinebilir? A), B),7 C) D), E),. K L M N 0 km 0 km km KL 0km, LM 0km, MN km K ve M kentinden aynı anda karşılıklı hareket eden iki hareketli L kentinde, aynı anda aynı yönde hareket ettiklerinde k dan hareket eden M den hareket edeni N kentinde yakalıyor. Buna göre MN kaç km dir? ÇÖZÜMLER. V V A B C D V V AC.(V +V ) (karşılıklı hareket) AC 8.(V V ) (aynı yönde hareket) Alınan yollar eşit olduğu için;.(v +V ) 8.(V V ) V +V 8V 8V V V V dir. V A) 00 B) 0 C) 0 D) 60 E) Bir hareketli A noktasından B noktasına saatte 60 km hızla gidip, B den A ya saatte 0 km hızla geri dönüyor. Bu hareketlinin ortalama hızı saatte kaç km dir?. Toplam gidiş-dönüş 9 saat ise, AB yolunu t saatte giderse, AB yolunu (9 t) saatte döner. AB 80.t AB 70.(9 t) 80t 60 70t 0t 60 t, saatte gitmiş. AB 80., 6 km dir. A) 8 B) 0 C) D) E) 6. TREN KÖPRÜ 00 m 700 m 7. Bir kenarı 00 m olan kare şeklindeki bir pistte hızları V ve V olan iki hareketli, aynı anda, ayı noktadan, aynı yöne hareket ediyor. Buna göre, hızlı giden yavaş gideni. kez yakaladığında kaç metre yol koşmuş olur? A) 00 B) 0 C) 00 D) 0 E) 00 Alınan toplam yol m saat 60 dakika 60 dakikada m yol alırsa dakikada m yol alır m yol alır : 000 dakikada köprüyü geçer. Yanıt: D Not: Tren problemlerinde saati dakika veya saniyeye, kilometreyi de metreye çevirmek gerekir. 8. Bir araç saatteki V hızı ile A-B arasını 8 saatte alıyor. V Bu araç, yolun yarısını hızı ile diğer yarısını da V hızı ile giderse yolun tamamını kaç saatte alır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E). Akıntı yönündeki hızı 0+ m Ters yöndeki hızı 0 m Toplam saatte gidip gelecekti. saat akıntı yönünde, saat de ters yönde giderse, alınan yollar eşit. AB., AB.( - ) 7 7 saat AB.,7 km dir. 88

89 . Kullanılan zamanlar birbirine eşit V V K 0 km L 0 km M km N KL V.t t ML V.t t V KL 0 V V ML 0 V V dır. V V V 0 Sabit hızlarla hareket eden iki hareketlinin eşit sürede aldıkları yolların oranı, hızlarının oranına eşittir. KN V.t 90+ V.t 90 + t V MN V.t t V 00 m A V B V V Aynı zaman birimde, V 00 m yol alır. V 00 m yol alır. I. karşılaşmada V 00 m yol aldığında V 600 m yol alır ve C noktasında karşılaşılır II. karşılaşma aynı şekilde A noktasında meydana gelir III. karşılaşmada C noktasında olur ve m yol almış olur. Yanıt: D 90 V 90 olur. V V V ve nin eşitliğinden I. Yol Ortalama hız AB 60.t t Toplamyol Toplamzaman AB AB AB 0.t t 0 0 Vort t t 60 0 Vort 0. 8 km olur. 0 II. Yol:.V Vort.V V + V Vort 8 km bulunur. 60 km Yanıt: D 8. A V C V B I. Yol: Aracı normal V hızı ile AB 8.V yol alır. Bu tür sorularda hız belli olmadığı için hıza kendimiz değer verelim. V V 0 km olsun. ( 0 km olur.) AB km olsun. 60 Yarısını (60 km yi) t 8 saatte (V hız ile 80 km) kalan yarısı ise t saatte alır. 80 Toplam zaman 8+ 0 saat bulunur. II. Yol: AB 8.V idi. V AC AC.t t V BC AC BC V.t t V t + t AC V AC t + t V AC + V AB 8V AC V dir..v t +t 0 saat olur. V Yanıt: D 7. D C 89 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

90 İŞÇİ HAVUZ PROBLEMLERİ İşçi-havuz problemleri ters orantılı problemlerdir. Daima birim zamanda yapılan iş bulunur. Bir işçi bir işi zamanda yaparsa birim zamanda iş yapar. Bir musluk bir havuzu y zamanda dolduruyorsa, bir birim zamanda birimini doldurur. y Birinci işçi bir işi zamanda, ikinci işçi aynı işi y zamanda ve ikisi beraber aynı işi t zamanda yapıyorsa + eşitliği kurulur. y t. Bir işi üç usta günde, aynı işi iki kalfa 8 günde bitiriyor. Aynı işin ini bir usta ile bir kalfa beraber 8 çalışarak kaç günde bitirebilir? A) B) C) D) E) 6. Yurdakul gün çalışarak bir işin ünü bitiryor. Yurdakul hızını yüzde kaç arttırırsa, işi 6 günde bitirir? A) 0 B) 0 C) D) 60 E) ÇÖZÜMLÜ SORULAR. Serap bir işin ünü saatte, Şule aynı işin ünü saatte yapabilmektedir. Serap tek başına 6 saat çalıştıktan sonra kalan işin ikisi birlikte kaç saatte yaparlar? A), B),6 C), D),8 E), 7. Aynı kapasitede musluk boş bir havuzu dolduracaktır. Muslukların hepsi aynı anda açılıyor. saat sonra musluklardan ü, saat sonra ise tanesi daha kapatılıyor. Açık kalan musluklar havuzu 6 saatte doldurduğuna göre, hepsi birlikte bu havuzu kaç saatte doldurur? A) 7, B) 6, C) 6 D), E). Eş kapasiteli üç musluk boş bir havuzu saatte dolduruyorlar. Birinci musluğun akan su miktarı %0 azaltılır, ikinci musluğun akan su miktarı %0 arttırılırsa, bu üç musluk boş havuzu kaç saatte doldurur? 0 8 A) B) C) D) E) 7 8. Aynı nitelikte çalışan 8 işçi bir işi 0 günde bitiriyor. Bu işçiler 6 gün beraber çalıştıktan sonra bir kısmı işten ayrılıyor. Kalan iş 8 günde bittiğine göre, kaç işçi işten ayrılmıştır? A) B) C) D) 6 E) 7. Ali bir işi yalnız başına, Kamil den saat daha az sürede bitiriyor. İkisi beraber bu işi saat dakikada bitirdiklerine göre, Kamil tek başına bu işi kaç saatte bitirir? 9. Boş bir havuzu %0lik tuzlu su akıtan A havuzu saatte, %0lık tuzlu su akıtan B musluğu 6 saatte dolduruyor. İki musluk aynı anda açılıyor. Havuz dolduğunda tuz oranı yüzde kaç olur? A) 0 B) C) D) 6 E) 8 A) 6 B) 8 C) 0 D) E). Aynı nitelikte iki işçi bir işi saatte yapıyor. I. işçi hızını yarıya düşürür, II. İşçi hızını katına çıkarırsa, bu iş kaç saatte biter? A), B), C),6 D) E), 0. Uzunlukları aynı olan iki mum aynı anda yanmaya başlıyor. Mumlardan biri 8 saatte, diğeri saatte tamamen yandığına göre, kaç saat sonra boylarının oranı olur? A) B) C) D) E) 90

91 ÇÖZÜMLER. Serap işin ünü saatte yaparsa, tamamını: 8 günde Şule ünü günde yaptığına göre, tamamını günde yapar. Serap 6 gün çalışarak işin ünü bitiriyor. Kalan işi günde yapar. Şule kalan işi,. 8 günde yapar. İkisi beraber bir günde işin; yaparlar. Tamamını ise, +,8 günde yaparlar. 8 Yanıt: D ünü. Ali işi saatte, Kamil işi + saatte bitiriyor. saat dakika saat olur (+)( 6) 0 -, 6 Kamil işi 6+ 0 saatte bitirir. Yanıt: C. musluk saatte doldurursa, musluk. saatte doldurur. Bir musluk saatte 0 lt su akıtır. 0 I. musluk 0., 0 6 lt su akıtır II. musluk 0., 0+ lt akıtır. 00. Aynı nitelikte iki işçi işi saatte bitirir. I. işçi hızını yarıya düşürürse, işi 6 saatte II. işçi hızını katına çıkarırsa, işi saatte bitirir. İkisi beraber, 6 6 6, saat olur. saat I. 0 lt su akıtarak saatte doldurursa 6 lt su akıtarak saatte doldurur saatte doldurur. II. 0 lt su akıtarak saatte doldurursa lt su akıtarak saatte doldurur saatte doldurur saatte doldurur.. usta günde yaparsa, usta:. 6 günde yapar. kalfa 8 günde yaparsa, kalfa:.8 96 günde yapar olur. işin i ise, gün olur. 9 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

92 6. günde işin ü biterse, tamamı. 8 günde biter. 8 6 günlük iş kaldı. Normal çalışma hızına V dersek, V hızla.v hızla 6 günde yaparsa günde biter V.6.V %0 arttırılır. 7. Bir musluk birim zamanda kadar su doldurursa, musluk birim zamanda su doldurur. saat beraber akarsa. 8 musluk kaldı. 8 musluk saatte.8 8 musluk kaldı. musluk 6 saatte 6. 0 Toplam Havuz 78 su ile doldu. 78 musluk 6, saatte doldurur işçi 0 günde bitiriyor. 6 gün çalışınca geriye 0 6 günlük iş kaldı. 8 işçi kalan işi günde bitirirse 8 işçi kalan işi 8 günde bitirir..8 (8 ) ise işçi ayrılıyor. 9. Havuzun hacmi ve 6 nın ortak katı olan 60 lt olarak alalım. A musluğu saatte B musluğu saatte İkisi beraber havuzu, 6 A musluğu B musluğu lt su akıtır..0 lt su akıtır. Havuzun tuz oranı %8 dir. saatte doldurur. Yanıt: E 0. I. mum 8 saatte tamamen yanarsa, saate, t 8 saatte yanar. II. mum saatte tamamen yanarsa, saatte saatte Kalan kısım yanar. dir. t t saat sonra boylarının oranı olur. t 8 t t lt su akıtır lt su akıtır. 6 t ve - t - 8 t t - - t 8 - t t - Yanıt: D, t 9

93 PERMÜTASYON- KOMBİNASYON-OLASILIK PERMÜTASYON ) Genel Çarpma Kuralı A Ø, B Ø olmak üzere, s(ab) s(a).s(b) özelliğinden yararlanılarak yapılan saymadır. A kentinden B kentine, B kentinden C kentine farklı yol vardır. A dan C ye, B ye uğramak koşulu ile kaç farklı yoldan gidilebilir? A B C s(ab). farklı yolla gidilir. Ali pantolon, gömlek ve kravatı kaç farklı biçimde kullanabilir? s(p), s(g), s(k) s(pgk).. 60 farklı şekilde kullanabilir. A,0,,,,,, 6- kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı, a) Kaç farklı sayı yazılabilir? b) Kaç farklı e bölünebilen sayı yazılabilir? c) Kaç farklı çift sayı yazılabilr? d) Rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? e) Rakamları farklı 00 den büyük kaç sayı yazılır? f) Rakamları farklı kaç çift sayı yazılır? g) Rakamları farklı, e bölünebilen kaç farklı sayı yazılabilir? a) Rakamları farklı demiyor. Kutu yöntemi le çözelim. Birici kutuya 0 rakamı gelmez, geriye kalan 6 rakamın hepsi gelebilir. II. ve III. kutuya 0 da gelebilir tane b) e bölünmesi için birler basamağı 0 veya olmalıdır tane c) Birler basamağına,0,,, 6- rakamları gelir tane I. kutuya 0 gelemeyeceği için 6 rakam, II. kutuya, bir tanesi birinci kutuda olmak üzere, 0 dahil toplam 6 rakam yazılabilir. III. kutuya da rakam kullanıldığı için geriye kalan rakam kullanılır. e) tane 00 den büyük bir sayı oluşturmak için I. kutuya,,, 6- rakamları getirilir. II. kutuya 6 rakam, III. kutuya da kalan rakamı kullanırız. f) Birler basamağıne,0,,, 6- rakamları gelir. 0 hem çift rakam hem de başa gelemez. I. Yol: Tüm çift ( 0 dahil) sayılardan, yüzler basamağı 0 olan sayıları çıkartırsak, 0 ile başlamayan çift sayıları elde ederiz tane çift sayı elde edilr. II. Yol: Önce birler basamağı 0 olan sayıları bulalım. 6 0 Birler basamağı,,6 7 olan çift sayılar tane çift sayı elde edilir. g) Birler basamağı 0 veya olmalı I. Yol: Birler basamağı 0 olsun. 6 0 tane birler basamağı olan tane (0 başa gelmeyen) 0+ tane sayı elde edilir. II. Yol: 6-60 bulunur. basamaklı e bölünebilen tüm sayılardan (0 dahil), 0 ile başlayıp ile biten sayılar çıkartılıncı e bölünebilen basamaklı sayılar bulunur. d) rakamları birbirinden farklı dediği için tane PERMÜTASYON 9 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

94 n r ve n,r N + için, n elemanlı bir kümenin r tane elemanının r li sıralanışlarının her birine n elemalı r li permütasyon denir. n! P(n,r) formülü ile bulunur. (n - r)! 7 kişilik bir yarışma grubunda birinci, ikinci ve üçüncü kç farklı şekilde oluşur? n 7, r n! 7! p(n, r) p(7,) (n-r)! (7-)! p(n, r) Bu problem kutu yöntemi ile de çözülebilir ! 0 biçimde oluşur.! farklı biçimde Tekrarlı Permütasyon n tane elemanın, r elemanlı permütasyonları alınırken, r tane aynı tür eleman r tane aynı tür eleman r tane aynı tür eleman r +r +r + n olmak üzere, n! farklı biçimde sıralanır. r!.r!.r!... MARMARAM sözcüğünden 8 harfli anlamlı anlamsız kaç sözcük elde edilir? tane M tane A tane R harfi bulunuyor. 8! 0 tane sözcük elde edilir.!.!.! Dönel Permütasyon Birbirinden farklı n tane elemanın kapalı eğri etrafındaki sıralanışıdır.. {,,,,, 6, 7} rakamları bir kez kullanılarak ve 7 nin bulunduğu basamaklı kaç farklı sayı elde edilir? A) 0 B) C) 0 D) E) 0. matematik, fizik, biyoloji kitabı, matematikler yan yana olmak koşuluyla bir rafa kaç farklı şekilde dizilir? A) 6790 B) 6900 C) 780 D) 8970 E) 90. 0,,,,, 7 rakamları bir kez kullanarak basamaklı kaç tane ile başlayıp ile biten sayı elde edilir? A) B) 8 C) D) 0 E) 6. 6 kişilik bir ailede, anne ile baba yan yana gelmemek koşulu ile yuvarlak bir masaya kaç farklı biçimde oturulabilir? A) 7 B) 86 C) 90 D) 96 E) 0 ) Kapalı eğri üzerinde bir eleman sabit tutulur. n elemanın sıralanış sayısı: (n )! dir. ) Halka biçimindeki anahtarlık üzerinde n tane anahtarın sıralanışı: (Anahtarlık ters çevrilebilir.) (n -)!. Rakamlarının sayı değerlerinin çarpımı 0 olan basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılır? A) B) 6 C) 0 D) E) 8 ÇÖZÜMLÜ TEST 9

95 ÇÖZÜMLER. {,,,,, 6, 7} ve 7 nin içinde bulunduğu basamaklı sayı {, 7, }, {, 7, }, {, 7, }, {, 7, }, {, 7, 6} farklı kümemizden!! n, r p(, ) 6 ( - )! 0!.6 0 bulunur.. matematik, fizik, biyoloji Matematik kitapları yan yana olacağı için onu bir kabul ederiz. m ++ 6 kitap var. p(6, 6).! dır. Yanıt: C KOMBİNASYON n, r N ve 0 r n olmak üzere, n elemanlı bir küme-nin r elemanlı alt kümelerinin her birine, n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonu denir. n n! C(n, r) veya r (n-r)!.r! Uyarı: Kombinasyon gruplama (alt küme) demektir. (Sıralama önemli değildir.) Permütasyon seçilen grupların sıralanışıdır. (Sıralama önemlidir.) 7 kişilik bir gruptan kişilik çalışma grubu kaç değişik şekilde seçilir?!, matematik kitaplarının kendi aralarındaki diziliş sayısı. n 7, r C(n, r) n! (n - r)!.r!. 0,,,,,,7 Kutu yöntemi le bu problemi çözelim... olur. Yanıt: C 7 7! ! C(7, ) (7-)!.!!.! farklı biçimde seçilir.. 6 kişi yuvarlak masaya (6 )! 0 farklı biçimde oturur. Anne ve babayı yanyan düşünelim. A.B ve kişi daha + ( )!.!!. 8 anne ve babanın yan yana oturma sayısı anne ve babanın yan yana olmama durumu.. 0 yi asal çarpanlarına ayıralım Rakamları çarpımı 0 olan,, 6,, 7 ve,,, 7 dir. n, r n, r.p(, ).! 8 tane sayı elde edilir. Yanıt: E 9 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

96 ÇÖZÜMLÜ TEST ÇÖZÜMLER. Bir sınıfta 0 erkek, kız öğrenci arasından kız, erkek öğrenci kaç farklı biçimde seçilir? A) 970 B) 880 C) 780 D) 780 E) erkek arasından kişi 0! 0.9 C(0, ) farklı, 8!.! kız arasından kişi!. C(, ) 66 farklı kişi seçilir. 0!.! C(0,).C(, ) farklı biçimde seçilir.. 8 kişi, sandalyeye kaç farklı biçimde oturur? A) 00 B) 60 C) 600 D) 60 E) 680. Önce 8 kişiden kaç tane kişilik grup oluşur onu bulalım. 8 8! ! (8-)!.!!.! kişi sandalyeye p(, ) farklı biçimde oturur. 70.p(, ) 70.! bulunur. Yanıt: E. 8 elemanlı bir kümenin ve den az elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 7 B) 6 C) D) E). Bir çember üzerindeki 8 noktadan kaç üçgen geçer?. 8 elemanlı kümenin elemanlı alt küme sayısı: 8! 8.7 C(8, ) 8 6!.! Bir elemalı alt küme sayısı: c(8, ) 8 Boş küme: C(8, 0) bulunur. A) 8 B) 6 C) 8 D) 60 E) 6. Üç nokta bir üçgen belirtir. 8! C(8, ) 6 tane üçgen olur.!.!.. kişilik bir gruptan kişisi belli olan 6 kişilik kaç farklı çalışma grubu seçilir? A) 0 B) 60 C) 00 D) 0 E) 0. kişiden kişi belli ise, geriye 0 kişi kalır. 0 kişiden kişi seçilir. C(0, ) 0! !.!.. farklı çalışma grubu seçilir. Yanıt: D 96

97 OLASILIK Olasılık kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Bir olayın olabilme durumunu hesaplar. Olasılıkta iki temel unsur vardır. Bunlar deney ve olaydır. Bir parayı havaya atmak deney, yazı veya tura gelmesi olaydır. Yapılan bir deneyde muhtemel bütün olayları gösteren bir kümeye örnek uzay (evrensel küme) denir ve E ile gösterilir. Bir A olayının olasılığı P(A) ile ifade edilir. Bir olayın olasılığı 0 P(A) arasındadır. P(A) ise, olay kesin olur, P(A) 0 ise, olay imkansızdır. Bir olayda, olayın eleman sayısının evrensel kümenin (örnek uzayın) eleman sayısına oranına, o olayın olasılığı denir. s(a) P(A) s(e) Ayrık İki Olayın Olasılığı A veya B olayının olasılığı, A B Ø ise, P(AUB) P(A)+P(B) dir. Bir torbada kırmızı, mavi, sarı bilye vardır. Torbadan çekilen bir bilyenin sarı veya mavi olma olasılığı nedir? E, kırmızı, mavi, sarıs(e), s(k), s(s) P(K U S) P(K)+P(S) P(K U S) + istenilen durumların sayısı Tüm durumların sayısı 7 dir. Ayrık Olmayan İki Olayın Olasılığı P(A B) P(A).P(B) dir. Aynı anda havaya atılan hilesiz bir zar ve bir paradan zarın üstündeki sayının ve den küçük, paranın tura gelme olasılığı nedir? Zar ve paranın havaya atılması ile her ikisinin tüm durumlarının olma durumu evrensel kümeyi (örnek uzayı) oluşturur. E {(,y), (,y), (,y), (,y), (,y), (6,y), (,t), (,t), (,t), (,t), (,t), (6,t)} A {(,t), (,t), (,t), (,t)} s(e).6 s(a) P(A) Uyarı: P(A) P'(A) Bir olayın olma olasılığı - s(a) s(e) dir. dür. ise, olmama olasılığı: matematik ve fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir. Bu dizilişte matematik kitabının yan yana olma olasılığı kaçtır? kitaplar yan yana koşulsun 7! Biçimde yerleştirilir. Ohalde s(e)7! dir. matematik kitabının yan yana olduğu diziliş sayısı!.! olur. s(a) P(A) s(e) P(A)!.!!.! 7! 7.6.! dir. 7 A B Ø, A ve B ayrık olmayan iki küme olsun. P(A B) P(A)+P(B) P(A B) dir. Bir torbada den ye kadar numaralanmış toplar vardır. torbadan çekilen bir topun çift sayı veya 6 dan büyük olma olasılığı nedir? E {,,,,, 6,7,,8, 9, 0,, } A {,, 6, 8, 0, } B {7, 8, 9, 0,, } A B {8, 0, } P(A B) P(A)+P(B) P(A B) P(A B) + - dür. A ve B Olayının Olasılığı ÇÖZÜMLÜ TEST 97 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

98 . Bir kutuda kırmızı, mavi top vardır. Çekilen top geri atılmamak şartıyla ard arda çekilen iki topun aynı renkte olma olasılığı kaçtır? Seçilen bir ekibin içinde doktor, hemşire bulunma olasılığı nedir? A) B) C) D) E) 7 7 A) B) C) D) E) Bir sınıfta 7 kız öğrenciden tanesi gözlüklü, 8 erkek öğrenciden 7 si gözlüklüdür. Seçilen bir öğrencinin kız veya gözlüklü olma olasılığı nedir? 6 0 A) B) C) D) E) 8 6. Ali nin bir yarışmayı kazanma olasılığı dir. 7 Hasan ın aynı yarışmayı kazanamama olasılığı dir. Bu yarışı sadece birinin kazanma olaslığı nedir? 6 9 A) B) C) D) E) Havaya atılan iki hilesiz zarın üstlerinin toplamının 9 ve 9 dan büyük olma olasılığı nedir? 7 7 A) B) C) D) E) Bir grubun %60 ı İngilizce, %70 i Türkçe bilmektedir. Gruptan seçilen birinin sadece Türkçe bilme olasılığı yüzde kaçtır? A) 0 B) C) 0 D) E) 0. Havaya atılan iki hilesiz zardan birinin üstünün geldiği biliniyor. İki zarın üstlerinin toplamının tek sayı olma olasılığı nedir? 8. Bir A torbasında beyaz, mavi, B torasında beyaz, mavi bilye vardır. A dan çekilen bir bilye B ye konuyor. B den çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı nedir? A) B) C) D) E) 6 9 A) B) C) D) E) hemşire, doktor arasından kişilik bir çalışma ekibi kuruluyor. ÇÖZÜMLER 98

99 . Kutuda toplam 7 top vardır. s(e) 7 art arda top çekiliyor. Buradan kaç farklı ikili top oluşur onu bulalım. C(7, ) 7! 7.6.! 7.6 (7-)!.!!.! Bunlardan kaç tanesi kırmızı ikili toptur,! C(, ) 6!.!! Mavi olanlar, C(, )!.! İkisinin aynı renkte olma olasılığı: dir. 6. Ali nin sınavı kazanma olasılığı P(A) 7 ise kazanamama olasılığı P(A'), 7 Hasan ın kazanma olasılığı ise, P(H) Sadece sınavı birinin kazanması; P(A).P(H')+P(A').P(H) dir. Yanıt: C. Sınıf mevcudu s(e) dir. s(k) 7, s(e) 8, s(g), s(k G) P(K G) P(K)+P(G) P(K G) 7 P(K G) + - dir. Yanıt: D. Havaya zar atıldığında oluşan evrensel kümenin eleman sayısı s(e) A olayı ise, üstlerinin toplamı 9 ve 9 dan büyük olan ikililerdir. A {(,6), (6,), (,), (,), (,6), (6,), (,), (,6), (6,), (6,6)} s(a) 0 P(A) dir. s(e) 6 8. Zarlardan birinin geldiği biliniyor. Yeni örnek uzayımız: E {(,), (,), (,), (,), (,), (,6), (,), (,), (,), (,), (6,)} A olayımızın elemanları ise, A {(,), (,), (,), (,), (,), (,)} s(a) 6 P(A) dir. Yanıt: E s(e). Toplam 9 kişilik ekipten, 9 9! (9-6)!.!. 8 farklı biçimde seçilir. s(e) 8 A olayı doktor, hemşire;... 0 farklı biçimde seçilir. s(a) 0 s(a) 0 P(A) s(e) 8 olur. 7. Grubu 00 kişi olarak düşünürsek, , %0 u her iki dili biliyor. s(e) 00, s(t İ) 0 S(T \ İ) 0 s T P(T \ İ) T İ %0 dur. Sadece Türkçe bilme olasılığı %0 tır. Yanıt: C 8. A torbasından çekilen bilyenin rengi belli değil. A torbasından mavi gelme olasılığı dir. Bu bilye B 7 torbasına atılıyor. B torbasından mavi gelme olasılığı dir. 8 A torbasından beyaz gelme olasılığı dir. Bu bilye 7 B torbasına atılıyor. B torbsından mavi gelme olasılığı dir. 8 O halde; dır Yanıt: D 99 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

100 KÜMELER Tanım: Küme bir nesneler topluluğudur. KÜMELERİN GÖSTERİLMESİ. Liste Yöntemi ile Gösterme: B {a, b, c, d}. Ortak Özellik Yöntemi ile Gösterme: B, I alfabenin ilk dört harfi-. Şema (Venn Diagramı) ile Gösterme: A SONLU VE SONSUZ KÜMELER Tanım: Eleman sayısı bir doğal sayı olarak belirtilebilen kümelere sonlu küme denir. Örneğin; A{,,} Tanım: Eleman sayısı sonlu olmayan kümelere sonsuz kümeler denir. Örneğin; N{0,,,, - BOŞ KÜME Tanım: Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Ø veya, - sembolleri ile gösterilir. Örneğin; B { },Türkçede S ile başlayan aylar- ALT KÜME a b c d Tanım: Bir A kümesinde bulunan her eleman aynı zamanda B kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. A B ile gösterilir. A alt küme B diye okunur ya da B A şeklinde gösterilip B kapsar A diye okunur. A,,,a,b,-, B,,a,-, C,,a,- kümeleri verilsin. Aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur? A) A B B) B C C) C A D) C B A) I-II B) II-IV C) II-IV D) I-III E) I-IV I. B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı olduğundan, A kümesi B kümesini kapsar. A B ifadesi doğrudur. II. C kümesi, B kümesini kapsamadığından B C ifadesi doğrudur. III. C kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı olduğundan, C A ifadesi doğrudur. IV. C kümesinin her elemanı B kümesinde bulunmadığı için C B ifadesi yanlıştır. İKİ KÜMENİN EŞİTLİĞİ Tanım: A ve B kümeleri için A B ve B A ise A ve B kümeleri eşit kümelerdir. Örneğin; A,a,b,c- ve B,c,b,a- kümeleri için A B ve B A olduğundan A B dir. Tanım: A ve B kümeleri eşit değil ancak eleman sayıları eşit ise denk kümelerdir. Örneğin; B {, a, } ve A {a, b, c} kümeleri eşit kümeler değildir fakat eleman sayıları birbirine eşit olduğu için A B dir. ALT KÜMENİN ÖZELLİKLERİ. Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her A kümesi için Ø A dır.. Her küme kendisinin alt kümesidir. Her A kümesi için A A dır.. A,B ve C kümeleri için A B ve B C ise A C dir.. A ve B kümeleri için A B ve B A ise AB dir.. s(a) n ise A kümesinin alt küme sayısı n dir. ÖZALT KÜME Tanım: Bir kümenin kendisi hariç tüm alt kümelerine o kümenin özalt kümesi denir. Özalt küme sayısı s(a) n ise n dir. n elemanlı bir C kümesinin r elemanlı (n r) alt kümeleri, n nin r li kombinasyonlarıdır. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümeleri sayısı, n P(n,r) n! C(n,r) dir. r r! (n-r)!.r! n elemanlı bir küme için en çok r elemanlı alt küme sayısı; n n n n... ve en az r+ elemanlı alt küme 0 r sayıları n a n n n... r r n n b n a b veya ab olur. ifadesi ile hesaplanır. 00

101 A { a,b{ c,d },,, } kümesi veriliyor. A kümesinin; a. Kaç tane alt kümesi ve özalt kümesi vardır? b. elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? c. ten az elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? d. İçinde a elemanı olmayan kaç tane elemanlı alt kümesi vardır? e. İçinde eleman bulunan kaç tane elemanlı alt kümesi vardır? a. s(a) 6, tane alt kümesi vardır tane özalt kümesi vardır. KÜMELERDE İŞLEMLER KÜMELERİN BİRLEŞİMİ Tanım: a ve B herhangi iki küme olmak üzere; A ile B kümelerinin bütün elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin birleşimi denir. A B biçiminde gösterilir. A B { I A veya B- biçiminde tanımlanır. A B b. Alt küme sayısını veren C (n,r) n! (n - r)!.r! formülü n6, r için kullanılırsa, 6! 6! 6...! C (6,) 0 bulunur. (6 - )!.!!.!!.! a b c d e f c tanedir. 0. A B d. a elemanını yok kabul edersek geriye eleman kalır. İçinde a elemanı bulunmayan elemanlı alt küme sayısı olur. e. elemanını yok kabul edersek elemanlı alt küme sayısını buluruz. elemanlı alt kümelere eleman olarak eklenirse nin olduğu elemanlı alt küme sayısı; C (,)! ( - )!.! { }!.. 0 olur.!.. A 0,,,,, veriliyor. A kümesinin tüm alt kümelerinin kaç tanesinde; a. ve elemanlarından hiçbiri bulunmaz. b. ve elemanlarından biri veya ikisi bulunur. c. ve elemanlarından yalnız biri bulunur. d. ve elemanlarından her ikisi de bulunur. a. A kümesinin ve elemanlarının bulunmadığı kümeler, { 0,,, } kümesinin alt kümeleri olup 6 tanedir. b. A kümesinin 6 6 alt kümesi vardır. a şıkkında bulduğumuz 6 çıkarılırsa istenilen sayı 8 olur. c. Kümede ve elemanları aynı anda bulunmayacağı için a şıkkında bulduğumuz 6 tane alt kümenin her birine i eleman olarak eklersek, in eleman olarak bulunduğu alt kümeleri, ü eleman olarak eklersek ün bulunduğu alt kümeleri elde ederiz. Bu durumda yalnız elemanının bulunduğu alt küme sayısı 6, yalnız elemanının bulunduğu alt küme sayısı 6 olduğundan ve elemanlarından birinin bulunduğu alt küme sayısı 6 +6 olur. d. a şıkkında bulduğumuz bütün alt kümelere ve ü eleman olarak eklersek ve in eleman olarak bulunduğu alt kümelerinin sayısı 6 olur. A B {a,b,c,d,e,f} BİRLEŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ. A A A. A B B A. A (B C) (A B) C. A Ø Ø A A dır. A { I - <, Z}, B, I < 6, Z- kümeleri veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi A B kümesidir? A) A B {-,-,0,,,,,} B) A B {-,-,-,0,,,,,,6} C) A B {0,,,,,,6} D) A B {-,-,-,0,,,} E) A B {-,-,0,,,,,,6} A {-,-,0,,,}, B {,,,,} dir. A B {-,-,0,,,,,} dir. A [B (B Ø)+ ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) A B) B C) A B D) Ø E) A Ø A [B (B Ø)+ ifadesinde sadeleştirme yapmak için içten dışa doğru bir yol izleyelim. İlk önce köşeli parantezin içindeki parantezin içinde olan ifadeden başlayalım. B Ø B dir. İfadeyi tekrar yazarsak; A [B B+ oldu. Parantezin içindeki ifadeyi sadeleştirelim B B B dir. İfademizin son hali; A B dir. Yanıt: C 0 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.

102 KÜMELERİN KESİŞİMİ Tanım: A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A ile B nin ortak elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişimi denir. A B biçiminde gösterilir. A ile B nin kesişimi A B { I A ve B- biçiminde tanımlanır. A A B {,} KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ. A A A. A B B A. A (B C) (A B) C. A Ø Ø A A. A (B C) (A B) (A B) 6. A (B C) (A B) (A C) BİRLEŞİM KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI. A ve b kümeleri için A B Ø ise s(a B) s(a) + s(b) s(a B). A, B, C kümeleri için; s(a B C)s(A)+s(B)+s(C)-s(A B)-s(B C)- s(a B) + s(a B C) Bir sınıfta her öğrencinin Türkçe ya da Almanca bildiği varsayılıyor. Türkçe bilenlerin sayısı, Almanca bilenlerin sayısı 6, her iki dili bilenlerin sayısı tir. Sınıfın mevcudu kaçtır? A) B) C) 0 D) 0 E) Türkçe bilenlerin sayısı s(t) Almanca bilenlerin sayısı s(a) 6 Her iki dili bilenlerin sayısı s(t A) Sınıf mevcudu s(t A)? s(t A) s(t) + s(a) s(t A) veya; T A B olur. s(tua) olur. B 9 A kişilik bir sınıfta her öğrencinin voleybol ya da basketbol oynadığı biliniyor. Bu sınıfta voleybol oynayanların sayısı, basketbol oynayanların sayısının katından fazladır. Her iki oyunu da oynayan 6 kişi olduğuna göre basketbol oynayan kaç kişi vardır? A) B) C) 9 D) 6 E) 0 Sınıf mevcudu: s(b V) Basketbol oynayanların sayısı: s(b) Voleybol oynayanların sayısı: s(v)+ Her iki oyunu da oynayanların sayısı: s(b V) Yanıt: D TÜMLEME E evrensel kümesi ile bunun bir alt kümesi A olmak üzere, evrensel kümede olan fakat A kümesinde olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye A nın tümleyeni denir ve A veya ile gösterilir. A, E ve A- biçiminde yazılır. a A,,a,c- olur. A TÜMLEMENİN ÖZELLİKLERİ. A A Ø. A B B A. A EA. E Ø. A EE 6. Ø E 7. A AE 8. (A ) A A 9. (A B) A B 0. (A B) A B c E,,,,,,6,7,8- olmak üzere A, çift doğal sayı ve E} veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi A kümesidir? A) A,,,- B) A,,,,6- C) A,,,,6- D) A,,,,,6,7- E) A,,,,7- A E ve A,,,6,8- olduğundan A,,,,7- olur. Yanıt: E A E 0

103 FARK İŞLEMİ A B Tanım: A ve B herhangi iki küme olsun. A da olup B de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A nın B den farkı denir ve A\B ya da A-B biçiminde gösterilir. A-B { A ve B} dir. a b c A 6 7 B s(a).s(b) ise a + b (b + c) s(a\b)0 ise a 0 ve A B kümesinin alt küme sayısı 6 olduğu için s(a B) ve b olur. a + b (b + c) eşitliğinde yerine koyulursa;. ( + c) ise c bulunur. Buradan s(a B) a + b + c olur. Yanıt: E A\B FARKLA İLGİLİ ÖZELLİKLER. A\B A B. E\AA. A\AØ. A\ØA. Ø\AØ 6. A \BØ 7. A\BA\(A B) 8. (A\B) A B 9. (A\B) BA B 0. (A\B)\CA\(B C). A\B B\A B\A Doktorlar ve avukatlardan oluşan 60 kişilik bir toplulukta bayanların sayısı 6, avukatların sayısı 7, erkek doktorların sayısı dir. Buna göre toplu-lukta kaç bayan avukat vardır? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 D doktorlar kümesini, A avukatlar kümesini göster-sin. Erkek Bayan D a A c b E evrensel kümesinin iki alt kümesi A ile B dir. *A \(A B)] [A\(B Ø)+ kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) A B) B C) A B D) B E) Ø a + b 6, c + b 7 a +b+c+60 6+c+ 60 c9 olur. c+b7 9+b 7 b 8 dir. Avukat bayanların sayısı 8 dir. Yanıt: D *A \(A B)] [A\(B Ø)+ *A (A B) + [A B + *(A (A B )+ (A B ) [(A A ) B + (A B ) (A B ) (A B ) (A A) B E B B Yanıt: D A C B A ve B iki kümedir. s(a).s(b), s(a\b)0 ve A B kümesinin alt küme sayısı 6 olduğuna göre A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 7 Yukarıdaki şekilde taralı ifadeyi gösteren ifade hangisidir? A) [(A B) (A\C)] (B C) B) (C\A) [(A B)\C] C) A B C D) (A B)\(A C) E) [(A B) C] B 0 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.