KOLLOKASYON. Doç. Dr. Hüseyin DEMİREL Yıldız Üniversitesi

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KOLLOKASYON. Doç. Dr. Hüseyin DEMİREL Yıldız Üniversitesi"

Oz Bal
4 yıl önce
İzleme sayısı:

1 KOLLOKASYON Doç. Dr. Hüseyin DEMİREL Yıldız Üniversitesi 1. G İ R İŞ Jeodezinin bazı problemlerinde ölçüleri, bir fonksiyonel model ile tam olarak ifade etmek güçtür. Ölçülere iyi uyan bir fonksiyonel modelde de bilinmeyenler sayısı çok büyük olabilmektedir. Böyle durumlarda basit bir model fonksiyonu ve ölçülerin ondan olan sapmalarına ilişkin bir stokastik model = kollokasyon yöntemi ile ölçülerde saklı bilgiler, yeterli bir incelikle elde edilebilmektedir. Jeodezinin hemen hemen her alanında, fiziksel jeodezi, fotogrametrj ve kartografyada interpolasyon; ölçü yapılan noktalar dışında kalan yerlerde belli büyüklüklerin belirlenmesi işlemleriyle sık sık karşılaşılmaktadır. İnterpolasyon noktaları için en uygun değerlerin hesaplanması ve doğruluklarının bilinmesi olanağını da yine kollokasyon yöntemi vermektedir. ;q. Bunlardan başka değişik birim ve özellikteki ölçüler (örneğin, uydu jeodezisinde açı, uzunluk ve ağırlık değerleri), kollokasyon yönteminde bir arada değerlendirilebilmekte ve aranan büyüklükler en uygun biçimde belirlenebilmektedir. Bu çalışmada dengelemenin bilinen gösterim biçimleri açısından kollokasyon yöntemi ele alınmakta, uygulanmasında karşılaşılan güçlükler tartışılmakta ve kovaryans fonksiyonun belirlenmesinde izlenecek deneysel yol açıklanmaktadır. Ayrıca kollokasyon, bir interpolasyon problemine uygulanmaktadır. 2. KOLLOKASYON MODELİ ve KAVRAMLAR Ölçüler : L u L 2,... L n olsun. Model fonksiyonu (bilinmeyen lerin bir fonksiyonu) <pj (x, y, z,...) ise düzeltme denklemleri: 75

2 L, -!- v t = (pj (x, y, z,...) + Sı (i = 1, 2...n) (1) olur. y fonksiyonu ile ölçülerin sistematik bölümü (trend) ifade edilmektedir. Ölçülerin model fonksiyonundan olan sapmalarını gösteren s< lere (ölçülerin düzensiz sistematik bölümlerine) sinyal adı verilmektedir. Vj ler, ölçü hataları anlamındadır. (1) eşitliği, bir tek sinyal büyüklüğünün söz konusu olduğu basit kollokasyon modeli için geçerlidir (şekil : 1). Genel olarak Sj sinyali, çok sayıda sinyal değişkeninin fonksiyonudur. (H. Wolf, 1974). 76

3 Kollokasyon problemi; noise ( v =n) adı da verilen ölçü hatalarını ve s sinyallerini ayrı ayrı belirlemek (süzme) ya da dengelenmiş ölçü değerlerini elde etmek, model fonksiyonunda geçen bilinmeyenleri hesaplamak (denge leme), ölçü yapılmamış noktalardaki s p sinyalleerini ve I p interpolasyon değerlerini bulmak (prediksiyon), ölçülerin ve aranan büyüklüklerin ortalama hatalarrnı hesapla mak şeklinde özetlenebilir. Ölçü noktalarındaki sinyallere (s) iç sinyaller, prediksiyon nokta, larındakilere (s p ) dış sinyaller de denir (H. Wolf, 1979). Sinyal ölçü hatası gibi rastlantı niteliğindedir ve ortalama değeri (ümit değeri) sıfıra eşittir. s ve s p lerin hesabı için sinyallere ilişkin korelasyonlar ya da ağırlık katsayıları verilmiş olmalıdır. L, ölçüsünün ortalama hatası pılj ise, uygun olarak seçilecek \x% sabitesiyle QL, L ; ağırlık katsayısı 77

4 78

5 79

6 80

7 81

8 82

9 83

10 84

11 85

12 5. ÖZEL DURUMLAR Trend, sinyal ve ölçü hatalarının geçtiği klasik kollokasyon modelinde bazı kısımların sıfıra eşit olduğu uygulamalarla karşılaşılabilir. Bunlardan birkaçı aşağıda verilmiştir. Genel çözüm eşitliklerinde, öa. görülen koşullar dikkate alınarak özel çözümler kolayca elde edilebilir. 86

13 87

14 6. KOLLOKASYÖNUN UYGULANMASINDAKİ GÜÇLÜK; " KOVARYANS FONKSİYON Kollokasyonun çözüm sonuçlarından görüleceği gibi s ve s p sinyaileerinin ve ortalama hatalarının hesabında, onlara ilişkin ağırlık katsayıları matrisleri (Q ss, Q sp 8, Q sp sp,) geçmektedir. Bu mat- P, P P rislerin elemanları bir kovaryans ya da korelasyon fonksiyonu yardımıyla belirlenmektedir. Korelasyonlu ölçüler dengelemesinde olduğu gibi, kollokasyonda da stokastik modeli oluşturan ağırlık katsayıları matrisleri dengelemenin başlangıcında verilmiş olmalıdır. Aksi durumda kollokasyondan söz edilemez. Gerçekte fiziksel parametrelerin sürekli fonksiyonları olan sinyallerin istatistik özellikleri, çoğu kez bilinemez. Kollokasyonun jeodezi problemlerine uygulanışındaki zorluk bu belirsizlikten kaynaklanmaktadır. Kovaryansları deneysel yollardan belirlemek, çoğu kez kaçınılmaz olur. Bu durum, asıl ölçü noktaları dışında başka noktalar seçilmesini ve bu noktalarda deneme ölçüleri yapılmasını zorunlu kılar. Dış etkenlerin (parametrelerin) fonksiyonları olan sinyallerin varyans kovaryanlasları da aynı parametrelerin fonksiyonlarıdır. Bir değişkenli kovaryans matris elemanı C = C (q) ise q = 0 için varyans, 38

15 C o = C (O) olur. C (q) = C (O)/2 kovaryans değerine korelasyon uzaklığı elenir. q değişkeni, çoğu kez iki ölçü noktası arasındaki uzaklık ya da iki ölçünün yapıldığı zamanlar arasındaki fark anlamındadır. q, çok sayıda parametrenin fonksiyonu da olabilir. Değişik q parametrelerine bağlı kovaryans değerlerin elde edildiği fonksiyona kovaryanş fonksiyonu denir. Uygulamada genellikle sinyallerin homojenlik ya da durağanlık (istatistik parametrelerin; ortalama değer, varyans ve kovaryanslarm ölçü noktalarının konumuna bağlı olmayıp aralarındaki uzaklığın fonksiyonu olmaları) ve izotropi (söz konusu istatistik parametrelerin doğrultu değişmesine bağlı olmamaları) özelliklerine sahip oldukları ve bu nedenle kovaryanslarm aynı bir kovaryans fonksiyonla belirlenebileceği öngörülmektedir. Q ss ve Q sp sp matrisleri pozitif olmalıdır. Bu özellik, pozitif değerler veren ko.varyans fonksiyonlar ile sağlanır. Örnek olarak böyle fonksiyonlardan q parametresine bağlı birkaçı; dır. Bu fonksiyonların tümünde belirlenmesi gereken ortak C o varyansı dışında öteki bilinmeyenleri; q 0, a ve be büyüklükleridir. Kovaryans fonksiyonun ve kollokasyon için stokastik modelin belirlenmesinde izlenen yol genel olarak aşağıdaki gibidir : 1) n sayıda noktada ölçme yapılır ( I ). 2) Bir dengeleme ife, uygun olarak seçilen bir model fonksiyonu nun (trend) u sayıda bilinmeyeni elde edilir : 89

16 90

17 C s (q r ) değerleri uzaklık büyüdükçe sıfır değerine yaklaşırlar (Şekil : 2). 5) C s (q r ) kovaryans değerlerine uzaklık değişkenli, yukarıda sıralanan C = C (q) fonksiyonlarından biri (çan eğrisi) uydurulur ve fonksiyonda geçen parametreler dengeleme ile belirlenir. Örneğin Hirvonen fonksiyonunda C o ve q o belirlenmesi gereken büyüklüklerdir. Ölçülerin doğrulukları eşit ve (noktalarda yineleme ölçüleriyle) tahmin edilebilen varyanslan p, 2 j =y, 2 (i = 1,2,...,n) ise C s (0) = C o varyansı önceden hesaplanabilir : Değişik kovaryans fonksiyonlar arasında en uygun olanı en küçük ortalama hatayı verendir. Süzmenin büyüklüğü C z (0) C s (0) farkına bağlıdır. (Şekil : 2). Bu fark ne kadar büyükse süzme de o oranda büyük olur. Ha. tasız ölçüler ile prediksiyonda, kovaryans fonksiyonun C s (0) tepe noktası C z (0) ile çakışır. Bu halde süzme söz konusu değildir. 6) Belirlenen kovaryans fonksiyon ile sinyallere ilişkin kovaryans matrislerin elemanları hesaplanır. İç sinyallerin kovaryans mat-

18 92

19 dir. Sinyallerin ağırlık katsayıları matrislerinin oluşturulmasında jx 2 o = C s (0) alınmışsa QLL de aynı JJ. 2 O değeriyle hesaplanmalıdır. Bir istatistik problem olan kollokasyonda genellikle p- 2 o = 1 alınmalıdır. Bu durumda ağırlık katsayıları matrisleri, kovaryans matrisleri ile özdeş olmaktadır. Çoğu kez, kovaryans fonksiyonu kollokasyona giren ölçüler yar_ dımıyla belirlemek, başka noktalarda deneme ölçüleri yapmanın güçlükleri ya da olanaksızlığı nedeniyle kaççınılmaz olur. Bunun için ölçü noktaları sayısı n yeterli büyüklükte olmalıdır (en küçük n = 20 30; E. Assmus ve K. Graus, 1974). Ölçü sayısının yetersiz olduğu durumlarda kovaryans fonksiyon, bir tahmin ile öngörülebilir. Stokastik modelin başlangıçta bilinmemesi ve kovaryans fonksiyonun çoğu kez destek noktalarına (ölçü noktalarına) dayandırılması nedeniyle, kollokasyonun jeodezik problemlere uygulanışı; a) bir dengeleme ile ölçülerden trend bölümünü ayırmak (z = s --v = 1 A x), b) z ler yardımıyla klasik kollokasyonun özel durumlarını; süzme ve prediksiyon ya da salt prediksiyon yöntemini uygulamak biçimindedir. Trend bilinmeyenlerinin hesabında stokastik ya da fonksiyonel model noksanlığından kaynaklanan sistematik hatalar s sinyallerine ekleneceğinden ölçülerin stokastik bölümü z ler yardımıyla belirlenecek kovaryans fonksiyon, bu bölümün istatistik özeliklerine uygun olacak ve sinyal kovaryans matrisleri üzerinden prediksiyon isteminde, model noksanlığından kaynaklanan sistematik hatalar da s p dış sinyallerine taşınacağından uygun prediksiyon değerleri bulunacaktır. Araştırmalara göre prediksiyon, trend fonksiyonu karşısında duyarlı değildir (F. Assmus ve K. Kraus, 1974). Başka bir deyişle, ölçülerin fonksiyonel bölümü için basit bir fonksiyon öngörülebilir. m o ortalama hatasının hesabına ölçü noktalarındaki sinyaller de girdiğinden, bu durumda ortalama hatalar büyük çıkar. Prediksiyonun başka bir özeliği de ölçü hatalarını yeni noktalara taşımama. sıdır. 93

Benzer belgeler

Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon

Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon Jeodezide Yöntemleri: ve Lisansüstü Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü e-posta: austun@selcuk.edu.tr Konya, 2007 A. Üstün yöntemleri 1 / 28 Bir soruyu ya