MEKANİK DERS NOTLARI. Yar. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU

Transkript

1 MEKNİK DERS NOTLRI Yar. Doç. Dr. Hüsein YIROĞLU

2 . Mekaniğin tanımı 6. Temel ilkeler ve görüşler 6 İçindekiler STTİK GİRİŞ 6 EKTÖRLERİN E İŞLEMLERİNİN TNIMI 7. ektörün tanımı 7. ektörel işlemlerin tanımı 7.. ektörün bir saı ile çarpımı 7.. ektörlerin toplamı 8..3 İki ektörün birbiri ile skaler çarpımı 8..4 İki ektörün birbiri ile vektörel çarpımı 8..5 ir vektörün bir eksen üzerindeki izdüşümü 9 3 EKTÖRLERİN NLİTİK İNCELENMESİ 3. İki boutlu vektörlerin kartezen koordinatlarda gösterilişi 3. Üç boutlu vektörlerin kartezen koordinatlarda gösterilişi 3.3 Kartezen koordinatlarda vektörel işlemler ektörün bir saı ile çarpımı ektörlerin toplamı İki vektörün skaler çarpımı İki vektörün vektörel çarpımı Üç vektörün karışık çarpımı ir vektörün bir eksen üzerindeki izdüşümü 9 4 KUET SİSTEMLERİ 4. Kuvvetin tanımı ve vektörle gösterilişi 4. ir kuvvetin bir noktaa göre momenti 4.3 ir kuvvetin bir eksene göre momenti 4.4 ir kuvvet sisteminin bir noktaa göre momenti ve indirgeme elemanları (ir kuvvet sisteminin statik eşdeğeri ) 3

3 4.5 ir kuvvet sisteminin değişmezleri Dejenere kuvvet sistemleri Sıfıra eşdeğer kuvvet sistemi Kuvvet çiftine (Tek bir momente) eşdeğer kuvvet sistemi ileşkee eşdeğer kuvvet sistemi ileşkesi olan kuvvet sistemi Merkezi eksen Paralel bağlı kuvvet sistemi ve merkezi 3 5 KÜTLE MERKEZİ 3 5. ir sürekli cismin kütle merkezi 3 5. ileşik cismin kütle merkezi 39 6 STTİK 4 6. Giriş 4 6. İç kuvvetler ve kesit zorları Statiğin temel ilkelerinin geçerli olduğu referans sistemleri ir maddesel noktanın kuvvetler etkisinde dengesi ir Rijid cismin kuvvetler etkisinde dengesi Rijid cisim sisteminin kuvvetler etkisinde dengesi Düzlemsel kuvvetler etkisindeki cisimlerin dengesi Üç boutlu kuvvetler etkisindeki bir rijid cismin dengesi ile ilgili ugulamalar 54 7 SÜRTÜNME 6 7. Sürtünme ve sürtünme katsaısı 6 7. Mesnetlerdeki sürtünmeler Halat ve kaış kasnak sürtünmesi 66 DİNMİK GİRİŞ 69 8 EKTÖREL NLİZ ektör fonksionu 69 3

4 8. ektör fonksionunun türevi Türev Kuralları ektör fonksionunun integrali 7 9 EĞRİLERDE DİFERNSİYEL ÖZELLİKLER ir vektör fonksionunun hodografı ir vektörel fonksionun hodografı Pu ( ) vektörel fonksionunun türevi Doğal koordinat sistemi Doğal koordinat sisteminde T, N, birim vektörleri ve eğrilik arıçapı 76 MDDESEL NOKTNIN KİNEMTİĞİ 79. Kinematiğin temel kavramları 79. Maddesel noktanın hareketinin kartezen koordinat sisteminde incelenmesi. 8.3 Maddesel noktanın hareketinin doğal koordinat sisteminde incelenmesi. 8.4 Maddesel noktanın hareketinin silindirik koordinat sisteminde incelenmesi Maddesel noktanın doğrusal hareketi Sabit hızlı doğrusal hareket Sabit ivmeli doğrusal hareket a = f () t ivme zamanın fonksionu şeklinde verilmiş ise a = f() s ivme konumun fonksionu şeklinde verilmiş ise a = f( ) ivme hızın fonksionu şeklinde verilmiş ise a = k ağıntısına ugun doğrusal hareket (geri tepmei azaltma) a = ks ağıntısına ugun doğrusal hareket (Serbest titreşim hareketi) Doğrusal harekette toplam ol 9.6 Maddesel noktanın çembersel hareketi Çembersel harekette hız ve ivmenin kartezen koordinatlardaki ifadeleri 96.7 Maddesel noktanın bağıl hareketi (öteleme hareketi apan eksen sistemine göre) 99.8 Maddesel noktanın bağlı hareketi 3 4

5 RİJİD CİSMİN KİNEMTİĞİ 7. Rijid cismin hareketinde izdüşüm hızlar teoremi 7. Rijid cismin ötelenme hareketi.3 Rijid cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketi 3.4 Rijid cismin genel düzlemsel hareketi 8.5 Genel düzlemsel harekette ani dönme merkezi KİNETİK 5. Kinetik ve Newton un ikinci hareket kanunu 5. Maddesel noktanın kinetiği 5.3 Kütle merkezinin hareketi teoremi 6.4 Rijid cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketi ve atalet momentleri 8.5 talet momentleri 9.5. talet arıçapı 9.5. talet momentleri ile ilgili teoremler 3.6 Rijid cismin sabit bir eksen etrafındaki dönme hareketi ile ilgili problemler 37.7 Rijid cismin genel düzlemsel hareketinin kinetiği 39 3 İŞ E ENERJİ İLKESİ Maddesel noktanın hareketinde iş ve enerji ilkesi Mekanik enerjinin korunumu ve potansiel enerji Rijid cismin Sabit eksen etrafında dönmesinde kinetik enerji hesabı Rijid cismin genel düzlemsel hareketinde kinetik enerji hesabı 5 EK Daha önceki senelerde sınavlarda sorulan Statik problemleri 5 EK Daha önceki senelerde sınavlarda sorulan Dinamik problemleri 66 5

6 STTİK ÖLÜM GİRİŞ. Mekaniğin tanımı Cisimlerin Kuvvetler etkisinde dengesini ve hareketlerini inceleen bilim dalına mekanik denir. Mekanik cisimlere maddesel nokta, rijid cisim, elastik cisim, plastik cisim ve akışkanlar ( sıvı ve gazlar) olmak üzere aklaşır.mekanik eğer sadece maddesel nokta ve rijid cisim modelini inceliorsa bu bilim dalına mekanik vea mühendislik mekaniği denir. unun dışında incelediği cisim modeline ugun isimler verilir. Örneğin elastomekanik vea elastisite, plastisite, hidromekanik,aerodinamik, elektromekanik gibi. Mekanik, Statik ve Dinamik olmak üzere iki bilim dalına arılır. Statik kuvvetler etkisinde cisimlerin denge koşullarını, Dinamik ise hareketlerini inceler.. Temel ilkeler ve görüşler Mekaniğin temel aldığı ilkeler Newton asalarıdır. u asalar cisimlere maddesel nokta modeli ile aklaşıldığında kullanışlıdır. Diğer cisim modellerine matematiksel modellerle genişletilmesi gerekir. enzer şekilde mekanikte kuvvetler maddesel nokta modelinde vektörlerle gösterilebilmesine karşı rijid cisim modelinde vektör ve etki doğrusu kavramları beraber kullanılmalıdır. Mühendislik mekaniği vektörler ardımı ile oluşturulduğu için vektörleri bize gerektiği kadar arıntılı bir şekilde ele almamız gerekir. 6

7 ÖLÜM EKTÖRLERİN E TEMEL İŞLEMLERİNİN TNIMI. ektörlerin tanımı Doğrultu, ön ve modülü ile tanımlanan büüklüklere vektörler denir. ir vektör Koulaştırılmış harfler ile vea üzerine ok işareti çizilen harflerle belirtilir. ektörler aşağıdaki gibi önlendirilmiş doğru parçası ile gösterilebilir. ir referans sistemine göre çizilen bu doğru parçasının doğrultusu vektörün doğrultusunu, önü vektörün önünü ve uzunluğu vektörün modülünü gösterir. ir vektörün modülü ile gösterilir. Sıfır vektör : modülü sıfır olup doğrultu ve önü belirsiz olan vektörlere sıfır vektörü denir ve ile gösterilir. vektörü : vektörü ile anı doğrultu ve modülde fakat ters öndeki vektöre vektörü denir. irim vektör: Modülünün saısal değeri olan vektöre birim vektör denir.. ektörel işlemlerin tanımı ektörler üzerine inşa edilen temel işlemler : ektörün bir reel saı ile çarpımı, vektörlerin toplanması, skaler ve vektörel çarpımı gibi işlemlerdir... ektörün bir saı ile çarpımı Çarpılan vektörle anı doğrultuda bir vektördür. Eğer çarpım katsaısı pozitif ise önde anıdır. Modül ise çarpım katsaısı ile vektörün modülünün çarpımı kadardır. k = k ir vektörün birim vektörü : ektörü modülüne bölerek elde edilir. 7

8 ir eksenin birim vektörü : Eksen doğrultusunda ve önündeki herhangibir vektörü modülüne bölerek bulunur... ektörlerin toplamı aşlangıçları anı noktaa getirilen iki vektörün toplamı bu vektörler üzerine kurulan paralel kenarın köşegeni üzerindeki aşağıda gösterilen vektöre eşittir. C = +..3 İki vektörün birbiri ile skaler çarpımı İki vektör arasındaki açı: aşlangıçları anı noktaa getirilen iki vektör arasındaki 8 den büük olmaan açı iki vektör arasındaki açı olarak alınır. θ Skaler Çarpım sonucunda skaler elde edilir. = Cos θ..4 İki vektörün birbiri ile vektörel çarpımı ektörel çarpımın sonucu ine bir vektördür. C = = ( Sin θ) n urada ektörel çarpım sonunda elde edilen vektör her iki vektöre dik doğrultuda ve Sin θ modülünde bir vektördür. Yönü ise sağ el kuralı ile bulunabilir. 8

9 Sağ el kuralı ile elde edilen ön, baş parmak dışındaki sağ el parmakları birinci vektörü ikinci vektöre doğru döndürme önünde tutulursa baş parmağın gösterdiği öndür. C = n θ h Sin θ ifadesinde Sin θ = h olduğundan ve vektörlerinin birbiri ile vektörel çarpımının modülü bu vektörlerin başlangıçları anı noktaa getirilirse üzerine kurulan paralelkenarın alanına eşit olduğu görülür...5 ir vektörün bir eksen üzerindeki izdüşümü Δ = Cos θ Δ θ Δ Δ = U Δ burada U Δ Δ ekseninin birim vektörüdür. 9

10 ÖLÜM 3 EKTÖRLERİN NLİTİK İNCELENMESİ 3. İki boutlu vektörlerin kartezen koordinatlarda gösterilişi j β α i Düzlemde bir vektör = i + j şeklinde ve ekseni doğrultusundaki vektörlerin toplamı cinsinden azılabilir. u vektörün modülü ise aşağıdaki gibi pisagor teoremi ardımı ile bulunur. = + ir vektörün doğrultusunda ve önündeki birim vektör ise vektör modülüne bölünerek elde edilir. U = ( ), U = i j + ( )

11 şağıdaki gibi birim vektörün katsaılarının vektörün eksenlerle aptığı açıların kosinüslerine eşit olduğu gösterilebilir. Cos = α = U, Cos β = = U Problem 3.. ir düzlemdeki ata doğrultu ile 3 derecelik açı apan ve modülü 8 birim olan vektörü ve birim vektörünü kartezen koordinat sisteminde azınız. Çözüm: j i θ = i + j = 8birim, θ = 3 = Cosθ, = Sinθ = 8Cos3, = 69, 8birim = 8Sin3, = 4birim = 69, 8 i + 4j U = i j + ) U =, 866 i +, 5 j (, () 69, 8 4 U = i + j () 8 8

12 3. Üç boutlu vektörlerin kartezen koordinatlarda gösterilişi j H F β γ α i E O z k C D Z Üç boutlu uzada bir vektör kartezen koordinat sisteminde = i + j + zk şeklinde ve ekseni doğrultusundaki vektörlerin toplamı cinsinden azılabilir. u vektörün modülü ise aşağıdaki gibi pisagor teoremi ardımı ile bulunur. = + + z ir vektörün doğrultusunda ve önündeki birim vektör ise vektör modülüne bölünerek elde edilir. U = ( ), U z = i j k + + ( ) şağıdaki gibi birim vektörün katsaılarının vektörün eksenlerle aptığı açıların kosinüslerine eşit olduğu gösterilebilir. z Cos α = = U, Cos β = = U, Cos γ = = U z Problem 3.. ir vektörünün başlangıcı kartezen koordinat sisteminin başlangıç noktasına erleştirildiğinde uç noktası (6,3,) koordinatlarında ise bu vektörün a) bu koordinat sistemindeki azılışını b) modülünü c) birim vektörünü d) koordinat eksenleri ile aptığı açıları bulunuz.

13 Çözüm: H F ( 6 ; 3 ; ) β O α γ a) z = i + j + zk = 6i + 3j + k b) = + + = 7 z z, = ( 6) + ( 3) + ( ) c) U =, ( ) 6 3 U = i + j + k () U () = 6i + 3j + k 7 d ) Cos = α = U, Cos = = U 6 Cos α =, 7 3 Cos β =, 7 z β, Cos γ = = U z Cos γ = 7 α = 3, β = 64, 6, γ = 73, 4 3

14 3.3 Kartezen koordinatlarda vektörel işlemler 3.3. ektörün bir saı ile çarpımı Kartezen koordinat sisteminde bir vektör = i + j + zk şeklinde azılırsa bu vektörün bir λ saısı ile çarpımı aşağıdaki şekilden görüldüğü gibi dikdörtgenler prizmasının bütün ölçüleri anı λ saısı ile çarpılarak elde edildiğinden λ = λ i + λ j + λzk şeklinde azılabilir. λ z λ z λ z λ ir vektörün bir saı ile çarpımı vektörün doğrultusunu değiştirmez. Eğer çarpım katsaısı pozitif ise önü de değişmez. Problem Problem 3.. de hesaplanan = 6i + 3j + k çarpımından elde edilen λ vektörünün a) ifadesini b) modülünü c) birim vektörünü hesaplaınız. vektörünün λ=,5 ile Çözüm: a) λ = λ i + λ j + λzk λ = 5, 6i + 5, 3j + 5, k λ = 5i + 75j + 5k b) λ = ( 5) + ( 75) + ( 5) 4

15 λ = 75, λ =, 5 7 = 75 λ = λ c) λ λ λ z U = i + j + k ( λ) λ λ λ 5, 6 5, 3 5, U = i + j + k ( λ) 5, 7 5, 7 5, U = i + j + k ( λ ) U = U ( λ ) () 3.3. ektörlerin toplamı Şekilde gösterildiği gibi İki boutlu uzada ve vektörünün toplamı olan C vektörünün koordinat eksenleri doğrultusundaki bileşenleri ve vektörlerinin anı doğrultudaki bileşenleri toplanarak bulunur. = i + j, = i + j + = ( + ) i + ( + ) j D C = + C = + O E C = + Şekildeki ODE üçgeninden OE kenarının uzunluğu OD ve DE kenarlarının uzunlukları toplamından büük olamıacağı bilindiğinden + + eşitsizliği azılabilir. nı işlemler üç boutlu uzaa aşağıdaki gibi ugulanabilir. = i + j + zk, = i + j + zk + = ( + ) i + ( + ) j + ( + ) k z z 5

16 Problem = 6i + 3j + k vektörü ile = i + 3j + 4k vektörünün a) modüllerini b) bu vektörlerin toplamını c) toplam vektörün modülünü hesaplaınız. Çözüm: a) = , = 7 = ( ) + ( 3) + ( 4), = 3 b) + = ( 6+ )i + ( 3+ 3)j + ( + 4)k + = 8i + 6j + 6k c) + = ( 8) = 9, İki vektörün skaler çarpımı şağıda gösterildiği gibi ve vektörünün skaler çarpımı bu vektörlerin anı doğrultudaki bileşenleri çarpımı toplanarak bulunur ve sonuç skalerdir. = i + j + zk, = i + j + zk = + + z z Skaler çarpımın tanımından skaler çarpımın mutlak değeri vektörlerin modülleri çarpımından büük olamaz. Problem = 6i + 3j + k vektörü ile = i + 3j + 4k vektörünün a) skaler çarpımını b) modülleri çarpımını hesaplaınız. c) aralarındaki açıı hesaplaınız. Çözüm: a) = = 89 b) = 7, = 3 = 3 7, = 9 6

17 c) skaler çarpımın tanımından = Cosθ Cos θ = 89 Cos θ = θ =, İki vektörün vektörel çarpımı Sağ kartezen koordinat sisteminde koordinat eksenlerinin birim vektörlerinin vektörel çarpımı aşağıdaki gibi azılır. i j = k, j i = k, j k = i, k j = i k i = j, i k = j Sağ eksen sisteminde ifade edilen ve vektörünün vektörel çarpımı olan C vektörü aşağıda gösterilen determinantın açılımı ardımı ile hesaplanabilir. = i + j + zk, = i + j + zk = ( i + j + zk) ( i + j + zk) = [( i) ( i)] + [( i) ( j)] + [( i) ( zk)] + + [( j) ( i)] + [( j) ( j)] + [( j) ( zk)] + + [( k) ( i )] + [( k) ( j)] + [( k) ( k)] z z z z = i j k z z Problem = 6i + 3j + k vektörü ile = i + 3j + 4k vektörünün a) C= vektörel çarpımını b) C vektörel çarpım vektörü ile vektörü arasındaki açıı c) C vektörel çarpım vektörü ile vektörü arasındaki açıı hesaplaınız. Çözüm: a) i j k C= = z i j k, C= = z C= = ( 3 4 3)i + ( 6 4)j + ( )k C= = 6i 8k 7

18 b) c) C = ( 6i 8k) ( 6i + 3j + k) C = = olduğundan C vektörü vektörüne diktir. C = ( 6i 8k) ( i + 3j + 4k) C = = olduğundan C vektörü vektörüne diktir Üç vektörün karışık çarpımı İki vektörün vektörel çarpımından elde edilen vektörün bir diğer vektörle skaler çarpımına bu üç vektörün karışık çarpımı denir. = i + j + zk = i + j + zk C = C i + C j + C k z ( C) = C C C z z z Lineer cebirden bilindiği gibi bir Determinantta iki satırın eri değişirse determinantın işareti değişir, satırların eri iki vea ikinin katları saısında değişirse determinantın değeri değişmez. u bilinen özellikten fadalanarak aşağıdaki eşitlikler azılabilir. ( C) = ( C ) = C ( ) 8

19 3.3.6 ir vektörün bir eksen üzerindeki izdüşümü θ Δ Δ Δ = U Δ = i + j + zk U = U i + U j + U k Δ Δ = U + z U + z U z Problem = i + 3j + 4k vektörünün kartezen koordinat eksenleri ile pozitif bölgede eşit açılar apan ve pozitif bölgee doğru önelmiş Δ eksenindeki izdüşümünü ve bu eksenle aptığı açıı hesaplaınız. Çözüm : Δ = U Δ İzdüşüm alınacak eksenin birim vektörü bu eksen önündeki bir vektörü modülüne bölerek elde edilir. i + j + k U Δ =, UΔ = i j k Δ = ( i + 3j + 4k) ( i j k) , 3 9 Δ = 3 Δ Δ = UΔ = Cosθ Cos θ = 9 Cos θ = Cos θ =, Δ = θ = 3, 45 9

20 ÖLÜM 4 KUET SİSTEMLERİ 4. Kuvvetin tanımı ve vektörle gösterilişi ir cismin şeklini vea hızını değiştiren ve başka cisimler tarafından ugulanan fiziksel etkie kuvvet denir. Kuvvet doğrultu ön ve bir şiddet içerdiğinden vektörle gösterilebilir. Yalnız anı vektörle gösterilmesine rağmen kuvvet cismin farklı erlerine ugulandığında fiziksel etkisi farklı olur. undan dolaı kuvvet özellikle rijid cisim mekaniğinde vektör ve etki doğrusu ile birlikte düşünülmelidir. Etki doğrusu F Kuvvet vektörü

21 4. ir kuvvetin bir noktaa göre momenti M O o F h θ θ M O = F h MO = O F O F = F O Sin θ O Sin θ = h uradan M O = F h olduğu görülür. i j k M = O z F F F z M = ( F F ) i + ( F F ) j + ( F F ) k O z z z z Problem 4.. (3,8,) ve (7, 4,4) noktalarından geçen 3 N. şiddetinde olan ve dan e doğru önelmiş F kuvvetinin O(,,) noktasına göre momentini bulunuz. MO = O F O = 3i + 8j + k, F = F U U =, = O O

22 = ( 7i 4j + 4k) ( 3i + 8j + k), = 4i j + 3k 4i j + 3k 4 3 U =, U = i j + k 4 + ( ) F = 4i j + 3k M O = ( 3i + 8j + k) ( 4i j + 3k) i j k M O = 3 8, MO = 36 i 5j 68k ir kuvvetin bir eksene göre momenti M Δ M Δ F MΔ = M UΔ M = U ( F) Δ Δ M Δ = U F U F z U F z z z

23 Problem 4.3. (3,8,) ve (7, 4,4) noktalarından geçen ve 3 N. Şiddetinde olan F kuvvetinin O(,,) ve C(,6,3) noktalarından geçen Δ eksenine göre momentini bulunuz.(koordinatlar metre cinsindendir.) MΔ = MO UΔ Problem 4.. den MO = 36 i 5j 68k dır. OC UΔ = i + 6j + 3k, U Δ = OC UΔ = i j k M Δ = ( 36 i 5 j 68k) ( i + j + k) M Δ = , M Δ = M Δ = 3, 43Nm ir kuvvet sisteminin bir noktaa göre momenti ve indirgeme elemanları ( ir kuvvet sisteminin statik eşdeğeri) ir vea birden fazla saıda kuvvetten oluşan sisteme kuvvet sistemi denir. d d d i d n i F F F i F n n M O R O u n saıda kuvvetten oluşan kuvvet sisteminin bir uzaın o noktasına göre momentine bileşke moment denir ve bu bileşke moment her bir kuvvetin bu noktaa göre moment vektörlerinin toplamına eşittir. n M = O F O i i i= u n saıdaki kuvvetin vektörel toplamına geometrik toplam denir. R = n F i i= 3

24 Elde edilen bileşke moment ve geometrik toplamın her ikisine birden bu vektör sisteminin indirgeme elemanları denir. ir kuvvet sisteminde bir noktadaki indirgeme elemanlarından fadalanarak başka noktalardaki indirgeme elemanlarının bulunuşu: n MQ = Qi Fi i= Qi = QO + Oi n M Q = (QO+ O i ) Fi i= MQ = MO + QO R Problem 4.4. ir kuvvet sistemi (5, 3,8) noktasından geçen F = i + 8j 4k, (,8,9)) noktasından geçen F = 5i + j + 6k, 3 (,,7) noktasından geçen F3 = 6i + 8j 9k ve 4 (,,-4) noktasından geçen F4 = 3i j 8k kuvvetlerinden oluşmuştur. u kuvvet sisteminin a) O(,,) noktasındaki indirgeme elemanlarını b) Q(,, 6) noktasındaki indirgeme elemanlarını bulunuz. Çözüm: a) 4 R = Fi, R = F + F + F3 + F4 i= R = ( i + 8j 4k) + ( 5i + j + 6k) + ( 6i + 8j 9k) + ( 3i j 8k) R = ( )i + ( )j + ( )k R = i + 8j 5k 4 MO = Oi Fi, MO = O F + O F + O 3 F3 + O 4 F4 i= O F = ( 5i 3j + 8k) ( i + 8j 4k) i j k O F = = i + 5 j + 7k 8 4 i j k O F = 8 9 = 7i 5j + k 5 6 4

25 i j k O3 F3 = 7 = 6i 4 j + 96k i j k O4 F4 = -4 = 6i j 36k 3 8 M O = ( i + 5j + 7k) + ( 7i 5j + k) + ( 6i 4j + 96k) + ( 6i j 36k) M O = ( 7 6 6)i + ( )j + ( )k MO = 34i + 89j + 3k b) n R = F i, R = i + 8j 5k i= MQ = MO + QO R QO = i j + 6k QO R = ( i j + 6k) ( i + 8j 5k) i j k QO R = 6 = i 8j 6k 8 5 M Q = ( 34i + 89j + 3k) + ( i 8j 6k) MQ = 3i + 7j + 4k 4.5 ir kuvvet sisteminin değişmezleri a) ir kuvvet sisteminde kuvvetlerin geometrik toplamı olan R noktadan noktaa değişmez. b) ir kuvvet sisteminde bileşke momentin geometrik toplam üzerindeki izdüşümü noktadan noktaa değişmez. İspat: M Q U R = ( M O + QO R) U R ( QO R) U R = ( R ve U R anı doğrultuda olduğundan ) M Q U R = M O U R elde edilir. Yukarıdaki denklemin her iki tarafı R ile çarpılırsa M Q R = M O R eşitliği elde edilir. u eşitlikten ileşke moment ile geometrik toplamın skaler çarpımının noktadan noktaa değişmediği anlaşılır. 5

26 Problem 4.5. Problem 4.4. deki kuvvet sistemi için M Q R = M O R eşitliğini gerçekleiniz. Çözüm: R = i + 8j 5k MO = 34i + 89j + 3k MQ = 3i + 7j + 4k MQ R = ( 3i + 7j + 4k) ( i + 8j 5k) MQ R = ( 5) MQ R = 886 MO R = ( 34i + 89 j + 3k) ( i + 8j 5k) MO R = ( 5) M R = 886 M R = M R = 886 O Q O 6

27 4.6 Dejenere kuvvet sistemleri ileşke momentle geometrik toplamın birbiri ile skaler çarpımının sıfır olduğu kuvvet sistemlerine dejenere kuvvet sistemleri denir. M O R = u eşitlik ile aşağıdaki durumlarda karşılaşılır ) M = O, R = (sıfıra eşdeğer kuvvet sistemi) 4.6. ) M O, R = (kuvvet çiftine eşdeğer kuvvet sitemi) ) M = O, R (bileşkee eşdeğer kuvvet sistemi) ) M O, R (bileşkesi olan vektör sistemi) Düzlemsel, bir noktada kesişen ve paralel kuvvet sistemleri dejenere kuvvet sistemleridir Sıfıra eşdeğer kuvvet sistemi M = O R = Sıfıra eşdeğer kuvvet sisteminde ) Kuvvet sistemi tek bir kuvvetten oluşmuşsa bu kuvvetin şiddeti sıfır olmalı. ) Kuvvet sistemi iki kuvvetten oluşmuş ise bu kuvvetler anı doğrultuda ters önde ve eşit şiddette olmalıdır. 3) Kuvvet sistemi üç kuvvetten oluşmuş ve birbirine paralel değil ise bu kuvvet sisteminin geometrik toplamının sıfır olabilmesi için kuvvetlerin oluşturduğu poligon kapalı bir üçgen olmalıdır. u kuvvet sisteminde bileşke momentin sıfır olabilmesi için bu üç kuvvetin doğrultusu anı erde kesişmelidir Kuvvet çiftine eşdeğer kuvvet sitemi M O, R = ir kuvvet sisteminde Geometrik toplam sıfır ileşke moment sıfırdan farklı ise bu kuvvet sistemi tek bir momente eşdeğer olur. u moment vektörüne dik düzlemlerde alınan kuvvet çiftleri ile de bu kuvvet sistemi temsil edilebilir. ir kuvvet sistemi tek bir momente eşdeğer ise bu noktadan noktaa değişmez. MQ = MO + QO R ve R = olduğundan MQ = MO olur ileşkee eşdeğer kuvvet sistemi M = O, R Eğer bir noktada bileşke moment sıfır ve geometrik toplam sıfırdan farklı ise bu geometrik toplam sanki sistem tek bir kuvvetten oluşmuş gibi bu sistemi temsil edebileceğinden bu geometrik toplama bu kuvvet sisteminin bileşkesi denir. 7

28 4.6.4 ileşkesi olan kuvvet sistemi M O, R Eğer dejenere vektör sisteminde ileşke moment ve geometrik toplamın her ikisi de sıfırdan farklı ise bu iki vektör birbirine dik olmalıdır. u vektör sisteminin bileşkesi bulunabilir. 4.7 Merkezi eksen ileşke momentle geometrik toplamın anı doğrultuda olduğu eksene merkezi eksen vea vida ekseni denir. Mλ R ida ekseni λ(,,z) M O R O(,,) M R Merkezi eksen üzerindeki bir nokta λ(,,z) ve O(,,) noktasındaki bileşke moment MO = Mi + Mj + Mk z ise ileşke momentin geometrik toplam üzerindeki izdüşümü değişmieceğinden Mλ = MR UR azılabilir. M = MO U R R M R = M U R + M U R + M zu Rz Mλ = MR UR i + MR UR j + MR URz k undan başka geçiş teoremi ugulanarak Mλ aşağıdaki gibi de azılabilir. Mλ = MO + λo R Mλ MO = R Oλ i j k R Oλ = R R R z z R O λ = (R z R ) i + (R R z)j + (R R )k R R z z R R z R R z z = M z = M = M R R R U U U R R Rz M M M z 8

29 Problem 4.7. Problem 4.4. verilen kuvvet sisteminin merkezi ekseninin denklemini bulunuz. merkezi eksenin oz düzlemini kestiği noktanın koordinatlarını bulunuz. R = i + 8j 5k, MO = 34i + 89j + 3k Mλ MO = R Oλ Mλ = MR UR MR = MO UR R UR = R i + 8j 5k i + 8j 5k UR =, UR =, ( ) + ( 8) + ( 5) 493 U R =, 5694i +, 747 j, 388k M R = ( 34i + 89j + 3k) (, 5694i +, 747 j, 388k) M R = 9, 73 M λ = 9, 73 (, 5694i +, 747 j, 388k) M λ = 9, 6i 5, 66 j + 8, 4k Mλ M O = ( 9, 6i 5, 66j + 8, 4k) ( 34i + 89j + 3k) Mλ M O = 4, 84i 4, 66 j 48, 76k R O λ = ( i + 8j 5k) ( i + j+ zk) i j k R Oλ = 8 5 z R O λ = ( 8z+ 5)i + ( 5 z)j + ( 8)k ( 8z+ 5)i + ( 5 z)j + ( 8)k = 4, 84i 4, 66j 48, 76k 8z + 5 = 4, 84 5 z = 4, 66 8 = 48, 76 u Lineer denklem sisteminin katsaılar matrisinin determinantı 5 8 Δ= 5 = 5 ( ) ( 8) + 8 ( 5) = 8 sıfır olduğundan bu denklem sistemi birbirinden bağımsız değildir. u denklem sisteminin katsaılar matrisinde sıfırdan farklı lik determinant bulunduğundan bu denklemlerden ikisi birbirinden bağımsızdır. 9

30 u denklemlerin herhangi ikisi birbirinden bağımsız olduğundan bunlardan herhangi ikisi verilen kuvvet sisteminin merkezi ekseninin denklemi olarak alınabilir. 8 = 48, 76 5 z = 4, 66 Merkezi eksen üzerinde 8 = 48, 76 = 676, = da 5 z = 4, 66 z =, Paralel bağlı kuvvet sistemi ve merkezi i,m i, m 3,m 3 n, m n, m F = mu F3 = m3u F m U G F = m U F = m U i i = n n n MO = Oi Fi i= R z o n MO = OG Fi i= F i = m i U n n ( m OG m O ) U = i i= i= i i 3

31 OG = n i= m n i i= O m OG = ξ i + η j + ζ k i i ξ = n m i i i=, n i= m i η = n m i i i=, n i= m i ζ = n i= n m i= i m z i i Problem 4.8. Paralel bağlı bir kuvvet sistemi (3,7,) noktasındaki 8kg lık m kütlesi, (6,, 8) noktasındaki kg lık m kütlesi ve 3 (, 4, 5) noktasındaki 3 kg lık m 3 kütlesinden oluşmuştur. u kuvvet sisteminin merkezinin koordinatlarını hesaplaınız.( koordinatlar cm. cinsinden alınmıştır.) ξ = 3 i= n m i= i m i ξ = i m + m + m 3 3, ξ = m + m + m3, ξ = 543, cm. η = 3 m i= n i= i m i i ( 4) η = m + m + m 3 3, η = m + m + m3, η = 35, cm. ζ = 3 i= n m i= i m z i i mz + mz + mz 3 3, ζ = m + m + m3 8 + ( 8) + 3 ( 5) ζ = , ζ =, 48cm. 3

32 ÖLÜM 5 KÜTLE MERKEZİ 5. ir sürekli cismin kütle merkezi (,,z) dm G(ξ,η,ζ) z O OG = O dm dm OG = ξ i + η j + ζ k ξ = dm dm, η = dm dm, ζ = zdm dm 3

33 Problem 5.. R arıçaplı α tepe açılı çember parçası şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm: O = RCosθ dθ α θ G α OG d = Rdθ dm = ρd dm = ρr dθ ekseni simetri ekseni olduğu için η = dır. ξ = dm dm, ξ = α α α α dm dm ξ = α α ρrcosθ Rdθ α α ρrdθ, ρr [Sin α (Sin α)] ξ = ρr[ α ( α)] ρrsinα ξ = ρr α, ξ = OG = RSin α α 33

34 Problem 5.. Şekilde gösterilen dörtte bir çember parçası şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm : G π 4 π η 4 O ξ = doğrusu Şekildeki dörtte bir çember parçası için = doğrusu simetri ekseni olduğundan ξ = η= OG RSin α π Problem 5.. den OG = α = α 4 π RSin( ) OG 4 R =, OG = π / 4 π R R ξ = η= ( ), ξ = η= π π Problem 5..3 Şekilde gösterilen arım çember şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm : G π O π 34

35 Ekseni simetri ekseni olduğu için ξ = dır. Problem 5.. den η = OG = π RSin η = π /, R η = π RSin α α Problem 5..4 Yüksekliği h olan üçgen şeklindeki homojen levhanın kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. h d = d dm = ρd h h- dm = ρ d d O a η = dm dm h = a h, h, η = h ρd ρd a = (h ) h ρ h, η = h ρ d d h a (h )d ρ h η = h a ρ (h )d h, 3 3 a h h ρ ( ) η = h 3 a h ρ (h ) h, 3 ah ρ η = h 6, ah ρ h h ρa η = 6 h ρa h η = 3 35

36 Problem 5..5 Şekilde ölçüleri verilen dik üçgen şeklindeki homojen levhanın kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. 6mm. 3mm. 3 Problem 5..4 den ξ =, 3 ξ = mm., η = mm. η = 6 3 Problem 5..6 R arıçaplı α tepe açılı daire dilimi şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm: O RCosθ 3 d Rd R dθ d = Rdθ dm = ρd = ρ Rdθ = = = dθ α θ G α OG ekseni simetri ekseni olduğu için η = dır. 36

37 ξ = ξ = α α dm dm, ξ = α α α α dm dm RCos θρ ( R d θ) 3 α α ρ Rdθ, ξ = ρr 3 α 3 ρr Cosθdθ α α α dθ 3 ρr [Sin α ( Sin α)] ξ = 3 ρr[ α ( α)] RSinα ξ = OG = 3 α, ξ = 3 ρ 3 RSin α ρr α Problem 5..7 Şekilde gösterilen dörtte bir daire dilimi şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm : = doğrusu G π 4 π η 4 O ξ Şekildeki dörtte bir daire dilimi için = doğrusu simetri ekseni olduğundan ξ = η= OG Problem 5..4 den π RSin( ) OG = 4, 3 π / 4 4 R ξ = η= ( ), 3π OG = 3 RSin α α 4 R OG = 3π 4R ξ = η= 3π π α = 4 37

38 Problem 5..8 Şekilde gösterilen arım daire dilimi şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm : π O Ekseni simetri ekseni olduğu için ξ = dır. G π Problem 5..4 den π RSin η = 3π /, η = η = OG = 4R 3π 3 RSin α α Problem 5..9 Şekilde gösterilen R taban arıçaplı arım küre şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını gösteriniz. Çözüm: z dm = ρπ r dz m = ρ o r R dz z oz düzlemi simetri düzlemi olduğu için ξ = dır. oz düzlemi simetri düzlemi olduğu için η = dır. 38

39 ζ = zdm dm, ζ = R R zρπr dz ρπrdz, ζ = ρπ R ρπ R zr dz rdz r = R z, R ρπ( ) ζ = 4, 3 ρπ( R ) 3 4 ζ = ρπ ρπ R R (zr 3 z )dz (R z )dz ζ = 3 8 R, 4 4 R R ρπ( ) ζ = R ρπ(r ) 3 5. ileşik cismin kütle merkezi ir bileşik cismin kütle merkezi bu cismi oluşturan cisimlerin kütle merkezleri bulunduktan sonra daha önceden çıkarılan paralel bağlı vektör sisteminin merkezine ait olan formüllerle hesaplanır. OG = n i= m n i i= O m OG = ξ i + η j + ζ k i i ξ = n m i i i=, n i= m i η = n m i i i=, n i= m i ζ = n i= n m i= i m z i i Eğer bileşik cismi oluşturan cisimlerin oğunluğu anı ise ukarıdaki denklemlerde mi = ρi azılabilir ve ρ lar toplam dışına alınıp kısaltılabileceğinden dolaı aşağıdaki eşitlikler elde edilir. ξ = n i i= n i= i i n i i=, η = n i= i i n i i=, ζ = n i= z i i 39

40 Problem 5.. Homojen fakat farklı kalınlıklardaki levhalardan şekildeki taralı alan gibi oluşturulmuş cismin kütle merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. ¼ daire dilimi kalınlık mm. kalınlık mm z (Ölçüler mm. cinsindendir. ) 4 z3 = 3 = R 3π, = = 3π π, 9 kalınlık 3mm πr =, 3 =5π 4 Y z M=ρ m m mz /π /π 5π 45π , , , ξ = η = ζ = 6 i= 6 m i= 6 i= 6 i m m i= 6 i= 6 m i= i i i m m i i z i i i, ξ = 4975, ξ = 3, 3mm ,45, 565 η =, η = 5,67mm ,45, ζ = , ζ = 4,46mm ,45 4

41 Problem 5.. Şekilde gösterilen içi dolu homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. z 3 ( Ölçüler cm. cinsindendir. ) 4R 6 z = 4 +, z = 4 + = 47, 93cm., 3π π 3 = 756π = 375, 4cm πr =, 4 z z, ,5 47,93 375,4 85, , , ξ = η = 3 i i= 3 ζ = i= 3 i= 3 i i i= 3 i i= i i i= 3 i i z i,,, 59836, 5 ξ =, ξ = cm. 653, 4 74 η =, η =, cm. 653, ζ =, ζ = 5, 7cm. 653, 4 4

42 ÖLÜM 6 STTİK 6. Giriş Statik kuvvetler etkisinde cisimlerin denge koşullarını inceleen bilim dalıdır. u tanımlamada adı geçen kuvvet, cisim ve denge terimlerini açıklaalım. Kuvvet: Ele alınan Cisme başka cisimler tarafından ugulanan ve cismin hareket vea denge durumları ile şeklini değiştiren etkie kuvvet denir. Kuvvetler etkinin cinsine göre : Temas etkisi (üze kuvvetleri) ve uzaktan etki ( hacim kuvvetleri) olmak üzere ikie arılır. Dengesi incelenen cisimle temasta olan mafsal,mesnet,kablo,çubuk gibi diğer cisimlerden gelen kuvvetler üze kuvvetleridir. Uzaktan etki kuvvetlerine örnek, ağırlık kuvvetleri, magnetik ve elektriksel alanlardan gelen kuvvetler verilebilir. Kuvvetler cisme etki bölgesine göre: İç kuvvet dış kuvvet şeklinde ikie arılır. F F F 3 F 3 F 4 F F F F F 4 Şekilde gösterilen F, F, 3 F, 4 F kuvvetleri dış kuvvetler, F ve F kuvvetleri ise iç kuvvetlerdir. İç kuvvetler şekilde gösterildiği gibi cismin içinde varolduğu düşünülen bir kesitte oluşur.u haali kesitle cisim iki parçaa arılır. Oluşan bu iki arı kesitteki iç kuvvetlerin etki tepki ilkesine göre şiddet ve doğrultuları anı önleri zıttır. 4

43 Kuvvetler cisme mesnetler ve diğer cisimlerden ugulanma durumuna göre : ilinen kuvvetler (aktif kuvvetler) ve mesnet vea bağlardan geleceği düşünülen tepki kuvvetleri (reaktif kuvvetler) olmak üzere ikie arılır. ktif kuvvetler: ğırlık kuvvetleri vea cismin zorlanma koşullarına göre bilinen dış kuvvetlerdir. Tepki kuvvetleri : mesnet,mafsal, kablo, çubuk gibi diğer cisimlerin uguladıkları kuvvetlerdir. u tepki kuvvetlerinin tam zıttı dengesi incelenen cisim tarafından diğer cisimlere anı şekilde etkir. Sürtünmesiz temaslarda tepki kuvveti temas üzeine diktir. İki boutlu mesnet ve bağlar ile bunlardan cisme gelen tepki kuvvetleri: Yuvarlanan elemanlar kavisli üze sürtünmesiz kama üzeine üze dik tepki kuvveti Çubuk doğrultusunda hareket edebilen bilezik ve buna mafsallı diğer çubuk tepki kuvveti hareket doğrultusuna dik Kanal doğrultusunda hareket kanal doğrultusuna dik tepki kuvveti 43

44 R R Sabit silindirik mafsallı Tepki kuvvetinin doğrultusu bilinmior. R Pürüzlü üze R Yüze tepkisinin doğrultusu bilinmior R R M O nkastre mesnet ilinmeen kuvvet ve şiddeti bilinmeen moment 44

45 Üç boutlu mesnet ve bağlar ile bunlardan cisme gelen tepki kuvvetleri: tek noktadan küree temas R z temas üzeine dik tepki kuvveti Sürtünmesiz temas R z temas üzeine dik tepki kuvveti z R z R Pürüzlü üzede ra üzerinde iki doğrultuda bilinmien Yuvarlanan tekerlek uvarlanan tekerlek tepki kuvveti 45

46 z Pürüzlü üze küresel mafsal üç doğrultuda bilinmien tepki kuvvetleri R z R R Küresel mafsalın arıntılı şekli M R R z R M z M z ankastre mesnet üç doğrultuda bilinmien tepki kuvveti ve üç doğrultuda bilinmien tepki momenti 46

47 R R M Z R z Üniversal kavrama üç doğrultuda bilinmien kuvvet ve bir doğrultuda bilinmien moment M R R z z M z İki doğrultuda bilinmien kuvvet ve. iki doğrultuda bilinmien moment Eksenel doğrultuda hareket edebilen silindirik mafsal 47

48 M R M z R z R z Üç doğrultuda bilinmien kuvvet ve İki doğrultuda bilinmien moment Eksenel doğrultuda hareket eteneği olmaan silindirik mafsal unlardan başka ip kuvveti ip doğrultusundadır. irde ağırlıksız olup uç noktalarından sürtünmesiz mafsallı ve uç noktaları dışında ük taşımıan çubuklardan gelen tepki kuvvetleride çubuk doğrultusunda kabul edilir. 6. İç kuvvetler ve kesit zorları İç kuvvetlerin cismin bir kesiti içindeki bileşenlerine kesit zorları denir. Kesite etki eden kuvvetin kesite dik bileşenine Normal kuvvet denir. Kesite etki eden kuvvetin kesit içindeki bileşenine Kesme kuvveti denir. Kesite etki eden momentin kesite dik bileşenine urulma momenti denir. Kesite etki eden momentin kesit içindeki bileşenine Eğilme momenti denir. 6.3 Statiğin temel ilkelerinin geçerli olduğu referans sistemleri Orijininde güneş bulunan ve ıldızlara doğru önelmiş koordinat sistemlerine Newton vea Galileo eksen sistemleri denir. Statiğin temel ilkeleri bu eksen sitemlerine göre geçerlidir. ir Newton eksen sistemine göre sabit hızda öteleme hareketi apan diğer eksen sistemleri de Newton eksen sistemidir. Herhangi bir cisim Newton eksen sistemine göre hareketsiz vea sabit hızda öteleme hareketi apıorsa bu cisim dengededir denir. 48

49 6.4 ir maddesel noktanın kuvvetler etkisinde dengesi ir maddesel noktaa etki eden bütün kuvvetler anı noktada kesişeceğinden dolaı bu kuvvetlerin geometrik toplamının sıfır olması denge için gerek ve eter koşuldur. R = R = F i + F j + Fz k F =, = F, F = z 6.5 ir rijid cismin kuvvetler etkisinde dengesi ir rijid cisme etki eden kuvvvet sisteminin sıfıra eşdeğer olması bu cismin dengesi için gerek ve eter koşuldur. R =, M = O F =, F =, F z = = M, M =, M = z ölece en genel durumda üç boutlu kuvvetler etkisindeki bir cismin dengesinde denklem saısı altı olur. u denklemlerden altı bilinmien çözülebilir. Üç boutlu kuvvetler etkisinde dengesi incelenen cisimde bilinmien saısı altıdan fazla ise böle sistemlere hiperstatik sistemler denir. 6.6 Rijid cisim sisteminin kuvvetler etkisinde dengesi ir rijid cisim sistemine etki eden kuvvet sisteminin sıfıra eşdeğer olması denge için gerekli fakat eterli koşul değildir. undan dolaı rijid cisim siteminin elemanlarına arılarak incelenmesi gerekir.her bir eleman için sıfıra eşdeğerlik koşulu ve birleşme noktalarında etki tepki ilkesi gözönüne alınarak çözüme gidilir. 6.7 Düzlemsel kuvvetler etkisinde cisimlerin dengesi Eğer cisme etki eden dış kuvvetler ve mesnetlerden gelen tepkiler anı düzlem içinde ise incelenen problem düzlem statik problemidir. nı düzlemde bulunan kuvvetlerin momenti bu düzleme dik olacağından dolaı bu durumda R =, M = O sıfıra eşdeğerlik koşulu aşağıdaki gibi azılabilir. F =, F =, M z = ölece düzlemsel kuvvetler etkisindeki bir cismin dengesinde denklem saısı üçe inmiş olur. u denklemlerden üç bilinmien çözülebilir. Düzlemsel kuvvetler etkisinde dengesi incelenen cisimde bilinmien saısı üçten fazla ise böle sistemlere hiperstatik sistemler denir. 49

50 Problem 6.7. kg kütleli bir sabit vinç 4 kg kütleli bir cismi kaldırmakta kullanılıor. inç da sabit de kaıcı mafsal ile mesnetlenmiştir. incin kütle merkezi G dir. ve mesnetlerindeki tepkileri bulunuz. G 4kg,5m m 4m Çözüm: R R 4g,5m g R m 4m deki mesnet kaıcı mafsal olduğu için ekseni doğrultusunda kuvvet taşıamaz. undan dolaı mesneti sadece ekseni doğrultusunda tepki kuvveti ugulaabilir. R = Σ = R + R = F Σ = R g 4g = F M Σ = R,5 g 4g 6 = 5

51 u eşitliklerden R = 7, 56kN R = R = 7,56 kn R = 33,354kN ( 7,56) ( 33,354) R = + R =,3kN Problem 6.7. Hareketli bir kol C e bağlanmış bir kablo ve ile deki sürtünmesiz tekerlekler ardımıla dengede tutuluor. Şekildeki ükleme halinde kablodaki kuvveti ve ile deki tepkileri hesaplaınız. 475mm 75mm 5mm 6N C 9mm Çözüm: 475mm 75mm 5mm 6N S C R C 9mm ve mesnetlerinde sürtünme olmadığı için buradaki tepkiler ata doğrultudadır. R 5

52 Σ = R R = F Σ = S 6 = F C Σ M C = R = u üç denklemden R = 4 Newton, R = R = 4 Newton SC = 6N bulunur. Problem Ya katsaısı k olan C iç aı θ = 6 iken doğal uzunluğundadır. a) Sistemin denge durumunda θ, W, a ve k arasındaki bağıntıı bulunuz. b) Denge durumunda W=8N, a =3 mm ve θ =5 olduğu bilindiğine göre a katsaısı k ı hesaplaınız. W C θ a Çözüm: W F C θ N a 5

53 a) Σ F = Fcosθ N = Σ F = Fsinθ W = W u iki denklemden F = sinθ eşitliği bulunur. rıca F a kuvveti F = k Δ s denklemi ile hesaplanır. a a Yadaki kısalma Δ s =, Δ s = a( ) cos 6 cosθ cosθ F = ka( ) cosθ W ka( ) cosθ = sinθ, sin tan W θ θ = ka W 8 b) k =, k = a sinθ tanθ 3 sin 5 tan 5 ( ) k =, 74 N / mm k = 74 N / m ( ) Problem şağıda gösterilen çerçeve küçük bir apının çatısını desteklemektedir. Kablodaki gerilme kuvvetinin 5 kn olduğu bilindiğine göre E ankastre mesnetindeki tepkileri bulunuz. D C,5m kn kn kn kn,8m,8m,8m,8m 3,75m E I 4,5m 53

54 Çözüm: D C kn kn kn kn 6m,8m,8m,8m,8m Σ = R + 5cos θ= F E Σ = R 4 5sin θ= F E R E E θ I θ E M E R 4,5m Σ M E = M E + (,8+,8+ 3,8+ 4,8) 4,5 5 sinθ= EI DE cosθ =, sinθ =, DI = 4,5 + 6, DI = 7,5m DI DI 4,5 cosθ =, cosθ =,6 7,5 6 sinθ =, sinθ =,8 7,5 R = 5, 6, R = 9kN E R = 4 + 5,8, R kn E E E = ( 9) ( ) E 5kN R = + R = 9,4kN E M E = (,8 +,8 + 3,8 + 4,8) + 4,5 5,8 = = 8 knm. M E 6.8 Üç boutlu kuvvetler etkisindeki bir rijid cismin dengesi ile ilgili ugulamalar Eğer cisme etki eden dış kuvvetler ve mesnetlerden gelen tepkiler anı düzlem içinde değil ise incelenen problem uza statik problemidir. R =, M = sıfıra eşdeğerlik koşulu aşağıdaki gibi azılabilir. O 54

55 F = F =, F =, F z = M =, M =, M z = Problem 6.8. kg kütleli ve.5m.4m boutlarındaki dikdörtgen şeklindeki bir reklam panosu da küresel mafsal E ile de birer kablo ardımı ile şekildeki gibi tesbit edilmiştir. Kablolardaki kuvvetleri ve mafsalındaki tepki kuvvetini bulunuz.,4m,6m D C,m,9m z E,8m,6m,5m Çözüm:,4m C,6m D R,9m R S D,m R z S EC E z,8m G,m W=g,m 55

56 sıfıra eşdeğerlik koşulu F = SEC + SD + R + W = M = E SEC + SD + G W = EC (,8) i + (,9 ) j + (,6 ) k SEC = SECUEC, U EC =, U EC = EC ( ),8 +,9 +, 6,8i +,9 j +, 6k U EC =, UEC = i + j + k, SEC = SECi + SEC j + SECk, D (, 4) i + (, ) j + (, 4 ) k SD = SDUD, U D =, U D = D ( ), 4 +, +, 4, 4i +, j, 4k U D =, UD = i + j k 3, SD = SDi + SD j SDk, R = Ri + R j+ Rk z, W = g j E =, 8 i, =, 4i, G =, i, 75 j M = E SEC + SD + G W = 6 3,8 i ( SECi + SEC j + SECk) +, 4 i ( SDi + SD j SDk) (, i, 75 j) ( g j) = 3,8 SECk,8 SEC j +, 4 SDk +, 4 SD j, gk = ,8 3,6, 4 5, 4 M = ( SD SEC) j + ( SD + SEC 44 g) k = ,8 3, 6 4,8 3, 6 SD SEC = SD SEC = ,4 SEC = 88g, 4 5, 4 4,8,8 7 SD + SEC 44g = SD + SEC = 88g SEC = 4g, SD = 45g, SEC = 373, 4N, SD = 44,45N 6 3 F = ( SECi + SEC j + SECk) + ( SDi + SD j SDk) ( Ri + R j+ Rk z ) + ( gj) = 6 3 F = ( SEC SD + R ) i + ( SEC + SD + R g) j + ( SEC SD + Rz ) k = SEC SD + R = 4g 45g + R = R = 5g SEC + SD + R g= 3 4g + 45g + R g= R = 45g SEC SD + Rz = 4g 45g + R z = Rz = g R = 47,5 N R = 44, 45N R = 98,N z 56

57 Problem N luk bir ük şekildeki gibi bükülmüş bir rijid borunun C köşesine ugulanmıştır. oru da zemine ve D de düşe duvara küresel mafsal ile E de ise EG kablosu ardımı ile tesbit edilmiştir. a) EG kablosundaki gerilme kuvvetinin minumum olması için kablonun karşı duvara bağlandığı G noktası nerde olmalıdır. b) u durumdaki minumum kablo kuvvetinin şiddetini bulunuz. G D E C m m 4m P 4m m z Çözüm: G (,) S EG R D E C R D R R D z m m 4m P m D z R R z 4m 57

58 S EG kablo kuvvetinin minumum olması için kablonun doğrultusu anı kuvvetle D eksenine göre en büük momenti verecek şekilde olmalı ani D ekseni ile E noktasının oluşturduğu düzleme dik olmalıdır. ED D =λeg olmalı EG = ( ) i + ( 4) j k, ED = i k, D = 4i + 4 j k i j k ED D =, ED D = 8i 4j + 8k 4 4 8i 4j + 8 k = λ( ) i + λ( 4) j λk λ( ) = 8 λ = 4 = λ( 4) = = 8 = 5 λ = = 4 Σ M D = ( DE SEG ) U D + ( DC P) U D = DE = i + k, DC = k, P = 45 j, SEG = SEGUEG EG i + j k U EG =, U EG =, UEG = i + j k EG ( ) + + ( ) SEG = SEGi + SEG j SEGk D 4i + 4j k U D =, U D =, UD = i + j k D ( ) DE SEG = ( i + k ) ( SEGi + SEG j SEGk ) i j k 8 DE SEG =, DE SEG = SEG i SEG j SEGk SEG SEG SEG DC P = k 45 j, DC P = 9i 8 ( DE SEG ) U D + ( DC P) U D = [( SEG + 9) i SEG j SEGk )] ( i + j k ) = SEG + 6 SEG + SEG = = S = 3 N S EG EG 58

59 Problem da ankastre mesnetli CDE cismi şekildeki gibi üklenmiştir. a) ankastre mesnetindeki tepkileri hesaplaınız. b) a çok akın eksenine dik kesitteki kesit zorlarını bulunuz. cm F = N D E F = N z cm 4cm C F 3 = 35N F 4 = 5N Çözüm: cm F =N D E F = N z R M cm 4cm C F 3 =35N F 4 =5N a) sıfıra eşdeğerlik koşulu F = R + F + F + F3 + F4 = M = M + D F + E F + C F3 + C F4 = F ve F kuvvet çifti olduğundan geometrik toplamı sıfır bileşke momenti ise j dır. F3 = 35i, F4 = 5 j, C = 4i + k F = R + 35i 5 j = R = 35i + 5 j M = M + (4i + k) (35i 5 j) =, M = 5i j + k 59

60 b) da ki eksenine dik kesitteki normal kuvvet R kuvvetinin kesite dik bileşenidir. normal kuvvet = 35N ( u kuvvet cismi çekmee çalıştığından pozitif alınmalıdır.) da ki eksenine dik kesitteki kesme kuvveti R kuvvetinin kesit içindeki bileşenidir. kesme kuvveti = 5N. 5N da ki eksenine dik kesitteki burulma momenti M momentinin kesite dik bileşenidir. burulma momenti = 5Ncm da ki eksenine dik kesitteki eğilme momenti M momentinin kesite içindeki bileşenidir. eğilme momenti = 7 j + k eğilme momenti = 7 + = 6,6Ncm 6

61 ÖLÜM 7 SÜRTÜNME 7. Sürtünme ve sürtünme katsaısı W f θ R θ N W P f R θ N Yukardaki şekillerde gösterildiği gibi eğim açısı θ olan bir eğik düzlem üzerine bırakılan bir cismin θ nın belli değerlerine kadar dengede kaldığı bilinir. nı şekilde ata düzlem üzerine bırakılan bir cisme ata doğrultuda bir P kuvveti ugulanırsa P nin belli değerlerine kadar cismin dengede kaldığı bilinir. ütün bunların nedeni temas eden üzeler doğrultusunda tepki kuvvetlerinin oluşmasıdır. u kuvvetlere sürtünme kuvvetleri denir. f = N tan θ Sürtünme kuvvetinin maksimum değeri birbirlerine temasta olan cisimlerin cinslerine ve temas üzelerinin özelliklerine bağlıdır. dengede kalmak şartıla θ nın en büük değerinin tanjantına sürtünme katsaısı denir ve μ ile gösterilir. μ=tan θ maks., = μn f maks. 6

62 Problem 7.. θ = 6 eğim açılı eğik düzlem ile üzerindeki W = N. ağırlığındaki cismin sürtünme katsaısı μ =.4 dır. P kuvvetinin hangi değerleri arasında cisim eğik düzlem üzerinde hareketsiz kalır. u sınır değerlerdeki sürtünme kuvvetinin değerleri nedir. W P θ Çözüm: Cismin aşağı doğru kamaması için gerekli olan en küçük P kuvveti P min. dır.u durumda sürtünme kuvvetinin önü ukarı doğrudur. W θ P min. f N θ ekseni eğik düzlem doğrultusunda ve ekseni buna dik doğrultuda alınıp bu düzlemde denge denklemleri aşağıdaki gibi azılabilir. F = Pmin + f Wsin θ= () F = N W cos θ= N = cos 6, N = 5 Newton f = μ N f =, 4 5, f = Newton P = f + Wsin θ, P min = 5 3, Pmin = 66,6 Newton min 6

63 Cisim ukarı doğru çıkma meilinde ve hareketsiz durumda en büük P kuvveti P m aks. dır. u durumda sürtünme kuvveti aşağı doğrudur. W θ P m aks. f N θ u durumda sürtünme kuvvetinin önü değiştiğinden sadece birinci denklem değişir. F = P m aks. f W sin θ= Pm aks. = f + Wsin θ P m aks. = 5 3 +, Pm aks. = 6,6 Newton, 66, 6 Newton P 6, 6 Newton 7. mesnetlerdeki sürtünmeler Mesnetlerde temas üzei belli ise sürtünme kuvveti bu üzee teğettir. Eğer mesnet mafsal şeklinde ve temas üzei bilinmiorsa ise sürtünme momenti göz önüne alınarak işlem apılabilir. Problem 7.. Şekilde görülen hareketli konsol cm. çapındaki bir borunun üzerinde istenilen bir üksekliğe konulabilmektedir. Konsolla boru arasındaki sürtünme katsaısı μ =, 5 olduğuna göre, konsolun ağırlığını ihmal ederek W ükünün taşınabileceği en küçük uzaklığını bulunuz. W cm. cm. 63

64 Çözüm f N W cm. f N cm. f = μ N, f = μ N, f =, 5 N, f =, 5N F = N N = N = N W F = f + f W = f + f = W f = f = N = N = W M = N f ( 5) W = N f + 5W N f W + 5W = = W W W + 5W 4W 5W + 5W =, =, = 4 cm. W W Problem 7.. Şekildeki mekanizmada ilezik ve çubuk arasındaki sürtünme katsaısı μ =, 4, θ = 6 ve P = N. olduğu bilindiğine göre mekanizma kranka ugulanan M momentinin hangi değerlerinde dengededir. P C M mm. θ mm. 64

65 Çözüm: R N R S C M mm. S C θ f P C mm. C ileziğinin ukarı doğru kama başlangıcında dengesi için : f = μ N, f =, 4 N F = S C cosθ N = N = S C cosθ, f =, 4 S C cosθ F = S C sin θ f P = SC sin θ,4 SC cos θ P = P SC (sin θ, 4cos θ)= P S C = sin θ,4cos θ, C = sin 6,4cos 6 SC = 3, 89 N. çubuğunun dengesi için : M = Mmaks. SC cos θ= Mmaks. = SC cos θ S M maks = 3, 89 cos6, M. = 54,5 Nmm. maks C ileziğinin aşağı doğru kama başlangıcında dengesi için : u durumun ukarıdaki şekilden farkı sürtünme kuvvetinin önü ukarı doğrudur. F = S C sin θ+ f P =, SC sin θ +,4 SC cos θ P = P SC (sin θ+, 4cos θ)= P S C = sin θ +,4cos θ, C = sin 6 +,4cos 6 SC S = 87, 63 N. Mmin. = S C cos θ, M min. = 87,63cos6, M min. = 938, 6 Nmm. 9,38 Nm. M 5, Nm. 65

66 7.3 Halat vea kaış kasnak sürtünmesi θ α dθ dθ/ dθ/ s df s + ds dθ/ dn dθ/ s s Silindirik üze üzerine sarılı halattan alınan diferansiel elemanda F = ( s + ds) Cos ( dθ / ) s Cos ( dθ / ) df = F = dn ( s + ds) Sin ( dθ / ) = denklemleri azılabilir. Cos (dθ/) =, Sin (dθ/) = (dθ/) ve df = μ dn olduğu bilindiğine göre ds = df, dn = s dθ, ds = μ s dθ azılabilir. S α ds ds s = μdθ, s = μ dθ, ln s μ α = μα, = e elde edilir. s s s S u çağda kaış kasnak sistemlerinde düz kaış erine daha çok aşağıda gösterilen kesiti şeklinde olan kaışları kullanılır. β β df dθ/ dθ/ z s s + ds β/ β/ dn sin(β/) dn dn dθ dθ dθ ssin, ( s+ ds )sin kaışlı kaış kasnak sistemlerinde kaışın her iki an üzeinde temas olduğundan diferansiel elemanda sürtünme kuvvetinin iki katı alınır.normal kuvvet erine dnsin β/ alınarak düz kaış için apılan işlemler tekrar edilirse s μα/sin( β/) = e formülü bulunur. s 66

67 Problem 7.3. ir gemii rıhtımda durdurmak için kullanılan halatın halka şeklinde oluşturulmuş kısmı iskele babasına takılır.halatın diğer ucuna gemideki babanın etrafına 4 kere sarıldıktan sonra kuvvet ugulanır. Halata geminin uguladığı kuvvet kn dır. görevlinin uguladığı kuvvet 4N olduğuna göre halat ile baba denilen silindirik cismin anal üzei arasındaki sürtünme katsaısını bulunuz. 4 N. kn. Çözüm: S = 4 N. S = kn. S = e μ α, S = kn. = N., α = 4 π, α = 8π S 8 e π μ 8 =, 5 e π μ 8 = ln 5 = ln e π μ ln 5 = 8π μ 4 ln 5 μ =, μ =, 47 8π 67

68 Problem 7.3. ir elektrik motoru ile üretilen 6 Nm. lik bir momenti iletmek için bir assı kaış kullanılmaktadır. Kaış şekilde görüldüğü gibi cm. çaplı motordaki kasnaktan aldığı momenti iletmektedir. Kaışla kasnak arasındaki statik sürtünme katsaısı.3 dür. Kaışın her iki kısmındaki çekmenin, kama olmasını engelleecek en küçük değerlerini bulunuz. 6 4 M Çözüm: S 6 S M α Kaıştaki büük kuvvet momentin tersi önünde olur. S e μ α π =, μ =,3, α= , α= 6, α= 6 rad. S 8 S,838 S α=, 793 rad. = e,,3 S S =, S =,3S M 6 M =, M + S R S R = S S =, S S = R, / S S = N, S =,3S,,3S S = N S = 76,8 N. S = 76,8 N. 68

69 DİNMİK GİRİŞ Mekaniğin ikinci kısmı olan dinamik kuvvetler etkisinde cisimlerin hareketini inceleen bilim dalıdır. Mekanikçiler Dinamiği kinematik ve kinetik adı altında iki ana bölüme aırırlar. Kinematik hareketi doğuran nedenleri göz önüne almadan sadece hareketin geometrisini göz önüne alan bilim dalıdır. Kinetik ise hareketi oluşturan nedenlerle birlikte incelemektir. Kinetik kinematiği de içerdiğinden bazı azarlar kinetiğe dinamik diorlar. Genellikle Dinamik ilk önce kinematik vea kinematik için gerekli matematik bilgileri ile başlar. urada da ilk iki bölüm kinematik için gerekli matematik konularını içerior. ÖLÜM 8 EKTÖREL NLİZ 8. ektör fonksionu Statikte görülen eş zamanlı vektörlerden farklı olarak dinamikte zamanla vea başka bir değişkene göre değişebilen vektörlerle de çalışılır. ir u reel saısının tanımlı olduğu bölgedeki her değerine bir P (u) vektörü karşılık geliorsa P vektörüne u değişkenine bağlı vektörel fonksion denir. enzer şekilde birden fazla saıdaki u, v, w gibi değişkenlere vea r gibi vektörlere bağlı vektörel fonksionlar tanımlanabilir. P = P(u) P = P ( u, v, w) P = P(r) Problem 8.. P( u) = Cosui + 8Sinu j + 3uk şeklinde verilen vektör fonksionunu u = π için hesaplaınız. 3 u π π π π π = için P( ) = Cos i + 8Sin j + 3 k π ( ) = + + P i j π k 69

70 8. ektör fonksionunun türevi ir vektörel fonksionun türevi aşğıdak i şekilde gösterildiği gibi skaler fonksionlardaki türev işlemlerine benzer biçimde alınabilir.ir vektörel fonksionda u nun herhangi bir değerine karşılık gelen P (u) vektörünü u değişkenine verilen artımla elde edilen P( u + Δu) vektöründen çıkarılırsa Δ P artım vektörü elde edilir. u artım vektörünü değişkenin artımı olan Δu a bölümüne ortalama değişim vektörü denir. Ortalama değişim vektöründe değişkenin artımı sıfıra aklaştırılırsa vektörel fonksionunun u da ki türevi elde edilir. ΔP Δu P( u + Δu) ΔP P (u) Δ P = P( u + Δu) P( u) dp du lim = ΔU O P( u + Δu) P( u) Δu 8.. Türev kuralları P, Q, W vektörleri ve λ ile s skaleri u nun fonksionu olsun.rıca T vektörü θ nın θ da s in fonksionu olsun ve işareti u a göre türevi göstersin. P a) ( Q W) = P Q W P b) ( λ ) = λ P + λ P P c) ( Q) = P Q + P Q P dt dt dθ ds = du dθ ds du d) ( Q) = P Q + P Q e) 7

71 Problem 8.. Pu ( ) = Cosui+ 8Sinuj+ 3uk şeklinde verilen vektör fonksionunun u a göre birinci ve ikinci türevini u = π için hesaplaınız. 3 Çözüm : dp( u) Sinui 8Cosu j 3k du = + + d P( u), = Cos u i 8Sin u j du π π dp( ) için 3 d P( ) = 5 3 i + 4 j + 3k, 3 du 5 = i 4 3 j du Problem 8.. Modülü sabit olarak değişen vektörün türevinin kendisine dik bir vektör olduğunu gösteriniz. Çözüm: P( u) = sabit olarak verilmiştir. ir vektörün modülü vektörün kendisi ile skaler çarpımının karekökü alınarak bulunabileceğinden. P( u) P( u) = sabit azılabilir. u eşitliğin her iki tarafının u a göre türevi dp alınırsa Pu ( ) = du elde edilir. ölece skaler çarpımın sıfır olmasından Pu ( ) birbirine dik olduğu ispatlanmış olur. ile dp du türev vektörünün Problem 8..3 ir düzleme paralel olarak değişen bir birim vektörün bu düzlem içindeki sabit bir doğrultula aptığı açıa göre türevi anı düzlemde bulunan kendisine pozitif önde dik bir birim vektördür. Çözüm: irim vektörün paralel olduğu düzlemi düzlemi bu düzlemdeki sabit bir doğrultu ekseni ile gösterilsin u düzlemde ekseni ile θ açısı apan birim vektör e ise buna pozitif önde dik vektör ile θ a göre türevi alınan vektörün anı vektör olduğu görülür. de dθ θ e e = Cosθ i + Sinθ j θ 7

72 de Sinθ i Cos θ j dθ = + e birim vektörüne anı düzleme paralel olmak koşulu ile ve pozitif önde dik vektör k e = k ( Cosθ i + Sinθ j) uradaki vektörel çarpma işlemi apılırsa de k e = dθ bulunur. 8.3 ektörel fonksionun integrali (u), (u), z (u), u nun belirli bir aralığında sürekli fonksionlar olmak üzere P( u) = ( u) i + ( u) j + z( u) k u a bağlı vektörel fonksionunu göz önüne alalınırsa aşağıdaki integrale P( u) du = ( u) du i + ( u) du j + z( u) du k P (u) vektörel fonksionunun belirsiz integrali denir. d P( u) = Q( u) eşitliğini sağlaan bir Q (u) vektörel fonksionu varsa du d P( u) du = Q( u) du = Q( u) + C du olur. urada C vektörü u skalerine bağlı olmaan sabit bir vektördür. u durumda u = a ve u = b sınırları arasındaki belirli integral b a b d b P( u) du = Q( u) du = Q( u) + C = Q( b) Q( a) du a şeklinde azılabilir. a 7